第二节 多元函数的偏导数
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第二节 偏导数
V k , T V, T P P k
从而
P V
V T
T P
kT V2
k P
V k
kT PV
1
.
2019年12月24日星期二
徐州工程学院数理学院
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警告各位！
偏导数 z 是一个整体记号, 不能拆分. x
不能像一元函数那样将 z , z 看成是
2019年12月24日星期二
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1997年研究生考题, 选择, 3分
f
(
x,
y)
x2
xy
y2
( x, y) (0,0)在点(0,0)处( C
).
0 ( x, y) (0,0)
A. 连续,偏导数存在;
B. 连续,偏导数不存在; C. 不连续,偏导数存在; D. 不连续,偏导数不存在.
x y
z 与 x , y 的商.
2019年12月24日星期二
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例7 求 u e x xy2z3 的偏导数 .
解:
u e xxy2z3 (1 y2 ) ;
x
u e xxy2z3 2x y ; y
u e xxy2z3 (3z2 ) . z
函数有相应的增量 (称为关于x的偏增量), 即
x z f ( x0 x, y0 ) f ( x0 , y0 )
如果极限
lim x z lim f ( x0 x, y0 ) f ( x0 , y0 )
x0 x x0
第 二 节 偏 导 数
2 z 2 z 如果函数z f ( x, y)的两个二阶混合偏导数 , xy yx
定理7.1
在区域D内连续，那么在该区域 内这两个二阶混合偏导 数必
相等.
2 2 2 (0,0,1), f xz (1,0,2), 例6 设f ( x, y, z) xy yz zx , 求f xx
§7.2 偏导数
偏导数的概念 偏导数的几何意义
偏导数与连续的关系
高阶偏导数 小结 思考与练习
偏导数的概念
设函数z f ( x, y)在点（x0 , y0 )的某一邻域内有定义， 当y固定
在y0 , 而x在x0处有增量x时, 相应的函数有增量
x z f ( x0 x, y0 ) f ( x0 , y0 )
例1 解
求z x 2 sin 2 y的偏导数。
为求 z , 视y看作常数，对 x求导，得 x
z 2 x sin 2 y x
z z 2 x 2 cos 2 y 为求 , 视x看作常数，对y求导，得 y y
例2 解
设f ( x, y ) x y x 2 y 2 , 求f x(3,4), f y (0,5)
偏导数与连续的关系
我们知道，一元函数 y f ( x)在x0可导，则它在该点必连 续.
但对于二元函数 z f ( x, y),即使在点 ( x0 , y0 )的两个偏导数都存在 ,
函数f ( x, y)在点（x0 , y0 )不一定连续。
x2 y 2 例如 f ( x, y ) 1
z x,
f x ( x, y),
z , y
f ( x, y ) , y
z y,
f y( x, y),
定理7.1
在区域D内连续，那么在该区域 内这两个二阶混合偏导 数必
相等.
2 2 2 (0,0,1), f xz (1,0,2), 例6 设f ( x, y, z) xy yz zx , 求f xx
§7.2 偏导数
偏导数的概念 偏导数的几何意义
偏导数与连续的关系
高阶偏导数 小结 思考与练习
偏导数的概念
设函数z f ( x, y)在点（x0 , y0 )的某一邻域内有定义， 当y固定
在y0 , 而x在x0处有增量x时, 相应的函数有增量
x z f ( x0 x, y0 ) f ( x0 , y0 )
例1 解
求z x 2 sin 2 y的偏导数。
为求 z , 视y看作常数，对 x求导，得 x
z 2 x sin 2 y x
z z 2 x 2 cos 2 y 为求 , 视x看作常数，对y求导，得 y y
例2 解
设f ( x, y ) x y x 2 y 2 , 求f x(3,4), f y (0,5)
偏导数与连续的关系
我们知道，一元函数 y f ( x)在x0可导，则它在该点必连 续.
但对于二元函数 z f ( x, y),即使在点 ( x0 , y0 )的两个偏导数都存在 ,
函数f ( x, y)在点（x0 , y0 )不一定连续。
x2 y 2 例如 f ( x, y ) 1
z x,
f x ( x, y),
z , y
f ( x, y ) , y
z y,
f y( x, y),
-多元函数的偏导数
偏导数存在 连续. 反之成立吗？
例如： z x2 y2 在（0,0）连x0
x
在（0,0）处对 x 不可导。
同理在(0,0)点对 y 的偏导数也不存在.
4、偏导数的几何意义 设 M0( x0 , y0 , f ( x0 , y0 )) 为曲面z f ( x, y) 上一点, fx ( x0, y0 ), f y ( x0, y0 )在几何上表示
偏导函数在点 ( x0, y0 ) 处的函数值。
偏导数的概念可以推广到二元以上函数
如 u f ( x, y, z)在 ( x, y, z)处
fx(x, y, z)
lim
x0
f ( x x,
y,z) x
f (x, y,z),
f
y
(
x,
y,
z
)
lim
y0
f ( x, y y, z) y
f (x, y,z),
f ( x, y, z) lim f ( x, y, z z) f ( x, y, z) .
z
z0
z
例 1 求 z x2 3xy y2在点(1,1) 处的偏导 数．
解 z 2x 3y ; z 3x 2 y .
x
y
z x
x1
y1
21 31 5 ,
z y
x1 y1
31 21 5 .
有关偏导数的几点说明： １、偏导数u 是一个整体记号，不能拆分;
x
* ２、求分界点处的偏导数要用定义求；
例
5
设
f
( x,
y)
xy x2 y2
0
求 f ( x, y)的偏导数.
( x, y) (0,0) ( x, y) (0,0)
第二节：偏导数
2 f 2z z = , 或 zx y , 或 fx y ( x, y). ,或 xy xy y x
.
x z z 例 3 设z = arcsin 2 ,求 , . 2 x y x +y
解
z = y
1 x2 1 2 x + y2
′ x x2 + y2 y
x2 + y2 (xy) = | y| ( x2 + y2 )3
x 2 , y>0 2 x +y = x 2 , y<0 2 x +y
理 以 义 数 同 可 定 函 z = f ( x, y)对 变 y 的 导 , 自 量 偏 数
z f 记作 , , z y 或 f y ( x, y). y y
上述关于二元函数偏导数的定义, 上述关于二元函数偏导数的定义,可推广到 n 元函数的情形. 元函数的情形. 例如: 例如:u = f ( x , y , z )
第二节 偏导数
一,偏导数的定义及其计算法 二,高阶偏导数 三,小结
一元函数导数概念的回顾 定义: 的某个邻域内有定义, 定义:设 y = f (x) 在点 x0 的某个邻域内有定义, 当自变量 x 在 x0 处取得增量 x ( x0 + x仍在该邻域内) 相应的函数也取得增量 y = f ( x0 + x) f ( x0 )
y= y0
y= y0
如果函数 z = f ( x, y)在区域 D内任一点( x, y)处对
x的偏导数都存在,那么这个偏导数还是 x, y的函数, 的偏导数都存在, 的函数, 的偏导函数, 它就称为函数 z = f ( x, y)对自变量 x的偏导函数,
简称为偏导数. 简称为偏导数. z f , zx或 fx ( x, y) 记为 , x x
多元函数的偏导数
z x 2 cos 2 y 2 x
z 解 因为 2 x sin 2 y, x
所以
dz 2x sin(2 y)dx 2x2 cos(2 y)dy
2
例3 求函数 z 1 x 解 因为
y 2 4 的全微分 dz
z 2 x x x 2 1 x 2 1 x2
2 zy x 2y 4 z yy 2 x 2y
z yx
2
x 2y
2
例4 求下列二元函数的所有二阶偏导数
2
解
ze
x2 y
z x2 y e 2 xy x 2 z x2 y 2 2 x2 y e 4 x y 2 ye 2 x
z x2 y e x2 y 2 z 4 x2 y x e 2 y
z 相对于 x 以及 z 相对于 y 的瞬时变化率——偏导数
z f x, y 为例，我们分别讨论：
偏导数的定义
设函数 若
x 0
lim
z f x, y 在点 x0 , y0 的某一邻域内有定义， f x0 x, y0 f x0 , y0
函数
偏导数的定义
对一元函数：
导数
f x0 x f x0 f x0 lim x 0 x
y f x
描述了函数在
x x0 处的瞬时变化率，
0
它的几何意义就是函数曲线上点
x , f x 处的切线的斜率。
0
对于多元函数，我们同样感兴趣它在某处的瞬时变化率问题， 以二元函数
所以
z 2y y x 2 y 2 4 y2 4 x y dz dx dy 1 x2 y2 4
z 解 因为 2 x sin 2 y, x
所以
dz 2x sin(2 y)dx 2x2 cos(2 y)dy
2
例3 求函数 z 1 x 解 因为
y 2 4 的全微分 dz
z 2 x x x 2 1 x 2 1 x2
2 zy x 2y 4 z yy 2 x 2y
z yx
2
x 2y
2
例4 求下列二元函数的所有二阶偏导数
2
解
ze
x2 y
z x2 y e 2 xy x 2 z x2 y 2 2 x2 y e 4 x y 2 ye 2 x
z x2 y e x2 y 2 z 4 x2 y x e 2 y
z 相对于 x 以及 z 相对于 y 的瞬时变化率——偏导数
z f x, y 为例，我们分别讨论：
偏导数的定义
设函数 若
x 0
lim
z f x, y 在点 x0 , y0 的某一邻域内有定义， f x0 x, y0 f x0 , y0
函数
偏导数的定义
对一元函数：
导数
f x0 x f x0 f x0 lim x 0 x
y f x
描述了函数在
x x0 处的瞬时变化率，
0
它的几何意义就是函数曲线上点
x , f x 处的切线的斜率。
0
对于多元函数，我们同样感兴趣它在某处的瞬时变化率问题， 以二元函数
所以
z 2y y x 2 y 2 4 y2 4 x y dz dx dy 1 x2 y2 4
第二节 偏导数
f ( x Δx , y , z) f ( x , y , z)
fx(x
,
y
,
z)
lim
Δx 0
Δx
f ( x , y Δy , z) f ( x , y , z)
fy(x
,
y
,
z)
lim
Δy 0
Δy
f ( x , y , z Δz) f ( x , y , z)
fz(x
,
y
,
z)
lim
函数在此点连续
• 混合偏导数连续
与求导顺序无关
2. 偏导数的计算方法 • 求一点处偏导数的方法 • 求高阶偏导数的方法
先代后求 先求后代 利用定义
逐次求导法
(与求导顺序无关时， 应选择方便的求导顺序)
第九章 第二节
24
f
(
x,
y)
x2
xy
y
2
( x , y) (0 , 0)
0 ( x , y) (0 , 0)
依定义知在 (0 , 0) 处，fx (0 , 0) f y (0 , 0) 0
但函数在该点处并不连续，
所以偏导数存在 连续
第九章 第二节
13
例5 理想气体的状态方程 pV = RT (R 为常数) ，
y( y2 x2 ) ( x2 y2 )2
当 ( x , y) (0 , 0) 时，
f (0 Δx , 0) f (0 , 0)
fx
(0
,
0)
lim
Δx0
Δx
0
第九章 第二节
11
fx(x
,
y)
y(
y2
x2
)
8-2多元函数的偏导数
解(方法1) 先求后代
z 2x3y,
x
z
3x2y
y
z
21328,
x (1, 2)
z
31227
y (1, 2 )
(方法2) 先代后求
z y 2 x2 6x4
z x
(1,
dz(x,2) 2 ) dx
x1ddx(x26x4)x1
(x0, y0)处对x 的偏导数，记为
z
f
; x ( x0 , y0 )
; x ( x0, y0 )
zx ( x0 , y0 ) ;
fx(x0,y0).
注
fx(x0, y0)
lim f(x0 x,y0)f(x0,y0) d
x 0
x
dx
f
(x,
y0)
xx0
同样可定义 函数 f(x, y) 在点(x0, y0) 对 y 的偏导数
例9 证明函数
1 u ,r
x2y2z2满足拉普拉斯
r
方程
2u 2u 2u u 0
在点 (x , y , z) 连续时, 有
f x y z ( x ,y , z ) f y z x ( x ,y , z ) f z x y ( x ,y , z ) f x z y ( x , y , z ) f y x z ( x , y , z ) f z y x ( x , y , z )
第八章
第二节 多元函数的偏导数
一、 偏导数的概念 二 、偏导数的计算 三 、偏导数的几何意义 四 、高阶偏导数
一、偏导数的概念
1.引例 弦线的振动问题. 研究弦在点 x0 处的振动 速度与加速度 , 就是将 振幅 u(x, t) 中的 x 固定 于x0 处, 求 u(x0, t) 关于 t 的一阶导数与二阶导数.
多元函数的偏导数与全微分
f ( x0 x , y0 ) f ( x0 , y0 ) 如果 lim 存在，则称 x 0 x 此极限为函数 z f ( x , y )在点( x0 , y0 ) 处对 x 的
偏导数，记为
z f ， ，z x x0 x x0 x x x y y y y
一、偏导数的概念 二、偏导数的计算 三、全微分的概念与应用
1、偏导数的定义及其计算法
定义 1 设函数 z f ( x , y )在点 ( x0 , y0 ) 的某一 邻域内有定义，当 y 固定在 y0 而 x 在 x0 处有增 量 x 时，相应地函数有增量 f ( x0 x, y0 ) f ( x0 , y0 ) ，
说明：多元函数的各偏导数存在并不能保证全
微分存在，
定理２（充分条件）
z z 导数 、 都存在，且在点( x , y )可微分．
上述两个定理也完全适用于三元及三元以上的多 元函数.
如果函数 z f ( x , y )的偏
x z arctan 例 5 计算函数 y 的全微分.
f ( x, y ) 可以证明，对本例中的函数f (x,y), ( x , ylim ) ( 0 , 0 ) 不存在，因此它在原点不连续,但在原点的两个偏 函数都存在，这一点和一元函数是不同的.在一元 函数中，我们证明了函数可导则一定连续。
2、高阶偏导数
函数 z f ( x , y ) 的二阶偏导数为
x2 y2 0
2 2
.
x y 0
f x (0,0) f y (0,0) 0
x y z [ f x (0,0) x f y (0,0) y ] , 2 2 ( x ) ( y )
(0,0) ， 如果考虑点 P ( x , y ) 沿着直线y x 趋近于
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f ( x 0 , y 0 y ) f ( x 0 , y0 )
y 0
y
若函数 z = f ( x , y ) 在域 D 内每一点 ( x , y ) 处对 x
或 y 偏导数存在 , 则该偏导数称为偏导函数, 也简称为
偏导数 , 记为
z f , , z y , f y ( x, y ) , f 2 ( x, y ) y y
2
类似可以定义更高阶的偏导数. 例如，z = f (x , y) 关于 x 的三阶偏导数 为
z = f (x , y) 关于 x 的 n –1 阶偏导数 , 再关于 y 的一阶 偏导数为
( y
n z ) n 1 x y
例8. 求函数 z e
x2y
z x2y 解: e x
在点 (x , y , z) 连续时, 有
说明: 因为初等函数的偏导数仍为初等函数 , 而初等 函数在其定义区域内是连续的 , 故求初等函数的高阶导
数可以选择方便的求导顺序.
例10. 证明函数
满足拉普拉斯
2u 2u 2u 方程 u 2 2 2 0 x y z
证：
分子与分母的商 !
p V T RT 1 V T p pV
例5 . 求 z
3
x y 在点(0,0) 处的偏导数.
2 2 z x y 例6. 求 在点(0,0) 处的偏导数.
x2 y , ( x， y ) (0, 0) 4 2 例7. 求 z f ( x, y ) x y 0 , ( x， y ) (0, 0)
2z
例3. 求 的偏导数 . 2x x r 解: 2 2 2 x 2 x y z r r z z r
(R 为常数) , 例4. 已知理想气体的状态方程 求证: p V T 1 V T p RT p RT 2 , 证: p 说明: 此例表明, V V V 偏导数记号是一个 RT V R V , p T p 整体记号, 不能看作
2
2
二 者 不 等
定理. 若 f x y ( x,y ) 和 f y x ( x,y ) 都在点 ( x0 , y0 ) 连续 , 则
f x y ( x0 , y 0 ) f y x ( x0 , y 0 )
本定理对 n 元函数的高阶混合导数也成立.
(证明略)
例如, 对三元函数 u = f (x , y , z) , 当三阶混合偏导数
解法2: z
2 x 6x 4 y 2
z x (1, 2)
z
2 1 3 y y x 1
z y (1, 2)
求证 例2. 设 z x y ( x 0, 且 x 1 ） ， x z 1 z 2z y x ln x y 证:
x z 1 z y x ln x y
z . 的二阶偏导数及 2 y x z 2 e x2y y 2z 2 e x2y x y
3
x y 2 2 xy 2 , x y 0 2 例9 f ( x , y ) x y 2 2 0, x y 0 4 2 2 4 x 4x y y 2 2 y , x y 0 2 2 2 f x ( x, y ) (x y ) 0, x2 y2 0 x4 4x2 y 2 y 4 2 2 x , x y 0 2 2 2 f y ( x, y ) (x y ) 0, x2 y2 0 y f x (0, y ) f x (0, 0) lim 1 f x y (0,0) lim y 0 y y 0 y f y ( x, 0) f y (0, 0) x 1 lim f y x (0,0) lim x 0 x x 0 x
f ; zx x ( x0 , y 0 )
( x0 , y 0 )
;
f ( x0 x, y0 ) f ( x0 , y0 ) 注意: f x ( x0 , y0 ) lim x 0 x
f1( x0 , y0 ) .
同样可定义对 y 的偏导数
f y ( x0 , y0 ) lim
偏导数的概念可以推广到二元以上的函数 . 例如, 三元函数 u = f (x , y , z) 在点 (x , y , z) 处对 x 的 偏导数定义为
x x
x
x
f y ( x, y , z ) ?
f z ( x, y , z ) ?
二元函数偏导数的几何意义: f d f ( x, y 0 ) x x0 x x0 x y y0 dx
z
M0
z f ( x, y ) 在点 M0 处的切线 是曲线 y y0 M 0Tx 对 x 轴的斜率.
f y
是曲线
x x0 y y0
Tx
y0
Ty
o x
y
d f ( x0 , y) y y0 dy
x0
在点M0 处的切线 M 0T y 对 y 轴的
斜率.
例1 . 求 z x 2 3x y y 2 在点(1 , 2) 处的偏导数. z z 2x 3y , 3x 2 y 解法1: x y z z y (1, 2) x (1, 2)
谢 谢！
二、高阶偏导数
设 z = f (x , y)在域 D 内存在连续的偏导数
z z f x ( x, y ) , f y ( x, y ) x y 若这两个偏导数仍存在偏导数， 则称它们是z = f ( x , y )
的二阶偏导数 . 按求导顺序不同, 有下列四个二阶偏导
数:
2 z z z z ( ) f x y ( x, y ) ( ) 2 f x x ( x, y ); y x x y x x x 2 z 2z z z ( ) f y x ( x, y ); ( ) 2 f y y ( x, y ) x y y x y y y
1 3 x2 1 3 x r 2u 4 3 5 r r x2 r 3 r x 2u 1 3 y2 2u 1 3 z2 利用对称性 , 有 2 3 5 , 3 5 2 z r r y r r 2u 2u 2u 3 3( x2 y2 z 2 ) 2 2 0 2 3 5 x y z r r
2
z x2y e 2 x 2 2 z z x2y x2y 2 e 4 e y x y2 3 z 2z x2y ( ) 2e 2 x y x y x 2z 2z , 但这一结论并不总成立. 注意:此处 x y y x
在点(0,0) 处的偏导数.
注意： 函数在某点各偏导数都存在, 但在该点不一定连续. 例如
xy , x2 y2 0 2 z f ( x, y ) x y 2 2 2 0 , x y 0
显然
0 0
在上节已证 f (x , y) 在点(0 , 0)并不连续!
第二节 偏 导 数
一、 偏导数概念及其计算 二 、高阶偏导数
一、 偏导数定义及其计算法 定义1. 设函数 z f ( x, y ) 在点 ( x0 , y0 ) 的某邻域内
极限
x0 x
x
x0
存在, 则称此极限为函数 z f ( x, y ) 在点 ( x0 , 0 ) 对 x 的偏导数，记为
r2
内容小结
1. 偏导数的概念及有关结论
• 定义; 记号; 几何意义
• 函数在一点偏导数存在 • 混合偏导数连续 2. 偏导数的计算方法 • 求一点处偏导数的方法 • 求高阶偏导数的方法 函数在此点连续 与求导顺序无关 先代后求 先求后代 利用定义 逐次求导法
(与求导顺序无关时, 应选择方便的求导顺序)