逻辑连接词且或非
逻辑连接词课件
在观察和思考中，在解题和证明题中，本节课要特别注重学生思维 的严密性品质的培养
情感态度与价值观
激发学生的学习热情，激发学生的求知欲，培养严谨的学习态度， 培养积极进取的精神，通过探索、发现知识过程，获得成功的体验，锻 炼学生克服困难的意志，建立学习数学的自信心。，
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重点难点
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探究二
探究新知
以前我们有没有学习过像这样用联结词连接的命 题？试举一些例子？
【设计意图】 ：通过具体数学实例引入逻辑联结词，易
引发学生的学习兴趣．引导学生思考、讨论,目的是引出 逻辑联结词“且、或、非”,让学生较轻松地感受到用逻 辑联结词联结两个命题可以得到一个新命题的认识．
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探究三 qppp q
真假表的判定
p
q p∧q
p∨q
真真 真假 假真 假假
探究新知
p ￢p 真 假
口诀：“全真才真，一假则假”，“全假才假，一真则真”，“真假相反”．
[设计意图]为准确地运用新知，作必要的铺垫.
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例1
新知运用
将下列命题用“且”联结成新命题，并判断
它们的真假：
（1） ：平行四边形的对角线互相平分， ：平行四 边形的对角线相等； （2） ：菱形的对角线互相垂直， ：菱形的对角线 互相平分； （3） ：35是15的倍数， ：35是7的倍数．
[设计意图] 通过本例题可以让学生认识到三个方面：一是 简洁表示命题；二是体会常用逻辑用语表述数学内容的准 确性；三是根据“且”的含义，确定 的真假．
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学情分析
逻辑联结词
例：下列语句是命题吗? 如果是, 它们与 以上的命题有何区别呢？ ① 10 可以被 2 或 5 整除 ② 菱形的对角线互相垂直且平分 ③ 0.5 非整数
例：下列语句是命题吗? 如果是, 它们与 以上的命题有何区别呢？ ① 10 可以被 2 或 5 整除 ② 菱形的对角线互相垂直且平分 ③ 0.5 非整数
课堂小结
①命题－－可以判断真假的语句; ②逻辑连接词－－“或” 、 “且” 、 “非”; ③命题的构成及形式：p 或 q，p 且 q，p 非 q; ④“或” 、 “且” 、 “非”类似于集合中的 “并” 、 “交” 、 “补”.
课外作业
1. 2. 3. 阅读教材； 教材第 28 页第 1 题, 29 页第 2 题; 预习教材 P26~P28.
例 1. 分别指出下列复合命题的形式以及 构成它的简单命题：
1)24 既是 8 的倍数，也是 6 的倍数；
例 1. 分别指出下列复合命题的形式以及 构成它的简单命题：
1)24 既是 8 的倍数，也是 6 的倍数； 2)小强是篮球运动员或跳高运动员；
例 1. 分别指出下列复合命题的形式以及 构成它的简单命题：
逻辑联结词：“或”、 “且” 、 “非”
例：下列语句是命题吗? 如果是, 它们与 以上的命题有何区别呢？ ① 10 可以被 2 或 5 整除 ② 菱形的对角线互相垂直且平分 ③ 0.5 非整数
逻辑联结词：“或”、 “且” 、 “非”
简单命题：不含逻辑联结词的命题．
例：下列语句是命题吗? 如果是, 它们与 以上的命题有何区别呢？ ① 10 可以被 2 或 5 整除 ② 菱形的对角线互相垂直且平分 ③ 0.5 非整数
定义中的意义“或”相同；
“或”、 “且” 、 “非” 与集合中哪些运算 性质相同？
考点03 逻辑联结词及数学归纳法(解析版)
考点48 逻辑联结词及数学归纳法一．简单的逻辑联结词(1)命题中的且、或、非叫做逻辑联结词． (2)命题p 且q 、p 或q 、非p 的真假判断二．量词2.全称量词和存在量词(1)全称量词：“所有”、“任意”、“每一个”等表示全体的量词在逻辑中称为全称量词，用符号“∀”表示． (2)存在量词：“有一个”、“有些”、“存在一个”等表示部分的量词在逻辑中称为存在量词，用符号“∃”表示．3．全称命题、存在性命题及含一个量词的命题的否定三．数学归纳法1．由一系列有限的特殊现象得出一般性的结论的推理方法，通常叫做归纳法． 2．用数学归纳法证明一个与正整数有关的命题时，其步骤如下： (1)归纳奠基：证明取第一个自然数n 0时命题成立；(2)归纳递推：假设n ＝k (k ∈N *，k ≥n 0)时命题成立，证明当n ＝k ＋1时，命题成立； (3)由(1)(2)得出结论．知识理解考向一 命题的否定【例1】（2021·四川成都市·高三二模（理））命题“0x ∀>，210x x ++>”的否定为（ ）A ．00x ∃≤，20010x x ++≤ B ．0x ∀≤，210x x ++≤ C ．00x ∃>，20010x x ++≤D ．0x ∀>，210x x ++≤【答案】C【解析】因为全称命题的否定是特称命题，所以，命题“0x ∀>，210x x ++>”的否定是：00x ∃>，20010x x ++≤．故选：C ．【举一反三】1．（2021·全国高三月考（理））命题“0x R ∃∈，002ln 0x x +≤”的否定是（ ） A ．x R ∀∈，2ln 0x x+≥ B ．x R ∀∈，2ln 0x x+> C ．0x R ∃∈，002ln 0x x +≥ D ．0002,0x R lnx x ∃∈+> 【答案】B【解析】命题“0x R ∃∈，002ln 0x x +≤”为特称命题，该命题的否定为“x R ∀∈，2ln 0x x+>”. 故选：B.2．（2021·湖南岳阳市）命题“()1,x ∀∈+∞，21x e x ≥+”的否定是（ ） A ．()1,x ∃∈+∞，21x e x ≥+ B ．()1,x ∀∈+∞，21x e x <+ C ．()1,x ∃∈+∞，21x e x <+ D ．()1,x ∀∈+∞，21x e x ≥+【答案】C【解析】命题“()1,x ∀∈+∞，21x e x ≥+”为全称命题，该命题的否定为“()1,x ∃∈+∞，21x e x <+”. 故选：C.考向分析3．（2021·泰州市第二中学）巳知命题p ：0x ∃>，10x e x --≤，则命题p 的否定为（ ） A ．0x ∀≤，10x e x --＞ B ．0x ∀>，10x e x --> C ．0x ∃>，10x e x --≥ D ．0x ∃≤，10x e x --＞【答案】B【解析】命题p ：0x ∃>，10x e x --≤，则命题p 的否定为0x ∀>，10x e x -->. 故选：B考向二 逻辑连接词求参数【例2】（2021·全国高三专题练习）若命题“200[1,2],2x x a ∃∈--+”是假命题，则实数a 的范围是（ ） A ．2a > B ．2a C ．2a >- D ．2a -【答案】A【解析】若命题“200[1,2],2x x a ∃∈--+”是假命题，则命题“2[1,2],2x x a ∀∈--+<”是真命题， 当0x =时，()2max22x -+=，所以2a >.故选：A. 【举一反三】1．（2021·天水市第一中学高三月考（理））已知命题():1,3p x ∃∈-，220x a --≤.若p 为假命题，则a 的取值范围为（ ） A ．(),2-∞- B ．(),1-∞-C ．(),7-∞D ．(),0-∞【答案】A 【解析】p 为假命题，∴():1,3p x ⌝∀∈-，220x a -->为真命题，故22a x <-恒成立，22y x =-在()1,3x ∈-的最小值为2-，∴2a <-. 故选：A.2．（2020·北京人大附中高三月考）若命题“x R ∃∈，使得2210ax x ++＜成立”为假命题，则实数a 的取值范围是（ ） A ．[1，+∞) B ．[0，+∞)C ．(-∞，1)D ．(-∞，0]【答案】A 【解析】命题“x R ∃∈，使得2210ax x ++＜成立”为假命题, 则它的否定命题: “x R ∀∈，2210ax x ++≥”为真命题所以0440a a >⎧⎨∆=-≤⎩ 解得1a ≥，所以实数a 的取值范围是[1,)+∞ 故选：A.3．（2020·江西高三期中（文））存在[1,1]x ∈-，使得230x mx m +-≥，则m 的最大值为（ ） A ．1 B ．14C ．12D ．-1【答案】C【解析】由不等式230x mx m +-≥，可化为23x m x≤-，设()[]2,1,13x f x x x=∈--，则()()()2226(6)33x x x x f x x x ---'==--，当[1,0)x ∈-时，()0f x '<，()f x 单调递减； 当(0,1]x ∈时，()0f x '>，()f x 单调递增，又由()11(1),142f f -==，所以函数()f x 的最大值为()112f =， 要使得存在[1,1]x ∈-，使得230x mx m +-≥，则12m ≤，则m 的最大值为12. 故选：C.考向三 数学归纳法【例3-1】（2020·全国高三专题练习（理））用数学归纳法证明不等式“1＋12＋13＋…＋121n -＜n (n ∴N *，n ≥2)”时，由n ＝k (k ≥2)时不等式成立，推证n ＝k ＋1时，左边应增加的项数是（ ） A ．2k －1 B ．2k －1 C ．2k D ．2k ＋1【答案】C【解析】n k =时，左边=1111 (2321)k ++++-，而n ＝k ＋1时，左边＝11111111 (232122121)k k k k +++++++++-+-，增加了1111 (22121)k k k +++++-，共(2k ＋1－1)－(2k －1)＝2k 项， 故选：C.【例3-2】．（2020·全国高三专题练习）设等比数列{}n a 满足113,34n n a a a n +==-. （1）计算23,a a ，猜想{}n a 的通项公式并加以证明； （2）求数列{}2nn a 的前n 项和n S .【答案】（1）25a =，37a =，21n a n =+，证明见解析；（2）1(21)22n n S n +=-+. 【解析】（1）由题意，等比数列{}n a 满足113,34n n a a a n +==-， 可得21345a a =-= ，323427a a =-⨯=，，猜想{}n a 的通项公式为21n a n =+，证明如下：（数学归纳法）当1,2,3n =时，显然成立； ∴ 假设n k =时，即21k a k =+成立；其中*(N )k ∈， 由134k k a a k +=-3(21)4k k =+-2(1)1k =++ ∴故假设成立，综上（1）（2），数列{}n a 的通项公式21n a n =+*()n N ∈.（2）令2(21)2n nn n b a n ==+，则前项和1212...3252...(21)2n n n S b b b n =+++=⨯+⨯+++ ∴由∴两边同乘以2得：23123252...(21)2(21)2n n n S n n +=⨯+⨯++-++ ∴由∴-∴的322112(12)3222...2(21)26(21)212n n n n n S n n -++--=⨯+⨯++-+=+-+-， 化简得1(21)22n n S n +=-+. 【举一反三】1．（2020·全国高三专题练习（理））用数学归纳法证明等式123(21)(1)(21)n n n +++++=++时，从n k=到1n k =+等式左边需增添的项是（ ） A ．22k + B ．[]2(1)1k ++ C ．[(22)(23)]k k +++ D ．[][](1)12(1)1k k ++++ 【答案】C【解析】当n k =时，左边123(21)k =+++++，共21k +个连续自然数相加，当1n k =+时，左边123(21)(22)(23)k k k =+++++++++，所以从n k =到1n k =+，等式左边需增添的项是[(22)(23)]k k +++. 故选：C.2．（2021·全国高三专题练习）设集合T n ＝{1，2，3，…，n }（其中n ≥3，n ∴N *），将T n 的所有3元子集（含有3个元素的子集）中的最小元素的和记为S n ． （1）求S 3，S 4，S 5的值； （2）试求S n 的表达式．【答案】（1）S 3＝1，S 4＝5，S 5＝15；（2）41n C + .【解析】（1）当n ＝3时，T 3＝{1，2，3}，3元子集有：{1，2，3}，∴S 3＝1；当n ＝4时，T 4＝{1，2，3，4}，3元子集有：{1，2，3}，{1，2，4}，{1，3，4}，{2，3，4}，∴S 4＝1×3+2＝5；当n ＝5时，T 5＝{1，2，3，4，5}，3元子集有：{1，2，3}，{1，2，4}，{1，2，5}，{1，3，4}，{1，3，5}，{1，4，5}，{2，3，4}，{2，3，5}，{2，4，5}，{3，4，5}，222543212315S C C C ∴=⨯+⨯+⨯=．（2）由S 3＝1，S 4＝5，S 5＝15，S 6＝35…归纳猜想出41n n S C +=（n ≥3）．下面用数学归纳法证明猜想：∴当n ＝3时，S 3＝1＝44C ，结论成立；∴假设n ＝k （k ≥3，k ∴N *）时，结论成立，即S k ＝41k C +，则当n ＝k +1时，T k +1＝{1，2，3，4，…，k ，k +1}，()()1111111232123...21k k k k k S S C C C k C k C +---⎡⎤=+++++-+-⎣⎦()()()(){}411111122112...21k k k C k C k C k k C k k C +--=+-+-++--+--⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦ ()(){}4111111111211231...23...1k k k C k C C C C C C k C +--⎡⎤=++++-++++-⎣⎦ ()422311k k k k C kC kC C ++⎡⎤=+--⎣⎦ ()4341111k k k C C C ++++=+=∴当n ＝k +1时，结论成立． 综上：由∴∴可得()413n n S C n +=≥．1．（2021·涡阳县育萃高级中学）已知命题:p x R ∀∈，2104x x -+，则p ⌝（ ） A ．21,04x x x ∃∈-+R B ．21,04x x x ∃∈-+>R C ．21,04x x x ∀∈-+>R D ．21,04x x x ∀∈-+<R 【答案】B【解析】命题p 为全称命题，根据全称命题的否定为特称命题，可得：p ⌝： 21,04x x x ∃∈-+>R 故选：B2．（2021·漠河市高级中学高三月考（文））下列说法正确的是（ ） A ．若p q ∨为真命题，则p q ∧为真命题B ．命题“若cos cos x y ≠，则x y ≠”的否命题是“若cos cos x y =，则x y ≠”C ．“0x <”是“20x x ->”的充要条件强化练习D ．若p ：x ∀∈R ，2320x x --<，则p ⌝：0x ∃∈R ，200320x x --.【答案】D【解析】对于A 选项，若p q ∨为真命题，可能p 真q 假，则p q ∧为假，故A 选项错误.对于B 选项，命题“若cos cos x y ≠，则x y ≠”的否命题是“若cos cos x y =，则x y =”，故B 选项错误. 对于C 选项，当2x =时，20x x ->，所以“0x <”不是“20x x ->”的充要条件，C 选项错误. 根据全称量词命题的否定的知识可知，D 选项正确. 故选：D3．（2021·全国高三专题练习）下列关于命题的说法中正确的是（ ）∴对于命题P ：x R ∃∈，使得210x x ++<，则:P x R ⌝∀∈，均有210x x ++≥ ∴“1x =”是“2320x x -+=”的充分不必要条件∴命题“若2320x x -+=，则1x =”的逆否命题是“若1x ≠，则2320x x -+≠” ∴若p q ∧为假命题，则p ､q 均为假命题 A ．∴∴∴ B ．∴∴∴ C ．∴∴∴∴ D ．∴∴【答案】A【解析】∴对于命题:p x R ∃∈，使得210x x ++<，则:p x R ⌝∀∈均有210x x ++，故∴正确；∴由“1x =”可推得“2320x x -+=”，反之由“2320x x -+=”可能推出2x =，则“1x =”是“2320x x -+=”的充分不必要条件，故∴正确；∴命题“若2320x x -+=，则1x =”的逆否命题是“若1x ≠，则2320x x -+≠”，故∴正确； ∴若p q ∧为假命题，则p ，q 至少有一个为假命题，故∴错误． 则正确的命题的有∴∴∴． 故选：A4．（2021·河南高三其他模拟（文））命题:p “0,2sin 0x x x ∀≥-≥”的否定为（ ）A ．0,2sin 0x x x ∀≥-<B ．0,2sin 0x x x ∀<-<C ．0000,2sin 0xx x ∃≥-< D ．0000,2sin 0xx x ∃<-<【答案】C【解析】命题:p “0,2sin 0xx x ∀≥-≥”是全称命题，又全称命题的否定是特称命题，故“0x ∀≥，2sin 0x x -≥”的否定是“0000,2sin 0xx x ∃≥-<”.故选：C.5．（2021·山东菏泽市·高三一模）命题“2,0∈≥∀x R x ”的否定是（ ）A ．2,0x R x ∃∈≥B ．2,0x R x ∀∈<C ．2,0x R x ∃∈<D ．2,0x R x ∃∈≤【答案】C【解析】因为全称命题的否定是特称命题，所以命题：x R ∀∈，20x ≥的否定是：x R ∃∈，20x <.故选：C6．（2021·四川成都市·石室中学高三月考（理））设命题:0p x ∀≤x =-，则p ⌝为（ ） A ．0x ∀≤x ≠- B ．00x ∃≤0x =- C ．0x ∀>x =- D ．00x ∃≤0x ≠-【答案】D【解析】命题p 为全称命题，该命题的否定为0:0p x ⌝∃≤0x ≠-. 故选：D.7．（2020·湖北武汉市·华中师大一附中高三期中）“0m >”是“x R ∃∈，2(1)2(1)30m x m x -+-+≤是假命题”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】由题意，命题“x R ∃∈，2(1)2(1)30m x m x -+-+≤是假命题” 可得命题“x R ∀∈，2(1)2(1)30m x m x -+-+>是真命题” 当10m -=时，即1m =时，不等式30>恒成立；当10m -≠时，即1m ≠时，则满足()()210214130m m m ->⎧⎪⎨⎡⎤---⨯<⎪⎣⎦⎩，解得14m <<，综上可得，实数14m ≤<，即命题“x R ∃∈，2(1)2(1)30m x m x -+-+≤是假命题”时，实数m 的取值范围是[1,4)，又由“0m >”是“14m ≤<”的必要不充分条件，所以“0m >”是“x R ∃∈，2(1)2(1)30m x m x -+-+≤是假命题”的必要不充分条件， 故选：B.8．（2021·全国高三专题练习）若命题“∀[]1,4x ∈时，240x x m --≠”是假命题，则m 的取值范围（ ） A ．[4,3]-- B ．()-∞,-4 C ．[4,)-+∞ D ．[4,0]-【答案】D【解析】若命题“[1x ∀∈，4]时，240x x m --≠”是假命题， 则命题“[1x ∃∈，4]时，240x x m --=”是真命题, 则24m x x =-，设22()4(2)4f x x x x =-=--， 当14x 时，4()0f x -,则40m -. 故选：D ．9．（2020·江苏海门市·高三月考）命题“[]21220x x a ∀∈-≤，，”为真命题的一个充分不必要条件是（ ）A ．2a ≤B ．2a ≥C ．4a ≤D ．4a ≥【答案】D【解析】“[]21220x x a ∀∈-≤，，”为真命题，可得2a ≥，因为[)[)4,2,+∞⊂+∞ ， 故选:D .10．（2021·全国高三专题练习）已知命题“02x ∃>，20040ax ax --<”是假命题，则a 的取值范围是（ ）A ．[)2,+∞B ．()2,+∞C ．(],2-∞D ．(),2-∞【答案】A【解析】因为命题“02x ∃>，20040ax ax --<”是假命题，所以240ax ax --≥对2x >恒成立， 所以()242a x x x≥>-恒成立．因为2x >， 所以22x x ->，则242x x<-， 故2a ≥． 故选：A11．（2020·全国高三专题练习）用数学归纳法证明“(1)(2)()213(21)nn n n n n ++⋅⋅⋅⋅⋅+=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅-”，从“k到1k +”左端需增乘的代数式为（ ） A ．21k + B ．2(21)k +C ．211k k ++ D ．231k k ++ 【答案】B【解析】当n k =时，等式的左边(1)(2)()k k k k =++⋅⋅⋅⋅⋅+，当1n k =+时，等式的左边(11)(12)()(1)(2)k k k k k k k k =++++⋅⋅⋅⋅⋅+++++， 所以当从“k 到1k +”左端增乘的代数式为(1)(2)2(21)1k k k k k k ++++=++.故选：B.12．（多选）（2021·恩施市第一中学）下列命题正确的有（ ） A ．命题“x R ∀∈，20x ≥”的否定是“x R ∃∈，20x <”． B ．函数()cos f x x =向右平移2π个单位得到函数解析式为()sin g x x =． C ．函数()21f x x =-的零点为()1,0-，()1,0．D ．1弧度角表示：在任意圆中，等于半径长的弦所对的圆心角． 【答案】AB【解析】对A ，根据全称命题的否定性质，A 为正确的； 对B ，()cos f x x =向右平移2π个单位得到函数()cos()sin 2g x x x π=-=；对C ，函数零点是数而不是点，故C 错误；对D ，1弧度角表示为在任意圆中，等于半径长的弧所对的圆心角，故D 错误； 故选：AB.13．（多选）（2021·全国高三专题练习）下列命题中正确的是（ ） A ．(0,)x ∃∈+∞，23x x >B ．(0,1)x ∃∈，23log log x x <C ．(0,)x ∀∈+∞，121()log 2xx >D ．1(0,)3x ∀∈，131()log 2xx < 【答案】BD【解析】对于选项A ：当0x >时，22133xx x ⎛⎫=< ⎪⎝⎭，所以23x x <恒成立，故选项A 不正确；对于选项B ：当(0,1)x ∈时，23log lg lg 3lg 31log lg 2lg lg 2x x x x =⨯=>，且3log 0x <，所以23log log x x <，故选项B 正确；对于选项C ：当12x =时，1211()()222x ==，11221log log 12x ==，则121log ()2x x >，故选项C 不正确； 对于选项D ：当13x =时，131log 13=，由对数函数和指数函数的性质可知，当1(0,)3x ∈时，131()1log 2x x <<，故选项D 正确； 故选：BD14．（多选）（2021·全国高三专题练习）若01,22x ⎡⎤∃∈⎢⎥⎣⎦，使得200210x x λ-+<成立是假命题，则实数λ可能取值是（ ） A ．32B．C ．3 D ．92【答案】AB【解析】由条件可知1,22x ⎡⎤∀∈⎢⎥⎣⎦，2210x x λ-+≥是真命题， 即22112x x x xλ+≤=+，即min 112,,22x x x λ⎛⎫⎡⎤≤+∈ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，设()112,22f x x x x ⎡⎤=+≥=∈⎢⎥⎣⎦等号成立的条件是112,222x x x ⎡⎤=⇒=∈⎢⎥⎣⎦，所以()f x的最小值是即λ≤AB. 故选：AB15．（2021·江西高三其他模拟（文））已知命题“存在x ∈R ，使220ax x -+≤”是假命题，则实数a 的取值范围是___________. 【答案】18a >【解析】因为命题“存在x ∈R ，使220ax x -+≤”是假命题， 所以命题“R x ∀∈，使得220ax x -+>”是真命题，当0a =时，得2x <，故命题“R x ∀∈，使得220ax x -+>”是假命题，不合题意；当0a ≠时，得0180a a >⎧⎨∆=-<⎩，解得18a >.故答案为：18a >16．（2021·全国高三专题练习）若“存在x ∴[﹣1，1]，3210x x a ⋅++>成立”为真命题，则a 的取值范围是___．【答案】9(,)2-+∞【解析】存在x ∴[﹣1，1]，3210xxa ⋅++>成立，即213x xa +-<在[1,1]x ∈-上有解， 设2121()333x xx xf x +⎛⎫⎛⎫==+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，[1,1]x ∈-， 易得y ＝f (x )在[﹣1，1]为减函数， 所以()[(1),(1)]f x f f ∈-，即213()3332f x +≤≤+，即91()2f x ≤≤， 即92a -<，所以92a >-， 故答案为：9(,)2-+∞．17．（2020·江西高三其他模拟（文））若命题:p x R ∃∈，210x mx -+<为假命题，则m 的取值范围是______． 【答案】[]22-,【解析】命题:p x R ∃∈，210x mx -+<为假命题，p ∴⌝：x R ∀∈，210x mx -+≥为真命题，则240m ∆=-≤，解得22m -≤≤，即m 的取值范围是[]22-,. 故答案为：[]22-,. 18．（2020·北京密云区·高三期中）若“01x ∃>，使得11x a x +<-.”为假命题，则实数a 的最大值为___________. 【答案】3【解析】由“∴x 0>1，使得11x a x +<-.”为假命题，可知，“11,1x x a x ∀>+≥-”为真命题， 11a x x ∴≤+-恒成立，由11111311x x x x +=-++≥=--，当且仅当2x =时取等号， 即a 的最大值为3. 故答案为：3.19．（2021·湖南永州市·高三二模）若对[]1,2x ∀∈，都有20ax x -≤，则实数a 的取值范围是___________. 【答案】1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦【解析】解：因为[]1,2x ∀∈，都有20ax x -≤，所以[]1,2x ∀∈，都有1a x≤，令()1g x x =，[]1,2x ∈，因为()1g x x=，在[]1,2x ∈上单调递减，所以()()min 122g x g ==，所以12a ≤，即实数a 的取值范围是1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦；故答案为：1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦20．（2020·全国高三月考（文））已知命题():0,p x ∀∈+∞，2230x mx -+>，命题:q m a <；若p 是q 的充分不必要条件，则实数a 的取值范围为______.【答案】()+∞【解析】设命题():0,p x ∀∈+∞，2230x mx -+>成立对应的m 的范围为集合A ，{}|B m m a =<若()0,x ∀∈+∞，223x mx +>，则32x m x +>，所以min 32m x x ⎛⎫<+ ⎪⎝⎭而32x x +≥32x x =，即x =时等号成立，所以min32x x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭m <{|A m m =<，因为p 是q 的充分不必要条件，所以A B，所以a > 即实数a的取值范围为()+∞.故选答案为：()+∞21．（2020·凌海市第二高级中学高三月考）命题“2,1x R x t ∀∈>+”为真命题，则实数t 的取值范围是__________. 【答案】(),1-∞- 【解析】命题“2,1x R x t ∀∈>+”为真命题，且20x ≥，10t ∴+<，则1t <-，故实数t 的取值范围是(),1-∞-.故答案为：(),1-∞-.22．（2020·上海徐汇区·高三一模）用数学归纳法证明()2511222n n N -*++++∈能被31整除时，从k 到1k +添加的项数共有__________________项（填多少项即可）． 【答案】5【解析】当n k =时，原式为：251122...2k -++++，当1n k =+时，原式为251551525354122...222222k k k k k k -+++++++++++++， 比较后可知多了55152535422222k k k k k ++++++++，共5项. 故答案为：523．（2020·浙江高三其他模拟）用数学归纳法证明：111111111234212122n n n n n-+-++-=+++-++，第一步应验证的等式是__________；从“n k =”到“1n k =+”左边需增加的等式是_________.【答案】11122-=()()1121121k k -+-+ 【解析】当1n =时，应当验证的第一个式子是11122-=，从“n k =”到“1n k =+”左边需增加的式子是()()1121121k k -+-+24．（2021·全国高三专题练习）设数列{}n a 满足11a =，12(23)n n a a n +=--. （1）计算2a ，3a .猜想{}n a 的通项公式并利用数学归纳法加以证明； （2）记2n nn b a =⋅，求数列{}n b 的前n 项和n S .【答案】（1）23a =，35a =，21n a n =-；证明见解析；（2）1(23)26n n S n +=-⨯+.【解析】（1）由题意可得2121213a a =+=+=，3221615a a =-=-=， 由数列{}n a 的前三项可猜想数列{}n a 是以1为首项，2为公差的等差数列， 即21n a n =-， 证明如下：当1n =时，12111a =⨯-=成立； 假设n k =时，21k a k =-成立.那么1n k =+时，12(23)2(21)(23)212(1)1k k a a k k k k k +=--=---=+=+-也成立. 则对任意的*n ∈N ，都有21n a n =-成立；（2）因为(21)2n n b n =-.∴23123252(21)2n n S n =⨯+⨯+⨯++-⨯，∴ 23412123252(21)2n n S n +=⨯+⨯+⨯++-⨯，∴∴-∴得：2341222222222(21)2n n n S n +-=+⨯+⨯+⨯++⨯--⨯()211122122(21)26(23)212n n n n n -++⨯-=+--⨯=---⨯-.∴1(23)26n n S n +=-⨯+.25．（2020·全国高三专题练习）已知数列{}n a 满足：11a =，点()()*1,n n a a n +∈N 在直线21y x =+上.（1）求2a ，3a ，4a 的值，并猜想数列{}n a 的通项公式； （2）用数学归纳法证明（1）中你的猜想.【答案】（1）2343,7,15a a a ===，21n n a =-；（2）证明见解析.【解析】（1）因为点()()*1,n n a a n N +∈在直线21y x =+上所以121n n a a +=+， 因为11a =，故22113a =⨯+=，32317a =⨯+=， 427115a =⨯+=，由上述结果，猜想：21nn a =-.（2）1︒，当1n =时，1211a =-=成立，2︒，假设当()1,n k k k N =≥∈时，21kk a =-成立，那么，当1n k =+时，()1121221121kk k k a a ++=+=-+=-成立，由1︒，2︒可得21nn a =-.26．（2020·黑龙江哈尔滨市·高三月考（理））已知数列{}n a 满足1a m =，2n a ≠，11210n n n a a a ++-⋅-=. （1）求2a ，3a ，4a ；（2）猜想{}n a 的通项公式，并用数学归纳法加以证明. 【答案】（1）212a m =-，3232m a m -=-，43243ma m-=-；（2）()()()121n n n m a n n m ---=--；证明见解析.【解析】1）因为11210n n n a a a ++-⋅-=，2n a ≠，所以112n na a +=-，又因为1a m = 211122a a m ==--，3212232m a a m -==--，43132243ma a m-==-- （2）()()()121n n n ma n n m---=--证明：1n =时，()1011ma m --==，结论成立 假设n k =时，结论成立，即()()()121k k k ma k k m---=--当1n k =+时：()()()()()()()()()11111122211221211k kk k m a k k m k k m k k m a k km k k m k k m+--====-------+--+------ 结论成立.综上，数列通项为()()()121n n n m a n n m---=-- 27（2020·云南师大附中高三月考（理））设数列{}n a 满足11a =，23a =，当()11112n n n n n a a a n a a -+-+=+++.（1）计算3a ，4a ，猜想{}n a 的通项公式，并加以证明. （2）求证：()()()2221244474111n a a a +++<+++. 【答案】（1）35a =，47a =，21n a n =-，证明见解析；（2）证明见解析. 【解析】（1）解：由11a =，23a =， 所以()123121225a a a a a +=++=+，()234231327a a a a a +=++=+. 猜想：21n a n =-，证明：当2n =时，由11a =，23a =，故成立；假设n k =（2k ≥）时成立，即21k a k =-， 所以()()1111221211k k k k k a a a k k k a a -+-+=++=+=+-+，即当1n k =+时成立，综上所述，21n a n =-. （2）证明：由（1）知，()22411n n a =+， 所以()()()22212444111n a a a ++++++22222211111111221311n n =+++<++++--- ()()1111132411n n =++++⨯⨯-+111111111111232435211n n n n ⎛⎫=+-+-+-++-+- ⎪--+⎝⎭11117112214n n ⎛⎫=++--< ⎪+⎝⎭，证毕.。
简单的逻辑连接词(很好用)
（2）2是素数且3是素数. （真）
探究（二）：逻辑联结词“或”
命题(3)是由命
思考 下列三个命题间有什么关系？ 题(1)(2)使用联
（1）27是7的倍数；
结词“或”联 结得到的新命
（2）27是9的倍数；
题.
（3）27是7的倍数 或 是9的倍数。
一般地，用逻辑联结词“ ”把命题p和命题q联结起来,
例2 写出下列命题的否定，并判断
它们的真假：
（1）p：y＝sinx是周期函数；
（2）p：3＜2； （3）p：空集是集合A的子集.
（1）﹁p：y＝sinx不是周期函数.
假命题.
（2）﹁p：3≥2.
真命题.
（3）﹁p：空集不是集合A的子集. 假命题
例3 已知p：函数y＝ax在R上是减函 数，q：不等式x＋|x－2a|＞1的解集为R， 若﹁(p∧q)和p∨q都是真命题，求a的取
p与﹁p必有一个是真命题， 另一个是假命题.
பைடு நூலகம்真假相反
例5 写出下列命题的否定，并判断它们的真假：
（1）p:y=sinx 是周期函数；
解： p ： y=sinx不是周期函数。
假
（2）p:3 < 2
解： p ： 3≥2.
真
(3) p:空集是集合A的子集
解： p ： 空集不是集合A的子集。 假
符号“∧”与“∩”开口都是向下
思考4：在如图所示的串联电路中，开
关p、q处于什么状态时灯泡发亮？
pq
同真为真
其余为假
（一假必假)
思考5：如果把上述电路图中开关p、q 的闭合与断开，分别对应命题p、q的真 与假，那么灯泡发亮与命题p∧q的真假 有什么关系？
逻辑连接词
逻辑连接词逻辑连接词，也被称为连词、连接词或连接词汇，是用来连接两个句子、短语或单词的词语。
它们在句子中起到连接和衔接关系的作用，使得文章更加连贯和通顺。
在写作中，正确使用逻辑连接词非常重要，可以使句子之间的关系更加明确，使文章结构更加清晰。
下面我将介绍一些常用的逻辑连接词，并给出使用示例。
1. 并列连接词：并列连接词用来连接并列的句子、短语或单词，表示相同、相似或并列的关系。
例如：- 而且（用来连接两个或多个陈述意见或事实的句子）：我喜欢旅行，而且我认为旅行可以增长见识。
- 或者（用来表示选择）：你可以选择去看电影或者去逛商场。
- 并且（用来连接两个相似的陈述或动作）：她努力工作，并且她总是取得好成绩。
2. 递进连接词：递进连接词用来表示递进或增加的关系，表明后面的内容与前面的内容相比更进一步或更加详细。
例如：- 而且（用来表示进一步补充）：他不仅会弹钢琴，而且还会演奏吉他。
- 此外（用来表示另外增加的信息）：我喜欢旅行。
此外，我也喜欢尝试不同的美食。
- 而且还（用来进一步增加信息）：这座城市不仅风景优美，而且还有许多历史名胜古迹。
3. 转折连接词：转折连接词用来表示转折或对比的关系，表明后面的内容与前面的内容相比有所不同。
例如：- 但是（用来表示转折）：我很喜欢运动，但是我不太擅长游泳。
- 然而（用来表示转折或对比）：他刚开始很有信心，然而最后还是失败了。
- 尽管（用来表示让步）：尽管下雨了，但是我们还是决定去露营。
4. 因果连接词：因果连接词用来表示因果关系，表明前面的内容是后面内容的原因或结果。
例如：- 因为（用来表示原因）：我昨天没有上课，因为我生病了。
- 所以（用来表示结果）：她努力学习，所以她考试取得了好成绩。
- 由于（用来表示原因）：由于天气不好，比赛被取消了。
5. 条件连接词：条件连接词用来表示条件关系，表明后面的内容是前面内容的条件。
例如：- 如果（用来表示假设或条件）：如果你明天有时间，我们可以一起去看电影。
二元逻辑连接词
二元逻辑连接词在中国，作为一个文学传统丰富的国家，语言是我们最重要的工具之一。
在日常生活中，我们经常使用逻辑连接词，并将它们应用到我们的语言中。
这些连接词可以用于连接单个单词，短语或者句子，从而为我们提供更加清晰和连贯的语言表达。
以下是一些常用的中文二元逻辑连接词。
1. 不仅...而且（bù jǐn...ér qiě） - 表示两个事物并存，用于加强语句中的语气。
例如：这位艺术家不仅在音乐上很出色，而且在绘画方面也有很高的才华。
2. 无论...还是（wú lùn...hái shì） - 表示两个或多个选项不重要，可以任选其一。
例如：无论你选择去看电影还是做运动，我都会支持你。
3. 虽然...但是（suī rán...dàn shì） - 表示一种让步关系，用于表达对一个现象或事实的承认，并对其进行转折或反驳。
例如：虽然这件事让我很难过，但是我不会放弃我的梦想。
4. 既然...就（jì rán...jiù） - 表示某种前提条件，意为“如果…，那么就…”。
例如：既然你已经买了机票，那么就来探望我吧。
5. 或者...或者（huò zhě...huò zhě） - 表示两个或多个选项之间的“或”的关系。
例如：你可以选择在家里看电影，或者到电影院观看大银幕。
以上是一些常用的中文二元逻辑连接词，它们能够帮助我们在语言表达中更好地传递信息，使得文章、讲话等等更加高效和有条理。
学习和掌握这些连接词，对提升我们的写作水平和语言表达能力非常有帮助。
连接词
简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词自主梳理1．逻辑联结词命题中的或，且，非叫做逻辑联结词．“p且q”记作p∧q，“p或q”记作p∨q，“非p”记作┑p.2．命题p∧q，p∨q，綈p的真假判断3.(1)短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“∀”表示．含有全称量词的命题，叫做全称命题，可用符号简记为∀x∈M，p(x)，它的否定∃x∈M，綈p(x)．(2)短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“∃”表示．含有存在量词的命题，叫做存在性命题，可用符号简记为∃x∈M，p(x)，它的否定∀x∈M，綈p(x)．自我检测1.命题“∃x∈R，x2－2x＋1<0”的否定是__________________2．若命题p：x∈A∩B，则非p是________________3．命题“若x>0，则x2>0”的否命题是________命题．(填“真”或“假”)4．若“x∈[2,5]或x∈{x|x<1或x>4}”是假命题，则x的取值范围是________．5．下列4个命题：①∃x ∈(0，＋∞)，(12)x <(13)x ；②∃x ∈(0,1)，log 12x >log 13x ；③∀x ∈(0，＋∞)，(12)x >log 12x ；④∀x ∈(0，13)，(12)x <log 13x .其中的真命题是________(填序号)．探究点一 判断含有逻辑联结词的命题的真假例1 写出由下列各组命题构成的“p ∨q ”、“p ∧q ”、“非p ”形式的复合命题，并判断真假．(1)p ：1是素数；q ：1是方程x 2＋2x －3＝0的根；(2)p ：平行四边形的对角线相等；q ：平行四边形的对角线互相垂直；(3)p ：方程x 2＋x －1＝0的两实根的符号相同；q ：方程x 2＋x －1＝0的两实根的绝对值相等．变式迁移1 已知命题p ：∃x ∈R ，使tan x ＝1，命题q ：x 2－3x ＋2<0的解集是{x |1<x <2}，给出下列结论：①命题“p ∧q ”是真命题；②命题“p ∧綈q ”是假命题；③命题“綈p ∨q ”是真命题；④命题“綈p ∨綈q ”是假命题，其中正确的是________(填序号)．． 探究点二 全称(存在性)命题及真假判断 例2 判断下列命题的真假． (1)∀x ∈R ，都有x 2－x ＋1>12.(2)∃α，β使cos(α－β)＝cos α－cos β. (3)∀x ，y ∈N ，都有x －y ∈N . (4)∃x 0，y 0∈Z ，使得2x 0＋y 0＝3.变式迁移2若命题“∃x ∈R ，使得x 2＋(1－a )x ＋1<0”是真命题，则实数a 的取值范围为__________________．探究点三 全称命题与存在性命题的否定 例3 写出下列命题的“否定”，并判断其真假． (1)p ：∀x ∈R ，x 2－x ＋14≥0；(2)q ：所有的正方形都是矩形； (3)r ：∃x ∈R ，x 2＋2x ＋2≤0； (4)s ：至少有一个实数x ，使x 3＋1＝0.变式迁移3 已知命题p ：∃x ∈R ，x 2＋2ax ＋a ≤0.若命题p 是假命题，则实数a 的取例 已知命题p ：“∀x ∈[1,2]，x 2－a ≥0”，命题q ：“∃x 0∈R ，x 20＋2ax 0＋2－a ＝0”，若命题“p 且q ”是真命题，求实数a 的取值范围．一、填空题(每小题6分，共48分)1．已知命题p：∃x∈R，x2－3x＋3≤0，则綈p为________．2．已知命题p：∀x∈R，ax2＋2x＋3>0，如果命题綈p是真命题，那么实数a的取值范围是________．3．已知条件p：|x＋1|>2，条件q：x>a，且綈p是綈q的充分不必要条件，则a的取值范围是________．4．已知命题“∀a，b∈R，如果ab>0，则a>0”，则它的否命题是________．5．下列有关命题的说法中正确的有________(填序号)．①命题“若x2＝1，则x＝1”的否命题为“若x2＝1，则x≠1”；②“x＝－1”是“x2－5x－6＝0”的必要不充分条件；③命题“∃x∈R，使得x2＋x＋1<0”的否定是“∀x∈R，均有x2＋x＋1<0”；④命题“若x＝y，则sin x＝sin y”的逆否命题为真命题．6．命题“对∀x∈R，|x－2|＋|x－4|>3”的否定是______________．7．已知命题p：“∀x∈R，∃m∈R使4x－2x＋1＋m＝0”，若命题綈p是假命题，则实数m的取值范围为__________．8．命题“存在x∈R，使得x2＋2x＋5＝0”的否定是______________________．二、解答题9．(14分)分别指出由下列命题构成的“p∨q”“p∧q”“綈p”形式的命题的真假．(1)p：4∈{2,3}，q：2∈{2,3}；(2)p：1是奇数，q：1是质数；(3)p：0∈∅，q：{x|x2－3x－5<0}⊆R；(4)p：5≤5，q：27不是质数．10．命题p：关于x的不等式x2＋2ax＋4>0对一切x∈R恒成立，q：函数f(x)＝(3－2a)x 是增函数，若p或q为真，p且q为假，求实数a的取值范围．11．已知p：x2＋mx＋1＝0有两个不等的负根，q：4x2＋4(m－2)x＋1＝0无实根．若p 或q为真，p且q为假，求m的取值范围．。
1.3.1逻辑联结词“且”或“‘非’
分析：
因为p 和 q都是假命题， 所以p ∨ q一定是假命题， 而 A 的表述明显是真命题， 因此正确答案是 B .
课堂小结
“或”的概念 ： 逻辑联结词 “或” : p ∨ q 读作：p或 q
“或”的判断方法 ：
当p，q 两个命题中有一个 命题是真命题时 p ∨ q 是真命题;
•当p，q 两个命题中都是 命题是假命题时， p ∨ q是假命题.
1．分别用“p或q”、“p且q”、“非p”填空： 命题“非空集A∪B中的元素是A中的 元素或B中的元素” 是__p_或__q___的形式．
2. p：菱形的对角线互相垂直， q：菱形的对角线互相平分 p或q形式的复合命题是
菱__形__的__对__角__线__互__相__垂__直__或__互__相__平__分__.
例1
判断下列命题的真假： (1) 2≤2; (2) 集合A是 A∩B的子集或A∪B
的子集; (3) 周长相等的两个三角形全等或
面积相等的两个三角形全等.
(1) 2≤2;
解：
（1）命题“2≤2”是由命题：
p：2=2；q：2 < 2
用“或”联结后构成的新命题，即 p∨q. 因为p是真命题，所以p ∨ q 是真
这句话中p为真，q为真， 就说明这句话是对的.
下列三个命题间有什么关系?
(1) 12能被3整除; (2) 12能被4整除; (3) 12能被3整除且能被4整除.
可以看出… 命题（3）是由 命题（1）和（2）用 联结词“且”连接起来的.
一般地,用逻辑联结词 “且” 把命题 p 和命题 q 联结起来.就得到 一个新命题,记作：
命题，所以原命题为真命题.
(2) 集合A是 A∩B的子集或A∪B的子
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假
命题q： 是分数
假
命题p∨q： 是整数或分数
假
3：命题p: 3>2
真
命题q： 3<2；
假
命题p∨q: 3>2或3<2。
假
命题p∨q的真假判断方法：
一般地，当p，q两个命题中只要有 一 个 命题是真命题时,p∨q就是 真 命题；当p，q 两个命题都是假命题时，p∨q是假 命题.
有真即真，全假为假
p
3.若命题“﹁p”与命题“p∨q”都是真命
题，那么（ B）
A．命题p与命题q的真假相同
B．命题q一定是真命题
C．命题q不一定是真命题
D．命题p不一定是真命题7.已知命题p：
若实数x，y满足x2+y2=0，则x，y全为0；
命题q：若11,abab
则
，则下列命题,,,pqpqpq
中，真
例6：设p:方程x2+mx+1=0有两个不等的负 根,q:方程4x2+4(m-2)x+1=0无实根.若p或q
小结 1.“且”与“或”“非”
2.p且q：一假全假 p或q：一真全真 非p：与p真假相反
若p∧q为真，则p∨q为真，反之不成立.
检测练习
1. 设命题p:实数x满足 x2 4x 3 0 ,
命题q：实数x满足 x2 4 0， 1)若p且q为真,则实数 x的取值范围为 1 x 2.
2)若p且q为假,则实数 x的取值范围为_(__,1]__(2_,_)
m m
2 1 ,或
m
3
或1mm2 3
m 3或1 m 2
练习
已知命题p：若实数x，y满足x2+y2=0，则x，y
全为0；命题q：
若则下列命题
中，真命题的个数是（ ）
C.对所有的无理数x，x2是有理数 D.
A. 1 个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
8.下列全称命题中，真命题是（ ）
A.所有的奇数都是素数
一般地，用逻辑联结词“ 或 ”把命题p和命题q联 结起来, 就得到一个新命题“p或q”，记作p∨q
注：逻辑连接词中的“或”“可兼有”
例2 将下列命题用“或”联结成新命题并判断它们的真假：
1：命题p:正数的平方大于0；
真
命题q:负数的平方大于0；
真
命题p∨q: 正数或负数的平方大于0
真
2：命题p: 是整数
0,
a
1 2
.
若Q假, a≤ 1 ,又P和Q有且仅有一个正确, 2
当P真Q假时, 0 a≤ 1 . 2
当P假Q真时,
a≥1, 故综上所述得a
0,
1 2
1, .
命题p：若的夹角为钝角，
命题q：定义域为R的函数上都是增函 数，则上是增函数 下列说法正确的是
（）
A．“p且q”是假命题 B．“p 或q”是真命题
有些同学把命题p∨q表述为：“能被5整除 的整数的个位数一定为5或0”，这是不对的。 这一点可以从命题的真假性方面判断出来： 命题p、q都是假命题，所以命题p∨q也是 假命题，而命题“能被5整除的整数的个位 数一定为5或0”是一个真命题。事实上，命 题p∨q正确的表述为：“能被5整除的整数 的个位数一定为5或一定为0”。
思考:
1.“p∧q为真命题”是“p∨q是真命题”
的_充__分__不__必__要__条件;
p q p∧q p∨q
2.“p∧q为假命题”是“p∨q是 假命题”的_充__分__不__必__要_条件.
真真
真
真
3. p或q 为真，p且q为假则p,q 的 真 假 假 真
真假为_p_真__q_假__或__P_假_ q真
（1）p：12是3的倍数； （2）q：12是4的倍数；
（3）12是3的倍数 且是4的倍数。 用逻辑联结词“ 且”把命题p和q连接起
来，就得到一个新命题“p且q”， 记作 p∧q.
注：逻辑联结词“且”与日常用语中的“并且”、“又”、 “和”相当；表明前后两者同时兼有，同时满足 .
例1 将下列命题用“且”联结成新命题并判断它们的真假：
【解析】(1)命题的否定：若 abc＝0，则 a、b、c 全不为零； 否命题：若 abc≠0，则 a、b、c 全不为零．
(2)命题的否定：若 x2＋y2＝0，则 x、y 中不全为零； 否命题：若 x2＋y2≠0，则 x、y 中不全为零．
(3)命题的否定：平行于同一条直线的两条直线不平行； 否命题：若两条直线不平行于同一条直线，则这两条直 线不平行．
解:(1)¬p:y=sinx不是周期函数.
命题p是真命题,¬p是假命题.
(2)¬p:3≥2. 命题p是假命题，¬p是真命题.
(3)¬p: 存在x0 R,使得x0 0 .
命题p是假命题，¬p是真命题.
活动探究
探究1：逻辑联结词“非”的含义与集合中 学过的哪个概念的意义相同呢？
对“非”的理解，可联想到集合中的“补 集”概念，若命题p对应于集合P，则命题非p 就对应着集合P在全集U中的补集CUP．
探究2：命题的否定与否命题是不是同一概 念呢？
命题的否定与否命题是完全不同的概念
例6：写出命题p: “若m>n则 2m>2n”的否定及它的 否命题,并判断它们的真假.
┓p： 若m n,则2m 2n 假
P的否命题： 若m n,则2m 2n 真
命题的否定与否命题的区别
（1）命题的否定否定结论,量词,否命题否定条件、 结论和量词 （2）命题的否定（非命题）的真假性与原命题相反； 而否命题的真假性与原命题无关，与原命题的逆命题 相同.
命题的”． (2)“非”命题对常见的几个正面词语的否定.
或 = > 是 都是 至多 至少 任 所 有一 有一 意 有 个 个 的的
且 ≠ ≤ 不 不都 至少 没有 某 某 是 是 有两 一个 个 些 个
例4已知命题p：能被5整除的整数的个位数 一定为5；命题q：能被5整除的整数的个位 数一定为0，则p∨q:_______________
拓展延伸
利用复合命题的真假求范围问题
（1）由每个简单命题为真，确定取值范围 （2）由复合命题的真假，得参数所满足的条件，进
而确定参数的取值范围。 转化为集合运算
（1）p或q成立，即求 A B
（2）P且q成立，即求 A B
（3）非P成立，即求 CI A
（4） p或q 为真，P且q为假，即求
ACI B CI A B
（2）若p∨┐q为假命题， 即 p，┐q都是假命题 即P假，q真 ∴ 即求x≤0或x≥5 和x>4或x<-3 的交集 ∴实数x 的取值范围； x<-3或x ≥5
区分：
写出下列命题的否定和否命题： (1)若 abc＝0，则 a、b、c 中至少有一个为零； (2)若 x2＋y2＝0，则 x、y 全为零； (3)平行于同一条直线的两条直线平行．
且 1.4逻辑联结词
或非
我们先来看几个命题: (1)10可以被2或5整除. (2)菱形的对角线互相垂直且平分. (3)0.5非整数. 数学上，“或”,“且”, “非”称为逻辑
联结词.
不含逻辑联结词的命题称为简单命题
由简单命题与逻辑联结词构成的命题称为 复合命题.
逻辑联结词 且
下列三个命题间有什么关系？
全（特） 称命题 的否定
是怎样
一般地,对一个命题p加以否定,就得到的？
一个新命题,称为p的非命题记作 p
读作“非p”或“p的否定”
p p
若p是真命题,则¬p必是假命题;
若p是假命题,则¬p必是真命题.
例5 写出下列命题的否定，并判断它们的真假：
(1)p:y=sinx是周期函数； (2)p:3<2 ； (3)p: 对任意x R,都有x2 0.
∵p是假命题， ∴p∧q是假命题.
（3）该命题是“p或q ”形式,p：周长相等的两个三角 形全等；q：面积相等的两个三角形全等. ∵命题p、q都是假命题， ∴ p∨q是假命题.
判断复合命题真假的步骤：
⑴把复合命题写成两个简单命题，并确定复合命题的构成形式；
⑵判断简单命题的真假；
⑶利用真值表判断复合命题的真假。
对“或”的理解，可联想到集合中“并集”的概 念．A∪B=｛x︱x∈A或x∈B｝中的“或”，它是指 “x∈A”，“x∈B”中至少一个是成立的即x∈A且
xB；也可以x A且x∈B；也可以x∈A且x∈B．
符号“∨”与“∪”开口都是向上
p
q
p∪q
例4：命题p:实数x满足 x 3 , 命题q：实数x满足 x 2 0 ，
1：命题p:函数 y x 是奇函数；
真
命题q:函数 y x 在定义域内是增函数； 真
命题p∧q: 函数 y=x是奇函数且在定义域是 增函数。
真
2：命题p: 2
假
命题q： 3
真
命题p∧q： 小于2且大于3
假
3：命题p: 相似三角形的面积相等；
假
命题q： 相似三角形的周长相等；
假
命题p∧q: 相似三角形的面积相等且周长相等。 假
假真 假 真
假假 假 假
活动探究
探究：逻辑联结词“且”的含义与集合中学 过的哪个概念的意义相同呢？
对“且”的理解，可联想到集合中“交集” 的概念．
A∩B=｛x︱x∈A且x∈B｝中的“且”，是指 “x∈A”和“x∈B”这两个条件都要满足的意思
符号“∧”与“∩”开口都是向下
活动探究
探究：逻辑联结词“或”的含义与集合中 学过的哪个概念的意义相同呢？
C．为假命题
D．为假命题
检测练习 1、p∨q的否定形式为: ┒p且┒q（可从补集角度理解）
2、p∧q的否定形式为: ┒p或┒q
3、p∨ q的否定形式为真命题,则p,q的真假是: ┒p且 ┒q为真命题,即P假q假