碰撞动力学模型综述
高三物理复习：碰撞模型及应用 课件
2015年全国卷新课标Ⅰ 17题 10分 动量守恒定律（碰撞）
2015年全国卷新课标Ⅱ 35题 10分 动量守恒定律（碰撞）
网络要点
所受外力之和 为零或外力远 小于内力
注意：确定正方向
p = mv
△p = mv' -mv
I=Ft
m1v1+m2v2 = m1v1' +m2v2' （系统）
（1）弹性碰撞
模型2 动量守恒与能量的综合应用二 碰撞、弹簧类
典型例题2 (2013·全国卷Ⅱ·T35)如图，光滑水平直轨道上有三个 质童均为m的物块A、B、C。 B的左侧固定一轻弹簧（弹簧左侧的 挡板质最不计).设A以速度v0朝B运动，压缩弹簧；当A、 B速度相 等时，B与C恰好相碰并粘接在一起，然后继续运动。假设B 和C 碰撞过程时间极短。求： （1）从A开始压缩弹簧直至与弹黄分离的过程中，整个系统拐失 的机械能； （2）弹簧被压缩到最短时的弹性势能。
根据机械能守解恒得 得v1＝215mvg0 h＝12×2m21v02－12×5m51v02 解得 h＝34v00g2.
题型口诀
题型口诀
碰撞要点时间短，外力远比内力小； 动量守恒疑问无，过程能量增大否； 弹性碰撞无能耗，“合二为一”现极值； 追碰速度前超后，碰后限制“穿越”否； 等效碰撞时间长，动能动量同状况。
变式4 (2019·甘肃省天水市调研)如图所示，在水平面上依次放 置小物块A和C以及曲面劈B，其中A与C的质量相等均为m，曲面 劈B的质量M＝3m，曲面劈B的曲面下端与水平面相切，且曲面劈 B足够高，各接触面均光滑.现让小物块C以水平速度v0向右运动， 与A发生碰撞，碰撞后两个小物块粘在一起滑上曲面劈B.求： (1)碰撞过程中系统损失的机械能； (2)碰后物块A与C在曲面劈B上能够达到的最大高度
车辆碰撞模型的动力学分析与优化
车辆碰撞模型的动力学分析与优化随着汽车行业的发展和人们生活水平的提高，车辆碰撞安全性日益受到重视。
为了减少碰撞事故对驾乘人员的伤害，不断改进和优化车辆碰撞模型的动力学分析方法显得尤为重要。
本文将探讨车辆碰撞模型的动力学分析与优化，为减少碰撞事故的影响提供有效的解决方案。
1. 车辆碰撞模型的动力学分析车辆碰撞模型的动力学分析是对碰撞事故发生过程进行研究和模拟，以便更好地理解碰撞对车辆和驾乘人员的影响。
动力学分析主要涉及力学、材料学、结构分析等领域的知识，以建立完善的数学模型来描述碰撞过程中的能量转化和力学行为。
在动力学分析中，研究者使用各种数学工具和计算方法，如有限元分析、多体动力学模拟等，来模拟车辆碰撞过程中的力学行为。
通过这些模拟方法，可以计算出车辆的撞击力、应力分布、变形情况等信息，进而评估碰撞对驾乘人员的伤害程度。
2. 动力学分析在车辆碰撞优化中的应用优化车辆的碰撞安全性是车辆制造商和研究机构的重要任务之一。
动力学分析可以发挥重要作用，其在车辆碰撞优化中的应用主要包括以下几个方面。
2.1 碰撞结构设计与优化动力学分析可以帮助优化车辆的碰撞结构设计。
通过模拟碰撞过程中的力学行为和应力分布情况，可以评估不同碰撞结构的性能差异。
在此基础上，可以对碰撞结构进行调整和优化，以提高车辆的碰撞安全性。
2.2 驾乘人员伤害评估与预测在车辆碰撞优化过程中，了解驾乘人员的伤害情况是至关重要的。
动力学分析可以计算出碰撞过程中驾乘人员所受的力和加速度等信息，从而评估出伤害的程度。
这些信息可以用于优化车辆的安全设计，以减少碰撞事故对驾乘人员的伤害。
2.3 车辆主动安全系统的开发与改进动力学分析还可以用于开发和改进车辆的主动安全系统。
通过模拟不同碰撞情况下主动安全系统的响应，可以评估系统的效果和性能。
这些结果可以指导主动安全系统的设计和改进，提高车辆在碰撞中的安全性能。
3. 动力学分析方法的挑战与展望尽管动力学分析在车辆碰撞优化中的应用已经取得了一定的进展，但仍然存在一些挑战和待解决的问题。
汽车碰撞模拟仿真中侧面碰撞的动力学分析
汽车碰撞模拟仿真中侧面碰撞的动力学分析在汽车碰撞模拟仿真中，侧面碰撞是一种常见的碰撞类型，它对车辆及乘客的安全性有着重要的影响。
本文将对侧面碰撞的动力学进行分析，并通过汽车碰撞模拟仿真来评估碰撞的影响。
1. 简介侧面碰撞是指在汽车行驶过程中，一辆车以侧面受到撞击的情况。
这种碰撞一般发生在交通事故中，可能是两辆车之间的直接碰撞，也可能是一辆车与固定障碍物之间的碰撞。
侧面碰撞具有碰撞点高、撞击速度快、乘员保护程度低等特点，对车辆和乘客的伤害风险较大。
2. 动力学分析在汽车侧面碰撞中，动力学是一个关键的概念，它是研究碰撞中车辆和乘客所受到的力、加速度及位移等参数的学科。
对侧面碰撞进行动力学分析，可以帮助我们了解碰撞过程中的力学特性，从而进行相关的安全性评估。
2.1 车辆受力分析在侧面碰撞中，撞击力主要作用在被撞击车辆的侧壁上。
这个力的大小取决于撞击速度、撞击角度、撞击点位置等因素。
而受到撞击力的车身会产生挤压和弯曲变形，导致车辆结构的破坏。
因此，评估车辆在侧面碰撞中承受的受力情况对于安全性能的优化具有重要意义。
2.2 乘客安全性评估除了车辆结构的安全性评估，对乘客在侧面碰撞中的安全性能评估也是必不可少的。
侧面碰撞会直接对乘客的身体产生影响，可能导致乘客产生创伤或损伤。
通过模拟仿真，我们可以分析乘客在碰撞过程中所承受的加速度、力量和位移等参数，以此来评估乘客的受伤风险。
3. 汽车碰撞模拟仿真汽车碰撞模拟仿真是一种基于计算机模型和数值计算方法的工程分析方法。
通过对车辆和碰撞事件进行数值模拟，可以预测碰撞过程中的各种物理量，如速度、加速度、力量等，以此来评估碰撞的影响。
3.1 模拟模型建立在进行汽车碰撞模拟仿真之前，首先需要建立一个准确的模型。
模型一般包括车辆、乘客和碰撞物体等。
通过使用计算机辅助设计软件和三维建模技术，可以将真实的车辆和物体建立为可供仿真分析的数值模型。
3.2 材料特性和碰撞模型参数在模拟中，需要为材料和碰撞模型设置相应的材料特性和参数。
高中物理碰撞问题的理想模型
高中物理碰撞问题的理想模型碰撞是物理学中常见的现象，研究碰撞的理论和实验方法对了解物理现象的本质和数学研究有着重要作用。
碰撞的分析可以从微观和宏观两个角度来考虑。
在微观层面上，物体的碰撞是由粒子之间的相互作用引起的，粒子在碰撞中受到相互作用力的影响，其动能和势能也会发生变化。
在宏观层面上，物体碰撞所涉及的现象比较简单，可以通过数学方法来进行分析。
理想模型是对实际问题的数学抽象，为从复杂的现象中抽象出简单模型提供了便利。
在高中物理教学中，碰撞问题通常采用理想模型进行分析。
下面分别从弹性碰撞和非弹性碰撞两个方面来介绍碰撞问题的理想模型。
1. 碰撞问题的理想模型 - 弹性碰撞弹性碰撞是指碰撞前后物体所具有的动量和动能都守恒的碰撞。
在理想模型中，弹性碰撞的物体是理想刚体，并没有能量损失，所以物体的动量和动能都守恒。
设两个质量分别为m1和m2的物体，在碰撞前它们的速度分别为v1和v2，碰撞后分别为v1'和v2'。
根据动量守恒和能量守恒的原则，可以得到碰撞的理想模型：（1）动量守恒：m1v1+m2v2=m1v1'+m2v2'在弹性碰撞中，物体碰撞后产生反弹的情况比较常见。
反弹情况下，两个物体的速度会发生反向变化，如果两个物体的质量相等，则它们的速度大小也相等。
非弹性碰撞是指碰撞过程中物体的动量守恒，但是能量不守恒，即碰撞前和碰撞后物体的总动能不相等。
在非弹性碰撞中，物体的动量在碰撞前后守恒，但碰撞过程中能量转化为其他形式的能量，如声能、热能等，造成了能量损失。
在高中物理教学中，非弹性碰撞的理想模型比较简单，可以采用动量守恒的原理来进行分析。
（2）能量不守恒，能量损失为：(1/2)m1v1^2+(1/2)m2v2^2>(1/2)m1v1'^2+(1/2)m2v2'^2在非弹性碰撞中，物体在碰撞后的速度可能会发生变化，变化的情况取决于碰撞时所受到的相互作用力。
汽车碰撞仿真与车辆动力学性能的综合研究
汽车碰撞仿真与车辆动力学性能的综合研究近年来，随着汽车工业的迅速发展，汽车碰撞仿真与车辆动力学性能的研究备受关注。
此类研究不仅对汽车制造商和设计师来说至关重要，也对汽车安全性能的提高具有重要意义。
本文将围绕汽车碰撞仿真与车辆动力学性能的综合研究展开探讨。
一、汽车碰撞仿真技术的应用1.1 碰撞仿真技术的概念与意义汽车碰撞仿真技术是通过建立数学模型和计算机仿真模拟来预测汽车碰撞事故中的各种物理参数，以评估车辆的安全性能。
通过对不同碰撞角度、速度和物体性质的碰撞进行仿真，可以帮助研究人员了解碰撞过程中车辆的变形情况、吸能性能以及驾乘人员的生存空间等重要信息，进而为汽车设计和安全性能提供参考。
1.2 碰撞仿真技术的方法与实现碰撞仿真技术主要分为两大类：有限元法和多体动力学仿真法。
有限元法主要针对车辆结构的变形问题进行仿真分析，而多体动力学仿真法则主要研究车辆在碰撞过程中的运动状态与能量转化情况。
对于大多数汽车制造商而言，使用有限元法进行碰撞仿真分析更为常见，因为其能够更准确地描述车辆的结构变形。
1.3 汽车碰撞仿真技术在安全性能评估中的应用汽车碰撞仿真技术广泛应用于车辆的安全性能评估中。
通过预测车辆在碰撞事故中的变形情况和驾乘人员所承受的载荷情况，研究人员可以评估车辆的碰撞安全性能，并对车辆结构进行优化设计。
这种基于仿真的安全性能评估可以帮助汽车制造商降低开发成本、提高产品的竞争力。
二、车辆动力学性能研究的方法与应用2.1 车辆动力学性能的定义和评价指标车辆动力学性能是指车辆在运动中表现出的各种性能特征，比如加速度、制动距离、悬挂系统的刚度等。
评价车辆动力学性能的指标通常包括悬挂系统的刚度、车辆的稳定性、刹车性能以及转向性能等。
对于汽车制造商而言，优化车辆的动力学性能可以提升驾驶体验，增加产品的市场竞争力。
2.2 车辆动力学性能研究的方法与应用车辆动力学性能的研究主要依靠现代汽车工程领域中广泛应用的试验和仿真技术。
汽车侧面碰撞动力学模型及参数控制研究
．！
．；
Ｊ
／ｌ
一／ 罔１４ ａ随Ｋ仲的变化
１
目１２ ａ随ＫＭＤ的变化
蚓１３ ａ随‰ｖ的变化
Ｉ矿
一乏ｊ一；一…‰０“ｎ玎乙二
瞰１５ ａ舶ＫⅢ。ｎ肿变ｎ
ｌⅫ１６
ａ酏ｋ咖。的变化
剐Ｉ ７ ａ柏内怖厚胜目内怖州度的变化
ｔ２．两参数影响分析
保持现有结构参数数值不变．分别调蛀Ｋｍ蝴乖Ｉ也～的ｌ睨位．得到ａ蹦内饰厚度和内饰
＋０。【ｈ
『ｌｊ】雕，ｌｌｒ以得到
ｘ，十ｄ㈣１
‘＋以。）＝０
ⅢＤｊＤ＋ｃ０，（ｈ—ｈ）＋＾Ⅲ，（Ｊ扩ｘｗ—ｄ…，）
＋ｃｒｉ，Ｌｉｂ ｘｒｌ＋ｋⅢＬｘｆ，Ｉｒ＋ｄ ｒＩｌｌ ＋ｃⅢｔｘ＂一ｉｄｌ＋ｋＩＨＬｘ¨ｘｊ十ｄ㈨１＝０ Ⅲ．ｊ．＋■∥（‘一Ｊ＂）＋女…（＾ ｈ—ｄⅧ） ＋‘＂（’ｒ－』ｎ）＋ｋｍ（』ｒ－』，，＋４。）＝０ ｍ－｜ｄ＋ｃｆ“ｔｘ。？一Ｉ ｒ．１＋ｋＩＨＬｘｄ—ｘ¨ｄ㈨１＝０
Ａ Ｓｔｕｄｙ
ｏｎ
ｄｙｎａｍｉｃ ｍｏｄｅｌ ｏｆ ｓｉｄｅ ｉｍｐａｃｔ ａｎｄ ｐａｒａｍｅｔｅｒｓ ａｎａｌｙｓｉｓ
Ｗｅｉ Ｑｉｎ９１，Ｄｕ
Ｈｕｉｌｉａｎｇ。，Ｚｈａｎｇ Ｊｉｎｈｕａｎ’
Ｓｔａｔｅ Ｋｅｙ Ｌａｂｏｒａｔｏｒｙ ｏｆＡｕｔｏｍｏｔｉｖｅ Ｓａｆｅｔｙ ａｎｄ Ｅｎｅｒｇｙ，Ｄｅｐａｒｔｍｅｎｔ ｏｆＡｕｔｏｍｏｔｉｖｅ Ｅｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ，Ｔｓｉｌｌｇｈｕａ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ，Ｂｅｉｊｉｎｇ，１ ０００８４，ｗｑｊａｃｋ＠１ ６３．ｃｏｒｎ
艇 ｛篱漆
髫；｜『挲萋
。。Ｉ
ｉ／／二壤
目４嵩茬模型模拟的速度曲线
罔５某蛮测速度曲线
１．一：兰二三ｉ』——
高中物理碰撞问题的理想模型
高中物理碰撞问题的理想模型碰撞是物理学中一个非常重要的概念，涉及到许多实际生活中的现象，例如球类碰撞、车辆碰撞等。
其中，碰撞问题是高中物理课程中不可避免的一部分。
本文将介绍碰撞问题的理想模型。
在高中物理中，我们通常使用两种碰撞模型：完全弹性碰撞和完全非弹性碰撞。
完全弹性碰撞完全弹性碰撞是指两个物体在碰撞中能量守恒，动量守恒，没有任何能量耗散。
在这种碰撞中，两个物体碰撞前和碰撞后的物理量满足以下条件：1. 动量守恒：碰撞前后两个物体的动量之和保持不变。
例如，两个质量分别为$m_1$和$m_2$的球在水平面上做完全弹性碰撞。
假设球碰撞前的速度分别为$v_{1i}$和$v_{2i}$，碰撞后的速度分别为$v_{1f}$和$v_{2f}$。
则根据动量守恒和能量守恒的原理，可以得到以下方程组：$$\begin{cases} m_1v_{1i}+m_2v_{2i}=m_1v_{1f}+m_2v_{2f} \\m_1v_{1i}^2+m_2v_{2i}^2=m_1v_{1f}^2+m_2v_{2f}^2 \end{cases}$$解出上述方程组，即可得到碰撞后两个球的速度。
例如，一个物体质量为$m_1$以速度$v_{1i}$碰撞到另一个静止的物体质量为$m_2$上，则无论碰撞后是否粘在一起，碰撞后的速度可以通过以下方程组推导出：其中，$E$表示碰撞前的总能量。
在推导过程中，需要注意能量守恒关系的改变。
总结在高中物理课程中，碰撞问题的理想模型可以分为完全弹性碰撞和完全非弹性碰撞。
无论是哪种模型，都需要根据动量守恒和能量守恒的原理，通过物理量之间的关系推导出未知物理量。
掌握碰撞问题的理想模型是高中物理学习的重要内容，也是日常生活中解决碰撞问题的基础。
高中物理碰撞问题的理想模型
高中物理碰撞问题的理想模型碰撞是物体之间发生相互作用的过程，它在物理学中有着重要的地位。
碰撞问题是研究碰撞过程的物理学问题，主要包括动量守恒、动量定理、能量守恒等方面的内容。
本文将介绍高中物理碰撞问题的理想模型。
碰撞可以分为完全弹性碰撞和非完全弹性碰撞两种情况。
对于完全弹性碰撞，碰撞物体在碰撞过程中互相之间没有能量损失，动量和能量守恒的条件都得到满足。
在这种情况下，碰撞物体在碰撞前后的动量大小和方向都保持不变，碰撞结果可以通过动量守恒定律来求解。
动量守恒定律可以表示为：物体1和物体2的质量分别为m1和m2，碰撞前的速度分别为v1和v2，碰撞后的速度分别为v1'和v2'，则有m1v1 + m2v2 = m1v1' + m2v2'。
在解决碰撞问题时，我们通常会使用理想模型，这是因为在真实情况下，碰撞过程中还存在其他影响因素，如空气阻力、摩擦力等。
为了便于分析和计算，我们可以忽略这些因素，将碰撞过程简化为一个理想模型。
在理想模型中，我们可以假设碰撞物体为质点，忽略物体的体积和形状。
我们还可以假设碰撞过程中的时间短到可以忽略不计，从而使碰撞过程变为瞬时碰撞。
在瞬时碰撞中，碰撞物体在碰撞瞬间的速度可以看作是瞬时变化的，即碰撞瞬间的速度即为碰撞后的速度。
通过使用理想模型，我们可以轻松地分析和计算碰撞过程中的物理量，如速度、动量、动能等。
我们还可以通过改变模型中的各个参数，来研究和探索碰撞现象的特性。
高中物理碰撞问题的理想模型是一个非常有用的工具，它可以帮助我们理解和解决碰撞问题。
通过对理想模型的研究和运用，我们可以深入探索碰撞现象的本质和规律，并为实际应用提供有价值的指导。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
碰撞动力学模型综述摘要：本文目的是展现撞击分析的总体回顾和此领域内的一些重要方法。
1 撞击理论的模型含动能约束的多体系统的动态分析是已经完善的力学分支。
为了建立数学模型，物体都被假设成为刚性，且铰接处认为不含间隙。
撞击问题吸引着从天体物理学到机器人学等不同学科领域学者的注意力。
他们的共同目标是发展能够预测撞击物行为的理论。
本文主要集中于与刚体有关的撞击模型。
撞击理论的演化主要含有四个方面：经典力学、弹性应力波传播、接触力学和塑性变形。
不同的撞击理论适用于不同撞击特性（速度和材料性质）、假设和相关结论。
1）经典力学包含应用基本力学定理来预测撞击后的速度。
脉冲－动量定理构成这种方法的核心。
Goldsmith 在著作[1] 中用了一章的篇幅介绍了这种方法在几个问题中的应用。
Brach[2] 在模拟几个具有实用价值的问题时一律采用了此法。
这种方法具有简便和易于实现的特点。
实际问题中的能量损失是通过恢复系数实现的。
然而，此法不能预报物体之间的接触力和物体的应力。
2）弹性应力波传播撞击通过以撞击点为起点，应力波在撞击物之间的传播描述。
总能量中的一部分转化为振动，这样，经典理论就无法验证这种理论。
Goldsmith 把这种方法应用于如下问题中：两杆的纵向碰撞、质点和杆碰撞、粘弹性对碰撞的影响等。
Zukas 等[3] 也广泛地应用了这一方法。
波传播法用来研究细长杆的纵向碰撞问题。
近年文献[4,5] 使用符合运算软件给出两类典型问题：质点杆撞击和杆撞击地面问题的符合表达式解。
文献研究了[6]平面波在含空洞材料中的传播与考虑径向剪力和惯性力时波在圆柱形杆中传播具有模拟关系。
文献[7] 于不对称粘弹性杆在频域的波传播解，给出了理论和实验分析。
（3）接触力学两个物体撞击产生的接触应力是碰撞研究中的另一个研究热点。
常规接触力学主要与静态接触有关，尽管此法在涉及撞击时已经延伸至近似解。
对于球形接触面，Hertz 理论常被用于撞击关系的获得，从而计算撞击时间和最大变形。
此方法还被用于含塑性变形的情况。
通常假设材料有一个屈服点。
当Hertz 理论不适用时，也可使用屈服区模型。
撞击力变形关系常通过增加一个阻尼项来反映接触区域的能量耗散，从而允许把接触区作为一个弹簧－阻尼系统的模型。
4）塑性变形当塑性应变超过容许变形时，弹性波模型不再适用于分析撞击问题。
这类问题属于高速撞击问题，如发生爆炸和侵彻时。
Goldsmith[1] 提供了2 种方法：水动力学理论和塑性波传播理论。
水动力学理论中，假设物体密度发生变化，材料的状态方程于密度、温度的变化相关，同时利用了能量、动量和质量守恒定理。
而塑性波传播理论中，塑性区的材料认为是不可压缩的。
同样，与应变、应力、应变率有关的状态方程假设与温度无关。
Maugin[8]和Lubliner[9] 假设了脆性材料，荷载的加载是一个长时间的过程。
Zukas[3] 提供了分别使用应变相关和应变独立理论的塑性波传播理论。
文献[10] 考虑了梁与梁碰撞的问题，采用了质量－弹簧模型。
梁之间的能量能够很好地近似刚塑性解。
工程师常需要解答如下2 个基本问题：（1）撞击前后速度变化的关系。
（2）撞击点的碰撞力多少？当恢复系数给定时，脉冲－动量定理方法能够回答第一个问题。
但前面已经提到，此法不能确定撞击力，即解决不了第二个问题。
波传播理论可以得到撞击物内的应力，但动力分析中的积分比较复杂。
接触力学方法把接触区域作为弹簧－阻尼系统，使撞击问题作为连续时间动力问题处理。
塑性大应变理论在解决弹道学领域中的爆炸、侵彻时最有效。
但本文不涉及这方面中高速碰撞问题。
2 关于恢复系数的历史与现状根据Kozlov[11] ，关于撞击的首次研究可追溯道1668年，由Wallis, Wren 和Huygens 进行。
Netwon 后来于1687 年在他的著作《Mathematical Foundations of Natural Philosophy》中参考了Wren 的工作。
Huygens 的工作成果是推导出了动量守恒定理，从而成为撞击理论的基础。
这个理论的主要假设是认为物体是刚性的，因此撞击持续时间为0 。
单独使用动量守恒定理不足以确定撞击后撞击物和靶体各自的速度。
因此初等撞击理论考虑了两种极限情况：完全弹性碰撞和完全非弹性碰撞。
完全弹性碰撞指碰撞前后系统的动能守恒。
而完全非弹性碰撞指撞击后撞击物和靶体连为一体共同运动，从而组合体的速度可以通过定理守恒定理确定。
然而，通常的撞击既不是完全弹性碰撞，也不是完全非弹性碰撞。
初始动能的损失是通过恢复系数e 的引入（Netwon 提出这一观点）来实现的。
v1f -v2f=-e(v1i-v2i)其中下标1 和2 分别表示撞击物和靶体，而i 和f 分别表示初始（initial）状态和最终（final）状态。
e是个无量纲的系数，其值介于0 和1 之间，0 对应于完全弹性状态，1对应于完全非弹性状态。
恢复系数的一个对能量损失的综合概念，可包括不同的能量损失，如材料的粘弹性、接触面的塑性变形和两个物体之间的振动等。
恢复系数不是仅仅依赖于材料的一种固有属性，它取决于撞击物和靶体的材料、接触面的几何性质和撞击速度[1，p.262]。
近年来，文献[12]使用能量法研究细长杆与光滑界面碰撞的恢复系数，提出了影响恢复系数的2 个因素：碰撞倾斜解和反映杆几乎和材料性质的常数Hr。
使用恢复系数的优点在于数学表达上的简洁性。
姚文莉[13] 使用波传播理论分别提出质点与杆和梁碰撞的恢复系数的求法。
得到损失波动能量在质点－杆碰撞问题中所占比例的数学表达式。
Brach在文献[2]中广泛使用了恢复系数来解决撞击问题。
Brach还注意到恢复系数可取－1和0之间的数。
这表明在撞击过程中损失了一些能量，但并不产生速度方向的改变。
如侵彻物在穿过靶体时虽然降低了自身速度，但速度方向没有改变。
若干文献研究了撞击物初始速度与恢复系数的关系。
靶体是粘弹性材料时，提出如下观点[14-16]：1/5e(v)=1－f(v1/5)上式表明撞击速率越大，恢复系数就会变低。
也即撞击物高速碰撞时，损失的能量更多式（2）仅考虑粘弹性材料。
现实中，还有其他的因素需要考虑。
高速碰撞时，弹性波传播时的耗散及塑性变形消耗的能量需要考虑。
而低速碰撞时的粘性力和重力显得更加重要。
文献[17] 中利用恢复系数讨论了粘弹性地基上的撞击响应问题。
3 接触力－变形模型关于撞击力初级理论的上述综述基于完全刚体的简化假设。
撞击物的实际情形是复杂的，并且撞击持续时间决对大于0。
更为接近实际的模型是采用连续时间动态模型。
这个方法的成功之处在于基于完善的数学模型。
通常，接触力－变形关系如下：F=F c( δ)+v F( δ, d δ/d p t()+δF, d δ/dt)F c是接触力的弹性部分，F v 是粘弹性阻尼部分，F p是由塑性变形导致的耗散部分。
以下主要介绍接触力的弹性部分。
其中1882年Hert关于半无限固体的弹性接触工作具有重大意义。
Johnson[18]对此理论做了很好的介绍，并于附录中列举了相关公式。
Hertz 理论指出了应力在接触区的分布，也给出计算法向应力和剪切应力在撞击体内的分布。
一个很常用的结论是球体－球体接触时的接触力－变形关系[18] ：F=Kδ3/2其中F 是撞击物和靶体之间压缩时的法向力，δ是两个球体之间的缩进，也即两个表面之间总的变形，K 是取决于球体半径和材料弹性常数的常数。
4 近年来的进展：（1）柔性撞击用子结构方法研究了刚性小球和均匀柔性杆的纵向碰撞及和均匀柔性梁的横向碰撞问题，导出了用模态坐标表示的动力学方程。
（2）直接模态叠加法研究弹性撞击问题邢誉峰等利用DMSM 策略，讨论了等截面杆、梁的碰撞问题[19-26]。
文献[26]指出：这种方法可以得到结构弹性碰撞问题的解析解；这种方法不但可以用来分析平动结构的碰撞问题[19-25] ，还可以用来分析机构的各种弹性锁定问题[22]；不但可以用来分析结构的点碰撞问题[19-20] ，对结构的线、面接触和碰撞等问题同样有效[23] 。
对于梁碰撞问题，文献[24] 进行了如下研究：考虑线弹性接触变形的前提下,分别对质点、杆与简支Euler-Bernoulli 梁的垂直正撞问题进行了研究。
文献[25] 基于不同梁理论：Euler 梁、Timoshenko 梁和翘曲理论，比较了结构遭受冲击的动态响应。
文献中，如果用一个假想的弹簧来模拟两个结构相碰处的接触刚度，并通过该弹簧把撞击体和靶体联系成一个组合振动体系，就可把结构碰撞分析转化为常规的结构振动响应分析问题，即是该组合振动体系在其撞击部分具有给定初始速度模式下的振动响应问题。
因此可以方便地直接使用常规的振动模态叠加法或时间积分法来求解撞击问题。
文献具体报道了利用解析模态和有限元离散模态求解质点－弹性杆的撞击力变化过程，并讨论了各种因素以及有限元建模对结果的影响。
3）纤维复合板纤维复合板复合板受到低速撞击问题已被许多学者研究过。
Sun和Chattopadhyay[27] 研究了一个四边简支各向同性板受到中心撞击的情形，并考虑了横向剪切变形。
Dobyns[28]研究了受均布矩形荷载时的撞击情形。
A.Carvalho 和C Guedes Soares[29]也研究了板的撞击响应，对位移、转角采用Fourier 级数展开，数值积分用Nemark 方法，并与拉普拉斯解进行了比较。
4）有限元方面的进展文献[30] 较早使用有限元方法研究了接触/撞击问题。
文献[31]使用辛方法研究了非线性撞击问题。
Jerome M. Solberg, Panayiotis Papadopoulos[3 2]基于非线性力学有限元原理，使用数值方法研究了接触/撞击问题。
对于无摩擦问题，建立数值微分方程。
在接触面上损失了一部分能量，以稳定接触面的动能场。
数值解采用了Nemark 积分法，较好地模拟了接触/撞击过程。
文献[33] 依据波传播理论提出一种新的数值算法：含有模态综合的有限元计算法，并与柔性杆受轴向撞击的经典St. Venant 解进行了比较。
台湾学者R.-F. FUNG AND J.-H. SUN 和J.-W. WU [34]研究了研究了滑动曲柄机构在撞击下的轨迹控制。
Khulief and Shabana[35]通过GMB 途径来研究多体系统的撞击问题，同时发展了CFM 方法来研究多体系统撞击问题。
除了上述研究，近年来许多学者对不等截面杆及受载梁的自由振动进行了大量研究。
Q.S. LI 等对等截面杆、不等截面杆含有集中质量－弹簧耦合系统进行了大量研究[36-47]。
M. Gürg?ze 针对两个固支－自由纵向振动杆，端部带有质量块，由两弹簧－质量系统耦合文献，还讨论了梁含有阻尼器的自由振动[48] 。