(完整)高等数学(下)期末考试试卷(B).doc

高等数学 A 试题（ B ）卷 （闭）
学年第 二 学期 使用班级
级 （）
学院
班级
学号
姓名
题号
一
二
三
四
五
六
七
八
总分
得分
一、填空题（本题共 4 小题，每空 4 分，满分 16 分，把正确答案填在题后的横线上）
1、设 z
x sin y ，则
z __________ 。

y
2、幂级数
x n
的收敛域为 _______________ 。

n 1
n3n
3、设 L 为圆周 x 2
y 2 9 ，取逆时针方向，则(2 xy 2 y)dx
( x 2 4x)dy ______。

L
4、在微分方程 y 3y
2 y e x ( x 1) 中，可设其特解形式为 ______________ （不用求出
待定系数）。

二、选择题（本题共
4 小题，每小题 4 分，满分 16 分，把正确答案填在题后的括号内）
1、级数
( 1) n (1 cos )
[
]
n 1
n
( A) 发散； ( B) 条件收敛；
(C ) 绝对收敛；
( D ) 敛散性与
取值有关 。

2、设 u u(x, y) 为可微函数，且当 y x 2
时有 u( x, y) 1及
u
x ，则当 y x 2 (x 0)
时，
u
x
[
]
y
( A) 1 ； ( B) 1 ；
2
2 (C ) 0 ；
(D ) 1。

3、设 I
| xy | dxdy ，其中 D : x 2 y 2
R 2 ，则 I
[
]
D
( A) R 4 ；
( B) R 4 ；
4
3
(C ) R 4
；
(D ) R 4 。

2
4、设 L :| x | | y |
ds
[
]
1 ，则
L
| x | | y |
( A) 4；
( B) 2； (C ) 4 2 ；
( D ) 2 2 。

三、计算（本题 6 小题，每小题8 分，满分48 分）
1、设z f ( x y, xy) 具有连续的二阶偏导数，求 2 z 。

x y
2、计算z dv ，其中由不等式z x 2y2及1x 2y 2z2 4 所确定。

3、计算 e ( x2y2) dxdy ，其中D : x2 y2 1。

D
4、计算曲面积分x3 dydz [ 1
f ( e y) y 3 ]dzdx [ f (
e
y ) z3 ] dxdy ，其中 f (u)具有连续的z z z
导数，为由曲面z x 2 y 2 , z 1 x2 y 2 , z4 x2 y 2所围成的立体表面外侧。

5 f ( x) 1
展开成 x 的幂级数。

、将函数
x 2 x 2
6、求幂级数nx n 1的收敛域与和函数。

n 1
四、（本题满分 10 分）
设 f (u) 具有二阶连续导数， z f (e x sin y) 满足 2 z 2 z e2x z ，求 f (x) 。

x2 y2
五、（本题满分 5 分）求( x 2 y2 )dx xdy ，其中 L 为曲线 y a 2x2上从点A( a,0)经
L
过点 B(0, a) 到点 C ( a,0) 的一段弧。

六、（本题满分 5 分）若u n2收敛，则( 1) n
u
n绝对收敛。

n 1 n 1 n
（上）期末试卷（江浦卷） （ B ）
参考答案
一、填空题： 1、
z
x sinh y cos yln x
；
2 、 [
3,3) ； 3 、 54
；
4
、 xe x (ax b) 。

y
二、选择题：
1、 (C ) ； 2
、 ( B) ；
3
、 (C ) ；
4
、 (C ) 。

三、计算： 1、解：
z ( x
y, xy)
yf 2 ( x y, xy) ，
（ 2 分）
f 1 x
2
z
f
11
( x
y, xy) ( x
y) f 12 ( x
y, xy) f 2 ( x y, xy) xyf 22 ( x y, xy) ，
x y
（ 4 分）
2、解：
zdv 2
4
d
2
r
2
sin
dr
d 1 r cos
2
4
sin cos d
2
r 3dr 15 。

1
8
3、解：
令
x r cos ，则 0 2 ,0 r 1 。

y r sin
原式 =
2
d
1
re r 2
dr
1
e r 2
d (r 2 )
e r
2
|10(1
1
) 。

0 0
0 e
4、解：
由高斯公式，得 原式
3 ( x 2
y 2 z 2 )dv
2 d
4
d
2
r 4 sin dr 31 2 。

1
5
5、解：
f (x)
1 1 ( 1
1 )
( x 1)( x 2) 3 x 1 x 2
其中
1 1
x n , ( 1 x 1) ，
x n 0
1 2 ( 1)n x n
, ( 2 x 2) 。

x
n 0 2n
1
于是 f ( x) 1 ( 1) n n , ( 1 x 1) 。

[1 2 n 1 ]x n
0 3 6、解：
（ 3 分）
（ 3 分）
（ 2 分）
（ 4 分） （ 3 分）
（ 3 分）
（ 2 分）
（ 2 分）
（ 2 分）
因为 lim
|
u
n 1
| 1，所以该级数的收敛半径为
R。

n
u n
1
又因为当
x
1 时， lim n
( 1) n 1 0 ，所以该级数的收敛域为 ( 1,1)
n
令 S(x)
nx n 1 ，则
n 1
S(x) x
2
nx
n 1
x
2
( x n
)
x 2 ( x n
)
x 2
( x
)
x 2 。

n 1
n 1 n 1 1 x
(1 x) 2
四、解：
z f
(u)e x
sin y, z f u ) e x
cos y ，
x
y
(
2
z
f (u)e 2 x sin 2 y f (u)e x sin y ，
x 2
2
z
f (u) e 2 x cos 2 y
f (u)e x sin y ，
y
2
代入得 f ( ) e 2 x e 2 x f ( )
，即 f (u) f (u) 0，
u u
所以 f (u) C 1e u C 2e u 。

五、解：
( x 2 y 2 )dx
a a x 2
dx 2a 3
a
x 2
xdy
2 dx
a 2dx
L
a a a 2 x 2
a
2
x
2
2a 3
2 2 a 2 sin 2 t acostdt 2a 3
a 2 。

a cost
2
六、证明：
因为 ( 1)n
u n
1 (
1
2
u n 2 ) ，
n 2 n
而
u n 2 和
1
都收敛，
n 1
n 1
n 2
故由比较判别法知，
(
1)n
u
n
收敛，
n 1
n
因此
( 1) n u n 绝对收敛 .
n 1 n
（ 1 分）
（ 1 分）
（ 4 分）
（ 2 分）
（ 4 分）
（ 4 分）
（ 2 分）
（ 3 分）
（ 2 分）
（ 2 分）
（ 1 分）。