2019-2020学年高一(下)期末数学试卷 (52)-720(解析版)

2019-2020学年高一（下）期末数学试卷 (52)一、选择题（本大题共12小题，共60.0分） 1. 直线x +y =0的倾斜角为( )A. π3B. π6 C. 3π4 D. π42. 已知向量a ⃗ =(−2,3)，b ⃗ =(1,m −32)，a ⃗ //b ⃗ ，则m =( )A. 3B. 0C. 136 D. 32 3. 不等式16−x 2≥0的解集是( )A. (−∞,4]B. [4,+∞)C. [−4,4]D. (−4,4) 4. 直线l 1：mx +(1−m)y =3；l 2：(m −1)x +(2m +3)y =2互相垂直，则m 的值为( )A. −3B. 1C. 0或−32D. 1或−35. 若角α的终边经过点(−2√3,m)，且tanα=−√33，则m =( )A. −2B. −√3C. √3D. 2 6. 等差数列{a n }的前11项和S 11=88，则a 3+a 9=( )A. 8B. 16C. 24D. 327. 已知cos(π−α)=13，sin(π2+β)=23(其中，α，β∈(0,π))，则sin(α+β)的值为( )A. 4√2−√59B. 4√2+√59C. −4√2+√59D. −4√2−√598. 如图，在△OAB 中，P 为线段AB 上的一点，OP ⃗⃗⃗⃗⃗ =x OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +y OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，且BP ⃗⃗⃗⃗⃗ =3PA⃗⃗⃗⃗⃗ ，则( ) A. x =23，y =13 B. x =13，y =23 C. x =14，y =34D. x =34，y =149. 将函数y =sinx −√3cosx 的图象沿x 轴向右平移a 个单位(a >0)，所得图象关于y 轴对称，则a 的值可以是( )A. π6B. π2C. −π6D. π310. 若正实数x ，y 满足1x +4y =1，且x +y4≥a 2−3a 恒成立，则实数a 的取值范围为( )A. [−1,4]B. (−1,4)C. [−4,1]D. (−4,1)11. 数列{a n }中，已知a 61=2 000，且a n+1=a n +n ，则a 1等于( )A. 168B. 169C. 170D. 17112.定义新运算♁：当a≥b时，a♁b=a；当a<b时，a♁b=b2，则函数f(x)=(1♁x)x−(2♁x)，x∈[−2,2]的最大值等于()A. −1B. 1C. 6D. 12二、填空题（本大题共7小题，共34.0分）13.点P(0,2)到直线l：x−y+3=0的距离为______ ．14.已知tanθ=−43(0<θ<π)，则cosθ=______ ．15.已知S n为数列{a n}的前n项和，对n∈N∗都有S n=1−a n，若b n=log2a n，则1b1b2+1b2b3+⋯+1b n b n+1=______．16.在单位圆中，面积等于1的扇形所对的圆心角的弧度数为____．17.已知a,b>0，且1a +1b≤4，(a−b)2=16(ab)3，则a+b的值等于__________．18.关于x的不等式|2014−x|+|2015−x|≤d有解时，d的取值范围是______ ．19.已知向量a⃗=(1,√3)，向量a⃗,c⃗的夹角是π3，a⃗·c⃗=2，则|c⃗|等于________．三、解答题（本大题共4小题，共56.0分）20.已知在△ABC中，a=3√2，c=6，∠B=45°，(1)求边b的长．(2)求△ABC的面积．21.已知向量a⃗=(2cosx,−√2)，b⃗ =(3sinx−cosx,sin(2x+π4))，设f(x)=a⃗⋅b⃗ +1(1)求函数f(x)的单调递增区间；(2)求f(x)在区间[5π24,3π4]上的最大值和最小值．22.已知正项数列{a n}，{b n}满足：对任意n∈N∗，都有a n，b n，a n+1成等差数列，b n，a n+1，b n+1成等比数列，且a1=10，a2=15．(1)求证：数列{√b n}是等差数列；(2)求数列{a n}，{b n}的通项公式；(3)设S n=1a1+1a2+⋯+1a n，如果对任意n∈N∗，不等式2aS n<2−b na n恒成立，求实数a的取值范围．23.已知13≤a≤1，若函数f(x)=ax2−2x+1在区间[1,3]上的最大值为M(a)，最小值为N(a)，令g(a)=M(a)−N(a)．(1)求g(a)的函数表达式；(2)判断函数g(a)在区间[13,1]上的单调性，并求出g(a)的最小值．-------- 答案与解析 --------1.答案：C解析：【分析】本题考查斜率与倾斜角的关系，是基础题．先求出直线的斜率，再求直线的倾斜角．【解答】解：∵直线x+y=0的斜率为−1，设直线的切斜角为α，则，又0≤α<π，∴α=3π．4故选C．2.答案：B)，解析：解：根据题意，向量a⃗=(−2,3)，b⃗ =(1,m−32)，若a⃗//b⃗ ，必有3×1=(−2)×(m−32解可得：m=0；故选：B．)，解可得m的值，即可得答案．根据题意，由向量平行的坐标表示公式可得3×1=(−2)×(m−32本题考查向量平行的坐标表示，关键是利用向量平行的坐标表示方法得到关于m的方程．3.答案：C解析：【分析】本题主要考查一元二次不等式的解法，属于基础题．将二次项系数化正，然后分解因式，小于零取两边．【解答】解：由16−x2≥0得x2−16≤0，即(x+4)(x−4)≤0，解得−4≤x≤4．故选C．4.答案：D解析：解：∵直线l1：mx+(1−m)y=3；l2：(m−1)x+(2m+3)y=2互相垂直，∴m(m−1)+(1−m)(2m+3)=0，解之得m=−3或1故选：D．根据两条直线垂直的条件，结合题意建立关于m的方程，解之即可得到实数m的值．本题给出两条直线互相垂直，求实数m的值．着重考查了直线的方程和直线的位置关系等知识，属于基础题．5.答案：D解析：【分析】本题考查任意角的三角函数定义，属于基础题． 【解答】解：角α的终边经过点(−2√3,m)， 则，解得m =2，故选D ． 6.答案：B解析：【分析】本题考查了等差数列的性质，考查了等差数列的求和，属于基础题． 根据等差数列的求和公式与等差数列的性质求解即可． 【解答】解：∵等差数列{a n }的前11项和S 11=88， ∴S 11=11(a 1+a 11)2=88，∴a 1+a 11=16， 根据等差数列性质：a 3+a 9=a 1+a 11=16． 故选B ． 7.答案：A解析：解：由cos(π−α)=13，sin(π2+β)=23，得cosα=−13，cosβ=23， ∵α，β∈(0,π)，∴sinα=2√23，sinβ=√53． ∴sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ=2√23×23−13×√53=4√2−√59． 故选：A ．由诱导公式求得sinα，sinβ的值，展开两角和的正弦求得sin(α+β)的值．本题考查三角函数的化简求值，考查同角三角函数基本关系式及两角和的正弦，是基础题． 8.答案：D解析：解：∵BP ⃗⃗⃗⃗⃗ =3PA⃗⃗⃗⃗⃗ ， ∴OP⃗⃗⃗⃗⃗ −OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =3(OA ⃗⃗⃗⃗⃗ −OP ⃗⃗⃗⃗⃗ )， 化为OP ⃗⃗⃗⃗⃗=34OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +14OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ， 又OP ⃗⃗⃗⃗⃗ =x OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +y OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ， ∴x =34，y =14． 故选：D ．由BP ⃗⃗⃗⃗⃗ =3PA ⃗⃗⃗⃗⃗ ，利用向量三角形法则可得OP ⃗⃗⃗⃗⃗ −OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =3(OA ⃗⃗⃗⃗⃗ −OP ⃗⃗⃗⃗⃗ )，化为OP ⃗⃗⃗⃗⃗ =34OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +14OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，又OP ⃗⃗⃗⃗⃗ =x OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +y OB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，利用平面向量基本定理即可得出． 本题考查了向量三角形法则、平面向量基本定理，考查了推理能力与计算能力，属于基础题． 9.答案：A解析：【分析】本题主要考查函数y =Asin(ωx +φ)的图象变换规律和性质，属于基础题．利用辅助角公式化简函数，然后由平移规律得到平移后的函数解析式，最后根据对称性即可得解． 【解答】解：将函数y =sinx −√3cosx =2sin(x −π3)的图象沿x 轴向右平移a 个单位(a >0)，可得y =2sin[(x −a)−π3]=2sin(x −a −π3)的图象，根据所得图象关于y 轴对称，可得a +π3=kπ+π2，即a =kπ+π6，k ∈Z ， 故选：A ． 10.答案：A解析：【分析】本题考查了不等式恒成立和利用基本不等式求最小值，考查了转化思想，属基础题． 先利用基本不等求出x +y4的最小值，然后根据x +y4≥a 2−3a 恒成立，可得a 2−3a ≤(x +y 4)min，再求出a 的范围． 【解答】解：∵正实数x ，y 满足1x +4y =1，∴x +y 4=(x +y 4)(1x +4y )=2+4x y +y 4x≥2+2√4x y⋅y 4x=4，当且仅当4x y =y4x ，即x =2，y =8时取等号， ∵x +y4≥a 2−3a 恒成立，∴只需a 2−3a ≤(x +y4)min =4， ∴a 2−3x −4≤0，∴−1≤a ≤4，∴a 的取值范围为[−1,4]． 故选：A ． 11.答案：C解析：【分析】本题考查了数列的递推关系，累加法的应用，属于基础题． 【解答】解：∵a 61=2000,a n+1−a n =n ，则a 61=(a 61−a 60)+(a 60−a 59)+⋯+(a 2−a 1)+a 1=60+59+⋯+1+a 1=60×(60+1)2+a 1=2000， ∴a 1=170． 故选C ． 12.答案：C解析：由已知得，当−2≤x ≤1时，f(x)=x −2，当1<x ≤2时，f(x)=x 3−2． ∵f(x)=x −2，f(x)=x 3−2在定义域内都为增函数，∴f(x)的最大值为f(2)=23−2=6．13.答案：√22解析：解：∵直线l ：x −y +3=0，点P(0,2) ∴点P 到直线l 的距离为d =22=√22故答案为：√22根据点到直线的距离公式，结合题中数据加以计算，即可得到所求距离．本题求定点到定直线的距离，着重考查了点到直线的距离公式的知识，属于基础题．14.答案：−35解析：解：∵tanθ=−43(0<θ<π)，sinθcosθ=−43，cosθ<0，sinθ>0，sin 2θ+cos 2θ=1， ∴sinθ=45，cosθ=−35，故答案为：−35．利用同角三角函数基本关系式化简求解即可．本题主要考查同角三角函数的基本关系，以及三角函数在各个象限中的符号，属于基础题．15.答案：nn+1解析：解：对n ∈N ∗都有S n =1−a n ，n =1时，a 1=1−a 1，解得a 1=12． n ≥2时，a n =S n −S n−1=1−a n −(1−a n−1)，化为：a n =12a n−1． ∴数列{a n }是等比数列，公比为12，首项为12．a n=(12)n．∴b n=log2a n=−n．∴1b n b n+1=1−n(−n−1)=1n−1n+1．则1b1b2+1b2b3+⋯+1b n b n+1=(1−12)+(12−13)+⋯+(1n−1n+1)=1−1n+1=nn+1．故答案为：nn+1．对n∈N∗都有S n=1−a n，n=1时，a1=1−a1，解得a1.n≥2时，a n=S n−S n−1.利用等比数列的通项公式可得a n.b n=log2a n=−n.可得1b n b n+1=1n−1n+1．本题考查了数列推关系、等比数列的通项公式、“裂项求和”方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．16.答案：2解析：【分析】本题考查了扇形的面积公式应用问题，根据扇形的面积公式，计算该扇形的圆心角弧度数即可，是基础题．【解答】解：由题意可知扇形的半径为r=1，面积为S=1，则S=12α⋅r2=12α=1，α=2，∴该扇形的圆心角α的弧度数是2．故答案为2．17.答案：2解析：令s=a+b,t=ab.则由1a +1b≤4，得s≤4t.由(a−b)2=16(ab)3，得(a+b)2−4ab=16(ab)3，所以s2−4t=16t3，即s2=4t+16t3≥s+14s3，即s2−4s+4≤0，解之得s=2.即a+b的值等于2．18.答案：d≥1解析：解：∵|2014−x|+|2015−x|≥|2014−x−2015+x|=1，关于x的不等式|2014−x|+|2015−x|≤d有解时，∴d≥1．故答案为：d≥1．利用绝对值的几何意义，求出表达式的最小值，即可求解d的范围．本题考查绝对值的几何意义，绝对值不等式的解法，考查计算能力．19.答案：2解析：【分析】本题考查向量的坐标以及向量数量积的定义，由向量的坐标可求的向量的模再由向量数量积的定义即可得出答案．【解答】解：∵|a⃗|=√12+(√3)2=2又∵a⃗⋅c⃗=|a⃗|⋅|c⃗|⋅cosπ3=2即：2×|c⃗|×12=2∴|c⃗|=2故答案为2.20.答案：解：(1)由余弦定理，得b2=a2+c2−2accosB=18+36−36=18．故b=3√2．(2)△ABC的面积S=12acsinB=12×3√2×6×sin45°=9．解析：(1)由余弦定理得b2=a2+c2−2accosB=18，从而解得b=3√2．(2)求△ABC的面积S=12acsinB=12×3√2×6×sin45°=9．本题考查的知识点是解三角形，考察三角形的面积公式的应用，考察余弦定理的应用，属于基础题．21.答案：解：f(x)=2cosx(3sinx−cosx)−√2sin(2x+π4)+1=3sin2x−2cos2x−sin2x−cos2x+1=2sin2x−2cos2x=2√2sin(2x−π4)，(1)令2kπ−π2≤2x−π4≤2kπ+π2，解得：kπ−π8≤x≤kπ+38π，k∈Z，∴f(x)的单调递增区间为[kπ−π8,kπ+38π]，(k∈Z)；(2)∵5π24≤x≤3π4，∴π6≤2x−π4≤5π4，∴−√22≤sin(2x−π4)≤1，∴−2≤2√2sin(2x−π4)≤2√2，∴f min(x)=−2，f max(x)=2√2．解析：(1)先化简可得f(x)=2√2sin(2x−π4)，令2kπ−π2≤2x−π4≤2kπ+π2，可求得递增区间；(2)由5π24≤x≤3π4，得π6≤2x−π4≤5π4，则−√22≤sin(2x−π4)≤1，进而可得f(x)的取值范围，于是可得最大值、最小值；本题考查平面向量的数量积运算、三角恒等变换及三角函数的性质，具有一定的综合性，熟记相关知识是解决问题的基础．22.答案：解：(1)由已知，得2b n=a n+a n+1，①a n+12=b n⋅b n+1，②由②得a n+1=√b n b n+1③，将③代入①得，对任意n⩾2，n∈N∗，有2b n=√b n−1b n+√b n b n+1，即2√b n=√b n−1+√b n+1，∴{√b n}是等差数列．(2)设数列{√b n}的公差为d，由a1=10，a2=15.经计算，得b1=252，b2=18．∴√b1=5√22，√b2=3√2，∴d=√b2−√b1=3√2−5√22=√22．∴√b n=5√22+(n−1)·√22=√22(n+4)．∴b n=(n+4)22，a n=(n+3)(n+4)2．(3)1a n =2(n+3)(n+4)=2(1n+3−1n+4)，∴S n=2[(14−15)+(15−16)+···+(1n+3−1n+4)]=2(14−1n+4)=n2(n+2)．不等式2aS n<2−b na n 化为ann+2<2−n+4n+3=n+2n+3，∴a<(n+2)2n(n+3)=n2+4n+4n2+3n=1+n+4n2+3n，∵n+4n+3n>0，∴a⩽1．即实数a的取值范围(−∞,1]．解析：本题为数列的综合问题，考查等差数列与等比数列的综合，数列与不等式的综合，题目有一定难度．(1)通过已知得到关于数列的项的两个等式，处理方程组得到2√b n=√b n−1+√b n+1，利用等差数列的定义得证；(2)利用等差数列的通项公式求出求出b n，从而可求出a n；(3)先通过裂项求和的方法求出S n，代入2aS n<2−b na n，分离参数，即可求出a的范围．23.答案：解：f(x)=ax2−2x+1的对称轴为x=1a，∵13≤a≤1，∴1≤1a≤3，∴f(x)在[1,3]上的最小值f(x)min=N(a)=f(1a )=1−1a．∵f(x)=ax2−2x+1在区间[1,3]上的最大值为M(a)，最小值为N(a)，∴①当1≤1a ≤2，即12≤a≤1时，第11页，共11页 M(a)=f(3)=9a −5，N(a)=f(1a )=1−1a ．g(a)=M(a)−N(a)=9a +1a −6． ②当2<1a ≤3时．即13≤a <12时，M(a)=f(1)=a −1，N(a)=f(1a )=1−1a ．g(a)=M(a)−N(a)=a +1a −2． ∴g(a)={9a +1a −6,12≤a ≤1a +1a −2,13≤a <12． (2)由(1)可知当12≤a ≤1时，g(a)=M(a)−N(a)=9a +1a −6≥0，当且仅当a =13时取等号，所以它在[12,1]上单调递增；当13≤a <12时，g(a)=M(a)−N(a)=a +1a −2≥0，当且仅当a =1时取等号，所以g(a)在[13,12)单调递减．∴g(a)的最小值为g(12)=9×12+2−6=12．解析：(1)明确f(x)=ax 2−2x +1的对称轴为x =1a ，由13≤a ≤1，知1≤1a ≤3，可知f(x)在[1,3]上单调递减，N(a)=f(1a )=1−1a .由a 的符号进行分类讨论，能求出g(a)的解析式；(2)根据(1)的解答求g(a)的最值．本题考查函数的解析式的求法以及分段函数的最值求法，解题时要认真审题，仔细解答，注意分类讨论思想的合理运用．。