最新高中数学 2.2.2等差数列的前n项和课件 苏教版必修5
目 链 接
名师点评：a1，d，n 称为等差数列的三个基本量，an 和 Sn 都可
以用这三个基本量来表示，五个量 a1，d，n，an，Sn 中可知三求二，
一般通过通项公式和前 n 项和公式联立方程(组)求解，在求解过程中
要注意整体思想的运用．
►变式迁移
1．在等差数列{an}中：
(1)已知 a6＝10，S5＝5，求 a8 和 S10；
公差 d 已知，则此数列完全确定，故等差数列中不少问题都可转化为
求基本元素 a1 和 d 的问题．
栏 目
(2)熟悉并掌握性质，往往能找到简捷明快、优美灵活的解题技
链 接
巧．
①当 a1＞0，d＜0 时，由aamm≥＋1≤0，0 ⇒Sm 为最大值； ②当 a1＜0，d＞0 时，由aamm≤＋1≥0，0 ⇒Sm 为最小值；
③Sm＝Sm＋1⇔am＋1＝0. (3)要灵活地处理求和问题．
对于有的问题，如果利用等差数列前 n 项和公式，问题完全可
以得解，但是如果根据等差数列有关性质，灵活地加以处理，不使用 栏
目
前 n 项和求和公式，反而使问题解答得更加简单、快捷，对于这类
链 接
问题也要引起注意，以便提高我们解题质量和效果．如已知等差数列
∴d＝－1.
(2)由已知，得 S8＝8（a1＋2 a8）＝8（4＋2 a8），解得 a8＝39，
又∵a8＝4＋(8－1)d＝39，∴d＝5.
an＝a1＋（n－1）d， a1＋2（n－1）＝11，
(3)由Sn＝na1＋n（n2－1）d，得na1＋n（n2－1）×2＝35，
栏
解方程组得na1＝＝53，或na1＝＝7－，1.
(2)已知 a3＋a15＝40，求 S17.
解析：(1)S5＝5a1＋5×2 4d＝5，解得 a1＝－5，d＝3.
栏 目 链
a6＝a1＋5d＝10，
接
∴a8＝a6＋2d＝10＋2×3＝16，S10＝10a1＋10×2 9d＝10×(－5)
＋5×9×3＝85.
(2)S17＝17×（a21＋a17）＝17×（a23＋a15）＝17×2 40＝340.
a2＋a2n－2＝…＝2an.所以 S 偶＝a2＋a4＋…＋a2n－2＝n－2 1(a2＋a2n－2)＝
n－2 1×2an＝(n－1)an，S 奇＝a1＋a3＋…＋a2n－1＝12n(a1＋a2n－1)＝n2×2an
＝nan，所以SS偶奇＝（n－na1n）an＝n－n 1.
注意：(1)熟悉解题基本方法．在等差数列中，涉及 5 个元素 a1， d，n，an，Sn，其中 a1，d 称为基本元素．因为等差数列的首项 a1，
做简要证明：
①若等差数列的项数为 2n，则 S 偶－S 奇＝a2＋a4＋…＋a2n－a1－
a3－…－a2n－1＝(a2－a1)＋(a4－a3)＋…＋(a2n－a2n－1)＝d＋d＋d＋…＋
d＝nd.SS偶奇＝n2n2（（aa1＋2＋aa2n2－n）1）＝22aan＋n 1＝aan＋n 1.
栏
目
链
②若等差数列的项数为 2n－1，由等差数列的性质：a1＋a2n－1＝ 接
{an}中，a2＋a5＝19，S5＝40，求 a10.因为 S5＝5a3＝40.则 a3＝8.a2＋ a5＝a3－d＋a3＋2d＝2a3＋d＝16＋d＝19，得 d＝3.∴a10＝a3＋7d＝8 ＋3×7＝29.此解法比常规解法优越得多．
典例解析
栏 目 链
接
题型1 与等差数列Sn有关的基本量的计算
题型2 等差数列前n项和性质的应用
例 2 (1)等差数列{an}的前 m 项和为 30，前 2m 项和为 100，求
数列{an}的前 3m 项的和 S3m.
栏
(2)两个等差数列{an}，{bn}的前
仍然是等差数列．
栏
(2)若等差数列的项数为
2n(n∈N*)，则
S2n＝n(an＋an＋1)(an，an＋
目 链
接
1 为中间两项)，且 S 偶－S 奇＝nd，SS奇偶＝aan＋n1；若项数为 2n－1，则 S2n
－1＝(2n－1)an(an 是中间项)，且 S 奇－S 偶＝an，SS奇偶＝n－n 1.下面对它们
若 d＝0，则 Sn＝na1.
数列{an}为等差数列的充要条件是：数列{an}前 n 项和可以写成 栏
目
Sn＝an2＋bn 的形式(其中 a，b 为常数)且公差为 2a.
链 接
知识点2 等差数列前n项和公式的性质
(1)设 Sn 是等差数列{an}的前 n 项和，则 Sn，S2n－Sn，S3n－S2n
②式可以改写成：Sn＝d2n2＋a1－d2n，当
d≠0
时，Sn
是关于
n
的二
栏 目 链
接
次函数，且不含有常数项，所以可以借助二次函数的有关性质(如单调
性、极值性等)来处理等差数列前 n 项和 Sn 的有关问题，它的图象是 抛物线 y＝d2x2＋2a12－dx 上横坐标为正整数的一群孤立的点．
2．2.2 等差数列的前n项和
情景导入
栏 目
链
接
数学史上有一颗光芒四射的巨星，他与阿基米德、 牛顿齐名，被称为历史上最伟大的三位数学家之 一，他就是18世纪德国著名的数学家——高斯．
高斯在上小学时，就能很快地算出1＋2＋3＋… ＋100的结果．高斯是这样算出：1＋2＋3＋…99 ＋100＝(1＋100)＋(2＋99)＋(3＋98)＋…＋(50＋ 51)＝101×50＝5 050.他的这种算法，就是等差 数列求和的方法．
例 在等差数列{an}中．
(1)a1＝56，an＝－32，Sn＝－5，求 n 和 d；
栏
(2)a1＝4，S8＝172，求 a8 和 d；
目 链
接
(3)已知 d＝2，an＝11，Sn＝35，求 a1 和 n.
解析：(1)由题意，得 Sn＝n（a12＋an）＝n562－23＝－5，
解得 n＝15. 又 a15＝56＋(15－1)d＝－23，
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栏 目
链
接
1．掌握等差数列的前n项和公式以及推导该公式的
数学思想方法，并能运用公式解决简单的问题．
栏
2．掌握与前n项和有关的等差数列的主要性质，并
目 链
能熟练运用其性质解决一些实际问题．
接
要点导航 栏 目 链 接
知识点1 等差数列的前n项和的公式
Sn＝n（a12＋an），①或 Sn＝na1＋n（n2－1）×d，②
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苏教版数学高二-必修五课件 等差数列的前n项和(一)
a6＝a1＋5d＝10，
∴a8＝a6＋2d＝10＋2×3＝16， S10＝10a1＋102×9d＝10×(－5)＋5×9×3＝85.
解析答案
(2)已知a3＋a15＝40，求S17. 解 S17＝17×a21＋a17＝17×a23＋a15＝17×2 40＝340.
解析答案
题型二 等差数列前n项和性质的应用 例2 (1)设Sn是等差数列{an}的前n项和，已知a2＝3，a6＝11，则S7 ＝ 49 . 解析 S7＝72(a1＋a7)＝72(a2＋a6)＝72(3＋11)＝49.
反思与感悟
解析答案
跟踪训练3 植树节期间，某班20名同学在一段直线公路一侧植树，每人植 树一棵，相邻两棵树相距10米，开始时需将树苗集中放置在某一棵树坑旁 边，使每位同学从各自树坑出发前来领取树苗往返所走的路程总和最小， 此最小值为2 000 米. 解析 假设20位同学是1号到20号依次排列，使每位同学从各自树坑出发 前来领取树苗往返所走的路程总和最小，则树苗需放在第10或第11号树坑 旁，此时两侧的同学所走的路程都组成以20为首项，20为公差的等差数 列，故所有同学往返的总路程为 S＝9×20＋9×2 8×20＋10×20＋102×9×20＝2 000 米.
思考 等差数列{an}的前m项和为30，前2m项和为100，则它的前3m项 和是 210.
解析 设{an}的前3m项和是S， Sm，S2m－Sm，S3m－S2m分别为30,70，S－100. 由性质知30,70，S－100成等差数列. ∴2×70＝30＋(S－100)，∴S＝210.
答案
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题型探究
题型一 与等差数列Sn有关的基本量的计算 例1 在等差数列{an}中. (1)a1＝56，an＝－32，Sn＝－5，求 n 和 d. 解 由题意得，Sn＝na12＋an＝n65－ 2 32＝－5，解得 n＝15. 又 a15＝56＋(15－1)d＝－32， ∴d＝－16. ∴n＝15，d＝－16.
∴a8＝a6＋2d＝10＋2×3＝16， S10＝10a1＋102×9d＝10×(－5)＋5×9×3＝85.
解析答案
(2)已知a3＋a15＝40，求S17. 解 S17＝17×a21＋a17＝17×a23＋a15＝17×2 40＝340.
解析答案
题型二 等差数列前n项和性质的应用 例2 (1)设Sn是等差数列{an}的前n项和，已知a2＝3，a6＝11，则S7 ＝ 49 . 解析 S7＝72(a1＋a7)＝72(a2＋a6)＝72(3＋11)＝49.
反思与感悟
解析答案
跟踪训练3 植树节期间，某班20名同学在一段直线公路一侧植树，每人植 树一棵，相邻两棵树相距10米，开始时需将树苗集中放置在某一棵树坑旁 边，使每位同学从各自树坑出发前来领取树苗往返所走的路程总和最小， 此最小值为2 000 米. 解析 假设20位同学是1号到20号依次排列，使每位同学从各自树坑出发 前来领取树苗往返所走的路程总和最小，则树苗需放在第10或第11号树坑 旁，此时两侧的同学所走的路程都组成以20为首项，20为公差的等差数 列，故所有同学往返的总路程为 S＝9×20＋9×2 8×20＋10×20＋102×9×20＝2 000 米.
思考 等差数列{an}的前m项和为30，前2m项和为100，则它的前3m项 和是 210.
解析 设{an}的前3m项和是S， Sm，S2m－Sm，S3m－S2m分别为30,70，S－100. 由性质知30,70，S－100成等差数列. ∴2×70＝30＋(S－100)，∴S＝210.
答案
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题型探究
题型一 与等差数列Sn有关的基本量的计算 例1 在等差数列{an}中. (1)a1＝56，an＝－32，Sn＝－5，求 n 和 d. 解 由题意得，Sn＝na12＋an＝n65－ 2 32＝－5，解得 n＝15. 又 a15＝56＋(15－1)d＝－32， ∴d＝－16. ∴n＝15，d＝－16.
高中数学第2章数列2.2.3等差数列的前n项和课件苏教版必修5
下列数中既是三角形数又是正方形数的序号是
.
①289 ②1 024
③1 225④1 378
第十九页，共28页。
一
二
三
答案:③
解析(jiě xī):正方形数即为n2(n∈N*),又三角形数满足a1=1,a2=3,anan-1=n,用累加法可得an=1+2+3+…+n=(+1) ,经验证可得1 225既是
2
5
第九页，共28页。
一
二
三
名师点津
1.与等差数列前n项和公式有关(yǒuguān)的运算.
类型
基本量
方法
思想
注意
“知三求二型”
a1,d,n,an,Sn
运用等差数列的通项公式和前 n 项和的两个公式建
立方程组,通过解方程组求出未知基本量
方程的思想
①利用等差数列的性质简化计算;
②注意已知与未知联系;
解得:n≥10(n≤-13 舍去).
故到 2021 年年底可以将所有沙漠改造完.
第十八页，共28页。
一
二
三
迁移(qiānyí)与应用
1.古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数,比如:
他们研究过图1中的1,3,6,10,…由于这些数能够表示成三角形,将其称
为三角形数;类似地,称图2中的1,4,9,16,…这样(zhèyàng)的数为正方形数.
S 偶=
-1
∴
4
3
2
=(n-1)·an=33,
= .
∴n=4,an=11.
∴数列的中间项为 11,项数为 7.
第十二页，共28页。
一
二
三
迁移与应用
.
①289 ②1 024
③1 225④1 378
第十九页，共28页。
一
二
三
答案:③
解析(jiě xī):正方形数即为n2(n∈N*),又三角形数满足a1=1,a2=3,anan-1=n,用累加法可得an=1+2+3+…+n=(+1) ,经验证可得1 225既是
2
5
第九页，共28页。
一
二
三
名师点津
1.与等差数列前n项和公式有关(yǒuguān)的运算.
类型
基本量
方法
思想
注意
“知三求二型”
a1,d,n,an,Sn
运用等差数列的通项公式和前 n 项和的两个公式建
立方程组,通过解方程组求出未知基本量
方程的思想
①利用等差数列的性质简化计算;
②注意已知与未知联系;
解得:n≥10(n≤-13 舍去).
故到 2021 年年底可以将所有沙漠改造完.
第十八页，共28页。
一
二
三
迁移(qiānyí)与应用
1.古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数,比如:
他们研究过图1中的1,3,6,10,…由于这些数能够表示成三角形,将其称
为三角形数;类似地,称图2中的1,4,9,16,…这样(zhèyàng)的数为正方形数.
S 偶=
-1
∴
4
3
2
=(n-1)·an=33,
= .
∴n=4,an=11.
∴数列的中间项为 11,项数为 7.
第十二页，共28页。
一
二
三
迁移与应用
高中数学第二章数列2.2.3等差数列的前n项和课件苏教版必修5
第二十八页，共40页。
【自主解答】 (1)法一 在等差数列中，Sm，S2m－Sm，S3m－S2m 成等差数列， ∴30,70，S3m－100 成等差数列， ∴2×70＝30＋(S3m－100)， ∴S3m＝210. 法二 在等差数列中，Smm，S22mm，S33mm成等差数列， ∴22Sm2m＝Smm＋S33mm， 即 S3m＝3(S2m－Sm)＝3×(100－30)＝210. (2)ab55＝99ab11＋ ＋ab99＝TS99＝6152.
【解析】 设 a3＋a6＋a9＝x，则 45,39，x 成等差数列，∴45＋x＝39×2，∴x ＝33.
【答案】 33
第七页，共40页。
2．已知等差数列{an}的前 n 项和为 Sn＝n2－10n，则当 n＝________时，Sn 最 小．
【解析】 Sn＝n2－10n＝(n－5)2－25，∴当 n＝5 时，Sn 最小，为－25. 【答案】 5
第二十五页，共40页。
探究 2 设 Sn，Tn 分别为两个等差数列{an}和{bn}的前 n 项和，那么abnn与TS22nn－－11有 怎样的关系？请证明．
第二十六页，共40页。
【提示】 abnn＝TS22nn－－11. 证明：∵S2n－1＝12(2n－1)(a1＋a2n－1) ＝2n－ 2 1·2an＝(2n－1)an； 同理 T2n－1＝(2n－1)bn； ∴TS22nn－－11＝22nn－ －11abnn＝abnn. 即abnn＝TS22nn－－11.
第十六页，共40页。
(3)法一 设等差数列的首项为 a1，公差为 d，则 S5＝5a1＋5×25－1d＝24， 得 5a1＋10d＝24，即 a1＋2d＝254，
∴a2＋a4＝a1＋d＋a1＋3d＝2(a1＋2d)＝2×254＝458. 法二 由 S5＝5a12＋a5＝24，得 a1＋a5＝458. ∴a2＋a4＝a1＋a5＝458.
【自主解答】 (1)法一 在等差数列中，Sm，S2m－Sm，S3m－S2m 成等差数列， ∴30,70，S3m－100 成等差数列， ∴2×70＝30＋(S3m－100)， ∴S3m＝210. 法二 在等差数列中，Smm，S22mm，S33mm成等差数列， ∴22Sm2m＝Smm＋S33mm， 即 S3m＝3(S2m－Sm)＝3×(100－30)＝210. (2)ab55＝99ab11＋ ＋ab99＝TS99＝6152.
【解析】 设 a3＋a6＋a9＝x，则 45,39，x 成等差数列，∴45＋x＝39×2，∴x ＝33.
【答案】 33
第七页，共40页。
2．已知等差数列{an}的前 n 项和为 Sn＝n2－10n，则当 n＝________时，Sn 最 小．
【解析】 Sn＝n2－10n＝(n－5)2－25，∴当 n＝5 时，Sn 最小，为－25. 【答案】 5
第二十五页，共40页。
探究 2 设 Sn，Tn 分别为两个等差数列{an}和{bn}的前 n 项和，那么abnn与TS22nn－－11有 怎样的关系？请证明．
第二十六页，共40页。
【提示】 abnn＝TS22nn－－11. 证明：∵S2n－1＝12(2n－1)(a1＋a2n－1) ＝2n－ 2 1·2an＝(2n－1)an； 同理 T2n－1＝(2n－1)bn； ∴TS22nn－－11＝22nn－ －11abnn＝abnn. 即abnn＝TS22nn－－11.
第十六页，共40页。
(3)法一 设等差数列的首项为 a1，公差为 d，则 S5＝5a1＋5×25－1d＝24， 得 5a1＋10d＝24，即 a1＋2d＝254，
∴a2＋a4＝a1＋d＋a1＋3d＝2(a1＋2d)＝2×254＝458. 法二 由 S5＝5a12＋a5＝24，得 a1＋a5＝458. ∴a2＋a4＝a1＋a5＝458.
最新苏教版必修5高二数学2.2.3《等差数列的前n项和》ppt课件(一)
解 由已知，得a1＋2 32×n＝－125，
①
a1＋n－1×12＝32.
②
由②得 a1＝－12n＋2，
明目标、知重点
代入①后化简，得n2－7n－30＝0. 所以n＝10或－3(舍去)，从而a1＝－3.
明目标、知重点
探究点二 等差数列前n项和的性质
思考1 设{an}是等差数列，公差为d，Sn是前n项和，那么 Sm，S2m－Sm，S3m－S2m也成等差数列吗？如果是，它们的 公差是多少？ 答 由Sm＝a1＋a2＋…＋am，S2m－Sm＝am＋1＋am＋2＋…＋ a2m＝a1＋md＋a2＋md＋…＋am＋md＝Sm＋m2d. 同理S3m－S2m＝a2m＋1＋a2m＋2＋…＋a3m＝S2m－Sm＋m2d. 所以Sm，S2m－Sm，S3m－S2m也成等差数列，并且公差为m2d.
明目标、知重点
探究点一 等差数列前n项和公式
思考1 高斯是用怎样的方法快速求出1＋2＋3＋…＋100＝？ 答 方法是(1＋100)＋(2＋99)＋…＋(50＋51)＝101×50＝ 5 050.
明目标、知重点
思考2 如图，某仓库堆放的一堆钢管，最上面 一层有4根钢管，下面每层都比上面一层多一 根，最下面一层有9根，怎样计算这堆钢管的总数？ 答 把同样多的钢管倒放在一起，如下图，先算出每层的 根数——每层都是13根；再计算层数——共6层；所以共 (13×6)/2＝39根.
明目标、知重点
思考4 如何用“倒序相加法”求首项为a1，公差为d的等差 数列{an}的前n项和Sn呢？ 答 Sn＝a1＋a2＋a3＋…＋an－1＋an ＝a1＋(a1＋d)＋(a1＋2d)＋…＋[a1＋(n－2)d]＋[a1＋(n－1)d]； Sn＝an＋an－1＋an－2＋…＋a2＋a1 ＝an＋(an－d)＋(an－2d)＋…＋[an－(n－2)d]＋[an－(n－1)d]. 两式相加，得2Sn＝(a1＋an)×n，
高中数学必修5《等差数列的前n项和》PPT
等差数列的前n项和
1、等差数列的定义： a -a =d n+1 an+1-an=d n
2、等差数列的通项公式： an a1 n 1 d
3、等差数列的性质:
am an m n d
am an ap aq m n p q
S 1 2 3 100
n: 1, 2,3, ,100,
前100项的和
na1 1 2 n 1 d
nn 1
na1 2ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱd
公式2：
Sn Sn
=
n 2
a1
+an
na1
n(n 1) 2
d
Sn
d 2
n2
a1
d 2
n
与
f
x ax2 bx c
进行比较
（1） 观察 Sn 与二次函数有什么关系？
（2） 如果一个数列an的前n项和为
Sn pn2 qn r
得：
S7
7 (15000 18000) 2
115500
答：孙杨7天共游了115500m。
归纳反思
1.（1）体会倒序相12加3 的100方? 法，掌握等差数列的 两个求和公式
（2）类比梯形面积公式记忆等差数列的前n项 和公式
（3）应用等差数列的前n项和来解决实际问题
归纳反思
2.从特殊到一般（问题探究方法） 问题1: 1 2 3 100 ? 问题2: Sn 1 2 3 n ? 问题3: Sn a1 a2 ... an1 an
方
n n 1
Sn 2
法
等差数列 an的前n项和
Sn a1 a2 ... an1 an
倒
↓↓ ↓↓
序
Sn an an1 ... a2 a1
1、等差数列的定义： a -a =d n+1 an+1-an=d n
2、等差数列的通项公式： an a1 n 1 d
3、等差数列的性质:
am an m n d
am an ap aq m n p q
S 1 2 3 100
n: 1, 2,3, ,100,
前100项的和
na1 1 2 n 1 d
nn 1
na1 2ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱd
公式2：
Sn Sn
=
n 2
a1
+an
na1
n(n 1) 2
d
Sn
d 2
n2
a1
d 2
n
与
f
x ax2 bx c
进行比较
（1） 观察 Sn 与二次函数有什么关系？
（2） 如果一个数列an的前n项和为
Sn pn2 qn r
得：
S7
7 (15000 18000) 2
115500
答：孙杨7天共游了115500m。
归纳反思
1.（1）体会倒序相12加3 的100方? 法，掌握等差数列的 两个求和公式
（2）类比梯形面积公式记忆等差数列的前n项 和公式
（3）应用等差数列的前n项和来解决实际问题
归纳反思
2.从特殊到一般（问题探究方法） 问题1: 1 2 3 100 ? 问题2: Sn 1 2 3 n ? 问题3: Sn a1 a2 ... an1 an
方
n n 1
Sn 2
法
等差数列 an的前n项和
Sn a1 a2 ... an1 an
倒
↓↓ ↓↓
序
Sn an an1 ... a2 a1
苏教版高中数学必修五课件2.2.3《等差数列的前n项和(2)》
高中数学课件
灿若寒星整理制作
等差数列的 前n项的和
复习：
1. 等差数列前n项和公式
Sn
n(a1 2
an )
(1)
n(n 1)
Sn na1 2 d
(2)
2.等差数列{an}中，a5+a16=30,则 S20 等于
例1 一个等差数列的前12项之和为354，前12项 中偶数项和与奇数项和之比为32：27，求公差。
' n
7n 2
a7
n 3 ，求 b7
。
注:利用等差数列的性质可以得出
an A2n1 bn B2n1
练习：(07 湖北)已知两个等差数列{an}和{bn}
An 7n 45
的前 n 项和分别为 An 和 Bn，且 Bn
n3 ，
an
则 使 得 bn 为 整 数 的 正 整 数 n 的 个 数 是
解： SS奇偶
S奇
S偶 32
27
354
S 偶 S奇
192 162
由 S偶 S奇 6d d 5
解 ： 设 首 项 为 a1 ， 公 差 为 d 则
Байду номын сангаас
12a1 6(a1 d )
1211
2 65
2
d
354 2d 32
例 3 求 证 ： 若 数 列 {an} 的 前 n 项 之 和 Sn=an2+bn(a,b 为常数)，则这个数列成等差 数列。反之亦真。
引出公式：
an
SS1n
Sn1
(n=1) (n 2)
例 4 等差数列{an}的前 m 项和为 30，前 2m 项和为 100，则它的前 3m 项和为
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等差数列的 前n项的和
复习：
1. 等差数列前n项和公式
Sn
n(a1 2
an )
(1)
n(n 1)
Sn na1 2 d
(2)
2.等差数列{an}中，a5+a16=30,则 S20 等于
例1 一个等差数列的前12项之和为354，前12项 中偶数项和与奇数项和之比为32：27，求公差。
' n
7n 2
a7
n 3 ，求 b7
。
注:利用等差数列的性质可以得出
an A2n1 bn B2n1
练习：(07 湖北)已知两个等差数列{an}和{bn}
An 7n 45
的前 n 项和分别为 An 和 Bn，且 Bn
n3 ，
an
则 使 得 bn 为 整 数 的 正 整 数 n 的 个 数 是
解： SS奇偶
S奇
S偶 32
27
354
S 偶 S奇
192 162
由 S偶 S奇 6d d 5
解 ： 设 首 项 为 a1 ， 公 差 为 d 则
Байду номын сангаас
12a1 6(a1 d )
1211
2 65
2
d
354 2d 32
例 3 求 证 ： 若 数 列 {an} 的 前 n 项 之 和 Sn=an2+bn(a,b 为常数)，则这个数列成等差 数列。反之亦真。
引出公式：
an
SS1n
Sn1
(n=1) (n 2)
例 4 等差数列{an}的前 m 项和为 30，前 2m 项和为 100，则它的前 3m 项和为
高中数学 2.2.3 等差数列的前n项和配套课件 苏教版必
学
当
方 案
式的共同点是需知 a1 和 n，不同点是前者还需知 an，后面还
堂 双
设
基
计 需知 d，解题时需根据已知条件决定选用哪个公式．
达 标
课
前 自
教学时，可以用熟知的梯形面积公式(给出图形)帮助学生 课
主
导 理解和记忆．
时 作
学
业
课 堂 互 动 探 究
教 师 备 课 资 源
菜单
教
●教学流程
学
教
重点：等差数列前 n 项和公式的理解、推导及应用，等 当
方
堂
案 差数列前 n 项和的常用性质及应用．
双
设
基
计
难点：等差数列前 n 项和公式推导思路的获得，灵活应
达 标
课
前 自
用等差数列前 n 项公式解决一些简单的有关问题，体会等差
课
主
时
导 学
数列的前 n 项和与二次函数之间的联系．
作 业
课 堂 互 动 探 究
易 误
析
辨
的思路和算法比较巧妙，蕴涵有求等差数列前 n 项和一般的 析
教
学 方
规律性．教学时，应给学生提供充裕的时间和空间，让学生
当 堂
案
双
设 计
自己去观察、探索发现这种数列内在的规律．
基 达
标
课
前
自
课
主
时
导
作
学
业
课 堂 互 动 探 究
教 师 备 课 资 源
菜单
SJ ·数学 必修5
教
学 教 法
易
2．在推导等差数列前 n 项和公式时，由于已在前面做好
第二节等差数列及其前n项和课件
若a1＝－2，a2＋a6＝2，则S10＝
.
解析：设等差数列{an}的公差为d.因为a1＝－2，a2＋ a6＝2，所以－2＋d＋（－2）＋5d＝2，解得d＝1.由等 差数列的前n项和公式，得S10＝10×（－2）＋ 10×（210－1）×1＝25.
答案：25
题组二 易错自纠
常见误区：①等差数列概念中的两个易误点，即同
1.已知数列{an}满足a1＝－23，an＋1＝－3a2na＋n－43（n∈N*）.
（1）证明：数列an＋1 1是等差数列；
（2）求{an}的通项公式.
（1）证明：因为an＋1＋1＝
－2an－3 3an＋4
＋1＝
an＋1 3an＋4
，
所以an＋11＋1＝3aann＋＋14＝3＋an＋1 1，所以an＋11＋1－an＋1 1＝
2.等差数列的有关公式
（1）通项公式：an＝a1＋（n－1）d；an＝am＋
（n－m）d.
（2）前n项和公式：Sn＝na1＋
n（n－1）d 2
＝
n（a1＋an） 2
.
3.等差数列的性质
已知数列{an}是等差数列，Sn是其前n项和.
（1）若m，n，p，q，k是正整数，且m＋n＝p＋q＝
2k，则am＋an＝ap＋aq＝2ak.
3，所以an＋1 1是首项为a1＋1 1＝3，公差为3的等差数列.
（2）解：由（1）得an＋1 1＝3n，所以an＝31n－1.
2.已知等差数列的前三项依次为a，4，3a，前n项和
为Sn，且Sk＝110. （1）求a及k的值；
（2）设数列{bn}的通项公式bn＝
Sn n
，证明：数列{bn}
是等差数列，并求其前n项和Tn.
高一数学必修5等差数列前n项和性质及应用2PPT课件
A.85 B.145 C.110 D.则它的前110项的和 为 －110 .
例4.两等差数列{an} 、{bn}的前n项和分
别是Sn和Tn,且 Sn 7n1
求a5 和 an
b5
bn
.
Tn 4n 27
a 5 6 4 an 14n 6 b 5 6 3 bn 8n 23
2: 若数列{an}的前ｎ项和Sn满足 Sn=an2+bn,试判断{an}是否是等差数列。
3、设等差数列{an}的前ｎ项和为Sn， 已知a3=12, S12>0, S13<0。 (1)求公差d的取值范围; (2)指出S1 , S2, … , S12中哪个值最大，
1、 设Sn=an2+bn, 则有： 9250 0265a4a5b8b。
Sn
d 2
n2
(a1
d )n的二次函数配方法求得最值时的n的取值； 2
②是当ad100时，Sn有最大值，并利用aann1 00求得n值；
当ad100时，Sn有最小值，并利用aann1 00求得n值.
高 一 数 学 必 修5等差 数列前 n项和 性质及 应用2P PT课件
高 一 数 学 必 修5等差 数列前 n项和 性质及 应用2P PT课件
解之得：
a b
2 9
，∴Sn=3n2+n。
2、是。
简单提示：利用公式： a an 1 S S1 nSn1
(n1) (n2)
3、（1）
274d，3（2）S6最大。
4. 已知数列{an}是正数数列，且
Sn1 8(an2)2(nN) (1)求证{an}是等差数列 ；
(2)若bn=1 2an-30， 则 数 列 {bn}的 前 n项 和 有 最 什 么 值 ， 并 求 该 最 值 ； （ 3） 求 数 列 {bn}的 前 n项 和 Tn
例4.两等差数列{an} 、{bn}的前n项和分
别是Sn和Tn,且 Sn 7n1
求a5 和 an
b5
bn
.
Tn 4n 27
a 5 6 4 an 14n 6 b 5 6 3 bn 8n 23
2: 若数列{an}的前ｎ项和Sn满足 Sn=an2+bn,试判断{an}是否是等差数列。
3、设等差数列{an}的前ｎ项和为Sn， 已知a3=12, S12>0, S13<0。 (1)求公差d的取值范围; (2)指出S1 , S2, … , S12中哪个值最大，
1、 设Sn=an2+bn, 则有： 9250 0265a4a5b8b。
Sn
d 2
n2
(a1
d )n的二次函数配方法求得最值时的n的取值； 2
②是当ad100时，Sn有最大值，并利用aann1 00求得n值；
当ad100时，Sn有最小值，并利用aann1 00求得n值.
高 一 数 学 必 修5等差 数列前 n项和 性质及 应用2P PT课件
高 一 数 学 必 修5等差 数列前 n项和 性质及 应用2P PT课件
解之得：
a b
2 9
，∴Sn=3n2+n。
2、是。
简单提示：利用公式： a an 1 S S1 nSn1
(n1) (n2)
3、（1）
274d，3（2）S6最大。
4. 已知数列{an}是正数数列，且
Sn1 8(an2)2(nN) (1)求证{an}是等差数列 ；
(2)若bn=1 2an-30， 则 数 列 {bn}的 前 n项 和 有 最 什 么 值 ， 并 求 该 最 值 ； （ 3） 求 数 列 {bn}的 前 n项 和 Tn
苏教版必修5高中数学2.2.3《等差数列的前n项和》ppt课件1
④ 紧跟老师的推导过程抓住老师的思路。老师在课堂上讲解某一结论时，一般有一个推导过程，如数学问题的来龙去脉、物理概念的抽象归纳、语 文课的分析等。感悟和理解推导过程是一个投入思维、感悟方法的过程，这有助于理解记忆结论，也有助于提高分析问题和运用知识的能力。
⑤ 搁置问题抓住老师的思路。碰到自己还没有完全理解老师所讲内容的时候，最好是做个记号，姑且先把这个问题放在一边，继续听老师讲后面的 内容，以免顾此失彼。来自：学习方法网
求n．
数学应用
例2
已知数列an 的前n项和Sn
3 n2 2
205 n， 2
1 求数列an的通项公式；
2 求数列 an 的前n项和．
巩固练习
1.Sn是等差数列an的前n项的和，若a5 24, S5 70,
则S10 _______
2. 等差数列an的前n项的和为Sn，已知a10 30, a20 50
课后作业
课本P44 练习-1，2，4，6．
编后语
老师上课都有一定的思路，抓住老师的思路就能取得良好的学习效果。在上一小节中已经提及听课中要跟随老师的思路，这里再进一步论述听课时如何 抓住老师的思路。
① 根据课堂提问抓住老师的思路。老师在讲课过程中往往会提出一些问题，有的要求回答，有的则是自问自答。一般来说，老师在课堂上提出的问 题都是学习中的关键，若能抓住老师提出的问题深入思考，就可以抓住老师的思路。
(1)已知d 3, an 20, Sn 65, 求a1及n;
(2)已知a11
1,
求S
；
(3)已知an 11 3n，求Sn .
分析：
（1）要综合利用等差数列的求和公式及通项公式
⑤ 搁置问题抓住老师的思路。碰到自己还没有完全理解老师所讲内容的时候，最好是做个记号，姑且先把这个问题放在一边，继续听老师讲后面的 内容，以免顾此失彼。来自：学习方法网
求n．
数学应用
例2
已知数列an 的前n项和Sn
3 n2 2
205 n， 2
1 求数列an的通项公式；
2 求数列 an 的前n项和．
巩固练习
1.Sn是等差数列an的前n项的和，若a5 24, S5 70,
则S10 _______
2. 等差数列an的前n项的和为Sn，已知a10 30, a20 50
课后作业
课本P44 练习-1，2，4，6．
编后语
老师上课都有一定的思路，抓住老师的思路就能取得良好的学习效果。在上一小节中已经提及听课中要跟随老师的思路，这里再进一步论述听课时如何 抓住老师的思路。
① 根据课堂提问抓住老师的思路。老师在讲课过程中往往会提出一些问题，有的要求回答，有的则是自问自答。一般来说，老师在课堂上提出的问 题都是学习中的关键，若能抓住老师提出的问题深入思考，就可以抓住老师的思路。
(1)已知d 3, an 20, Sn 65, 求a1及n;
(2)已知a11
1,
求S
；
(3)已知an 11 3n，求Sn .
分析：
（1）要综合利用等差数列的求和公式及通项公式