数列的概念与性质人教版高中数学

知识图谱

-数列的概念与表示-数列的通项公式-数列的单调性与最值-数列的前n项和数列的概念求数列中的项判断某项是否在数列中观察法求数列通项公式由各项间关系写出数列通项公式判断数列的单调性与最值通项形如二次函数的数列的单调性已知数列求数列的前n项和已知前n项和求通项公式第01讲_数列的概念与性质

错题回顾

数列的概念与表示

知识精讲

一. 数列的定义

按一定次序排列的一列数叫做数列；

数列中的每个数都叫这个数列的项，记作，在数列第一个位置的项叫第1项（或首项），在第二个位置的叫第2项，……，序号为的项叫第项（也叫通项）记作；

数列的一般形式：，，，……，，……简记作.

二. 通项公式的定义

如果数列的第项与之间的关系可以用一个公式表示，那么这个公式就叫这个数列的通项公式.

三. 数列的表示方法

1.列表法

数列可以由列表法表示：

项数：123456

项：456789上面每一个项数与这一项的对应关系可看成是一个项数集合到另一个数集的映射.从函数观点看，数列实质上是定义域为正整数集（或它的有限子集）的函数当自变量从1开始依次取值时对应的一系列函数值

通常用来代替.

2.图像法

数列可以用图像法表示，其图象是相应函数直线（或曲线）上的一群孤立的点；

上面数列可以用列表法表示如下图，

3. 解析法

解析法可分为通项公式和递推公式两种：

通项公式即为数列的解析式，在函数意义下，数列是某一定义域为正整数（或它的有限子集）的函数，即当自变量从小到大依次取值时对应的一列函数值，其图像是无限个或有限个孤立的点.由通项公式可以得到数列的任意一项.

递推公式是利用数列前后项之间的关系给出数列的构成规律，由递推公式和数列某一项的值，可以依次推出数列任意一项.

有些数列，虽然它给出的是递推公式，但可以根据递推，求出它的前几项，进而归纳出它的通项公式.

四. 数列分类

1. 按数列项数是有限还是无限分：有穷数列和无穷数列；

2. 按数列项与项之间的大小关系分：单调数列（递增数列、递减数列）和

常数列；

3. 按其他标准分类：

有界数列：存在正数，使；

摆动数列：的符号正负相间，如

周期数列：存在一个最小正数，使得对于，，为这个数列的最小正周期，

即

三点剖析

一. 注意事项

1. 与是不同的概念：表示数列，表示这个

数列中的第项，表示数列的通项公式．

2. 数列的项与它的项数是不同的概念：项数是指这个数在数列中的位置，

它是自变量的值；数列的项是指这个数列中的某一个确定的数，它是一个函数值；而数列的通项公式也就是相应函数的解析式．

3. 几个相同的数，由于它们的排列次序不同，构成的数列就不是同一个数

列，数列与数的集合显然有本质的区别.次序对于数列来说是至关重要的，这就是数列的有序性．

4. 已知数列的通项公式，或已知数列的某一项和递推关系，则此数列中的

每一项都被唯一确定了．

二. 方法点拨

判断具体数是否是数列中的项，即用代替，解出，若，则即为中的第项，若解出的，则不是中的项.

题模精讲

题模一数列的概念

例1.1、

数列在平面直角坐标系中的图像是（）

A、一群孤立的点

B、一条线段

C、一条直线

D、一条线段或一条孤立弧

例1.2、

下列说法不正确的是（）

A、数列可以用图形来表示

B、数列的通项公式不唯一

C、数列的项不能相等

D、数列可以用一群孤立的点表示

例1.3、

下列哪些是有穷数列？哪些是无穷数列？哪些是递增数列？哪些是递减数列？哪些是常数列？（1）（2）（3）（4）

题模二求数列中的项

例2.1、

在数列中，等于（）

A、

B、

C、

D、

例2.2、

数列的通项公式为，则

____________.

例2.3、

数列满足，则等于（）

B、

A、

D、

C、

题模三判断某项是否在数列中

例3.1、

156是下列哪个数列中的一项（）

A、B、

C、D、

例3.2、

已知无穷数列判断与是否为该数列中的项，若是，应为第几项？

例3.3、

若数列前8项的值各异，且，对任意都成立，则下列数列可取遍前8项值的数列为（）

A、B、

C、D、

随堂练习

随练1.1、

下列说法正确的是（）

数列与数列是相A、数列可以表示为B、

同数列

D、数列可记作

C、

数列的第项为

随练1.2、

在有一定规律的数列0，3，8，15，24，，48，63，…中，的值是（）A、30B、35

C、36

D、42

随练1.3、

已知数列满足：则________；

=____________

随练1.4、

已知函数，若，，其中，则____-__________.

随练1.5、

数列{a n}中，已知a n=（n∈N*）．

（1）写出a10，a；

（2）79是否是数列中的项？若是，是第几项？

数列的通项公式

知识精讲

一. 通项公式的求法

如果数列的第项与之间的关系可以用一个公式表示，那么这个公式就叫这个数列的通项公式.

已知数列的前几项，观察其中规律，可以得出数列的通项公式，称为观察法；

已知数列的递推关系或者各项之间关系，可以由推出，依次递推，直至推出.

例如，数列：的通项公式是；

数列：的通项公式是.

三点剖析

一. 注意事项：

1. 通项公式即为数列的解析式，求通项公式即为求数列的项数与项的对应

关系的解析式.

2. 同一个数列的通项公式的形式不一定唯一.例如，

；

3. 不是每个数列都有通项公式.例如，

题模精讲

题模一观察法求数列通项公式

例1.1、

求下列数列的通项公式（1）；（2）；（3）；（4）

例1.2、

根据下列5个图形及相应点的个数的变化规律，试猜测第n个图形中有____个点．

例1.3、

观察下列等式：

i=n2+n，

i2=n3+n2+n，

i3=n4+n3+n2，

i4=n5+n4+n3-n，

i5=n6+n5+n4-n2，

i6=n7+n6+n5-n3+n，

…

i k=a k+1n k+2+a k n k+a k-1n k-1+a k-2n k-2+…+a1n+a0，

可以推测，当k≥2（k∈N*）时，a k+1=，a k=，a k-1=____a k-2=____．题模二由各项间关系写出数列通项公式

例2.1、

若数列中，，且（是正整数），则数列的通项公式时____．例2.2、

已知数列{a n}中，a1=1，对所有的n≥2，n∈N*都有a1?a2?a3…a n=n2，则数列{a n}的通项公式为a n=____．

随堂练习

随练2.1、

数列，，，，……的一个通项公式是（）

A、B、

C、D、

随练2.2、

已知数列的前项，写出下面数列的一个通项公式：

（1）（2）

（3）（4）

随练2.3、

（1）根据下面的图形及相应的点数，在空格及括号中分别填上适当的图形和数，写出点数的通项公式．

（2）将全体正整数排成一个三角形数阵：

按照以上排列的规律，第行从左向右的第个数为__________．

随练2.4、

在数列{a n}中，a1=2，a n+1=a n+ln（1+），则a n=（）

A、2+lnn

B、2+（n﹣1）lnn

C、2+nlnn

D、1+n+lnn

随练2.5、

数列满足，则_______．

数列的单调性与最值

知识精讲

一. 数列的单调性

按数列项与项之间的大小关系分，可以分为单调数列（递增数列、递减数列）、常数列和摆动数列.

其中对于，递增数列每一项都大于前一项；

递减数列每一项都小于于前一项；

常数列有，即恒等于一个常数；

摆动数列符号相间，大小没有规律.

二. 形如的数列的单调性

如果数列的解析式为二次函数的形式，，，，

；

则；

当时，若，则数列为递增数列，第一项为数列的最小值；若，则数列为递减数列，第一项为数列的最大值；

当时，对于，当为距离最近的正整数时，即

时，若，为数列的最小值；若，则为数列的最大值.

三点剖析

一. 方法点拨

判断数列的单调性可以通过比较数列相邻两项，根据通项公式的特征，可以选择相减或者相除：

对于，如果或者，则数列为递增数列；

对于，如果或者，则数列为递减数列.题模精讲

题模一判断数列的单调性与最值

例1.1、

在数列中，．

（1）求证：数列先递增，后递减；

（2）求数列的最大值．

例1.2、

关于问题：“函数的最大、最小值与数列：的最大、最小项”，下列说法正确的是（）

A 、

函数有最大、最小值，数列有最大、最小项B、

函数无最大、最小值，数列无最大、最小项

C、

函数有最大、最小值，数列无最大、最小项D、

函数无最大、最小值，数列有最大、最小项

题模二通项形如二次函数的数列的单调性

例2.1、

一个数列的通项公式是，写出此数列的前五项，并求此数列的最小项的值？

例2.2、

数列的通项公式为，则这个数列的最小的一项是第

_____项.

例2.3、

已知数列的通项公式为（），则数列（）A、有最大项，没有最小项B、有最小项，没有最大项

C、既有最大项又有最小项

D、既没有最大项又没有最小项

随堂练习

随练3.1、

如果为递增数列，则的通项公式可以为（）

B、

A、

D、

C、

已知数列，若其最大项和最小项分别为和，则的值为（）

A、B、

C、D、

随练3.3、

若数列{n(n+4)()n}中的最大项是第k项，则k=____．

随练3.4、

已知是递增数列，对于任意的正整数均有恒成立，则实数的取值范围是（）

A、B、

C、

D、

随练3.5、

已知数列的通项公式为，则

（1）数列中有多少项是负数？

（2）为何值时，有最小值？并求出最小值．

数列的前n项和

知识精讲

一. 数列的前项和定义

前n项和，已知递推公式，可以求出数列前n项和；

数列的前项和构成了一个新的数列，已知前n项和，可以求出通项公式．

三点剖析

一. 注意事项

由前n项和求通项时，要注意首项要单独计算，从开始，可以求通项公式.

二. 方法点拨

对于周期数列，即存在一个最小正数，使得对于任意有的数列，其任意连续项的和都相等，且等于；对于一个很大

的数，可以把分解成若干组，每组包含连续项，每组的和都等于，再计算其余项之和.

题模精讲

题模一已知数列求数列的前n项和

例1.1、

数列满足，，，前n项和为，则的值为（）

B、

A、2

例1.2、

数列的通项公式，设其前n项和为，则等于（）

A、100

B、-100

C、85

D、120

例1.3、

已知数列的通项公式（），设其前项和为，则使成立的最小自然数等于（）

A、83

B、82

C、81

D、80

题模二已知前n项和求通项公式

例2.1、

已知数列的前n项和为，且，则=（）

A、4

B、2

C、1

D、-2

例2.2、

已知数列的前项和，第项满足，则

________．

例2.3、

各项全不为零的数列的前项和为且,其中求数列．

随堂练习

随练4.1、

若数列的通项为（），则

___________．

随练4.2、

已知数列的前项和为，则（）

A、B、

C、D、

随练4.3、

若数列满足则其前项和是（）A、200B、150

C、100

D、50

随练4.4、

已知数列的前项和（），则_________，

___________．

随练4.5、

已知下列数列的前项和的公式，求的通项公式

（1）

（2）

自我总结

课后作业

作业1、

若某数列的前4项为1,0,1,0,则这个数列的通项公式不可能是（）

A、B、

C、D、

作业2、

已知数列的通项公式为，那么满足的整数（）

A、有3个

B、有2个

C、有1个

D、不存在

作业3、

数列中，，，则___________．

作业4、

已知数列满足，，则（）.

A、0B、

C、D、

作业5、

已知整数按如下规律排成一列：，，，，，，，，，，……，则第个数对是（）

A、B、

C、D、

作业6、

请写出下面数列的一个通项公式：

（1）（2）（3）

（4）（5）（6）

（7）（8）（9）

作业7、

无穷数列同时满足条件：

①对于任意自然数，都有；

②当为正偶数时，，且；

③当时，.

请写出一个满足条件的数列的通项公式：_________________________.

作业8、

（1）已知数列适合：，，写出前五项并写出其通项公式；（2）用上面的数列，通过等式构造新数列，写出，并写出的前5项．

作业9、

如图，一粒子在区域上运动，在第一秒内它从原点运动到点，接着按图中箭头所示方向在轴，轴及其平行方向上运动，且每秒移动一个单位长度．

上海市2020届高三数学试题分类汇编：数列(含解析)

高三上期末考试数学试题分类汇编数列一、填空、选择题 1、（宝山区2019届高三）如果无穷等比数列{}n a 所有奇数项的和等于所有项和的3倍，则公比q = 2、（崇明区2019届高三）已知数列{}n a 满足：①10a =；②对任意的n ∈*N ，都有1n n a a +>成立. 函数1()|sin ()|n n f x x a n =-，1[,]n n x a a +∈满足：对于任意的实数[0,1)m ∈，()n f x m = 总有两个不同的根，则{}n a 的通项公式是 3、（奉贤区2019届高三）各项均为正数的等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若1 l i m 3n n n n n S a S a →∞-<+，则q 的取值范围是（） A. (0,1) B. (2,)+∞ C. (0,1] (2,)+∞ D. (0,2) 4、（虹口区2019届高三）已知7个实数1、2-、4、a 、b 、c 、d 依次构成等比数列，若成这7 个数中任取2个，则它们的和为正数的概率为 5、（金山区2019届高三）无穷等比数列{}n a 各项和S 的值为2，公比0q <，则首项1a 的取值范围是 6、（浦东新区2019届高三）已知数列{}n a 为等差数列，其前n 项和为n S . 若936S =，则348a a a ++= 7、（普陀区2019届高三）某人的月工资由基础工资和绩效工资组成，2010年每月的基础工资为2100元，绩效工资为2000元，从2011年起每月基础工资比上一年增加210元，绩效工资为上一年的110%，照此推算，此人2019年的年薪为万元（结果精确到0.1） 8、（青浦区2019届高三）已知无穷等比数列{}n a 各项的和为4，则首项1a 的取值范围是 9、（松江区2019届高三）已知等差数列{}n a 的前10项和为30，则14710a a a a +++= 10、（徐汇区2019届高三）若数列{} n a 的通项公式为* 2()111n n a n N n n =∈+，则 l i m n n a →∞ =___________. 11、（杨浦区2019届高三）在无穷等比数列{}n a 中，121 lim()2 n n a a a →∞ ++???+= ，则1a 的取值范围是 12、（长宁区2019届高三）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且11 2 n n n a a ++= ，若数列{}n S 收敛于

数列的极限-高中数学知识点讲解

数列的极限 1．数列的极限【知识点的知识】 1、数列极限的定义：一般地，如果当项数n 无限增大时，无穷数列{a n}的项a n 无限趋近于某个常数a（即|a n﹣a|无限地接近于 0），那么就说数列{a n}以a 为极限，记作???a n＝a．（注：a 不一定是{a n}中的项） ?→∞ 2、几个重要极限： 3、数列极限的运算法则： 4、无穷等比数列的各项和：（1）公比的绝对值小于 1 的无穷等比数列前n 项的和，当n 无限增大时的极限，叫做这个无穷等比数列各项的和，记做S =???S n． ?→∞ （2） 1/ 3

【典型例题分析】典例 1：已知数列{a n}的各项均为正数，满足：对于所有n∈N*，有4??=(??+1)2，其中S n 表示数列{a n}的前n 项? 和．则??? ? ? =（） ?→∞ 1 A．0 B．1 C． 2D．2 解：∵4S1＝4a1＝（a1+1）2， ∴a1＝1．当n≥2 时，4a n＝4S n﹣4S n﹣1＝（a n+1）2﹣（a n﹣1+1）2， ∴2（a n+a n﹣1）＝a n2﹣a n﹣12，又{a n}各项均为正数， ∴a n﹣a n﹣1＝2．数列{a n}是等差数列， ∴a n＝2n﹣1． ??1∴???2?―1= ???2―1 ? ? =??? ?→∞?→∞?→∞ ?= 1 2 ．故选：C．典例 2：已知点P n（a n，b n）在直线l：y＝2x+1 上，P1 为直线l 与y 轴的交点，等差数列{a n}的公差为 1（n∈N*）．（1）求数列{a n}、{b n}的通项公式；（2）设 c n = 1 ?|?1??|(?≥2)，求???(?2+?3+?+ ? ? )的值； ?→∞ （3）若d n＝2d n﹣1+a n﹣1（n≥2），且d1＝1，求证：数列{d n+n}为等比数列，并求{d n}的通项公式．解：（1）∵点P n（a n，b n）在直线l：y＝2x+1 上，P1 为直线l 与y 轴的交点， ∴b n＝2a n+1，a1＝0， ∵等差数列{a n}的公差为 1（n∈N*）， ∴a n＝0+（n﹣1）＝n﹣1． b n＝2（n﹣1）+1＝2n﹣1．（2）解：由（1）可得a n﹣a1＝n﹣1，b n﹣b1＝2n﹣1﹣1＝2n﹣2，

高中数学-数列的概念与简单表示法教案

课题: §2.1数列的概念与简单表示法授课类型：新授课备课人： ●教学目标知识与技能：理解数列及其有关概念，了解数列和函数之间的关系；了解数列的通项公式，并会用通项公式写出数列的任意一项；对于比较简单的数列，会根据其前几项写出它的一个通项公式；了解数列的递推公式，明确递推公式与通项公式的异同；会根据数列的递推公式写出数列的前几项；过程与方法：通过对一列数的观察、归纳，写出符合条件的一个通项公式，培养学生的观察能力和抽象概括能力．情感态度与价值观：通过本节课的学习，体会数学来源于生活，提高数学学习的兴趣。 ●教学重点了解数列的概念和简单表示法，了解数列是一种特殊函数，体会数列是反映自然规律的数学模型 ●教学难点将数列作为一种特殊函数去认识，了解数列与函数之间的关系，根据一些数列的前几项抽象、归纳数列的通项公式 ●教学过程 Ⅰ.课题导入（引言）数产生于人类社会的生产、生活需要，它是描绘静态下物体的量，因此，在人类社会发展的历程中，离不开对数的研究，在这一背景下产生数列。数列是刻画离散现象的函数，是一种重要的数学模型。人们往往通过离散现象认识连续现象，因此就有必要研究数列三角形数：1，3，6，10，… 正方形数：1，4，9，16，25，… Ⅱ.讲授新课 ⒈ 数列的定义：按一定次序排列的一列数叫做数列. 注意：⑴数列的数是按一定次序排列的，因此，如果组成两个数列的数相同而排列次序不同，那么它们就是不同的数列； ⑵定义中并没有规定数列中的数必须不同，因此，同一个数在数列中可以重复出现. ⒉ 数列的项：数列中的每一个数都叫做这个数列的项. 各项依次叫做这个数列的第1项（或首项），第2项，…，第n 项，…. 例如，上述例子均是数列，其中①中，“4”是这个数列的第1项（或首项），“9”是这个数列中的第6项. ⒊数列的一般形式：ΛΛ,,,,,321n a a a a ，或简记为{}n a ，其中n a 是数列的第n 项结合上述例子，帮助学生理解数列及项的定义. ②中，这是一个数列，它的首项是“1”，

高中数学复习――数列的极限

●知识梳理 1.数列极限的定义：一般地，如果当项数n 无限增大时，无穷数列{a n }的项a n 无限地趋近于某个常数a （即|a n －a |无限地接近于0），那么就说数列{a n }以a 为极限. 注：a 不一定是｛a n ｝中的项. 2.几个常用的极限：①∞→n lim C =C （C 为常数）;②∞→n lim n 1 =0;③∞ →n lim q n =0（|q |＜1）. 3.数列极限的四则运算法则：设数列｛a n ｝、｛b n ｝，当∞ →n lim a n =a , ∞ →n lim b n =b 时，∞ →n lim （a n ±b n ）=a ±b ; ∞ →n lim （a n ·b n ）=a ·b ; ∞ →n lim n n b a =b a （b ≠0）. 特别提示（1）a n 、b n 的极限都存在时才能用四则运算法则；（2）可推广到有限多个. 1.下列极限正确的个数是 ①∞→n lim αn 1 =0（α＞0） ②∞→n lim q n =0 ③∞ →n lim n n n n 3232+-=－1 ④∞ →n lim C =C （C 为常数） A.2 B.3 C.4 D.都不正确解析:①③④正确. 答案:B 2. ∞→n lim ［n （1－31）（1－41）（1－51）…（1－21 +n ）］等于 A.0 B.1 C.2 D.3 解析: ∞→n lim ［n （1－31）（1－41）（1－51）…（1－2 1 +n ）］ =∞→n lim ［n ×32×43×54×…×2 1 ++n n ］ =∞→n lim 22+n n =2. 答案:C 3.下列四个命题中正确的是 A.若∞ →n lim a n 2＝A 2，则∞ →n lim a n ＝A B.若a n ＞0，∞ →n lim a n ＝A ，则A ＞0 C.若∞ →n lim a n ＝A ，则∞ →n lim a n 2＝A 2

2018年高中数学北师大版必修五：第1章 §1-1.1 数列的概念包含解析

[A 基础达标] 1．下列说法中不正确的是( ) A ．数列a ，a ，a ，…是无穷数列 B ．1，－3，45 ，－7，－8，10不是一个数列 C ．数列0，－1，－2，－3，…不一定是递减数列 D ．已知数列{a n }，则{a n ＋1－a n }也是一个数列解析：选B.A ，D 显然正确；对于B ，是按照一定的顺序排列的一列数，是数列，所以B 不正确；对于C ，数列只给出前四项，后面的项不确定，所以不一定是递减数列．故选B. 2．已知数列{a n }的通项公式为a n ＝1＋（－1）n ＋ 12，则该数列的前4项依次为( ) A ．1，0，1，0 B ．0，1，0，1 C.12，0，12，0 D ．2，0，2，0 解析：选A.当n 分别等于1，2，3，4时，a 1＝1，a 2＝0，a 3＝1，a 4＝0. 3．已知数列{a n }的通项公式是a n ＝2n 2－n ，那么( ) A ．30是数列{a n }的一项 B ．44是数列{a n }的一项 C ．66是数列{a n }的一项 D ．90是数列{a n }的一项解析：选C.分别令2n 2－n 的值为30，44，66，90，可知只有2n 2－n ＝66时，n ＝6(负值舍去)，为正整数，故66是数列{a n }的一项． 4．已知数列的通项公式是a n ＝? ????2，n ＝1，n 2－2，n ≥2，则该数列的前两项分别是( ) A ．2，4 B ．2，2 C ．2，0 D ．1，2 解析：选B.当n ＝1时，a 1＝2；当n ＝2时，a 2＝22－2＝2. 5.如图，各图形中的点的个数构成一个数列，该数列的一个通项公式是 ( ) A ．a n ＝n 2－n ＋1 B ．a n ＝n （n －1）2 C ．a n ＝n （n ＋1）2 D ．a n ＝n （n ＋2）2 解析：选C.法一：将各图形中点的个数代入四个选项便可得到正确结果．图形中，点的个数依次为1，3，6，10，代入验证可知正确答案为C. 法二：观察各个图中点的个数，寻找相邻图形中点个数之间的关系，然后归纳一个通项公式．观察点的个数的增加趋势可以发现，a 1＝1×22，a 2＝2×32，a 3＝3×42，a 4＝4×52，所以猜想a n ＝n （n ＋1）2 ，故选C.

上海高中数学数列的极限(完整资料)

【最新整理，下载后即可编辑】 7.6 数列的极限课标解读： 1、理解数列极限的意义； 2、掌握数列极限的四则运算法则。目标分解： 1、数列极限的定义：一般地，如果当项数n 无限增大时，无穷数列{}n a 的项n a 无限地趋近于某个常数a (即||a a n -无限地接近于0)，那么就说数列{}n a 以a 为极限。注：a 不一定是{}n a 中的项。 2、几个常用的极限：①C C n =∞→lim (C 为常数)；②01lim =∞→n n ；③ ) 1|(|0lim <=∞ →q q n n ； 3、数列极限的四则运算法则：设数列{}n a 、{}n b ，当 a a n n =∞ →lim ， b b n n =∞ →lim 时，b a b a n n n ±=±∞→)(lim ； b a b a n n n ?=?∞ →)(lim ； )0(lim ≠=∞→b b a b a n n n 4、两个重要极限： ① ?? ???<=>=∞→00100 1lim c c c n c n 不存在

②?? ???-=>=<=∞ →11||111||0 lim r r r r r n n 或不存在问题解析：一、求极限：例1：求下列极限： (1) 3 21 4lim 22 +++∞→n n n n (2) 2 4323lim n n n n n -+∞→ (3) )(lim 2n n n n -+∞ → 例2：求下列极限： (1) )23741(lim 2222n n n n n n -++++∞→ ； (2) ])23()13(11181851521[lim +?-++?+?+?∞→n n n 例3：求下式的极限：