1-1复数及其运算
12
复数相等的概念 定义:设复数 z1 x1 y1i 复数 z2 x2 y2i
则 z1 z2 x1 x2且y1 y2
显然有
z0 z 0
z1 z2 0 z1 z2 且argz1 argz2
注：非实数的复数不能比较大小。
13
例 1 实数m取何值时, 复数 (m2 3m 4) (m2 5m 6)i
(2) i 可与实数一起按同样的法则进行四则运算.
11
复数
形如 z x yi 或 z x iy 的数称为复数. 其中 x, y 为实数，分别称为 z 的实部和虚部, 记作 x Re(z), y Im( z). 当 x 0, y 0 时, z yi 称为纯虚数; 当 y 0时, z x 0i, 我们把它看作实数 x.
14
共轭复数 实部相同而虚部绝对值相等符号相反的两
个复数称为共轭复数, z 的共轭复数记为z.
即：若 z x iy, 则 z x iy. 例 2 计算共轭复数 x yi 与 x yi 的积. 解 ( x yi)(x yi) x2 ( yi)2 x2 y2.
因此：两个共轭复数z, z 的积是一个实数.
6）应用于平面热传导问题、电(磁)场强度。 例如：热炉中温度的计算。
5
7）Laurent级数应用于数字信号处理。 利用Laurent级数直接写出离散数字信号的Z变换。
8）积分变换也是复变函数的重要应用。 积分变换的理论需要复变函数的留数等理论。
9）Laplace变换可以求解微积分方程。
例如：RLC(电阻、电感、电容）串联电路接上 电压 E 的直流电源，求电流.
z1 z2 z1 z2 . z1 z2 z1 z2 ;
y
z2
z2
o
z1 z2 z1
0
sin x(x2
x
1)
dx。
3)
应用于求解偏微分方程，如： 2u x 2
2u y2
0，
具体用在平面稳定流动（水、空气等的流速与
时间几乎无关）。
4
4）应用于计算绕流问题中的压力、力矩。 最著名的例子是飞机机翼剖面压力的计算。 从而解决机翼的造型。
5）应用于计算渗流问题。 例如：大坝、钻井的浸润曲线。
15
二、 复数的表示方法
（1）定义表示法 用 x iy 表示复数 z, 即 z x iy. 给定复数 z x iy ，则确定了实部x和虚
部y；反过来，给定实部x和虚部y, 则完全确定 了复数z, 这样，复数z与一对有序实数（x, y) 构成了一一对应关系。
因此，x iy 与（x, y) 不加区别.
复数z x iy也可用复平面上的向量OP 表示 向量具有两个重要的属性：长度、方向.
该向量的长度称为 z 的模或绝对值,
记为 z r x2 y2 .
y
y
显然成立：
r
o
x z, y z,
Pz x iy
x
x
z x y,
z z z 2 z2 .
18
复数和与差的模的性质
因为 z1 z2 表示点 z1 和 z2 之间的距离, 故
Ri L di 1
t
i(t)dt E
dt C 0
6
10）Laplace变换应用于控制问题。 在控制问题中，传递函数是输入量的Laplace变 换与输出量的Laplace变换之比。
11）Fourier变换应用于频谱分析。
频谱分析是把周期信号展开成Fourier级数， 对各次谐波的频率、振幅、相位之间的关系进 行分析。
是(1)实数; (2)纯虚数. 解 令 x m2 3m 4, y m2 5m 6, (1) 如果复数是实数, 则 y 0,
由m2 5m 6 0知 m 6 或 m 1. (2) 如果复数是纯虚数, 则x 0且y 0,
由m2 3m 4 0知m 4或m 1.
但由y 0知m 1应舍去. 即只有m 4.
9
§1-1 复数及其运算
一Δ 、复数的概念及其几何表示 二Δ、复数的代数运算 三* 、（扩充）复平面与复球面
注：标记Δ为掌握内容，标记*为了解内容。
10
一、复数的概念
为了解方程的需要，例如 : 方程 x2 1 0在 实数范围内无解, 人们引入了一个新数i, 称为虚 数单位.
对虚数单位,作如下规定: (1) i2 1;
复变函数的应用背景
世界著名数学家 M.Kline指出：19 世纪最独特的创造是复变函数理论。
像微积分的直接扩展统治了18世纪 那样，该数学分支几乎统治了19世纪。
它曾被称为这个世纪的数学享受， 也曾作为抽象科学中最和谐的理论。
1
•16 •17 •18
•19
20世纪
•16世纪，解代数方程时引入复数。
•17世纪，实变数初等函数推广到复变数情形
•18世纪，J.达朗贝尔与L.欧拉逐步阐明复数的几何 、物理意义。
•19世纪，奠定理论基础。A.L.Cauchy、维尔斯特
拉斯分别用积分和级数研究复变函数，黎曼研究复
变函数的映射性质。
•20世纪，发展为数学分支,在解析性质、映射性质
、多值性质、随机性质、函数空间及多复变函数等
方面有重要成果。
2
•空气 动力学•流 体力学Fra bibliotek复变函数论
•电
•热
学
学
•复变函数论在空气动力学、流体力学、电学、热学 、理论物理等领域有重要应用。
3
1) 从解代数方程开始，例如 : 方程
x2 1 0 在实数范围内无解; 人们引入复数。
Gauss用复数理论证明了代数基本定理。
2)
应用于积分的计算, 如
16
（2）平面表示法
我们知道，( x, y)可以用平面直角坐标系中平面 上的点表示(如图）
y z x iy
y
(x, y)
o
x
x
复数 z x iy 可以用平面上的点 ( x, y) 表示(如图）.
这种用来表示复数的平面叫复平面. 通常把横
轴叫实轴或x 轴, 纵轴叫虚轴或y 轴.
17
（3）向量表示法
12）Fourier变换应用于信号处理。 随着计算机的发展，语音、图象作为信号，在 频率域中的处理要方便得多。
7
复变函数课程的主要内容
1 引论 2 解析函数 3 复积分 4 级数 5 留数及应用 6 共形映射
8
第一章 复数与复变函数
§1-1 复数及其运算 §1-2 复平面上的曲线和区域 §1-3 复变函数与整线性映射 §1-4 复变函数的极限和连续性
复数相等的概念 定义:设复数 z1 x1 y1i 复数 z2 x2 y2i
则 z1 z2 x1 x2且y1 y2
显然有
z0 z 0
z1 z2 0 z1 z2 且argz1 argz2
注：非实数的复数不能比较大小。
13
例 1 实数m取何值时, 复数 (m2 3m 4) (m2 5m 6)i
(2) i 可与实数一起按同样的法则进行四则运算.
11
复数
形如 z x yi 或 z x iy 的数称为复数. 其中 x, y 为实数，分别称为 z 的实部和虚部, 记作 x Re(z), y Im( z). 当 x 0, y 0 时, z yi 称为纯虚数; 当 y 0时, z x 0i, 我们把它看作实数 x.
14
共轭复数 实部相同而虚部绝对值相等符号相反的两
个复数称为共轭复数, z 的共轭复数记为z.
即：若 z x iy, 则 z x iy. 例 2 计算共轭复数 x yi 与 x yi 的积. 解 ( x yi)(x yi) x2 ( yi)2 x2 y2.
因此：两个共轭复数z, z 的积是一个实数.
6）应用于平面热传导问题、电(磁)场强度。 例如：热炉中温度的计算。
5
7）Laurent级数应用于数字信号处理。 利用Laurent级数直接写出离散数字信号的Z变换。
8）积分变换也是复变函数的重要应用。 积分变换的理论需要复变函数的留数等理论。
9）Laplace变换可以求解微积分方程。
例如：RLC(电阻、电感、电容）串联电路接上 电压 E 的直流电源，求电流.
z1 z2 z1 z2 . z1 z2 z1 z2 ;
y
z2
z2
o
z1 z2 z1
0
sin x(x2
x
1)
dx。
3)
应用于求解偏微分方程，如： 2u x 2
2u y2
0，
具体用在平面稳定流动（水、空气等的流速与
时间几乎无关）。
4
4）应用于计算绕流问题中的压力、力矩。 最著名的例子是飞机机翼剖面压力的计算。 从而解决机翼的造型。
5）应用于计算渗流问题。 例如：大坝、钻井的浸润曲线。
15
二、 复数的表示方法
（1）定义表示法 用 x iy 表示复数 z, 即 z x iy. 给定复数 z x iy ，则确定了实部x和虚
部y；反过来，给定实部x和虚部y, 则完全确定 了复数z, 这样，复数z与一对有序实数（x, y) 构成了一一对应关系。
因此，x iy 与（x, y) 不加区别.
复数z x iy也可用复平面上的向量OP 表示 向量具有两个重要的属性：长度、方向.
该向量的长度称为 z 的模或绝对值,
记为 z r x2 y2 .
y
y
显然成立：
r
o
x z, y z,
Pz x iy
x
x
z x y,
z z z 2 z2 .
18
复数和与差的模的性质
因为 z1 z2 表示点 z1 和 z2 之间的距离, 故
Ri L di 1
t
i(t)dt E
dt C 0
6
10）Laplace变换应用于控制问题。 在控制问题中，传递函数是输入量的Laplace变 换与输出量的Laplace变换之比。
11）Fourier变换应用于频谱分析。
频谱分析是把周期信号展开成Fourier级数， 对各次谐波的频率、振幅、相位之间的关系进 行分析。
是(1)实数; (2)纯虚数. 解 令 x m2 3m 4, y m2 5m 6, (1) 如果复数是实数, 则 y 0,
由m2 5m 6 0知 m 6 或 m 1. (2) 如果复数是纯虚数, 则x 0且y 0,
由m2 3m 4 0知m 4或m 1.
但由y 0知m 1应舍去. 即只有m 4.
9
§1-1 复数及其运算
一Δ 、复数的概念及其几何表示 二Δ、复数的代数运算 三* 、（扩充）复平面与复球面
注：标记Δ为掌握内容，标记*为了解内容。
10
一、复数的概念
为了解方程的需要，例如 : 方程 x2 1 0在 实数范围内无解, 人们引入了一个新数i, 称为虚 数单位.
对虚数单位,作如下规定: (1) i2 1;
复变函数的应用背景
世界著名数学家 M.Kline指出：19 世纪最独特的创造是复变函数理论。
像微积分的直接扩展统治了18世纪 那样，该数学分支几乎统治了19世纪。
它曾被称为这个世纪的数学享受， 也曾作为抽象科学中最和谐的理论。
1
•16 •17 •18
•19
20世纪
•16世纪，解代数方程时引入复数。
•17世纪，实变数初等函数推广到复变数情形
•18世纪，J.达朗贝尔与L.欧拉逐步阐明复数的几何 、物理意义。
•19世纪，奠定理论基础。A.L.Cauchy、维尔斯特
拉斯分别用积分和级数研究复变函数，黎曼研究复
变函数的映射性质。
•20世纪，发展为数学分支,在解析性质、映射性质
、多值性质、随机性质、函数空间及多复变函数等
方面有重要成果。
2
•空气 动力学•流 体力学Fra bibliotek复变函数论
•电
•热
学
学
•复变函数论在空气动力学、流体力学、电学、热学 、理论物理等领域有重要应用。
3
1) 从解代数方程开始，例如 : 方程
x2 1 0 在实数范围内无解; 人们引入复数。
Gauss用复数理论证明了代数基本定理。
2)
应用于积分的计算, 如
16
（2）平面表示法
我们知道，( x, y)可以用平面直角坐标系中平面 上的点表示(如图）
y z x iy
y
(x, y)
o
x
x
复数 z x iy 可以用平面上的点 ( x, y) 表示(如图）.
这种用来表示复数的平面叫复平面. 通常把横
轴叫实轴或x 轴, 纵轴叫虚轴或y 轴.
17
（3）向量表示法
12）Fourier变换应用于信号处理。 随着计算机的发展，语音、图象作为信号，在 频率域中的处理要方便得多。
7
复变函数课程的主要内容
1 引论 2 解析函数 3 复积分 4 级数 5 留数及应用 6 共形映射
8
第一章 复数与复变函数
§1-1 复数及其运算 §1-2 复平面上的曲线和区域 §1-3 复变函数与整线性映射 §1-4 复变函数的极限和连续性
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工程数学《复变函数》(第四版)课件 1-1,2 西安交大 天津工业大学理学院 赵璐
z1 z2 z2 z1
z1 + ( z2 + z3 ) = ( z1 + z2 ) + z3
z1 ( z2 z3 ) = ( z1 z2 ) z3
分配律
z1 ( z2 + z3 ) = z1 z2 + z2 z3
9
⑤ 设 z x iy, 定义 z的共轭复数z x iy. 共轭复数的性质： i) ii)
x x1 t x 2 x1 y y1 t y 2 y1
t
∴它的复数形式的参数方程为
z x yi z1 t z2 z1 t
由z1 到 z 2 直线段的参数方程为
20
z1 z 2 1 特别地，取 t , 则线段 z1 z2 的中点为 z 2 2
z1 5 5i 3 4i 5 5i 3 4i 3 4i z 2 3 4i
z1 求 与 z2
z1 z 2
25 1 3i z , 求 Rez , Im z 与 zz . 例2 设 i 1 i
复 变 函 数
教师： 赵璐 邮箱：zhaolu.nan@
课程介绍
• 研究对象：复变函数（自变量为复数的函数） • 主要任务：研究复变数之间的相互依赖关系，
具体地就是复数域上的微积分。
· 学习方法：复变函数中许多概念、理论、和方
法是实变函数在复数域内的推广和发展，它们之 间有许多相似之处，但又有不同之点，在学习中 要善于比较、区别、特别要注意复数域上特有的 那些性质与结果。
x1 x2 y1 y2 i x2 y1 x1 y2 x1 x2 y1 y2 i x1 y2 x2 y1 2 x1 x2 y1 y2 2 Rez1 z2
z1 + ( z2 + z3 ) = ( z1 + z2 ) + z3
z1 ( z2 z3 ) = ( z1 z2 ) z3
分配律
z1 ( z2 + z3 ) = z1 z2 + z2 z3
9
⑤ 设 z x iy, 定义 z的共轭复数z x iy. 共轭复数的性质： i) ii)
x x1 t x 2 x1 y y1 t y 2 y1
t
∴它的复数形式的参数方程为
z x yi z1 t z2 z1 t
由z1 到 z 2 直线段的参数方程为
20
z1 z 2 1 特别地，取 t , 则线段 z1 z2 的中点为 z 2 2
z1 5 5i 3 4i 5 5i 3 4i 3 4i z 2 3 4i
z1 求 与 z2
z1 z 2
25 1 3i z , 求 Rez , Im z 与 zz . 例2 设 i 1 i
复 变 函 数
教师： 赵璐 邮箱：zhaolu.nan@
课程介绍
• 研究对象：复变函数（自变量为复数的函数） • 主要任务：研究复变数之间的相互依赖关系，
具体地就是复数域上的微积分。
· 学习方法：复变函数中许多概念、理论、和方
法是实变函数在复数域内的推广和发展，它们之 间有许多相似之处，但又有不同之点，在学习中 要善于比较、区别、特别要注意复数域上特有的 那些性质与结果。
x1 x2 y1 y2 i x2 y1 x1 y2 x1 x2 y1 y2 i x1 y2 x2 y1 2 x1 x2 y1 y2 2 Rez1 z2
新教材高中数学第5章复数1复数的概念及其几何意义1-1复数的概念课件北师大版必修第二册
【对点练习】❷ m 取何实数时，复数 z＝m2m－＋m3－6＋(m2－2m－15)i. (1)是实数？ (2)是虚数？ (3)是纯虚数？
[解析] (1)由条件得mm2＋－32≠m0－，15＝0， ∴mm＝ ≠－5或3.m＝－3， ∴当 m＝5 时，z 是实数． (2)由条件得mm2＋－32≠m0－. 15≠0， ∴mm≠ ≠5－且3m. ≠－3， ， ∴当 m≠5 且 m≠－3 时，z 是虚数．
[解析] 由 m2＋5m＋6＝0 得，m＝－2 或 m＝－3，由 m2－2m－15 ＝0 得 m＝5 或 m＝－3.
(1)当 m2－2m－15＝0 时，复数 z 为实数，∴m＝5 或－3. (2)当 m2－2m－15≠0 时，复数 z 为虚数， ∴m≠5 且 m≠－3. (3)当mm22－ ＋25mm－ ＋165＝≠00. ， 时，复数 z 是纯虚数，∴m＝－2. (4)当mm22－ ＋25mm－ ＋165＝＝00. ， 时，复数 z 是 0，∴m＝－3.
基础自测
1．辨析记忆(对的打“√”，错的打“×”)
(1)若a，b为实数，则z＝a＋bi为虚数．
(×)
(2)若a为实数，则z＝a一定不是虚数．
(√)
(3)如果两个复数的实部的差和虚部的差都等于0，那么这两个复数
的相等．
(√)
[解析] (1)当b＝0时，z＝a＋bi为实数．
(3)如果两个复数的实部的差和虚部的差都等于0，则这两个复数的
a2－3a－1＝3， ∴a2－5a－6＝0. 解得 a＝－1．
4．若复数z＝(m＋1)＋(m2－9)i<0，则实数m的值等于__－__3__. m2－9＝0
[解析] ∵z<0，∴m＋1<0 ，∴m＝－3.
5．实数m分别取什么数值时，复数z＝(m2＋5m＋6)＋(m2－2m－15)i
数理方法第一章答案
[i(/4+2k)] i
+2n
(n=0, ± 1, ± 2…;k=0,
±1, ±2…) (4)cosh(1-i) = = -
=cosh1cos1-isinh1sin1 1-8 求出下列多值函数的所有支点并构造其 黎曼面 (1)= i i 解：令=e ,z-a=re 2 2 2i i 则 =z-a,即 e = re 2 所以 =r→= 2=+2n 与 r 一一对应，但与不对应
13求下列复数的值复数的标准形式16利用复数求下列和式sinsincos2n1isin2n17求下列函数值1sin15isin1cos5icos1sin5isin1cosh1cos1isinh1sin118求出下列多值函数的所有支点并构造其黎曼面重复所以只有两支2n可见有无穷多支因为不同n对应不同18光信息1001唐丽红输入求出下列多值函数的所有支点并构造其黎曼面2n可见有无穷多支因为不同n对应不同w
当 n=0, 1=/2 当 n=1, 2=/2+ 当 n=2, 3=/2+2,与 n=0 重复 所以只有两支 图略 （2 ）解： ,令 . 则
可见有无穷多支，因为不同 n 对应不同
1-8 （光信息 1001 唐丽红输入）求出下列多值函数的所有支点 并构造其黎曼面 （2）解： 则 ,令 .
所以（1）= (2)=
1-7 求下列函数值 (1)sin(1-5i) =sin1cos5i-cos1sin5i =sin1
i ( 5i ) e i ( 5i ) e z2 )
z1 z1 z2 z2 z2 z1 z1 z2
z1 z 2 ( z1 z2 z1 z2 )
1-1复数的基本概念
§1.1 复数的基本概念授课要点：复数的定义，复数的代数表示，三角式、指数式及它们与复数几何表示（二维向量）之间的关系1、 复数的定义：设有一个有序数对(),a b ，遵从如下的运算法则加法：()()()11221212,,,a b a b a a b b +=++乘法：()(),,(,)a b c d ac bd ad bc =-+则称这一有序数对(),a b 为复数，记为α，即 α=(),a b其中a 为α实部，b 为α的虚部，记为a =Re α，b =Im α纯实数a =(),0a ，纯虚数记为b =()0,b ，所以有α=(),0a +()0,b =a(1,0)+b （0,1）其中(0，1)即为虚数单位，常记为i.2、 复数的相等与大小两个复数相等的充要条件是：实部、虚部分别相等.复数不能比较大小！这一点可用反证法证明：假设认为i ＞0，则在不等式两边同乘以一个大于0的数i ，不等式符号应当不变，即20i >即 -1>0，这显然是错误的！3、 几个特殊的复数：(0，0）：(0,0)(,)(,)(0,0)(,)(0,0)a b a b a b +=⎧⎨=⎩(1,0)：(1,0)(,)(,)a b a b =(0,1)：（0,1）(0,1)=(-1，0)=-1(0,1）是-1的平方根，是虚数单位，记为i =(0,1)4、 共轭复数：(,)a b α=，*(,)a b α=-互为共轭复数性质：**()αα=（共轭的共轭等于自己）*2ααα+=为实数（两个互为共轭的复数相加，结果必为实数） *22a b αα⋅=+，为非负实数（α的模方）5、 复数的减法、除法减法：()()()()a ib c id a c i b d +-+=-+- 除法：2222()()()()a ib a ib c id ac bd bc ad i c id c id c id c d c d++-+-==+++-++ ↑“分母实数化”6、 复数的几何表示：（1） 任何一个复数都可以和复平面上的一点对应，将这一点和原点连起来（原点为起点），形成一个二维矢量，这是一个二维自由向量，即将op 平移后，仍代表同一矢量（如右图所示）（2） 加法的几何表示（平行四边形法则与三角形法则）γαβ=+（3） 减法的几何表示：γαβ=- 复数不等式1212z z z z +≤+，1212z z z z -≤-，这 可以用三角形法则证明7、 复数的极坐标表示极坐标下，复数(cos sin )r i αθθ=+r 称为α的模，θ为辐角，记为：，r α=，Arg θα=辐角不唯一，辐角加上2π的任意整数倍代表同一个复数，将（0，2π）之间的辐角值称为辐角的主值arg αarg 2Arg k ααπ=+⋅.（k=0，±1，±2，……）提示：各种教材上的主值区间规定可能不一样，（0，0）的辐角无意义复共轭：(cos sin )a bi r i αθθ=+=+*(cos sin )a bi r i αθθ=-=-乘法：111(cos sin )r i αθθ=+222(cos sin )r i βθθ=+则 121122(cos sin )(cos sin )r r i i αβθθθθ=++1212121212(cos cos sin sin )(sin cos cos sin )r r i θθθθθθθθ=-++121212[cos()sin()]r r i θθθθ=+++规则是：模相乘，辐角相加 除法：112122[cos()sin()]r i r αθθθθβ=-+-规则是：模相除，辐角相减相比较而言，在极坐标表示下，复数的乘除运算比较容易8、 复数的指数表示欧拉公式：cos sin i e i θθθ=+ (cos sin )i r i re θαθθ=+=称为复数α的指数表示复数表示下，乘法，除法变得更容易1212()1212i i i r e r e r r e θθθθαβ+⋅=⋅= 1212()1122i i i re r er e r θθθθαβ-== 乘方，开方运算: i re θα=n n in r e θα=(2),0,1,21i k n re k n θπ+⋅==-小结:这一小结是对高中阶段所学复数知识的一个简短的总结回顾，没有难点。
复变函数1-1
Math
SNNU
复数域:
1. 复数
复数:形如:z=x+iy或z=x+yi的数，其中x和y是任 ( 意的实数，i是虚数单位1 的平方根）. x和y分别称为的实部和虚部，分别记作：
x Re z, y Im z
注：复数相等是指它们的实部与虚部分别相等. 如果Imz=0，则z可以看成一个实数； 如果Imz不等于零，那么称z为一个虚数； 如果Imz不等于零，而Rez=0，称z为一个纯虚数.
y y
z x iy
( x, y)
复数 z x iy 可以用复平 面上的点( x , y ) 表示.
o
x
x
2. 复数的模(或绝对值)
复数 z x iy 可以用复平面上的向量 表示, OP
向量的长度称为z 的模或绝对值,
记为 z r x y .
2 2
y y
显然下列各式成立
2.复数的四则运算
复数的四则运算定义为：
(a1 ib1 )(a2 ib2 ) (a1a2 b1b2 ) i(a1b2 a2b1 )
(a1 ib1 ) a1a2 b1b2 a2b1 a1b2 i 2 2 2 2 (a2 ib2 ) a2 b2 a2 b2
解 z 1 cos i sin 2 sin 2i sin cos 2 2 2 2 sin sin i cos 2 2 2
2
π π 2 sin cos i sin (三角式) 2 2 2 2 sin e 2
( z1 z1 )( z2 z2 ) z1 z2 .
(2) z1 z2 ( z1 z2 )( z1 z2 ) ( z1 z2 )( z1 z2 )
SNNU
复数域:
1. 复数
复数:形如:z=x+iy或z=x+yi的数，其中x和y是任 ( 意的实数，i是虚数单位1 的平方根）. x和y分别称为的实部和虚部，分别记作：
x Re z, y Im z
注：复数相等是指它们的实部与虚部分别相等. 如果Imz=0，则z可以看成一个实数； 如果Imz不等于零，那么称z为一个虚数； 如果Imz不等于零，而Rez=0，称z为一个纯虚数.
y y
z x iy
( x, y)
复数 z x iy 可以用复平 面上的点( x , y ) 表示.
o
x
x
2. 复数的模(或绝对值)
复数 z x iy 可以用复平面上的向量 表示, OP
向量的长度称为z 的模或绝对值,
记为 z r x y .
2 2
y y
显然下列各式成立
2.复数的四则运算
复数的四则运算定义为：
(a1 ib1 )(a2 ib2 ) (a1a2 b1b2 ) i(a1b2 a2b1 )
(a1 ib1 ) a1a2 b1b2 a2b1 a1b2 i 2 2 2 2 (a2 ib2 ) a2 b2 a2 b2
解 z 1 cos i sin 2 sin 2i sin cos 2 2 2 2 sin sin i cos 2 2 2
2
π π 2 sin cos i sin (三角式) 2 2 2 2 sin e 2
( z1 z1 )( z2 z2 ) z1 z2 .
(2) z1 z2 ( z1 z2 )( z1 z2 ) ( z1 z2 )( z1 z2 )
12.2第1课时复数的加减与乘法运算-【最新版】苏教版(2019)高中数学必修第二册精品课件
探 究
(3)已知复数 z 满足|z|＋z＝1＋3i，求 z.
时 分
层
释
作
疑
业
难
·
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17
·
情
课
景
堂
导
小
学
结
·
探
提
新 知
(1)1＋i [13＋12i＋(2－i)－43－32i＝13＋2－34＋12－1＋23i
素 养
合
作 探
＝1＋i.]
课 时
究
分
层
释
作
疑
业
难
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·
18
·
情
课
景
(2)[解] 法一：设 z＝x＋yi(x，y∈R)，
提 素
知
养
①复数的乘法法则
合
作
课
探
设 z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，
究
时 分
释 疑
z1z2＝(a＋bi)(c＋di)＝_(_a_c_－_b_d_)_＋__(a_d_＋__b_c_)_i ______.
层 作 业
难
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8
·
情
课
景
堂
导
②乘法运算律
小
学
结
·
探 新
对于任意 z1，z2，z3∈C，有
难
复数仍是它本身．
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·
10
·
情
课
景
堂
导
思考：复数的乘法与多项式的乘法有何不同？
小
学
结
·
探
提
新第1课时 复数的加减与乘法运算
1-1复数及其运算
2
复变函数的应用背景
M.Kline指出 指出： 世界著名数学家 M.Kline指出：19 世纪最独特的创造是复变函数理论。 世纪最独特的创造是复变函数理论。 象微积分的直接扩展统治了18世纪 象微积分的直接扩展统治了18世纪 18 那样，该数学分支几乎统治了19世纪。 19世纪 那样，该数学分支几乎统治了19世纪。 它曾被称为这个世纪的数学享受， 它曾被称为这个世纪的数学享受， 也曾作为抽象科学中最和谐的理论。 也曾作为抽象科学中最和谐的理论。
Argz = arg z + 2kπ
k = 0, ± 1, ± 2,L
如何确定辐角？ 已知复数 z = x + iy , 如何确定辐角？
24
z ≠ 0 辐角的主值
y x > 0, arctan x , ± π, x = 0, y ≠ 0, 2 arg z = arctan y ± π, x < 0, y ≠ 0, x π, x < 0, y = 0.
֠ 一般, 任意两个复数不能比较大小。 一般, 任意两个复数不能比较大小。
13
(3 + 4i )( −2 + 5i ) 求 Re z , 例1 设 z = 3i
z = ( −6 − 20) + (15 − 8)i = 7 + 26 i 解
3i 3 3 7 Re z = , 3
zz = (Re z )2 + (Im z )2 49 676 725 = + = 9 9 9
(imaginary part)
当 x = 0 , y ≠ 0 时 , z = iy 称为纯虚数 ; 当 y = 0 时 , z = x + 0 i , 我们把它看作实数 x .
复变函数的应用背景
M.Kline指出 指出： 世界著名数学家 M.Kline指出：19 世纪最独特的创造是复变函数理论。 世纪最独特的创造是复变函数理论。 象微积分的直接扩展统治了18世纪 象微积分的直接扩展统治了18世纪 18 那样，该数学分支几乎统治了19世纪。 19世纪 那样，该数学分支几乎统治了19世纪。 它曾被称为这个世纪的数学享受， 它曾被称为这个世纪的数学享受， 也曾作为抽象科学中最和谐的理论。 也曾作为抽象科学中最和谐的理论。
Argz = arg z + 2kπ
k = 0, ± 1, ± 2,L
如何确定辐角？ 已知复数 z = x + iy , 如何确定辐角？
24
z ≠ 0 辐角的主值
y x > 0, arctan x , ± π, x = 0, y ≠ 0, 2 arg z = arctan y ± π, x < 0, y ≠ 0, x π, x < 0, y = 0.
֠ 一般, 任意两个复数不能比较大小。 一般, 任意两个复数不能比较大小。
13
(3 + 4i )( −2 + 5i ) 求 Re z , 例1 设 z = 3i
z = ( −6 − 20) + (15 − 8)i = 7 + 26 i 解
3i 3 3 7 Re z = , 3
zz = (Re z )2 + (Im z )2 49 676 725 = + = 9 9 9
(imaginary part)
当 x = 0 , y ≠ 0 时 , z = iy 称为纯虚数 ; 当 y = 0 时 , z = x + 0 i , 我们把它看作实数 x .
复变函数-1-1
若 z0 , M 为任意正数，满足 | z | M 的点集称为
的邻域，满足M | z | 的点集称为的去心邻域。
26
3、聚点、孤立点、外点、内点、界点
1）聚点：对于点集E, 若 z0的任意邻域都有E的无穷
多个点，称 z0 为E的聚点或极限点。
2）孤立点：若 z0 E, 但非E的聚点，称为E的孤立点。 3）外点：若 z0 E，又非E的聚点，则称 z0为E的外点。
10
4.复数的三角表示式：
1）模和幅角的定义
习惯上把表示式zxiy称为复数的直角坐标表示式或代
数形式，利用直角坐标系和极坐标之间的联系
三
则
x r cos y r sin
角 表
示
z r(cos i sin )
式
其中 r 表示 z 所对应向量的长度，称为 z 的模，记作 r | z | ,
称为 z 的幅角，记作 Argz, 把其中落在 ( , ]
z1 z2 x1 x2, y1 y2
6
3、共轭复数
若 z x iy ，它的共轭复数就定义为： z x iy
若两个复数实部相等，虚部互为相反数，则称这两 个复数是共轭的。 二、复数的代数运算： 1、加减法：
z 1 z 2 ( x 1 i y 1 ) ( x 2 i y 2 ) ( x 1 x 2 ) i ( y 1 y 2 )
2、乘除法：
z 1 z 2 ( x 1 i y 1 ) ( x 2 i y 2 ) ( x 1 x 2 y 1 y 2 ) i ( x 1 y 2 x 2 y 1 )
z1 x1 iy1 ( x1 iy1 )( x2 iy2 ) z2 x2 iy2 ( x2 iy2 )( x2 iy2 )
和z1 z2
的邻域，满足M | z | 的点集称为的去心邻域。
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3、聚点、孤立点、外点、内点、界点
1）聚点：对于点集E, 若 z0的任意邻域都有E的无穷
多个点，称 z0 为E的聚点或极限点。
2）孤立点：若 z0 E, 但非E的聚点，称为E的孤立点。 3）外点：若 z0 E，又非E的聚点，则称 z0为E的外点。
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4.复数的三角表示式：
1）模和幅角的定义
习惯上把表示式zxiy称为复数的直角坐标表示式或代
数形式，利用直角坐标系和极坐标之间的联系
三
则
x r cos y r sin
角 表
示
z r(cos i sin )
式
其中 r 表示 z 所对应向量的长度，称为 z 的模，记作 r | z | ,
称为 z 的幅角，记作 Argz, 把其中落在 ( , ]
z1 z2 x1 x2, y1 y2
6
3、共轭复数
若 z x iy ，它的共轭复数就定义为： z x iy
若两个复数实部相等，虚部互为相反数，则称这两 个复数是共轭的。 二、复数的代数运算： 1、加减法：
z 1 z 2 ( x 1 i y 1 ) ( x 2 i y 2 ) ( x 1 x 2 ) i ( y 1 y 2 )
2、乘除法：
z 1 z 2 ( x 1 i y 1 ) ( x 2 i y 2 ) ( x 1 x 2 y 1 y 2 ) i ( x 1 y 2 x 2 y 1 )
z1 x1 iy1 ( x1 iy1 )( x2 iy2 ) z2 x2 iy2 ( x2 iy2 )( x2 iy2 )
和z1 z2
1-1复数及其表示
e i cos i sin ,
则复数z r (cos i sin )可以表示为：
z re i
27
例 1 将下列复数化为三角表示式与指数表示式:
(1) z 12 2i; ( 2) z sin i cos ; 5 5
解
(1) r z 12 4 4, 因 z 在第三象限,
2 2 2 2 2 2 2 2
( z1 z2 )2 ,
两边同时开方得 z1 z2 z1 z2 .
31
例 3 求下列方程所表示的曲线:
(1) z i 2; ( 3) Im(i z ) 4.
( 2) z 2i z 2 ;
解 (1) 方程 z i 2 表示所有与点 i 距离
复变函数论
•电 学
•热 学
复变函数 在电路原理、自动控制原理以及“信号与 系统”方面有着重要的应用。 3
1）应用于积分的计算。如
0
2
sin x dx 2 x( x 1)
2
u u 2）求解偏微分方程。 如： 2 2 0。 x y
3）应用于计算渗流问题。
例如：大坝、钻井的浸润曲线。
, 证明 : 例 2 设 z1 , z 2 为两个任意复数 (1) z1 z 2 z1 z 2 ; (2) z1 z 2 z1 z 2 .
证 (1) z1 z2 ( z1 z2 )( z1 z2 )
( z1 z2 )( z1 z2 ) ( z1 z1 )( z2 z2 ) z1 z2 .
19
（3）复数的向量表示法
复数z x iy也可用复平面上的向量 OP 表示
向量具有两个重要的属 性：长度、方向 .
复变函数1 - 1 复数
为/3。因此
逆：z3-z1=(z2-z1)(cos /3+isin /3) 顺: z3-z1=(z2-z1)(cos /3-isin /3) 代入数字即可解出。
例 3. 设P0P1…Pn-1为单位圆的内接正n
边形。求证：P0P1·P0P2·…·P0Pn-1=n
例 3. 设P0P1…Pn-1为单位圆的内接正n
OP
q
O
x
y
z = x + iy 0
P z=x+iy
P(x,y)
OP
q
O
x
模：即OP的长度
| z |
x y
2
2
y
z = x + iy 0
P z=x+iy
P(x,y)
OP
q
O
x
辐角：OP与x轴正向夹角， 从x轴正向逆时针 转到OP为正，
模：即OP的长度
| z |
x y
2
2
记作 Arg z
y
确定OP 确定|z|=r和
P z=x+iy
q
O
x
y
确定OP 确定|z|=r和 x=rcos，y=rsin 三角表示： z=r(cos+isin)
P z=x+iy
q
O
x
y
确定OP 确定|z|=r和 x=rcos，y=rsin 三角表示： z=r(cos+isin)
分析：乘方(或开方)运算和乘法类似，
应用指数形式或者三角形式，体
现为模的乘方(或开方)和辐角的
倍数(或等分)。
例 1. 求(1+i)1/3的所有值。