概率密度函数
概率密度函数求概率
概率密度函数求概率
概率密度函数是一种重要的概率分布模型，它可以用来求某事件发生的概率。
概率密度函数是一个实值函数，它表示某事件在某一范围内发生的概率。
它主要用来求随机变量的概率分布情况，从而推断该随机变量的概率分布特征。
概率密度函数的求概率方法是：首先，根据随机变量的概率密度函数，求出该随机变量在某一范围内的概率密度值；其次，根据概率密度函数的定义，将概率密度值与范围的长度相乘，得出该范围内事件发生的概率；最后，如果要求求出某一范围外的概率，则可以将概率密度函数的值相加，得出该范围外事件发生的概率。
概率密度函数的求概率方法简单易行，可以准确地求出某事件发生的概率，因此它在数理统计学中有着重要的应用。
它可以用来求出某种状况下的概率，从而更好地预测实际事件的发生情况，为决策者提供重要的参考依据。
概率密度函数的性质
19
即
0,
x0
F
(
x)
x2 , 2 2x 1 x2 ,
0 x1 1 x 2
2
1,
x2
对连续型随机变量，若已知 Fx ，我们通过求导
也可求出 px.
20
例6 设X是连续性随机变量，其分布密度为
px 0A 8x 3x2
x
面积为1
14
例1 设有函数
sin x 0 x
F(x)
0 其它
试说明 Fx 能否是某个随机变量的分布函数.
解： 注意到函数 Fx 在 [ 2, ] 上下降，
不满足性质(1)，故 Fx 不能是分布函数.
或者
F() lim F(x) 0
x
不满足性质(2)，
A
由P(B )=1, 不能推出 B = S 称A 为几乎不可能事件，B 为几乎必然事件.
7
p (x) 要注意的是: 密度函数
p(x) 在某点处 a的高度
1
0
x p(a) 并不是 X a 的概率.
但是这个高度越大，则X取a
附近的值的概率就越大. 也可以说，在某点密度曲线
的高度反映了概率集中在该点附近的程度.
本节将要用到由定积分变上限确定的函数及其 导数，还要用到指数函数及图形特点等知识。
2
定义1、 对于随机变量X，若存在非负函数
px x , 使对任意实数 x , 都有
P( X x)＝ x p(t)dt
则称X为连续型随机变量， p x为X的概率密度函数，
简称密度函数或密度.
lim P( x X x x)
概率密度函数的常用公式总结
概率密度函数的常用公式总结一、概率密度函数（Probability Density Function, PDF）的定义和基本性质概率密度函数是概率论中一种常用的工具，用于描述随机变量在每个取值点上的概率密度。
对于连续型随机变量，其概率密度函数满足以下性质：1. 非负性：对于任意的取值x，概率密度函数f(x)始终大于等于0，即f(x)≥0。
2. 归一性：对于整个取值空间，即对于所有可能的x，概率密度函数的积分等于1，即∫f(x)dx=1。
3. 概率计算：对于给定的区间[a, b]，随机变量落在该区间内的概率可以通过对概率密度函数在该区间上的积分求得，即P(a≤X≤b)=∫[a,b]f(x)dx。
二、概率密度函数的常用公式总结1. 均匀分布（Uniform Distribution）：均匀分布是最简单的连续型分布之一，其概率密度函数在一个区间[a, b]上恒定为常量，可以用如下公式表示：f(x) = 1 / (b - a)，a ≤ x ≤ b其中a和b分别为区间的下界和上界。
2. 正态分布（Normal Distribution）：正态分布是自然界中广泛存在的一种分布，也称为高斯分布。
它的概率密度函数可以用如下公式表示：f(x) = 1 / (σ√(2π)) * e^(-(x-μ)² / (2σ²))其中μ为均值，σ为标准差，e为自然对数的底。
3. 指数分布（Exponential Distribution）：指数分布是一种描述无记忆性随机事件发生的概率分布，其概率密度函数可以用如下公式表示：f(x) = 1 / λ * e^(-λx)，x ≥ 0其中λ为事件发生的速率参数。
4. 伽马分布（Gamma Distribution）：伽马分布是指数分布的一种推广，其概率密度函数可以用如下公式表示：f(x) = 1 / (Γ(k)θ^k) * x^(k-1) * e^(-x/θ)，x ≥ 0其中Γ(k)为伽马函数，k为形状参数，θ为尺度参数。
概率密度函数的分布特点
概率密度函数的分布特点概率密度函数的分布特点概率密度函数（Probability Density Function，简称PDF）是在统计学中常用的一种工具，用于描述随机变量的分布情况。
它在研究概率论和数理统计中起着重要的作用。
通过分析PDF的分布特点，我们可以更好地理解随机变量的概率分布。
在本文中，我将讨论概率密度函数的分布特点，并分享我的观点和理解。
我将首先介绍概率密度函数的基本概念，然后逐个探讨一些常见的概率密度函数，并分析它们的分布特点。
一、基本概念概率密度函数是描述连续随机变量分布的函数。
它是随机变量在某个取值处的概率密度，表示在该取值点附近的概率分布情况。
概率密度函数通常用f(x)表示，其中x为随机变量的取值。
概率密度函数具有以下特点：1. 非负性：对于所有的x，概率密度函数的值都是非负的，即f(x)≥0。
2. 正则性：概率密度函数的积分等于1，即∫f(x)dx=1，其中积分范围为整个样本空间。
3. 概率解释：在某个区间[a，b]上，随机变量落在该区间内的概率等于概率密度函数在该区间上的积分，即P(a≤X≤b)=∫f(x)dx。
二、常见的概率密度函数及其分布特点1. 均匀分布（Uniform Distribution）：均匀分布是一种简单且常见的概率分布形式。
在均匀分布中，随机变量在一个区间上的取值概率是相等的。
概率密度函数在该区间内保持常数，而在区间外为0。
均匀分布的概率密度函数可以表示为f(x) = 1/(b-a)，其中a和b分别为区间的上下限。
均匀分布的特点是：- 概率密度函数为常数，表示随机变量在区间上的概率均等。
- 区间越宽，概率密度越小；区间越窄，概率密度越大。
- 均匀分布的期望值为(a+b)/2，方差为(b-a)^2/12。
2. 正态分布（Normal Distribution）：正态分布是一种非常重要的概率分布，在自然界和人类社会中广泛存在。
在正态分布中，随机变量的取值呈现对称的钟形曲线。
《概率密度函数》课件
期望和方差
总结词
概率密度函数的期望值和方差描述了随机变量的中心趋势和离散程度。
详细描述
期望值是概率密度函数在定义域上的积分，表示随机变量的平均值或中心趋势。方差则描述了随机变 量取值离散程度的大小，即各个取值与期望值的偏离程度。期望值和方差是概率密度函数的重要特征 ，用于描述随机变量的统计特性。
二项分布
01
二项分布适用于描述伯努利试 验中成功的次数，例如抛硬币 的结果、遗传学中的基因型等 。
02
二项分布的概率密度函数是 f(k)=C(n, k)p^k(1-p)^(n-k) ，其中n是试验次数，k是成功 的次数，p是每次试验成功的 概率。
03
二项分布在统计学、生物学和 经济学等领域有广泛应用，例 如在可靠性工程、市场调查等 领域。
02
常见概率密度函数
正态分布
正态分布是一种常见的概率密 度函数，其概率密度曲线呈钟 形，对称轴为均值所在直线。
正态分布具有两个参数，即 均值和标准差，它们决定了
分布的形状和范围。
在自然界和社会现象中，许多 随机变量的概率分布都服从正 态分布，例如人类的身高、考
试分数等。
指数分布
01
指数分布适用于描述独立随机事件的时间间隔，例如电子元件 的寿命、排队等待时间等。
概率密度函数是微积分中连续函数概念在概率论中的推广。在微积分中，连续函 数可以用其导数描述其变化率；而在概率论中，概率密度函数描述了随机变量取 值在某个区间的概率与该区间长度的关系。
概率密度函数的积分（即概率质量函数）与微积分中的定积分有相似的性质和计 算方法。
概率密度函数-精品
至少有1只失效的概率。
解
1、 1k
x2d x
100
k
1 x 100
k 100
k100
2. PX150 100150x2d x 10(01 1 )1
100
100150 3
3、设Ai “第 i只晶体管150h 失效” i1,2,3,4. 10
P A iP X15 0 13
由于 A1 A2 A3 A4 相互独立， 则所求的概率为 P(A1UA2UA3UA4)1P(A 1UA 2UA 3UA 4) 1 P (A 1 )P (A 2 )P (A 3 )P (A 4 )
PXDpxdx
D
对连续型随机变量X, 有
P ( a X b ) P ( a X b )
P(aXb) P(aXb)
9
例1 某种晶体管的寿命（h)是随机变量X，其密度
px0kx2
x100 other
求 1、常数 k .
2、 该晶体管不能工作150 h 的概率。
3、一台仪器中装有4只此种晶体管，工作150h后，
p (x)
F (x)
0x x
12
连续性随机变量分布函数的性质
(1) Fx 是连续的单增函数
0 F x 1x ,
F(x)＝x p(t)dt px0
F (x)
p (x)
1
F (x)
0x x
0
x
13
（2）若 px 在点x 处连续，则有 F(x)px
pxlimFxxFx
x 0
x
PxXxx
lim
第五节
第二章
连续性随机变量
一 、概率密度函数的概念 二、概率密度函数的性质 三、连续型随机变量的分布函数
概率密度函数
概率密度函数（Probability Density Function, PDF）简介概率密度函数（Probability Density Function, PDF）是概率论和统计学中一个重要的概念。
它用于描述连续型随机变量的概率分布情况。
与离散型随机变量的概率质量函数（Probability Mass Function, PMF）相对应，PDF能够告诉我们随机变量落在不同取值范围内的概率密度。
在统计学中，概率分布描述了随机变量各个取值的可能性大小。
而概率密度函数则通过计算不同取值点的密度来表示连续型随机变量的概率分布。
PDF的图像通常是一条连续的曲线。
曲线下面的面积表示某个区间内随机变量落在该区间的概率。
特性概率密度函数具有以下特性：1.非负性：概率密度函数的值在整个定义域内都是非负的；2.归一性：概率密度函数在整个定义域内的积分等于1，即它表示的是完整的概率分布；3.累积性：概率密度函数的累积分布函数（Cumulative Distribution Function, CDF）是对概率密度函数进行积分得到的，可以通过概率密度函数来计算在某个区间内的概率。
数学表示概率密度函数通常用大写字母的“f”来表示，其数学表达形式为：概率密度函数公式概率密度函数公式其中，x为随机变量的取值。
概率密度函数f(x)可以描述随机变量在不同取值点上的概率密度情况。
举例说明为了更好地理解概率密度函数，我们以正态分布为例进行说明。
正态分布（Normal Distribution）是统计学中常用的一种连续型概率分布。
其概率密度函数可以表示为：正态分布概率密度函数正态分布概率密度函数其中，μ为均值，σ为标准差。
正态分布的概率密度函数在均值处达到最大值，呈钟形曲线。
通过调整均值和标准差的值，可以改变正态分布的形状、峰值的位置和宽度。
以一个具体的例子说明，假设某城市的男性身高符合正态分布，均值为175cm，标准差为5cm。
概率密度函数和概率函数
概率密度函数和概率函数概率密度函数和概率函数是概率论中两个重要的概念。
它们是描述随机变量的概率分布的函数，可以用来计算随机变量在某个区间内的概率。
概率密度函数是连续型随机变量的概率分布函数。
它描述了随机变量在某个区间内取值的概率密度，即单位区间内随机变量取值的平均概率。
概率密度函数通常用f(x)表示，其定义为：f(x) = lim Δx→0 P(x ≤ X ≤ x + Δx) / Δx其中，P(x ≤ X ≤ x + Δx)表示随机变量X在区间[x, x + Δx]内取值的概率，Δx表示区间的长度。
概率密度函数具有以下性质：1. f(x) ≥ 0，即概率密度函数的取值非负。
2. ∫f(x)dx = 1，即概率密度函数在整个定义域上的积分等于1。
3. 对于任意的a ≤ b，P(a ≤ X ≤ b) = ∫ab f(x)dx，即随机变量X在区间[a, b]内取值的概率等于概率密度函数在该区间上的积分。
概率函数是离散型随机变量的概率分布函数。
它描述了随机变量取某个值的概率，即随机变量的取值与其概率之间的对应关系。
概率函数通常用P(X = x)表示，其定义为：P(X = x) = P({ω | X(ω) = x})其中，X(ω)表示随机变量X在样本空间中的取值，{ω | X(ω) = x}表示随机变量X取值为x的样本点集合。
概率函数具有以下性质：1. 0 ≤ P(X = x) ≤ 1，即随机变量取某个值的概率非负且不超过1。
2. ∑P(X = x) = 1，即随机变量取所有可能值的概率之和等于1。
3. 对于任意的a ≤ b，P(a ≤ X ≤ b) = ∑a≤x≤b P(X = x)，即随机变量X 在区间[a, b]内取值的概率等于随机变量取区间内所有可能值的概率之和。
概率密度函数和概率函数是描述随机变量概率分布的两个重要函数。
它们可以用来计算随机变量在某个区间内取值的概率，是概率论中不可或缺的工具。
概率密度函数
3、设Ai “第 i只晶体管150h 失效” i 1, 2, 3, 4. 10
P Ai
PX
150
1 3
由于 A1 A2 A3 A4 相互独立， 则所求的概率为
P( A1 A2 A3 A4 ) 1 P(A1 A2 A3 A4 )
1 P( A1)P( A2 )P( A3)P( A4 ) 1 ( 2)4 65
x
x
pt d
t
求 Fx.
对 x < 0， Fx 0
对 0 x 1,
F(x) 2 x 1 dt 2 arcsin x
0 1t2
对 x 1, Fx 1
0
x0
即
F
(
x)
2
arcsin
x
0 x 1
1
x 1
18
例5 x, 0 x 1
p (x)
F ( x)
0x
x
12
连续性随机变量分布函数的性质
(1) Fx是连续的单增函数
0 Fx 1 x ,
F(x)＝ x p(t)dt px 0
F ( x)
p (x)
F ( x)
1
0x
x
0
x
13
（2）若 px在点x 处连续，则有 F(x) px
0 x1 x2 x
px lim Px X x x
x0
x
若不计高阶无穷小，有： Px X x x px x
这表示X落在小区间[x,x+Δx] 上的概率近似地等于pxx.
5
对 p(x) 的进一步理解:
概率密度函数
概率密度函数概率密度函数（Probability Density Function，简称PDF）是统计学中描述随机变量的概率分布的函数。
PDF可以用来描述连续型随机变量各个取值的概率分布情况。
1. 概念和定义概率密度函数是用来描述随机变量的取值在某个范围内的概率分布情况。
对于连续型随机变量X，其概率密度函数f(x)满足以下条件：1.对于任意的x，f(x) ≥ 0，即概率密度函数的值为非负数。
2.在整个取值范围内，概率密度函数的面积等于1，即∫f(x)dx = 1。
3.对于任意的a ≤ b，随机变量X落在区间[a, b]上的概率可以表示为P(a ≤ X ≤ b) = ∫[a, b]f(x)dx。
2. 特性和性质概率密度函数具有一些重要的特性和性质，我们在这里列举一些常见的：•概率密度函数是非负的。
对于任意的x，概率密度函数f(x) ≥ 0。
•概率密度函数的面积等于1。
即∫f(x)dx = 1。
•概率密度函数可以用来计算随机变量落在某个区间内的概率。
例如，P(a ≤ X ≤ b) = ∫[a, b]f(x)dx。
•概率密度函数的积分可以计算累积分布函数。
累积分布函数（Cumulative Distribution Function，简称CDF）是描述随机变量X落在一个给定值以下的概率。
•概率密度函数可以用来计算随机变量的期望值和方差。
•概率密度函数可以用来比较不同随机变量的概率分布情况。
3. 常见的概率密度函数在统计学和概率论中，有一些常见的概率密度函数被广泛应用于实际问题的建模和分析中。
以下是一些常见的概率密度函数：1.均匀分布：均匀分布是最简单的概率密度函数，表示在一个给定的区间内，各个取值都是等概率的。
例如，在区间[a, b]上的均匀分布的概率密度函数为f(x) = 1 / (b-a)。
2.正态分布：正态分布（也被称为高斯分布）是最常见的概率密度函数之一，在自然界中经常出现。
正态分布的概率密度函数是一个钟形曲线，具有均值μ和方差σ^2。
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o 下面给出几个r.v的例子.
x
例9 已知连续型r.v. 具有概率密度
kx 1, 0 x 2, f ( x) 0, otherwise.
求系数 k 及分布函数F(x), 并计算 P(1.5<= <=2.5)
0 1 2 x x 4 1
大学文科数学
之 线性代数与概率统计
北京师范大学珠海分校 国际特许经营学院与不动产学院
2004-Байду номын сангаас005学年第二学期 欧阳顺湘 2005.5.11
连续型随机变量
• 复习+进一步学习 分布函数的性质 • 连续型r.v及其密度函数的定义 • 重要的连续型r.v
复习随机变量的分布函数
• 分布函数的概念. • 分布函数的性质
2 . f x dx 1.
f (x)
这两条性质是判定一个 函数 f(x)是否为某r.vX的 概率密度函数的充要条件.
面积为1
o
x
连续r.v.的密度函数 与 离散r.v.分布列 的性质 比较
P X xk pk k 1,2,
1. f x 0;
若x是 f(x)的连续点，则： x x f ( t )dt P ( x X x x ) lim lim x x 0 x 0 x x =f(x)
故 X的密度 f(x) 在 x 这一点的值，恰好是 X落在区间 ( x, x x ]上的概率与区间长度 x 之比的极限. 这里，如果把概率理解为质量， f (x)相当于线密度.
而 {X=a} 并非不可能事件
{ X R {a}} 并非必然事件
可见，由P(A)=0, 不能推出 A
由P(B)=1, 不能推出 B=S
称A为几乎不可能事件，B为几乎必然事件.
4. 对 f(x)的进一步理解:
(4) 在 f (x) 的连续点 x 处，有
f ( x) F '( x)
x x0
反之，具有上述三个性质的实函数，必是某个 随机变量的分布函数。故该三个性质是
分布函数的充分必要性质。
假设离散型r.v. X 具有分布列
P X xk pk k 1,2,
F ( x) pk
xk x
连续型随机变量X所有可能取值充满一个 区间, 对这种类型的随机变量, 不能象离 散型随机变量那样, 以指定它取每个值 概率的方式, 去给出其概率分布, 而是 通过给出所谓“概率密度函数”的方式.
若不计高阶无穷小，有：
P{x X x x} f ( x )x
它表示随机变量 X 取值于 ( x, x x ] 的 概率近似等于 f ( x )x .
f ( x )x 在连续型r.v理论中所起的作用与
P( X xk ) pk 在离散型r.v理论中所起的
作用相类似.
1 pk
0k 1,2,
2 . f x dx 1.
2 p1 p2 pk pk
k
1
3
P(a X b) P( X b) P( X a) F (b) F (a)
f ( x)dx
0
由此得， 1) 对连续型 r.v X,有
P ( a X b) P ( a X b)
P ( a X b) P ( a X b)
2) 由P(X=a)=0 可推知
P ( X R a) f ( x )dx P ( X a) 1
均匀分布常见于下列情形： 如在数值计算中，由于四舍五 入，小数 点后某一位小数引入的误差； 公交线路上两辆公共汽车前后通过某汽 车停车站的时间，即乘客的候车时间等.
例10 某路公共汽车每5分钟一趟，设为乘客 在某站口的候车时间, 试求他候车时间不超过3 分钟的概率.
解： X ～ U ( 0, 30 )
连续型r.v及其密度函数的定义 对于随机变量 X ,如果存在非负可积函数 f(x) , 使得 X 的分布函数 F(x) 可以写成
F ( x) P( X x)
数，简称为概率密度或密度.
x
f ( x)dx
则称 X为连续型r.v,称 f(x)为 X 的概率密度函
概率密度函数的性质
1. f x 0;
随机变量的分布函数
一、分布函数的概念. 定义 设X是随机变量，对任意实数x，事件{X<x} 的概率P(X<x)称为随机变量X的分布函数。 记为F(x)，即 F(x)＝P(X<x). 易知，对任意实数a, b (a<b), P {a X<b}＝P{X<b}－P{X<a}＝ F(b)－F(a).
X
服从以 为参数的指数分 布的随机变量X的分布函数为
1 e F x 0
x
x0 x0
x 0 x 0 andx 20 otherwise
设 具有概率密度
c, a x b, f ( x) 0, otherwise.
C 为一常数，称X服从区间( a, b)上的均匀分布
c?
（1）若 r.vX的概率密度为： 1 , a xb f ( x) b a a 其它 b 0, 则称X服从区间( a, b)上的均匀分布，记作： X ～ U (a , b )
a
b
P(a X b)
F (b) F (a)
P( X a ) 0
连续型r.v取任一指定值的概率为0.
即：
P ( X a) 0,
a为任一指定值
这是因为
P ( X a) lim P (a X a x )
x 0
lim
x 0 a
a x
f ( x )dx
1 , 0 x 30 f ( x ) 30 其它 0,
（2）若 r.v X具有概率密度
e f ( x) 0
x
x0 0 x0
则称 X 服从参数为 的指数分布. 常简记为 X~E( ) . 指数分布常用于可靠性统计研究 中，如元件的寿命.
它的实际背景是： r.v X 取值在区间 (a, b) 上，并且取值在(a, b)中任意小区间 内的概率与这个小区间的长度成正比. 则 X 具有(a,b)上的均匀分布.
f ( x)
服从均匀分布的随机变量x 的分布函数为
0 xa F x b a 1
xa a xb xb
x
二、分布函数的性质 1、单调不减性：若x1<x2, 则F(x1)F(x2);
2、归一 性：对任意实数x，0F(x)1，且
F( ) lim F( x ) 0, F( ) lim F( x ) 1;
x x
3、左连续性：对任意实数x，
F ( x0 0) lim F ( x) F ( x0 ).
f (x)
o
x
要注意的是，密度函数 f (x)在某点处a 的高度，并不反映X取值的概率. 但是，这 个高度越大，则X取a附近的值的概率就越 大. 也可以说，在某点密度曲线的高度反 映了概率集中在该点附近的程度.
由于连续型 r.v唯一被它的密度函数所确 定. 所以，若已知密度函数，该连续型 r.v 的概率规律就得到了全面描述.