电磁场中的基本方程
第一章 电磁理论基本方程-公式
电磁理论基本方程一、电磁理论基本方程1麦克斯韦方程：d d l S t ⎛⎫∂⋅=+⋅ ⎪ ⎪∂⎝⎭⎰⎰⎰D H l J S （1-1） d d l St ∂⋅=-⋅∂⎰⎰⎰B E l S （1-2） d d SVV ⋅=⎰⎰⎰⎰⎰ρD S （1-3） d 0S⋅=⎰⎰B S （1-4） 式中：E ——电场强度（/V m ）H——磁场强度（/A m ）D ——电位移矢量或电通密度（2/C m ） B ——磁感应强度或磁通密度（2/Wb m ）J ——电流密度（2/A m ）ρ——电荷密度（3/C m ）式（1－1）全电流安培环路定律，它表示传导电流和位移电流（即变化的电场）都可以产生磁场式（1－2）为法拉第电磁感应定律，它表示变化的磁场产生电场。
式（1－3）为电场高斯定理，它表示电荷可以产生电场； 式（1－4）为磁场高斯定理，也称为磁通连续原理。
t∂∇⨯=+∂DH J （1－5） t∂∇⨯=-∂BE （1－6） 0∇⋅=B （1－7）∇⋅=ρD （1－8）t∂∇⋅=-∂ ρJ （1－9）式（1－5）表示传导电流密度和位移电流是磁场的旋度源； 式（1－6）表示变化的磁场是电场的旋度源； 式（1－7）表示磁场是无散场；式（1－8）表示电荷密度是电场的散度源。
微分形式的麦克斯韦方程描述了空间的任一点上场与场源的时空变化关系。
由于含有对场量的微分，它只适用于媒质物理性质不发生突变的区域。
式（1－5）、（1－6）、（1－9）是相互独立的。
2广义麦克斯韦方程阐述了电型源和磁型源的麦克斯韦方程的对称性即两组方程是对偶的。
但目前电型源电流和电荷是自然界的实际场，而尚未发现自然界有磁荷和磁流。
3时谐麦克斯韦方程电磁场量,,,,E D H B 是空间和时间的函数，在随时间变化的电磁场中最有用而又最重要的是随时间按正弦或余弦变化的场 ——时谐电磁场。
二物质的电磁特性1电磁场对物质的作用对于均匀、各项同性、线型煤质，在电磁场作用下，其物质内部电荷运动导致煤质的极化、磁化、和传导。
第2章--电磁场基本方程---2
B(z) 0Ia
4π
2π 0
(z2
ez a a2 )3/2
d
'
0 Ia 2
2(z2 a2 )3/ 2
可见，线电流圆环轴线上的磁感应强度只有轴向分量，这是因为
圆环上各对称点处的电流元在场点P产生的磁感应强度的径向分 量相互抵消。
在圆环的中心点上，z = 0，磁感应强度最大，即
B(0)
ez
0 I
dB (r )
0
4π
Idl (r r r3
r )
体电流产生的磁感应强度
B(r ) 0 J (r) R dV
4π V R3 面电流产生的磁感应强度
z
C Idl M
r R r y
o
x
B(r ) 0
4π
S
JS
(r ) R3
R
dS
25
电磁场
第二章 电磁场基本方程
3. 几种典型电流分布的磁感应强度
D
rˆ
q
4r 2
4
电磁场
第二章 电磁场基本方程
电通量为
S
D
ds
q
4r 2
4r 2
q
此通量仅取决于点电荷量q, 而与所取球面的半径无关。
如果在封闭面内的电荷不止一个, 则利用叠加原理知, 穿出封闭 面的电通量总和等于此面所包围的总电量
S D ds Q
－－－ 高斯定理的积分形式(1839
K .F .Gauss导出),
r1 R12 r2
o
x
C2
I2dl2
y
安培磁力定律
F12
0
4π
I2dl2 (I1dl1 R12 )
麦克斯韦电磁场方程
麦克斯韦电磁场方程麦克斯韦电磁场方程是电磁学领域中非常重要的方程组，描述了电磁场的行为和相互作用。
它由四个方程组成，分别是高斯定律、法拉第电磁感应定律、安培定律以及法拉第电磁感应定律的修正形式，这四个方程共同构成了描述电磁场现象的完整框架。
1. 高斯定律（电场）我们来看一下高斯定律，它描述了电场如何与电荷密度相关。
高斯定律可以表示为：∮E·dA = 1/ε₀ ∫ρdV其中，E表示电场强度，dA表示曲面元素的面积矢量，ρ表示电荷密度，ε₀表示真空介电常数。
从这个方程中我们可以得到电场强度的分布情况：在一个闭合曲面的整个表面上，电场强度以曲面法向量方向为正，与曲面的面积成正比。
这个方程告诉我们，闭合曲面上的电场流出量等于该曲面内部所包围的电荷总量。
2. 法拉第电磁感应定律接下来，我们来看一下法拉第电磁感应定律，它描述了一个变化的磁场如何产生感应电动势。
法拉第电磁感应定律可以表示为：∮E·dl = -dΦ/dt其中，Φ表示磁通量，dl表示回路元素的弧长，t表示时间。
根据这个方程，磁场的变化会在闭合回路内产生感应电动势，其大小与磁通量的变化率成正比。
这个方程告诉我们，如果磁场的变化导致了磁通量的改变，就会在闭合回路内产生感应电动势。
3. 安培定律接下来，我们来看一下安培定律，它描述了电流如何与电场和磁场相互作用。
安培定律可以表示为：∮B·dl = μ₀(I + ε₀dΦE/dt)其中B表示磁场强度，I表示电流，dl表示回路元素的弧长，t表示时间，μ₀表示真空磁导率，ΦE表示麦克斯韦通量。
根据这个方程，当电流通过一个闭合回路时，磁场强度的改变会产生一个电场环绕回路，电场的强度与电流变化率成正比。
这个方程告诉我们，电流的变化会通过磁场引起一个环绕回路的电场。
4. 法拉第电磁感应定律的修正形式我们来看一下法拉第电磁感应定律的修正形式，它考虑了磁场对变化电场的影响。
这个修正形式可以表示为：∮E·dl = -dΦB/dt - μ₀ε₀(dΦE/dt)其中E表示电场强度，dl表示回路元素的弧长，t表示时间，ΦB表示磁通量。
写出麦克斯韦方程组的微分形式并说明其物理意义
写出麦克斯韦方程组的微分形式并说明其物理意义麦克斯韦方程组是电磁学的基本方程,描述了电荷和电磁场之间相互作用的规律.它由4个方程组成，其中两个方程是高斯定理，另外两个方程是法拉第定律和安培定理。
这四个方程分别是：1. 高斯定理：$$\nabla \cdot \mathbf{E} =\frac{\rho}{\varepsilon_0}$$这个方程描述了电场强度($\mathbf{E}$)在空间中的分布。
左边的散度运算符($\nabla \cdot$)表示电场通过单位体积的流出量，右边的$\rho$表示单位体积内的电荷密度。
方程右边的比例常数$\varepsilon_0$是真空中的介电常数。
2. 高斯-安培定理：$$\nabla \cdot \mathbf{B} = 0$$这个方程描述了磁场($\mathbf{B}$)的散度为零，即磁场不存在磁荷。
散度为零意味着磁场线没有源或汇。
这四个方程是电磁学中的基本方程，通过它们可以推导出所有的电磁现象。
它们的微分形式描述了电磁场在空间中的分布和变化规律。
它们代表了电磁场与电荷和电流的相互作用，可以应用于不同的情况和问题。
高斯定理用于描述静电场，描述了电荷是如何产生电场的；高斯-安培定理描述了磁场的结构，磁场的产生和变化均由电流来决定；法拉第定律描述了变化的磁场如何产生电场；安培定理描述了变化的电场如何产生磁场。
这些方程描述了电荷和电磁场之间的相互作用，是电磁学研究的基础。
这四个方程的微分形式更加具体和详细地描述了电磁场的分布和变化。
通过对这些方程的求解，可以得到电场和磁场在不同条件下的具体数值，进而得到电磁场的行为和特性。
这对于研究电磁波传播、电磁感应、电磁辐射等现象具有重要意义。
总之，麦克斯韦方程组的微分形式描述了电磁场的产生、分布和变化规律，揭示了电荷和电磁场之间的相互作用。
通过对这些方程的求解和分析，可以深入理解电磁学的各种现象和现象的产生原因，为电磁学的研究和应用提供了重要的理论基础。
电磁场中的薛定谔方程
电磁场中的薛定谔方程
薛定谔方程是描述量子系统的基本方程之一，也是量子力学的基石之一。
薛定谔方程描述了量子系统中粒子的行为和状态随时间的演化。
在电磁场中，薛定谔方程的形式可以写成：
iħ∂Ψ/∂t = [(-ħ²/2m)∇² + V + qφ]Ψ
其中，ħ是普朗克常数除以2π，Ψ是波函数，t是时间，m是粒子的质量，V是势能，q是粒子的电荷，φ是电磁势。
上述方程中第一项描述了粒子的动能，第二项描述了粒子在势能场中的行为，第三项描述了粒子与电磁场之间的相互作用。
薛定谔方程是一个偏微分方程，通过求解它，可以得到粒子在电磁场中的波函数，从而可以推导出粒子的性质和行为。
对于特定的电磁场和势能场，可以通过适当的数值或解析方法求解薛定谔方程。
工程电磁场
E m j Bm
Bm 0
Dm m
不再含有场量对时间t的偏导数，从而使时谐电磁场的分析得 以简化。
例4-2：写出与时谐电磁场对应的复矢量(有效值)或瞬时矢量，
H x jH 0 sin cos(x cos )e
jz sin
E
U e ln( b / a
U I ez ln( b / a ) 2
同轴电缆中的电磁能流
单位时间内流入内外导体间的横截面A的总能量为 b UI P S dA 2d UI A a 2 2 ln b / a 这表明： • 穿出任一横截面的能量相等，电源提供的能量全部被负载吸收。
时变电磁场中媒质分界面上的衔接条件的推导方式与前三章类同，归纳如下：
e n H 2 H 1 k e n E 2 E1 0
E2t E1t
B1n B2n
D2n D1n
e n B2 B1 0
tan 1 1 tan 2 2
时谐电磁场
4.2.1 时谐电磁场的复数表示
E(r, t ) ex Exm r cost x r e y Eym r cost y r ez Ezm r cost z r
（三要素） 是角频率，Exm、Eym、Ezm及x、y、z 分别是 电场强度在直角坐标系下的三个分量的振幅和初相位。 采用相量表示法，上式可表示为如下复矢量(相量)，即
~ j
通常的磁导率
通常的介电常数
表征磁介质中的 磁化损耗
在高频时谐电磁场以上参数通常是频率的函数
当电介质同时存在电极化损耗和欧姆损耗时，其等效复介电 常数可写为 ~ e j 为了表征电介质中损耗的特性，通常采用损耗角的正切
电磁场基本方程
一、电磁场的源——电荷与电流1、电荷与电荷密度宏观上可以用“电荷密度”来描述带电体的电荷分布。
定义体电荷密度为30m C d d lim−→∆⋅=∆∆=VQV Q V ρ其中Q ∆是体积元V ∆内包含的总电荷量。
当电荷存在于一无限薄的薄层或者截面很小的细线上时，可用面电荷密度或线电荷密度来描述20m C d d lim−→∆⋅=∆∆=SQS Q S S ρ10m C d d lim −→∆⋅=∆∆=lQl Q l l ρ一个体积为V 、表面积为S 、线长为l 上包含的电荷总量可以分别对上述三式进行体、面、线积分得到，即∫∫∫=VV Q d ρ、∫∫=SS S Q d ρ、∫=ll lQ d ρ2、电流与电流密度任取一个面，穿过此面的电流定义为单位时间内穿过此面的电荷量，即As C d d lim10或−→∆⋅=∆∆=tQt Q I t 电流的正方向规定与正电荷的运动方向。
体电流密度是一个矢量，方向为正电荷的运动方向，大小等于垂直于运动方向上的单位面积上的电流。
电流密度的大小可表示为20m A lim−→∆⋅∆∆=SI J S 体电流密度矢量由体电荷密度和正电荷的运动速度确定，即vJ r r ⋅=ρ对于任意曲面，穿过此曲面的总电流为∫∫⋅=SSJ I r r d 同样，可以定义面电流密度为10m A lim −→∆⋅∆∆=l IJ l S vJ S S r r ⋅=ρ∫⋅=ls lJ I r r d 3、电流连续性方程（电荷守恒定律）在一个体电荷密度为ρ的带电体内任取一个封闭曲面S ，某瞬间从此封闭曲面流出的电流为i(t)，则()∫∫∫∫∫−=−==⋅V S V t t Q t i S J d d d d d d ρr r 即电流连续性方程（电荷守恒定律）的积分形式。
若体积V 是静止的，则对时间的微分和体积分的次序可以交换，结合散度定理，有∫∫∫∫∫∫∫∫∂∂−=⋅=⋅∇V S V Vt S J V J d d d ρr r r于是，对于任意体积V ，都有tJ ∂∂−=⋅∇ρr 即电流连续性方程（电荷守恒定律）的微分形式。
写出麦克斯韦方程组的积分形式与微分形式,并说明每个方程的物理意义
写出麦克斯韦方程组的积分形式与微分形式,并说明每个方程的物理意义麦克斯韦方程组是电磁学领域中的基本方程组，描述了电磁场的行为，它由四个方程组成，分别是高斯定律、高斯磁场定律、法拉第电磁感应定律和安培环路定律。
1. 高斯定律（积分形式）：麦克斯韦方程组的第一个方程是高斯定律，它描述的是电场通过一个封闭曲面的总通量与内部电荷之比。
其积分形式可以表示为：\[\oint \vec{E}\cdot d\vec{A} = \frac{Q_{in}}{\varepsilon_0}\]这里，\(\vec{E}\) 表示电场，\(d\vec{A}\) 表示曲面元素，\(Q_{in}\) 表示封闭曲面内的净电荷，\(\varepsilon_0\) 是真空介电常数。
这个方程表明了电场对电荷的影响是通过电场通量来描述的。
物理意义：高斯定律说明了电场随着电荷的分布而改变，并且电场的分布是由电荷形成的。
通过对这个方程的理解，我们可以更好理解电场在空间中是如何形成和传播的。
2. 高斯磁场定律（积分形式）：麦克斯韦方程组的第二个方程是高斯磁场定律，它描述的是磁场通过一个闭合曲面的总磁通量等于零。
其积分形式可以表示为：\[\oint \vec{B}\cdot d\vec{A} = 0\]这里，\(\vec{B}\) 表示磁场，\(d\vec{A}\) 表示曲面元素。
这个方程表明了磁场不存在单极子，磁场线总是形成闭合曲线或形成环路的形式。
物理意义：高斯磁场定律说明了磁场的性质，它告诉我们磁场不存在孤立的单极子，而总是存在一对相等大小相反方向的磁极。
这个方程的理解对于磁场的性质和行为有很大的帮助。
3. 法拉第电磁感应定律（微分形式）：麦克斯韦方程组的第三个方程是法拉第电磁感应定律，它描述的是磁场变化所产生的感应电场。
它的微分形式可以表示为：\[\nabla\times \vec{E} = -\frac{\partial \vec{B}}{\partial t}\]这里，\(\nabla\times\) 是旋度算子，\(\vec{E}\) 表示电场，\(\vec{B}\) 表示磁场，\(t\) 表示时间。
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因为S面是任意取的, 所以必有
vv HJ
第二章 电磁场基本方程
2 .1 .5 两个补充的基本方程
在物理学中我们已知, 在静电场中E沿任何闭合路径的线积分恒为零:
vv
Ñl Edl 0
v 利用斯托克斯定理可将左端化为▽×E的面积分, 从而得 E0
这是静电场的另一基本方程, 说明静电场是无旋场即保守场。静 电场的保守性质符合能量守恒定律。这样, 它和重力场性质相似。 物体在重力场中有一定的位能, 同样地, 电荷在静电场中也具有
第二章 电磁场基本方程
若封闭面所包围的体积内的电荷是以体密度ρv分布的, 则所 包围的总电量为
Q V vdv
VD vdvVvdv
上式对不同的V都应成立, 因此两边被积函数必定相等, 于是有
v
Dv
第二章 电磁场基本方程
2 .1 .3 比奥-萨伐定律, 磁通量密度
图 2-2 两个载流回路间的作用力
一定的电位能。 从而可引入v电位函数φ:
E
第二章 电磁场基本方程
静电场既然是无旋场, 则必然是有散场, 它的通量源就是电 荷。电力线起止于正负电荷。静磁场的特性则正好相反。因为 在自然界中并不存在任何单独的磁荷, 磁力线总是闭合的。这样, 闭合的磁力线穿进封闭面多少条, 也必然要穿出同样多的条数, 结果使穿过封闭面的磁通量恒等于零, 即
磁通量密度为B的磁场对电流元Idl的作用力为
v vv FIdlB
第二章 电磁场基本方程
或用运动速度为v的电荷Q表示, Idl=JAdl=ρvAdlv=Qv, 其中A为细导
线截面积, 得
FvQvvBv
对于点电荷q, 上式变成
FvqvvBv
通常将上式作为B的定义公式。点电荷q在静电场中所受的电场
力为qE, 因此, 当点电荷q以速度v在静止电荷和电流附近时, 它所
设某点试验电荷q所受到的电场作用力为F, 则该点的电场强度为
v E
v F
(V
/
m)
q
由库仑定律知, 在离点电荷q距离为r处的电场强度为
v E
rˆ
q
4 0r
2
(2-4)
第二章 电磁场基本方程
2 .1 .2 高斯定理, 电通量密度
除电场强度E外, 描述电场的另一个基本量是电通量密度D, 又称为电位移矢量。 在简单媒质中, 电通量密度由下式定义:
D vE v(C/m 2)
ε是媒质的介电常数, 在真空中ε=ε0。 这样, 对真空中的点电荷q, 由式(2-4)知,
v D rˆ
q
4 r 2
第二章 电磁场基本方程
Ñ 电通量为
SD vdsv4qr24r2q
此通量仅取决于点电荷量q, 而与所取球面的半径无关。 根据立体
角概念不难证明, 当所取封闭面非球面时, 穿过它的电通量将与穿
受的总力为
F vq(E vv vB v)
第二章 电磁场基本方程 例 2 .1 参看图2-3, 长2l的直导线上流过电流I。 求真空中P点 的磁通量密度。
图 2-3 载流直导线
第二章 电磁场基本方程
［解］ 采用柱坐标, 电流Idz′到P点的距离矢量是
v
Rˆzˆ(zz'), R[2(zz')2]1/2
第二章 电磁场基本方程
F v4 0蜒 l l' Idlv(Ir2 'dlv'rˆ)
rˆ 式中, r是电流元I′dl′至Idl的距离, 是由dl′指向dl的单位矢量, μ0是
真空的磁导率:
04107 H/m
v
vv
FÑ l IdlB
B v4 0蜒 lI'd r lv 2 ' r ˆ4 0l'I'd r lv 3 ' r v
是米(m) , 千克(kg) , 秒(s)和安培(A)。 电磁学中其他单位都可由之
导出, 今已列在附录C中, 以供查用。在SI制中, 库仑定律表达为
v F
rˆ
q1q2
40r2
(N)
第二章 电磁场基本方程
式中, q1和q2的单位是库仑(C), r的单位是米(m), ε0是真空的介电
常数:
08.85 14 1 02 31 619 0 F/m
2 .1 .1 库仑定律和电场强度
图 2-1 两点电荷间的作用力
第二章 电磁场基本方程
v F
rˆK
q1q2
r2
式中, K是比例常数, 单位
矢量。若q1和q2同号, 该力是斥力, 异号时为吸力。
比例常数K的数值与力 , 电荷及距离所用的单位有关。 本书
全部采用1960年国际计量大会通过的国际单位制(SI制), 基本单位
蜒 l Bv
v dl
l
ˆ
0I 2
ˆd
0
I
v B
v
Ñl 0 dl I
在简单媒质中, H由下式定义:
v H
v B
(A/ m)
第二章 电磁场基本方程
H称为磁场强度, μ是媒质的磁导率。在真空中μ=μ0, 于是有
vv
Ñ l Hdl I
这一关系式最先由安培基于实验在1823年提出, 故称之为安培环 路定律。它表明, 磁场强度H沿闭合路径的线积分等于该路径所 包围的电流I。这里的I应理解为传导电流的代数和。利用此定律 可方便地计算一些具有对称特征的磁场分布。
第二章 电磁场基本方程
矢量B可看作是电流回路l′作用于单位电流元(Idl=1 A·m)的磁场力, 它是表征电流回路l′在其周围建立的磁场特性的一个物理量, 称为 磁通量密度或磁感应强度。它的单位是
AN mVm2sW m2 bT
毕奥-萨伐(J .B .Biot-F .Savart, 法)定律, 于1820年独立地基于磁 针实验提出。
第二章 电磁场基本方程
第二章 电磁场基本方程
§2.1 静态电磁场的基本定律和基本场矢量 §2.2 法拉弟电磁感应定律和全电流定律 §2.3 麦克斯韦方程组 §2.4 电磁场的边界条件 §2.5 坡印廷定理和坡印廷矢量 §2.6 唯一性定理
第二章 电磁场基本方程
§2 .1 静态电磁场的基本定律和基本场矢量
过一个球面的相同,仍为q。如果在封闭面内的电荷不止一个, 则利
用叠加原理知, 穿出封闭面的电通量总和等于此面所包围的总电
量
Ñ SDvdsvQ
这就是高斯定理的积分形式(1839
K .F .Gauss导出), 即
穿过任一封闭面的电通量, 等于此面所包围的自由电荷总电量。
对于简单的电荷分布, 可方便地利用此关系来求出D。
vv
dl 'Rzˆdz'[ˆzˆ(zz')]ˆdz'
v
Bˆ
0I
4
l
dz'
l 2 (zz')23/2
ˆ
0I
l z
l z
4 2 (zl)2 2 (zl)2
对无限长直导线, l→∞, 有
v B
ˆ
0I
2
第二章 电磁场基本方程
2 .1 .4 安培环路定律, 磁场强度
, 若以ρ为半径绕其一周积分B, 可得