电磁场基本方程
maxwell方程组及边界条件
CQU
0 （静态场） 当 t
D H J t
B E t B 0 D
恒定场是时变电磁场的特殊形式
H J
E 0 B 0 D
en B2 B1 0
B1n B2 n
H 2t H1t K
en H 2 H1 K
电场：
en E2 E1 0 en D2 D1
E2t E1t
D2 n D1n
静电场
E 0 D
恒定电场 E 0 J 0
恒定磁场 H J B 0
D E
J E
BH
5.3.2
分界面上的衔接条件
CQU
时变电磁场中媒质分界面上的衔接条件的推导方式与前三章相 同，归纳如下： 磁场：
CQU
将电荷守恒定律 J c t
D 0 t
带入上式
D C
时变场中不考虑恒定量，令 C =0
D
磁通连续性原理
B ( B) ( E ) 0 t t
折射定律
tan 1 1 tan 2 2
tan 1 1 tan 2 2
s
高斯定律
s
D dS q
麦克斯韦第一、二方程是独立方程，后面两个方程可以从 中推得，由第1方程推导高斯定律。
D H J c v 对第一方程 两边取散度 t D H J c t D 左边为零，右边整理后得 J c D t t
第2章--电磁场基本方程---2
B(z) 0Ia
4π
2π 0
(z2
ez a a2 )3/2
d
'
0 Ia 2
2(z2 a2 )3/ 2
可见，线电流圆环轴线上的磁感应强度只有轴向分量，这是因为
圆环上各对称点处的电流元在场点P产生的磁感应强度的径向分 量相互抵消。
在圆环的中心点上，z = 0，磁感应强度最大，即
B(0)
ez
0 I
dB (r )
0
4π
Idl (r r r3
r )
体电流产生的磁感应强度
B(r ) 0 J (r) R dV
4π V R3 面电流产生的磁感应强度
z
C Idl M
r R r y
o
x
B(r ) 0
4π
S
JS
(r ) R3
R
dS
25
电磁场
第二章 电磁场基本方程
3. 几种典型电流分布的磁感应强度
D
rˆ
q
4r 2
4
电磁场
第二章 电磁场基本方程
电通量为
S
D
ds
q
4r 2
4r 2
q
此通量仅取决于点电荷量q, 而与所取球面的半径无关。
如果在封闭面内的电荷不止一个, 则利用叠加原理知, 穿出封闭 面的电通量总和等于此面所包围的总电量
S D ds Q
－－－ 高斯定理的积分形式(1839
K .F .Gauss导出),
r1 R12 r2
o
x
C2
I2dl2
y
安培磁力定律
F12
0
4π
I2dl2 (I1dl1 R12 )
电磁场的亥姆霍兹方程
电磁场的亥姆霍兹方程
电磁场的亥姆霍兹方程是描述电磁波在介质中传播的重要方程之一。
它是由德国物理学家赫尔曼·冯·亥姆霍兹于19世纪提出的。
亥姆霍兹方程可以表示为：
∇²E + k²E = 0
其中，E代表电场强度，k代表波数，∇²代表拉普拉斯算子。
这个方程描述了电磁波在空间中传播时所满足的条件。
它告诉我们，
电场强度在传播过程中会受到拉普拉斯算子和波数的影响。
当波数为
零时，即没有任何介质存在时，这个方程退化为普通的拉普拉斯方程。
亥姆霍兹方程可以应用于许多领域，比如无线通信、雷达、天线等。
在这些应用中，我们需要了解电磁波在介质中传播的特性，以便更好
地设计和优化相应的设备和系统。
总之，电磁场的亥姆霍兹方程是描述电磁波在介质中传播的重要方程
之一。
它对于许多领域都有着广泛的应用，是我们理解电磁波传播特
性的基础之一。
工程电磁场
E m j Bm
Bm 0
Dm m
不再含有场量对时间t的偏导数，从而使时谐电磁场的分析得 以简化。
例4-2：写出与时谐电磁场对应的复矢量(有效值)或瞬时矢量，
H x jH 0 sin cos(x cos )e
jz sin
E
U e ln( b / a
U I ez ln( b / a ) 2
同轴电缆中的电磁能流
单位时间内流入内外导体间的横截面A的总能量为 b UI P S dA 2d UI A a 2 2 ln b / a 这表明： • 穿出任一横截面的能量相等，电源提供的能量全部被负载吸收。
时变电磁场中媒质分界面上的衔接条件的推导方式与前三章类同，归纳如下：
e n H 2 H 1 k e n E 2 E1 0
E2t E1t
B1n B2n
D2n D1n
e n B2 B1 0
tan 1 1 tan 2 2
时谐电磁场
4.2.1 时谐电磁场的复数表示
E(r, t ) ex Exm r cost x r e y Eym r cost y r ez Ezm r cost z r
（三要素） 是角频率，Exm、Eym、Ezm及x、y、z 分别是 电场强度在直角坐标系下的三个分量的振幅和初相位。 采用相量表示法，上式可表示为如下复矢量(相量)，即
~ j
通常的磁导率
通常的介电常数
表征磁介质中的 磁化损耗
在高频时谐电磁场以上参数通常是频率的函数
当电介质同时存在电极化损耗和欧姆损耗时，其等效复介电 常数可写为 ~ e j 为了表征电介质中损耗的特性，通常采用损耗角的正切
麦克斯韦方程组推导过程
麦克斯韦方程组推导过程麦克斯韦方程组是描述电磁场的基本方程组，包括波动方程、电磁场连续性方程和电磁场力方程。
下面是麦克斯韦方程组的推导过程：首先，我们考虑电磁场的波动方程。
波动方程描述了电磁场的振荡现象，可以用电场E和磁场H的函数来表示。
根据电磁场波动方程的表达式，我们可以将其分为两部分：一部分是电荷密度ρ，另一部分是电流密度J。
其中，电荷密度ρ表示电磁场中的电荷分布情况，而电流密度J 则表示电磁场中的电流分布情况。
波动方程中的变量E和H则表示电磁场中的电场强度和磁场强度。
接下来，我们考虑电磁场连续性方程。
电磁场连续性方程描述了电磁场的变化规律，它与电荷守恒定律和麦克斯韦方程组密切相关。
根据电磁场连续性方程的表达式，我们可以将其分为两部分：一部分是电荷守恒定律，另一部分是麦克斯韦方程组。
其中，电荷守恒定律表示电荷在时间t内的变化量等于电流密度J在时间t内的变化量。
而麦克斯韦方程组则表示电荷密度ρ在时间t内的变化量等于电场强度E在时间t内的变化量加上磁场强度H在时间t内的变化量。
最后，我们考虑电磁场力方程。
电磁场力方程描述了电磁场对带电粒子的作用力，它可以用库仑定律和安培定律来表示。
根据电磁场力方程的表达式，我们可以将其分为两部分：一部分是库仑定律，另一部分是安培定律。
其中，库仑定律表示两个点电荷之间的作用力与它们之间的距离的平方成反比，与它们的电荷量成正比。
而安培定律则表示电流密度J与磁场强度H之间的关系，它表示了电流在磁场中受到的作用力与电流密度J和磁场强度H之间的关系。
综上所述，麦克斯韦方程组的推导过程需要结合波动方程、电磁场连续性方程和电磁场力方程，通过这些方程的组合推导出麦克斯韦方程组。
这个推导过程需要用到一些数学知识和物理概念，如微积分、向量运算等。
通过推导麦克斯韦方程组，我们可以更好地理解电磁场的性质和规律，从而更好地应用于科学研究和实际应用中。
麦克斯韦方程组数学表达式
麦克斯韦方程组数学表达式麦克斯韦方程组是描述电磁场的基本方程，它由四个方程组成，分别为高斯定律、法拉第电磁感应定律、安培环路定理和法拉第电磁感应定律的积分形式。
这四个方程的数学表达式如下：1. 高斯定律（电场电荷密度定理）：$$ablacdotmathbf{E}=frac{rho}{epsilon_0}$$其中，$ablacdotmathbf{E}$表示电场的散度，$rho$表示电荷密度，$epsilon_0$为真空介电常数。
2. 法拉第电磁感应定律（电动势定理）：$$oint_Cmathbf{E}cdotdmathbf{l}=-frac{d}{dt}int_Smathbf{B}cdot dmathbf{A}$$ 其中，$C$表示一条封闭路径，$mathbf{E}$表示电场强度，$mathbf{B}$表示磁场强度，$S$表示该路径所围成的面积。
3. 安培环路定理（磁场电流密度定理）：$$ablatimesmathbf{B}=mu_0mathbf{J}+mu_0epsilon_0frac{partialm athbf{E}}{partial t}$$其中，$ablatimesmathbf{B}$表示磁场的旋度，$mathbf{J}$表示电流密度，$mu_0$为真空磁导率，$epsilon_0$为真空介电常数。
4. 法拉第电磁感应定律的积分形式（法拉第电磁感应定律的通量定理）：$$oint_Smathbf{E}cdotdmathbf{A}=-frac{d}{dt}int_Vmathbf{B}cdot dmathbf{V}$$ 其中，$S$表示一个封闭曲面，$mathbf{E}$表示电场强度，$mathbf{B}$表示磁场强度，$V$表示该曲面所围成的体积。
《电磁场理论》5.2 恒定磁场的基本方程
两边取旋度
2
l
0
B 0 J
( B) 2 B 0 B
0
B ( B) B
2 B 0 B
直接求解法在理论上可以求出空间磁场分布，但一般 7 不采用此法(难于求解)，而利用辅助函数求解。
可ห้องสมุดไป่ตู้，
1 J (r) 1 ( ) J (r ) ( ) J (r) R R R
R R R
已知： J (r) 0
0 B 4
J (r ) V ' ( R )dV '
J (r ) v ' ( R )dV '
3
对上式两边分别取旋度，得
5.2
真空中磁场的基本方程
静磁场是由恒定电流产生的，它是在电流周围形 成的一个特殊的矢量场分布。通过对磁感应强度的散 度和旋度进行分析，可以全面地了解空间磁场分布的 特性，进而得出静磁场的一般性质。 一、 B 的散度和通量 设恒定电流分布在体积V内，电流密度为 J ( r )，空间任 意点 r 的磁感应强度为
0 B 4
v'
1 R 3 0 J (r ) R R R B dV 3
R
1 J (r ) ( )dV 4 v ' R
对上式两边分别取散度，有 0 1 B [ J (r ) ( )]dV 4 v ' R
1
0 B 4
S
A dS
0 J (r ) 2 1 { ( )dV ' J (r ) ( )dV '} v ' v' 4 R R
0 J (r ) 2 1 { d S ' J (r ) ( )dV '} S ' v' 4 R R
电磁场扩散方程
电磁场扩散方程电磁场扩散方程是描述电磁场在空间中传播和变化的基本方程。
它是由麦克斯韦方程组推导得到的，以满足电磁场在空间中的连续性和守恒性。
电磁场扩散方程在电磁学、无线通信、电磁波传播等领域有着广泛的应用。
电磁场扩散方程的形式为：∇²E = με∂²E/∂t²其中，E为电场强度，μ为磁导率，ε为介电常数，t为时间。
这个方程描述了电磁场在空间中的扩散和变化。
左边的∇²E表示电场强度的拉普拉斯算符，它描述了电场在空间中的二阶导数。
右边的με∂²E/∂t²表示电场强度随时间的变化率，它描述了电场随时间的变化。
根据电磁场扩散方程，可以得到电磁波的传播速度为1/√(με)。
这意味着电磁波在真空中的传播速度为光速，即299,792,458米每秒。
这个速度是由电磁场的基本性质决定的，与电磁波的频率和波长无关。
电磁场扩散方程的解决方法有很多种，其中最常用的是分离变量法和傅里叶变换法。
分离变量法是将电磁场分解成空间和时间两个分量，然后分别求解。
傅里叶变换法是将电磁场表示为频域函数，通过傅里叶变换将时间域的微分方程转换为频域的代数方程，然后求解。
电磁场扩散方程在无线通信中有着重要的应用。
无线通信是利用电磁波在空间中的传播进行信息传输的技术。
通过电磁场扩散方程，可以分析和设计无线通信系统中的天线、信道和调制解调器等关键组件。
另外，电磁场扩散方程也可以用于电磁波在地球大气层中的传播研究，以及雷达和卫星通信等领域。
电磁场扩散方程是描述电磁场在空间中传播和变化的基本方程。
它在电磁学和无线通信等领域有着广泛的应用。
通过研究和解决电磁场扩散方程，可以深入理解电磁场的性质，优化和改进电磁波的传播和应用。
电磁场扩散方程对于推动科技的发展和改善人类生活具有重要意义。
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一、电磁场的源——电荷与电流1、电荷与电荷密度宏观上可以用“电荷密度”来描述带电体的电荷分布。
定义体电荷密度为30m C d d lim−→∆⋅=∆∆=VQV Q V ρ其中Q ∆是体积元V ∆内包含的总电荷量。
当电荷存在于一无限薄的薄层或者截面很小的细线上时，可用面电荷密度或线电荷密度来描述20m C d d lim−→∆⋅=∆∆=SQS Q S S ρ10m C d d lim −→∆⋅=∆∆=lQl Q l l ρ一个体积为V 、表面积为S 、线长为l 上包含的电荷总量可以分别对上述三式进行体、面、线积分得到，即∫∫∫=VV Q d ρ、∫∫=SS S Q d ρ、∫=ll lQ d ρ2、电流与电流密度任取一个面，穿过此面的电流定义为单位时间内穿过此面的电荷量，即As C d d lim10或−→∆⋅=∆∆=tQt Q I t 电流的正方向规定与正电荷的运动方向。
体电流密度是一个矢量，方向为正电荷的运动方向，大小等于垂直于运动方向上的单位面积上的电流。
电流密度的大小可表示为20m A lim−→∆⋅∆∆=SI J S 体电流密度矢量由体电荷密度和正电荷的运动速度确定，即vJ r r ⋅=ρ对于任意曲面，穿过此曲面的总电流为∫∫⋅=SSJ I r r d 同样，可以定义面电流密度为10m A lim −→∆⋅∆∆=l IJ l S vJ S S r r ⋅=ρ∫⋅=ls lJ I r r d 3、电流连续性方程（电荷守恒定律）在一个体电荷密度为ρ的带电体内任取一个封闭曲面S ，某瞬间从此封闭曲面流出的电流为i(t)，则()∫∫∫∫∫−=−==⋅V S V t t Q t i S J d d d d d d ρr r 即电流连续性方程（电荷守恒定律）的积分形式。
若体积V 是静止的，则对时间的微分和体积分的次序可以交换，结合散度定理，有∫∫∫∫∫∫∫∫∂∂−=⋅=⋅∇V S V Vt S J V J d d d ρr r r于是，对于任意体积V ，都有tJ ∂∂−=⋅∇ρr 即电流连续性方程（电荷守恒定律）的微分形式。
当导体内通过恒定的电流（直流）时，0=⋅∇J r 或0d =⋅∫∫SS J r r 这表明通过任意封闭曲面的净直流为零。
将封闭曲面S 收缩为一点，即可解释直流电路中的基尔霍夫电流定律。
二、静态场的基本方程1、库仑定律与电场强度若两个带电体的尺寸远远小于带电体之间的距离，则带电体可视为点电荷。
库仑定律是关于两个点电荷之间相互作用力的定量描述。
库仑定律叙述为：真空中两个点电荷之间相互作用力的方向沿着这两个点电荷的连线，同号电荷相互排斥、异号电荷相互吸引，作用力的大小与两个点电荷电量的乘积成正比、与这两个点电荷之间的距离平方成反比。
()Ra R Q Q R R Q Q r r r r Q Q F r r r r r r r 202130211231202121444πεπεπε==−−=其中21F r 表示点电荷Q 1作用于点电荷Q 2的力，1r r 和2r r表示点电荷Q 1作用于点电荷Q 2的矢径（从原点到该点的距离矢量），R r是Q 1到Q 2的距离矢量，0ε为真空介电常数，其值为11290m F 10854.810361−−−⋅×≈×=πε电场中某点的电场强度等于单位正电荷在该点所受的力（试验电荷应尽可能小，从而使原电场受到的影响可忽略不计），即110m V C N −−⋅⋅=或Q F E r r 因此真空中到点电荷Q 的距离为R 处的电场强度为RR Q E r r 304πε=若真空中有n 个点电荷，则空间中某点p 的总电场强度为∑==ni i ii R R Q E 13041r r πε其中i i r r R r r r −=表示从Q i 到p 点的距离矢量，r r 和i r r为分别为p 点和Q i 的矢径。
对于真空中有限区域V 内连续分布的体电荷，在V 之外任意一点处的电场强度为()()∫∫∫′′−′−′=VV r r r r r E d 4130rr r r rr ρπε类似地，面分布和线分布电荷产生的电场强度为()()∫∫′′−′−′=S S S r r r r r E d 4130r r r r rr ρπε()()∫′′−′−′=l l l r r r r r E d 4130rr r r r r ρπε2、高斯定理与电通量密度真空中，电通量密度（电位移矢量）可由电场强度定义为20m C −⋅=ED rr ε高斯定理叙述为：穿过真空或自由空间中任意一个封闭曲面的电通量等于该封闭曲面所包围的体积内的自由电荷量，即∫∫∫∫∫==⋅VSV Q S D d d ρrr 或∫∫∫∫∫==⋅V S VQ S E d 1d 00ρεεr r 对等式左端应用散度定理，得∫∫∫∫∫∫=⋅∇VVV V D d d ρr或∫∫∫∫∫∫=⋅∇VVVV E d 1d 0ρεr 即ρ=⋅∇D r或0ερ=⋅∇E r 表明空间任一点处电通量密度的散度等于该点的体电荷密度。
3、静电场的无旋性静电场由电荷产生，属于“有心力场”。
有心力场做功与路径无关，因此静电场是无旋场或保守场，即0d =⋅∫ll E r r 或0r r =×∇E 4、毕奥-萨伐尔定律与磁感应强度如图，真空中，两个载有直流I 1和I 2的回路l 1和l 2，安培总结出回路l 1对l 2的作用力为()Nd d 42121122021∫∫××=l l RRa l I l I F rr r r πµ此式称为安培力（磁场力）定律，0µ为真空磁导率，其值为170m H 104−−⋅×=πµ安培力定律可以改写为()∫∫∫∫∫×=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛××=××=2212112221102221122021d d 4d d d 4ll l R l l RB l I R a l I l I R a l I l I F r r rr r rr r r πµπµ式中Td 4121101∫×=l RR a l I B r r r πµ其大小为∫=121101sin d 4l R l I B απµ1B r可视为回路l 1作用于回路l 2的单位电流元上的磁场力，它表征回路l 1在其周围建立的磁场特性的一个基本物理量，称为磁感应强度，单位特斯拉（T ）。
一般地，当载流导体置于外磁场中时，导体所受磁场力为∫×=lBl I F r r rd 由于()V J l S J l I d d d r r r =⋅=则∫∫∫×=VVB J F d r r r 这就是安培力定律的一般形式。
若运动速度为v r（v 远远小于真空光速c ）、电荷密度为ρ的体电荷在磁感应强度为B r 的磁场中运动，则电荷微元dQ 所受的磁场力为BQ v F r r r ×=d d 若电流以体密度分布在体积V 内或者以面密度分布在曲面S 上，则体电流及面电流在真空或自由空间中产生的磁感应强度分别为∫∫∫×=V V R R J B d 430rr r πµ∫∫×=S S SR R J B d 430r r r πµ5、磁通量与磁通连续性原理磁感应强度对一个曲面的面积分称为磁通量，故磁感应强度又称磁通量密度，即Wbd ∫∫⋅=ΦSSB r r 由于自然界中磁体的NS 极不能分开，因此由磁体N 极发出的磁力线条数应正好等于进入S 极的磁力线条数，这表明磁力线永远是闭合的；换而言之，穿过任一封闭曲面的磁通量恒等于零，即d =⋅∫∫SS B r r 这就是磁通连续性原理（或称磁的高斯定理）的积分形式。
左端利用散度定理，得()0d =⋅∇∫∫∫V V B r=⋅∇B r 这就是磁通连续性原理的微分形式，它表明磁场的散度恒为零，磁场是无散场。
6、安培环路定律与磁场强度安培环路定律叙述为：真空中磁通量密度沿任意封闭曲线的线积分正比于此封闭曲线所包围的电流，即Il B l⋅=⋅∫0d µrr 类似于电通量密度的定义，将真空或自由空间的磁场强度定义为1m A −⋅=µB H r r 于是I l H l=⋅∫r r d 若封闭曲线包围的电流是以体电流密度形式分布的，则∫∫∫⋅=⋅SlSJ l H r r r r d d 方程左端应用斯托克斯定理化为面积分，得()∫∫∫∫⋅=×∇SSSJ S H r r r r d d JH r r =×∇这就是安培环路定律的微分形式，它表明磁场存在漩涡源。
三、电磁感应定律与全电流定律1、电磁感应定律法拉第（M.Faraday ）于1831年在实验中首次观察到，一个导线回路所交链的磁通量随时间变化时，回路中就感应一个电动势，且感应电动势的大小正比于磁通量随时间的变化率。
感应电动势的极性由楞次（E.Lenz ）定律决定。
楞次定律指出，感应电动势以及它所引起的感应电流力图使回路所交链的磁通量保持不变。
法拉第的实验结果和楞次定律相结合就称为法拉第电磁感应定律，简称为电磁感应定律，其数学表达式为te d d Φ−=由于导线回路内维持电流就必须在此导体内存在电场，因此可以用导体内的感应电场强度来定义感应电动势∫⋅=llE e r r d 积分路径l r是沿着导线回路的感应电流方向。
若闭合曲线包围的总磁通量为∫∫⋅=ΦS S B rr d ，则∫∫∫⋅−=⋅S l SB t l E r r r r d d dd 式中S rd 的方向与闭合曲线l r 的绕行方向之间满足右手螺旋关系。
这表明感应电场沿任意闭曲线的线积分等于该路径所交链磁通量随时间变化率的负值。
由于导线回路内磁通量的变化既可以由磁场随时间变化引起，也可以由回路本身在磁场中运动引起。
当导线回路在时变磁场中以速度v r运动时，总的感应电动势为()∫∫∫∫⋅×+⋅∂∂−==⋅l S l lB v S t B e l E r r r rrr r d d d 这就是电磁感应定律的积分形式，式中右端第一项代表磁场随时间变化引起的“感生电动势”，第二项代表回路运动引起的“动生电动势”。
利用斯托克斯定理，得()()∫∫∫∫∫∫⋅××∇+⋅∂∂−=⋅×∇SS SSB v S t B S E r r r r rr r d d d ()Bv tB E r r r r ××∇+∂∂−=×∇若回路是静止的，则tB E ∂∂−=×∇r r 这就是电磁感应定律的微分形式。