高中数学高考题详解基本不等式
考点29 基本不等式
一、选择题
1.（2013·重庆高考理科·Ｔ3
）63)a -≤≤的最大值为 ( ) A.9 B.2
9
C.3
D. 2
2
3 【解题指南】直接利用基本不等式求解.
【解析】选B. 当6-=a 或3=a 时, 0)6)(3(=+-a a ，当36<<-a 时,
2
9263)6)(3(=++-≤
+-a a a a ,当且仅当,63+=-a a 即23
=a 时取等号.
2. （2013·山东高考理科·Ｔ12）设正实数x,y,z 满足x 2-3xy+4y 2-z =0.则当
xy
z
取得最大值时，212x y z +-的最大值为（ ）?
A.0????
B.1??
C. 94
? ??D.3?
【解题指南】此题可先利用已知条件用x,y 来表示z ，再经过变形，转化为基本不等式的问题，取等号的条件可直接代入212x
y
z
+-，进而再利用基本不等式求出2
12x
y
z
+-的最值.
【解析】选B. 由22340x xy y z -+-=，得2234z x xy y =-+. 所以
22
14343xy xy x y z x xy y y x ==-++
-1≤=，当且仅当4x y y x =，即2x y =时取等号此时22y z =， 1)(max =z
xy
.
xy y y z y x 2122212-+=-+)211(2)11(2y y x y -=-=2
11122412y y ??+- ?
?≤= ?
???
. 3. （2013·山东高考文科·Ｔ12）设正实数z y x ,,满足04322=-+-z y xy x ，
则当
z
xy
取得最大值时，2x y z +-的最大值为（ ） A.0 B.9
8 C.2 D.94
【解题指南】此题可先利用已知条件用x,y 来表示z ，再经过变形，转化为基本不等式的问题，取等号的条件可直接代入2x y z +-，进而再利用基本不等式求出2x y z +-的最值.
【解析】 选C. 由22340x xy y z -+-=，得2234z x xy y =-+.
所以1342344322=-?≥-+=+-=x
y
y x x y y x xy y xy x xy z ，当且仅当4x y y x =
， 即2x y =时取等号此时22y z =，
所以()2222222422222
22=??
?
??-+≤-=-=-+=-+y y y y y y y y y z y x ，
当且仅当y=2-y 时取等号.
4.(2013·福建高考文科·T7)若2x +2y =1,则x+y 的取值范围是 ( ) A ．[]0,2 B ．[]2,0- C ．[)2,-+∞ D ．(],2-∞- 【解题指南】“一正二定三相等”,当题目出现正数,出现两变量,一般而言,这种题就是在考查基本不等式.
【解析】选D. ≤2x +2y =1,所以2x+y ≤14
,即2x+y ≤2-2,所以x+y ≤-2. 二、填空题
5. （2013·四川高考文科·Ｔ13）已知函数()4(0,0)a f x x x a x
=+>>在3x =时取得最小值，则a =____________。
【解题指南】本题考查的是基本不等式的等号成立的条件，在求解时需要找到等号成立的条件，将3x =代入即可.
【解析】由题()4(0,0)a
f x x x a x
=+>>，根据基本不等式4a x x +≥
4a
x x
=
时取等号，而由题知当3x =时取得最小值，即36a =. 【答案】36
6.（2013·天津高考文科·Ｔ14）设a + b = 2, b >0, 则1||
2||a a b
+
的最小值为 . 【解题指南】将
1||
2||a a b
+
中的1由a + b 代换，再由均值不等式求解.
【解析】因为a + b = 2, b >0，所以
1||||||
2||4||4||4||++=+=++
a a
b a a b a a b a b a a b
14||4||≥
+=+a a a a ，当且仅当||
4||=b a a b 时等号成立，此时2=-a ，或23
=a ， 若2=-a ，则
314||4+=a a ，若2
3=a ，则51.4||4+=a a 所以
1||2||a a b +的最小值为3.4
【答案】3
4
7. （2013·天津高考理科·Ｔ14）设a + b = 2, b >0, 则当a = 时,
1||
2||a a b
+取得最小值. 【解题指南】将
1||2||a a b
+中的1由a + b 代换，再由均值不等式求解.
【解析】因为a + b = 2, b >0，所以
1||||||
2||4||4||4||++=+=++
a a
b a a b a a b a b a a b
14||4||≥
+=+a a a a ，当且仅当||
4||=b a a b 时等号成立，此时2=-a ，或23
=a ， 若2=-a ，则
314||4+=a a ，若2
3
=a ，则51.4||4+=a a 所以
1||2||a a b +取最小值时，2=-a . 【答案】-2
8.（2013·上海高考文科·T13）设常数a ＞0.若1x 92
+≥+a x
a 对一切正实数
x 成立，则a 的取值范围为 . 【解析】 考查均值不等式的应用，
5
1
16929)(,022≥?+≥=+≥+=>a a a x a x x a x x f x 时由题意知，当
【答案】 ),5
1
[∞
9. （2013·陕西高考文科·Ｔ14）在如图所示的锐角三角形空地中, 欲建一个面积最大的内接矩形花园(阴影部分), 则其边长x 为 (m ). 【解题指南】设出矩形的高y ，由题目已知列出x ，y 的关系式，整理后利用均值不等式解决应用问题.
【解析】设矩形高为y , 由三角形相似得:
40,40,0,0,40
4040<<>>-=y x y x y x 且 40020,240取最大值时，矩形的面积仅当xy s y x xy y x ===≥+=?.
【答案】20.
2014年全国高考理科数学试题：不等式选讲
一、填空题
1 1．（2014年广州数学（理）试题）不等式521≥++-x x 的解集为 。
2 2．（2014年高考陕西卷（理））(不等式选做题)设,,,a b m n R ∈，且
22
5,5a b ma nb +=+=，
则的最小值为___________________
3 3．（2014年高考江西卷（理））对任意,x y R ∈,111x x y y -++-++的最小值为（ ） A.1 B.2 C.3 D.4
4 4．（2014年高考安徽卷（理）若函数()12f x x x a =+++的最小值3，则实数a 的值为（ ） A.5或8 B.1-或
5 C. 1-或4- D.4-或8
5.（2014年高考湖南卷（理）若关于x 的不等式32<-ax 的解集为?
??
???<<-3135|x x ，则a=_________________
6.（2014年高考重庆卷（理）设函数f(x)＝｜x －1｜，则不等式1)( 二、解答题 5 1．（2014年高考新课标2（理））（本小题满分10）选修4-5：不等式选讲 设函数()f x =1(0)x x a a a ++-> （Ⅰ）证明：()f x ≥2； （Ⅱ）若()35f <，求a 的取值范围. 2.6 （2014年辽宁数学（理）试题）选修4-5:不等式选讲 设函数1816)(,112)(2+-=-+-=x x x g x x x f ，记1)(≤x f 的解集为M ，4)(≤x g 的解集为N.?（1）求M ；?（2）当N M x ?∈时，证明：[]4 1 )()(2 2 ≤ +x f x x f x 37 ．（2014年福建数学（理）试题（纯WORD 版））选修 4 -5:不等式选讲 已知定义在 R 上的函数()|1||2|f x x x =++- 的最小值为 a. (Ⅰ) 求 a 的值; (Ⅱ) 若 p, q, r 是正实数, 且满足 p+q+r = a, 求证:2223p q r ++≥. 8 4．（2014年高考新课标1（理））（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲 若0,0a b >>，且 11 ab a b +=. (Ⅰ) 求3 3 a b +的最小值； （Ⅱ）是否存在,a b ，使得236a b +=？并说明理由. 二．只涉及两个绝对值，不再有其它项时，用平方法去绝对值 1.（2011年高考广东卷理科9)不等式130x x +--≥的解集是______. 2.【2012高考真题湖南理10】不等式|2x+1|-2|x-1|>0的解集为_______. 三．涉及两个且另有一常数时，用分段讨论法去绝对值 1.【2012高考真题广东理9】不等式|x+2|-|x|≤1的解集为_____． 2. (2011年高考山东卷理科4)不等式|5||3|10x x -++≥的解集为 （A ）[-5.7] （B ）[-4,6] （C ）(,5][7,)-∞-?+∞ （D ）(,4][6,)-∞-?+∞ 3.【2012高考真题江西理16】（不等式选做题）在实数范围内，不等式|2x-1|+|2x+1|≤6的解集为___________。 4. (2011年高考天津卷理科13) 已知集合{}1|349,|4,(0,)A x R x x B x R x t t t ?? =∈++-≤=∈=+∈+∞???? ，则集合 A B ?=________. 5【2012高考真题新课标理24】（本小题满分10分）选修45-：不等式选讲 已知函数()2f x x a x =++- （1）当3a =-时，求不等式()3f x ≥的解集； （2）若()4f x x ≤-的解集包含[1,2]，求a 的取值范围. 6．(2011年高考辽宁卷理科24)（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 已知函数f （x ）=|x-2|-|x-5|. （I ）证明：-3≤f （x ）≤3； （II ）求不等式f （x ）≥x 2-8x+15的解集. 四：利用数轴法求解 1.【2012高考真题陕西理15】A.（不等式选做题）若存在实数x 使|||1|3x a x -+-≤成立，则实数a 的取值范围是 . 2.若不等式24≥++-a x x 对所有的x 都恒成立，则a 的取值范围是 3．（2009辽宁选作24） 设函数.|||1|)(a x x x f -+-= （I ）若3)(,1≥-=x f a 解不等式； （II ）如果a x f x 求,2)(,≥∈?R 的取值范围。 五．涉及绝对值不等式的恒成立问题，方法：分段去绝对值 1．（2010年高考福建卷理科21）（本小题满分7分）选修4-5：不等式选讲 已知函数。 （Ⅰ）若不等式 的解集为 ，求实数的值； （Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，若对一切实数x 恒成立，求实数m 的取值 范围。 2．(2011年高考陕西卷理科15)（不等式选做题）若关于x 的不等式12a x x ≥++-存在实数解，则实数a 的取值范围是 3.【2012高考真题辽宁理24】(本小题满分10分)选修4-5：不等式选讲 已知()|1|()f x ax a R =+∈，不等式3)(≤x f 的解集为}12{≤≤-x x 。 (Ⅰ)求a 的值； (Ⅱ)若k x f x f ≤-)2 (2)(恒成立，求k 的取值范围。 六：性质：y x y x +≤-，y x y x +≤+运用 1. (2010年高考福建卷理科)对于实数x ，y ，若11≤-x ，12≤-y ，则12+-y x 的最大值为 . 2.【2012高考江苏24】[选修4 - 5：不等式选讲] （10分）已知实数x ，y 满足： 11|||2|36x y x y +< -<，， 求证：5 ||18 y <． 2. 比较法解不等式 1．(2011年高考福建卷理科21)（本小题满分7分）选修4-5：不等式选讲设不等式1 2＜的解集为M． 1- x （I）求集合M； （II）若a，b∈M，试比较ab+1与a+b的大小． 2．（2010年高考江苏卷试题21）选修4-5：不等式选讲（本小题满分10分）设a、b是非负实数，求证：。 3.均值不等式及其推广的运用 1.【2012高考真题福建理23】（本小题满分7分）选修4-5：不等式选讲 已知函数f（x）=m-|x-2|，m∈R，且f（x+2）≥0的解集为[-1,1]. （Ⅰ）求m的值； （Ⅱ）若a，b，c∈R，且 3．（2010年高考辽宁卷理科24）（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 已知均为正数，证明：，并确定为何值时，等号成立。 高中数学基本不等式的巧用 一．基本不等式 1.（1）若R b a ∈,，则ab b a 22 2 ≥+ (2)若R b a ∈,，则2 2 2b a ab +≤（当且仅当b a =时取“=”） 2. (1)若*,R b a ∈，则ab b a ≥+2 (2)若* ,R b a ∈，则ab b a 2≥+（当且仅当b a =时取“=” ） (3)若* ,R b a ∈，则2 2?? ? ??+≤b a ab (当且仅当b a =时取“=”） 3.若0x >，则12x x + ≥ (当且仅当1x =时取 “=”）;若0x <，则1 2x x +≤- (当且仅当1x =-时取“=”） 若0x ≠，则11122-2x x x x x x +≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=”） 3.若0>ab ，则2≥+a b b a (当且仅当b a =时取“=”） 若0ab ≠，则 22-2a b a b a b b a b a b a +≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=” ） 4.若R b a ∈,，则2 )2( 2 22b a b a +≤ +（当且仅当b a =时取“=”） 注：（1）当两个正数的积为定植时，可以求它们的和的最小值，当两个正数的和为定植时，可以求它们的 积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积最大”． （2）求最值的条件“一正，二定，三取等” (3)均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范围、证明不等式、解决实际问题方面有广泛的应用． 应用一：求最值 例1：求下列函数的值域 （1）y ＝3x 2 ＋12x 2 （2）y ＝x ＋1x 解：（1）y ＝3x 2 ＋12x 2 ≥2 3x 2 ·12x 2 ＝ 6 ∴值域为[ 6 ，+∞） （2）当x ＞0时，y ＝x ＋1 x ≥2 x ·1 x ＝2； 当x ＜0时， y ＝x ＋1x = －（－ x －1 x ）≤－2 x ·1 x =－2 ∴值域为（－∞，－2]∪[2，+∞） 解题技巧： 技巧一：凑项 例1：已知5 4x < ，求函数14245 y x x =-+-的最大值。 解：因450x -<，所以首先要“调整”符号，又1 (42)45 x x --g 不是常数，所以对42x -要进行拆、凑项， 5,5404x x <∴->Q ，11425434554y x x x x ??∴=-+=--++ ?--? ?231≤-+= 当且仅当1 5454x x -= -，即1x =时，上式等号成立，故当1x =时，max 1y =。 不等式的证明方法 不等式的证明是高中数学的一个难点，证明方法多种多样，近几年高考出现较为形式较为活跃，证明中经常需与函数、数列的知识综合应用，灵活的掌握运用各种方法是学好这部分知识的一个前提，下面我们将证明中常见的几种方法作一列举。 注意ab b a 22 2 ≥+的变式应用。常用2 222b a b a +≥ + (其中+ ∈R b a ,)来解决有关根式不等式的问题。 一、比较法 比较法是证明不等式最基本的方法，有做差比较和作商比较两种基本途径。 1、已知a,b,c 均为正数，求证： a c c b b a c b a ++ +++≥++1 11212121 证明：∵a,b 均为正数， ∴ 0) (4)(44)()(14141)(2 ≥+=+-+++=+-+-b a ab b a ab ab b a a b a b b a b a b a 同理 0)(41 4141)(2 ≥+= +-+-c b bc c b c b c b ，0) (414141)(2 ≥+=+-+-c a ac a c a c a c 三式相加，可得 01 11212121≥+-+-+-++a c c b b a c b a ∴a c c b b a c b a ++ +++≥++111212121 二、综合法 综合法是依据题设条件与基本不等式的性质等，运用不等式的变换，从已知条件推出所要证明的结论。 2、a 、b 、),0(∞+∈c ，1=++c b a ，求证： 31222≥ ++c b a 证：2 222)(1)(3c b a c b a ++=≥++?∴ 2222)()(3c b a c b a ++-++0 )()()(222222222222≥-+-+-=---++=a c c b b a ca bc ab c b a 3、设a 、b 、c 是互不相等的正数，求证：)(4 4 4 c b a abc c b a ++>++ 证 ： ∵ 2 2442b a b a >+ 2 2442c b c b >+ 2 2442a c a c >+∴ 222222444a c c b b a c b a ++>++ ∵ c ab c b b a c b b a 2 2222222222=?>+同理：a bc a c c b 222222>+ b ca b a a c 222222>+ ∴ )(222222c b a abc a c c b b a ++>++ 4、 知a,b,c R ∈，求证: )(22 2 2 2 2 2 c b a a c c b b a ++≥++ ++ + 证明：∵ ) (2 2 2 2 2 2 2 2)(22b a b a b a b a ab ab +≥++≥+∴≥+ 不等式证明基本方法 例1 ：求证：221a b a b ab ++≥+- 分析：比较法证明不等式是不等式证明的最基本的方法，常用作差法和作商法，此题用作差法较为简便。 证明：221()a b a b ab ++-+- 2221[()(1)(1)]02 a b a b =-+-+-≥ 评注：1．比较法之一（作差法）步骤：作差——变形——判断与0的关系——结论 2．作差后的变形常用方法有因式分解、配方、通分、有理化等，应注意结合式子的形式，适当选 用。 例2：设c b a >>，求证：b a a c c b ab ca bc 2 22222++<++ 分析：从不等式两边形式看，作差后可进行因式分解。 证明：)(222222b a a c c b ab ca bc ++-++ =)()()(a b ab c a ca b c bc -+-+- =)()]()[()(a b ab c b b a ca b c bc -+-+-+- =))()((a c c b b a --- c b a >>Θ，则,0,0,0<->->-a c c b b a ∴0))()((<---a c c b b a 故原不等式成立 评注：三元因式分解因式，可以排列成一个元的降幂形式： =++-++)(222222b a a c c b ab ca bc )())(()(2a b ab b a b a c a b c -++-+-，这样容易发现规律。 例3 ：已知,,a b R +∈求证：11()()2()n n n n a b a b a b ++++≤+ 证明：11()()2()n n n n a b a b a b ++++-+ 11n n n n a b ab a b ++=+-- ()()n n a b a b a b =-+- ()()n n a b b a =-- 专题 基本不等式 【一】基础知识 基本不等式：)0,0a b a b +≥>> （1）基本不等式成立的条件： ； （2）等号成立的条件：当且仅当 时取等号. 2.几个重要的不等式 （1）()24a b ab +≤(),a b R ∈；（2）)+0,0a b a b ≥>>； 【二】例题分析 【模块1】“1”的巧妙替换 【例1】已知0,0x y >>，且34x y +=，则41x y +的最小值为 . 【变式1】已知0,0x y >>，且34x y +=，则4x x y +的最小值为 . 【变式2】（2013年天津）设2,0a b b +=>， 则 1||2||a a b +的最小值为 . 【例2】（2012河西）已知正实数,a b 满足 211a b +=，则2a b +的最小值为 . 【变式】已知正实数,a b 满足 211a b +=，则2a b ab ++的最小值为 . 【例3】已知0,0x y >>，且280x y xy +-=，则x y +的最小值为 . 【例4】已知正数,x y 满足21x y +=，则 8x y xy +的最小值为 . 【例5】已知0,0a b >>，若不等式 212m a b a b +≥+总能成立，则实数m 的最大值为 . 【例6】（2013年天津市第二次六校联考）()1,0by a b +=≠与圆221x y +=相交于,A B 两点，O 为坐标原点，且△AOB 为直角三角形，则 2212a b +的最小值为 . 【例7】（2012年南开二模）若直线()2200,0ax by a b -+=>>始终平分圆222410x y x y ++-+=的周长，则 11a b +的最小值为 . 【例8】设12,e e 分别为具有公共焦点12,F F 的椭圆和双曲线的离心率，P 为两曲线的一个公共点，且满足 120PF PF ?=，则2 2214e e +的最小值为 【例9】已知0,0,lg 2lg 4lg 2x y x y >>+=，则11x y +的最小值是（ ） A ．6 B ．5 C ．3+ D ． 【例10】已知函数()4141 x x f x -=+，若120,0x x >>，且()()121f x f x +=，则()12f x x +的最小值为 . 第11课：基本不等式与双√函数 一、双√函数 形如.0,0,>>+=q p x q px y 图像如右图所示： （1）0>x 时，当p q x =时取到pq y 2min =； （2）值域： （3）当0,0< （2）凡是利用“积定和最小”求最值的函数均可换元为双勾函数！ 三、利用基本不等式求最值 类型一：形如()()0,1≠++ +=c a d cx b ax y 采取配积为定！ 1、求??? ??>-+ =455434x x x y 的最小值 2、求??? ??<-+=455433x x x y 的最大值 3、求()π,0,sin 2sin ∈+ =x x x y 的最小值的值域 4、求()的最小值01 1>-+=x e e y x x 的最小值 类型二：形如()0,2≠+++=c a d cx c bx ax y 采取配凑——分离术！ 1、求0,92>++=x x x x y 的最小值 2、求0,192>+++=x x x x y 的最小值 3、求?? ????-∈+++=1,31,12122x x x x y 的值域 4、求4,1822-<+++=x x x x y 的最值 浅谈高中数学不等式的证明方法 姜堰市罗塘高级中学 李鑫 摘要：不等式是中学数学的重要知识，本文介绍了几种不等式的证明方法，并举例进一步加强对各种不等式的理解。 关键字：比较法，分析法，综合法，反证法，放缩法，数学归纳法，换元法，均值不等式，柯西不等式，导数法 不等式在中学数学中占有重要地位，因此在历年高考中颇为重视。由于不等式的形式各异, 所以证明没有固定的程序可循，技巧多样，方法灵活，因此有关不等式的证明是中学数学的难点之一。本文从不等式的各个方面进行讲解和研究。 一．比较法 所谓比较法，就是通过两个实数a 与b 的差或商的符号（范围）确定a 与b 大小关系的方法，即通过“0a b ->，0a b -=，0a b -<；或1a b >，1a b =，1a b <”来确定a ，b 大小关系的方法，前者为作差法，后者为作商法。 例1 已知：0>a ，0>b ，求证：ab b a ≥+2. 分析：两个多项式的大小比较可用作差法 证明 02 )(2222 ≥-=-+=-+b a ab b a ab b a ， 故得 ab b a ≥+2 . 例2 设0>>b a ，求证：a b b a b a b a >. 分析：对于含有幂指数类的用作商法 证明 因为 0>>b a ， 所以 1>b a ，0>- b a . 而 1>??? ??=-b a a b b a b a b a b a ， 故 a b b a b a b a > 二．分析法 从求证的不等式出发，分析这个不等式成立的充分条件，把证明这个不等式的问题转化为证明这些条件是否具备的问题，如果能够肯定这些条件都已具备，那么就可以判定所证的不等式成立，这种方法叫做分析法。 一．选择题 1．已知直线ax+by=1经过点（1，2），则2a+4b的最小值为（） A．B．2C．4 D．4 2．已知x，y都是正数，且xy=1，则的最小值为（） A．6 B．5 C．4 D．3 3．若a，b都是正数，则的最小值为（） A．7 B．8 C．9 D．10 4．下列关于不等式的结论中正确的是（） A．若a＞b，则ac2＞bc2B．若a＞b，则a2＞b2 C．若a＜b＜0，则a2＜ab＜b2D．若a＜b＜0，则＞ 5．若m、n是任意实数，且m＞n，则（） A．m2＞n2B．C．lg（m﹣n）＞0 D． 6．若直线=1（a＞0，b＞0）过点（1，1），则a+b的最小值等于（） A．2 B．3 C．4 D．5 7．若直线mx+ny+2=0（m＞0，n＞0）截得圆（x+3）2+（y+1）2=1的弦长为2，则+的最小值为（）A．6 B．8 C．10 D．12 8．已知不等式的解集为{x|a＜x＜b}，点A（a，b）在直线mx+ny+1=0上，其中mn＞0，则的最小值为（）A．B．8 C．9 D．12 9．若m+n=1（mn＞0），则+的最小值为（） A．1 B．2 C．3 D．4 10．已知x+3y=2，则3x+27y的最小值为（） A． B．4 C． D．6 11．若x＜0，则x+的最大值是（） A．﹣1 B．﹣2 C．1 D．2 12．已知a，b，c，是正实数，且a+b+c=1，则的最小值为（） A．3 B．6 C．9 D．12 二．填空题 1．已知正数x，y满足x+y=1，则的最小值为． 2．已知a＞0，b＞0，且a+b=2，则的最小值为． 3．已知x＞1，则函数的最小值为． 4．设2＜x＜5，则函数的最大值是． 5．函数f（x）=1+log a x（a＞0，a≠1）的图象恒过定点A，若点A在直线mx+ny﹣2=0上，其中mn＞0，则的最小值为． 6．已知x＞1，则函数y=2x+的最小值为． 高中数学不等式的几种常见证明方法 摘 要：不等式是中学数学的重要知识，考察学生对不等式理论熟练掌握的程度也是衡量学生数学水平的重要方面，同时，不等式也是高中数学的基础，因此，在每年的数学高考题中，有关不等式的相关题目都有所出现，本文介绍了几种不等式的证明方法，并举例进一步加强对各种不等式的理解. 关键字：不等式；数学归纳法；均值；柯西不等式 一、比较法 所谓比较法，就是通过两个实数a 与b 的差或商的符号（范围）确定a 与b 大小关系的方法，即通过“0a b ->，0a b -=，0a b -<；或1a b >，1a b =，1a b <”来确定a ，b 大小关系的方法，前者为作差法，后者为作商法. 例 1 设,x y R ∈，求证：224224x y x y ++≥+. 证明： 224224x y x y ++-- ＝2221441x x y y -++-+ ＝22(1)(21)x y -+- 因为 2(1)0x -≥， 2(21)0y -≥ ∴ 22(1)(21)0x y -+-≥ ∴2242240x y x y ++--≥ ∴224224x y x y ++≥+ 例 2 已知：a ＞b ＞c ＞0, 求证：222a b c a b c ??＞b c a c b c a b c +++??. 证明：222a b c b c a c b c a b c a b c +++????＝222a b c b a c c b c a b c ------?? ＞222a b c b a c c b c c c c ------?? ＝0c ＝1 222a b c b c a c b c a b c a b c +++??∴??＞1 ∴222a b c a b c ??＞b c a c b c a b c +++?? 二、分析法 分析法：从求证的不等式出发，分析这个不等式成立的充分条件，把证明这个不等式的问题转化为证明这些条件是否具备的问题，如果能够肯定这些条件都已具备，那么就可以判定所证的不等式成立. 例 3 求证3< 证明： 960+>> 5456<成立∴原不等式成立运用分析法时，需积累一些解题经验，总结一些常规思路，这样可以克服无目的的乱写，从而加强针对性，较快地探明解题的途径. 三、综合法 从已知或证明过的不等式出发，根据不等式的性质及公理推导出欲证的不等式，这种证明方法叫做综合法. 例 4 已知,a b R +∈，1a b +=，求证：221125()()2 a b a b +++≥ 证明：∵ 1a b += ∴ 1=22222()22()a b a b ab a b +=++≤+ ∴ 221 2 a b +≥ 一．选择题 1．（2016?济南模拟）已知直线ax+by=1经过点（1，2），则2a+4b的最小值为（）A． B．2C．4 D．4 2．（2016?乌鲁木齐模拟）已知x，y都是正数，且xy=1，则的最小值为（） A．6 B．5 C．4 D．3 3．（2016?合肥二模）若a，b都是正数，则的最小值为（） A．7 B．8 C．9 D．10 4．（2016?宜宾模拟）下列关于不等式的结论中正确的是（） A．若a＞b，则ac2＞bc2 B．若a＞b，则a2＞b2 C．若a＜b＜0，则a2＜ab＜b2 D．若a＜b＜0，则＞ 5．（2016?金山区一模）若m、n是任意实数，且m＞n，则（） A．m2＞n2B．C．lg（m﹣n）＞0 D． 6．（2015?福建）若直线=1（a＞0，b＞0）过点（1，1），则a+b的最小值等于 （） A．2 B．3 C．4 D．5 7．（2015?红河州一模）若直线mx+ny+2=0（m＞0，n＞0）截得圆（x+3）2+（y+1）2=1的弦长为2，则+的最小值为（） A．6 B．8 C．10 D．12 8．（2015?江西一模）已知不等式的解集为{x|a＜x＜b}，点A（a，b）在直线 mx+ny+1=0上，其中mn＞0，则的最小值为（） A．B．8 C．9 D．12 9．（2015?南市区校级模拟）若m+n=1（mn＞0），则+的最小值为（） A．1 B．2 C．3 D．4 10．（2015?湖南模拟）已知x+3y=2，则3x+27y的最小值为（） A．B．4 C．D．6 11．（2015?衡阳县校级模拟）若x＜0，则x+的最大值是（） A．﹣1 B．﹣2 C．1 D．2 12．（2015春?哈尔滨校级期中）已知a，b，c，是正实数，且a+b+c=1，则的最小值 为（） A．3 B．6 C．9 D．12 二．填空题 1．（2016?吉林三模）已知正数x，y满足x+y=1，则的最小值为． 2．（2016?抚顺一模）已知a＞0，b＞0，且a+b=2，则的最小值为． 3．（2016?丰台区一模）已知x＞1，则函数的最小值为．4．（2016春?临沂校级月考）设2＜x＜5，则函数的最大值 是． 5．（2015?陕西校级二模）函数f（x）=1+log a x（a＞0，a≠1）的图象恒过定点A，若点A在直线mx+ny﹣2=0上，其中mn＞0，则的最小值为． 全 国高中数学竞赛专题-不等式 证明不等式就是对不等式的左右两边或条件与结论进行代数变形和化归，而变形的依据是不等式的性质，不等式的 性质分类罗列如下： 不等式的性质：.0,0<-?<>-?≥b a b a b a b a 这是不等式的定义，也是比较法的依据. 对一个不等式进行变形的性质： （1）a b b a （对称性） （2）c b c a b a +>+?>（加法保序性） （3）.0,;0,bc ac c b a bc ac c b a >?>> （4）*).(,0N n b a b a b a n n n n ∈>>?>> 对两个以上不等式进行运算的性质. （1）c a c b b a >?>>,（传递性）.这是放缩法的依据. （2）.,d b c a d c b a +>+?>> （3）.,d b c a d c b a ->-?<> （4）.,,0,0bc ad d b c a c d b a >>? >>>> 含绝对值不等式的性质： （1）.)0(||2 2 a x a a x a a x ≤≤-?≤?>≤ （2）.)0(||2 2 a x a x a x a a x -≤≥?≥?>≥或 （3）|||||||||||| b a b a b a +≤±≤-（三角不等式）. （4）. ||||||||2121n n a a a a a a +++≤+++ 证明不等式的常用方法有：比较法、放缩法、变量代换法、反证法、数学归纳法、构造函数方法等.当然在证题过程中，常可“由因导果”或“执果索因”.前者我们称之为综合法；后者称为分析法.综合法和分析法是解决一切数学问题的常用策略，分析问题时，我们往往用分析法，而整理结果时多用综合法，这两者并非证明不等式的特有方法，只是在不等式证明中使用得更为突出而已.此外，具体地证明一个不等式时，可能交替使用多种方法.因此，要熟练掌握不等式的证明技巧，必须从学习这些基本的常用方法开始。 1．比较法（比较法可分为差值比较法和商值比较法。） （1）差值比较法（原理：A － B ＞0 A ＞ B ．） 例1 设a, b, c ∈R +， 基本不等式 知识点： 1. (1)若R b a ∈,，则ab b a 22 2≥+ (2)若R b a ∈,，则2 2 2b a ab +≤ （当且仅当b a =时取“=”） 2. (1)若* ,R b a ∈，则 ab b a ≥+2 (2)若* ,R b a ∈，则ab b a 2≥+ （当且仅当b a =时取“=”） (3)若*,R b a ∈，则2 2? ? ? ??+≤b a ab (当且仅当 b a =时取“=”） 3.若0x >，则1 2x x + ≥ (当且仅当1x =时取“=” ） 若0x <，则1 2x x +≤- (当且仅当1x =-时取“=”） 若0x ≠，则11122-2x x x x x x +≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=”） 4.若0>ab ，则2≥+a b b a (当且仅当b a =时取“=”）若0ab ≠，则22-2a b a b a b b a b a b a +≥+≥+≤即或 (当且 仅当b a =时取“=”） 5.若R b a ∈,，则2 )2(2 22b a b a +≤ +（当且仅当b a =时取“=”） 注意： (1)当两个正数的积为定植时，可以求它们的和的最小值， 当两个正数的和为定植时，可以求它们的积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积最大”． (2)求最值的条件“一正，二定，三取等” (3)均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范围、证明不等式、解决实际问题方面有广泛的应用 应用一：求最值 例：求下列函数的值域 （1）y ＝3x 2＋ 1 2x 2 （2）y ＝x ＋1 x 解：(1)y ＝3x 2＋ 1 2x 2 ≥23x 2· 1 2x 2 ＝ 6 ∴值域为[ 6 ，+∞） (2)当x ＞0时，y ＝x ＋1 x ≥2 x ·1 x ＝2； 当x ＜0时， y ＝x ＋1x = －（－ x －1 x ）≤－2 x ·1 x =－2 ∴值域为（－∞，－2]∪[2，+∞） 解题技巧 技巧一：凑项 例 已知5 4x < ，求函数14245 y x x =-+-的最大值。 解：因450x -<，所以首先要“调整”符号，又1 (42) 45 x x --不是常数，所以对42x -要进行拆、凑项， 关于不等式证明的常用方法 重难点归纳 (1)比较法证不等式有作差(商)、变形、判断三个步骤，变形的主要方向是因式分解、配方，判断过程必须详细叙述 如果 作差以后的式子可以整理为关于某一个变量的二次式，则考虑用判别式法证 (2)综合法是由因导果，而分析法是执果索因 2 不等式证明还有一些常用的方法 换元法、放缩法、反证法、函数单调性法、判别式法、数形结合法等 换元法主要 有三角代换，均值代换两种，在应用换元法时，要注意代换的等价性 放缩性是不等式证明中最重要的变形方法之一.有些不 等式，从正面证如果不易说清楚，可以考虑反证法 凡是含有“至少”“惟一”或含有其他否定词的命题，适宜用反证法 典型题例 例1证明不等式n n 213 12 11<+ ++ + Λ(n ∈N *) 知识依托 本题是一个与自然数n 有关的命题，首先想到应用数学归纳法，另外还涉及不等式证明中的放缩法、构造法等 例2求使 y x + ≤a y x +(x ＞0，y ＞0)恒成立的a 的最小值 知识依托 该题实质是给定条件求最值的题目，所求a 的最值蕴含于恒成立的不等式中，因此需利用不等式的有关性质把 a 呈现出来，等价转化的思想是解决题目的突破口，然后再利用函数思想和重要不等式等求得最值 例3已知a ＞0，b ＞0，且a +b =1 求证 (a + a 1)( b +b 1)4 25 证法一 (分析综合法） 证法二 (均值代换法) 证法三 (比较法） 证法四 (综合法) 证法五 (三角代换法） 巩固练习 1 已知x 、y 是正变数,a 、b 是正常数,且 y b x a +=1，x +y 的最小值为 _ 2 设正数a 、b 、c 、d 满足 a +d =b +c ，且|a －d |＜|b －c |，则ad 与bc 的大小关系是_________ 3 若m ＜n ，p ＜q ，且(p －m )(p －n )＜0，(q －m )(q －n )＜0，则m 、n 、p 、q 的大小顺序是__________ 4 已知a ，b ，c 为正实数，a +b +c =1 求证 (1)a 2+b 2+c 2≥ 3 1 (2)232323+++++c b a ≤6 5 已知x ，y ，z ∈R ，且x +y +z =1，x 2+y 2+z 2=21，证明 x ，y ，z ∈［0，3 2 ］ 6 证明下列不等式 (1)若x ，y ，z ∈R ，a ，b ，c ∈R +，则 c b a y b a c x a c b ++ +++22z 2 ≥2(xy +yz +zx ) (2)若x ，y ，z ∈R +，且x +y +z =xyz ，则z y x y x z x z y +++++≥2(z y x 1 11++) 7 已知i ，m 、n 是正整数，且1＜i ≤m ＜n (1)证明 n i A i m ＜m i A i n (2)证明 (1+m )n ＞(1+n )m 8 若a ＞0，b ＞0，a 3+b 3=2，求证 a +b ≤2，ab ≤1 不等式知识的综合应用 典型题例 例1用一块钢锭烧铸一个厚度均匀，且表面积为2平方米的正四棱锥形有盖容器(如右图)设容器高为h 米，盖子边长为a 米，(1)求a 关于h 的解析式；(2)设容器的容积为V 立方米，则当h 为何值时，V 最大？求出V 的最大值(求解本题时，不计容器厚度) 知识依托 本题求得体积V 的关系式后，应用均值定理可求得最值 例2已知a ，b ，c 是实数，函数f (x )=ax 2+bx +c ，g (x )=ax +b ，当－1≤x ≤1时|f (x )|≤1 《基本不等式》教学设计方案 人教版（A 版） 普通高中课程标准试验教科书必修第五册 【教学目标】 1、知识与技能目标 （12 a b +≤,认识其运算结构； （2）了解基本不等式的几何意义及代数意义； （3）能够利用基本不等式求简单的最值。 2、过程与方法目标 （1）经历由几何图形抽象出基本不等式的过程； （2）体验数形结合思想。 3、情感、态度和价值观目标 （1）感悟数学的发展过程,学会用数学的眼光观察、分析事物； （2）体会多角度探索、解决问题。 【能力培养】 培养学生严谨、规范的学习能力，辩证地分析问题的能力，学以致用的能力，分析问题、解决问题的能力。 【教学重点】 2 a b +≤的证明过程。 【教学难点】 2 a b +≤等号成立条件。 【教学方法】 教师启发引导与学生自主探索相结合 【教学工具】 课件辅助教学、实物演示实验 【教学过程设计】 一、 创设情景，引入新课 如图是在北京召开的第24届国际数学家大会的会标， 这是根据赵爽弦图而设计的。用课前折好的赵爽弦图示范，比较 4个直角三角形的面积和与大正方形的面积,你会得到怎样的相 等和不等关系？ 赵爽弦图 1．探究图形中的不等关系 将图中的“风车”抽象成如图，在正方形ABCD中右个全等的直角三角形。 设直角三角形的两条直角边长为a,b那么正方形 的边长为。这样，4个直角三角形的面积的和是2ab， 正方形的面积为。由于4个直角三角形的面积小于正 方形的面积，我们就得到了一个不等式：。 当直角三角形变为等腰直角三角形，即a=b时，正 方形EFGH缩为一个点，这时有。 2．得到结论：一般的，如果 3．思考证明：你能给出它的证明吗？ 证明：因为 当 所以，，即 4．基本不等式 1）特别的，如果a>0,b>0,我们用分别代替a、b ，可得，通常我们把上式写作：2）从不等式的性质推导基本不等式 用分析法证明： 要证 (1) 只要证≥ +b a ab 2 (2)要证（2），只要证 a+b-ab 20 （3）要证（3），只要证（a-b）0 ≥（4）显然，（4）是成立的。当且仅当a=b时，（4）中的等号成立。 3）理解基本不等式的几何意义 如图所示：AB是圆的直径，点C是AB上一点，AC=a,BC=b。过点C作垂直于AB的弦DE，连接AD、BD。 你能利用这个图形得出基本不等式的几何解释吗？ 引导学生发现：表示圆的半经，表示半弦长CD,得到不等关系：≤() 易证Ｒt△AＣD∽Ｒt△DＣB，那么ＣD2＝ＣA·ＣB 即ＣD＝. 这个圆的半径为，显然，它大于或等于CD，即，其中当且仅当点C与圆心重合，即a＝b时，等号成立. 几何意义：半弦长不大于半径长。 我们称ab为正数b a,的几何平均数，称 2b a+ 为正数b a,的算术平均数。 代数意义：几何平均数小于等于算术平均数 5.随堂练习 已知a、b、c都是正数，求证：（a＋b）（b＋c）（c＋a）≥８abc 高中数学 典型例题一 例1 若10< 说明：解法一用分类相当于增设了已知条件，便于在变形中脱去绝对值符号；解法二用对数性质（换底公式）也能达到同样的目的，且不必分而治之，其解法自然简捷、明快． 典型例题二 例2 设0>>b a ，求证：.a b b a b a b a > 分析：发现作差后变形、判断符号较为困难．考虑到两边都是正数，可以作商，判断比值与1的大小关系，从而证明不等式． 证明：b a a b b a a b b a b a b a b a b a ---=?=)( ∵0>>b a ，∴ .0,1>->b a b a ∴1)(>-b a b a . ∴a b b a b a b a .1> 又∵0>a b b a ， ∴.a b b a b a b a >. 说明：本题考查不等式的证明方法——比较法(作商比较法).作商比较法证明不等式的步骤是：判断符 号、作商、变形、判断与1的大小. 典型例题三 例3 对于任意实数a 、b ，求证 444 ()22 a b a b ++≥（当且仅当a b =时取等号） 分析 这个题若使用比较法来证明，将会很麻烦，因为，所要证明的不等式中有4 ( )2 a b +，展开后很复杂。若使用综合法，从重要不等式：2 2 2a b ab +≥出发，再恰当地利用不等式的有关性质及“配方”的技巧可得到证明。 证明：∵ 222a b ab +≥（当且仅当22 a b =时取等号） 两边同加4 4 4 4 2 22 ():2()()a b a b a b ++≥+， 即： 44222 ()22 a b a b ++≥ （1） 又：∵ 2 2 2a b ab +≥（当且仅当a b =时取等号） 典型例题一 例１ 若10< 说明:解法一用分类相当于增设了已知条件,便于在变形中脱去绝对值符号;解法二用对数性质(换底公式）也能达到同样的目的,且不必分而治之,其解法自然简捷、明快． 典型例题二 例２ 设0>>b a ,求证：.a b b a b a b a > 分析:发现作差后变形、判断符号较为困难.考虑到两边都是正数，可以作商，判断比值与1的大小关系，从而证明不等式． 证明：b a a b b a a b b a b a b a b a b a ---=?=)( ∵0>>b a ，∴ .0,1>->b a b a ∴1)(>-b a b a . ∴a b b a b a b a .1> 又∵0>a b b a , ∴.a b b a b a b a >. 说明:本题考查不等式的证明方法——比较法(作商比较法).作商比较法证明不等式的步 骤是:判断符号、作商、变形、判断与１的大小. 典型例题三 例3 对于任意实数a 、b ,求证 444 ()22 a b a b ++≥（当且仅当a b =时取等号） 分析 这个题若使用比较法来证明，将会很麻烦，因为,所要证明的不等式中有4 ( )2 a b +,展开后很复杂。若使用综合法，从重要不等式：2 2 2a b ab +≥出发,再恰当地利用不等式的有关性质及“配方”的技巧可得到证明。 证明:∵ 222a b ab +≥(当且仅当22 a b =时取等号) 两边同加4 4 4 4 2 22 ():2()()a b a b a b ++≥+， 即: 44222 ()22 a b a b ++≥ (1） 又:∵ 22 2a b ab +≥(当且仅当a b =时取等号） 两边同加2 2 2 2 2 ():2()()a b a b a b ++≥+ 题型1 基本不等式反用ab ≤ a ＋b 2 例1：(1)函数f (x )＝x (1－x )(0 ∴x (3－3x )＝3x (1－x )≤3? ????x ＋1－x 22＝3 4 . 当x ＝1－x ，即x ＝1 2 时取等号． 例5：已知x ＞0，a 为大于2x 的常数， 求函数y ＝x (a －2x )的最大值； 解：∵x ＞0，a ＞2x ， ∴y ＝x (a －2x )＝1 2×2x (a －2x ) ≤12×??????2x ＋a －2x 2 2＝a 28 ，当且仅当x ＝a 4时取等号，故函数的最大值为a 2 8. 题型2 基本不等式正用a ＋b ≥2ab 例6：（1）函数f (x )＝x ＋1 x (x >0)值域为________； 函数f (x )＝x ＋1 x (x ∈R )值域为________； （2）函数f (x )＝x 2＋ 1 x 2 ＋1 的值域为________． 解析：(1)∵x >0，x ＋1 x ≥2 x ·1 x ＝2， ∴f (x )(x >0)值域为[2，＋∞)； 当x ∈R 时，f (x )值域为(－∞，－2]∪[2，＋∞)； 高中数学基本不等式问题求解十例 一、基本不等式的基础形式 1．222a b ab +≥，其中,a b R ∈，当且仅当a b =时等号成立。 2 ．a b +≥，其中[),0,a b ∈+∞，当且仅当a b =时等号成立。 3．常考不等式：2 222 a b a b ab ++??≥≥≥ ?，其中(),0,a b ∈+∞，当且仅当a b =时等号成立。 问题（1（2例题 例题解析2 1212 x x x += ?=-时取等号。 变式：已知2x >-，则1 2 x x + +的最小值为。 解析：由题意可得()1 20,212 x x x +>+? =+，明显，积为定，根据和定积最大法则可得： 1 22112x x x x +=?+= ?=-+时取等号，此时可 例题3：若对任意x >0， x x 2 ＋3x ＋1 ≤a 恒成立，则a 的取值范围是________． 解析：由题意可得141x y +=，左边乘以141x y +=可得：14441y x x y y x ??? ?++ ??? ???? +=，化简可得： 1441144y y x x x y x y ??? ?++=+++ ??????? ，很明显44y x x y +中积为定值，根据积定和最小的法则可得： 424y x x y +≥=， 当且仅当2418 4x y x y x y =?==??=?时取等号。故而可得1444y x x y ??? ?++≥ ???????。不等式234y x m m + -＜有解，亦即2min 344y m m x ? ?->+= ?? ?，亦即2340m m -->，解得4m >或者1m <-，故而可得()(),14,m ∈-∞-?+∞。 4 x + 4x +2， 亦即问题例题仅当122b a a b =?=时取等号，化简后可得：ab =1 4 5 4 22a b ? =???=? 变式：若lg(3x )＋lg y ＝lg(x ＋y ＋1)，则xy 的最小值为__________． 解析：将题干条件化简可得：()()lg 3lg 131x y x y xy x y ?=++?=++，由题意需要求解xy ，故而可知利用不等式x y +≥31xy x y -=+≥x y =时等号成立，化 典型例题一 例1 若10< [])1lg()1lg(lg 1x x a +---= 0)1lg(lg 12>--= x a ， 所以)1(log )1(log x x a a +>-． 说明：解法一用分类相当于增设了已知条件，便于在变形中脱去绝对值符号；解法二用对数性质（换底公式）也能达到同样的目的，且不必分而治之，其解法自然简捷、明快． 典型例题二 例2 设0>>b a ，求证：.a b b a b a b a > 分析：发现作差后变形、判断符号较为困难．考虑到两边都是正数，可以作商，判断比值及1的大小关系，从而证明不等式． 证明：b a a b b a a b b a b a b a b a b a ---=?=)( ∵0>>b a ，∴.0,1>->b a b a ∴1)(>- b a b a . ∴a b b a b a b a .1> 又∵0>a b b a ， ∴.a b b a b a b a >. 说明：本题考查不等式的证明方法——比较法(作商比较法).作商比较法证明不等式的步骤是：判断符号、作商、变形、判断及1的大小. 典型例题三 例3 对于任意实数a 、b ，求证444()22 a b a b ++≥（当且仅当a b =时取等(完整版)高考数学-基本不等式(知识点归纳)
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