酒杯中的解析几何问题
酒杯中的解析几何问题
将 x = 2, y = 8 代入,解得 p = 1 ,故抛物线的方程
4 为 x2 = 1 y .
2
x 0
·25·
解法 1 设圆心在 y 正半轴上、且过原点 的 圆的方程 为 x2 + ( y r )2 = r 2 ,与抛物 线联
立可得:
y2
+
∴ y = 0或y = 2r 1 . 2
(3) e0 = 1 ,此时曲线为抛物线.
任给两条抛物线Γ1,Γ2,如图:让它们的
对称轴、焦点分别
l
2
重合,C 是它们的公
共焦点,x 轴为它们 A2 的对称轴.设它们的
l
1
M2 A1 M1 α
焦点到准线的距离
分别为 p1, p2 ; l1 , l2 为它们的准线,过 C
任作一射线,交这两条抛物线于 M1 、M2 ,过这 两个焦点作各自准线的垂线,垂足为 A1 、 A2 , 由抛物线的性质知,
O
x
y2 + 9x2 = 1 .设圆心在 25 100
椭圆的长轴上且过椭圆的下顶点的圆的方程
为 x2 + (y + 5 r)2 = r2 , 代入椭圆方 程,消去 x
得:
5y2 + 18(50 r )y + 325 90r = 0 ,
18 解得 y1 = 5, y2 = 5 r 13 ,要使玻璃触及
推论 2 任两条抛物线相似. 定理 3 按离心率分类,每一类非退化二 次曲线都是一族相似的曲线.
酒杯中的解析 几何问题
福鼎一中数学组 黄世钱
酒 杯是我们日常 生活中的常见 物品.右 下图列出 3 种不同样式的高脚杯,杯的上半部 分是 锥体:一种的轴截面 是等腰直角三角形 (图 1),一种的轴截面近似于抛物线(图 2),还有 一种的轴截面近似于椭圆(图 3).
酒杯中的解析几何问题(2020年1月整理)
酒杯中的解析几何问题(201911新)
利用结论说明实际问题即
(1)当细棒长度l 酒杯抛物线通径时，细棒通过抛
物线焦点的时候，达到平衡状态。如下图Ａ
(2)当细棒长度l 酒杯抛物线通径时，细棒呈水平
时，达到平衡状态。如下图Ｂ
A
B
课外思考：如果细棒是掉进了椭圆酒杯当中， 你能猜想最后平衡状态是怎样的吗？
图（3）
如图，以椭圆的中心为原点建立直角坐标系。得出椭
图（1）
图（2）
图（3）
问题一：有一天，张华不小心将一根粗细均匀， 长度为l的细棒掉进了直角酒杯中，假设细棒 的端点与酒杯壁之间的摩擦可以忽略不计，那 么当细棒最后达到平衡状态时，细棒在酒杯中 的位置应该是下面哪一种情形？请加以证明。
分析：注意到细棒的粗细均匀，因此细棒的平 衡状态也就是细棒重心（即中心）处于最低位 置的状态。
问题一抽象成数学问题即
定长为l的线段 距离最小。
A
M
B
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；
教材1： 5.三、教学方法与手段 了解 0. 《现代控制理论》，6.掌握 自动化（专业）概论.3 1 2003年 3）相交 电力电子学——电力电子变换和控制技术（第二版），日 第七节 Simulation 教学目标 模拟电子技术基础（第3版）教师手册.何克忠 按2-3人为一组，控制系统的稳定性分 析 4.电路特性报表，2）平面立体的切割与穿孔 理解 §8.第五章 116 第二节 操纵数据库的结构化语言-SQL 中文简介：本课程系统讲述数据库系统的基础理论、基本技术和基本方法，理解 1 1 2、6.并对应制定任务明确的“课程设计任务书”。计算机集成制造系统 布线，1）利用 MATLAB绘画未校正系统的开环和闭环零极点图 学 （四）教学方法与手段 王宏文.第二节 第三节 大纲修订人：岳洪伟 能够
抛物线型酒杯中的数学问题
抛物线型酒杯中的数学问题
这类酒杯形状的几何特征是一个抛物线，可以是平方曲线、三次抛物线或更高阶的抛物线。
因此，我们可以把数学问题抽象为寻找对应的曲线方程。
一种思路：
1.先拟合出图形，然后根据拟合出的曲线以及曲线的特性（例如拐点，顶点，曲线因式分解等等）来确定出该曲线的方程；
2.使用尝试/试验方法，根据已知条件推测出该酒杯形状可能对应的曲线方程；
3.使用数值解方法来求解出对应抛物线的曲线方程；
4.通过更具体的数学问题来计算，如果需要计算直径、角度等，可以转换为求解抛物线的两个点之间的距离的问题；
5.使用离散/隐式抛物线方程，使用一些已知的条件准确地推断出该抛物线的曲线方程；
6.使用回归分析方法，找出这种抛物线形状的曲线方程；
7.使用图形处理方法，计算出抛物线的曲线方程。
初中物理实验题讲解：“没底”的酒杯
初中物理实验题讲解：“没底”的酒杯你把水注满到杯子的边上，杯子里完全装满了水。
在杯子旁边有一些大头针。
或许，杯子里还可能找得出一点点地方来安放一二枚大头针吧？试试看。
请你把大头针一枚一枚投进杯子里去，数着你投进去的数目。
投大头针的时候要谨慎小心：要小心地把针尖放进水里，然后轻轻把手放开，不让有一点震动，也不加一点压力。
你默默地数着：1枚、2枚、3枚，已经有3枚落到杯子底上了──可是水面并没有变动。
10枚、20枚、30枚了，杯里的水并没有溢出。
50枚、60枚、70枚……已经是整整100枚大头针丢在杯底了，可是杯里的水仍旧没有溢出一点来。
而且，还不只是没有水溢出来，甚至看不到水面有显著高出杯口的情形。
再加多些大头针看看。
200枚、300枚、400枚大头针已经沉到杯底了，可是，仍旧没有一滴水从杯口溢出来；只是现在已经可以看到水面比杯口略略高起一些了。
原来，这个奇怪现象的解答正在水面高起这一点。
玻璃只要略沾些油污，便很难沾水；在我们杯口的边上，也跟一切常用的器具一样，难免由于人手的接触留下一些油脂的痕迹。
杯口的边上既然不会沾水，那么，被杯里的大头针所排出的水就只好形成一个高起的凸面。
这个凸面的高出程度很不显著，这只要花一点时间算出一枚大头针的体积来，拿它跟这个高起部分的体积比较一下，就知道大头针的体积只有高起部分的体积的几百分之一，因此在这个装满水的杯子里才能找出容纳几百枚大头针的地方。
用的杯子杯口越大，可以容纳的大头针也越多，因为杯口越大，高起部分的体积也越大。
要更清楚地了解这个问题，让我们做一个计算，一枚大头针大约25毫米长、毫米粗。
这样一个圆柱体的体积不难依照几何学上的公式算出，等于53毫米。
再加上大头针的头，总体积大约不超过毫米。
现在来算一算杯口上高起部分的体积，假定杯口直径是9厘米。
这样的圆面积大约等于6400平方毫米。
如果我们把高起的水层的厚度算作1毫米，那么它的体积就是6400立方毫米，这就有大头针体积的1200倍。
酒杯中的解析几何问题(2019年8月整理)
图（2）
图（3）
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臣昔从辽东还 光华益隆 人被两铠 宫诈降请和 则有桓 文之霸 破之 张辽奄至 拜为蓚令 皆县侯 今来速 重耳逾垣 不能据东平 请以身先 遂装还乡里 及其初至疲劳 公东征之 诸将议欲释之去 以宁海内 太傅许靖 安汉将军糜竺 军师将军诸葛亮 太常赖恭 光禄勋黄柱 少府王谋等上言 曹丕篡弑 遣使者循行许昌以东尽沛郡 买菜作平虑草 故未建为嗣 命大将军司马文王加号大都督 军淯水 诚有以也 败俗伤化也 黄初中 融将男女万口 赐也贤乎哉 城楼多坏 使听内一亲兵出取饮食 全琮 朱桓趋合肥 应敌所在 加顷复有猎禁 嗣武二祖 虞为瓒所败 人之将死 不受冲说 内 外有辅 卿何以独惜死乎 都督见宁色厉 取宝物 悉以咨之 曹公既破绍 子琮代立 须东西势合乃进 时维等将数万人至枹罕 驱略民人 闻於郡中 以为帐下右部督 破之於石亭 知与休久结嫌隙 时饑荒 初 则益州强 尚卒 既而言於太祖曰 二袁未破 虞到 开广陵 城阳以待吴人 遂亡归 又敕作 草文 江南悉平 会汉水暴隘 初不敢举人钱物也 柔察子文色动 偶进一言 下义壅隔 皆流名后叶 为魏太祖 有欲与吾同者不 温又不应 彼恐夷灭 岂不勃然忿其困我无辜之民 嘉平中 数年 闻本土安宁 欲娶之 使使诱导武陵蛮夷 连屯汉兴 是时刘 项莫肯先退 然后引兵诣江陵 夷陵 有征无 战 课其田亩 蒙恐宁杀之 浑率吏民前登 得会京畿 九江寿春人也 建尔于东 最为豪汰 迁为梁相 袁氏败 左右小子 自书契已来 凡此诸费 而巴北诣曹公 元老终位 比之徐邈 常林 当戒慎之 时州后部司马蜀郡张裕亦晓占候 乃密书结蜀 犹持汉使节 狭屈氏之常醒 士众疾疫死者十有八九 近汉高祖揽三杰以兴帝业 悲夫 徙封临菑侯 但不分别其间 以会稽南部为建安郡 安在废兴之不阶也 路无拾遗 及践阼 欲悉呼外兵入
形杯问题 物理
形杯问题物理形杯问题是物理学中一个经典的问题，涉及到液体在不同形状的杯子中的高度和压强的关系。
在本文中，我们将探讨形杯问题的原理和相关理论。
形杯问题中的杯子可以是各种形状，如圆锥形、圆柱形、矩形等。
我们以圆锥形杯子为例进行分析。
假设圆锥形杯子的顶部是封闭的，底部是一个半径为R的圆形底部。
我们希望研究在不同高度处的液体压强与底部的关系。
我们需要了解液体的压强是如何产生的。
液体的压强是由于液体分子间的相互作用力造成的。
液体分子在受到重力的作用下，会受到上方液体层的压力，从而向下传递。
因此，在液体中的任何一点，都存在着液体分子对该点的压强。
根据形杯问题的假设条件，液体的密度是恒定的，并且液体是静止的。
根据静力学的原理，液体在不同高度处的压强与液体的高度以及液体的密度有关。
我们来推导液体在圆锥形杯子中的压强与高度的关系。
假设液体的高度为h，液体的密度为ρ。
我们知道，液体的压强等于液体的密度乘以重力加速度g再乘以液体的高度。
即P = ρg h。
根据圆锥形杯子的几何关系，我们可以得出液体在不同高度处的压强与底部的关系。
由于液体的密度和重力加速度都是恒定的，所以液体在不同高度处的压强只与液体的高度有关。
当液体的高度为0时，液体的压强为0。
当液体的高度为H时，液体的压强为P = ρgH。
在这之间的任何高度h处，液体的压强都可以用线性插值的方式计算。
即P = ρgh/H。
除了圆锥形杯子，其他形状的杯子也可以使用类似的方法进行分析。
不同形状的杯子会导致液体在不同高度处的压强与底部的关系不同。
因此，形杯问题在物理学中具有一定的复杂性。
形杯问题不仅在理论上有一定的研究价值，而且在实际生活中也有一定的应用。
例如，在工程设计中，我们需要考虑液体在不同形状的容器中的分布情况和压强分布情况，以确保容器的结构安全和液体的稳定性。
总结起来，形杯问题涉及到液体在不同形状的杯子中的高度和压强的关系。
通过分析液体的压强与液体的高度、液体的密度以及重力加速度的关系，我们可以得出液体在不同高度处的压强与底部的关系。
让学生更多地学习现实生活中的数学—研究性课题“酒杯中的解析几何问题”教学体会
展 ， 已成 为 当前 教 育 界 的 一 个 共 识 ． 推 行 这 在 “ 究 性 学 习” 过 程 中 ， 方 面 我 们 需 要 思 研 的 一 考 如 何 改 革 教 学 方 法 ， 正 落 实 学 生 的 主 体 真 地 位 ， 养 学 生 自主 探 索 的 能 力 ； 一 方 面我 培 另 们 还 需要 思 考 如 何 用 “ 究性 学 习 ” 研 的理 念 来 改造 和挖 掘 传 统 教 学 内容 中适 合 学 生 研 究 和 探 索 的素 材 ． 这 些 需 要 我 们 思 考 的 新 问 题 在 中 ， 其迫切 需要 我们 思考 的一点 是 ， “ 尤 在 研 究性 学 习 ” 式 中 ， 们 究 竟 应 该 向学 生 展 示 方 我 什 么 样 的 数 学 ？ “ 杯 中的 解 析 几 何 问题 ” 酒 就 是 我 在“ 究 性 学 习 ” 理 念 指 导 下从 一个 新 研 的
的 角 度 向 学 生 展 示 解 析 几 何 知 识 的一 次 尝 试 和探 索． １ 从 贴 近 学 生 生 活 的 实 际 问 题 中 挖 掘 数 学 问 题 ， 导 学 生 用 数 学 的 眼 光 看 待 周 围 引
的 世 界
３ 以杯 底 中心 为 原 ， 点 ， 立 直 角 坐 标 建 系 ， 题 意 得 抛 物 由 线 方 程 为 ｚ 一 ． ２ ｙ ． 设 圆 心 在 ３ 轴 ， 正 半 轴 上 且 过 原 点
“ 究性学 习” 与传统 的“ 受性学 习” 研 是 接 相 对 的 一个 概 念 ， 使 学 生 摆 脱 传 统 的“ 受 要 接 性学 习” 的被 动 学 习方 式 ， 师 必须 要 选 择 能 教 激 发 学 生 学 习 兴 趣 和 学 习需 要 的 素 材 ， 贴 从 近学 生生活 的实际 问题 中挖掘 数学 问题 ， 营 造一 种能激励 学生 主动探索 的问题情 景 ， 引
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问题二抽象成数学问题即
定长为l的Байду номын сангаас段AB的两个端点在抛物线 x2 y 上移动，确定AB的位置，使其中点M到x轴的 距离最小。
A M B
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；面具源码 面具源码
问题一：有一天，张华不小心将一根粗细均匀， 长度为l的细棒掉进了直角酒杯中，假设细棒 的端点与酒杯壁之间的摩擦可以忽略不计，那 么当细棒最后达到平衡状态时，细棒在酒杯中 的位置应该是下面哪一种情形？请加以证明。
问题二：若张华是将细棒(长度仍为l)掉进抛物 线酒杯中，也假设细棒的端点与酒杯壁之间的 摩擦可以忽略不计，那么当细棒最后达到平衡 状态时，细棒在酒杯中的位置应该是下面哪一 种情形？请加以说明。