高等代数教案行列式
第三章 行列式综述解方程是代数中的基本问题,在高等代数中主要研究线性方程组.线性方程组是线性代数研究对象的具体模型,而行列式是研究线性方程组的一个有力工具,利用它在某种条件下可得到类似于一元二次方程求解公式那样：用方程组的系数的某种关系来表达有解的条件、解的个数和求解公式.历史上正是为了解决通过方程组的系数来表达方程组求解的有关问题而引进行列式作为工具的,并且行列式在其它领域也经常用到.本章给出行列式的定义、性质、计算及应用.行列式是Leibnitz 于1693年（日本人关孝和更早）提出的概念；定义方法有多种,主要有归纳定义、用n 次置换来定义、引入排列用排列的奇偶性来定义、还有用公理化方法来定义（用多重线性函数的概念来定义）,本书用第三种方法,为此须引入关于排列的有关概念.由定义行列式实质上是一个数,要弄清构成此数的特征（三个且与行列式符号形式下,行、列、元素有关等）；由定义行列式的计算是一个复杂的问题,行列式的性质不仅有助于理解行列式的概念,同时从中可得出行列式计算的四种允许变换,以此总结出行列式计算的一些基本方法及常用技巧,这是本章的重点内容；然后作为行列式计算的另一种简化思想——降阶,介绍了依行（列）展开公式；最后介绍了行列式的应用（Cramer 法则）. 目的和要求掌握n 阶行列式的概念、性质,会运用行列式的性质降阶和三角化熟练地计算数字行列式,并初步掌握字母行列式的计算方法；掌握Cramer 法则解线行方程组；*掌握行列式性质与计算的推广——Laplace定理.3.1线性方程组与行列式一教学思考本节主要是讨论线性方程组（含n 个未知量n 个方程）的用系数间的关系表达有无解及有解时解的形式问题,需引入行列式,进而可以讨论分析二、三阶行列式的构成规律,为定义n 解行列式埋下伏笔,同时引入下节关于排列的问题（为确定项的符号）. 二教学过程线性方程组——一次方程组叫线性方程组.一般形式为：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++=+++=+++mn mn m m n n n n b x a x a x a b x a x a x a b x a x a x a 22112222212111212111（1） n x x x ,,,21 叫未知量,),,2,1;,,2,1(n j m i a ij ==叫未知量的系数,m b b b ,,,21 叫常数项.方程组的解指的是一组数（n k k k ,,,21 ）,用其依次代替（1）中的未知量n x x x ,,,21 后,（1）的每个方程都成为恒等式.线性方程组的问题是：1）是否有解；2）有解时解的个数及解法；3）有无穷解时解间关系（结构）. 注：本章讨论较特殊的线性方程组——未知数的个数与方程个数相等的情形.为此须将二、三阶行列式的概念进行推广,引入n 阶行列式这一工具.先看给定线性方程组：⎩⎨⎧=+=+22221211212111b x a x a b x a x a （2）若022211211≠a a a a ,则（2）有（唯一）解：222112112221211a a a a a b a b x =,222112112211112a a a a b a b a x =. 其中2112221122211211a a a a a a a a -=.（此结果可由消元法具体求解一下.）同样对于⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++333323213123232221211313212111b x a x a x a b x a x a x a b x a x a x a （3）当0333231232221131211≠=a a a a a a a a a D 时,（3）有（唯一）解： Da ab a a b a a b x 3332323222131211=,Da b a a b a a b a x 3333123221131112=,Db a a b a a b a a x 3323122*********=.结论：引入了二、三阶行列式后,不但解决了一类线性方程组的求解问题,而且解的形式也是类似的（可用方程的系数表示出来）.下面为解决含n 个未知量n 个方程的线性方程组的求解问题,需将二、三阶行列式的概念合理地推广至n 阶,这需要用到排列的有关问题.3.2排列一教学思考作为推广行列式概念的准备工作,本节主要介绍排列的概念,反序、反序数及奇偶排列的有关概念和性质；其中有关概念不难理解,重要的是其中“对换改变排列的奇偶性”的证明是一典型的化归思想（由特殊到一般）的运用；一些基本方法如计算反序数的思路与方法应掌握. 二教学过程1． 基本概念（1）排列：定义1由n 个数码1,2,…,n 组成的一个有序数组,称为一个n 元排列,简称排列. （2）反序、反序数：定义2在一个排列里,如果某一个较大的数码排在一个较小的数码前面,就说这两个数码构成一个反序（逆序）,（否则构成顺序）.在一个排列里出现的反序总数叫做这个排列的反序数,用)(21n a a a π表示排列n a a a 21的反序数.（3）奇、偶排列：定义3有偶数个反序的排列叫偶排列（即反序数为偶数）；有奇数个反序的排列叫奇排列（即反序数为奇数）.（4）对换：定义4把一个排列里任意两个数码i 和j 互换位置,而其余数码不动,就得到一个新排列.对一个排列所施行的这样一个变换叫做一个对换,用（i,j ）表示.2． 对换及排列的性质（1）Th3.2.1设n i i i 21和n j j j 21是n 个数码的任意两个排列,那么总可以通过一系列对换由n i i i 21得出n j j j 21.引理1对换的可逆性——即对同一排列连续施行两次同一对换排列还原.（显然） 引理2任意n 元排列n i i i 21可经过一系列对换变为自然排列12…n . 引理3自然排列n 12可经一系列对换变为任意一个n 元排列n j j j 21.事实上,由引理2任意一个n 元排列n j j j 21可经一系列对换变为自然排列n 12,由引理1对换的可逆性,故自然排列可经（同样的）一系列对换变为任一排列.Th3.2.2每一对换都改变排列的奇偶性.Th3.2.32≥n 时,n 个数码的排列中,奇排列与偶排列的个数相等,均为2!n 个. 3.3 n 阶行列式一教学思考1．本节首先在分析二、三阶行列式的构成规律及上节排列的基础上,将行列式的概念推广到n 阶；而从定义知行列式表示一个数且由定义不易求得,为了进一步研究行列式和简化计算,讨论了行列式的性质,这是本节的重点又是难点.2．为清楚地知道如何推广行列式的概念,须认真分析二阶、三阶行列式的构成规律：项数、项的构成、项的符号；其中项的构成是重要的,其不仅指出了何为一项,同时也决定了项数,至于项的符号是在特定的要求形式下（行标为自然排列）（由列标排列的奇偶性）决定的,其间不能忽视这些与行列式符号形式中三个术语——行、列、元素有关,因此要讲清概念应建立在形式符号意识下认清其实质（是一个数）,然后示例说明.3．为了充分认识行列式及计算行列式,讨论了行列式的（五个,不含推论）性质；这首先须证明项的形式的一般结论,这主要从项的构成及一般形式与（定义）特殊形式间的关系（交换因子）而得；在此基础上由定义容易证明性质（主要在于讨论项的关系）,这些性质证明不难,可能较繁,共同点是讨论项的关系.这些性质的重要性在于,由此可以得到行列式的允许变换（换法、倍法、消法、转置、分行（列）相加）；这是计算行列式的基础,也是线性代数处理问题的重要思想（允许变换下化为标准形（化简））,在此要认真示例性质的应用,特别是由此体现的计算行列式的一个基本方法——化三角形法（其它方法及思路后逐步总结示范）. 一内容、要求1．内容：n 阶行列式的定义和性质.2．要求：掌握定义和性质,会用性质简化行列式的计算,这是本章的重点和难点. 二教学过程引言三阶行列式的构成规律：322113312312332211333231232221131211a a a a a a a a a a a a a a a a a a ++=322311332112312213a a a a a a a a a ---其中：符号333231232221131211a a a a a a a a a 是由23个元素ij a 构成的三行、三列方表,横排叫行,纵排叫列；在上述形式下元素ij a 的第一个下标叫行下标,第二个下标叫列下标（二者表明了该元素所在的位置）.从形式上看,三阶行列式是上述特定符号表示的一个数,这个数由一些项的和而得：1）项的构成：由取自不同的行又于不同的列上的元素的乘积； 2）项数：三阶行列式是3！=6项的代数和；3）项的符号：每项的一般形式可以写成321321j j j a a a 时,即行标为自然排列时,该项的符号为)(321)1(j j j π-,即由列标排列321j j j 的奇偶性决定.定义用符号nnn n nna a a a a a a a a 212222111211表示的n 阶行列式,指的是n ！项的代数和,这些项是一切取自不同的行与不同的列上的n 个元素的乘积,一般项可以写成n nj j j a a a 2121,此时其符号为)(21)1(n j j j π-.例1给出一些形式或乘积,判断是否为行列式或为行列式的一项（题略）. 例2计算下列行列式（1）nnn na a a a a a00022211211（2）000001n （3）hg f e dc b a0000000引理3.3.1从n 阶行列式nij a D =的第n i i i ,,,21 行和第n j j j ,,,21 列取出元素n n j i j i j i a a a ,,,2211 作积nn j i j i j i a a a 2211（其中n i i i 21,n j j j 21是两个n 元排列）,则其为行列式的一项,此项在行列式中的符号为：)()(2121)1(n n j j j i i i ππ+-.性质作为理论问题而言,一个新的概念须深入讨论其性质,这有助于进一步理解概念；下述行列式的性质还在于从中可得到计算行列式的一些思想方法.所以性质都是由定义推得,证明中只须由定义分析三个方面（项的构成、项数、符号）关系即可.其中注意表述形式及含义（形式讲的是由行列式D 变形得新行列式1D ,结论讲二者关系）,重要的是从中抽得出行列式的允许变换及将性质进行分类记忆.定义行列式的转置：将行列式D 的行变为列、列变为行所得行列式称为D 的转置；记为D '. 性质1D '=D性质2设in i jn j j i jnj j in i i a a a a D a a a a a a D 111),(2121=−−→−=则D D -=1.性质3设in i i k in i ka ka D a a D 11)(1=−→−=, 则kD D =1.推论2行列式D 的某行所有元素的公因子可提出来. 推论3若行列式D 的某行元素全为0,则0=D . 推论4若行列式D 的某两行元素对应成比例,则0=D .性质4若in in i i c b c b D ++=11,则 in i b b D 1=+in i c c 1.性质5设−−−→−=+)()(2121j i kjnj j ini i a a a a a a Djnin j i j i in i i a ka a ka a ka a a a D +++=2211211,则D D =1.例子计算：1、333222111321321321a a a a a a a a a D +++++++++=；2、0111101111011110=n D ；3、xxx x x x f 111123111212)(-=不展开,直接求34,x x 的系数.3.4子式、代数余子式,行列式的依行依列展开一教学思考1．本节在分析三阶行列式可用（三个）二阶行列式表示的特点上,引入了子式、余子式的概念,从而可将此结论一般化.内容紧凑,其在应用上（将较高阶的行列式化为较低阶的处理）及理论上（推广形式拉普拉斯定理）都很重要.2．教材以三个定理叙述最后结果,可简化为处理一个定理、一个推论,其好处在于证明过程中体现从特殊到一般,并且一般性的处理转化为特殊情形的化归模式,使学生进一步体会这种思想方法的运用. 3．其中需要强调的是概念中的子式、余子式、代数余子式中元素原有相对位置关系（不变）以及三者间的关系；依行依列展开的统一形式表述及含义；最后归纳此定理而得的行列式的第二种基本计算方法——降阶法. 二内容、要求子式、余子式、代数余子式、行列式的依行依列展开,掌握之. 三教学过程引例323122211333312321123332232211333231232221131211a a aa a a a aa a a a a a a a a a a a a a a +-=（转化过程可略,作出解释；有了下述概念后再叙述一下.）即三阶行列式可转化为（三个）二阶行列式进行计算,此结果具有一般性,为此下讨论之. 1．概念（1）k 阶子式：设nij a D =,在D 中取定某k 行k 列,位于这些行列相交处的元素构成的k 阶行列式,叫做D 的一个k 阶子式.（2）余子式：设nija D =)1(>n ,将元素ij a 所在的行、所在的列的元素划掉后余下的1-n 阶子式,叫做元素ij a 的余子式,记为ij M .（3）代数余子式：设nija D =)1(>n ,元素ij a 的余子式ij M 附以符号j i +-)1(后,叫做元素ij a 的代数余子式,记为ij A .即ij A =ji +-)1(ij M2．定理（书中以三个定理表述,实可归结为一个定理、一个推论,书中定理1是定理2的特例,这样处理重点体现化归思想的运用.）定理设nij a D =,则D 等于它的任意一行（列）的所有元素与各自对应的代数余子式的乘积的和.即⎩⎨⎧++++++=nj nj j j jj inin i i i i A a A a A a A a A a A a D 22112211),,2,1,(n j i =. 推论设nij a D =,则D 的某行（列）所有元素与另外一行（列）的对应元素的代数余子式的乘积的和为0,即⎩⎨⎧=+++=+++0022112211nj ni j i j i jn in j i j i A a A a A a A a A a A a )(j i ≠例计算3351110243152113------=D .3.5克莱姆（Cramer ）法则一教学思考本节作为行列式的应用,完满地解决了含n 个未知量n 个方程的线性方程组,在其系数行列式不为零时,其解的存在性、个数及求解（公式）问题；理论完整且重要,定理的证明可按消元法的思想运用行列式的依行依列展开公式为之. 二教学过程设给定一个含n 个未知量n 个方程的线性方程组：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++=+++=+++nn nn n n n n n n b x a x a x a b x a x a x a b x a x a x a 22112222212*********（1） 其系数构成的行列式nnn n in i i n a a a a a a a a a D212111211=叫做方程组（1）的(系数)行列式. TH3.5.1（Cramer 法则）对线性方程组(1),当它的(系数)行列式0≠D 时有且仅有一个解:DD x D Dx D D x n n ===,,,2211 .其中j D 是把D 的第j 列的元素换以方程组的常数项n b b b ,,21 而得到的n 阶行列式.推论含有n 个未知数n 个方程的齐次线性方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++=+++=+++000221122221211212111n nn n n nn n n x a x a x a x a x a x a x a x a x a （2） 当它的(系数)行列式0≠D 时仅有零解.（还将证明为充分条件）例解方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+-+-=+-=--=+-+067452296385243214324214321x x x x x x x x x x x x x x .解：27,27,108,81,274321=-===D D D D D1,1,4,34321=-=-==x x x x .。
高等代数选讲电子教案
an1 ⋯ ann
D ≠0。
AB
例 21．设 A, B,C, D 都是 n 阶方阵，并且 AC = CA ，试证明：
= AD − CB 。
CD
例
22．设有分块矩阵
A C
B D
，其中
A,
D
可逆。证明：
A
（1）
B = A − BD −1C D ； （2） A
B = A D − CA−1B 。
CD
CD
例 23．设 A 为 n 阶可逆矩阵，α ， β 为 n 维列向量，则
b b b ⋯ an
例 9．设 ak ≠ 0, k = 1,2,⋯, n, 计算
1 + a1 1
1⋯
1
1
2 2 + a2 2 ⋯
2
2
3
3 3 + a3 ⋯
3
3
⋯ ⋯ ⋯⋯ ⋯
⋯
n −1 n −1 n −1 ⋯ n −1 + an−1 n − 1
n
n
n⋯
n
n + an
例 10．计算行列式
a0 1 1 ⋯ 1 a1 0 ⋯ 1) 1 0 a2 ⋯ ⋯⋯⋯⋯
（1） A + αβ ′ = A (1+ β ′A−1α ) ；
（2） A + αβ ′ 为可逆阵 ⇔ 1+ β ′A−1α ≠ 0 。
例 24．若η 是 n 维单位列向量，即η′η =1，那么 Ε − 2η′η = −1。
A 例 25．设 AB = BA ，试证明：
−B = A2 + B2 。
BA
b2 ⋯
a2 j+1 ⋯
⋯ ⋯
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一、教学目标1. 知识与技能：（1）理解行列式的概念及其性质；（2）掌握行列式的计算方法，包括展开法、按行（列）展开法、降阶法等；（3）能够熟练求解各种类型的行列式，如上（下）三角行列式、Vandermonde行列式、爪型行列式等。
2. 过程与方法：（1）通过实例引导学生理解行列式的概念及其性质；（2）通过小组合作、讨论等方式，让学生掌握行列式的计算方法；（3）通过课堂练习和课后作业，提高学生解决实际问题的能力。
3. 情感态度与价值观：（1）培养学生严谨的数学思维和逻辑推理能力；（2）激发学生对高等代数的兴趣，提高学生的数学素养。
二、教学重难点1. 教学重点：行列式的概念、性质及计算方法。
2. 教学难点：行列式的展开法、按行（列）展开法、降阶法等计算方法。
三、教学过程（一）导入1. 回顾初中数学中的行列式概念，引导学生思考行列式在高等代数中的地位和作用。
2. 提出本节课的学习目标，让学生对本节课的内容有一个初步的了解。
（二）新课讲解1. 行列式的概念：介绍行列式的定义、性质及表示方法。
2. 行列式的性质：讲解行列式的性质，如行列式的乘法性质、行列式的转置性质等。
3. 行列式的计算方法：（1）展开法：讲解按行（列）展开法的原理和步骤；（2）按行（列）展开法：讲解按行（列）展开法的原理和步骤；（3）降阶法：讲解降阶法的原理和步骤，包括上（下）三角行列式、Vandermonde行列式、爪型行列式等。
（三）课堂练习1. 学生独立完成课堂练习，巩固所学知识；2. 教师巡视指导，解答学生在练习过程中遇到的问题。
（四）课堂小结1. 回顾本节课所学内容，强调重点和难点；2. 引导学生总结行列式的计算方法，提高解题能力。
（五）课后作业1. 完成课后习题，巩固所学知识；2. 查阅相关资料，了解行列式在数学和实际应用中的意义。
四、教学反思1. 关注学生的学习进度，针对不同学生的学习情况，调整教学策略；2. 在讲解行列式的计算方法时，注重引导学生总结归纳，提高学生的逻辑思维能力；3. 通过课堂练习和课后作业，提高学生的解题能力和实际应用能力。
行列式的教案
行列式的教案教案标题：探索行列式的概念和性质一、教学目标：1. 理解行列式的概念和基本性质2. 掌握计算2阶和3阶行列式的方法3. 能够应用行列式解决实际问题二、教学重点和难点：1. 行列式的定义和性质2. 行列式的计算方法3. 实际问题的行列式应用三、教学准备：1. 教材：包括行列式的定义、性质和计算方法的相关知识点2. 教学工具：黑板、彩色粉笔、投影仪3. 教学素材：包括行列式的相关例题和实际问题四、教学过程：1. 导入：通过引入一个实际问题，引出行列式的概念和应用背景2. 概念讲解：介绍行列式的定义、性质和基本概念，引导学生理解行列式的含义和作用3. 计算方法：详细讲解2阶和3阶行列式的计算方法，并通过示例演示4. 实际问题：结合实际问题，演示如何应用行列式解决实际情况5. 练习与讲评：布置相关练习题，让学生进行练习，并及时进行讲评和指导6. 拓展：介绍更高阶行列式的计算方法和应用，拓展学生的知识面五、教学方法：1. 启发式教学法：通过引入实际问题，激发学生的学习兴趣2. 演示法：通过示例演示行列式的计算方法，帮助学生理解3. 问题导向法：引导学生通过解决实际问题，掌握行列式的应用技巧六、教学评估：1. 课堂练习：通过课堂练习和讲评，检验学生对行列式概念和计算方法的掌握程度2. 实际问题解决能力：通过实际问题的解决过程，评估学生的应用能力和思维能力七、教学反思：1. 教学方法：根据学生的反馈和表现，及时调整教学方法，提高教学效果2. 教学内容：根据学生的学习情况，进行教学内容的调整和优化，确保教学目标的实现以上教案是围绕行列式的概念和性质展开的，通过引入实际问题和具体计算方法，帮助学生理解和掌握行列式的相关知识，同时注重实际问题的应用，培养学生的解决问题能力和思维能力。
求行列式课程设计
求行列式课程设计一、教学目标本节课的学习目标主要包括以下三个方面：1.知识目标：学生需要掌握行列式的定义、性质及其计算方法，了解行列式在几何和线性代数中的应用。
2.技能目标：学生能够熟练运用行列式的计算方法解决实际问题，提高运用数学知识解决实际问题的能力。
3.情感态度价值观目标：通过学习行列式，培养学生对数学的兴趣和好奇心，增强学生的自信心，培养学生的合作精神。
二、教学内容本节课的教学内容主要包括以下几个部分：1.行列式的定义与性质：向量的概念、行列式的计算规则等。
2.行列式的计算方法：行列式的展开、行列式的计算技巧等。
3.行列式在几何和线性代数中的应用：行列式与矩阵的关系、行列式在几何中的运用等。
三、教学方法为了实现本节课的教学目标，我们将采用以下几种教学方法：1.讲授法：通过讲解行列式的定义、性质和计算方法，使学生掌握基础知识。
2.讨论法：学生进行小组讨论，分享彼此的学习心得，提高学生的理解能力。
3.案例分析法：通过分析具体案例，使学生了解行列式在实际问题中的应用。
4.实验法：安排课堂实验，让学生亲自动手操作，加深对行列式的理解。
四、教学资源为了支持本节课的教学内容和教学方法的实施，我们将准备以下教学资源：1.教材：《高等数学》、《线性代数》等相关教材。
2.参考书：提供一些关于行列式的参考书籍，方便学生课后深入研究。
3.多媒体资料：制作课件、动画等多媒体资料，生动展示行列式的相关概念和性质。
4.实验设备：准备一些简单的实验器材，如矩阵卡片、行列式计算器等，让学生在实验中学习行列式。
五、教学评估为了全面、客观地评估学生的学习成果，我们将采用以下几种评估方式：1.平时表现：通过观察学生在课堂上的参与程度、提问回答等情况，评估学生的学习态度和理解能力。
2.作业：布置与课程相关的内容丰富的作业，要求学生在规定时间内完成，通过作业的完成情况评估学生的掌握程度。
3.考试：安排一次课程总结考试，测试学生对行列式的定义、性质和计算方法的掌握程度。
高等代数教案(信阳师范学院数学学院)
第二章行列式本章重点介绍了行列式的基本概念、性质和计算方法，还以行列式为工具给出了特殊线性方程组的解——克莱姆法则。
行列式在整个代数计算中起着重要的作用。
教学目的及要点1、掌握排列的定义及性质；2、会计算反序数；3、理解和掌握n阶行列式的定义和性质；4、能熟练地应用行列式的定义和性质来计算和证明有关的行列式；5、理解克莱姆法则的条件及应用范围；6、应用克莱姆法则解线性方程组。
教学重点：利用行列式的性质来计算行列式和对其证明；教学难点：用行列式性质计算和证明以及克莱姆法则求解特殊线性方程组。
教学时数：18学时§2.1 引言教学目的 了解行列式产生的背景，掌握二级，三级行列式的定义. 重 点 二级，三级行列式的定义. 课 型 新授课教学过程1．线性方程组的理论在数学中是基本的也是重要的内容．在初等数学里，二元一次线性方程组11112212112222a x a xb a x a x b += += (1)当112212210a a a a −≠时，用消元法，可解得唯一解122122*********b a a b x a a a a −=−，112121*********a b b ax a a a a −=−记 1112112212212122a a a a a a D a a −=!则有 1121221221222b a b a a b D b a −=!1111121212212a b a b b a D a b −=!于是，当0D ≠时，方程组(1)有唯一解：11D x D =，22Dx D=． 2．在三元一次线性方程组求解时有类似结果．即方程组111122133121122223323113223333a x a x a xb a x a x a x b a x a x a x b ++=++= ++= (2) 当 1112132122233132330a a a D a a a a a a =≠时，(2)有唯一解11D x D =，22D x D =，33D x D=其中1121312212233233b b b D b b b b b b =，1113122123231333a b a D a b a a b a =，1112132122231323a ab D a a b a a b =3．自然科学与工程技术中，我们会碰到未知数的个数很多的线性方程组——如，几元一次线性方程组111122111122(3)n n n n nn n n a x a x a x b a x a x a x b +++=+++=L M L对于(3)，如果有解的话，它的解是否也有类似的形式呢？答案是肯定的．为此，本章依次解决如下问题：1ο 怎样定义n 级行列式？ 2ο n 级行列式的性质与计算？3ο 在什么情况下有解？如何表示所解？§2.2 排列教学目的 掌握排列的有关术语，熟练掌握逆序数计算法和对换改变排列的奇偶性. 重 点 逆序数计算法、对换改变排列的奇偶性. 难 点 对换改变排列的奇偶性. 课 型 新授课教学过程一、排列（作为定义n 级行列式的准备）定义 由1，2，…，n 组成的一个有序数组称为一个n 级排列． 例1 2431是一个四级排列， 45213是一个五级排列． 例2 写出所有的3级排列．解：123，132，213，231，312，321． ——共6个=3！ 注 1）所有不同n 级排列的共有n ！个．2）自然序排列：1234…n （它的排序按小到大递增排列，而其它排列都或多或少破坏了这种自然顺序）二、逆序、逆序数定义： 在一个排列中，如果一对数的前后位置与大小顺序相反，即前面的数大于后面的数，则称这对数为一个逆序；一个排列中逆序的总数称为这个排列的逆序数．注1）排列12n j j j L 的逆序数记为12()n j j j τL 例1．(31542)5τ=逆序有：31，32，54， 52， 42(35412)7τ=逆序有：31，31，54，51，52，41，42．注2）12()n j j j τL =1j 后面比1j 小的数的个数+LL +1n j −后面比1n j −小的数的个数． 或=n j 前面比n j 大的数的个数+1n j −前面比1n j −大的数的个数+LLL +2j 前面比2j 大的数的个数．例2．求n 级排列(1)321n n −L 及12(1)n n ⋅⋅−L 的逆序数解：(1)((1)321)(1)(2)212n n n n n n τ−−=−+−+++=L L (123)0n τ=L练习：求下列排列的逆序数． (1) 135(21)(2)(22)42n n n −−L L (2) (2)1(21)2(22)3(1)n n n n n −−+L解：(1)12(1)(1)21n n τ=+++−+−+++L L (1)n n =−,(242(1)n τ=+++−L (1)n n =−) (2)12(1)(2)21n n n τ=++++−+−+++L L 2(1)(1)22n n n n n +−=+= 三、奇排列、偶排列定义： 逆序数为奇数的排列称为奇排列，逆序数为偶数的排列称为偶排列． 如：31542为奇排列，12345为偶排列 四、对换．定义： 把一个排列中某两个数的位置互换，而其余的数不动，得到另一个排列，这一变换称为一个对换．定理 1 对换改变排列的奇偶性．即经过一次对换，奇排列变成偶排列，偶排列变成奇排列．推论 任有n 级排列中，奇、偶排列各半，均为!2n 个． 定理2 任意一个排列与自然序排列123n L 都可经过一系列对换互换，并且所作对换的次数与这个排列的奇偶性相同．§2.3 n 阶行列式教学目的 熟练掌握n 级行列式的定义，掌握三角形行列式及其值. 重 点 n 级行列式的定义. 难 点 n 级行列式的定义及其应用. 课 型 新授课教学过程从本节开始总是取一固定的数域P 作为基础，所说到的数皆指数域P 中的数，当然所考虑的行列式也是数域P 上的行列式．） 一、n 级行列式的定义定义：n 级行列式 111212122212nnn n nna a a a a a a a a L L LLLLL L等于所有取自不同行不同列的n 个元素的乘积1212n j j nj a a a L （1）的代数和，这里12n j j j L 为1、2、…．n 的一个排列．每一项（1）都按下列规则带有符号：当12n j j j L 为奇排列时(1)带负号；当12n j j j L 为偶排列时(1)带正号．即，1121211121()212221212(1)n n nn j j nj j nj j j j n n nna a a a a a a a a a a a τ=−∑L L L L L LLLLL L这里12nj j j ∑L 表示对所有1、2、…．n 的n 级排列求和．注：1）常记 1112121()n nij n nna a a a a a a =∆L L LLLL L 或det ij a ．2）1112121n nn nna a a a a a L L LLLL L 中的数ij a 称为行列式处于第i 行第j 列的元素，i 称为行指标，j 称为列指标．3）n 级行列式定义展开式中共有!n 项． 二、举例例1． 212(3)(1)464243−=×−−−×=−+=−−1232131181294612321=++−−−= 例2．(1234)1122334412(1)2434a a a a τ=−=(654321)162534435261123(1)6!720456a a a a a a τ=−=−=−一般地1212n n d d d d d d =L O（对角形行列式）1(1)2212(1)n n n nd d d d d d −=−L N类似可得上三角形行列式下三角形行列式练习：1）10101(1)!1n n n n−=−−O OO 2）(1)(2)2102(1)!10n n n n −−=−−N NN例3．已知112111()3211121x x f x x x −=，求3x 的系数．解：由n 级行列式定义，()f x 是一个x 的多项式函数，且最高次幂为3x ．显然含3x 的项有两项：(1234)11223344(1)a a a a τ−与(1243)11223443(1)a a a a τ−，即3x 与32x −∴()f x 中3x 的系数为－1．三、n 级行列式的等价定义定义:1212121112121222()1212(1)n n nn n i i i i i i n j j j n n nna a a a a a a a a a a a τ=−∑L L L L L LLLL L其中12ni i i ∑L 表示对所有1、2、L 、n 的排列求和．附：转置行列式：设111212122212n n n n nna a a a a a D a a a =L L L L L L L ，行列式112111222212n n nn nna a a a a a a a a L L L L L L L称为D 的转置行列式，记作D ′或T D ．§2.4 n 级行列式的性质教学目的 掌握行列式的性质4、性质5，熟练掌握性质1、2、3、6、7. 重 点 性质1、2、3、6、7.难 点 灵活地应用行列式的性质计算行列式. 课 型 新授课教学过程性质1 行列互换，行列式不变，即111211121121222122221212n n n n n n nnnn nna a a a a a a a a a a a a a a a a a =L L L L L L L L L L L L L L证：记右端()ij b =∆，其中,,1,2,,ij ji b a i j n ==L ,则121212()12()(1)n n ni i i ij i i i n i i i b b b b τ∆=−∑L L L 121212()12(1)n n ni i i i i ni i i i a a a τ=−∑L L L = 左端性质2 行列式某行（列）元素的公因子可提到行列式符号之外．即111112111212121212n n i i in i i in n n nnn n nna a a a a a a a a a a a a a a a a a λλλλ=L L M M M M M M M M L L M M M M MMMM LL推论 行列式中某一行（列）为零，则行列式为零．性质3 若行列式的某一行（列）的元素都是两数之和，则行列式可按此行（列）拆成两个行列式之和，即11121111211112111221212121212n n n n n n n n n nnn n nn n n nna a a a a a a a a ab a b a b a a a b b b a a a a a a a a a +++=+L L L M M L M M M L M M M L M L L L M M L M M MLMM MLMLL L 性质4 如果行列式中有两行（列）相同，则行列式为0．（两行（列）相同指的是两行（列）对应元素都相等）．证：设112121112112()121212(1)i k n i k n nn i i in i i i j j j ij kj nj j j j k k kn n n nna a a a a a D a a a a a a a a a a a τ==−∑L L L L L M M LM L LL L L L L L L M LL LL且第i 行与第k 行相同，即ij kj a a =，1,2,,j n =L 由于项11()1(1)i k n i k n i i i j j ij kj nj a a a a τ−L L L L L L ①与项11()1(1)k i n k i n i i i j j ij kj nj a a a a τ−L L L L L L ②同时出现，且i i ij kj a a =，k n ij kj a a =∴①与②除去符号外，具有相同的数值，但排列1i k n i i i j L L L 与1k i n i i i j L L L 相差一个一个对换，具有相反的奇偶性．∴①、②的符号相反，即①+②=0．性质5 行列式中两行（列）成比例，则行列式为0 证：由性质2、性质4即得．性质6 把行列式的某一行（列）的倍数加到另一行（列），行列式不变 证：由性质3、性质5即得．性质7 对换行列式中两行（列）位置，行列式反号．证：111211112112112212121212n n i i ini k i k in kni kk k kn k k kn n n nnn n nna a a a a a a a a a a a a a a r r a a a a a a a a a a a a ++++L L L L L L L L L L L L LL L L L L L L L L LL L L L L L L L L性质6111211112111121121212n n i k in knk k knk ii ki in i i inn n nnn n nna a a a a a a a a a a a a r r r r a a a a a a a a a a a ++−+−−−−−L L LL L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L LL性质6性质611121121212nk n kn i i inn n nna a a a a a a a a a a a =−L L L L L L L L L L L L L L L L ． 例1．n ab b bb a b bD b b a bbb b b a=L LLL L L L L12(1)(1)(1)n a n b a n b a n br r r b a b bb b a+−+−+−+++L L L L L LL 1111(1)b a b b a n b b b a b b b b a =+−L L L L L L L L L []1100000(1)(1)()0000n b a ba nb a n b a b b a bb ba b−−=+−=+−−−−LLL L L L L L . 例2 11234234134124123D =10234103411041210123=123412341234134101130113101010160141202220044112301110004−−====−−−−−−−.例3． 若n 级行列式n ij D a =满足ji ij a a =−，,1,2,,i j n =L ，(反对称行列式),则当n 为奇数时，0n D =.证：n D 的每行提出1−，得(1)(1)(1)'(1)n n n n n ij ji n n D a a D D =−−=−=−=−∴ 当n 为奇数时，n n D D =−，即 0n D =.§2.5 行列式的计算教学目的 掌握矩阵的概念和矩阵的初等变换，熟练掌握将数字行列式化为上三角形行列式的算法.重 点 数字行列式化为上三角形行列式的算法. 课 型 新授课教学过程一、矩阵定义 由sn 个数排成s 行n 列的表sn s s n n a a a a a aa a a 212222111211L L L L L L称为一个s ×n 矩阵，常记为n s ij a ×)(．这些数ij a 称为矩阵的元素，i 为行指标，j 为列指标．若矩阵A=n s ij a ×)(，P a ij ∈， 1,2,,,1,2,,i s j n ==L L ，则说A 为数域P 上的矩阵． 注1) 当s =n 时，n n ij a ×)(称为n 级方阵．2) n 级方阵A=n n ij a ×)(定义的n 级行列式)(ij a ∆称为矩阵A 的行列式，记作A 或detA ．即111212122212n n n n nn a a a a a a A a a a=L L L L L L L ，A =nnn n n n a a a a a aa a a L L LL LL L 2122221112113) 矩阵的相等：A=n s ij a ×)(，B=q p ij b ×)(．定义A=B ⇔s =p ， n=q ， ij a =ij b ， i =1，2，…，s ， j =1，2，…，n ．二、矩阵的初等行变换定义 数域P 上矩阵的初等行变换是指：1) 以P 中一个非零数k 乘矩阵的一行； 2) 把矩阵的某一行的k 倍加到另一行，P k ∈； 3) 互换矩阵中两行的位置．注：矩阵A 经初等行变换变成B ，一般地A ≠B ．三、阶梯形矩阵定义 矩阵的任一行从第一个元素起至该行的第一个非零元素所在的下方全为零；若该行全为0，则它的下面各行也全为0，这样的矩阵称为阶梯形矩阵．命题1 任意一个矩阵经过一系列初等变换总能变成阶梯形矩阵． 命题2 方阵A 经过一系列初等行变换变成阶梯阵D ，则A =.0,≠λλD 四、化上三角形计算行列式312107825513713913152==−−−−−−−L练习：7261723621431524021−==−−−−−L226234352724135342−==−−−−−−L五、初等列变换定义 数域P 上矩阵的初等列变换是指：1) 以P 中一个非零数k 乘矩阵的一列； 2) 把矩阵的某一列的k 倍加到另一列，P k ∈； 3) 互换矩阵中两列的位置．矩阵的初等行变换与初等列变换统称为初等变换．§2.6 行列式按一行（列）展开教学目的 掌握子式、代数余子式的概念，熟练掌握行列式按一行展开定理，零值定理，掌握范德蒙行列式及递推法.重 点 行列式按一行展开定理， 零值定理. 难 点 行列式按一行展开定理，递推法计算行列式.教学过程引入：111213222321232122212223111213313232333133313233a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a =−+一、余子式、代数余子式定义：在行列式ij a 中划去元素ij a 所在的第i 行与第j 列，剩下2(1)n −个元素按原来的排法构成一个1n −级的行列式111111111111111111111111j j n i i j i j i n i i j i j i n n n j n j nna a a a a a a a a a a a a a a a −+−−−−+−++−+++−+L L LLLLLLL L L L L L L L L L LL称之为元素ij a 的余子式，记为ij M ．令(1)i j ij ij A M +=−，称之为元素ij a 的代数余子式．引理 一个n 级行列式D ，如果其中第i 行所有元素除ij a 外都为0，则ij ij D a A = 定理 设,ij nD a = ij A 表示元素的ij a 代数余子式，则下列公式成立：1111220i i in ink i k i kn in D k i i D a A a A a A a A a A k i==++ +++=≠ L L 按行展开,即 11220ij ij ij ijl j l j nl nj D l j j D a A a A a a a a a a l j ==++ +++= ≠ L 按行展开,即10nis is s D k ia A k i == = ≠∑ ，10nsl sjs D l ja A l j == = ≠∑．证：111211212000000n i i in n n nna a a D a a a a a a =+++++++++L L L L L L L L L L L L L L120000000i i in a a a =+++L L L L 1122i i i i in in a A a A a A =+++L ，1122k i k i kn in a A a A a A +++L 111111()0()nk kn k kn n nna a a a i a a k a a ==L L LL L L L L L L ．例1 计算 3112513420111533D −−−=−−− （40）例2 范德蒙行列式123222212311231111()nn n i j j i nnnn nn a a a a D a a a a a a a a a a ≤<≤==−∏L LL LLL L LL证：数学归纳法1 2n =时，211211a a a a =−02 假设对于1n −级范德蒙行列式结论成立．21122212112121211110n n n n n n n n na a a a D a a a a a a a a a a a a −−−−−=−−−−L L L L L L MML LML L 222211222211()()n n n n n na a a a a a a a a a −−=−−L L L L M L ML2112()()()n i j j i na a a a a a ≤<≤=−−−∏L 1()i j j i na a ≤<≤=−∏附：范德蒙行列式120,n n D a a a =⇔L 中，至少有两个相等．例：11112345(32)(42)(52)(42)(54)1249162582764125=−−−−−=． 例3 证明：111111111111111111110000k k r k kk k r k kk r rrr rk r rr a a a a b b a a c c b b a a b b c c b b =L L LLLLL L L L LL LL L L L L LLLLL L ．例4 123123123123a a a fb b b f Dc c c fd d d f=，求11213141A A A A +++ （＝０）例5 1513123311232234D −=，求41424344A A A A +++． 15131233(14)11232234−==− 附：行列式计算方法小结1、定义法：适用于0比较多的行列式．2、利用7条基本性质3、按行（列）展开─降级．适用于某行（列）0较多的行列式．4、其他方法 （一）析因子法例：计算221123122323152319x D x −=−解：由行列式定义知D 为x 的4次多项式．又，当1x =±时，1，2行相同，有0D =，1x ∴=±为D 的根．当2x =±时，3，4行相同，有0,2D x =∴=±为D 的根． 故D 有4个一次因式，1,1,2,2x x x x +−+−设 (1)(1)(2)(2),D a x x x x =+−+−令0,x =则 112312231223152319D ==−， 即，1(1)2(2)12.a ⋅⋅−⋅⋅−=− 3.a ∴=−3(1)(1)(2)(2)D x x x x ∴=−+−+−（二）箭形行列式01211122,0,1,2,3.nn i n na b b b c a D c c a i n c a +=≠=L L L LL L L L L L L L LL L L解：把所有的第1i +列(1,2)i n =L 的iic a −倍加到第1列，得： 11201(ni in n i ib c D a a a a a +==−∑L 可转为箭形行列式的行列式：121111111)111n a a a +++L LLL LLL 122)na xx x a x xxa LLL L LL L（第2把第n 行分别减去第1行，转为箭形行列式）（三）所有行（列）对应元素相加后相等的行列式()12(1)1(1)11)(1)(1)1na b b a n b b b b b b a b a n b a b a bc c c a n b b a a n b b a b a+−+−+++=+−+−L L L L L L L M M M M M M M M MM M M L L L L()111(1,2)00()(1)00i n b br r i n a b a b a n b a b −−=−=−+−−L L L M M M M L121231123123411341(1)2)211321132122211221nn n n nn n n n c c c n n n n n n n nn n n n −−++++−−−−−−−−−L L L L M M M L M M MM M L M M L L L L L 112211231111101111(1)(1)11112201111111101111n n n n r r r r r r n nnnn n n n n n n n −−−−−−−−−++=−−−−M L L L MM M M M M M M M M M L L L L 11111(2,31)00(1)200i nr r i n n nn n n n −−=−−+−L L L L L L L L L11211100(1)2n n nn n c c c n n −−++++−L L L L L L L L ()(2)(1)3211(1)1220(1)(1)(1)(1)(1)(1)()22n n n n n n n n n n n n n n n nτ−−+−+−−−−++=−−=−−−−L LL L M L M ML(2)(#)(1)112122(1)(1)(1)(1)(1)22n n n n n n n n n n −−−−−++=−−=−． （四）加边法（适用于除主对角线上元素外，各行对应的元素分别相同，化箭的可转为箭形行列式） （加边法是计算复杂行列式的方法，应多加体会）1）1121221212,0n n n n n na a a a a ab a D b b b a a a b ++=≠+L L L MMLML2）121212121200,00nn n n n n a a a a a a a a D a a a a a a a ++++=≠++L L L MMLML解：1)12112122121100n nn nn nn a a a a b a a D a a b a a a a b ++=++L LL M M M L M L 121121100(2,31)100100n i na a ab r r i n b b −−=+−−L L L L MMM LML111211111(1).00(1,21)00nin i inin i i iin a a a b a b b b b c b c i n b b =+=+=++=+∑∑L L L L MMMML 2)1212121111112222212111101001(2,31)001nn ni n n n n n n n n n a a a a a a a a a a a a a r r D a a a a a a a i n a a a a a a a ++++−−−=++−−=+++−−LL L L L L L M M MLMMMMLML L1212111111222222122100001011101011120011020(3,42)1102n n i n nn nnnn n a a a a a a a a a a a a a a a a a a c c i n a a a a a a ++−−−−−=−−−−=+−−−LL L L L L L L L MMMM LMMMMMLML L12(3,42)1(1,2)2i j jc c i n c c j n a +=+−=L L 1212111111221112200200000200002i ninn a n a a a a a a a −−−−−−−∑∑L LL L M M M M L M L22112,111122(2)(2)[(2)]1122nn n ii n n i j ji n a a a a a a a n a n a −=−=−=−−−−∑∑∑L L （五）三对角型行列式─递推公式法1）95004950049000950049n D =L L L L L 解：1112150049594920,549nn n n n c D D D D −−−−−=−L L L LL O O O LL L O O L L L按展开即有 11254(5)n n n n D D D D −−−−=−于是有 2221232154(5)4(5)4n n n n n n D D D D D D −−−−−−=−==−=L (6145)4,n −= 同理有 2221232145(4)5(4)5(6136)5n n n n n n n D D D D D D −−−−−−=−==−=−=L即 1111545445n n n n n n nn n D D D D D −++− −= ⇒=− −=先将行列式表示两个低阶同型的行列式的线形关系式，再用递推关系及某些低阶（2阶，1阶）行列式的值求出D 的值0010001002.0000001n a b ab a b ab a bD a b aba b +++=++LLLL L L L L L L L）解：21211221c ()()()n nn n n n n n D a b D abD D aD b D aD b D aD −−−−−−+−−=−==−L 1按展开同理 211221()().n n n n n D bD a D bD a D bD −−−−−=−==−L 而 2221,D a ab b D a b =++=+22221();n n n n D aD b a ab b a ab b −−∴−=++−−=22221().n n n n D bD a a ab b a ab a −−−=++−−=由以上两式解得11(1)n n n n a b a b D a bn a a b++ −≠=− +=（六）拆项法（主对角线上，下元素相同）121)n na x a a a a x a D a a a x ++=+L LL L O L L解：112200n nna x a a a x a a a a x a a a x a D aaa x aaax ++++=++L LLLL L OLL L L L LL L1210000000n n x a x ax D a−=+L L L L L L L L 1211n n n x x x a x D −−=+L11221212323.n n n n n n n D x x x a x D x x x a x D −−−−−−−=+=+L L 继续下去，可得111221*********121211221323()n n n n n n n n n n n n n n n D x x a x x x ax x x x ax x x ax x x x x D x x x a x x x x x x x x x x x x x −−−−−−−=+++++=+++++L L L L L L L L L L L L（21212D ax ax x x =++）1212110(1)nn n n i ix x x D x x x a x =≠=+∑L L 当时, 1）也可以用加边法做：1111011n nna a aa a x a x aD aaa x x +−==+−L LL LL L OLL L O L L L L 111101,200ni ii na aa x x i n x a x =+≠==∑LL LL L O L L L 当时,2）n a b b b c a b bD c c a b c c c a=L L L L L L L L L解：1101()0101n n nc b b b a c b b b b b b cabba b ba b bD c a c D c c a b c a b c a b c c c a ccacc a−−=+=+−L L L LL L L L L L L L L L L L L L L L L L L LL LL11000()000n nb b b a bc a c D c b a b c bc b a b −−=+−−−−−−L L LL L LLLL 11()()n n c a b a c D −−=−+− ①000n b b b b a b c a b b c a b bD c c a b c c a b c c c a c c c a−=+L L L L L L L O O O L L O O O L L L 又11111()n c a b b b a b D c c a b c c c a −=+−L L L L O O O LL11()()n n b a c a b D −−=−+− ②由a b a c ×−×−①（）-②()，得 ()()n n n c b D c a b b a c −=−−−()．1[()()]/[(1)]()n n n n n c b D c a b b a c c b c b D a n b a b −≠=−−−−==+−−当时，当时，（七） 数学归纳法（第一数学归纳法，第二数学归纳法）1）（用数学归纳法）证明：12121111111(1111n n i na a D a a a a a ++==++∑LL L L L L LL证：当1n =时，111111(1D a a a =+=+，结论成立． 假设n k =时结论成立，即1211(1)kk n i iD a a a a ==+∑L ，对1n k =+，将1k D +按最后一列拆开，得112211111011111110111101111011111111111111k kkk a a a a D a a a ++++++=+++L L LLLL O L LL O L L 1211101100111011111k k k a a a D a +=+L L L L O L 121k k k a a a a D +=+L 121121211111(1)(1)kkk k k k i i i ia a a a a a a a a a a a ++===+⋅+=+∑∑L L L所以1n k =+时结论成立，故原命题得证．2）证明：cos 10012cos cos 2cos 112cos n D n ααααα==L O L L LO O L L L O OL L L证： 1n =时，1cos .D α=，结论成立． 假设n k ≤时，结论成立．当1n k =+时，1k D +按第1k +行展开得111cos 10012cos 2cos (1)2cos 2cos 112cos k kk k k k D D D D αααααα+++−=+−=−L O L L L O O L L L O OL L L由归纳假设12cos cos cos(1)2cos cos cos k D k k k k αααααα+=−−=−2cos cos cos cos sin sin k k k αααααβ=−+ cos cos sin sin k k αααβ=+ cos(1)k α=+于是1n k =+时结论亦成立，原命题得证．（八） 范德蒙行列式1）12222122221212111n n n n n n nn n n nx x x x x x D x x x x x x −−−=L L L L L O L L L解：考察1n +阶范德蒙行列式12222212121111112121111()()()()()n nn i j j i nn n n n nn n n nnx x x x x x x x f x x x x x x x x x x x x x x x x x ≤<≤−−−−==−−−−∏L L L L L O L L L L显然D 就是行列式()f x 中元素1n x −的余子式.1n n M +，即,1,1n n n n n D M A ++==− （,1n n A +为代数余子式）又由()f x 的表达式（及根与系数的关系）知，()f x 中1n x −的系数为121()().n i j j i nx x x x x ≤<≤−+++−∏L即， ,1121()()n n n i j j i nA x x x x x +≤<≤=−+++−∏L121()()n n i j j i nD x x x x x ≤<≤∴=+++−∏L2）2221212111n n n n n nx x x D x x x =L L L LLLL解：考虑1n +级范德蒙行列式12222212111112121111()n nn n n n n n n n nnx x x x x x x x g x x x x xxxxx −−−−=L L L L L O L L L L121()()()()n i j j i nx x x x x x x x ≤<≤=−−−−∏显然n D 就是行列式()g x 中元素的余子式2,1n M +，即32,12,1(1)n n n n D M A +++==−，由()f x 的表达式知，x 的系数为 23121211()()n n n i j j i nx x x x x x x x x x x −≤<≤−+++−∏L L L L即2,123121211()()()n n n n i j j i nA f x x x x x x x x x x x x x +−≤<≤−++++−∏L L L L2312121(1)()()n n n n n i j j i nD x x x x x x x x x x x ≤<≤∴=−+++−∏L L L L§2.7 克兰姆(Cramer)法则教学目的 熟练掌握克莱姆法则，掌握齐次线性方程组的概念和定理7.2. 重点难点 克莱姆法则及其应用 课 型 新授课教学过程一、n 元线性方程组11112211211222221122()n n n n n n nn n na x a x a xb a x a x a x b a x a x a x b +++= +++= 1+++= L L L L缩写为1,1,2,,.nij j i j a x b i n ===∑L当12,,,n b b b L 不全为0时，称 (1)为非齐次线性方程组； 当 120n b b b ====L 时，称 (１) 为齐次线性方程组． 二、克兰姆法则定理4 如果线性方程组(1)的系数矩阵111212122212n n n n nn a a a aa a A a a a=L L L L L L L 的行列式 ||0D A =≠，则方程组(1)有唯一解1212,,,n D D D n DDDx x x ===L ，其中(1,2,,)j D j n =L 是把行列式D 中第j 列的元素用方程组(1)的常数项12,,,n b b b L 代换所得的一个n 阶行列式，即111,111,11212,122,121,1,1j j n j j n j n n j nn j nna ab a a a a b a a D a a b a a −+−+−+=L L L L L LLLLL L L L 11221.nj j n nj s sj s b A b A b A b A ==+++=∑L证明：验证 12(,,,n D D D D DDL 为(１)的解．方程组(1)可写成1,1,2,,.nij ji j a xb i n ===∑L把12(,,,n DDD D DD L 代入(１)的第i 个方程:左端111111nn nnjij ij j ij s sj j j j s D a a D a b A D D D =======∑∑∑∑1111111n n n nij s sj s ij ij i i j s s i a b A b a A Db b D D D ========∑∑∑∑ =右端，1,2,,.i n =L所以12(,,,)n D D D D D D L 为(１)的解;验证解唯一．设12(,,,)n c c c L 为(1)的一个解，于是有1,1,2,,.nij ji j a cb i n ===∑L (2)用系数行列式D 中第j 列元素的代数余子式12,,,j j nj A A A L 依次乘以(2)中n 个等式，再把它相加，得111111()()()n n n ns sj sj sj j sn sj n s sj s s s s a A c a A c a A c b A ====++++=∑∑∑∑L L即 j j Dc D = ．所以 ,1,2,,.j j D c j n D==L综上所述，12(,,,n D D D D D D L 为(1)的唯一解．注：① (1)的系数行列0D ≠时，(１)有解且只有唯一解； ② 若(1)无解或有两个不同的解，则(１)的系数行列式 0D =． 例1：解线性方程组12341234123412345242235232110x x x x x x x x x x x x x x x x +++= +−+=−−−−=− +++= 解：方程组的系数行列式111112141420231531211D −===−≠−−−L ，151112214142231501211D −−===−−−−−L2284D =−，3426D =−，4142D = 方程组有唯一解（1，2，3，－1）三、齐次线性方程组11112212112222112200(3)0n n n n n n nn n a x a x a x a x a x a x a x a x a x +++= +++=+++= L L L L注：1) 齐次线性方程组（3）总有解；2) 120n x x x ====L 为(3)的一个解， 称之为零解； 3) 除零解外的解（若还有的话）称为非零解．定理5 若齐次线性方程组（3）的系数行列 0ij D a ==，则(3)只有零解． 推论 若齐次线性方程(3)有非零解，则必有系数系数行列式0D =． 例2：问λ取何值时，齐次线性方程组1231213(5)2202(6)02(4)0x x x x x x x λλλ−++=+−= +−=有非零解?解: 522260(5)(2)(8)24D λλλλλλ−=−=−−−−当2,5,8λ=时，0D =，方程组有非零解．。
(完整word版)线性代数行列式教案-
教案教学教案设计(续页）第一 章 行列式 §1。
1 n 阶行列式定义教学目的：使学生了解和掌握n 级排列、逆序逆序数奇排列偶排列n 阶行列式定义及行列式的计算教学重点:n 阶行列式定义及计算 教学难点:n 阶行列式定义一、导入 线性方程组和矩阵在工程技术领域里有着广泛的应用，而行列式就是研究线性方程组的求解理论和矩阵理论的重要工具。
二、新授(一) 二阶、三阶行列式对于二元线性方程组⎩⎨⎧=+=+22221211212111b x a x a b x a x a （1.1） 采用加减消元法从方程组里消去一个未知量来求解，为此： 第一个方程乘以a 22与第二个方程乘以a 12相减得(a 11a 22－a 21a 12）x 1= b 1a 22- b 2a 12第二个方程乘以a 11与第一个方程乘以a 21相减得（a 11a 22－a 21a 12)x 2=a 11b 2—a 21b 1若a 11a 22－a 21a 12≠0,方程组的解为122122111122211a a a a a b a b x --=122122*********a a a a b a b a x --= （1。
2）容易验证(1.2）式是方程组(1.1）的解.称a 11a 22－a 21a 12为二阶行列式,它称为方程组（1.1）的系数行列式，记为D 。
我们若记 2221211a b a b D =2211112b a b a D =方程组的解（1.2)式可写成 D D x 11=DDx 22=对三元线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++333323213123232221211313212111bx a x a x a b x a x a x a b x a x a x a （1.3） 与二元线性方程组类似，用加减消元法可求得它的解： D D x 11=D Dx 22= DD x 33= 111213212223313233112233122331132132112332122133132231a a a Da a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a （1。
高等代数教案2.2
授课章节 §2.3 n 级行列式 §2.4 n 级行列式的性质 教学方法与手段 课堂讲授 课时安排 3 教学目的与要求：1.掌握行列式的定义。
2.掌握行列式的性质。
教学重点、难点：1．行列式的定义 2．行列式的性质 教学内容：§2.3 n 级行列式二级行列式和三级行列式的定义如下：1112112212212122a a a a a a a a =- （1） 111213212223112233122331132132132231122133112332313233a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a ++--- （2）由三级行列式定义可看出：三级行列式（2）是一些乘积的代数和，而每一次乘积都是由行列式中位于不同行和不同列的元素构成，而所有可能的位于不同行和不同列的元素的乘积，根据排列理论中的乘法原则可知共有3！=6个，3阶行列式应是这六个乘积的代数和，3阶行列式的6项都具有如下形式：123123j j j a a a其中行标形成自然排列123，列标形成1，2，3的一个排列123j j j ，1，2，3的排列有六种，3阶行列式的每一项与这6个排列之一对应，例如，项122331a a a 与排列231对应，项112332a a a 与排列132对应。
另外，每一项乘积都带有符号，其符号规律如下：当项123123j j j a a a 中的列标所成排列为偶排列时，该项带τ号，因此该项前的符号可表为123()(1)j j j τ-，当项123123j j j a a a 中列标所形成的排列为奇排列时，该项带负号，因此该项前的符号也可表为123()(1)j j j τ-。
当然，3级行列式的定义也可写为：123123123111213()212223123313233(1)j j j j j j j j j a a a a a a a a a a a a τ=-∑这里123j j j ∑表示对所有形式如123123()123(1)j j j j j j a a a τ-的项加起来，其中123j j j 取遍所有的3级排列，仿此可给出的n 级排列式的定义：定义41212121112121222()1212(1)n n nn n j j j j j nj j j j n n nna a a a a a a a a a a a τ-∑称为n 级行列式。
高等代数教案(北大版)第二章行列式
§2
排列
一．排列 定义：由 1，2，…，n 组成的一个有序数组称为一个 n 级排列 注：所有不同 n 级排列的总数是 n ! = 1 ⋅ 2 ⋅ (n − 1)n = Pn 如所有的 3 级排列是 123，132，213，231，312，321． ——共 6=3！个。 二、逆序 逆序数 我们规定各元素之间有一个标准次序, n 个不同的自然数，规定由小到大 为自然顺序。 在一个排列中，如果一对数的前后位置，与自然顺序相反，即前面的数 大于后面的数，则称这对数为一个逆序； 一个排列中逆序的总数称为这个排列的逆序数． 注： 1) 排列 123…n 称为自然排列，其逆序数为 0; 2) 排列j1 j2…jn的逆序数常记为τ(j1 j2…jn); 3) τ(j1 j2…jn) = j1后面比j1小的数的个数+ j2后面比j2小的数的个数 +…+ jn-1后面比jn-1小的数的个数。 或者 =j2前面比j2大的数的个数＋j3前面比j3大的数的个数 ＋…+jn前面比jn大的数的个数 例1 例2 排列 31542 中，逆序有那些？ 求 n 级排列 135…(2n−1)(2n) (2n−2)…42 的逆序数。
三 、奇排列、偶排列 定义：逆序数为奇数的排列称为奇排列；逆序数为偶数的排列称为偶排列； 注：自然排列 123…n 为偶排列． 练习：求下列排列的逆序数并讨论其奇偶性． 1) n(n−1)…321 2) (2n)1(2n−1)2(2n−2)3…。(n+1)n n(n − 1) key: 1) τ(n(n−1)…321) = ; 2) τ ((2n)1(2n−1)2(2n−2)3…。(n+1)n)=n2 2 四 、对换 定义：把一个排列中某两个数的位置互换，而其余的数不动，得到另一个排 列，这一变换称为一个对换．将相邻两个元素对调，叫做相邻对换． 定理 1 对换改变排列的奇偶性．即经过一次对换，奇排列变成偶排列，偶 排列变成奇排列． 证明 1) 特殊情形：作相邻对换 对换a与b → a1 al ba b1 bm 设排列为 a1 al ab b1 bm ⎯⎯⎯⎯ 除 a, b 外，其它元素所成逆序不改变， 当 a<b 时，经对换后 a 的逆序增加 1 个, b 所成逆序不变； 当 a>b 时，经对换后 b 的逆序减少 1 个, a 所成逆序不变 因此对换相邻两个元素，排列改变奇偶性。 2) 一般情形 设排列为 a1 al ab1 bm bc1 cn ，对换 a 与 b， a1 al ab1 bm bc1 al ab1
高等代数教案 第二章 行列式
第二章 行列式 (1)§1 引 言 ................................................... 1 §2 排列 .................................................... 1 §3 n 级行列式 ............................................... 2 §4 n 级行列式的性质 .......................................... 4 §5 行列式的计算 ............................................. 6 §6 行列式按一行(列)展开 ...................................... 9 §7 克兰姆法则 . (12)第二章 行列式§1 引 言1.二阶行列式及其应用二阶行列式定义为 11122122a a a a =11221221a a a a -.例如1234=1×4-2×3=-2. co s sin sin co s xxx x -=1.二阶行列式可用来解二元一次方程组:11112212112222a x a xb a x a x b +=⎧⎨+=⎩.令D =11122122a a aa ,1D =112222b a ba ,2D =111212a b ab ,当0D ≠时,方程组有唯一解11D x D=,22D x D=.例121210x x x x +=⎧⎨-=⎩,D=1111-=-2,1D =D =111-=-1,2D =1110=-1,方程组有唯一解111122D x D-===-,221122D x D-===-。
2. 三阶行列式及其应用三阶行列111213212223313233a a a aa a a a a =112233122331132132a a a a a a a a a ++-132231122133112332a a a a a a a a a --对方程组111122133121122223323113223333a x a x a x b a x a x a x b a x a x a x b++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩，令D =111213212223313233a a a a a a a a a ,1D =12132222333233b a a b a a b a a ,2D =111132122331333a b a ab a a b a ,3D =111212122231323a ab a a b a a b ，当0D ≠时,方程组有唯一解11D xD=,22D xD=,33D xD=.这一结果也适用于n 元一次方程组。
大学数学行列式性质教案
课时：2课时教学目标：1. 理解行列式的概念和性质，掌握行列式的计算方法。
2. 能够运用行列式的性质解决实际问题，如解线性方程组、判断线性方程组的解的存在性等。
3. 培养学生的逻辑思维能力和数学素养。
教学重点：1. 行列式的概念和性质2. 行列式的计算方法3. 应用行列式解决实际问题教学难点：1. 行列式的性质的理解和运用2. 行列式的计算技巧教学过程：第一课时：一、导入1. 复习线性方程组的解法，引出行列式的概念。
2. 介绍行列式的定义和性质。
二、行列式的概念1. 行列式的定义：n阶行列式是由n行n列的元素按一定的顺序排列而成的一个数。
2. 行列式的表示方法：用符号D表示n阶行列式，例如，三阶行列式可以表示为D。
三、行列式的性质1. 性质1：行列式与它的转置行列式相等。
2. 性质2：互换行列式的两行（列），行列式变号。
3. 性质3：行列式的某一行（列）中所有的元素都乘以同一数k，等于用数k乘此行列式。
4. 性质4：行列式中如果有两行（列）元素成比例，则此行列式等于零。
5. 性质5：若行列式的某一列（行）的元素都是两数之和，例如第i列元素都是两数之和，则D等于下列两个行列式之和：D = D1 + D2，其中D1为第i列元素为第一数的行列式，D2为第i列元素为第二数的行列式。
6. 性质6：把行列式的某一列（行）的各元素乘以同一数然后加到另一列（行）对应的元素上去，行列式不变。
四、行列式的计算方法1. 利用行列式的性质进行计算，如按行（列）展开、降阶等。
2. 利用行列式的性质简化计算，如化简行列式、求逆矩阵等。
五、课堂练习1. 计算以下行列式：（1）三阶行列式（2）四阶行列式2. 利用行列式的性质判断以下线性方程组的解的存在性：（1）二元线性方程组（2）三元线性方程组第二课时：一、复习1. 复习行列式的概念、性质和计算方法。
2. 回顾课堂练习。
二、应用行列式解决实际问题1. 利用行列式解线性方程组。