向量的加法运算及其几何意义.ppt
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数学人教A版(2019)必修二6.2.1向量的加法运算(共19张ppt)
Ԧ
A
问题2：结合例1，探究|Ԧ + |，||，
Ԧ
||之间的关系.
如果向量，不共线，如图，三角形两边之和大于第三边，所以
Ԧ
|Ԧ + | < ||
Ԧ + ||.
O
Ԧ
A
Ԧ
B
综上可知，|Ԧ + | ≤ ||
Ԧ + ||，当且仅当，方向相同时等号成
Ԧ
立.
数的加法满足交换律、结合律，向量的加法是否也满足交换律和
如图，已知非零向量，，在平面内取任意一点A，作
Ԧ
= ，
Ԧ
= ，则向量叫做与的和，记作
Ԧ
Ԧ + ，即Ԧ + = + =
.
Ԧ
C
Ԧ
Ԧ
A
Ԧ
B
求两个向量和的运算，叫做向量的加法.这种求向量和的方法，
称为向量加法的三角形法则.
如图，在光滑的平面上，一个物体同时受到两个外力1 与2 的作
结合律呢？
如图，作 = Ԧ ， = ，以AB，AD为邻边作▱，
Ԧ
D
Ԧ
A
C
Ԧ + Ԧ
Ԧ
Ԧ
B
容易发现 = ， = Ԧ ，故 = + = Ԧ + .
又 = + = + Ԧ ，所以Ԧ + = + Ԧ .（交换律）
km/h，同时江水的速度为向东6 km/h.
（1）用向量表示江水速度、船速以及船
实际航行的速度；
（2）求船实际航行的速度的大小（结果
保留小数点后一位）与方向（用与江水速度
间的夹角表示，精确到1°）.
向量的加法课件(公开课获奖课件)
要点二
性质
数乘满足交换律和结合律，即k*(a+b)=k*a+k*b， (k+l)*a=k*a+l*a。
数乘的几何意义
表示伸缩
数乘可以表示向量在坐标轴上的伸缩，当k>0时，表示 向量在原方向上放大；当k<0时，表示向量在原方向上 缩小。
表示旋转
通过数乘可以将向量绕原点旋转一定的角度，旋转角度 与k的绝对值成正比。
力的分解
一个力可以分解为两个或多个分 力，分力的方向和大小同样可以 通过向量加法得到。
速度与加速度的研究
速度的合成
当物体在多个方向上运动时，其速度可以看 作是各个方向上速度的向量和，即速度的合 成。
加速度的研究
加速度的大小表示速度变化的快慢，方向表 示速度变化的方向，可以通过向量加法来研 究加速度的方向和大小。
交换律是指向量加法的结果不依赖于向量的顺序，即向量加法满足可交换性。
详细描述
交换律是向量加法的基本性质之一，它表明向量加法不具有方向性。无论向量是按什么顺序相加，其 结果都是相同的。例如，向量$vec{A} + vec{B}$和向量$vec{B} + vec{A}$是相等的。
结合律
总结词
结合律是指向量加法的结果不依赖于括 号的位置，即向量加法满足可结合性。
题目2
已知点$O(0,0)$，点$A(3,5)$，点$B( - 2, - 1)$，求 $overset{longrightarrow}{OA} + overset{longrightarrow}{OB}$。
综合练习题
• 总结词：综合运用向量加法的知识解决复杂问题
• 题目1：已知点$A(1,2)$，点$B(3,4)$，点$C(5,6)$，点$D(7,8)$，求证：四边形ABCD是平行四边形。 • 题目2：已知$\overset{\longrightarrow}{a} = (1,2)$，$\overset{\longrightarrow}{b} = (3, - 1)$，
向量加法运算及其几何意义 课件
【核心素养培优区】 【易错案例】向量的加法在向量化简中的应用 【典例】如图,在正六边形ABCDEF中, BA CD EF=( B )
A.0 B.BE C.AD D.CF
【失误案例】BA CD EF (BA AF) EF BF EF BE.
【错解分析】分析解题过程,请找出错误之处. 提示:本题错误的原因是未能结合正六边形边的关系, 得到 EF CB, 在化简的过程中代入.
【点拨】 (1)对向量加法三角形法则的两点说明 ①适用范围:任意向量. ②注意事项:(ⅰ)两个向量一定首尾相连. (ⅱ)和向量的始点是第一个向量的始点,终点是第二个 向量的终点. (ⅲ)当多个向量相加时,可以使用三角形法则.
(2)对向量加法的平行四边形法则的三点说明 ①适用范围:任意两个非零向量,且不共线. ②注意事项:(ⅰ)两个非零向量一定要有相同的始点; (ⅱ)平行四边形中的一个对角线所对应的向量为和向 量.
【变式训练】(荆州高一检测)设正六边形
ABCDEF,AB m，AE n, 则AD =________. 【解析】如图,
ED AB所 m以， 答案:n+m
AD AE ED n m．
类型三 向量加法的实际应用 【典例】长江两岸之间没有大桥的地方,常常通过轮渡 进行运输。现有一艘船从长江南岸A点出发,以5km/h的 速度向垂直于对岸的方向行驶,同时江水的速度为向东 2km/h.
列结论中,正确的是 ( ) ①a∥b;②a+b=a;③a+b=b;④|a+b|<|a|+|b|; ⑤|a+b|=|a|+|b|. A.①② B.①③ C.①③⑤ D.③④⑤
3.如图,E,F,G,H分别是梯形ABCD的边AB,BC,CD,DA的中 点,化简下列各式:
6.2平面向量的运算课件共40张PPT
故选 B.
→
→
→
→
即时训练 3-2:在四边形 ABCD 中,=,若||=||,则四边形 ABCD 的
形状为
.
→
→
解析:由=,可得四边形 ABCD 为平行四边形,
→
→
由||=||,可得邻边相等,此平行四边形是菱形,
所以四边形 ABCD 为菱形.
答案:菱形
→
→
→
→
[备用例 3] 若 O 是△ABC 所在平面内一点,且满足|-|=|-+
探究点二
向量加法运算律的应用
[例 2] 化简:
→
→
(1)+;
→
→
→
→
→
解:(1)+=+=.
[例 2] 化简:
→
→
→
(2)++;
→
→
→
→
→
→
解:(2)++=++
→
→
→
=(+)+
→→Biblioteka =+=0.
[例 2] 化简:
→
→
→
→
→
→
→
→
→
→
→
→
解:(2)原式=--+=(-)+(-)=+=0.
→
→
→
[备用例 2] 化简:--.
→
→
→
→
→
→
解:法一 --=-=.
→
→
→
→
→
→
→
→
→
→
→
→
→
→
→
→
→
→
即时训练 3-2:在四边形 ABCD 中,=,若||=||,则四边形 ABCD 的
形状为
.
→
→
解析:由=,可得四边形 ABCD 为平行四边形,
→
→
由||=||,可得邻边相等,此平行四边形是菱形,
所以四边形 ABCD 为菱形.
答案:菱形
→
→
→
→
[备用例 3] 若 O 是△ABC 所在平面内一点,且满足|-|=|-+
探究点二
向量加法运算律的应用
[例 2] 化简:
→
→
(1)+;
→
→
→
→
→
解:(1)+=+=.
[例 2] 化简:
→
→
→
(2)++;
→
→
→
→
→
→
解:(2)++=++
→
→
→
=(+)+
→→Biblioteka =+=0.
[例 2] 化简:
→
→
→
→
→
→
→
→
→
→
→
→
解:(2)原式=--+=(-)+(-)=+=0.
→
→
→
[备用例 2] 化简:--.
→
→
→
→
→
→
解:法一 --=-=.
→
→
→
→
→
→
→
→
→
→
→
→
→
→
向量加法运算及其几何意义课件-高一下学期数学人教A版(2019)必修第二册
解： 如图，AB表示水流的速度，AD表示小船的速度.由已知得，AB 7.5km/ h, AD 15km/ h, BAD 120.以AB，AD为邻边作平行四边形ABCD ，则AC 表示小船的实际航行速度，BC AD 15km/ h，ABC 60.延长BA到点E， 使BE BC.又ABC 60，所以三角形BCE是等边三角形.在三角形BCE中， AC是三角形BCE的中线，所以AC BE，从而BAC 90. 在直角三角形ABC 中，AC BCsin 60 15 3 (km/ h).
解：（1）如图，AD表示船速，AB表示江水速度，以AD，AB为邻边作平行四边形
ABCD, 则AC表示船实际航行的速度。
（2）在直角三角形ABC 中，AB 6，BC 15，于是
2
2
AC AB BC 62 152 261 16.2.
因为tan CAB BC 5 ，所以利用计算工具可得CAB 68. AB 2
2 所以小船的实际航行速度15 3 km/ h，方向与河岸垂直.
2
课堂总结
1．向量加法的三角形法则和平行四边形法则； 2．向量a＋b与非零向量a，b的模及方向的关系； 3. 向量在生活中的应用。
课后作业
完成导学案后的课后作业
谢谢聆听
本课结束
课堂练习
2.如图，四边形 ABCD 是平行四边形，点 P 在 CD 上，判断下列各式是否正确。
（1）DA DP PA（×） （2）DA AB BP D（ P√） （2）AB BC CP PA（×）
3.在四边形 ABCD 中，B→C＋C→D＋D→A＝( D )
→ A.BD
→ B. AC
例3.长江两岸之间没有大桥的地方，常常通过轮渡进行运输。现有一艘船从长江南岸 A点出发，以15km/h的速度向垂直于对岸的方向行驶，同时江水的速度为向东6km/h (1)用向量表示江水速度、船速及船实际航行的速度； (2)求船实际航行的速度的大小（结果保留小数点后一位）与方向（用与江水速度间的 夹角表示，精确到1°）
解：（1）如图，AD表示船速，AB表示江水速度，以AD，AB为邻边作平行四边形
ABCD, 则AC表示船实际航行的速度。
（2）在直角三角形ABC 中，AB 6，BC 15，于是
2
2
AC AB BC 62 152 261 16.2.
因为tan CAB BC 5 ，所以利用计算工具可得CAB 68. AB 2
2 所以小船的实际航行速度15 3 km/ h，方向与河岸垂直.
2
课堂总结
1．向量加法的三角形法则和平行四边形法则； 2．向量a＋b与非零向量a，b的模及方向的关系； 3. 向量在生活中的应用。
课后作业
完成导学案后的课后作业
谢谢聆听
本课结束
课堂练习
2.如图，四边形 ABCD 是平行四边形，点 P 在 CD 上，判断下列各式是否正确。
（1）DA DP PA（×） （2）DA AB BP D（ P√） （2）AB BC CP PA（×）
3.在四边形 ABCD 中，B→C＋C→D＋D→A＝( D )
→ A.BD
→ B. AC
例3.长江两岸之间没有大桥的地方，常常通过轮渡进行运输。现有一艘船从长江南岸 A点出发，以15km/h的速度向垂直于对岸的方向行驶，同时江水的速度为向东6km/h (1)用向量表示江水速度、船速及船实际航行的速度； (2)求船实际航行的速度的大小（结果保留小数点后一位）与方向（用与江水速度间的 夹角表示，精确到1°）
向量加法运算及其几何意义shalom.ppt
2.2.1向量加法运算及其几何意义
第二十一中学 战彬彬
复习回顾： 1、向量的定义、表示方法 2、平行向量的概念 3、相等向量的概念
2.2.1向量加法运算及其几何意义
第二十一中学 战彬彬
一、向量加法的定义：
求两个向量和的运算，叫做向量的加法
G
它们之 间有什 么关系 G F为F1与 F2的合力 G
向量的加法法则
F1
E
O
C
E
F2
O
F1 A
F
E FC
O
F2 B
例1、如图，已知向量a，b， 求作向量a b
a b
练习一：
向量加法的运算律
交换律 结合律
例2、根据图示填空：
(1) a d _____________
(2) c b _____________
练习2、根据图示填空：
(1) 表示“向东走10km”b 表示”向西走5km”
（1）
a
+
a 表示
（2）
a
+
b
表示
探究：
rr r r
判断 | a + b | 与 | a的| +大|小b |
当堂达标
小结
1.向量加法的三角形法则 (要点：两向量首尾连接)
2.向量加法的平行四边形法则 (要点：两向量起点重合组 成 平行四边形两邻边) 3.向量加法满足交换律及结合律 rr rr a+ b= b+ a rr r r rr (a + b) + c = a + (b + c)
(2) c d ______________
(3) a b d _______________
第二十一中学 战彬彬
复习回顾： 1、向量的定义、表示方法 2、平行向量的概念 3、相等向量的概念
2.2.1向量加法运算及其几何意义
第二十一中学 战彬彬
一、向量加法的定义：
求两个向量和的运算，叫做向量的加法
G
它们之 间有什 么关系 G F为F1与 F2的合力 G
向量的加法法则
F1
E
O
C
E
F2
O
F1 A
F
E FC
O
F2 B
例1、如图，已知向量a，b， 求作向量a b
a b
练习一：
向量加法的运算律
交换律 结合律
例2、根据图示填空：
(1) a d _____________
(2) c b _____________
练习2、根据图示填空：
(1) 表示“向东走10km”b 表示”向西走5km”
（1）
a
+
a 表示
（2）
a
+
b
表示
探究：
rr r r
判断 | a + b | 与 | a的| +大|小b |
当堂达标
小结
1.向量加法的三角形法则 (要点：两向量首尾连接)
2.向量加法的平行四边形法则 (要点：两向量起点重合组 成 平行四边形两邻边) 3.向量加法满足交换律及结合律 rr rr a+ b= b+ a rr r r rr (a + b) + c = a + (b + c)
(2) c d ______________
(3) a b d _______________
向量的加法运算及其几何意义课件
在解析几何中，向量加法可以用于线性组合的计算。线性组 合是指一组向量的加权和，即$overset{longrightarrow}{D} = lambdaoverset{longrightarrow}{A} + muoverset{longrightarrow}{B}$，其中$lambda$和$mu$ 为实数。线性组合在解决实际问题中具有广泛的应用。
应用拓展
随着科技的进步，向量加法的应用领域将不断拓展，如人工智能、信号处理、图像处理等，为解 决实际问题提供更多有效的方法。
算法优化
随着计算技术的发展，向量加法的算法将不断优化，提高计算效率和精度，为相关领域的研究和 应用提供更好的支持。
THANKS
感谢观看
向量的加法运算及其几何意义
• 向量加法的定义与性质 • 向量加法的几何意义 • 向量加法的运算规则 • 向量加法的应用实例 • 总结与展望
01
向量加法的定义与性质
向量加法的定义
向量加法是由平行四边形法则或三角形法则定义的。在二维空间中，向量加法可以通过连接两个向量 的起点和终点，并绘制一个平行四边形来完成。在三维空间中，向量加法可以通过连接两个向量的起 点和终点，并绘制一个三角形来完成。
物理应用
向量加法在物理中有广泛的应用， 如速度、加速度、力的合成等， 通过向量加法可以更直观地理解 物理现象。
解析几何
向量加法在解析几何中也有重要 的意义，它可以用来描述平面或 空间中的点、线、面等几何对象 的位置和方向。
向量加法的未来发展
理论完善
随着数学和物理学等学科的发展，向量加法的理论体系将进一步完善，为相关领域的研究提供更 坚实的基础。
算。
03
向量加法的运算规则
二章向量的加法及几何意义说课课件
人教A版 数学4（必修）
向量加法运算及其几何意义
向量加法运算及其几何意义
教材分析
教法学法
说课流程
过程设计
课后反思
一、教材分析
（一）教材的地位及前后联系
向量是沟通代数、几何与三角函数的重要 工具. 本节课是向量运算的起始课，为后继学习 向量的其他运算以及空间向量奠定了基础. 本节内容在教材中占有极其重要的地位， 在知识体系上起着承上启下的作用.
北京
上海
广州
(二) 定义的建构
引例2 求弹簧所受的拉力的合力
F1
F1
问题2 请结合“合位移”问题和“弹簧所受拉力的合力”问 题， 试着给出向量加法的定义．
(三) 法则的探究
问题3 怎样求两个向量的和?
B
a b C
A
a+b
三角形法则
(三) 法则的探究
B a b C
a+b A
平行四边形法则
(三) 法则的探究
对于两个非零共线向量，能否通过两种加法 法则求出他们的和？ 2、方向相反 1、方向相同 a b b a
A
B
C
B
AC = a + b
C AC = a + b
A
(三) 法则的探究
问题4 两种法则有何特征？ 名称 角度 运算结果 首尾关系 三角形法则 平行四边形法则 向量 首尾相连 向量 起点相同 不共线向量
D
A
B
（六）学生代表总结发言
(七) 分层次推荐作业
1 复习教材
课本P80-83.
2 书面作业
(一)必做题 课本P91习题2.2 A组 3，4题. (二)选做题 《导与练》 P93 探究创新题
向量加法运算及其几何意义
向量加法运算及其几何意义
教材分析
教法学法
说课流程
过程设计
课后反思
一、教材分析
（一）教材的地位及前后联系
向量是沟通代数、几何与三角函数的重要 工具. 本节课是向量运算的起始课，为后继学习 向量的其他运算以及空间向量奠定了基础. 本节内容在教材中占有极其重要的地位， 在知识体系上起着承上启下的作用.
北京
上海
广州
(二) 定义的建构
引例2 求弹簧所受的拉力的合力
F1
F1
问题2 请结合“合位移”问题和“弹簧所受拉力的合力”问 题， 试着给出向量加法的定义．
(三) 法则的探究
问题3 怎样求两个向量的和?
B
a b C
A
a+b
三角形法则
(三) 法则的探究
B a b C
a+b A
平行四边形法则
(三) 法则的探究
对于两个非零共线向量，能否通过两种加法 法则求出他们的和？ 2、方向相反 1、方向相同 a b b a
A
B
C
B
AC = a + b
C AC = a + b
A
(三) 法则的探究
问题4 两种法则有何特征？ 名称 角度 运算结果 首尾关系 三角形法则 平行四边形法则 向量 首尾相连 向量 起点相同 不共线向量
D
A
B
（六）学生代表总结发言
(七) 分层次推荐作业
1 复习教材
课本P80-83.
2 书面作业
(一)必做题 课本P91习题2.2 A组 3，4题. (二)选做题 《导与练》 P93 探究创新题
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向量的加法：
B
b
ab
C
起
点
相
同
O
ar
以同一点O为起点的两个已知向量
A
ar、br 为邻边作YOACB,
uuur r r r r 则以O为起点的对角线OC就是a与b的和a b,即
r r uuur uuur uuur
a b OA OB OC
这种求向量和的方法，称为向量加法的平行四边形法则。
对于零向量与任一向量a, 我们规定
a
0
0
a
a
对于向量的加法的理解需要注意下面两点: (1)两个向量的和仍然是向量(简称和向量) (2)位移的合成是三角形法则的物理模型.
力的合成为平行四边形法则的物理模型.
rr
rr
例1.如图，已知向量 a, b，求做向量 a b 。
作法1：在平面内任取一点O，
b
uuur r uuur r 作 OA a ，AB b ，
角来表示）。
uuur uuur
解：(2)在RtVABC中，| AB | 2,| BC | 2 3
uuur uuur uuur
D
C
| AC | | AB |2 | BC |2
22 (2 3)2
4 Q tan CAB 2 3 3
2
CAB 60o.
A
B
答：船实际航行速度为4km/h,方向与水的流速间的夹角为60º。
连结OC，则 OC OA OB a b.
O
a
A
ab
b
B
C
平行四边形法则
思考：1如何求共线向量的和？
ar
r a
b
（1）
A
Br r
C
ab
b
（2）
C r rA
B
ab
r 2 a + b 的模与的模有何关系？
rr
rr r r
若a，b方向相同，则 | a b || a | | b |
rr
rr r r
向量的加法
看书 P89~92（限时6分钟）
学习目标：
通过实例，掌握向量的加法运 算及理解其几何意义。
熟练运用加法的“三角形法则” 和“平行四边形”法则
由于大陆和台湾没有直航，因此要从台湾去上海探亲，乘飞机 要先从台北到香港，再从香港到上海，这两次位移之和是什么？
上海 C
香港 B
A 台北
向量的加法：
练习：限时2分钟
1.化简: AB DF CD BC FA
2.已
知|
a|
6,|
b |
14,|
c|
3, 则
|
a
b
c|
有
最大值和最小值吗?
课后练习： P101习题1、2、3
a r b
首
C
尾
相
ab
r接
b
A
a
B
rr
uuur r uuur r
已知非零向量 a 、b , 在平面内任取一点A，作 AB a, BC b,
uuur r r
rr
则向量 AC叫做a与b的和，记作a b,即
r r uuur uuur uuur
a b AB BC AC
这种求向量和的方法，称为向量加法的三角形法则。
最小值各是什么
探究：数的加法满足交换律和结合律，即对任意a,b R ，有 a b b a,
(a br )r c a (b c).
那么对任意向量 a, b 的加法是否也满足交换律和结合律？
请画图进行探索。
D
B
b
r a ab
O
r a
C
b
A
abc
c
bc
A
ab
a
B
C
b
例2.长江两岸之间没有大桥的地方，常常通过轮船进行运输，
r
则
uuur r r OB a b
。
a
O
a
Ar b
ab
B
三角形法则
rr
rr
例1.如图，已知向量 a, b，求做向量 a b 。
作法2：在平uuu面r 内r 任取uuur一点r O，
b
作 OA a ，OB b ，
Y 以OA、OB为邻பைடு நூலகம்做 OACB ，
r a
uuur uuur uuur r r
以AD、AB为邻边作YABCD,
uuur 则AC表示
船实际航行的速度.
例2.长江两岸之间没有大桥的地方，常常通过轮船进行运输， 如图所示，一艘船从长江南岸A点出发，以2 3 km/h的速度向
垂直于对岸的方向行驶，同时江水的速度为向东2km/h.
（1）试用向量表示江水速度、船速以及船实际航行的速度； （2）求船实际航行的速度的大小与方向（用与江水速度的夹
rr
若a，b方向相反，则 | a b || a | | b（| 或 | b | | a |）
rr
rr r r
若a，b不共线，则 r| ar b || ra | r | b |r r
对任意两个向量a，b，有 | a b || a | | b |
已
知|
a |
8,|
b |
6,
则
|
a
b|
的最大值和
如图所示，一艘船从长江南岸A点出发，以2 3 km/h的速度向
垂直于对岸的方向行驶，同时江水的速度为向东2km/h.
（1）试用向量表示江水速度、船速以及船实际航行的速度；
（2）求船实际航行的速度的大小与方向（用与江水速度的夹
角来表示）。
D
C
解：
A
B
uuur
uuur
（1）如图所示，AD表示船速，AB表示水速，