牛顿迭代法求平方根
牛顿迭代法求平方根
⽜顿迭代法求平⽅根迭代是数值分析中通过从⼀个初始估计出发寻找⼀系列近似解来解决问题（⼀般是解⽅程或者⽅程组）的过程，为实现这⼀过程所使⽤的⽅法统称为迭代法（Iterative Method）。
⼀般可以做如下定义：对于给定的线性⽅程组x=Bx+f（这⾥的x、B、f同为矩阵，任意线性⽅程组都可以变换成此形式），⽤公式x(k+1）=Bx(k)+f（括号中为上标，代表迭代k次得到的x，初始时k=0)逐步带⼊求近似解的⽅法称为迭代法（或称⼀阶定常迭代法）。
如果k 趋向⽆穷⼤时limt(k)存在，记为x*，称此迭代法收敛。
显然x*就是此⽅程组的解，否则称为迭代法发散。
跟迭代法相对应的是直接法（或者称为⼀次解法），即⼀次性的快速解决问题，例如通过开⽅解决⽅程x +3= 4。
⼀般如果可能，直接解法总是优先考虑的。
但当遇到复杂问题时，特别是在未知量很多，⽅程为⾮线性时，我们⽆法找到直接解法（例如五次以及更⾼次的代数⽅程没有解析解，参见阿贝⽿定理），这时候或许可以通过迭代法寻求⽅程（组）的近似解。
最常见的迭代法是⽜顿法。
其他还包括最速下降法、共轭迭代法、变尺度迭代法、最⼩⼆乘法、线性规划、⾮线性规划、单纯型法、惩罚函数法、斜率投影法、遗传算法、模拟退⽕等等。
利⽤迭代算法解决问题，需要做好以下三个⽅⾯的⼯作：确定迭代变量 在可以⽤迭代算法解决的问题中，⾄少存在⼀个直接或间接地不断由旧值递推出新值的变量，这个变量就是迭代变量。
建⽴迭代关系式 所谓迭代关系式，指如何从变量的前⼀个值推出其下⼀个值的公式（或关系）。
迭代关系式的建⽴是解决迭代问题的关键，通常可以顺推或倒推的⽅法来完成。
对迭代过程进⾏控制 在什么时候结束迭代过程？这是编写迭代程序必须考虑的问题。
不能让迭代过程⽆休⽌地重复执⾏下去。
迭代过程的控制通常可分为两种情况：⼀种是所需的迭代次数是个确定的值，可以计算出来；另⼀种是所需的迭代次数⽆法确定。
对于前⼀种情况，可以构建⼀个固定次数的循环来实现对迭代过程的控制；对于后⼀种情况，需要进⼀步分析出⽤来结束迭代过程的条件。
使用牛顿迭代法求解平方根
使用牛顿迭代法求解平方根牛顿迭代法是一种用于求解方程的数值方法，它可以用来近似求解平方根。
本文将介绍牛顿迭代法的原理和步骤，并通过一个简单的示例来说明其应用。
牛顿迭代法的基本思想是通过不断逼近函数的零点来求解方程。
对于求解平方根的问题，我们可以将其转化为求解方程f(x) = x^2 - a = 0的根，其中a为待求平方根的数。
我们需要选择一个初始点x0作为迭代的起点。
然后，通过牛顿迭代公式x = x0 - f(x0)/f'(x0)来计算下一个近似解x1，其中f'(x)表示函数f(x)的导数。
这个公式的意义是用切线与x轴的交点作为下一个近似解。
接下来，我们用x1作为新的起点，再次应用迭代公式计算x2。
不断重复这个过程，直到我们得到一个满足精度要求的近似解。
下面，通过一个具体的例子来演示牛顿迭代法的求解过程。
假设我们要求解的平方根是2，我们可以选择初始点x0 = 1作为起点。
我们计算f(x0)和f'(x0)的值。
代入f(x) = x^2 - 2的表达式，我们得到f(1) = 1^2 - 2 = -1和f'(1) = 2。
然后，代入牛顿迭代公式，得到x1 = 1 - (-1)/2 = 1.5。
接着，我们计算f(x1)的值，代入f(1.5) = 1.5^2 - 2 = 0.25。
由于f(x1)的值不满足精度要求，我们继续迭代。
以x1作为新的起点，计算f(x1)和f'(x1)的值。
代入公式，得到x2 = 1.5 - 0.25/2 = 1.375。
计算f(x2)的值，代入f(1.375) = 1.375^2 - 2 = -0.140625。
再次迭代，以x2作为新的起点，计算f(x2)和f'(x2)的值。
代入公式，得到x3 = 1.375 - (-0.140625)/2 = 1.4140625。
计算f(x3)的值，代入f(1.4140625) = 1.4140625^2 - 2 = -0.0009765625。
计算平方根的方法
计算平方根的方法计算平方根是数学中常见的运算之一。
平方根是一个数的平方等于该数的非负实数解。
计算平方根的方法有多种，下面将介绍其中一些常用的方法。
一、牛顿迭代法牛顿迭代法是一种用于逼近函数零点的方法，也可以用于计算平方根。
其基本思想是通过不断逼近，找到一个足够接近平方根的数。
1. 假设要计算一个数a的平方根，先猜测一个初始值x。
2. 计算初始值x的平方与a之间的差值，即f(x) = x^2 - a。
3. 通过计算f(x)的导数，得到一个切线，求出切线与x轴的交点，得到新的近似值。
4. 重复步骤2和步骤3，直到得到一个足够接近平方根的值。
二、二分法二分法是一种通过不断折半查找的方法，也可以用于计算平方根。
1. 假设要计算一个数a的平方根，首先确定一个范围，例如0到a。
2. 计算范围的中间值mid，计算mid的平方与a之间的差值。
3. 判断差值与0的关系，如果接近0，则mid就是所求的平方根；如果差值大于0，则将范围缩小为0到mid；如果差值小于0，则将范围缩小为mid到a。
4. 重复步骤2和步骤3，直到得到一个足够接近平方根的值。
三、连分数法连分数法是一种使用连分数逼近平方根的方法。
1. 假设要计算一个数a的平方根，将a表示为一个连分数。
2. 将连分数的前n项作为近似值，计算其平方与a之间的差值。
3. 通过增加连分数的项数n，得到新的近似值。
4. 重复步骤2和步骤3，直到得到一个足够接近平方根的值。
四、二次根式展开法二次根式展开法是一种通过展开二次根式的方法，来计算平方根的近似值。
1. 假设要计算一个数a的平方根，将a表示为一个二次根式。
2. 将二次根式展开，得到一个多项式。
3. 通过计算多项式的系数，得到一个近似值。
4. 重复步骤2和步骤3，直到得到一个足够接近平方根的值。
总结：计算平方根的方法有很多种，上述介绍的是其中一些常用的方法。
牛顿迭代法、二分法、连分数法和二次根式展开法都可以用于计算平方根。
数学平方根的计算
数学平方根的计算数学平方根的计算是数学中的重要内容之一。
求平方根涉及到了数学中的基本运算和特殊算法。
本文将介绍几种常见的数学平方根计算方法，包括牛顿迭代法、二分法和连分数算法。
一、牛顿迭代法牛顿迭代法是一种常用的数值计算方法，可以用来求解方程的根。
对于平方根的计算，可以将平方根问题转化为求解方程y^2−y=0，其中y为待求平方根的数。
首先，我们猜测一个初始值y0，并根据迭代公式yy+1=0.5(yy+y/yy)进行迭代计算，直到满足精度要求为止。
具体迭代步骤如下：1. 猜测一个初始值y0；2. 根据迭代公式yy+1=0.5(yy+y/yy)计算新的yy+1；3. 判断是否满足要求的精度，如果满足则停止迭代，否则返回步骤2。
二、二分法二分法是一种简单但有效的数值计算方法，可以用来求解函数的零点。
对于平方根的计算，我们可以转化为求解方程y^2−y=0的根。
首先，我们确定一个区间[y, y]，其中y和y分别为具体的数，并且满足方程的根在此区间内。
然后，通过不断将区间划分为两部分，判断根的范围，直到满足精度要求为止。
具体步骤如下：1. 确定一个区间[y, y]，满足方程的根在此区间内；2. 计算区间的中点y=(y+y)/2，并计算函数在中点y处的函数值；3. 判断中点函数值与0的大小关系，并根据大小关系调整区间的上下界；4. 判断区间的长度是否满足精度要求，如果满足则停止迭代，否则返回步骤2。
三、连分数算法连分数算法是一种利用连分数展开计算数学常数的方法，对于平方根的计算也可以使用连分数算法。
以求解√y为例，连分数算法的迭代公式如下：[y0;y1,y2,y3,…,yy]其中yy为连分数的系数。
具体迭代步骤如下：1. 初始化y=0，y0=√y，计算y0=⌊y0⌋（取下整函数）；2. 根据公式yy=1/(yy−yy)，计算y1,y2,y3,…直到满足精度要求；3. 判断y是否满足精度要求，如果满足则停止迭代，否则返回步骤2。
牛顿迭代法求平方根
牛顿迭代法求平方根牛顿迭代法（NewtonMethod）又称为牛顿-拉夫（Newton-Raphson）方法，是19世纪摩尔神父特拉沃尔纳斯牛顿在1700年创立的数值分析方法，用于解决多项式方程的根。
本文便以牛顿迭代法求求平方根这一话题，来具体介绍牛顿迭代法的原理和实现技术。
一、牛顿迭代法的概念所谓迭代法，就是重复运用某种规律多次得到解决方案。
牛顿迭代法是一种数值分析方法，它通过使用一系列近似极值点的迭代来搜索解决方案。
它既可以用来解决线性方程，也可以解决更复杂的非线性方程。
牛顿-拉夫（Newton-Raphson）方法对于求解平方根特别有效，可以快速收敛。
二、牛顿迭代法求求平方根1.一个数a的平方根，首先要把它转换为求解根的形式，即把求平方根转换为函数求解的问题：$f(x)=x^2-a=0$2.解函数f(x)的解时，可以采用牛顿迭代法，牛顿迭代法核心步骤：（1）求函数f(x)的导数：$f^{prime}(x)=2x$（2）找准一个初始值$x_0$，把它代入函数f(x)和其导数$f^{prime}(x)$，得到下一次的值：$x_1=x_0-frac{f(x_0)}{f^{prime}(x_0)}$（3）重复执行上述步骤，直到xn收敛：$x_{n+1}=x_n-frac{f(x_n)}{f^{prime}(x_n)}$3. 以求a的平方根为例：（1）函数$f(x)=x^2-a$的导数是$f^{prime}(x)=2x$（2）设$x_0$为猜测的值，则可以得到：$x_1=x_0-frac{x_0^2-a}{2x_0}$（3）重复此步骤，直到$x_n$收敛：$x_{n+1}=x_n-frac{x_n^2-a}{2x_n}$三、牛顿迭代法求求平方根应用实例这里以求解输入为12的平方根为例，用牛顿迭代法求出其平方根值。
首先，把问题转换为函数求解的问题，函数为：$f(x)=x^2-12=0$接着，求函数的导数：$f^{prime}(x)=2x$设猜测的$x_0$值为3，则可以得到：$x_1=3-frac{3^2-12}{2times3}=3-frac{3}{6}=2.5 $ 重复上述步骤，经10次迭代，可收敛到：$x_{10}=3.464101615$从上述结果可以看出，用牛顿迭代法求出的12的平方根为3.464101615，误差极小。
牛顿迭代法求平方根python
牛顿迭代法求平方根python牛顿迭代法是一种用于数值计算的方法，用于寻找函数的根。
它也可以用来计算平方根。
在这篇文章中，我将介绍如何使用牛顿迭代法来计算一个数的平方根，并给出Python代码示例。
首先，让我们回顾一下牛顿迭代法的原理。
假设我们要计算一个数a的平方根，我们可以通过以下公式来逼近这个平方根：x_n = x_n-1 - f(x_n-1) / f'(x_n-1)其中，x_n是我们要求的平方根的一个近似值，x_n-1是上一个近似值，f(x_n-1)是函数f在x_n-1处的值，f'(x_n-1)是函数f在x_n-1处的导数。
对于平方根的求解，我们可以将公式中的f(x_n-1)替换为f(x_n-1) = x_n-1^2 - a，其中a是我们要求解平方根的数。
接下来，我们需要确定初始的近似值。
在计算平方根的问题中，一个常用的初始值是将a除以2，即x_0 = a / 2。
现在，我们可以根据上述公式开始迭代计算平方根。
具体的步骤如下：1. 确定迭代的停止条件。
这通常是设定一个误差阈值，当当前近似值与上一个近似值的差小于误差阈值时，停止迭代。
2. 初始化x_0 = a / 2。
3. 迭代开始：a. 计算函数值f(x_n-1) = x_n-1^2 - a。
b. 计算函数的导数值f'(x_n-1) = 2 * x_n-1。
c. 使用上述公式计算下一个近似值x_n = x_n-1 - f(x_n-1) / f'(x_n-1)。
d. 判断当前近似值与上一个近似值的差是否小于误差阈值，如果是，则停止迭代，返回当前近似值作为结果；否则，将当前近似值设为上一个近似值，继续迭代。
现在，让我们使用Python来实现这个算法：pythondef newton_sqrt(a, epsilon=1e-8):# 初始化近似值为a的一半x_n = a / 2# 迭代开始while True:# 计算函数值f = x_n 2 - a# 计算导数值f_prime = 2 * x_n# 计算下一个近似值x_n1 = x_n - f / f_prime# 判断迭代停止条件if abs(x_n1 - x_n) < epsilon:return x_n1# 更新近似值x_n = x_n1# 测试result = newton_sqrt(9)print(result) # 输出：3.0000000109078947在上述代码中，我们定义了一个名为`newton_sqrt`的函数，它接受一个参数a 和一个可选的误差阈值epsilon。
使用牛顿迭代法求解平方根
使用牛顿迭代法求解平方根引言：平方根是数学中常见的概念，它表示一个数的平方根。
求解平方根在科学计算和工程领域中经常用到。
牛顿迭代法是一种常见的数值计算方法，它可以用来求解方程的近似解。
本文将介绍如何使用牛顿迭代法来求解平方根。
一、平方根的定义：平方根是指一个数的平方等于该数的非负实数解。
例如，数学中常见的平方根有2的平方根为√2，3的平方根为√3等。
二、牛顿迭代法的原理：牛顿迭代法是一种通过不断逼近来求解方程近似解的方法。
它的基本思想是：假设我们要求解方程f(x)=0的根，首先选取一个初始近似解x0，然后通过迭代公式x_(n+1)=x_n-f(x_n)/f'(x_n)来不断逼近真实解。
其中f'(x)表示函数f(x)的导数。
三、使用牛顿迭代法求解平方根的步骤：1. 确定要求解平方根的数为a，设定初始近似解x0为a/2。
2. 根据迭代公式x_(n+1)=(x_n+a/x_n)/2来计算下一个近似解x_(n+1)。
3. 判断迭代结果是否满足精度要求，如果满足则停止迭代，输出结果；如果不满足，则继续迭代。
四、使用牛顿迭代法求解平方根的例子：我们以求解2的平方根为例来演示使用牛顿迭代法的过程。
1. 确定要求解平方根的数为2，设定初始近似解x0为2/2=1。
2. 根据迭代公式x_(n+1)=(x_n+2/x_n)/2来计算下一个近似解x1： x1=(1+(2/1))/2=1.53. 判断迭代结果是否满足精度要求，如果满足则停止迭代，输出结果；如果不满足，则继续迭代。
继续迭代，计算x2：x2=(1.5+(2/1.5))/2=1.4167继续迭代，计算x3：x3=(1.4167+(2/1.4167))/2=1.41424. 判断迭代结果是否满足精度要求，如果满足则停止迭代，输出结果；如果不满足，则继续迭代。
继续迭代，计算x4：x4=(1.4142+(2/1.4142))/2=1.4142迭代结果满足精度要求，停止迭代，输出结果x=1.4142。
牛顿迭代法求平方根
牛顿迭代法求平方根求n的平方根，先假设一猜测值X0 = 1，然后根据以下公式求出X1，再将X1代入公式右边，继续求出X2…通过有效次迭代后即可求出n的平方根，X k+1(迭代公式)简单推导假设f(x)是关于X的函数:求出f(x)的一阶导，即斜率:简化等式得到:然后利用得到的最终式进行迭代运算直至求到一个比较精确的满意值，为什么可以用迭代法呢?理由是中值定理(Intermediate Value Theorem):如果f函数在闭区间[a,b]内连续，必存在一点x使得f(x) = c，c是函数f在闭区间[a,b]内的一点我们先猜测一X初始值，例如1，当然地球人都知道除了1本身之外任何数的平方根都不会是1。
然后代入初始值，通过迭代运算不断推进，逐步靠近精确值，直到得到我们主观认为比较满意的值为止。
例如要求768的平方根，因为252 = 625，而302 = 900，我们可先代入一猜测值26，然后迭代运算，得到较精确值:27.7128。
回到我们最开始的那个”莫名其妙”的公式，我们要求的是N的平方根，令x2 = n，假设一关于X的函数f(x)为:f(X) = X2 - n求f(X)的一阶导为:f'(X) = 2X代入前面求到的最终式中:X k+1 = X k - (X k2 - n)/2X k化简即得到我们最初提到的那个求平方根的神奇公式了:用泰勒公式推导我之前介绍过在The Art and Science of C一书中有用到泰勒公式求平方根的算法，其实牛顿迭代法也可以看作是泰勒公式(Taylor Series)的简化，先回顾下泰勒公式:仅保留等式右边前两项:令f(X0+ε) = 0，得到:再令X1 = X0+ ε0，得到ε1…依此类推可知:转化为:引申从推导来看，其实牛顿迭代法不仅可以用来求平方根，还可以求立方根，甚至更复杂的运算。
同样，我们还可以利用pascal语言来实现下那个最简单的求平方根的公式(尽管我们可以直接用sqrt()完成)program asd (input,output);vara,x,n,i:real;beginwriteln('Please input a!');read(a);x:=1;n:=1000;i:=1;while i<=n dobeginx:=(x+(a/x))/2;i:=i+1;end;writeln(x:10:3);readln;end.2007年赣州市信息学奥赛高中组上机测试题第2题：编程求平方根（15分）任给常数b，编程求b的算术平方根，要求准确到小数点后3位，注意不能调用高级语言系统的开平方根函数。
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牛顿迭代法求平方根
求n的平方根，先假设一猜测值X0 = 1，然后根据以下公式求出X1，再将X1代入公式右边，继续求出X2…通过有效次迭代后即可求出n的平方根，X k+1
(迭代公式)
简单推导
假设f(x)是关于X的函数:
求出f(x)的一阶导，即斜率:
简化等式得到:
然后利用得到的最终式进行迭代运算直至求到一个比较精确的满意值，为什么可以用迭代法呢理由是中值定理(Intermediate Value Theorem):
如果f函数在闭区间[a,b]内连续，必存在一点x使得f(x) = c，c是函数f在闭区间[a,b]内的一点
我们先猜测一X初始值，例如1，当然地球人都知道除了1本身之外任何数的平方根都不会是1。
然后代入初始值，通过迭代运算不断推进，逐步靠近精确值，直到得到我们主观认为比较满意的值为止。
例如要求768的平方根，因为252 = 625，而302 = 900，我们可先代入一猜测值26，然后迭代运算，得到较精确值:。
回到我们最开始的那个”莫名其妙”的公式，我们要求的是N的平方根，令x2 = n，假设一关于X的函数f(x)为:
f(X) = X2 - n
求f(X)的一阶导为:
f'(X) = 2X
代入前面求到的最终式中:
X k+1 = X k - (X k2 - n)/2X k
化简即得到我们最初提到的那个求平方根的神奇公式了:
用泰勒公式推导
我之前介绍过在The Art and Science of C一书中有用到，其实牛顿迭代法也可以看作是泰勒公式(Taylor Series)的简化，先回顾下泰勒公式:
仅保留等式右边前两项:
令f(X0+ε) = 0，得到:
再令X1 = X0+ ε0，得到ε1…依此类推可知:
转化为:
引申
从推导来看，其实牛顿迭代法不仅可以用来求平方根，还可以求立方根，甚至更复杂的运算。
同样，我们还可以利用pascal语言来实现下那个最简单的求平方根的公式(尽管我们可以直接用sqrt()完成)
program asd (input,output);
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2007年赣州市信息学奥赛高中组上机测试题
第2题：编程求平方根（15分）
任给常数b，编程求b的算术平方根，要求准确到小数点后3位，注意不能调用高级语言系统的开平方根函数。
输入输出样例：输入：b=7
输出：
确定迭代关系式: x:=(x+(b/x))/2;
program asd (input,output);
var
a,x,n,i:real;
begin
writeln('Please input b!');
read(b);
x:=1;
n:=1000;
i:=1;
while i<=n do
begin
x:=(x+(b/x))/2;
i:=i+1;
end;
writeln(x:10:3);
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end.。