第3章 连续时间信号与系统的频域分析第三次(1)
三连续时间信号与系统的频域分析
第三章连续时间信号与系统的频域分析3.1 信号的正交分解3.1.1 正交函数集3.1.2 信号的正交分解与最小均方误差3.2 周期信号的傅里叶级数分析图3.1 周期信号图3.2 由持续时间为一个周期的信号作周期性的延拓而形成的周期信号3.2.1 傅里叶级数的三角函数形式3.2.2 傅里叶级数的指数形式3.2.3 函数的对称性与傅里叶系数的关系图3.3 偶函数图3.4 奇函数图3.5 奇谐函数图3.6 方波信号示意图图3.7 奇对称周期信号图3.8 周期矩形脉冲信号3.3 周期信号的频谱3.3.1 周期信号频谱的特点图3.9 周期信号的频谱3.3.2 周期矩形脉冲的频谱图3.11 周期性矩形脉冲示意图图3.12 取样（抽样）函数波形图图3.13 周期矩形脉冲的频谱图图3.14 周期矩形脉冲的幅度谱和相位谱图图3.15 脉冲宽度与频谱的关系图3.16 周期与频谱的关系3.3.3 周期信号的功率3.4 非周期信号的频谱图3.17 利用f（t）构成一个新的周期信号fT（t）图3.18 傅里叶频谱线的变化图3.19 在T→∞时，傅里叶级数变为傅里叶积分图3.20 门函数及其频谱图3.21 单边指数函数和频谱3.5 常用非周期信号的傅里叶变换3.5.1 单位冲激图3.22 单位冲激函数及其频谱3.5.2 冲激函数导数3.5.3 单位直流信号图3.23 求极限过程图3.24 直流信号及其频谱3.5.4 单位阶跃信号图3.25 单位阶跃信号及其频谱3.5.5 符号函数图3.26 符号函数及其频谱3.5.6 矩形脉冲信号图3.27 门函数及其频谱图3.5.7 虚指数函数3.5.8 周期信号3.5.9 高斯函数信号图3.28 高斯函数信号及其频谱3.6 傅里叶变换的性质3.6.1 线性性质图3.29 f（t）的信号波形与分解图3.6.2 奇偶特性3.6.3 正反变换的对称性图3.30 抽样函数与其频谱图3.6.4 尺度变换（展缩性质或波形的缩放特性）3.6.5 时移特性3.6.6 频移特性图3.31 f（t）与fa（t）及其频谱3.6.7 卷积定理图3.32 信号f（t）及其分解图图3.33 f（t）信号频谱图3.6.8 时域微分和积分性质图3.34 信号f（t）、一阶导数和二阶导数的图3.6.9 频域微分和频域积分3.6.10 能量谱和功率谱表3.2 傅里叶变换的主要性质3.7 傅里叶反变换3.7.1 利用傅里叶变换对称特性3.7.2 部分分式展开3.7.3 利用傅里叶变换性质和常见信号的傅里叶变换对3.8 LTI系统的频域分析3.8.1 频率响应图3.35 时域分析与频域分析示意图图3.36 例3.23图3.8.2 信号无失真传输图3.37 无失真传输系统的幅频特性和相频特性3.8.3 理想低通滤波器的响应图3.38 理想滤波器频率特性示意图图3.39 理想低通滤波的冲激响应与阶跃响应示意图3.9 希尔伯特变换3.9.1 因果时间函数的傅里叶变换的实部或虚部自满性3.9.2 连续时间解析信号的希尔伯特变换表示法图3.40 连续时间90°相移器3.10 调制与解调3.10.1 正弦幅度调制和解调图3.41 幅度调制的基本模型图3.42 复指数载波幅度调制所进行的频谱搬移图3.43 连续时间正弦幅度调制和解调图3.44 调幅传输系统的基本模型图3.45 调幅波及其频谱图3.46 包络检波的工作过程图3.47 双边带和单边带调幅的已调制信号频谱图3.48 利用理想高通滤波器获得只包含上边带的单边带信号图3.49 实信号恢复出原实信号的示意图图3.50 利用希尔伯特变换实现下边带的单带调制器3.10.2 脉冲幅度调制图3.51 连续时间脉冲幅度调制及其波形图图3.52 图3.51（a）中连续时间脉冲幅度调制的频谱示意图3.11 连续时间信号的抽样3.11.1 周期抽样图3.53 抽样脉冲及抽样信号的波形图3.54 抽样过程方框图3.11.2 抽样的时域表示图3.55 矩形抽样信号频谱图3.56 冲激抽样及其频谱图3.57 混叠现象3.11.4 连续时间信号的重建图3.58 由抽样信号恢复连续信号图 3.59图 3.60图 3.61图 3.62图 3.63图 3.64图 3.65图 3.66图 3.67图 3.68图 3.69图 3.70图 3.71图 3.72图 3.73图 3.74。
信号与系统不挂科-3-连续时间信号的频域分析
双边幅度谱为单边幅度谱幅度取一一半以后偶延拓拓（除直流分量量），直流分量量不不变。
双边相位谱为单边相位谱直接奇延拓拓。
例例题3-2 试作出例例3-1信号的双边频谱。
例例题3-3
一一周期信号为f
(t)
=
2
+
3
cos(t
−
π 6
)
+
sin(3t
−
π 6
)
−
2
cos(5t
−
π 3
)；
试分别作出此信号的单、双边幅度图和相频图。
*
F(
j
ω)]，f
3(t
)
↔
1 (2π)2
[F
(
jω)
*
F
(
jω)
*
F
(
jω)]。
例例题3-14
求g6(t)cos 5t的傅里里里叶变换。
时域微分性质
若f (t) ↔ F( jω)，则
df (t) dt
↔ jωF( jω)
dn f (t) dtn
↔ ( jω)nF(
jω)
时域积分性质
若f (t)
↔
t
「信号与系统不挂科」第三讲讲义
3.1.傅里叶级数与信号的频谱
3.1.1.傅里里里叶级数
三⻆角形式的傅里里里叶级数
周期为T的信号fT (t )满足足狄利利克雷雷条件，可展开为傅里里里叶级数：
fT (t )
=
a0 2
+∞
+ ∑ (an cos nΩt
n=1
+ bn sin nΩt)
其中Ω
=
2π T
称为基波⻆角频率，f
信号与系统分析PPT电子教案第三章连续时间信号与系统的频谱分析
f (t ) A0 An cos(n1t n ) n1
A0
n1
An 2
[e e ] j(n1t n ) j(n1t n )
A0
1 2
n1
An
e e jn jn1t
1 2
n1
An
e e jn jn1t
上式中第三项的n用–n代换，则上式写为
f (t)
A0
1 2
n1
An e jn e jn1t
T0
因此，信号绝对可积就保证了 ak 的存在。
② 在任何有限区间内，只有有限个极值点，且极值
为有限值。
③ 在任何有限区间内，只有有限个第一类间断点。
其它形式
余弦形式 f (t) A0 An cos n1t n
2
n1
A0 a0
an An cosn
An an2 bn2
bn An sinn
cos
2 1 t
4
，
请画出其幅度谱和相位谱。
化为余弦形式
f (t) 1
5
cos(1t
0.15
)
cos
2 1 t
4
三角形式的傅里叶级数的谱系数
三角函数形式的频谱图
A0 1
0 0
An A1 2.24
A0 1
A2 1
0 1 21
n
0.25
1
0
21
0.15
A1 5 2.236 1 0.15
在时域可以看到，如果一个周期信号的周期趋 于无穷大，则周期信号将演变成一个非周期信 号；反过来，任何非周期信号如果进行周期性 延拓，就一定能形成一个周期信号。我们把非 周期信号看成是周期信号在周期趋于无穷大时 的极限，从而考查连续时间傅立叶级数在 T趋 于无穷大时的变化，就应该能够得到对非周期 信号的频域表示方法。
第3章 连续时间信号与系统的频域分析
图 中 T 5
T
Fn
Fn是实函数，幅度/相位可 在一个图中画出
Fn 0，相位为 0， Fn 0, 相位为 π 2π
0
0 0
(1)包络线形状：取样函数
(2) 其最大值在n 0处，为 T
(3)离散谱（谐波性） 当ω n0 取值 2π （4 )第一个零点坐标： 令 n0 π n0＝ 2 π 2
| Fn |
初相为
jn
19
指数形式与三角形式系数之间的关系为
1 1 Fn Fn e jn (bn jcn ) An e jn 2 2 1 1 j n F n (bn jcn ) An e 2 2 1 Fn An F n 2 cn n arctan bn Fn F n 2 Re Fn bn An cos n j ( Fn F n ) j 2 Im Fn cn An sin n
其中n＝1、2、3、。。。，t0为任意实数
bn是n的偶函数，cn是n的奇函数
7
也可以写成另外一种形式：
¥
fT (t ) = A0 + å An cos(nw 0 t + j n )
n=1 2 n 2 n
(3.1.2)
A0 = a0 , An = b + c , (n = 1, 2, 3 ) - cn j n = arctan( ) bn
3.1.2 指数函数形式的傅里叶级数
三角形式的傅里叶级数，含义明确，但运算
jnw 0 t F e å n (n = 0, ±1, ±2...) ¥
不方便，因而常采用指数形式的傅里叶级数
《信号与系统》第3章 连续信号与系统的频域分析 PPT课件
3.1 信号的正交分解
3.1.1 矢量的正交分解 V2
1. 正交矢量
90 °
o
V1
图 3.1-1 两个矢量正交
两矢量V1与V2正交时的夹角为90°。不难得到两正交矢量的点积为零， 即
V1V 2 V1 V2 cos90 0
V1 Ve
o c12 V2
V2
图 3.1-2 矢量的近似表示及误差
t2 t1
gi
(t)
g
* j
(t
)dt
0 Ki
则该函数集就称为区间(t1, t2)上的正交函数集。 如果
t2 t1
gi
(t)
g
* j
(t
)dt
0 1
则称该函数集为归一化正交函数集。
i j i j
i j i j
用一个在区间(t1, t2)上的正交函数集｛gi(t)｝中各函数的线性组合就可逼近定 义在(t1, t2)区间上的信号f(t)，即
A6 0.8
6 30
其余 An 0
An 3 3
2 2
1
0.8
0.4
o 2 3 4 5 6
(a)
n 45 °
45 °
30 ° 30 °
20 °
15° 10°
图 3.3-1 例 3.3-1 信号
(a) 振幅谱；
o
2
3
4 5
6
(b) 相位谱
(b)
|F n |
上述正交三角函数集中，当n=0时，cos 0°=1, sin 0°=0，而0不应计在此正交函数集 中，故一正交三角函数集可具体写为
第3章连续信号与系统的频域分析精品PPT课件
f(t)A 20n 1Ancon st(n)
A 0A n[e j(n tn)ej(n tn)]
2 n12
A 2 01 2n 1A nejnej n t1 2n 1A ne jne j n t
上述三个条件称为狄里赫利条件。
3.2 周期信号的傅里叶级数
一、傅里叶级数的三角形式
设周期信号f(t)，其周期为T，角频率=2/T，当 满足狄里赫利(Dirichlet)条件时，它可分解为如下三 角级数—— 称为f(t)的傅里叶级数。
f(t)a 2 0n 1anco n s t) (n 1b nsin n t)(
§ 3 连续信号与系 统的频域分析
§ 3.1 引 言
时域分析的要点是，以冲激函数为基本信号 yf (t) = h(t)*f(t)。
本章将以正弦信号和虚指数信号e jωt为基本信号，任 意输入信号可分解为一系列不同频率的正弦信号或虚指 数信号之和。
这里用于系统分析的独立变量是频率。故称为频域 分析。
35
n
二、波形的对称性与谐波特性
1 .f(t)为偶函数——对称纵坐标
an
2 T
T
2 T
2
f(t)cons (t)dt
bn
2 T
T
2 T
2
f(t)sinn (t)dt
bn =0，展开为余弦级数。
2 .f(t)为奇函数——对称于原点
an =0，展开为正弦级数。
3 .f(t)为奇谐函数——f(t) = –f(t±T/2)
上式中第三项的n用–n代换，A– n=An，– n= – n，
第三章 连续时间信号与系统的频域分析 (3)
Ts Sa 2
时限信号的频谱可以从它的等间隔（频率 采样间隔要足够小）采样值唯一地无失真 复原。
§ 3-4 采样信号的傅里叶变换
5.时限信号的频谱采样定理 如果频率采样间隔足够小这一条件未被满 足，则一定会出现时域混叠，使得不可能 从信号频谱的样本值无失真地复原原始信 号频谱。 频域采样定理与时域采样定理对偶。 周期连续信号的离散谱和傅氏级数展开实 质上就是时限信号用等于基频的频率采样 间隔进行等间隔频域采样的结果。
频域采样
F(ω) f(t) 1
0 δωs(ω)
ω
-tm
0
tm δTs(t) —— ωs 1 (—) ωs
t
…
-ω s 0 ωs
…
ω
…
-Ts 0 Ts δTs(t) f(t) —— ωs 1 — ωs
…
t
F(ω) δωs(ω) F(0)
…
-ω s 0 ωs
…
ω -Ts -tm 0 tm Ts t
-2Ts -Ts 0 Ts 2Ts
ω
§ 3-4 采样信号的傅里叶变换
2.带限信号的时域采样定理—奈奎斯特 （Nyquist）采样定理
1.
2.
3.
4.
5. 6.
信号经过运算后，最高频率可能发生变化，而导致奈奎斯 特采样频率发生变化。 两信号相加后，最高频率要取原先的两个最高频率的最大 值； 相反，两信号卷积后，最高频率要取原先的两个最高频率 的最小值； 两信号相乘后，会产生频域卷积，使得最高频率要取原先 的两个最高频率的和； 信号n次方后，最高频率要取原先的最高频率的n倍； 尺度运算的最高频率要取的最高频率的|a|倍。
2
t 。
§ 3-4 采样信号的傅里叶变换
信号与系统实验报告实验三 连续时间LTI系统的频域分析
实验三 连续时间LTI 系统的频域分析一、实验目的1、掌握系统频率响应特性的概念及其物理意义;2、掌握系统频率响应特性的计算方法与特性曲线的绘制方法,理解具有不同频率响应特性的滤波器对信号的滤波作用;3、学习与掌握幅度特性、相位特性以及群延时的物理意义;4、掌握用MA TLAB 语言进行系统频响特性分析的方法。
基本要求:掌握LTI 连续与离散时间系统的频域数学模型与频域数学模型的MATLAB 描述方法,深刻理解LTI 系统的频率响应特性的物理意义,理解滤波与滤波器的概念,掌握利用MATLAB 计算与绘制LTI 系统频率响应特性曲线中的编程。
二、实验原理及方法1 连续时间LTI 系统的频率响应所谓频率特性,也称为频率响应特性,简称频率响应(Frequency response),就是指系统在正弦信号激励下的稳态响应随频率变化的情况,包括响应的幅度随频率的变化情况与响应的相位随频率的变化情况两个方面。
上图中x(t)、y(t)分别为系统的时域激励信号与响应信号,h(t)就是系统的单位冲激响应,它们三者之间的关系为:)(*)()(t h t x t y =,由傅里叶变换的时域卷积定理可得到:)()()(ωωωj H j X j Y =3、1或者: )()()(ωωωj X j Y j H =3、2)(ωj H 为系统的频域数学模型,它实际上就就是系统的单位冲激响应h(t)的傅里叶变换。
即⎰∞∞--=dt e t h j H tj ωω)()( 3、3由于H(j ω)实际上就是系统单位冲激响应h(t)的傅里叶变换,如果h(t)就是收敛的,或者说就是绝对可积(Absolutly integrabel)的话,那么H(j ω)一定存在,而且H(j ω)通常就是复数,因此,也可以表示成复数的不同表达形式。
在研究系统的频率响应时,更多的就是把它表示成极坐标形式:)()()(ωϕωωj ej H j H = 3、4上式中,)j (ωH 称为幅度频率相应(Magnitude response),反映信号经过系统之后,信号各频率分量的幅度发生变化的情况,)(ωϕ称为相位特性(Phase response),反映信号经过系统后,信号各频率分量在相位上发生变换的情况。
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历史的回顾 （A Historical Perspective）
任何科学理论, 科学方法的建立都是经过许多人 不懈的努力而得来的, 其中有争论, 还有人为之献 出了生命。 历史的经验告诉我们, 要想在科学的 领域有所建树，必须倾心尽力为之奋斗。今天我 们将要学习的傅立叶分析法，也经历了曲折漫长 的发展过程，刚刚发布这一理论时，有人反对， 也有人认为不可思议。但在今天，这一分析方法 在许多领域已发挥了巨大的作用。
傅里叶生平
1768—1830
1768年生于法国
1807年提出“任何 周期信号都可以用正 弦函数的级数来表示”
拉格朗日反对发表
1822年首次发表 “热的分析理论”
1829年狄里赫利第 一个给出收敛条件
傅里叶的两个最重要的贡献——
“周期信号都可以表示为成谐波关系的正弦信 号的加权和”——傅里叶的第一个主要论点
“非周期信号都可以用正弦信号的加权积分来 表示”——傅里叶的第二个主要论点
§3.0 引言 §3.1 连续时间LTI系统的特征函数 §3.2 连续时间傅里叶级数 §3.3 连续时间傅里叶变换 §3.4 连续时间周期信号的傅里叶变换 §3.5 连续时间傅里叶变换的性质 §3.6 连续时间LTI系统的频域分析
这说明e st和z n符合对单元信号的第一项要求。
特征函数 (Eigenfunction) 如果系统对某一信号的响应只不过是该信号乘以 一个常数，则称该信号是这个系统的特征函数。系 统对该信号加权的常数称为系统与特征函数相对应 的特征值。
结论：
复指数函数 e st 、z n 是一切LTI系统的特征函
第三章 连续时间信号与系统的频域分析
§3.0 引言 §3.1 连续时间LTI系统的特征函数 §3.2 连续时间傅里叶级数 §3.3 连续时间傅里叶变换 §3.4 连续时间周期信号的傅里叶变换 §3.5 连续时间傅里叶变换的性质 §3.6 连续时间LTI系统的频域分析
3.0 引言
复指数信号作为一类基本信号来表示一般任意信号，建立 变换域分析法 。
两种表达式中系数的相互推算
e jk0t cos k0t j sin k0t
x(t) ak (cos k0t j sin k0t) k
1
a0 ak (cos k0t j sin k0t) ak (cos k0t j sin k0t)
k
k 1
a0 ak (cos k0t j sin k0t) ak (cos k0t j sin k0t)
3.2.1 连续时间傅里叶级数
如果某一连续时间信号x(t) 是周期的，则存在着一个非零 的正实数，对任何t都满足 x(t) x(t T)。式中T的最小值T0 称为该信号的基波周期，0 2 / T0 称为该信号的基波频率。
成谐波关系的复指数信号的集合为
k (t) e jk0t , k 0, 1, 2,...
提供了一种非常方便的信号和LTI系统的分析方法：傅里叶 分析或频域分析法 。
3.0 引言
时域分析方法的基础：
1) 信号在时域的分解。 2) LTI系统满足线性、时不变性。
从分解信号的角度出发，基本信号单元必须满 足两个要求： 1.本身简单，且LTI系统对它的响应能简便得到。 2.具有普遍性，能够用以构成相当广泛的信号。
数。H(s)、H(z)分别是LTI系统与复指数信号相对
应的特征值。
H (s) h(t)estdt
H (z) h[n]zn k
只有复指数函数才能成为一切LTI系ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ的特征
函数。
对时域的任何一个信号x(t)或者 x[n,]若能将其表
示为下列形式： x(t) a1es1t a2es2t a3es3t
T0 是k (t) 中每个信号的周期，它们的基波频率都是的0整数倍。
对应的三角函数形式的谐波信号集： k (t) {cosk0t,sin k0t}, k 0, 1, 2,...
3.2.1 连续时间傅里叶级数
一个基波频率为
的周期信号
0
x(t )，可以表示成与其成谐波关
系的复指数信号的线性组合，即
§3.0 引言 §3.1 连续时间LTI系统的特征函数 §3.2 连续时间傅里叶级数 §3.3 连续时间傅里叶变换 §3.4 连续时间周期信号的傅里叶变换 §3.5 连续时间傅里叶变换的性质 §3.6 连续时间LTI系统的频域分析
3.1 连续时间LTI系统的特征函数
考查LTI系统对复指数信号 e st和 zn 的响应
e st
h(t)
y(t) z n h[n] y[n]
由时域分析方法有，
y(t) es(t )h( )d est h( )es d H (s)est
y[n]
z (nk )h[k ] z n h[k ]z k H ( z ) z n
k
k
可见LTI系统对复指数信号的响应是很容易求得的。
数信号的线性组合
求其输出 y(t)。
x(t) a1es1t a2es2t a3es3t
解：根据LTI系统特征函数的性质，有
a1es1t a1H (s1)es1t
a2e s2t a2 H (s2 )e s2t a3e s3t a3 H (s3 )e s3t 由叠加性原理，有
y(t) a1H (s1 )e s1t a2 H (s2 )e s2t a3 H (s3 )e s3t
3.1 连续时间LTI系统的特征函数
复指数信号 e jt可作为基本信号用来表示一般的输入信号。
- 能够表示相当广泛的一类有用信号，特别是实际应用中常 碰到的一些信号 ?
- 对这些基本信号的响应十分简单，以便使系统的响应有 一个简单的数学表示形式(LTI系统特征函数）。
例3.1
【例3.1】令某一个LTI系统h(t)的输入信号 x(t)是三个复指
x(t) akk (t) k
其中 ak 称为傅里叶级数系数。
傅里叶级数的复指数形式为
x(t)
ak e jk0t
k
三角函数形式为 x(t) (Bk cos k0t Ck sin k0t) k 0
B0 (Bk cos k0t Ck sin k0t) k 1
3.2.1 连续时间傅里叶级数