电路的瞬态分析简介
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第2章电路瞬态分析
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u1 i1
u1 i1
R1 S
iC
R1
iC
E
u 2 R2
C uC E
u 2 R2
i2
i2
解：（1） uC(0)uC(0)0
E i1(0) R1 iC(0)
i2(0)0A
u2(0)uC(0)0V
u1(0)E
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u1 i1
u1
R1 E
L 储存的磁场能
Wm
1 2
LI2
则
p dWm
dt
所以电感电流 i 不能发生突变,否则外部需要向 L
供给无穷大功率。
直流电路中 I = 常数 U=0 L 相当于短路,短直流作用
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电感串联：
i
L1
u
L2
LL1L2
电感并联：
i
u
L1 L2
1 1 1 L L1 L2
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iL ( ) iC ( ) IS (0 5 ) 5 A
uL
iC C
IS
u R ( ) R R ( ) i [ 5 ( 5 ) ] 2 V U 5 S
uC
uC()USuR()
uR -
[5(25)]30V
R iR
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注意：
t=0+时刻，求初始值时：
应根据换路定律，先求取不能突变的量，即 uc(0+)、 il(0+) ；在此之后，再计算其它可能突 变的量。
第2章电路的瞬态分析_02
R0 2Ω ＋ US － 48 V a S b R1 6Ω ＋ uC － i1 i2 R2 1.6 Ω C 25 µF R3 i3 4Ω
27
第2章 电路的瞬态分析
R0
a S b
R1 6Ω
i1 i2 R2 1.6 Ω ＋ uC － C 25 µF R3 i3 4Ω
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
［解］
＋
2Ω US － 48 V
（1）初始值 ） 由换路前电路
τ
t
＋IS ( 1－e －
τ
t
τ
t
)
= I S + ( I 0－ I S ) e uL =－RI0 e －
τ
t
＋RIS e
τ
t
τ
t
t
= R ( IS － I0 ) e
20
= ( US－U0 ) e
τ
第2章 电路的瞬态分析
i L = I S + ( I 0－ I S ) e 当 I0 > IS
iL I0
τ
t
a ＋ U0 －
S ＋ b
R ＋ uC － iC C
US －
换路瞬间的电容电流为 US－U0 15－10 － = mA = 0.5 mA iC = R 10
10
第2章 电路的瞬态分析
a
S ＋ b
R ＋ uC － iC C
该电路的时间常数
τ = RC
= 10 × 103 × 20 × 10 = 0.2 s 根据
换路前， 断开， 换路前，开关 S 断开，且 电路已稳定。 电路已稳定。
I0 S R iL ＋ uL －
iL ( 0 ) = I 0
换路后， 闭合。 换路后，开关 S 闭合。
27
第2章 电路的瞬态分析
R0
a S b
R1 6Ω
i1 i2 R2 1.6 Ω ＋ uC － C 25 µF R3 i3 4Ω
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
［解］
＋
2Ω US － 48 V
（1）初始值 ） 由换路前电路
τ
t
＋IS ( 1－e －
τ
t
τ
t
)
= I S + ( I 0－ I S ) e uL =－RI0 e －
τ
t
＋RIS e
τ
t
τ
t
t
= R ( IS － I0 ) e
20
= ( US－U0 ) e
τ
第2章 电路的瞬态分析
i L = I S + ( I 0－ I S ) e 当 I0 > IS
iL I0
τ
t
a ＋ U0 －
S ＋ b
R ＋ uC － iC C
US －
换路瞬间的电容电流为 US－U0 15－10 － = mA = 0.5 mA iC = R 10
10
第2章 电路的瞬态分析
a
S ＋ b
R ＋ uC － iC C
该电路的时间常数
τ = RC
= 10 × 103 × 20 × 10 = 0.2 s 根据
换路前， 断开， 换路前，开关 S 断开，且 电路已稳定。 电路已稳定。
I0 S R iL ＋ uL －
iL ( 0 ) = I 0
换路后， 闭合。 换路后，开关 S 闭合。
电工学 第三章 电路的瞬态分析
R R t =0 R1
+
_
2 U 8V
iC
R2 4
iL + uL _
R3 4
2
+
_
U 8V
i1
R1
iC
u+ C 4 _
R2 4 C
iL + uL _
R3 4 L
i1
4
+ uC _
t = 0 -等效电路
化简得到t = 0-等效电路，可得：
R1 U 4 U i L (0 ) 1A R1 R3 R R1 R3 4 4 2 4 4 44 R1 R3
A U0 U
微分方程的解： uC (U 0
t U ) e RC U
27
3.3.1 RC电路的响应
(3) 电容电压 uC 的变化规律
0 t 0
R +
+
uC U (U 0
t U ) e RC
t
U0
1 + U -
uR–
-
U (U 0 U ) e
求解
稳态值 （三要素）
时间常数
25
3.3.1 RC电路的响应
换路前电路已处稳态，电 容处于开路已储能状态。
0 t 0
R +
+
U0 -
1 + U -
uR–
t =0时开关 S: 0 1
1. 电容电压 uC 的变化规律(t 0) (1) 列 KVL方程
duC C C uR R dt duC 代入上式得 RC uC U dt
学习要求
第三章
电路的瞬态分析
+
_
2 U 8V
iC
R2 4
iL + uL _
R3 4
2
+
_
U 8V
i1
R1
iC
u+ C 4 _
R2 4 C
iL + uL _
R3 4 L
i1
4
+ uC _
t = 0 -等效电路
化简得到t = 0-等效电路，可得：
R1 U 4 U i L (0 ) 1A R1 R3 R R1 R3 4 4 2 4 4 44 R1 R3
A U0 U
微分方程的解： uC (U 0
t U ) e RC U
27
3.3.1 RC电路的响应
(3) 电容电压 uC 的变化规律
0 t 0
R +
+
uC U (U 0
t U ) e RC
t
U0
1 + U -
uR–
-
U (U 0 U ) e
求解
稳态值 （三要素）
时间常数
25
3.3.1 RC电路的响应
换路前电路已处稳态，电 容处于开路已储能状态。
0 t 0
R +
+
U0 -
1 + U -
uR–
t =0时开关 S: 0 1
1. 电容电压 uC 的变化规律(t 0) (1) 列 KVL方程
duC C C uR R dt duC 代入上式得 RC uC U dt
学习要求
第三章
电路的瞬态分析
瞬态电路的分析
瞬态电路的分析瞬态电路分析是电路学中的重要内容，它涉及电路元件在改变电压或电流时的瞬时响应。
瞬态电路的分析对于理解和设计各种电子设备和电路至关重要。
本文将介绍瞬态电路的基本概念、分析方法和实际应用。
首先，我们来了解一下瞬态电路的基本概念。
瞬态电路是指电路元件电压或电流在改变时所表现出的瞬时响应。
这种响应常常包括电压或电流的快速增加或减少、过渡过程的波动和振荡等。
瞬态电路的分析主要关注电路中电压和电流的瞬时变化规律。
在分析瞬态电路时，需要了解电路元件的特性和行为。
电子元件在电路中具有不同的两极，通过电流的流动来连接这些元件。
常见的电子元件包括电阻、电容和电感等。
电阻是用于限制电流流动的元件，它的主要特性是阻值。
电容是用于存储电荷的元件，其特性是电容值和电压与电荷之间的关系。
电感是用于存储能量的元件，其特性是电感值和电流与磁场之间的关系。
瞬态电路的分析需要根据电路中的元件和其它条件，应用基本的电路分析原理。
其中，最常用的方法是基尔霍夫定律和欧姆定律。
基尔霍夫定律包括基尔霍夫第一定律和基尔霍夫第二定律。
基尔霍夫第一定律是能量守恒定律，指出电流在任意节点的进出电流之和为零。
基尔霍夫第二定律是电压守恒定律，指出电压在任意闭合回路的环路和为零。
实际上，瞬态电路的分析是通过电压-时间（V-t）和电流-时间（I-t）图来进行的。
通过这些图，我们可以直观地看到电压或电流的瞬时变化过程。
对于电压-时间图，我们可以看到电压的快速增加和减少、波动和振荡等特性。
而对于电流-时间图，我们可以看到电流的快速上升和下降、过渡过程的波动和振荡等。
瞬态电路的分析在实际应用中有很多重要的价值。
首先，它可以用于设计和优化电子电路和系统。
通过瞬态分析，我们可以预测电路在变化条件下的响应和行为，从而更好地设计电路参数和选取元件。
其次，瞬态分析可以用于故障诊断和故障排除。
当电路出现故障时，通过对瞬态响应的分析，可以快速定位并修复故障。
此外，瞬态分析还有助于理解电子设备和电路的工作原理，提高电子工程师的设计和研发能力。
第十讲一阶电路的瞬态分析
=3mA
i(0+)=i1(0+)+i2(0+)=4.5mA
计算结果
电量 i
i1=iL
i2
uC
uL
t=0- 1.5mA 1.5mA 0
3V 0
t=0+ 4.5mA 1.5mA 3mA 3V 3V
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小结：换路初始值的确定
1. t=0- ：电感相当于短路;电容相当于开路. 2.换路后 t=0+ 瞬间： 电容 uC(0+) = uC(0 -)=US 相当于数值为US的理想电压源
S iR
t=0
+
+
RC
duＣ dt
+
uＣ=
UＳ
US –
C uC uＣ( t ) = u '+ uＣ'' –
设uＣ' =K（常量），则
dK RC dt + K= UＳ
所以 K=UＳ ， uＣ' = UＳ
即：稳态时电容两端的电压值，称之为稳态解。
uＣ(∞ ) =UＳ
返回
(2）通解uＣ''
是齐次微分方程
一般一阶电路 只含有一个储能 元件。
分析方法
经典法： 通过列出和求解电路的 微分方程，从而获得物 理量的时间函数式。
三要素法：在经典法的基础上总结 出来的一种快捷的方法， 只适用于一阶电路。
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1. 一阶RC 电路瞬态过程的微分方程
图示电路，当 t = 0 时， S i R
开关 S 闭合。列出回路电压
1 <2<3
0.368US
0 1 2
3
t
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(3) RC 电路的全响应
第2章 电路的瞬态分析(1)综述
We 不能突变
U
1 2 We = CU C 2
单位：焦 [耳] (J)
uC 不能突变
d We 也可解释为 p d t 所以电容电压 u 不能发生突变,否则外部需要 向C 供给无穷大功率。
4、电容的串并联 电容串联
C2 u1 u C1 C 2
电容并联
u
u1 u2
uC
U
旧稳态
过渡过程
新稳态
t
换路后，u、i 都处于暂时的不稳定状态，所以电路 从一种稳态变化到另一种稳态的过渡过程又称为电
路的瞬态过程。
瞬态：过渡过程所处的状态
产生过渡过程的原因：物体所具有的能量不能跃变而造成
1.电路内部含有储能元件L、C -- 内因 w p t 能量的储存和释放都需要一定的时间来完成
2.电路结构、状态发生变化 -- 外因 电源的接通与断开、支路接入或断开、参数变化
研究过渡过程的意义 换路
过渡过程是一种自然现象，过渡过程的存在有利有弊。 有利的方面，如电子技术中常用它来产生各种波形；不利的 方面，如在瞬态过程发生的瞬间，可能出现过压或过流，致 使设备损坏，必须采取防范措施。
二、激励和响应 激励：电路从电源或信号源输入的信号，又称输入 响应：在激励或内部储能作用下产生的电压和电流， 又称输出 1、零状态响应（外部激励引起） ——只由电源激励作用产生的响应 2、零输入响应（内部储能引起） ——只由储能元件作用产生的响应 3、全响应（ 内部激励+外部激励引起） ——零状态响应+零输入响应 （ 在线性电路中 ）
uC （ 0）
iL (0 ) iL (0 ) 1A
u（ u（ 0 C 0） C 0）
U
1 2 We = CU C 2
单位：焦 [耳] (J)
uC 不能突变
d We 也可解释为 p d t 所以电容电压 u 不能发生突变,否则外部需要 向C 供给无穷大功率。
4、电容的串并联 电容串联
C2 u1 u C1 C 2
电容并联
u
u1 u2
uC
U
旧稳态
过渡过程
新稳态
t
换路后，u、i 都处于暂时的不稳定状态，所以电路 从一种稳态变化到另一种稳态的过渡过程又称为电
路的瞬态过程。
瞬态：过渡过程所处的状态
产生过渡过程的原因：物体所具有的能量不能跃变而造成
1.电路内部含有储能元件L、C -- 内因 w p t 能量的储存和释放都需要一定的时间来完成
2.电路结构、状态发生变化 -- 外因 电源的接通与断开、支路接入或断开、参数变化
研究过渡过程的意义 换路
过渡过程是一种自然现象，过渡过程的存在有利有弊。 有利的方面，如电子技术中常用它来产生各种波形；不利的 方面，如在瞬态过程发生的瞬间，可能出现过压或过流，致 使设备损坏，必须采取防范措施。
二、激励和响应 激励：电路从电源或信号源输入的信号，又称输入 响应：在激励或内部储能作用下产生的电压和电流， 又称输出 1、零状态响应（外部激励引起） ——只由电源激励作用产生的响应 2、零输入响应（内部储能引起） ——只由储能元件作用产生的响应 3、全响应（ 内部激励+外部激励引起） ——零状态响应+零输入响应 （ 在线性电路中 ）
uC （ 0）
iL (0 ) iL (0 ) 1A
u（ u（ 0 C 0） C 0）
4-电路的瞬态分析解析
0+等效电路：
i (0+)
+ 10V
10k
iC(0+) +
8V
iC
(0
)
10 10
8
0.2mA
iC (0 ) iC (0 ) 0
例2. 10V
1 4 iL
+
S
uL L
–
t = 0时闭合开关S. 求uL(0+).
解： iL(0+)= iL(0)=2A
0+等效电路：
1 4
+
10V
uL (0+) iL(0+) uL (0 ) 2 4 8V
–
uL(0+)= uC(0+)= RIS
iC(0+)=iL(0+) uC(0+)/R
=ISIS =0
结论
有储能元件（L、C）的电路在电路状态发生
变化时（如：电路接入电源、从电源断开、电路 参数改变等）存在过渡过程；
没有储能作用的电阻（R）电路，不存在过渡
过程。
电路中的 u、i在过渡过程期间，从“旧稳态”进 入“新稳态”，此时u、i 都处于暂时的不稳定状态， 所以过渡过程又称为电路的暂态过程。
1.电感电流 i L 不能跃变
iL (0+) = iL (0) 依据：换路时，电感元件中储存的磁场能量WL=1/2LiL2
不能突变。
2.电容电压u C不能跃变
uC (0+) = uC (0)
依据：换路时，电容元件中储存的电场能量WC=1/2CuC 2
不能突变。
注：电阻R为非储能元件，其i R、u R均可突变； 另外，iC、uL均可突变。
i (0+)
+ 10V
10k
iC(0+) +
8V
iC
(0
)
10 10
8
0.2mA
iC (0 ) iC (0 ) 0
例2. 10V
1 4 iL
+
S
uL L
–
t = 0时闭合开关S. 求uL(0+).
解： iL(0+)= iL(0)=2A
0+等效电路：
1 4
+
10V
uL (0+) iL(0+) uL (0 ) 2 4 8V
–
uL(0+)= uC(0+)= RIS
iC(0+)=iL(0+) uC(0+)/R
=ISIS =0
结论
有储能元件（L、C）的电路在电路状态发生
变化时（如：电路接入电源、从电源断开、电路 参数改变等）存在过渡过程；
没有储能作用的电阻（R）电路，不存在过渡
过程。
电路中的 u、i在过渡过程期间，从“旧稳态”进 入“新稳态”，此时u、i 都处于暂时的不稳定状态， 所以过渡过程又称为电路的暂态过程。
1.电感电流 i L 不能跃变
iL (0+) = iL (0) 依据：换路时，电感元件中储存的磁场能量WL=1/2LiL2
不能突变。
2.电容电压u C不能跃变
uC (0+) = uC (0)
依据：换路时，电容元件中储存的电场能量WC=1/2CuC 2
不能突变。
注：电阻R为非储能元件，其i R、u R均可突变； 另外，iC、uL均可突变。
瞬态电路的分析
L
-
uL iC
+ uC R3 3
+
S
R2 iL
2 +
12A 48V
U0
-
uL
+ 24V R3 3
t=0+时刻的等效电路
19
小结——求初始值的步骤：
1. 由换路前电路（稳定状态）求 uC(0-) 和 iL(0-)。
电阻电路( 直流 )
2. 由换路定律得 uC(0+) 和 iL(0+)。 3. 画出0+时刻的等效电路。 （1） 画换路后电路的拓扑结构； （2） 电容（电感）用电压源（电流源）替代。 取0+时刻值，方向同原假定的电容电压、 电阻电路 电感电流方向。 4. 由0+电路求其它各变量的0+值。
+ uR t=0
+ + u R (0 ) -
US
i
+ uC -
US
+ i (0 )
+ uC (0 + ) -
(a) 图 7－1－3
(b)
13
例 7－ 1－ 1
1.
解： t 0 开关打开，电路处于稳定状态，
uC (0- ) = 0V
t = 0+ 时根据换路定则
uC (0+ ) = uC (0- ) = 0V
uC () = 0, i() = 0, uR () = 0
24
7． 2． 1
RC电路的零输入的响应
1.
分析电容通过电阻的 放电规律
+ t 0 ，由KVL可得 当开关闭合后
uC (t ) = uR (t )
duc (t ) 又 uR (t ) = Ri(t ), i(t ) = -C dt
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供给无穷大功率。
直流电路中 I = 常数 U=0 L 相当于短路,短直作用
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电感串联：
i
L1
u
L2
LL1L2
电感并联：
i
u
L1 L2
1 1 1 L L1 L2
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2.3 换路定律
电容电压、电感电流在换路瞬间不能突变。
设：t =0 时换路
t 0 --- 换路前终了瞬间
d t
KVL： e = – u
则电感电压与电流的关系 u L d i
瞬时功率
puidtLidi
dt
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瞬时功率 p u i Li d i
i
i di 0 dt
dt
p0
说明 L 从外部输入电功率，电能 磁场能
i i d i 0 p0
dt
说明 L 向外部输出电功率，磁场能 电能
根据换路定则得： uC (0 ) uC (0 ) 0
L(0 ) L(0 ) 0返回Fra bibliotek上一节
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S C R2
+ t=0
U -
R1
iC (0+ ) uC (0+) + u2(0+_)
+
i1(0+ )
R2 +
iL(0+ ) +
L
U -
R1 _u1(0+) _ uL(0+)
(a) 电路
内因：电路中有储能元件——电容 C 或电感 L 外因：换路
SR
R
iC
iC
US
uC
US
uC
旧稳态
uC
瞬态
US
新稳态
稳态
O
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t
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(二) 激励和响应
激励 (输入)：电路从电源 (包括信号源) 输入 的
信号。 响应 (输出)：电路在外部激励的作用下，或者在
内部储能的作用下产生的电压和电流。
直流电路中 U = 常数
I =0 C 相当于开路,隔直作用
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电容串联
u
u1
C1
u2
C2
1 1 1 C C1 C2
u1
C2 C1 C2
u
u2
C1 C1 C2
u
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电容并联
u
C1 C2
CC1C2
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(二) 电感
设线圈匝数为 N，则
磁链 Ψ = NΦ
u
单位：韦[伯](Wb)
(b) t = 0+等效电路
(2) 由t=0+电路，求其余各电流、电压的初始值
uC (0 ) 0, 换路瞬间，电容元件可视为短路。
uCLL((0(00)))u1(100(,0)换)路RUU1瞬间((u，CL((电00感))元0件)0)可iC视u、为2u(0L开产 路)生。突0变
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电感 L Ψ
i
单位：亨[利](H)
u
iΦ e
(a) 电感器
i
e
L
(b) 理想电感元件
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规定：e 的参考方向与磁力线的
方向符合右手螺旋定则。
eNdΦdΨ dt dt
u
因为
LΨ i
i
eL
所以 e dN Φ () d Ψ d (L ) i L d i
d t
d t d t
当t = 0 ξ时,u 由0 U,则输入电能
pdtud itU Cd u ud t1C2U
0
0
0 d t 2
则 C 储存的电场能:
We
1 2
CU 2
单位：焦
[耳]
(J)
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C 储存的电场能
We
1 CU2 2
则
p dWe
dt
所以电容电压 u 不能发生突变,否则外部需要向 C 供给无穷大功率。
响应分类：
产生 原因
零输入响应： 内部储能作用
零状态响应： 外部激励作用
全响应：
全响应 = 零输入响应 + 零状态响应
激励 波形
阶跃响应 ——阶跃激励
u
正弦响应 脉冲响应
u(t)
0,t U,t
0 0
U
O
t
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2.2 储能元件
(一) 电容
u
i q + + q – –
i
u
C
(a) 电容器
t =0+时的电流方程中 iL = iL ( 0+)。
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例1． S C R2
+ t=0
U
R1
L
-
(a)
已知：换路前电路处于稳
态，C、L 均未储能。
试求：电路中各电压和电 流的初始值。
解：(1)由换路前电路求 uC (0 ), iL(0 )
由已知条件知 uC (0 ) 0, iL(0 ) 0
t 0 --- 换路后初始瞬间
则：
u C(0)u C(0)
注意：
iL(0)iL(0)
1. 换路瞬间，uC、iL 不能突变。其它电量可能突变，
变不变由计算结果决定。
2.初始值： t =0+ 时，用u (0) 、 i (0)表示； 稳态值：换路后重新稳定，用u (∞) 、 i (∞)表示。
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初始值的确定
(1) 先求uC( 0+)、iL ( 0+) 。 1) 先由t =0-的电路求出 uC ( 0– ) 、iL ( 0– )； 2) 根据换路定律求出 uC( 0+)、iL ( 0+) 。 (2) 再求其它电量的初始值。
1) 由t =0+的电路求其它电量的初始值； 2) 在 t =0+时的电压方程中 uC = uC( 0+)、
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2.1 瞬态分析的基本概念
(一) 稳态和瞬态
稳态
瞬态 换路
新的稳态
稳态：电路的结构和元件的参数一定时，电路的 工作状态一定，电压和电流不会改变。
换路：电路接通、断开、改接以及参数和电源发 生突变等等。
瞬态(过渡状态)：电路在过渡过程中所处的状态。
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电路在换路后出现过渡过程的原因：
当t = 0 ξ时,i 由0 I,则输入电能
pd tud itILd iid t1L2I
0
0
0 d t 2
则 L 储存的磁场能
Wm
1 2
LI 2
单位：焦[耳](J)
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L 储存的磁场能
Wm
1 2
LI2
则
p dWm
dt
所以电感电流 i 不能发生突变,否则外部需要向 L
基本要求
1. 了解电路的稳态和瞬态，激励和响应；
2. 理解储能元件的电压电流关系、储能特性和在稳 态直流电路中的作用；
3. 理解电路的换路定律；
4. 了解用微分方程式法求电路响应，理解储能元件 的放电和充电规律；
5. 理解时间常数的意义；
6. 掌握初始值、稳态值和时间常数的计算方法，掌 握三要素法。
(b) 理想元件
Cq u
i dq dt
电压与电流的关系: 瞬时功率：
i C du puidt Cudu
dt
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瞬时功率
p ui Cu d u
dt
u
udu 0 dt
p0
说明 C 从外部输入电功率，电能 电场能
u u d u 0 p0
dt
说明 C 向外部输出电功率，电场能 电能