八年级数学上册 三角形三边关系 练习
八年级数学上册三角形三边关系练习班级姓名一．选择题（共10小题）1．（2017•舟山）长度分别为2，7，x的三条线段能组成一个三角形，x的值可以是（）A．4B．5C．6D．92．（2017•淮安）若一个三角形的两边长分别为5和8，则第三边长可能是（）A．14B．10C．3D．23．（2017•扬州）若一个三角形的两边长分别为2和4，则该三角形的周长可能是（）A．6B．7C．11D．124．（2017•金华）下列各组数中，不可能成为一个三角形三边长的是（）A．2，3，4B．5，7，7C．5，6，12D．6，8，105．（2017•柳北区校级模拟）三条线段a=5，b=3，c的值为整数，由a、b、c为边可组成三角形（）A．1个B．3个C．5个D．无数个6．（2017•白银）已知a，b，c是△ABC的三条边长，化简|a+b﹣c|﹣|c﹣a﹣b|的结果为（）A．2a+2b﹣2c B．2a+2b C．2c D．07．（2017•崇安区一模）如图，用四条线段首尾相接连成一个框架，其中AB=12，BC=14，CD=18，DA=24，则A、B、C、D任意两点之间的最长距离为（）A．24B．26C．32D．368．（2017春•薛城区期末）如图，为估计池塘岸边A、B两点的距离，小林在池塘的一侧选取一点O，测得OA=10米，OB=7米，则A、B间的距离不可能是（）A．4米B．9米C．15米D．18米9．（2017春•秦淮区期末）已知一个三角形中两条边的长分别是a、b，且a＞b，那么这个三角形的周长L的取值范围是（）A．3b＜L＜3a B．2a＜L＜2（a+b）C．a+2b＜L＜2a+b D．3a﹣b＜L＜3a+b10．（2017春•宜兴市期中）a，b，c为△ABC的三边，化简|a+b+c|﹣|a﹣b﹣c|﹣|a﹣b+c|﹣|a+b﹣c|，结果是（）A．0B．2a+2b+2c C．4a D．2b﹣2c二．填空题（共8小题）11．（2017春•弥勒市期末）已知三角形的两边长分别为3和6，那么第三边长x的取值范围是．12．（2017春•宜兴市期末）已知三角形的三边长分别为3，8，x，若x的值为偶数，则满足条件的x的值有个．13．（2017春•大丰市期中）若三角形的两边长为3和5，第三边长是偶数，则第三边长可以是．14．（2017春•常熟市期末）已知一个三角形的两边长分别是2和5，第三边是奇数，则这个三角形的周长是．15．（2017春•诸城市期末）已知三角形的三边长分别是3、x、9，则化简|x﹣5|+|x﹣13|=．16．（2016秋•南漳县期末）长为10，7，5，3的四根木条，选其中三根组成三角形，有种选法．17．（2016秋•龙口市期中）在平坦的草地上有A、B、C三个小球，正好可作为三角形的三个顶点，若已知A球和B球相距3米，A球和C球相距1米，则B球和C球的距离x的取值范围为．18．（2016春•江阴市校级月考）一个三角形3条边长分别为xcm、（x+1）cm、（x+2）cm，它的周长不超过39cm，则x的取值范围是．三．解答题（共8小题）19．（2017春•盐都区月考）如图，在△BCD中，BC=4，BD=5，（1）若设CD的长为奇数，则CD的取值是；（2）若AE∥BD，∠A=55°，∠BDE=125°，求∠C的度数．20．（2016秋•阳新县校级期中）已知三角形三边长分别为a、b、c，其中a、b满足（a﹣6）2+|b﹣8|=0，求这个三角形最长边c的取值范围．21．（2016秋•麻城市月考）如图，点O是△ABC内的一点，证明：OA+OB+OC＞（AB+BC+CA）22．（2016春•乐亭县期末）如图，在△BCD中，BC=4，BD=5，（1）求CD的取值范围；（2）若AE∥BD，∠A=55°，∠BDE=125°，求∠C的度数．23．（2016秋•新城区校级期中）如果a、b、c是△ABC的三边，满足（b﹣3）2+|c﹣4|=0，a 为奇数，求△ABC的周长．24．（2014秋•邢台校级月考）已知△ABC的三边长分别为a，b，c．（1）若a，b，c满足（a﹣b）2+（b﹣c）2=0，试判断△ABC的形状；（2）若a=5，b=2，且c为整数，求△ABC的周长的最大值及最小值．25．（2013秋•株洲县校级期末）“佳园工艺店”打算制作一批有两边长分别是7分米，3分米，第三边长为奇数（单位：分米）的不同规格的三角形木框．（1）要制作满足上述条件的三角形木框共有3种．（2）若每种规格的三角形木框只制作一个，制作这种木框的木条的售价为8元╱分米，问至少需要多少钱购买材料？（忽略接头）26．小兵在用长度为10cm，45cm和50cm的三根木条钉一个三角形，不小心将50cm的一根折断了，之后就怎么也钉不成一个三角形木架．（1）最长的木条至少折断了多少厘米？（2）如果最长的木条折断了25cm，你怎样通过截木条的方法钉成一个小三角形？参考答案与解析：一．选择题（共10小题）1．（2017•舟山）长度分别为2，7，x的三条线段能组成一个三角形，x的值可以是（）A．4B．5C．6D．9【分析】已知三角形的两边长分别为2和7，根据在三角形中任意两边之和＞第三边，任意两边之差＜第三边；即可求第三边长的范围，再结合选项选择符合条件的．【解答】解：由三角形三边关系定理得7﹣2＜x＜7+2，即5＜x＜9．因此，本题的第三边应满足5＜x＜9，把各项代入不等式符合的即为答案．4，5，9都不符合不等式5＜x＜9，只有6符合不等式，故选：C．【点评】考查了三角形三边关系，此类求三角形第三边的范围的题，实际上就是根据三角形三边关系定理列出不等式，然后解不等式即可．2．（2017•淮安）若一个三角形的两边长分别为5和8，则第三边长可能是（）A．14B．10C．3D．2【分析】根据三角形三边关系，两边之和第三边，两边之差小于第三边即可判断．【解答】解：设第三边为x，则8﹣5＜x＜5+8，即3＜x＜13，所以符合条件的整数为10，故选B．【点评】本题考查三角形三边关系定理，记住两边之和第三边，两边之差小于第三边，属于基础题，中考常考题型．3．（2017•扬州）若一个三角形的两边长分别为2和4，则该三角形的周长可能是（）A．6B．7C．11D．12【分析】首先求出三角形第三边的取值范围，进而求出三角形的周长取值范围，据此求出答案．【解答】解：设第三边的长为x，∵三角形两边的长分别是2和4，∴4﹣2＜x＜2+4，即2＜x＜6．则三角形的周长：8＜C＜12，C选项11符合题意，故选C．【点评】本题考查的是三角形的三边关系，熟知三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边是解答此题的关键．4．（2017•金华）下列各组数中，不可能成为一个三角形三边长的是（）A．2，3，4B．5，7，7C．5，6，12D．6，8，10【分析】根据三角形三边关系定理判断即可．【解答】解：∵5+6＜12，∴三角形三边长为5，6，12不可能成为一个三角形，故选：C．【点评】本题考查的是三角形的三边关系，掌握三角形三边关系定理：三角形两边之和大于第三边是解题的关键．5．（2017•柳北区校级模拟）三条线段a=5，b=3，c的值为整数，由a、b、c为边可组成三角形（）A．1个B．3个C．5个D．无数个【分析】已知两边，则第三边的长度应是大于两边的差而小于两边的和，这样就可求出第三边c的范围，根据c的值为整数，即可确定c的值．从而确定三角形的个数．【解答】解：根据三角形的三边关系知c的取值范围是：2＜c＜8，又c的值为整数，因而c的值可以是：3、4、5、6、7共5个数，因而由a、b、c为边可组成5个三角形．故选：C．【点评】此题主要考查了三角形的三边关系，解本题的关键是确定出c的值．6．（2017•白银）已知a，b，c是△ABC的三条边长，化简|a+b﹣c|﹣|c﹣a﹣b|的结果为（）A．2a+2b﹣2c B．2a+2b C．2c D．0【分析】先根据三角形的三边关系判断出a﹣b﹣c与c﹣b+a的符号，再去绝对值符号，合并同类项即可．【解答】解：∵a、b、c为△ABC的三条边长，∴a+b﹣c＞0，c﹣a﹣b＜0，∴原式=a+b﹣c+（c﹣a﹣b）=0．故选D．【点评】本题考查的是三角形的三边关系，熟知三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边是解答此题的关键．7．（2017•崇安区一模）如图，用四条线段首尾相接连成一个框架，其中AB=12，BC=14，CD=18，DA=24，则A、B、C、D任意两点之间的最长距离为（）A．24B．26C．32D．36【分析】若两个端点的距离最大，则此时这个框架的形状为三角形，可根据三条线段的长来判断有几种三角形的组合，然后分别找出这些三角形的最长边即可．【解答】解：已知AB=12，BC=14，CD=18，DA=24；①选12+14、18、24作为三角形，则三边长26、18、24；26﹣24＜18＜26+24，能构成三角形，此时两个端点间的最长距离为26；②选12、14+18、24作为三角形，则三边长为12、32、24；32﹣24＜12＜32+24，能构成三角形，此时两个端点间的最大距离为32；③选12、14、18+24作为三角形，则三边长为12、14、42；12＜42﹣14，不能构成三角形．故选：C．【点评】此题主要考查的是三角形的三边关系定理，能够正确的判断出调整角度后三角形木框的组合方法是解答的关键．8．（2017春•薛城区期末）如图，为估计池塘岸边A、B两点的距离，小林在池塘的一侧选取一点O，测得OA=10米，OB=7米，则A、B间的距离不可能是（）A．4米B．9米C．15米D．18米【分析】根据三角形的三边关系定理得到3＜AB＜17，根据AB的范围判断即可．【解答】解：连接AB，根据三角形的三边关系定理得：10﹣7＜AB＜10+7，即：3＜AB＜17，∴AB的值在3和17之间．故选D．【点评】本题主要考查对三角形的三边关系定理的理解和掌握，能正确运用三角形的三边关系定理是解此题的关键．题型较好．9．（2017春•秦淮区期末）已知一个三角形中两条边的长分别是a、b，且a＞b，那么这个三角形的周长L的取值范围是（）A．3b＜L＜3a B．2a＜L＜2（a+b）C．a+2b＜L＜2a+b D．3a﹣b＜L＜3a+b【分析】先根据三角形的三边关系求得第三边的取值范围，再确定这个三角形的周长l的取值范围即可．【解答】解：设第三边长x．根据三角形的三边关系，得a﹣b＜x＜a+b．∴这个三角形的周长m的取值范围是a﹣b+a+b＜L＜a+b+a+b，即2a＜L＜2a+2b．故选B．【点评】考查三角形的三边关系，要注意三角形形成的条件：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．10．（2017春•宜兴市期中）a，b，c为△ABC的三边，化简|a+b+c|﹣|a﹣b﹣c|﹣|a﹣b+c|﹣|a+b﹣c|，结果是（）A．0B．2a+2b+2c C．4a D．2b﹣2c【分析】首先根据：三角形两边之和大于第三边，去掉绝对值号，然后根据整式的加减法的运算方法，求出结果是多少即可．【解答】解：|a+b+c|﹣|a﹣b﹣c|﹣|a﹣b+c|﹣|a+b﹣c|=（a+b+c）﹣（b+c﹣a）﹣（a﹣b+c）﹣（a+b﹣c）=a+b+c﹣b﹣c+a﹣a+b﹣c﹣a﹣b+c=0故选：A．【点评】此题主要考查了三角形的三边的关系，以及整式加减法的运算方法，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：三角形两边之和大于第三边．二．填空题（共8小题）11．（2017春•弥勒市期末）已知三角形的两边长分别为3和6，那么第三边长x的取值范围是3＜x＜9．【分析】根据三角形三边关系：任意两边之和大于第三边以及任意两边之差小于第三边，即可得出第三边的取值范围．【解答】解：∵此三角形的两边长分别为3和6，∴第三边长的取值范围是：6﹣3=3＜第三边＜6+3=9．即：3＜x＜9，故答案为：3＜x＜9．【点评】此题主要考查了三角形三边关系，根据第三边的范围是：大于已知的两边的差，而小于两边的和是解决问题的关键．12．（2017春•宜兴市期末）已知三角形的三边长分别为3，8，x，若x的值为偶数，则满足条件的x的值有3个．【分析】根据三角形任意两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，求出第三边的取值范围，然后根据第三边长为偶数求出第三边的长，即可判断能够组成三角形的个数．【解答】解：∵3+8=11，8﹣3=5，∴5＜x＜11，∵x为偶数，∴x可以是6或8或10，∴满足条件的三角形共有3个．故答案为：3．【点评】此题主要考查的是三角形的三边关系，求出第三边长的取值范围是解题的关键．13．（2017春•大丰市期中）若三角形的两边长为3和5，第三边长是偶数，则第三边长可以是4或6．【分析】根据三角形三边关系，可令第三边为x，则5﹣3＜x＜5+3，即2＜x＜8，又因为第三边长为偶数，所以第三边长是4，6．问题可求．【解答】解：由题意，令第三边为x，则5﹣3＜x＜5+3，即2＜x＜8，∵第三边长为偶数，∴第三边长是4或6．故答案为：4或6．【点评】此题主要考查了三角形三边关系，熟练掌握三角形的三边关系是解决此类问题的关键．14．（2017春•常熟市期末）已知一个三角形的两边长分别是2和5，第三边是奇数，则这个三角形的周长是12．【分析】根据在三角形中任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．即可求解．【解答】解：第三边的取值范围是大于3而小于7，又第三边是奇数，故第三边只有是5，则周长是12．【点评】注意三角形的三边关系，还要注意奇数这一条件．15．（2017春•诸城市期末）已知三角形的三边长分别是3、x、9，则化简|x﹣5|+|x﹣13|=8．【分析】首先确定第三边的取值范围，从而确定x﹣5和x﹣13的值，然后去绝对值符号求解即可．【解答】解：∵三角形的三边长分别是3、x、9，∴6＜x＜12，∴x﹣5＞0，x﹣13＜0，∴|x﹣5|+|x﹣13|=x﹣5+13﹣x=8，故答案为：8．【点评】本题考查了三角形的三边关系，解题的关键是能够根据三边关系确定x的取值范围，从而确定绝对值内的代数式的符号，难度不大．16．（2016秋•南漳县期末）长为10，7，5，3的四根木条，选其中三根组成三角形，有2种选法．【分析】首先得到每三根组合的情况，再根据三角形的三边关系进行判断．【解答】解：每三根组合，有11，7，5；11，7，3；11，5，3；7，5，3四种情况．根据三角形的三边关系，得其中的11，7，3；11，5，3不能组成三角形．能够组成三角形的有2种选法，它们分别是11，7，5；7，5，3．故答案为：2．【点评】本题主要考查了三角形的三边关系，要注意：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．当题目指代不明时，一定要分情况讨论，把符合条件的保留下来，不符合的舍去．17．（2016秋•龙口市期中）在平坦的草地上有A、B、C三个小球，正好可作为三角形的三个顶点，若已知A球和B球相距3米，A球和C球相距1米，则B球和C球的距离x的取值范围为2米＜x＜4米．【分析】根据三角形两边之和大于第三边，三角形的两边差小于第三边进行判断．【解答】解：∵1+3=4，3﹣1=2，∴2＜x＜4．故答案为：2米＜x＜4米【点评】本题主要考查了三角形的三边关系的运用，已知三角形的两边，则第三边的范围是：大于已知的两边的差，而小于已知两边的和．18．（2016春•江阴市校级月考）一个三角形3条边长分别为xcm、（x+1）cm、（x+2）cm，它的周长不超过39cm，则x的取值范围是1＜x≤12．【分析】根据三角形的三边关系以及周长列出不等式组，求出x的取值范围即可．【解答】解：∵一个三角形的3边长分别是xcm，（x+1）cm，（x+2）cm，它的周长不超过39cm，∴，解得1＜x≤12．故答案为：1＜x≤12．【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，在解答此题时要注意三角形的三边关系．三．解答题（共8小题）19．（2017春•盐都区月考）如图，在△BCD中，BC=4，BD=5，（1）若设CD的长为奇数，则CD的取值是3或5或7；（2）若AE∥BD，∠A=55°，∠BDE=125°，求∠C的度数．【分析】（1）利用三角形三边关系得出DC的取值范围即可；（2）利用平行线的性质得出∠AEC的度数，再利用三角形内角和定理得出答案．【解答】解：（1）∵在△BCD中，BC=4，BD=5，∴1＜DC＜9；∵CD的长为奇数，∴CD的值为3或5或7；故答案为：3或5或7；（2）∵AE∥BD，∠BDE=125°，∴∠AEC=55°，又∵∠A=55°，∴∠C=70°．【点评】此题主要考查了三角形三边关系以及平行线的性质，得出∠AEC的度数是解题关键．20．（2016秋•阳新县校级期中）已知三角形三边长分别为a、b、c，其中a、b满足（a﹣6）2+|b﹣8|=0，求这个三角形最长边c的取值范围．【分析】根据算术平方根与绝对值的和为0，可得算术平方根与绝对值同时为0，可得a、b 的值，根据三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，可得答案．【解答】解：∵（a﹣6）2+|b﹣8|=0，∴a﹣6=0，b﹣8=0，∴a=6，b=8，b﹣a＜c＜a+b，这个三角形的最长边c，c＞b=8，8＜c＜14．【点评】本题考查了算术平方根，算术平方根与绝对值的和为0，可得算术平方根与绝对值同时为0是解题关键．21．（2016秋•麻城市月考）如图，点O是△ABC内的一点，证明：OA+OB+OC＞（AB+BC+CA）【分析】在△ABO和△AOC以及△BOC中，分别利用三角形三边关系定理，两边之和大于第三边，然后把三个式子相加即可证得．【解答】证明：∵△ABO中，OA+OB＞AB，同理，OA+OC＞CA，OB+OC＞BC．∴2（OA+OB+OC）＞AB+BC+CA，∴OA+OB+OC＞（AB+BC+CA）．【点评】本题考查三角形的三边关系，要注意三角形形成的条件：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．22．（2016春•乐亭县期末）如图，在△BCD中，BC=4，BD=5，（1）求CD的取值范围；（2）若AE∥BD，∠A=55°，∠BDE=125°，求∠C的度数．【分析】（1）利用三角形三边关系得出DC的取值范围即可；（2）利用平行线的性质得出∠AEC的度数，再利用三角形内角和定理得出答案．【解答】解：（1）∵在△BCD中，BC=4，BD=5，∴1＜DC＜9；（2）∵AE∥BD，∠BDE=125°，∴∠AEC=55°，又∵∠A=55°，∴∠C=70°．【点评】此题主要考查了三角形三边关系以及平行线的性质，得出∠AEC的度数是解题关键．23．（2016秋•新城区校级期中）如果a、b、c是△ABC的三边，满足（b﹣3）2+|c﹣4|=0，a 为奇数，求△ABC的周长．【分析】先根据非负数的性质求出b，c的长，再由三角形的三边关系得出a的值，进而可得出结论．【解答】解：∵（b﹣3）2≥0，|c﹣4|≥0 且（b﹣3）2+|c﹣4|=0，∴（b﹣3）2=0|c﹣4|=0，∴b=3，c=4．∵4﹣3＜a＜4+3且a为奇数，∴a=3 或5．当a=3时，△ABC的周长是3+4+3=10；当a=5时，△ABC的周长是3+4+5=12．【点评】本题考查的是三角形的三边关系，熟知三角形两边之和大于第三边，两边差小于第三边是解答此题的关键．24．（2014秋•邢台校级月考）已知△ABC的三边长分别为a，b，c．（1）若a，b，c满足（a﹣b）2+（b﹣c）2=0，试判断△ABC的形状；（2）若a=5，b=2，且c为整数，求△ABC的周长的最大值及最小值．【分析】（1）直接根据非负数的性质即可得出结论；（2）根据三角形的三边关系可得出c的取值范围，进而可得出结论．【解答】解：（1）∵（a﹣b）2+（b﹣c）2=0，∴a﹣b=0，b﹣c=0，∴a=b=c，∴△ABC是等边三角形；（2）∵a=5，b=2，且c为整数，∴5﹣2＜c＜5+2，即3＜c＜7，∴c=4，5，6，∴当c=4时，△ABC周长的最小值=5+2+4=11；当c=6时，△ABC周长的最大值=5+2+6=13．【点评】本题考查的是三角形的三边关系，熟知三角形两边之和大于第三边，两边差小于第三边是解答此题的关键．25．（2013秋•株洲县校级期末）“佳园工艺店”打算制作一批有两边长分别是7分米，3分米，第三边长为奇数（单位：分米）的不同规格的三角形木框．（1）要制作满足上述条件的三角形木框共有3种．（2）若每种规格的三角形木框只制作一个，制作这种木框的木条的售价为8元╱分米，问至少需要多少钱购买材料？（忽略接头）【分析】（1）根据在三角形中任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，确定第三边的取值范围，从而确定符合条件的三角形的个数．（2）求出各三角形的周长的和，再乘以售价为8元╱分米，可求其所需钱数．【解答】解：（1）三角形的第三边x满足：7﹣3＜x＜3+7，即4＜x＜10．因为第三边又为奇数，因而第三边可以为5、7或9．故要制作满足上述条件的三角形木框共有3种．（2）制作这种木框的木条的长为：3+5+7+3+7+7+3+7+9=51（分米），∴51×8=408（元）．答：至少需要408元购买材料．【点评】本题主要考查三角形三边关系的应用，注意熟练运用在三角形中任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．26．小兵在用长度为10cm，45cm和50cm的三根木条钉一个三角形，不小心将50cm的一根折断了，之后就怎么也钉不成一个三角形木架．（1）最长的木条至少折断了多少厘米？（2）如果最长的木条折断了25cm，你怎样通过截木条的方法钉成一个小三角形？【分析】（1）根据三角形的三边关系：三角形两边之和大于第三边．三角形的两边差小于第三边求解即可；（2）根据三边关系确定第三边的长，然后确定折去的木条的长度即可．【解答】解：（1）∵两根木条的长为10cm、45cm，∴若第三根木条的长x满足45﹣10＜x＜45+10，即：35＜x＜55，∵第三根木条为50cm，50﹣35=15cm，∴最长的木条至少折断了15厘米；（2）如果折去了25cm，则还剩25cm，要想钉成一个三角形架可以将45cm长的木条折去大于10cm小于30cm的一部分．【点评】本题考查了三角形三边关系，解题的关键是确定第三边的取值范围，难度不大．。
八年级上册《数学》三角形专项练习题(含答案)
八年级上册《数学》三角形专项练习题11.1.1三角形的边一、能力提升1.如图,在图形中,三角形有()A.4个B.5个C.6个D.7个2.已知三角形三边长分别为2,x,13,若x为正整数,则这样的三角形个数为()A.2B.3C.5D.133.若一个三角形的两条边长分别为3和8,而第三条边长为奇数,则第三条边长为()A.5或7B.7C.9D.7或94.在△ABC中,若三条边长均为整数,周长为11,且有一条边长为4,则这个三角形最长边可能取值的最大值是()A.7B.6C.5D.45.若有一条公共边的两个三角形称为一对“共边三角形”,则图中以BC 为公共边的“共边三角形”有对.6.若等腰三角形的腰长为6,则它的底边长a的取值范围是.7.用7根相同的火柴棒首尾顺次连接摆成一个三角形,能摆成的不同的三角形的个数为.8.已知等腰三角形的两边长分别为3cm和7cm,求这个三角形的周长.9.已知等腰三角形的周长是16cm.(1)若其中一边的长为4cm,求另外两边的长;(2)若其中一边的长为6cm,求另外两边的长.10.若a,b,c是△ABC的三边长,请化简|a-b-c|+|b-c-a|+|c-a-b|.11.已知等腰三角形的周长为20cm,设腰长为xcm.(1)用含x的式子表示底边长.(2)腰长x能否为5cm,为什么?(3)求x的取值范围.二、创新应用12.在平面内,分别用3根、5根、6根、…小棒首尾依次相接,能搭成什么形状的三角形?通过尝试,形状如表所示.小棒数目3 5 6 ……示意图……形状等边三角形等腰三角形等边三角形……(1)4根小棒能搭成三角形吗?(2)8根、12根小棒能搭成几种不同形状的三角形?并画出它们的示意图.答案一、能力提升1.B2.B;由题意知2+x>13,且x<13+2,解得11<x<15,因为x为正整数,所以x 可以是12,13,14.故选B.3.D;由题意知第三条边长大于5小于11.因为第三条边长为奇数,所以它的大小为7或9.4.C由题意知三角形的三条边长分别为2,4,5或3,4,4,所以最长边可能取值的最大值为5.5.3;△BDC与△BEC,△BDC与△BAC,△BEC与△BAC,共3对.6.0<a<12.7.2.8.解：若腰长为3cm,则三边长分别为3cm,3cm,7cm,而3+3<7,此时不能构成三角形;若腰长为7cm,则三边长分别为3cm,7cm,7cm.此时能构成三角形,其周长为3+7+7=17(cm).故这个三角形的周长为17cm. 9.解：(1)若腰长为4cm,则底边长为16-4-4=8(cm).三边长分别为4cm,4cm,8cm,不符合三角形的三边关系,所以应该是底边长为4cm.所以腰长为(16-4)÷2=6(cm).三边长分别为4cm,6cm,6cm,符合三角形的三边关系.所以另外两边的长都为6cm.(2)若腰长为6cm,则底边长为16-6-6=4(cm).三边长分别为4cm,6cm,6cm,符合三角形的三边关系.所以另外两边的长分别为6cm 和4cm.若底边长为6cm,则腰长为(16-6)÷2=5(cm).三边长分别为6cm,5cm,5cm,符合三角形的三边关系.所以另外两边的长都为5cm.10.解：因为a,b,c是△ABC的三边长,所以a<b+c,b<c+a,c<a+b,即a-b-c<0,b-c-a<0,c-a-b<0.所以|a-b-c|+|b-c-a|+|c-a-b|=-(a-b-c)-(b-c-a)-(c-a-b)=a+b+c.11.解：(1)底边长为(20-2x)cm.(2)不能.理由如下:若腰长为5cm,则底边长为20-2×5=10(cm).因为5+5=10,不满足三角形的三边关系.所以腰长不能为5cm.(3)根据题意,得解得0<x<10.由三角形的三边关系,得x+x>20-2x,解得x>5.综上所述,x的取值范围是5<x<10.二、创新应用12.解：(1)4根小棒不能搭成三角形.(2)8根小棒能搭成一种三角形,示意图如图甲;12根小棒能搭成三种不同形状的三角形,示意图如图乙.11.1.2三角形的高、中线与角平分线一、能力提升1.若一个三角形中仅有一条高在三角形的内部,则该三角形是()A.锐角三角形B.钝角三角形C.直角三角形D.直角三角形或钝角三角形2.如图,AE⊥BC于点E,BF⊥AC于点F,CD⊥AB于点D.在△ABC中,边AC上的高是线段()A.AEB.CDC.BFD.AF3.如图,线段AE是△ABC的中线,已知EC=6,DE=2,则线段BD的长为()A.2B.3C.4D.64.如图,在△ABC中,∠C=90°,D,E为AC上的两点,且AE=DE,BD平分∠EBC,则下列说法不正确的是()A.线段BC是△ABE的高B.线段BE是△ABD的中线C.线段BD是△EBC的角平分线D.∠ABE=∠EBD=∠DBC5.如图,在△ABC中,E,F分别是AB,AC的中点,△CEF的面积为2.5,则△ABC的面积为()A.6B.7C.8D.106.如图,BD和CE是△ABC的两条角平分线,且∠DBC=∠ECB=31°,则∠ABC=度,∠ACB=度.7.如图,线段AD,CE分别是△ABC中边BC,AB上的高.若AD=10,CE=9,AB=12,则BC的长是.8.如图,在△ABC中,AB=AC,线段AD是△ABC的中线,△ABC的周长为34cm,△ABD的周长为30cm,求AD的长.9.已知在等腰三角形ABC中,AB=AC,若腰AC上的中线BD将等腰三角形ABC的周长分成15和6两部分,求三角形ABC的腰长及底边长.10.如图,AD是△CAB的角平分线,DE∥AB,DF∥AC,EF交AD于点O.请问:DO是△EDF的角平分线吗?如果是,请给予证明;如果不是,请说明理由.二、创新应用11.有一块三角形优良品种试验基地,如图,由于引进四个优良品种进行对比试验,需将这块土地分成面积相等的四块,请你制定出两种以上的划分方案供选择.(画图即可)答案一、能力提升1.D;直角三角形和钝角三角形都只有一条高在三角形的内部.2.C3.C4.D5.D;∵F为AC的中点,∴线段EF为△AEC的中线,∴S△AEC=2S△CEF=5.∵E为AB的中点,∴线段CE为△ABC的中线,∴S△ABC=2S△AEC=10.6.62;62.7.10.8;S△ABC=BC·AD=AB·CE,则BC===10.8.8.解：∵线段AD是△ABC的中线,∴BC=2BD.∵AB=AC,△ABC的周长为34cm,∴2AB+2BD=34cm,即AB+BD=17cm.又△ABD的周长为30cm,即AB+BD+AD=30cm,∴AD=13cm.9.解：设AB=AC=2x,则AD=CD=x.当AB+AD=15,BC+CD=6时,有2x+x=15,所以x=5,AB=AC=2x=10,BC=6-5=1.当BC+CD=15,AB+AD=6时,有2x+x=6,所以x=2,AB=AC=2x=4,BC=13.因为4+4<13,所以不能组成三角形.故三角形ABC的腰长为10,底边长为1.10.解：DO是△EDF的角平分线.证明如下:∵AD是△CAB的角平分线,∴∠EAD=∠FAD.∵DE∥AB,DF∥AC,∴∠EDA=∠FAD,∠FDA=∠EAD.∴∠EDA=∠FDA,即DO是△EDF的角平分线.二、创新应用11.解：如图(答案不唯一).11.1.3三角形的稳定性一、能力提升1.如图,桥梁的斜拉钢索是三角形的结构,主要是为了()A.节省材料,节约成本B.保持对称C.利用三角形的稳定性D.美观漂亮2.下列不是利用三角形稳定性的是()A.伸缩晾衣架B.三角形房架C.自行车的三角形车架D.矩形门框的斜拉条3.如图,一扇窗户打开后,用窗钩AB可将其固定,这里所运用的几何原理是()A.三角形的稳定性B.两点之间线段最短C.两点确定一条直线D.垂线段最短4.王师傅用四根木条钉成一个四边形木架.如图,要使这个木架不变形,他至少还要再钉上()根木条.A.0B.1C.2D.35.如图,要使四边形木条框架ABCD变“活”(具有不稳定性),应将木条拆除.6.伸缩铁门能自由伸缩,主要是应用了四边形的.7.我们所用的课桌和所坐的凳子,时间长了总是摇摇晃晃的,这是什么原因?要使自己用的桌凳不晃动应该怎么办?如图,如果有六边形木框,要使它不变形,应该怎么办?二、创新应用8.如图,我们知道要使四边形木架不变形,至少要钉一根木条.那么要使五边形木架不变形,至少要钉几根木条?要使七边形木架不变形,至少要钉几根木条?要使n边形木架不变形,又至少要钉多少根木条呢?答案一、能力提升1.C.2.A.3.A;打开的那一扇窗户下边的一部分OB、窗户框下边的一部分OA 及AB组成一个三角形,根据三角形的稳定性,知可用AB固定窗户.4.B.5.AC.6.不稳定性.7.解：这是因为课桌和凳子的四个侧面都是四边形木架,当交接处松动后就具有不稳定性.解决这类问题的方法是在每个侧面加上一根木条(或木板),使之成为三角形.要使六边形木框不变形,至少应加3根木条使其划分为三角形.二、创新应用8.解：要使五边形木架不变形,至少要钉2根木条;要使七边形木架不变形,至少要钉4根木条;要使n边形木架不变形,至少要钉(n-3)根木条.11.2.1三角形的内角一、能力提升1.在△ABC中,∠A=55°,∠B比∠C大25°,则∠B的度数为()A.50°B.75°C.100°D.125°2.如图,CD∥AB,∠1=120°,∠2=80°,则∠E等于()A.40°B.60°C.80°D.120°3.(2020·辽宁锦州中考)如图,在△ABC中,∠A=30°,∠B=50°,CD平分∠ACB,则∠ADC的度数是()A.80°B.90°C.100°D.110°4.在△ABC中,若∠A=∠B+∠C,则∠A的度数是.5.如图,点B,C,D在同一条直线上,CE∥AB,∠ACB=90°.如果∠ECD=36°,那么∠A的度数是.6.如图,一个直角三角形纸片,剪去直角后,得到一个四边形,则∠1+∠2的度数是.7.在△ABC中,若最大角∠A等于最小角∠C的两倍,最大角又比另一个角大20°,则△ABC的三个角的度数分别是多少?8.如图,E是△ABC中边AC上的一点,过点E作ED⊥AB,垂足为D.若∠1=∠2,则△ABC是直角三角形吗?为什么?9.如图,在△ABC中,D是BC上一点,F是BA延长线上一点,连接DF交AC于点E,且∠B=42°,∠C=59°,∠DEC=47°,求∠F的度数.二、创新应用10.如图,在△ABC中,∠ABC,∠ACB的平分线相交于点D.(1)若∠ABC+∠ACB=110°,则∠BDC=;(2)若∠A=100°,则∠BDC=;(3)若∠A=n°,求∠BDC的度数.答案一、能力提升1.B;设∠C的度数为x°,则∠B的度数为x°+25°,则55°+x°+x°+25°=180°,解得x=50,则∠B=75°.2.A;∵CD∥AB,∠1=120°,∴∠CDB=∠1=120°,∴∠EDC=60°.∵∠2=80°,∴∠E=180°-80°-60°=40°.3.C∵∠A=30°,∠B=50°,∴∠ACB=180°-∠A-∠B=100°.又CD平分∠ACB,∴∠ACD=∠ACB=50°.∴∠ADC=180°-∠A-∠ACD=100°.4.90°.5.54°.6.270°.由三角形三内角之间的关系,得∠3+∠4=90°,所以∠1+∠2=(180°-∠3)+(180°-∠4)=2×180°-(∠3+∠4)=360°-90°=270°.7.解：设∠C=x°,则∠A=2x°,∠B=2x°-20°,根据三角形的内角和定理,有2x+(2x-20)+x=180,解得x=40,即∠C=40°.所以2x=80,∠A=80°,2x-20=60,∠B=60°.故△ABC的三个角的度数分别为∠A=80°,∠B=60°,∠C=40°.8.解：△ABC是直角三角形.理由如下:∵ED⊥AB,∴∠ADE=90°,∴∠1+∠A=90°.又∠1=∠2,∴∠2+∠A=90°.∴△ABC是直角三角形.9.解：在△EDC中,∠EDC=180°-(∠C+∠DEC)=180°-(59°+47°)=74°.∴∠FDB=180°-∠EDC=180°-74°=106°.在△BDF中,∠F=180°-(∠B+∠FDB)=180°-(42°+106°)=32°.二、创新应用10.解：(1)125°.(2)140°.(3)∵∠A=n°,∴∠ABC+∠ACB=180°-n°.∵BD平分∠ABC,CD平分∠ACB,∴∠DBC+∠DCB=∠ABC+∠ACB=(∠ABC+∠ACB)=×(180°-n°)=90°-.∴∠BDC=180°-(∠DBC+∠DCB)=180°-=90°+.11.2.2三角形的外角一、能力提升1.一副三角尺有两个直角三角形,如图叠放在一起,则∠α的度数是()A.165°B.120°C.150°D.135°2.如图,在△ABC中,AD为边BC上的中线,在△ABD中,AE为边BD上的中线,在△ACD中,AF为边DC上的中线,则下列结论错误的是()A.∠1>∠2>∠3>∠CB.BE=ED=DF=FCC.∠1>∠4>∠5>∠CD.∠1=∠3+∠4+∠53.如图,若∠A=32°,∠B=45°,∠C=38°,则∠DFE等于()A.120°B.115°C.110°D.105°4.(2020·湖北中考)将一副三角尺按如图摆放,点E在AC上,点D在BC 的延长线上,EF∥BC,∠B=∠EDF=90°,∠A=45°,∠F=60°,则∠CED的度数是()A.15°B.20°C.25°D.30°5.如图,∠ABC的平分线与∠ACD的平分线相交于点P.若∠A=60°,则∠P等于()A.30°B.40°C.50°D.60°6.(2020·湖北黄冈中考)如图,AB∥EF,∠ABC=75°,∠CDF=135°,则∠BCD=.7.如图,已知在△ABC中,D是AB上一点,E是AC上一点,BE与CD相交于点F,∠A=62°,∠ACD=35°,∠ABE=20°,则∠BDC=,∠BFC=.8.如图,D,E,F分别是△ABC三边延长线上的点,求∠D+∠E+∠F+∠1+∠2+∠3的度数.9.如图,在△ABC中,E是AC延长线上的一点,D是BC上的一点.求证:(1)∠BDE=∠E+∠A+∠B.(2)∠BDE>∠A.10.如图,在△ABC中,D是边BC上一点,∠1=∠2,∠3=∠4,∠BAC=63°,求∠DAC的度数.二、创新应用11.如图①,有一个五角形图案ABCDE,你能说明∠A+∠DBE+∠C+∠D+∠E=180°吗?如果点B向下移动到AC上(如图②)或AC的另一侧(如图③),上述结论是否依然成立?请说明理由.答案一、能力提升1.A如图,∵∠2=90°-45°=45°,∴∠1=∠2-30°=15°.∴∠α=180°-∠1=165°.2.C由三角形的一个外角大于与它不相邻的内角,知∠1>∠2>∠3>∠C,故选项A正确;根据三角形中线的定义,知BE=ED=DF=FC,故选项B正确;∠4与∠5的大小不能判定,故选项C错误;根据三角形的一个外角等于与它不相邻两个内角的和,知∠1=∠2+∠4,∠2=∠3+∠5,所以∠1=∠3+∠4+∠5,故选项D正确.3.B4.A5.A利用三角形的外角性质,得∠P=∠PCD-∠PBD=(∠ACD-∠ABC)=∠A=30°.6.30°.7.97°;117°.8.解：∵∠D+∠3=∠CAB,∠E+∠1=∠ABC,∠F+∠2=∠ACB,∴∠D+∠E+∠F+∠1+∠2+∠3=∠CAB+∠ABC+∠ACB=180°.9.证明：(1)∵∠BDE,∠DCE分别是△CDE,△ABC的一个外角,∴∠BDE=∠E+∠DCE,∠DCE=∠A+∠B,∴∠BDE=∠E+∠A+∠B.(2)由(1)得∠BDE=∠E+∠A+∠B,∴∠BDE>∠A.10.解：∵∠3是△ABD的外角,∴∠3=∠1+∠2.∵∠1=∠2,∠3=∠4,∴∠4=2∠2.在△ABC中,∵∠2+∠4=180°-∠BAC=180°-63°=117°,∴∠1=∠2=117°÷(1+2)=39°.∴∠DAC=∠BAC-∠1=63°-39°=24°.二、创新应用11.解：在题图①中,∠A+∠C=∠DNM, ①∠DBE+∠E=∠DMN, ②①+②,得∠A+∠DBE+∠C+∠E=∠DNM+∠DMN.∵∠D+∠DNM+∠DMN=180°,∴∠A+∠DBE+∠C+∠D+∠E=180°.在题图②、题图③中,上述结论仍然成立,理由与题图①完全相同.11.3.1多边形一、能力提升1.在下列关于正多边形的特征说法中,错误的是()A.每一条边都相等B.每一个内角都相等C.每一个外角都相等D.所有对角线都相等2.过多边形的一个顶点可以引2017条对角线,则这个多边形的边数是()A.2017B.2018C.2019D.20203.如果过多边形的一个顶点的对角线把多边形分成8个三角形,那么这个多边形的边数为()A.8B.9C.10D.114.将一个四边形截去一个角后,它不可能是()A.三角形B.四边形C.五边形D.六边形5.在n边形的一边上任取一点(不包含顶点)与各顶点相连,可得三角形的个数是()A.nB.n-2C.n-1D.n+16.过m边形的一个顶点有7条对角线,n边形没有对角线,则m n=.7.已知一个多边形的边数恰好是从这个多边形的一个顶点出发所作的对角线的条数的2倍,求此多边形的边数.二、创新应用8.观察下面图形,解答下列问题:(1)在上面第四个图中画出六边形的所有对角线;(2)观察规律,把下表填写完整.边数 3 4 5 6 7 …n对角线条0 2 5 …数答案一、能力提升1.D2.D3.C4.D一个多边形截去一个角后,可能出现三种情况:少一个角、角的个数不变或多一个角.5.C6.1000;从m边形的一个顶点出发有(m-3)条对角线,由m-3=7,得m=10. n边形没有对角线,所以n=3.所以m n=103=1000.7.解：设这个多边形的边数为n,则从多边形的一个顶点出发所作的对角线的条数为n-3.依题意,得n=2(n-3),解得n=6.二、创新应用8.解：(1)(2)边数 3 4 5 6 7 …n对角线条数0 2 5 9 14 …n(n-3)11.3.2多边形的内角和一、能力提升1.如果一个正多边形的每一个外角都是锐角,那么这个正多边形的边数一定不小于()A.3B.4C.5D.62.(2020·山东济宁中考)一个多边形的内角和是1080°,则这个多边形的边数是()A.9B.8C.7D.63.若一个多边形的边数由5增加到11,则内角和增加的度数是()A.1080°B.720°C.540°D.360°4.如图,∠1,∠2,∠3,∠4是五边形ABCDE的外角,且∠1=∠2=∠3=∠4=70°,则∠AED的度数是()A.110°B.108°C.105°D.100°5.如果一个多边形的内角和是其外角和的一半,那么这个多边形是()A.六边形B.五边形C.四边形D.三角形6.若凸n边形的内角和为1260°,则从一个顶点出发引的对角线条数是.7.如图,在四边形ABCD中,∠A+∠B=210°,且∠ADC的平分线与∠DCB的平分线相交于点O,则∠COD的度数是.8.一个多边形的内角和比它的外角和的3倍少180°,求这个多边形的边数和内角和.9.如图,求∠A+∠B+∠OCD+∠ODC+∠E+∠F的度数.二、创新应用10.在一个多边形中,一个内角相邻的外角与其他各内角的和为600°.(1)如果这个多边形是五边形,请求出这个外角的度数;(2)是否存在符合题意的其他多边形?如果存在,请求出边数及这个外角的度数;如果不存在,请说明理由.答案一、能力提升1.C每个外角都是锐角,即小于90°,设边数为n,则这些锐角的和一定小于n×90°.而外角和为360°,所以360°<n×90°,n>4,即n不小于5.2.B设这个多边形的边数是n,则(n-2)×180°=1080°,解得n=8.3.A因为每增加一条边,内角和增加180°,所以增加6条边,内角和增加180°×6=1080°.4.D由题意知∠AED的补角为80°,则∠AED=100°.5.D多边形的外角和是360°,内角和等于外角和的一半,则内角和是180°,可知此多边形为三角形.6.6因为凸n边形的内角和为1260°,所以(n-2)×180°=1260°,得n=9.故从一个顶点出发引的对角线的条数为9-3=6.7.105°∵四边形的内角和为360°,∠A+∠B=210°,∴∠ADC+∠BCD=360°-210°=150°.∵DO,CO分别为∠ADC与∠BCD的平分线,∴∠ODC=∠ADC,∠OCD=∠BCD.∴∠ODC+∠OCD=(∠ADC+∠BCD)=×150°=75°.∴∠COD=180°-75°=105°.8.解：由题意知这个多边形的内角和为3×360°-180°=900°.设这个多边形的边数为n,根据题意,得(n-2)×180°=900°,解得n=7.故这个多边形的边数为7.9.解：如图,连接BE,则在△COD与△BOE中,∠ODC+∠OCD+∠COD=180°,∠OBE+∠OEB+∠BOE=180°.∵∠COD与∠BOE是对顶角,∴∠COD=∠BOE.∵∠ODC+∠OCD=180°-∠COD,∠OBE+∠OEB=180°-∠BOE,∴∠ODC+∠OCD=∠OBE+∠OEB.∴题图中的∠A+∠B+∠OCD+∠ODC+∠E+∠F等于上图中的∠A+∠F+∠ABC+∠DEF+∠OBE+∠OEB=∠A+∠F+∠ABE+∠BEF=360°,即所求六个角的和为360°.二、创新应用10.解：(1)设这个外角的度数是x°,则(5-2)×180-(180-x)+x=600,解得x=120.故这个外角的度数是120°.(2)存在.设边数为n,这个外角的度数是x°,则(n-2)×180-(180-x)+x=600,整理得x=570-90n.因为0<x<180,即0<570-90n<180,并且n为正整数,所以n=5或n=6.故这个多边形的边数是6,这个外角的度数为30°.。
(必考题)初中八年级数学上册第十一章《三角形》经典练习题
一、选择题1．若一个三角形的三边长分别为3，7，x，则x的值可能是（）A．6 B．3 C．2 D．11A解析：A【分析】根据三角形的三边关系列出不等式，即可求出x的取值范围，得到答案．【详解】解：∵三角形的三边长分别为3，7，x，∴7-3＜x＜7+3，即4＜x＜10，四个选项中，A中，4＜6＜10，符合题意．故选：A．【点睛】本题主要考查了三角形的三边关系，即任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．2．下列说法正确的是（）A．射线AB和射线BA是同一条射线B．连接两点的线段叫两点间的距离C．两点之间，直线最短D．七边形的对角线一共有14条D解析：D【分析】根据两点之间线段最短，数轴上两点间的距离的求解，射线的定义，多边形的对角线对各小题分析判断即可得解．【详解】解：A、射线AB和射线BA是不同的射线，故本选项不符合题意；B、连接两点的线段的长度叫两点间的距离，故本选项不符合题意；C、两点之间，线段最短，故本选项不符合题意；D 、七边形的对角线一共有7(73)142条，正确故选：D【点睛】本题考查了两点之间线段最短，数轴上两点间的距离的求解，射线的定义，多边形的对角线，熟练掌握概念是解题的关键．3．若过六边形的一个顶点可以画n条对角线，则n的值是（）A．1 B．2 C．3 D．4C解析：C【分析】根据从一个n边形一个顶点出发，可以连的对角线的条数是n-3进行计算即可．【详解】解：6-3=3（条）．答：从六边形的一个顶点可引出3条对角线．故选：C．【点睛】本题考查了多边形的对角线，解答此类题目可以直接记忆：一个n边形一个顶点出发，可以连的对角线的条数是n-3．4．用若干根等长的小木棍搭建等边三角形（三边相等的三角形），搭建1个等边三角形最少需要3根小木棍，搭建2个等边三角形最少需要5根小木棍，搭建4个等边三角形最少需要小木棍的根数是（）A．12 B．10 C．9 D．6D解析：D【分析】要先根据题意，画出图形，通过对图形观察，思考，得出需要小木棍的根数，然后图形对比，选出最少需要小木棍的根数．【详解】图1没有共用部分，要6根小木棍，图2有共用部分，可以减少小木棍根数，仿照图2得到图3，要7根小木棍，同法搭建的图4，要9根小木棍，如按图5摆放，外围大的等边三角形，可以得到5个等边三角形，要9根小木棍，如按图6摆成三棱锥(西面体)就可以得到4个等边三角形，∴搭建4个等边三角形最少需要小木棍6根．故选：D【点睛】此题考查的是组成图形的边的条数，解答此题需要灵活利用立体空间思维解答．∠=∠，D为BC边上的一点，点E在AC边上，5．如图，在ABC中，B CADE AED ∠=∠，若10CDE ∠=︒，则BAD ∠的度数为（ ）A ．20°B ．15°C ．10°D ．30°A解析：A【分析】 先根据三角形外角的性质得出∠ADC=∠B+∠BAD ，∠AED=∠C+∠EDC ，再根据∠B=∠C ，∠ADE=∠AED 即可得出结论．【详解】解：∵∠ADC 是△ABD 的外角，∴∠ADC=∠B+∠BAD ，∴∠ADE=∠ADC-∠CDE=∠B+∠BAD-∠CDE∵∠AED 是△CDE 的外角，∴∠AED=∠C+∠EDC ，∵∠ADE=∠AED ，∴∠B+∠BAD-∠CDE=∠C+∠EDC ，∵∠B=∠C ，∴∠BAD=2∠EDC ，∵10CDE ∠=︒∴∠BAD=20°；故选：A【点睛】本题考查的是三角形外角的性质，熟知三角形的外角等于与之不相邻的两个内角的和是解答此题的关键．6．如图，ABC 中，将A ∠沿DE 翻折，若30A ∠=︒，25BDA '∠=︒，则CEA '∠多少度（ ）A ．60°B ．75°C ．85°D ．90°C解析：C【分析】根据折叠前后对应角相等可得ADE A DE '∠=∠，AED A ED '∠=∠，再运用平角的定义和三角形内角和定理依次求得ADE ∠、AED ∠，再次运用平角的定义即可求得CEA '∠．【详解】解：∵将A ∠沿DE 翻折，∴ADE A DE '∠=∠，AED A ED '∠=∠，∵D 是线段AB 上的点，25BDA '∠=︒，∴180ADE A D B E DA '∠+∠-'∠=︒，即251280ADE ︒=∠-︒，解得102.5ADE ∠=︒，∵30A ∠=︒，180A AED ADE ∠+∠+∠=︒，∴180180102.53047.5AED ADE A ∠=︒-∠-∠=︒-︒-︒=︒，∴18018047.547.585CEA AED A ED ''∠=︒-∠-∠=︒-︒-︒=︒．故选：C ．【点睛】本题考查折叠的性质，三角形内角和定理，平角的定义．理解折叠前后对应角相等是解题关键．7．若一个三角形的三个内角的度数之比为11:13:24，那么这个三角形是（ ） A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．等边三角形B解析：B【分析】根据角的度数之比，求得最大角的度数，根据最大角的性质判断即可.【详解】∵三个内角的度数之比为11:13:24， ∴最大角的度数为°24180111324⨯++=90°， ∴三角形是直角三角形，故选B.【点睛】 本题考查了三角形按角的分类，根据度数之比求得最大角的度数是解题的关键. 8．三角形的两条边长为3和7，那么第三边长可能是（ ）A ．1B ．4C ．7D ．10C解析：C【分析】根据三角形的两边之和大于第三边，确定第三边的取值范围即可．【详解】解：三角形的两条边长为3和7，设第三边为x ，则第三边的取值范围是：7-3＜x ＜7+3，解得，4＜x ＜10，故选：C ．【点睛】本题考查了三角形的三边关系，根据两边长确定第三边的取值范围是解题关键．∠9．一副透明的三角板，如图叠放，直角三角板的斜边AB、CE相交于点D，则BDC 的度数是（）A．65︒B．75︒C．85︒D．105︒B解析：B【分析】根据三角板的性质以及三角形内角和定理计算即可．【详解】解：∵∠CEA=60︒，∠BAE=45︒，∴∠ADE= 180︒−∠CEA−∠BAE=75︒，∴∠BDC=∠ADE=75︒，故选：B【点睛】本题考查三角板的性质，三角形内角和定理等知识，对顶角相等，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考基础题．10．将一个直角三角板和一把直尺如图放置，如果∠α＝47°，则∠β的度数是（）A．43°B．47°C．30°D．60°A解析：A【分析】延长BC交刻度尺的一边于D点，利用平行线的性质，对顶角的性质，将已知角与所求角转化到Rt△CDE中，利用内角和定理求解．【详解】如图，延长BC交刻度尺的一边于D点，∵AB ∥DE ，∴∠β＝∠EDC ，又∵∠CED ＝∠α＝47°，∠ECD ＝90°，∴∠β＝∠EDC ＝90°﹣∠CED ＝90°﹣47°＝43°．故选：A ．【点睛】本题考查的是平行线的性质，根据题意作出辅助线，构造出平行线是解答此题的关键．二、填空题11．如图，点D 在ABC 的边BA 的延长线上，点E 在BC 边上，连接DE 交AC 于点F ，若3117DFC B ∠∠==︒，C D ∠=∠，则BED ∠=________．102°【分析】首先根据∠DFC ＝3∠B ＝117°可以算出∠B ＝39°然后设∠C ＝∠D ＝x°根据外角与内角的关系可得39＋x ＋x ＝117再解方程即可得到x ＝39再根据三角形内角和定理求出∠BED 的度解析：102°【分析】首先根据∠DFC ＝3∠B ＝117°，可以算出∠B ＝39°，然后设∠C ＝∠D ＝x°，根据外角与内角的关系可得39＋x ＋x ＝117，再解方程即可得到x ＝39，再根据三角形内角和定理求出∠BED 的度数．【详解】解：∵∠DFC ＝3∠B ＝117°，∴∠B ＝39°，设∠C ＝∠D ＝x°，39＋x ＋x ＝117，解得：x ＝39，∴∠D ＝39°，∴∠BED ＝180°−39°−39°＝102°．故答案为：102°．【点睛】此题主要考查了三角形外角的性质，关键是掌握三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和．12．在△ABC 中，∠A 是钝角，∠B =30°， 设∠C 的度数是α，则α的取值范围是___________【分析】依据三角形的内角和定理表示∠A 根据它是钝角列出不等式组求解即可【详解】解：∵∠A+∠B+∠C=180°∴∠A=180°-30°-α=150°-α∵∠A 是钝角∴即故答案为：【点睛】本题考查解不解析：3060α︒<<︒【分析】依据三角形的内角和定理表示∠A ，根据它是钝角列出不等式组，求解即可．【详解】解：∵∠A+∠B+∠C=180°，∴∠A=180°-30°-α=150°-α．∵∠A 是钝角，∴90150180α︒<︒-<︒，即3060α︒<<︒，故答案为：3060α︒<<︒．【点睛】本题考查解不等式组，三角形内角和定理．能正确表示∠A 及利用它的大小关系列出不等式是解题关键．13．如图1，ABC 纸片面积为24，G 为ABC 纸片的重心，D 为BC 边上的一个四等分点（BD CD <）连结CG ，DG ，并将纸片剪去GDC ，则剩下纸片（如图2）的面积为__________．18【分析】连接BG 根据重心的性质得到△BGC 的面积再根据D 点是BC 的四等分点得到△GDC 的面积故可求解【详解】连接BG ∵G 为纸片的重心∴S △BGC=S △ABC=8∵D 为边上的一个四等分点（）∴S △解析：18【分析】连接BG ，根据重心的性质得到△BGC 的面积，再根据D 点是BC 的四等分点得到△GDC 的面积，故可求解．【详解】连接BG ，∵G 为ABC 纸片的重心，∴S △BGC =13S △ABC =8 ∵D 为BC 边上的一个四等分点（BD CD <） ∴S △DGC =34S △BGC =6 ∴剪去GDC ，则剩下纸片的面积为24-6=18 故答案为：18．【点睛】此题主要考查重心的性质，解题的关键是熟知重心的性质及面积的换算关系． 14．设三角形三内角的度数分别为,,x y z ︒︒︒，如果其中一个角的度数是另一个角的度数的2倍、那我们称数对(,)()y z y z <是x 的和谐数对，当150x =时，对应的和谐数对有一个，它为(10,20)；当66x =时，对应的和谐数对有二个，它们是__________．当对应的和谐数对(,)y z 有三个时，请写出此时x 的范围_______．（3876）（3381）【分析】根据和谐数对的定义求出当x=66时的两组数对；再分当时当时当时三种情况讨论从而得出结论【详解】解：当时180-66=114则114÷3=3838×2=76此时和谐数对解析：（38，76），（33，81） 060x ︒<<︒【分析】根据“和谐数对”的定义求出当x=66时的两组数对；再分当060x ︒<<︒时，当60120x ︒<︒时，当120180x ︒<︒时，三种情况讨论，从而得出结论．【详解】解：当66x =时，180-66=114，则114÷3=38，38×2=76，此时和谐数对为（38，76），或66÷2=33，114-33=81，此时和谐数对为（33，81），若对应的和谐数对(,)y z 有三个，当060x ︒<<︒时，它的和谐数对有(1803,2)x x ︒-，3(,180)22x x ︒-，180(3x ︒-，2(180))3x ︒-； 当60120x ︒<︒时，它的和谐数对有3(,180)22x x ︒-，180(3x ︒-，2(180))3x ︒-，当120180x ︒<︒时，它的和谐数对有180(3x ︒-，2(180))3x ︒-， ∴对应的和谐数对(,)y z 有三个时，此时x 的范围是060x ︒<<︒，故答案为：（38，76），（33，81）；060x ︒<<︒．【点睛】本题考查三角形内角和定理，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用分类讨论的数学思想解答问题．15．如图，已知ABC 中，90,50ACB B D ︒︒∠=∠=，为AB 上一点，将BCD △沿CD 折叠后，点B 落在点E 处，且//CE AB ，则ACD ∠的度数是___________．25°【分析】先求出∠A 的度数再根据折叠的性质可得∠E 的度数根据平行线的性质求出∠ADE 的度数进而即可求解【详解】∵∴∠A=40°∵沿折叠后点B 落在点E 处∴∠E=∠B=50°∵∴∠ADE=∠E=50解析：25°【分析】先求出∠A 的度数，再根据折叠的性质可得∠E 的度数，根据平行线的性质求出∠ADE 的度数，进而即可求解．【详解】∵90,50ACB B ︒︒∠=∠=， ∴∠A=40°，∵BCD △沿CD 折叠后，点B 落在点E 处，∴∠E=∠B=50°，∵//CE AB ，∴∠ADE=∠E=50°，∴∠BDC=∠EDC=（180°-50°）÷2=65°，∴∠ACD=∠BDC-∠A=65°-40°=25°，故答案是：25°．【点睛】本题主要考查折叠的性质，三角形外角的性质，平行线的性质，直角三角形的性质，掌握平行线的性质以及三角形外角的性质，是解题的关键．16．从一个多边形的一个顶点出发，一共可作9条对角线，则这个多边形的内角和是_________度．1800【分析】设多边形边数为n 根据n 边形从一个顶点出发可引出(n-3)条对角线可得n-3=9计算出n 的值再根据多边形内角和(n-2)•180°可得答案【详解】设多边形边数为n 由题意得：n-3=9n解析：1800【分析】设多边形边数为n ，根据n 边形从一个顶点出发可引出(n-3)条对角线可得n-3=9，计算出n 的值，再根据多边形内角和(n-2)•180°可得答案．【详解】设多边形边数为n ，由题意得：n-3=9，n=12，内角和：()1221801800-⨯︒=︒．故答案为：1800．【点睛】本题主要考查了多边形的对角线，以及多边形内角和，关键是掌握n 边形从一个顶点出发可引出(n-3)条对角线，多边形内角和公式(n-2)•180°．17．如图，,AE AD 分别是△ABC 的高和角平分线，且6B 3︒∠=，6C 7︒∠=则DAE ∠的度数为__．20°【分析】根据高线的定义以及角平分线的定义分别得出∠CAD=34°进而得出∠CAE 的度数进而得出答案【详解】解：∵且∴∵平分∴∵是的高∴∴∴∴故答案为：20°【点睛】此题考查三角形的角平分线中线解析：20°【分析】根据高线的定义以及角平分线的定义分别得出68BAC ︒∠=，∠CAD =34°，进而得出∠CAE 的度数，进而得出答案．【详解】解：∵180B BAC C ︒∠+∠+∠=，且6B 3︒∠=，6C 7︒∠=，∴180180367668BAC B C ︒︒︒︒︒∠=-∠-∠=--=，∵AD 平分BAC ∠， ∴11683422CAD BAC ︒︒∠=∠=⨯=， ∵AE 是ABC ∆的高， ∴90AEC ︒∠=，∴90C CAE ︒∠+∠=，∴90907614CAE C ︒︒︒︒∠=-∠=-=，∴341420DAE CAD CAE ︒︒︒∠=∠-∠=-=，故答案为：20°．【点睛】此题考查三角形的角平分线、中线和高，三角形内角和定理，解题关键在于掌握各性质定义．18．如图，将长方形纸片的一角折叠，使顶点A 落在F 处，折痕为BC ，FBD ∠的角平分线为BE ，将FBD ∠沿BF 折叠使BE ，BD 均落在FBC ∠的内部，且BE 交CF 于点M ，BD 交CF 于点N ，若BN 平分CBM ∠，则ABC ∠的度数为_________．5°【分析】根据角平分线的定义可得再根据折叠的性质可得再根据平分可得进而可得【详解】解：∵的角平分线为∴又∵与关于对称∴∵与关于对称∴又∵平分∴又∵为折痕∴∵∴又∵∴∴又∵∴故答案为：675°【点睛解析：5°．【分析】根据角平分线的定义可得1FBE ∠=∠，再根据折叠的性质可得1MBF FBE ∠=∠=∠，NBF FBD ∠=∠，CBA CBF ∠=∠， 再根据BN 平分CBM ∠可得CBN NBM ∠=∠，进而可得318067.58ABC ∠=⨯=． 【详解】解：∵FBD ∠的角平分线为BE ，∴1FBE ∠=∠， 又∵BM 与BE 关于BF 对称， ∴1MBF FBE ∠=∠=∠，∵BN 与BD 关于BF 对称，∴NBF FBD ∠=∠FBE EBD =∠+∠11=∠+∠21=∠，又∵BN 平分CBM ∠，∴CBN NBM ∠=∠，又∵BC 为折痕，∴CBA CBF ∠=∠CBN NBF =∠+∠21NBM =∠+∠，∵NBM NBF MBF ∠=∠-∠211=∠=∠1=∠，∴31CBA ∠=∠，又∵180CBA CBF FBD ∠+∠+∠=，∴3112121180∠+∠+∠+∠=，∴81180∠=，又∵31ABC ∠=∠， ∴318067.58ABC ∠=⨯=， 故答案为：67.5°．【点睛】 本题考查了折叠的性质，角平分线的定义，平角的定义，解题的关键是理解题意，找到31808ABC ∠=⨯． 19．如图，在ABC 中，E 、D 、F 分别是AD 、BF 、CE 的中点，若DEF 的面积是1，则ABC S =______．7【分析】连接CDBEAF 由三角形中线等分三角形的面积求得S △AEC=2S △DEFS △ABD=2S △DEFS △BFC=2S △DEF 由S △ABC=S △AEC+S △ABD+S △BFC+S △DEF 即可得出解析：7【分析】连接CD ，BE ，AF ，由三角形中线等分三角形的面积，求得S △AEC =2S △DEF ，S △ABD =2S △DEF ，S △BFC =2S △DEF ，由S △ABC =S △AEC +S △ABD +S △BFC +S △DEF 即可得出结果．【详解】解：连接CD ，BE ，AF ，如图所示：∵AE=ED ，由三角形中线等分三角形的面积，可得S △AEF =S △DEF ，同理S △AEF =S △AFC ，∴S △AEC =2S △DEF ；同理可得：S △ABD =2S △DEF ，S △BFC =2S △DEF ，∴△ABC =S △AEC +S △ABD +S △BFC +S △DEF =2S △DEF +2S △DEF +2S △DEF +S △DEF =7S △DEF =7cm 2，故答案为：7．【点睛】本题是面积及等积变换综合题目，考查了三角形的面积及等积变换，解答关键是通过作辅助线，运用三角形中线等分三角形的面积得出结果．20．如图，ABC ∆的面积是2，AD 是BC 边上的中线，13AE AD =，12BF EF =．则DEF ∆的面积为_________．【分析】直接根据高相等的三角形面积之比等于底之比【详解】解：∵是边上的中线∴BD=DC 又∵的面积是2和的高相等∴∵和的高相等∴∴又∴同理：故答案为：【点睛】此题主要考查根据高相等的三角形面积之比等于解析：49【分析】直接根据高相等的三角形，面积之比等于底之比．【详解】解：∵AD 是BC 边上的中线∴BD=DC又∵ABC ∆的面积是2，D AB ∆和D A C ∆的高相等∴D DC S =S =1AB A ∆∆∵13AE AD =E AB ∆和BDE ∆的高相等 ∴E BDE ABD 11S =S =S 23AB ∆∆∆ ∴BDE 2S =3∆ 又12BF EF =，∴1B 3BF E =，同理： DEF BFD BDE 24S =2S =S =39∆∆∆ 故答案为：49． 【点睛】此题主要考查根据高相等的三角形，面积之比等于底之比求三角形的面积，解题的关键是正确理解高相等的三角形之间的关系．三、解答题21．如图，BP 平分ABC ∠，交CD 于点F ，DP 平分ADC ∠交AB 于点E ，AB 与CD 相交于点G ，42A ∠=︒．（1）若60ADC ∠=︒，求AEP ∠的度数；（2）若38C ∠=︒，求P ∠的度数．解析：（1）72︒；（2）40︒．【分析】（1）根据角平分线的定义可得∠ADP=12ADC ∠ ，然后利用三角形外角的性质即可得解；（2）根据角平分线的定义可得∠ADP=∠PDF ，∠CBP=∠PBA ，再根据三角形的内角和定理可得∠A+∠ADP=∠P+∠ABP ，∠C+∠CBP=∠P+∠PDF ，所以∠A+∠C=2∠P ，即可得解．【详解】解：（1）∵DP 平分∠ADC ，∴∠ADP=∠PDF=12ADC ∠， ∵60ADC ∠=︒，∴30ADP ∠=︒，∴304272AEP ADP A ∠=∠+∠=︒+︒=︒；（2）∵BP 平分∠ABC ，DP 平分∠ADC ，∴∠ADP=∠PDF ，∠CBP=∠PBA ，∵∠A+∠ADP=∠P+∠ABP ，∠C+∠CBP=∠P+∠PDF ，∴∠A+∠C=2∠P ，∵∠A=42°，∠C=38°，∴∠P=12（38°+42°）=40°． 【点睛】本题考查了三角形的内角和定理及三角形外角的性质，角平分线的定义，熟记定理并理解“8字形”的等式是解题的关键．22．已知AB ∥CD ，CF 平分∠ECD ．（1）如图1，若∠DCF =25°，∠E =20°，求∠ABE 的度数．（2）如图2，若∠EBF =2∠ABF ，∠CFB 的2倍与∠CEB 的补角的和为190°，求∠ABE 的度数．解析：（1）∠ABE=30°；（2）∠ABE=30°【分析】（1）假设CE 与AB 相交于点G ，由题意易得∠DCE=50°，则有∠CGA=∠BGE=130°，然后根据三角形内角和可求解；（2）假设CE 与AB 、BF 相交于点M 、N ，设∠ABF=x ，∠DCF=∠FCE=y ，则有∠EBF=2x ，∠ABE=3x ，∠DCE=2y ，根据题意可得∠AMC=180°-2y ，∠E=2y-3x ，2∠CFB-∠CEB=10°，进而根据三角形内角和及角的和差关系可求解．【详解】解：（1）假设CE 与AB 相交于点G ，如图所示：∵CF 平分∠DCE ，∠DCF=25°，∴∠DCE=50°，∵AB ∥DC ，∴∠DCE+∠AGC=180°，∴∠AGC=130°，∴∠EGB=∠AGC=130°，∵∠E=20°，∴∠ABE=30°；（2）假设CE 与AB 、BF 相交于点M 、N ，如图所示：设∠ABF=x ，∠DCF=y ，∵∠EBF=2∠ABF ，CF 平分∠DCE ，∴∠EBF=2x ，∠ABE=3x ，∠FCE=y ，∠DCE=2y ，∵AB ∥DC ，∴∠DCE+∠AMC=180°，∴∠EMB=∠AMC=180°-2y ，∵∠E+∠EMB+∠ABE=180°，∴∠E=2y-3x ，∵∠E+∠ENB+∠FBE=180°，∴∠ENB=180°+x-2y ，∵∠CFB+∠CNF+∠FCE=180°，∴∠CFB=y-x ，∵∠CFB 的2倍与∠CEB 的补角的和为190°，∴2∠CFB-∠CEB=10°，∴()()22310y x y x ---=︒，解得：10x =︒，∴∠ABE=30°．【点睛】本题主要考查平行线的性质及三角形内角和，熟练掌握平行线的性质及三角形内角和是解题的关键．23．阅读下面内容，并解答问题在学习了平行线的性质后，老师请学们证明命题：两条平行线被第三条直线所截，一组同旁内角的平分线互相垂直．小颖根据命题画出图形并写出如下的已知条件．已知：如图1，//AB CD ，直线EF 分别交AB ，CD 于点E ，F ，BEF ∠的平分线与DFE ∠的平分线交于点G ．（1）直线EG ，FG 有何关系？请补充结论：求证：“__________”，并写出证明过程； （2）请从下列A 、B 两题中任选一题作答，我选择__________题，并写出解答过程． A ．在图1的基础上，分别作BEG ∠的平分线与DFG ∠的平分线交于点M ，得到图2，求EMF ∠的度数．B ．如图3，//AB CD ，直线EF 分别交AB ，CD 于点E ，F ．点O 在直线AB ，CD 之间，且在直线EF 右侧，BEO ∠的平分线与DFO ∠的平分线交于点P ，请猜想EOF ∠与EPF ∠满足的数量关系，并证明它．解析：（1）EG ⊥FG ，证明见解析；（2）A ．45；B .2EOF EPF ∠=∠（在A 、B 两题中任选一题即可）【分析】（1）由AB ∥CD ，可知∠BEF 与∠DFE 互补，由角平分线的定义可得90GEF GFE ∠+∠=︒，由三角形内角和定理可得∠G ＝90︒，则EG FG ⊥； （2）A ．由（1）可知90BEG DFG ∠+∠=︒，根据角平分线的定义可得45MEG MFG ∠+∠=︒,故135MEF MFE ∠+∠=︒，根据三角形的内角和即可求出EMF ∠=45︒；B ．设OEF α∠=，OFE β∠=，故EOF ∠=180αβ︒--，再得到180BEO DFO αβ∠+∠=--︒，根据角平分线的定义可得190122PEO PFO αβ︒-∠+∠=-，则119022PEF PFE αβ∠+∠=︒++，再求出EPF ∠，即可比较得到结论．【详解】解：（1）由题意可得，求证：“EG ⊥FG”，证明过程如下∵//AB CD∴∠BEF ＋∠EFD=180° EG 平分BEF ∠，FG 平分DFE ∠，12GEF BEF ∴∠=∠，12GFE DFE ∠=∠， 1111()180902222GEF GFE BEF DFE BEF DFE ∴∠+∠=∠+∠=∠+⨯︒∠==︒． 在EFG 中，180GEF GFE G ∠+∠+∠=︒，180()1809090G GEF GFE ∴∠=-∠+∠=-︒=︒︒︒，EG FG ∴⊥．（2）A ．由（1）可知=90BEG DFG GEF GFE ∠+∠=∠+∠︒，∵BEG ∠的平分线与DFG ∠的平分线交于点M∴∠MEG=12∠BEG ，∠MFG=12∠DFG ∴()111190452222MEG MFG BEG DFG BEG DFG ∠+∠=∠+∠=∠+∠=⨯︒=︒ 则4591350MEF MFE ︒+∠︒=+∠=︒， ∴EMF ∠=180135︒-︒=45︒故答案为：A ，45；B.设OEF α∠=，OFE β∠=，∴EOF ∠=180αβ︒--，∵//AB CD∴∠BEF ＋∠EFD=180°则180BEO DFO αβ∠+∠=--︒∵BEO ∠的平分线与DFO ∠的平分线交于点P∴190122PEO PFO αβ︒-∠+∠=-, ∴111190902222PEF PFE αβαβαβ∠+∠=︒--++=︒++， ∴EPF ∠=111809022αβ⎛⎫︒-︒++ ⎪⎝⎭=121902αβ︒--， ∵EOF ∠=1118029022αβαβ⎛⎫︒--=︒-- ⎪⎝⎭， 故2EOF EPF ∠=∠故答案为：B ，2EOF EPF ∠=∠．（在A 、B 两题中任选一题即可）【点睛】本题考查了平行线的性质、角平分线的定义、三角形内角和定理，熟练掌握平行线的性质和角平分线的定义是解题的关键．24．如图，AF ，AD 分别是ABC 的高和角平分线，且34B ∠=︒，76C ∠=︒，求DAF ∠的度数．解析：21︒【分析】运用三角形的内角和定理即可求出∠BAC 的度数；根据角平分线的定义、三角形的内角和定理的推论以及直角三角形的两个锐角互余即可求出∠FAC 的度数，再由DAF DAC FAC =-∠∠∠即可得出结论．【详解】解：∵AF 是ABC 的高，∴90AFC ∠=︒，∴90907614FAC C ∠=︒-∠=︒-︒=︒，∵180BAC B C ∠+∠+∠=︒，∴180180763470BAC B C ∠=︒-∠-∠=︒-︒-︒=︒，∵AD 是ABC 的角平分线， ∴11703522DAC BAC ==⨯︒=∠∠︒， ∴21DAF DAC FAC =-∠=∠∠︒．【点睛】本题考查的是三角形内角和定理，熟知三角形内角和是180°是解答此题的关键． 25．如果一个多边形的内角和是它的外角和的4倍，求这个多边形的对角线总数． 解析：35条【分析】一个多边形的内角和等于外角和的4倍而任何多边形的外角和是360°，因而多边形的内角和等于1440°．n 边形的内角和可以表示成（n-2）•180°，设这个正多边形的边数是n ，就得到方程，从而求出边数，即可求出答案．【详解】解：设这是一个n 边形，依题意得：(n-2)．180°=4×360°，解得n=10故这个多边形的总条数为()10103352⨯-=（条）答：对角线的总数为35条．【点睛】本题主要考查多边形内角与外角的知识点，此题比较简单，只要结合多边形的内角和公式寻求等量关系，构建方程求解即可．26．如图，已知在ABC 中，90C ∠=︒，BE 平分ABC ∠，且//BE AD ，20BAD ∠=︒，求AEB ∠的度数．解析：110°【分析】根据平行线的性质和三角形外角的性质即可得到结论．【详解】∵BE∥AD，∴∠ABE=∠BAD=20°，∵BE平分∠ABC，∴∠EBC=∠ABE=20°，∵∠C=90°，∴∠AEB=∠C+∠CBE=90°+20°=110°．【点睛】考查了三角形的外角的性质、平行线的性质和角平分线的定义，解题关键是正确识别图形得出图中角之间的关系．27．如图，AB∥CD，点E是CD上一点，连结AE．EB平分∠AED，且DB⊥BE，AF⊥AC，AF与BE交于点M．（1）若∠AEC＝100°，求∠1的度数；（2）若∠2＝∠D，则∠CAE＝∠C吗？请说明理由．解析：（1）40°；（2）∠CAE＝∠C，理由见解析．【分析】（1）根据邻补角的定义可求∠AED，再根据角平分线的定义和平行线的性质可求∠1的度数；（2）根据三角形内角和定理可求∠BED＝∠C，根据平行线的判定可知AC∥BE，根据平行线的性质可得∠CAE＝∠AEB，根据角平分线的定义和等量关系即可求解．【详解】（1）∵∠AEC＝100°，∴∠AED＝80°，∵EB平分∠AED，∴∠BED＝40°，∵AB∥CD，∴∠1＝∠BED＝40°；（2）∵DB⊥BE，AF⊥AC，∴∠EBD＝∠CAF＝90°，∵∠2＝∠D，∴∠BED ＝∠C ，∴AC ∥BE ，∴∠CAE ＝∠AEB ，∵EB 平分∠AED ，∴∠AEB ＝∠BED ，∴∠CAE ＝∠C ．【点睛】本题考查平行线的判定和性质，邻补角的定义，角平分线的定义，三角形内角和定理．熟悉相应的性质和定义是解答本题的关键．28．如图，在ABC 中，60,80,BAC C AD ︒︒∠=∠=是ABC 的角平分线，点E 是边AC 上一点，且12ADE B ∠=∠，求CDE ∠的度数．解析：50︒【分析】根据角平分线的性质求出∠BAD 的度数，利用三角形内角和求出∠B 的度数，由此得到∠ADE 的度数，利用三角形外角性质求出∠ADC ，即可得到答案．【详解】解：∵AD 平分BAC ∠，∴1302BAD DAC BAC ∠=∠=∠=︒， ∵180180608040B BAC C ∠=︒-∠-∠=︒-︒-︒=︒，∴403070ADC B BAD ∠=∠+∠=︒+︒=︒， ∴1202ADE B ∠=∠=︒， ∴702050CDE ADC ADE ∠=∠-∠=︒-︒=︒．【点睛】 此题考查三角形内角和定理，角平分线的性质，三角形外角定理，正确分析图形掌握各角直角的位置关系是解题的关键．。
人教版八年级上册数学第11章三角形 11.1.1三角形的边 综合练习
人教版八年级上册数学第11章三角形 11.1.1三角形的边综合练习1.三角形的两边长分别为8和6，第三边长是一元一次不等式2x－1＜9的正整数解，则三角形的第三边长是 .2. 已知三角形三边长分别为3，1－2a，8，则a的取值范围是( )A. 4＜a＜10B. 5＜a＜11C.－5＜a＜－2D.－2＜a＜－53. 已知a，b，c为△ABC的边长，b，c满足(b－2)2＋c－3＝0，且a为方程|a－4|＝2的解，求△ABC的周长，并判断△ABC的形状.4. 已知a，b，c是△ABC的三边，a＝4，b＝6，且三角形的周长是大于14的偶数.(1)求c的值；(2)判断△ABC的形状.5.在△ABC中，AD，CE分别是△ABC的高，且AD＝2，CE＝4，则AB∶BC＝( )A.3∶4B. 2∶1C.1∶2D. 4∶36.如图，在△ABC中，PA，PB，PC是△ABC三个内角的平分线，则∠PBC＋∠PCA＋∠PAB＝度.7.如图，AD是△ABC的中线，DE是△ADC的高，AB＝3，AC＝5，DE＝2，则点D到AB的距离是 .8. 一副三角板按如图所示的方式叠放在一起，则图中∠ABC＝ .9.如图，在△ABC中，BD是∠ABC的平分线，ED∥BC，且∠C＝76°，∠A＝60°，则∠BDE的度数为( )A.20°B.22°C.44°D.82°第9题图10. 一个三角形三个内角的度数比为3∶4∶5，则这个三角形一定是( )A.锐角三角形B. 钝角三角形C. 直角三角形D.等腰三角形11.在△ABC中，∠A＝60°＋∠B＋∠C，则∠A等于( )A. 60°B. 30°C.120°D.140°12. 当三角形中一个内角α是另一个内角β的两倍时，我们称此三角形为“标准三角形”，其中α为“标准角”.如果一个“标准三角形”的“标准角”为100°，那么这个“标准三角形”的最小内角度数为( )A.30°B.45°C.50°D.60°13.如图，BE，CF是△ABC的角平分线，∠ABC＝80°，∠ACB＝60°，BE，CF相交于D，则∠CDE的度数是( )A.60°B.70°C.80°D.50°14.如图，在△ABC中，D是AB边上一点，E是AC边上一点，BE，CD相交于F，∠A＝70°，∠ACD＝20°，∠ABE＝28°，则∠CFE的度数为( )A.62°B. 90°C.78°D. 68°15. 已知：如图，在△ABC中，∠A＝55°，F是高BE，CD的交点，求∠BFC的度数.16. 如图，在△ABC中，AD是∠BAC的平分线，AE是BC边上的高，已知∠BAC＝2∠B，∠B＝2∠DAE，那么∠ACB＝ .17. 如图，∠AOB＝40°，OC平分∠AOB，直尺与OC垂直，则∠1等于 .18.如图，∠AOB＝90°，点C，D分别在射线OA，OB上，CE是∠ACD的平分线，CE的反向延长线与∠CDO 的平分线交于点F.(1)若∠OCD＝50°(如图1)，试求∠F的度数；(2)当C，D在射线OA，OB上任意移动时(不与点O重合)(如图2)，∠F的大小是否变化？若变化，请说明理由；若不变化，求出∠F的度数.19.(1)如图①，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为D，∠ACD与∠B有什么关系？为什么？(2)如图②，在Rt△ABC中，∠C＝90°，D，E分别在AC，AB上，且∠ADE＝∠B，判断△ADE的形状，为什么？(3)如图③，在Rt△ABC和Rt△DBE中，∠C＝90°，∠E＝90°，AB⊥BD，点C，B，E在同一直线上，∠A 与∠D有什么关系？为什么？【答案】1.3或42. C3.解：解：∵(b－2)2＋c－3＝0，∴b－2＝0，c－3＝0，∴b＝2，c＝3.∵|a－4|＝2，∴a＝6或2.当a＝6，b＝2，c＝3时，不能构成三角形；当a＝2，b＝2，c＝3时，周长为7，是等腰三角形.4, (1)∵6－4＜c＜6＋4，∴2＜c＜10.又∵三角形的周长是大于14的偶数，∴c＞4，且c为偶数，∴c＝6或8.(2)当c＝6时，b＝c＝6，a＝4，此时△ABC为等腰三角形；当c＝8时，b＝6，a＝4，此时△ABC为不等边三角形.5. C6.907. 103 8.75°9. B 10. A 11. C 12. A 13. B 14. A解析：∵∠A＝70°，∠ACD＝20°，∴∠ADC＝90°，∴∠BDF＝180°－∠ADC＝90°.在△BDF中，∠BFD＝180°－∠BDF－∠DBF＝180°－90°－28°＝62°，∴∠CFE＝∠BFD＝62°.15. 解：∵∠A＝55°，BE⊥AC，CD⊥AB，∴∠ABE＝∠ACD＝180°－∠A－90°＝35°，∴∠BCF＋∠CBF＝180°－∠A－∠ABE－∠ACD＝180°－55°－35°－35°＝55°，∵∠BFC＋∠BCF＋∠CBF＝180°，∴∠BFC＝125°.16. 72°17.解：70°18.. (1)∵∠AOB＝90°，∠OCD＝50°，∴∠CDO＝40°，∠ACD＝130°.∵CE是∠ACD的平分线，DF是∠CDO的平分线，∴∠ECD＝65°，∠CDF＝20°.∵∠DCE＝180°－∠DCF，∠F＋∠CDF＝180°－∠DCF，∴∠ECD ＝∠F ＋∠CDF ， ∴∠F ＝45°. (2)不变化，∠F ＝45°.∵∠AOB ＝90°， ∴∠CDO ＝90°－∠OCD ，易知∠ACD ＝180°－∠OCD . ∵CE 是∠ACD 的平分线，DF 是∠CDO 的平分线， ∴∠ECD ＝90°－12∠OCD ，∠CDF ＝45°－12∠OCD .∵∠DCE ＝180°－∠DCF ，∠F ＋∠CDF ＝180°－∠DCF ， ∴∠ECD ＝∠F ＋∠CDF ， ∴∠F ＝45°. 19. 解：(1)∠ACD ＝∠B .理由如下： ∵在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，CD ⊥AB ，∴∠ACD ＋∠DCB ＝90°，∠B ＋∠DCB ＝90°， ∴∠ACD ＝∠B . (2)△ADE 是直角三角形.∵在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，D ，E 分别在AC ，AB 上，且∠ADE ＝∠B ，∠A 为公共角，∴∠AED ＝∠ACB ＝90°，∴△ADE 是直角三角形.(3)∠A ＋∠D ＝90°.∵在Rt △ABC 和Rt △DBE 中，∠C ＝90°，∠E ＝90°，AB ⊥BD ， ∴∠ABC ＋∠A ＝∠ABC ＋∠DBE ＝∠DBE ＋∠D ＝90°，∴∠A ＋∠D ＝90°.。
专题01 三角形的三边、高线、中线及角平分线(解析版)八年级数学上册重难点专题提优训练(人教版)
专题01三角形的三边、高线、中线及角平分线考点一三角形的稳定性考点二三角形的三边关系考点三三角形的高线考点四三角形的中线考点五三角形的角平分线考点一三角形的稳定性例题：（2021·广西·南宁十四中七年级期末）下列图形中没有运用三角形稳定性的是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】【分析】利用三角形的稳定性解答即可．【详解】解：对于A、C、D选项，都含有三角形，故利用了三角形的稳定性；而B选项中，用到了四边形的不稳定性.故选B．【点睛】本题主要考查了三角形的稳定性，需理解稳定性在实际生活中的应用；明确能体现出三角形的稳定性，则说明物体中必然存在三角形是解题关键．【变式训练】1．（2022·吉林吉林·二模）如图，人字梯中间设计一“拉杆”，在使用梯子时，固定拉杆会增加安全性．这样做蕴含的数学道理是（）A．三角形具有稳定性B．两点之间线段最短C．经过两点有且只有一条直线D．垂线段最短【答案】A【解析】【分析】人字梯中间设计一“拉杆”后变成一个三角形，稳定性提高．【详解】三角形的稳定性如果三角形的三条边固定，那么三角形的形状和大小就完全确定了，三角形的这个特征，叫做三角形的稳定性.故选A【点睛】本题考查三角形的稳定性，理解这一点是本题的关键．2．（2022·广东·佛山市惠景中学七年级期中）如图所示的自行车架设计成三角形，这样做的依据是三角形具有___．【答案】稳定性【解析】【分析】根据是三角形的稳定性，即可求解．【详解】解：自行车的主框架采用了三角形结构，这样设计的依据是三角形具有稳定性，故答案为：稳定性．【点睛】本题考查的是三角形的性质，掌握三角形具有稳定性是解题的关键．考点二三角形的三边关系例题：（2022·黑龙江·哈尔滨市风华中学校七年级期中）下列各组长度的线段为边，能构成三角形的是（）．A．1，2，3B．3，4，5C．4，5，11D．6，3，3【答案】B【解析】【分析】比较三边中两较小边之和与较大边的大小即可得到解答．【详解】解：A、1+2=3，不符合题意；B、3+4>5，符合题意；C、4+5<11，不符合题意；D、3+3=6，不符合题意；故选B．【点睛】本题考查构成三角形的条件，熟练掌握三角形的三边关系是解题关键．【变式训练】1．（2022·黑龙江·哈尔滨市第六十九中学校七年级期中）下列各组长度的三条线段能够组成三角形的是（）A．3，4，8B．5，6，11C．5，6，10D．10，7，3【答案】C【解析】【分析】根据三角形三边关系可直接进行排除选项．【详解】解：A、3+4＜8，不符合三角形三边关系，故不能构成三角形；B、5+6=11，不符合三角形三边关系，故不能构成三角形；C、5+6＞10，符合三角形三边关系，故能构成三角形；D、3+7=10，不符合三角形三边关系，故不能构成三角形；故选C．【点睛】本题主要考查三角形三边关系，熟练掌握三角形三边关系是解题的关键．2．（2022·海南·海口市第十四中学七年级阶段练习）在△ABC中，三条边长分别为3和6，第三边长为奇数，那么第三边的长是()A．5或7B．7或9C．3或5D．9【答案】A【解析】【分析】先求出第三边长的取值范围，再根据条件具体确定符合条件的值即可．【详解】解：因为三条边长分别为3和6，所以6-3＜第三边＜6+3，所以3＜第三边＜9，因为第三边长为奇数，∴第三边的长为5或7，故选：A．【点睛】本题考查了三角形的三边关系，掌握三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边是解题的关键．3．（2022·江苏·南师附中新城初中七年级期中）已知三角形三边长分别为3，x，14，若x为正整数，则这样的三角形个数为（）A．4B．5C．6D．7【答案】B【解析】【分析】直接根据三角形的三边关系求出x的取值范围，进而可得出结论．【详解】解：三角形三边长分别为3，x，14，x<<．x143143∴-<<+，即1117x为正整数，12x=，13，14，15，16，即这样的三角形有5个．故选：B．【点睛】本题考查的是三角形的三边关系，熟知三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边是解答此题的关键．考点三三角形的高线例题：（2022·重庆市育才中学七年级阶段练习）下列各组图形中，BD是ABC的高的图形是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】【分析】三角形的高即从三角形的顶点向对边引垂线，顶点和垂足间的线段．根据概念即可得到答案．【详解】解：根据三角形高的定义可知，只有选项B中的线段BD是∴ABC的高，故选：B．【点睛】考查了三角形的高的概念，掌握高的作法是解题的关键．【变式训练】1．（2022·浙江杭州·中考真题）如图，CD ∴AB 于点D ，已知∴ABC 是钝角，则（ ）A ．线段CD 是ABC 的AC 边上的高线B ．线段CD 是ABC 的AB 边上的高线 C ．线段AD 是ABC 的BC 边上的高线D ．线段AD 是ABC 的AC 边上的高线【答案】B【解析】【分析】根据高线的定义注意判断即可．【详解】∴ 线段CD 是ABC 的AB 边上的高线，∴A 错误，不符合题意；∴ 线段CD 是ABC 的AB 边上的高线，∴B 正确，符合题意；∴ 线段AD 是ACD 的CD 边上的高线，∴C 错误，不符合题意；∴线段AD 是ACD 的CD 边上的高线，∴D 错误，不符合题意；故选B ．【点睛】 本题考查了三角形高线的理解，熟练掌握三角形高线的相关知识是解题的关键．2．（2022·湖南怀化·七年级期末）如图，在直角三角形ABC 中，90ACB ∠=︒，AC ＝3，BC ＝4，AB ＝5，则点C 到AB 的距离为______．【答案】125【解析】【分析】根据面积相等即可求出点C 到AB 的距离．【详解】解：∴在直角三角形ABC 中，90ACB ∠=︒， ∴1122AC BC AB CD ⨯=⨯， ∴AC ＝3，BC ＝4，AB ＝5， ∴1134522CD ⨯⨯=⨯⨯， ∴CD =125， 故答案为：125． 【点睛】本题考查求直角三角形斜边上的高，用面积法列出关系式是解题关键．3．（2022·重庆·七年级期中）如图，点A 、点B 是直线l 上两点，10AB =，点M 在直线l 外，6MB =，8MA =，90AMB ∠=︒，若点P 为直线l 上一动点，连接MP ，则线段MP 的最小值是______．【答案】4.8【解析】【分析】根据垂线段最短可知：当MP AB ⊥时，MP 有最小值，再利用三角形的面积可列式计算求解MP 的最小值．【详解】解：当MP AB ⊥时，MP 有最小值，10AB =，6MB =，8MA =，90AMB ∠=︒，AB MP AM BM ∴⋅=⋅，即1068MP =⨯，解得 4.8MP =．故答案为：4.8．【点睛】本题主要考查垂线段最短，三角形的面积，找到MP 最小时的P 点位置是解题的关键．考点四 三角形的中线例题：（2021·广西·靖西市教学研究室八年级期中）如图，已知BD 是∴ABC 的中线，AB ＝5，BC ＝3，且∴ABD 的周长为12，则∴BCD 的周长是_____．【答案】10【解析】【分析】先根据三角形的中线、线段中点的定义可得AD CD =，再根据三角形的周长公式即可求出结果．【详解】 解：BD 是ABC 的中线，即点D 是线段AC 的中点，AD CD ∴=，5AB =，ABD △的周长为12，12AB BD AD ∴++=，即512BD AD ++=，解得：7BD AD +=，7BD CD ∴+=，则BCD △的周长是3710BC BD CD ++=+=．故答案为：10．【点睛】本题主要考查了三角形的中线、线段中点的定义等知识点，掌握线段中点的定义是解题关键．【变式训练】1．（2022·陕西·西安市曲江第一中学七年级期中）在ABC 中，BC 边上的中线AD 将ABC 分成的两个新三角形的周长差为5cm ，AB 与AC 的和为11cm ，则AC 的长为________．【答案】3cm 或8cm【解析】【分析】根据三角形的中线的定义可得BD CD =，然后求出ABD △与ADC 的周长差是AB 与AC 的差或AC 与AB 的差，然后代入数据计算即可得解．【详解】如图1，图2，∴AD 是BC 边上的中线，∴BD CD =，∴中线AD 将ABC 分成的两个新三角形的周长差为5cm ，∴()()5AB BD AD AC CD AD ++-++=或()()5AC CD AD AB BD AD ++-++=，∴5AB AC -=或者5AC AB -=，∴AB 与AC 的和为11cm ，∴11AB AC +=，∴83AB AC =⎧⎨=⎩或38AB AC =⎧⎨=⎩， 故答案为：3cm 或8cm ．【点睛】本题考查了三角形的中线，熟记概念并求出两个三角形的周长的差等于两边长的差是解题的关键． 2．（2022·江苏·泰州市第二中学附属初中七年级阶段练习）如图，D ，E 分别是∴ABC 边AB ，BC 上的点，AD =2BD ，BE =CE ，设∴ADF 的面积为S 1，∴FCE 的面积为S 2，若S △ABC =16，则S 1－S 2的值为_________．【答案】8 3【解析】【分析】S△ADF−S△CEF＝S△ABE−S△BCD，所以求出三角形ABE的面积和三角形BCD的面积即可，因为AD＝2BD，BE＝CE，且S△ABC＝16，就可以求出三角形ABE的面积和三角形BCD的面积.【详解】解：∴BE＝CE，∴BE＝12BC，∴S△ABC＝16，∴S△ABE＝12S△ABC＝8．∴AD＝2BD，S△ABC＝16，∴S△BCD＝13S△ABC＝163，∴S△ABE−S△BCD＝（S1＋S四边形BEFD）−（S2＋S四边形BEFD）＝S1−S2＝83，故答案为83．【点睛】本题考查三角形的面积，关键知道当高相等时，面积等于底边的比，据此可求出三角形的面积，然后求出差．3．（2022·江苏·苏州市相城实验中学七年级期中）如图，AD 是∴ABC 的中线，BE 是∴ABD 的中线，EF ⊥BC于点F．若24ABCS=，BD =4，则EF 长为___________．【答案】3【解析】【分析】因为S △ABD =12S △ABC ，S △BDE =12S △ABD ；所以S △BDE =14S △ABC ，再根据三角形的面积公式求得即可． 【详解】解：∴AD 是∴ABC 的中线，S △ABC =24，∴S △ABD =12S △ABC =12，同理，BE 是∴ABD 的中线，612BDE ABD SS ==，∴S △BDE =12BD •EF ，∴12BD •EF =6，即1462EF ⨯⨯= ∴EF =3．故答案为：3．【点睛】此题考查了三角形的面积，三角形的中线特点，理解三角形高的定义，根据三角形的面积公式求解，是解题的关键．考点五 三角形的角平分线 例题：（2022·全国·八年级）如图，在ABC 中，90CAB ∠=︒，AD 是高，CF 是中线，BE 是角平分线，BE 交AD 于G ，交CF 于H ，下列说法正确的是（ ）①AEG AGE ∠=∠；②BH CH =；③2EAG EBC ∠=∠；④ACF BCF S S =A．①③B．①②③C．①③④D．②③④【答案】C【解析】【分析】①根据∴CAB=90°，AD是高，可得∴AEG=90°−∴ABE，∴DGB=90°−∴DBG，又因为BE是角平分线，可得∴ABE=∴DBE，故能得到∴AEG=∴DGB，再根据对顶角相等，即可求证该说法正确；②因为CF是中线，BE是角平分线，得不到∴HCB=∴HBC，故该说法错误；③∴EAG+∴DAB=90°，∴DBA+∴DAB=90°，可得∴EAG=∴DBA，因为∴DBA=2∴EBC，故能得到该说法正确；④根据中线平分面积，可得该说法正确．【详解】解：①∴∴CAB=90°，AD是高，∴∴AEG=90°−∴ABE，∴DGB=90°−∴DBG，∴BE是角平分线，∴∴ABE=∴DBE，∴∴AEG=∴DGB，∴∴DGB=∴AGE，∴∴AEG=∴AGE，故该说法正确；②因为CF是中线，BE是角平分线，得不到∴HCB=∴HBC，故该说法错误；③∴∴EAG+∴DAB=90°，∴DBA+∴DAB=90°，∴∴EAG=∴DBA，∴∴DBA=2∴EBC，∴∴EAG=2∴EBC，故该说法正确；④根据中线平分面积，可得S△ACF=S△BCF，故该说法正确．故选：C．【点睛】本题考查了三角形的高，中线，角平分线的性质，解题的关键是熟练掌握各线的特点和性质．【变式训练】1．（2022·全国·八年级）如图，在∴ABC中，∴C＝90°，D，E是AC上两点，且AE＝DE，BD平分∴EBC，那么下列说法中不正确的是（）A．BE是∴ABD的中线B．BD是∴BCE的角平分线C．∴1＝∴2＝∴3D．S△AEB＝S△EDB【答案】C【解析】【分析】根据三角形中线、角平分线的定义逐项判断即可求解．【详解】解：A、∴AE＝DE，∴BE是∴ABD的中线，故本选项不符合题意；B、∴BD平分∴EBC，∴BD是∴BCE的角平分线，故本选项不符合题意；C、∴BD平分∴EBC，∴∴2＝∴3，但不能推出∴2、∴3和∴1相等，故本选项符合题意；D、∴S△AEB＝12×AE×BC，S△EDB＝12×DE×BC，AE＝DE，∴S△AEB＝S△EDB，故本选项不符合题意；故选：C【点睛】本题主要考查了三角形中线、角平分线的定义，熟练掌握三角形中，连接一个顶点和它的对边的中点的线段叫做三角形的中线；三角形的一个角的平分线与这个角的对边相交，连接这个角的顶点和交点的线段叫三角形的角平分线是解题的关键．2．（2022·全国·八年级）如图，AD，BE，CF依次是ABC的高、中线和角平分线，下列表达式中错误的是（ ）A ．AE ＝CEB ．∴ADC ＝90° C ．∴CAD ＝∴CBE D ．∴ACB ＝2∴ACF【答案】C【解析】【分析】 根据三角形的高、中线和角平分线的定义（1）三角形的角平分线定义：三角形的一个角的平分线与这个角的对边相交，连接这个角的顶点和交点的线段叫做三角形的角平分线；（2）三角形的中线定义：在三角形中，连接一个顶点和它所对边的中点的连线段叫做三角形的中线；（3）三角形的高定义：从三角形一个顶点向它的对边（或对边所在的直线）作垂线，顶点和垂足间的线段叫做三角形的高线，简称为高．求解即可．【详解】解：A 、BE 是△ABC 的中线，所以AE ＝CE ，故本表达式正确；B 、AD 是△ABC 的高，所以∴ADC ＝90，故本表达式正确；C 、由三角形的高、中线和角平分线的定义无法得出∴CAD ＝∴CBE ，故本表达式错误；D 、CF 是△ABC 的角平分线，所以∴ACB ＝2∴ACF ，故本表达式正确．故选：C ．【点睛】本题考查了三角形的高、中线和角平分线的定义，是基础题，熟记定义是解题的关键．3．（2021·全国·八年级课时练习）填空：（1）如图（1）,,AD BE CF 是ABC 的三条中线，则2AB =______，BD =______，12AE =______． （2）如图（2）,,AD BE CF 是ABC 的三条角平分线，则1∠=______，132∠=______，2ACB ∠=______．【答案】 AF 或BF CD AC 2∠ ABC ∠ 4∠【解析】【分析】（1）根据三角形的中线定义：三角形一边的中点与此边所对顶点的连线叫做三角形的中线可得E 、F 、D 分别是AC 、AB 、BC 上的中点，进而得到答案．（2）根据角平分线定义，从一个角的顶点出发，把这个角分成两个相等的角的射线，叫做这个角的平分线即可解答．【详解】解：（1）∴CF 是AB 边上的中线，∴AB ＝2AF ＝2BF ；∴AD 是BC 边上的中线，∴BD ＝CD ，∴BE 是AC 边上的中线，∴AE ＝12AC ，（2）∴AD 是BAC ∠的角平分线，∴12∠=∠ ，∴BE 是ABC ∠的角平分线， ∴132∠=ABC ∠， ∴CF 是ACB ∠的角平分线，∴2ACB ∠=4∠．故答案为：AF 或BF ；CD ；AC ；2∠；ABC ∠；4∠【点睛】此题主要考查了三角形的中线、角平分线，解题的关键是掌握三角形的中线及角平分线的定义．一、选择题1．（2022·黑龙江·哈尔滨市风华中学校七年级期中）画ABC的BC边上的高，正确的是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】【分析】利用三角形的高线的定义判断即可．【详解】解：画△ABC的BC边上的高，即过点A作BC边的垂线．∴只有选项A符合题意，故选：A．【点睛】本题考查了三角形高线的画法，从三角形的一个顶点向对边作垂线，顶点与垂足间的线段，叫做三角形的高线，锐角三角形的三条高线都在三角形的内部，钝角三角形的高有两条在三角形的外部．直角三角形的高线有两条是三角形的直角边．2．（2022·山东潍坊·七年级期末）在数学实践课上，小亮经研究发现：在如图所示的ABC中，连接点A和BC上的一点D，线段AD等分ABC的面积，则AD是ABC的（）．A．高线B．中线C．角平分线D．对角线【答案】B【解析】【分析】直接利用三角形中线的性质即可得出结果．【详解】解：∴线段AD等分∴ABC的面积，∴∴ABD的面积等于∴ACD的面积，∴两个三角形的高为同一条高，∴BD=CD，∴AD为∴ABC的中线，故选：B．【点睛】题目主要考查三角形中线的性质，理解三角形中线将三角形分成两个面积相同的三角形是解题关键．3．（2022·河北保定外国语学校一模）能用三角形的稳定性解释的生活现象是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】【分析】根据各图所用到的直线、线段有关知识，即可一一判定【详解】解：A、利用的是“两点确定一条直线”，故该选项不符合题意；B、利用的是“两点之间线段最短”，故该选项不符合题意；C、窗户的支架是三角形，利用的是“三角形的稳定性”，故该选项符合题意；D、利用的是“垂线段最短”，故该选项不符合题意；故选：C【点睛】本题考查了两点确定一条直线、两点之间线段最短、三角形的稳定性、垂线段最短的应用，结合题意和图形准确确定所用到的知识是解决本题的关键．4．（2022·山东青岛·七年级期末）如图，BD是ABC的边AC上的中线，AE是ABD△的边BD上的中线，BF 是ABE△的边AE上的中线，若ABC的面积是32，则阴影部分的面积是（）A．9B．12C．18D．20【答案】B【解析】【分析】利用中线等分三角形的面积进行求解即可．【详解】∴BD是ABC的边AC上的中线，∴11321622ABD BCD ABCS S S===⨯=△△，∴AE是ABD△的边BD上的中线，∴1116822ABE ADE ABDS S S===⨯=，又∴BF 是ABE △的边AE 上的中线，则CF 是ACE 的边AE 上的中线， ∴118422BEF ABF ABE S S S ===⨯=，182CEF ACF ADE CED ACE S S S S S =====，则4812BEF CEF S SS =+=+=阴影，故选：B ．【点睛】 本题考查了中线的性质，清晰明确三角形之间的等量关系，进行等量代换是解题的关键．5．（2021·江苏·无锡市侨谊实验中学三模）如图为一张锐角三角形纸片ABC ，小明想要通过折纸的方式折出如下线段：①BC 边上的中线AD ，②BC 边上的角平分线AE ，③BC 边上的高AF ．根据所学知识与相关活动经验可知：上述三条线中，所有能够通过折纸折出的有（ ）A ．①②B ．①③C ．②③D ．①②③【答案】D【解析】【分析】 根据三角形中线，角平分线和高的定义即可判断．【详解】沿着A 点和BC 中点的连线折叠，其折痕即为BC 边上的中线，故①符合题意；折叠后使B 点在AC 边上，且折痕通过A 点，则其折痕即为BC 边上的角平分线，故②符合题意； 折叠后使B 点在BC 边上，且折痕通过A 点，则其折痕即为BC 边上的高，故③符合题意；故选D ．【点睛】本题考查三角形中线，角平分线和高的定义．掌握各定义是解题关键．二、填空题6．（2022·湖南邵阳·八年级期末）若ABC 的三条边长分别为3cm ，xcm ，4cm ，则x 的取值范围______．【答案】17x <<##71x >>【解析】【分析】根据三角形的三边关系进行求解即可.【详解】解：根据“三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”可得到4343x －＜＜＋，∴17x ＜＜.故答案为：17x ＜＜.【点睛】本题主要考查三角形三边关系，熟记“三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”是解答此类题目的关键.7．（2022·云南红河·八年级期末）已知a b c 、、是ABC ∆的三边长，a b 、满足()2610a b -+-=，c 为偶数，则c =_______．【答案】6【解析】【分析】根据非负数的性质列式求出a 、b 的值，再根据三角形的任意两边之和大于第三边，两边之差小于第三边求出c 的取值范围，再根据c 是偶数求出c 的值．【详解】解：∴a ，b 满足()2610a b -+-=，∴a -6=0，b -1=0，解得a =6，b =1，∴6-1=5，6+1=7，∴5＜c ＜7，又∴c 为偶数，∴c =6，故答案为：6【点睛】本题考查非负数的性质：偶次方，解题的关键是明确题意，明确三角形三边的关系．8．（2021·北京市陈经纶中学分校八年级期中）随着人们物质生活的提高，手机成为一种生活中不可缺少的东西，手机很方便携带，但唯一的缺点就是没有固定的支点．为了解决这一问题，某工厂研制生产了一种如图所示的手机支架．把手机放在上面就可以方便地使用手机，这是利用了三角形的______.【答案】三角形的稳定性【解析】【分析】利用三角形的稳定性的性质直接回答即可．【详解】解：把手机放在上面就可以方便地使用手机，这是利用了三角形的稳定性，故答案为：三角形的稳定性．【点睛】本题考查了三角形的稳定性，解题的关键是掌握三角形具有稳定性．9．（2022·北京市师达中学七年级阶段练习）如图，AB∴BD 于点B，AC∴CD 于点C，且AC 与BD 交于点E，已知AE=10，DE=5，CD=4，则AB 的长为_________．【答案】8【解析】【分析】根据三角形高的定义可判断出边上的高，然后利用三角形面积求解即可．【详解】解：∴AB∴BD，AC∴CD，∴AB是∴ADE的边DE上的高，CD是边AE上的高，∴S △AED =1122DE AB AE CD ⋅=⋅， ∴10485AE CD AB DE ⋅⨯===， 故答案为：8．【点睛】本题考查三角形高的定义，三角形的面积等知识，掌握基本概念是解题关键，学会用面积法求线段的长． 10．（2022·全国·八年级专题练习）如图，在ABC 中，2AB AC ==，P 是BC 边上的任意一点，PE AB ⊥于点E ，PF AC ⊥于点F .若ABC S =PE PF +=______．【解析】【分析】 根据1122ABC ABP APC S S S AB PE AC PF =+=⋅+⋅，结合已知条件，即可求得PE PF +的值． 【详解】解：如图，连接APPE AB ⊥于点E ，PF AC ⊥于点F1122ABC ABP APC S S S AB PE AC PF ∴=+=⋅+⋅2AB AC ==，ABC S ∴1122AB PE AC PF ⋅+⋅PE PF =+【点睛】本题考查了三角形的高，掌握三角形的高的定义是解题的关键．三、解答题11．（2022·全国·八年级）在∴ABC中，BC＝8，AB＝1；(1)若AC是整数，求AC的长；(2)已知BD是∴ABC的中线，若∴ABD的周长为17，求∴BCD的周长．【答案】(1)8(2)24【解析】【分析】（1）根据三角形三边关系“两边之和大于第三边，两边之差小于第三边”得7＜AC＜9，根据AC是整数得AC＝8；（2）根据BD是∴ABC的中线得AD＝CD，根据∴ABD的周长为17和AB＝1得AD+BD＝16，即可得．(1)解：由题意得：BC﹣AB＜AC＜BC+AB，∴7＜AC＜9，∴AC是整数，∴AC＝8．(2)解：如图所示，∴BD是∴ABC的中线，∴AD＝CD，∴∴ABD的周长为17，∴AB+AD+BD＝17，∴AB ＝1，∴AD +BD ＝16，∴∴BCD 的周长＝BC +BD +CD ＝BC +AD +CD ＝8+16＝24．【点睛】本题考查了三角形，解题的关键是掌握三角形三边的关系和三角形的中线．12．（2022·全国·八年级专题练习）已知：a 、b 、c 满足2(|0a c +-=求：(1)a 、b 、c 的值；(2)试问以a 、b 、c 为边能否构成三角形？若能构成三角形，求出三角形的周长；若不能构成三角形，请说明理由．【答案】(1)a =5b =，c =(2)能构成三角形，周长为(51【解析】【分析】（1）根据非负数之和等于零，则每个非负数等于零，分别建立方程求解即可；（2）先比较长三边的大小，再用较小两边之和与最大边比较即可判断能够构成三角形；然后计算三角形的周长即可．(1)解：∴(20a ≥0，0c -≥，a 、b 、c 满足(20a c -=，∴0a =，50b -=，0c -，解得a =5b =，c =；(2)解：∴81825<<，∴5，即a c b <<，∴5=>，∴能构成三角形，三角形的周长)5551a b c =++===． 【点睛】 本题考查了非负数的性质，二次根式有意义的条件和构成三角形的条件，解题的关键是根据非负数之和等于零的条件分别建立方程和如何判定三边能否构成三角形．13．（2022·四川·威远中学校七年级期中）（1）已知一个三角形的两边长分别是4cm 、7cm ，则这个三角形的周长的取值范围是什么？（2）在等腰三角形ABC 中，AB ＝AC ，周长为14cm ，BD 是AC 边上的中线，△ABD 比△BCD 周长长4cm ，求△ABC 各边长．【答案】（1）14<c <22；（2）AB =6，AC =6，BC =2．【解析】【分析】（1）根据三角形三边关系，先求出三角形第三边长的范围，即可求出周长范围．（2）根据三角形中线的定义可得,AD CD =，从而可得4,AB BC -=再根据ABC 的周长是14，，以及,AB AC ＝，可得214AB BC +=进行计算即可解答．【详解】解：（1）设第三边长为x ，根据三角形的三边关系得7474,x ∴-<<+3,x ∴<<11∴三角形的周长C 的取值范围为：1422.c <<（2）如图所示：∴BD 是AC 边上的中线，,AD CD ∴=∴△ABD比△BCD周长长4cm，()()4,AB AD BD BC CD BD∴++-++=4,AB BC∴-=4,BC AB∴=-ABC的周长是14，14,AB AC BC∴++=,AB AC＝214,AB BC∴+=2414,AB AB∴+-=6,AB∴=6,AB AC∴==2.BC∴=【点睛】本题主要考查了三角形三边关系，等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键．14．（2022·河北邯郸·七年级阶段练习）如图，在直角三角形ABC中，∴BAC＝90°，AD是BC边上的高，CE 是AB边上的中线，AB＝12cm，BC＝20cm，AC＝16cm，求：（1）AD的长；（2）∴BCE的面积．【答案】（1）485；（2）48．【解析】【分析】（1）利用面积法得到12AD•BC＝12AB•AC，然后把AB＝12cm，BC＝20cm，AC＝16cm代入可求出AD的长；（2）由于三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分，所以S△BCE＝12S△ABC．【详解】解：（1）∴∴BAC ＝90°，AD 是BC 边上的高， ∴12AD •BC ＝12AB •AC ，∴AD ＝121620⨯＝485（cm ）；（2）∴CE 是AB 边上的中线，∴S △BCE ＝12S △ABC ＝12×12×12×16＝48（cm 2）．【点睛】本题考查三角形中线的性质，涉及等积法，是重要考点，掌握相关知识是解题关键．15．（2022·黑龙江·哈尔滨市风华中学校七年级期中）如图，在6×10的网格中，每一小格均为正方形且边长是1，已知∴ABC 的每个顶点都在格点上．(1)画出∴ABC 中BC 边上的高线AE ；(2)在∴ABC 中AB 边上取点D ，连接CD ，使3BCD ACD S S =△△；(3)直接写出∴BCD 的面积是__________．【答案】(1)画图见解析(2)画图见解析(3)7.5【解析】【分析】（1）利用网格线过A 作BC 的垂线即可；（2）利用网格线的特点，取格点D ，满足3BD AD =，则D 即为所求作的点；（3）利用三角形的面积公式直接计算即可．(1)解：如图，AE 即为BC 上的高．(2)如图，利用网格特点，可得3BD AD =，∴D 即为所求作的点，满足3BCD ACD S S =△△．(3)1537.52BCD S =⨯⨯=． 【点睛】本题考查的是画三角形的高，三角形的面积的计算，熟悉等高的两个三角形的面积之间的关系是解本题的关键．16．（2022·江苏·沭阳县怀文中学七年级阶段练习）如图，在ABC 中，CD 、CE 分别是ABC 的高和角平分线，,()BAC B ∠α∠βαβ==>．(1)若70,40αβ=︒=︒，求DCE ∠的度数；(2)试用α、β的代数式表示DCE ∠的度数_________．【答案】(1)15DCE ∠=︒(2)2αβ-【解析】【分析】（1）根据三角形的内角和定理求出∴ACB 的值，再由角平分线的性质以及直角三角形的性质求出∴DCE ． （2）由（1）的解题思路即可得正确结果．(1) 解：70BAC ∠=︒，40B ∠=︒∴()180()180704070ACB BAC B ∠=︒-∠+∠=︒-︒+︒=︒，CE 是ACB ∠的平分线，∴1352ACE ACB ∠=∠=︒． CD 是高线，∴90ADC ∠=︒，∴9020ACD BAC ∠=︒-∠=︒，∴352015DCE ACE ACD ∠=∠-∠=︒-=︒︒．(2) 解：BAC α∠=，B β∠=∴()180()180ACB BAC B αβ∠=︒-∠+∠=︒-+，CE 是ACB ∠的平分线，∴()1118090222ACE ACB αβαβ+∠=∠=⨯︒-+=︒-⎡⎤⎣⎦． CD 是高线，∴90ADC ∠=︒，∴9090ACD BAC α∠=︒-∠=︒-， ∴909022DCE ACE ACD αβαβα+-∠=∠-∠=︒--︒+=．【点睛】本题主要考查角平分线，高线以及角的转换，掌握角平分线，高线的性质是解题的关键．17．（2022·上海·八年级专题练习）如图，∴ABC 中，∴BAC ＝60º，AD 平分∴BAC ，点E 在AB 上，EG ∴AD ， EF ∴AD ，垂足为F ．(1)求∴1和∴2的度数．(2)联结DE ，若S △ADE ＝S 梯形EFDG ，猜想线段EG 的长和AF 的长有什么关系？说明理由．【答案】(1)30º；60º(2)相等，理由见解析【解析】【分析】(1)利用角平分线的定义求得BAD ∠，然后在直角三角形中利用两锐角互余即可求得∴2，再利用平行线的性质即可求得∴1的度数．(2)根据S △ADE ＝S 梯形EFDG 可得AD =DF +EG ，结合图形即可求解．(1)∴∴BAC ＝60º，AD 平分∴BAC ， ∴1302BAD BAC ∠=∠=︒， 又∴EF ∴AD ，∴29060BAD ∠=︒-∠=︒， ∴EG ∴AD ，∴130BAD ∠=∠=︒．(2)相等． 理由如下： ∴EF ∴AD ，∴S △ADE =12AD EF ⋅，S 梯形EFDG =1()2DE EG EF +⋅ ∴S △ADE = S 梯形EFDG ∴12AD EF ⋅=1()2DE EG EF +⋅∴AD =DF +EG ，∴AD =AF +DF ，∴DF +EG =AF +DF ，即AF =EG ．【点睛】本题考查了平行线的性质，角平分线的定义以及三角形和梯形的面积公式，熟练掌握平行线的性质和角平分线的定义是解题的关键．18．（2021·安徽省六安皋城中学八年级期中）如图，AD 是∴ABC 的边BC 上的中线，已知AB =5，AC =3． （1）边BC 的取值范围是 ；（2）∴ABD 与∴ACD 的周长之差为 ；（3）在∴ABC 中，若AB 边上的高为2，求AC 边上的高．【答案】（1）28BC <<；（2）2；（3）103h =． 【解析】【分析】 （1）直接根据三角形三边关系进行解答即可；（2）根据三角形中线将∴ABD 与∴ACD 的周长之差转换为AB 和AC 的差即可得出答案；（3）设AC 边上的高为h ，根据三角形面积公式列出方程求解即可．【详解】解：（1）∴∴ABC 中AB =5，AC =3，∴5353BC -<<+，即28BC <<，故答案为：28BC <<；（2）∴∴ABD 的周长为AB AD BD ++，∴ACD 的周长为AC AD CD ++，∴AD 是∴ABC 的边BC 上的中线，∴BD CD =，∴AB AD BD ++-(AC AD CD ++)=532AB AC -=-=，故答案为：2；（3）设AC 边上的高为h ， 根据题意得：11222AB AC h ⨯=⨯, 即1152322h ⨯⨯=⨯⨯， 解得103h =． 【点睛】本题考查了三角形三边关系，三角形的中线，三角形的高等知识点，熟练掌握基础知识是解本题的关键．。
初中数学人教版八年级上册三角形的三边关系知识点专项训练习题
三角形的三边关系知识点专项训练习题一．选择题（共4小题）1．三角形的两边分别为6，10，则第三边的长可能等于（）A．3B．11C．16D．172．给出下列长度的三条线段，能组成三角形的是（）A．3cm，4cm，5cm B．8cm，7cm，15cm C．13cm，12cm，25 cm D．5cm，5cm，11cm 3．已知n是正整数，若一个三角形的三边长分别是n+2，n+6，3n，则满足条件的n值有（）A．4个B．5个C．6个D．7个4．已知△ABC的三边长分别为a、b、c，且M＝（a+b+c）（a+b﹣c）（a﹣b﹣c），那么（）A．M＞0B．M≥0C．M＝0D．M＜0二．填空题（共6小题）5．若三角形有两边长分别为2和5，第三边为a，则a的取值范围是．6．△ABC三边的长a、b、c均为整数，a＞b＞c，a＝8，则满足条件的三角形共有个．7．已知三角形三边长为整数，其中两边的差为5，且周长为奇数，则第三边长的最小值为．8．等腰三角形的一边等于3，一边等于6，则它的周长等于．9．a，b，c为△ABC的三边，化简|a﹣b﹣c|﹣|a+b﹣c|+2a结果是．10．若△ABC的三边的长AB＝5，BC＝2a+1，AC＝3a﹣1，则a的取值范围为．三．解答题（共7小题）11．已知a，b，c分别为△ABC的三边，且满足a+b＝3c﹣2，a﹣b＝2c﹣6．（1）求c的取值范围；（2）若△ABC的周长为12，求c的值．12．在△ABC中，AB＝9，BC＝2，AC＝x．（1）求x的取值范围；（2）若△ABC的周长为偶数，则△ABC的周长为多少？13．已知三角形的两边长为4和6，第三条边长x最小．（1）求x的取值范围；（2）当x为何值时，组成三角形周长最大？最大值是多少？14．已知a，b，c是三角形的三边长．（1）化简：|a﹣b﹣c|+|b﹣c﹣a|+|c﹣a﹣b|；（2）在（1）的条件下，若a＝10，b＝8，c＝6，求这个式子．15．已知△ABC中，三边长a、b、c，且满足a＝b+2，b＝c+1（1）试说明b一定大于3；（2）若这个三角形周长为22，求a、b、c．16．“五一”黄金周，小梦一家计划从家B出发，到景点C旅游，由于BC之间是条湖，无法通过，如图所示只有B﹣A﹣C和B﹣P﹣C两条路线，哪一条比较近？为什么？（提示：延长BP交AC于点D）17．如图，△ABC中，点D在AC上，点P在BD上，求证：AB+AC＞BP+CP．参考答案一．选择题（共4小题）1．解：设第三边的长为x，根据三角形的三边关系得：10﹣6＜x＜10+6，即4＜x＜16，则第三边的长可能等于：11．故选：B．2．解：根据三角形任意两边的和大于第三边，得A中，3+4＝7＞5，能组成三角形；B中，8+7＝15，不能组成三角形；C中，13+12＝25，不能够组成三角形；D中，5+5＝10＜11，不能组成三角形．故选：A．3．解：①若n+2＜n+6≤3n，则，解得：3≤n＜8，∴正整数n有5个：3，4，5，6，7；②若n+2≤3n≤n+6，则，解得：＜n≤3，∴正整数n有2个：2和3；综上所述，满足条件的n的值有6个，故选：C．4．解：∵△ABC的三边长分别为a、b、c，且M＝（a+b+c）（a+b﹣c）（a﹣b﹣c），∴a+b+c＞0，a+b﹣c＞0，a﹣b﹣c＜0，∴M＜0．故选：D．二．填空题（共6小题）5．解：5﹣2＜a＜5+2，∴3＜a＜7．故答案为：3＜a＜7．6．解：根据已知条件和三角形的三边关系，得当a＝8，b＝7时，则c＝6或5或4或3或2；当a＝8，b＝6时，则c＝5或4或3；当a＝8，b＝5时，则c＝4．则满足条件的三角形共有9个．故答案为：9．7．解：∵三角形三边中某两条边长之差为5，∴设其中一边为x，则另一边为x+5，第三边为y，∴此三角形的周长为：x+x+5+y＝2x+y+5，∵三角形周长为奇数，∴y是偶数，∵5＜y＜x+x+5，∴y的最小值为6．故答案为：6．8．解：当3为腰，6为底时，3+3＝6，不能构成等腰三角形；当6为腰，3为底时，3+6＞6，能构成等腰三角形，周长为3+6+6＝15．故答案为：15．9．解：∵a，b，c为△ABC的三边，∴a+b＞c，b+c＞a，∴原式＝c+b﹣a﹣（a+b﹣c）+2a＝c+b﹣a﹣a﹣b+c+2a＝2c．故答案为：2c．10．解：∵△ABC的三边的长AB＝5，BC＝2a+1，AC＝3a﹣1，∴①，解得1＜a＜7；②，解得a＞1，则2a+1＜3a﹣1．∴1＜a＜7．故答案为：1＜a＜7．三．解答题（共7小题）11．解：（1）∵a，b，c分别为△ABC的三边，a+b＝3c﹣2，a﹣b＝2c﹣6，∴，解得：2＜c＜6．故c的取值范围为2＜c＜6；（2）∵△ABC的周长为12，a+b＝3c﹣2，∴a+b+c＝4c﹣2＝12，解得c＝3.5．故c的值是3.5．12．解：（1）由题意知，9﹣2＜x＜9+2，即7＜x＜11；（2）∵7＜x＜11，∴x的值是8或9或10，∴△ABC的周长为：9+2+8＝19（舍去）．或9+2+9＝20或9+2+10＝21（舍去）即该三角形的周长是20．13．解：（1）由三角形的构造条件，得2＜x＜10，∵x为最小，∴x的取值范围是2＜x≤4．（2）当x＝4时，三角形的周长最大，且最大值是4+6+4＝14．14．解：（1）∵a，b，c是三角形的三边长，∴b+c＞a，c+a＞b，a+b＞c，∴a﹣b﹣c＜0，b﹣c﹣a＜0，c﹣a﹣b＜0，|a﹣b﹣c|+|b﹣c﹣a|+|c﹣a﹣b|＝b+c﹣a+c+a﹣b+a+b﹣c＝a+b+c，（2）把a＝10，b＝8，c＝6，代入a+b+c＝10+8+6＝24．15．解：（1）∵a＝b+2，b＝c+1，∴b＝a﹣2，b＝c+1，∴a﹣2＝c+1，a﹣c＝3，∴b一定大于3；（2）∵b＝c+1，∴c＝b﹣1，∴b+2+b+b﹣1＝22，解得b＝7，∴a＝b+2＝9，c＝b﹣1＝6．16．解：如图，延长BP交AC于点D．∵△ABD中，AB+AD＞BD＝BP+PD，△CDP中，PD+CD＞CP，∴AB+AD+PD+CD＞BP+PD+CP，即AB+AD+CD＞BP+CP，∴AB+AC＞BP+CP，∴B﹣P﹣C路线较近．17．证明：在△ABD中，AB+AD＞BD，在△PDC中，CD+PD＞PC，∴AB+AD+CD+PD＞BD+PC∴AB+AC＞BP+CP．1234。
沪科版八年级数学上册 第13章 《三角形边角关系》重点练
第13章《三角形中的边角关系》重点练1．下列长度的三条线段，不能组成三角形的是（）A．1cm，2cm，3cm B．2cm，3cm，4cm C．3cm，4cm，5cm D．5cm，6cm，7cm2．已知三角形两边的长分别是3和6，则此三角形第三边的长可能是（）A．1B．2 C．8 D．113.已知三角形的三边长为连续整数，且周长为12cm，则它的最短边长为（）A．2cm B．3cm C．4cm D．5cm4. 三角形的三边长分别是3，1﹣2m，8．则数m的取值范围是（）A．﹣5＜m＜﹣2B．﹣5＜m＜2C．5＜m＜11D．0＜m＜2 5．△ABC的三个内角∠A，∠B，∠C满足∠A：∠B：∠C=3：4：5，则这个三角形是（）A．锐角三角形B．钝角三角形C．直角三角形D．等腰三角形6. △ABC满足条件∠A=∠B=∠C则△ABC是（）A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．等边三角形7．如果一个三角形的三条高的交点恰好是三角形的一个顶点，则这个三角形的形状是（）A．等腰三角形B．锐角三角形C．钝角三角形D．直角三角形8.下列四个图形中,线段BE是△ABC的高的是9、已知a，b，c是ABC的三条边长，化简|a+b-c|-|c-a-b|的结果为（）A.2a+2b-2cB.2a+2bC.2cD.010、已知n是正整数，若一个三角形的三边长分别是n+2、8+n、3n，则满足条件的n的值有（）A.4个B.5个C.6个D.7个11、具备下列条件的△ABC中，不是直角三角形的是（）A ．∠A+∠B=∠CB ．∠A=12∠B=13∠CC ．∠A ：∠B ：∠C=1：2：3D ．∠A=2∠B=3∠C12、如图，在ABC ∆中，AD 平分BAC ∠，EG AD ⊥，且分别交AB ，AD ，AC及BC 的延长线于点E ，H ，F ，G ，若45B ∠=︒，75ACB ∠=︒，则G ∠的度数为（ ）13、 如图AE 是△ABC 的角平分线，AD ⊥BC 于点D ，若∠BAC=120°，∠C=40°，则∠DAE 的度数是 ______________ ．14、三角形的三边长分别为3、m 、5=_______15、已知,,a b c 分别为ABC ∆的三边，且满足32,26a b c a b c +=--=-. （1）求c 的取值范围；（2）若ABC ∆的周长为12，求c 的值.16、已知，在 ABC 中，AB=8，且BC=2a+2，AC=22. （1）求a 的取值范围；（2）若 为等腰三角形，求这个三角形的周长。
沪科版八年级上册数学第十三章三角形边角关系习题【含答案】
沪科版八年级上册数学第十三章三角形边角关系习题(每小题5分共25分)1.下列长度的三条线段能组成三角形的是A.1,2,3B.1,,3C.3,4,8D.4,5,62.如图1,在△ABC中,∠B、∠C的平分线BE、CD相交于点F,∠ABC=420,∠A=60°,则∠BFC=( )A.1180B.1190C.120°D.121°3.如图2,在△ABC中,点O是∠ABC与∠ACB平分线的交点,若∠BAC=80°,则∠BOC=( )A.1300B.1000C.500D.65°4.如果三角形的两边长为2和9,且周长为奇数,那么满足条件的三角形共有A.1个B.2个C.3个D.4个5.下列四个图形中,线段BE是△ABC的高的是图1图2如图32、想一想,填一填(每小题5分,共20分)6.如图,在图①中,互不重叠的三角形共有4个,在图②中,互不重叠的三角形共有7个,在图③中,互不重叠的三角形共有10则在第n个图形中,互不重叠的三角形共有个(用含n的代数式表示)7.已知a,b,c为△ABC的三边,化简:a+b-c1-|b-a-c|=______.8.已知a,b,c为△ABC的三边,满足a+b-71+(c-5)2=0,则三角形的周长为_______.9.如图3,在△ABC中,∠B=40°,三角形的外角∠DAC和∠ACF的平分线交于点E,则∠AEC=_______度。
试一试,答一答(每小题11分,共55分,综合探究不计入总分10、如图,△ABC中、∠ABC、∠ACB的平分线相交于点I.你能归纳出∠BIC和∠A的关系吗？11、已知a，b，c是三角形的三边,且满足a2+b2+c2-ab-bc-ca=0，判断三角形的形状。
12、如图,△ABC中,AD、CE是△ABC的两条高,BC=5cm,AD=3cm,CE=4cm,你能求出AB的长吗?13、已知等腰三角形一腰上的中线把这个三角形的周长分成12cm和21cm两部分,求这个三角形的腰长14.某工程队准备开挖一条隧道,为了缩短工期,必须在山的两侧同时开挖,为了确保两侧开挖的隧道在同一条直线上,测量人员在如图4的同一高度定出了两个开挖点P和Q,然后在左边定出开挖的方向线AP,为了准确定出右边开挖的方向线BQ,测量人员取一个可以同时看到点A,P,Q的点O,测得∠A=280,∠AOC=100°,那么∠QBO应等于多少度才能确保BQ与AP在同一条直线上?15、如图,等边△ABC和三角形内一点P,设点P到△ABC三边AB、AC、BC的距离分别为h1,h2,h3,△ABC的高为h.试说明:h1+h2+h3=h。
人教版初中八年级数学三角形的三边关系填空题练习含答案
人教版初中八年级数学三角形的三边关系填空题练习含答案7. 已知三角形的两边长分别为3和6，则这个三角形的第三边长可以是________（写出一个即可）.【答案】4（答案不唯一，在3<x<9之内皆可）【解答】解：根据三角形的三边关系，得：第三边应大于6−3=3，小于6+3=9，故第三边的长度3<x<9.故答案为：4（答案不唯一，在3<x<9之内皆可）．8. 已知三角形的两条边长分别为3cm和2cm，如果这个三角形的第三条边长为奇数，则这个三角形的周长为________cm．【答案】8【解答】解：∵ 三角形的两条边长分别为3cm和2cm，设第三边长为xcm，则根据三角形的三边关系得到：3−2<x<3+2，即1<x<5，又∵ 三角形的第三条边长为奇数，∴ x=3，∴ 三角形的周长为：2+3+3=8cm，故答案为：8.9. 三角形的两边长分别是3，5，第三边长为偶数，则该三角形周长的最小值为________.【答案】12【解答】解：设第三边长为x，由题意得：5−3<x<5+3，∴2<x<8.∵第三边长是偶数，∴x=4或6.要使三角形周长最小，∴x=4，∴该三角形周长的最小值为：3+5+4=12.故答案为：12.10. 如果一个等腰三角形的周长为15，其中一边长为4，那么它的底边长为________.【答案】4或7【解答】解：设该三角形的底边长为x，①当长为4的边是三角形的腰时，则4+4+x=15. 解得x=7，满足三角形三边关系；，满足三角形三边关系.②当长为4的边是三角形的底边时，则x=4，腰长为112综上所述，该三角形的底边长为4或7.故答案为：4或7.11. 已知a，b，c是一个三角形的三边长，化简|a+c−b|−2|b−c+a|−|a−b−c|=________.【答案】2c−4b【解答】解：∵a，b，c是一个三角形的三条边长，∴a+c−b＞0，b−c+a＞0，a−b−c＜0，∴原式=a+c−b−2(b−c+a)+(a−b−c)=a+c−b−2b+2c−2a+a−b−c= 2c−4b.故答案为：2c−4b.12. 已知a，b，c是三角形的三边长，化简|a−b+c|−|a−b−c|=________.【答案】2a−2b【解答】解：原式=a+c−b−(b+c−a)=2a−2b.13. 已知三角形的两边长分别为2和7，若第三边x为整数，则x的最大值是________.【答案】8【解答】解：根据三角形的三边关系可得7−2<x<7+2，∴ 5<x<9.∵ x为整数，∴ x的最大值是8.故答案为：8．。
2020秋八年级数学上册第13章三角形中的边角关系、命题与证明同步练习沪科版
2020秋⼋年级数学上册第13章三⾓形中的边⾓关系、命题与证明同步练习沪科版1.三⾓形中边的关系知识点：1、三⾓形：不在同⼀条直线上的线段⾸位顺次相接组成的封闭图形2、三⾓形分类3、三⾓形的三边关系：两边之和⼤于第三边，两边之差⼩于第三边测试题1.由______________的三条线段______相接所组成得图形叫做三⾓形。
2.如图，三⾓形的三边分别是________或______，三⾓形的内⾓分别是__________，三⾓形的顶点分别是_______ ，这个三⾓形记作______，读作____________.3.三⾓形按边的关系可分为和，⽽等腰三⾓形⼜分为和。
三⾓形按内⾓⼤⼩可分为、和。
4.三⾓形两边的和第三边，三⾓形两边的差第三边。
5.三⾓形的三边分别为2、x、5，则整数x = 。
6.等腰三⾓形的周长为16，其⼀边长为6，则另两边长为。
7.已知三⾓形的两边长是3cm和8cm ，则此三⾓形的第三边长可能是（）A.4 cmB.5 cmC.6 cmD.13cm8.⼀个三⾓形的三边长是 m 、3 、5，那么m的取值范围是（）A.3B.0C.2D.09.下列选项中，给出的三条线段不能组成三⾓形的是（）A.a+1,a+2,a+3B.三边之⽐为2:3:4C.30cm，8cm ，10cmD.3k ，4k ，5k10.下列说法中正确的是（）A.等腰三⾓形⼀腰的长⾄少要⼤于底边长的⼀半B.三⾓形按边的关系分为不等边三⾓形、等边三⾓形C.长度为5、6、10的三条线段不能组成三⾓形 D.等腰三⾓形的两边长是1和2，则其周长为4或511、现有两根⽊棒，它们的长分别为40cm和50cm，若要钉成⼀个三⾓形⽊架（?不计接头），则在下列四根⽊棒中应选取（）A．10cm长的⽊棒 B．40cm长的⽊棒 C．90cm长的⽊棒 D．100cm长的⽊棒拓展训练：1.已知⼀个三⾓形的两边长分别是3cm和4cm，则第三边长x的取值范围是．?若x是奇数，则x的值是______；则它的周长为______；?若x?是偶数，?则x?的值是______ 。
人教版八年级上册数学课后练习：11.1.1 三角形的边【含答案】
三角形的边一、填空题1．一个等腰三角形的两边长分别为4cm 和9cm ，则它的周长为__ cm ．2．已知a ，b ，c 是△ABC 的三边长，a ，b 满足|a ﹣7|+（b ﹣1）2=0，c 为奇数，则c=_____． 3．三角形的两边长分别为5cm 和12cm ，第三边与前两边中的一边相等，则三角形的周长为_____.4．在ABC ∆中，24a b ==，，若第三边c 的长度是偶数，则△ABC 的周长为_____________. 5．已知三角形两边的长分别为1和2，如果第三边的长也是整数，那么第三边的长为______. 6．若a ，b 是等腰的ABC ∆两边，且满足()2370a b -+-=，则此三角形的周长为______. 7．三角形一边长为40，一边长为50，求第三边a 的取值范围__ ．8．已知a b c 、、为三角形的三边，则b+a+c________2a9．△ABC 的三边长分别为a ，b ，c ，化简|a +b ﹣c |﹣|b ﹣a ﹣c |+|a ﹣b ﹣c |=_____．二、单选题10．（2019·淮安）下列长度的3根小木棒不能搭成三角形的是（ ）A ．2cm ，3cm ，4cmB ．1cm ，2cm ，3cmC ．3cm ，4cm ，5cmD ．4cm ，5cm ，6cm11．（2019·自贡）已知三角形的两边分别为1和4，第三边长为整数 ，则该三角形的周长为（ ）A ．7B ．8C ．9D ．10 12．（2019·扬州）已知n 正整数，若一个三角形的三边长分别是n+2、n+8、3n ，则满足条件的n 的值有( )A ．4个B ．5个C ．6个D ．7个13．（2019·义乌）若长度分别为,3,5a 的三条线段能组成一个三角形，则a 的值可以是（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．814．用12根火柴棒（等长）拼成一个三角形，火柴棒不允许剩余、重叠和折断，能摆出的三角形的个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．415．从长度分别为4cm 、5cm 、6cm 、9cm 的小木棒中任意取3根，可以搭成的三角形的个数是A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个16．三条线段a ，b ，c 分别满足下列条件，其中能构成三角形的是（ ）A ．4a b +=，9a b c ++=B ．::1:2:3a b c =C ．::2:3:4a b c =D ．::2:2:4a b c =17．已知三角形三边分别为2，a-1，4，那么a 的取值范围是（ ）A ．1＜a ＜5B ．2＜a ＜6C ．3＜a ＜7D ．4＜a ＜6三、解答题18．已知在△ABC 中，AB=5，BC=2，AC 的长为奇数.（1）求△ABC 的周长；（2）判定△ABC 的形状，并说明理由.19．已知a ，b ，c 是三角形ABC 三边之长，化简：|a +b ﹣c |+|a ﹣b ﹣c |﹣|b ﹣a ﹣c |﹣|c +b ﹣a |．20．一个等腰三角形的周长是28cm ．（1）已知腰长是底边长的3倍，求各边的长；（2）已知其中一边长为6cm ，求各边的长．21．如图，P 是△ABC 内一点，连结BP ，并延长交AC 于点D .(1)试探究AB ＋BC ＋CA 与2BD 的大小关系；(2)试探究AB ＋CA 与PB ＋PC 的大小关系．22．（1）已知三角形的三边长a ，b ，c 都是整数，并且a b c ≤<，7b =，则这样的三角形共有多少个.（2）已知三角形的三边长a ，b ，c 是三个连续的自然数，三角形的周长小于19，则这样的三角形有多少个.（3）已知三角形三边长a ，b ，c 都是整数，并且a b c ≤≤，30a b c ++=，则这样的三角形有多少个.答案1．22 3．29cm . 4．10 5．26．17 7．10<a<90. 8．＞ 9．3b ﹣a ﹣c10-17：BCDCCCCC18．解（1）由题意得：5-2<AC<5+2，即：3<AC<7，∵AC 为奇数，∴AC=5，∴△ABC 的周长为5+5+2=12；（2）∵AB=AC ，∴△ABC 是等腰三角形．19．解：∵a ，b ，c 为三角形的三边，∴a+b ＞c ，b+c ＞a ，a+c ＞b ，c+b ＞a ，∴a+b-c ＞0，a-b-c ＜0，b-a-c ＜0，c+b-a ＞0，∴原式=a+b-c+（b+c-a ）-（a+c-b ）-（c+b-a ）=a+b-c+b+c-a-a-c+b-c-b+a=2b-2c ．20．解（1）设底边长为xcm ，则腰长是3xcm ，x +3x +3x ＝28，解得：x ＝4，所以3x ＝12（cm ），故，该等腰三角形的各边长为：4cm ，12cm ，12cm ；（2）若底边长为6cm ，设腰长为ycm ，则：6+2y ＝28，得：y ＝11，所以三边长分别为：6cm ，11cm ，11cm ，若腰长为6cm ，设底边长为acm ，则：6+6+a ＝28，得a ＝16，又因为6+6＝12＜16，故舍去，综上所述，该等腰三角形的三边长分别为：6cm ，11cm ，11cm ． 21．解：(1)根据三角形三边关系可得AB ＋AD ＞BD ，BC ＋CD ＞BD ， ∴AB ＋AD ＋BC ＋CD ＞2BD ，∴AB ＋BC ＋CA ＞2BD .(2)根据三角形三边关系可得AB ＋AD ＞BD ，PD ＋CD ＞PC ，∴AB ＋AD ＋PD ＋CD ＞BD ＋PC ，∴AB ＋AD ＋CD ＞BD －PD ＋PC ，即AB ＋CA ＞PB ＋PC .22．解（1）∵7a ≤且a 为整数，∴a 可能为1,2,3,4,5,6,7.当1a =，7b =时，68c <<，即7c =，不满足a b c ≤<，故舍去. 当2a =，7b =时，59c <<，即6c =或7或8，又∵a b c ≤<，故8c =.…依次讨论，满足条件的三角形共有21个.（2）设三角形的三边分别为a ，1a +，2a +，则()12a a a ++>+，故1a >. 又()()1219a a a ++++<，故163a <. 又a 为自然数，所以2,3,4,5a =.故这样的三角形有4个.（3）因为a b c ≤≤，所以()1103c a b c ≥++=. 又a b c +>，所以2a b c c ++>， 故()1152c a b c <++=，所以1015c ≤<. 又c 为整数，故10,11,12,13,14c =.当10c =时，有20,,a b a b c +=⎧⎨≤≤⎩ ∴1010b ≤≤，∴10b =，10a =，有1个三角形.当11c =时，有19,,a b a b c +=⎧⎨≤≤⎩∴9.511b ≤≤，∴10,9b a =⎧⎨=⎩或11,8,b a =⎧⎨=⎩有2个三角形. 同理当12,13,14c =时，分别有4,5,7个三角形，故共有个三角形.。