离散数学之命题符号化共33页
离散数学6.命题公式及符号化
教学设计
课程名称《离散数学》教师姓名申莹授课题目命题公式及符号化
授课章节§1.3命题公式与翻译
授课对象数学与应用数学专业
教学目标掌握利用联结词把命题符号化的方法
教学方式启发式
教学内容命题符号化的方法
教学重点命题的分析
教学难点条件联结词的使用
教学方法和策略采用多媒体课件辅助，首先分析命题可以用何种联结词表示，再说明使用联结词时的注意事项；注意师生互动，以学生为教学主体，共同完成教学目标。
学情分析
学生已经掌握了命题公式的真值表的画法，思考具有同样
个数的命题变元共有多少种命题公式
教学评价师生互动，启发式教学引导学生思考并进而解决问题；深入分析，用例题加深学生对知识点的理解.
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第1章1命题符号化及联结词
去。当被问战士回答“否”，则逻辑学家开启另一门从容离去。
分析：如果被问者是诚实战士，他回答“对” 。则另 一 名战士是说谎战士，他回答“是”，那么，这扇门 不是死亡门。
如果被问者是诚实战士，他回答“否”。则另 一名是说谎战士，他回答“不是”，那么，这扇门是 死亡门。
说明:在数理逻辑中，即使p、q没有内在联系， 但仍有意义.
(5)等价式:p，q 为两命题，复合命题“p 当且仅当 q” 称作 p 与 q 的等价式，记作 p q，符号“ ”称作等价 联结词，p q 为真当且仅当 p 与 q 的真值相同。
Байду номын сангаас
p
q p q
0
0
1
0
1
0
1
0
0
1
1
1
例1.6 1）集合A中没有元素当且仅当集合A是空集。 2）当王刚心情愉快时，他唱歌；反之，当 他唱歌时，一定心情愉快。 3）三角形三边相等的充要条件是三个角相等。 4) 2+2=5的充要条件是太阳从西边升起。
罗素将集合分为两类，一类是集合 A 本身是 A 的一个
元素，即 A A；另一类是集合 A 本身不是 A 的一个
元素，即 A A 。构造一个集合 S：S={A|AA},问 S 是
不是它自己的一个元素。即 S S 还是 S S 。
原子命题： 称由简单陈述句构成的命题为简单命题
或原子命题，
命题符号化：用小写英文字母(或带下标)p,q，r，…， pi , qi , ri , ……表示命题，称为命题符号化．用数字 1（或 T）表示真，用 0(或 F)表示假，则任何命题的真值不是 1 就是 0，但决不可能既可以为 1 又可以为 0。
离散数学.第1章
例4
设P：我们去看电影。Q：房间里有十张桌子。则
P ∧ Q表示“我们去看电影并且房间里有十张桌子。”
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3. 析取“∨”（相容或）[讲解教材P3-5关于或]
4. 定义1.3
由命题P和Q利用“∨”组成的复合命题，称 为析取式复合命题，记作“P∨Q”（读作“P或Q”）。 当且仅当P和Q至少有一个取值为真时，P∨Q取值为真。
练习1-1
1. 判断下列语句哪些是命题，若是命题，则指出其真值。
（1） （2） 只有小孩才爱哭。 X+6=Y ( 是 假 ) ( 不是 ) (是 真) ( 不是 )
（3）
银是白的。
（4） 起来吧，我的朋友。 2． 将下列命题符号化
（1） 我看见的既不是小张也不是老李。 解 令P：我看见的是小张；Q：我看见的是老李。 则该命题可表示为¬ P∧¬ Q （2） 如果晚上做完了作业并且没有其它的事，他就会 看电视或听音乐。 解 令 P：他晚上做完了作业；Q：他晚上有其它的事； R：他看电视； S：他听音乐。 则该命题可表示为（P∧¬ Q）→（R∨S）
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1.3 等值演算
• 定义1.10 设A和B是两个命题公式, 若等价式A↔B 是重言式，则称公式A 和B等值，记为A B,称 AB为等 值式。
• 注意： （1）符号“”与“↔”的区别与联系 “”不是联结词，AB不表示一个公式， 它表示两个公式间的一种关系，即等值关系。 “↔”是联结词，A↔B是一个公式。 AB 当且仅当 A↔B 是永真公式。
1 0 1 0 1 0 1 0
0 0 1 1 1 1 1 1
0 0 0 1 0 0 0 1
1 1 0 1 0 0 0 1
离散数学命题符号
离散数学命题符号一、离散数学命题符号的定义在离散数学中，命题是一个陈述句，可以判断为真或为假。
为了准确地表示命题，在离散数学中引入了命题符号。
命题符号主要用于表示命题的逻辑关系，以及对命题的运算。
1. 命题变量和命题符号离散数学中，命题变量被表示为字母，常用的命题变量包括p、q、r等。
命题符号则用来表示对命题变量的操作和运算关系。
常用的命题符号包括逻辑与（∧）、逻辑或（∨）、非（¬）等。
2. 逻辑连接词离散数学中，逻辑连接词用于将多个命题连接起来，形成复合命题。
常见的逻辑连接词有：- 逻辑与（∧）：表示两个命题都为真时，复合命题为真；否则为假。
- 逻辑或（∨）：表示两个命题至少一个为真时，复合命题为真；否则为假。
- 非（¬）：表示对命题的否定。
3. 命题符号的优先级为了保证命题的运算顺序和结果的准确性，在离散数学中，命题符号有一定的优先级。
常见的命题符号优先级从高到低依次为：- ¬（非）- ∧（逻辑与）- ∨（逻辑或）二、离散数学命题符号的应用1. 命题的合取和析取在离散数学中，逻辑与（∧）和逻辑或（∨）的运算被广泛应用于命题的合取和析取。
- 合取：当多个命题同时为真时，可以使用合取运算符（∧）将这些命题合并成为一个复合命题。
例如，当p表示“今天下雨”、q表示“今天天气阴沉”时，合取命题p∧q表示“今天同时下雨并且天气阴沉”。
- 析取：当多个命题至少一个为真时，可以使用析取运算符（∨）将这些命题合并成为一个复合命题。
例如，当p表示“今天下雨”、q表示“今天天气阴沉”时，析取命题p∨q表示“今天下雨或者天气阴沉”。
2. 命题的否定在离散数学中，非（¬）运算符常用于对命题的否定。
如果p为真，则¬p为假；如果p为假，则¬p为真。
例如，若p表示“今天下雨”，则¬p表示“今天不下雨”。
3. 命题的复合运算通过组合使用逻辑连接词和命题符号，可以对多个命题进行复合运算。
(完整word版)离散数学符号表.doc
《离散数学》符号表全称量词（任意量词）存在量词├断定符（公式在L 中可证）╞满足符（公式在 E 上有效，公式在 E 上可满足）┐命题的“非”运算∧命题的“合取”（“与”）运算∨命题的“析取”（“或”，“可兼或”）运算→命题的“条件”运算命题的“双条件”运算的A B命题A与B等价关系A B 命题 A 与 B 的蕴涵关系A 公式 A的对偶公式wff 合式公式iff 当且仅当V 命题的“不可兼或”运算（“异或门” ）↑命题的“与非” 运算（“与非门”）↓命题的“或非”运算（“或非门” ）□模态词“必然”◇模态词“可能”φ空集∈属于（不属于）A （·）集合 A 的特征函数P（A）集合 A 的幂集A 集合 A 的点数A A A （A n）集合A的笛卡儿积R 2R R ( R nR n 1) 关系 R 的“复合”R阿列夫零阿列夫包含真包含∪ 集合的并运算 ∩ 集合的交运算 - （～）集合的差运算集合的对称差运算mm同余加mm同余乘〡限制[ x] R集合关于关系 R 的等价类 A/ R集合 A 上关于 R 的商集 R ( A)集合 A 关于关系 R 的划分 R (A)集合 A 关于划分 的关系 [a]元素 a 产生的循环群 [a] R元素 a 形成的 R 等价类 C r由相容关系 r 产生的最大相容类 I环，理想Z /( n)模 n 的同余类集合a b(mod k)a 与b 模 k 相等r ( R)关系 R 的自反闭包 s( R)关系 R 的对称闭包R ，t( R) 关系 R 的传递闭包R ，rt (R) 关系 R 的自反、传递闭包Hi . 矩阵 H 的第 i 个行向量H. j 矩阵 H 的第 j 个列向量CP 命题演绎的定理（ CP 规则）EG 存在推广规则（存在量词引入规则）ES 存在量词特指规则（存在量词消去规则）UG 全称推广规则（全称量词引入规则）US 全称特指规则（全称量词消去规则）I A，R0 恒等关系A 集合 A 的补集X X 所有 X 到自身的映射Y X 所有从集合 X 到集合 Y 的函数K[ A] ( A) 集合 A 的势（基数）R 关系r 相容关系R 否关系R 补关系R 1 （ R c）逆关系R S 关系 R 与关系 S 的复合R R R , R n 关系 R 的n次幂nB2 B2 , B2r 布尔代数 B2的 r 次幂rB2r 含有 2r个元素的布尔代数domf 函数 f 的定义域（前域）ranf 函数 f 的值域f： X Y （ X f Y ） f 是X到Y的函数GCD (x, y) x, y 最大公约数LCM (x, y) x, y 的最小公倍数e 幺元零元a 1 元素 a 的逆元aH (Ha ) H 关于a的左（右）陪集Ker ( f ) 同态映射 f 的核（或称 f 的同态核）A，B，C 合式公式n二项式系数kn多项式系数n1 ,n2 , , n p[1 ，n] 1 到 n 的整数集合[ x]k x( x 1) (x k 1)[ x]k x( x 1) (x k 1)C n k 组合数d (u, v) 点 u 与点 v 间的距离d (v) 点 v 的度数d (v) 点 v 的出度d (v) 点 v 的入度G (V ,E) 点集为 V ，边集为 E 的图G 图G的补图G G图G与图G同构G平面图 G 的对偶图W(G)图 G 的连通分支数(G)图G的点连通度(G)图G的边连通度(G)图G的最小点度(G)图G的最大点度A(G)图 G 的邻接矩阵P(G)图 G 的可达矩阵M(G)图 G 的关联矩阵K n n 阶完全图K n,m完全二分图C复数集N自然数集（包含0 在内）N正自然数集P素数集Q有理数集Q正有理数集Q负有理数集R实数集Z整数集Z m{[ 1] , [ 2] ,,[ m]}Set集范畴Top拓扑空间范畴Ab交换群范畴Grp群范畴Mon单元半群范畴Ring有单位元的（结合）环范畴Rng环范畴CRng交换环范畴R-mod环R的左模范畴mod-R环R的右模范畴Field域范畴Poset偏序集范畴。
离散数学课件 4.1一阶逻辑命题符号化
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四、符号化
例2 在一阶逻辑中将下面命题符号化。
(1)人都爱美。
(2)有人用左手写字。
个体域分别为：
(a) D为人类集合 (b) D为全总个体域
解: (a)设F(x):x爱美，G(x):x用左手写字，则
(1) xF(x) (2) xG(x)
， L(x,y): x与y跑得同样快。 (5) ﹁ x y(F(x) G(y) H(x, y)) (6) ﹁ x y(F(x) F(y) L(x, y))
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总结和作业
➢ 小结 ◆ 理解个体词、谓词、量词的含义 ◆ 掌握一阶逻辑命题的符号化
➢ 作业（做书上）
课本63-64页 4(1) (3), 5(1) (3)，6 (1) (3) (5)
第1 页
第四章 一阶逻辑基本概念
➢ 命题逻辑的局限性
在命题逻辑中，研究的基本单位是简单命题，对简单 命题不再进行分解，并且不考虑命题之间的内在联系和数 量关系。
➢ 一阶逻辑所研究的内容
为了克服命题逻辑的局限性，将简单命题再细分，分 析出个体词、谓词和量词，以期达到表达出个体与总体的 内在联系和数量关系。 ◆ §4.1一阶逻辑命题符号化 ◆ §4.2一阶逻辑公式及解释 ◆ §5.1一阶逻辑等值式与置换规则 ◆ §5.2一阶逻辑前束范式
第四章 一阶逻辑基本概念
➢ 苏格拉底三段论
◆ 所有的人都是要死的。 ◆ 苏格拉底是人。 ◆ 所以，苏格拉底是要死的。 试证明此推理。 解：令p:所有的人都是要死的,q:苏格拉底是人,r:苏格拉底 是要死的，则 前提：p，q 结论：r 推理的形式结构： p Ù q ® r
离散数学6.命题公式及符号化
若写成(PQ) (P R)时，当P为F，Q为F时，即天没下雨而我没 上街，此时我说的是假话，但是表达式 (PQ) (P R) 的真值却是
“T” ，因为此时(P R)的真值是“T”.
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二、复合命题的符号化(翻译) 有了命题演算的合式公式的概念,我们可以把自然语言
中的有些语句(复合命题),翻译成数理逻辑中的符号形式. 基本步骤如下:
1)首先要明确给定命题的含义. 2)对于复合命题，找联结词，用联结词断句，分解出各
个原子命题. 3)设原子命题符号，并用逻辑联结词联结原子命题符号，
构成给定命题的符号表达式.
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例2 说离散数学无用且枯燥无味是不对的. P：离散数学是有用的. Q：离散数学是枯燥无味的. 该命题可写成： (P∧Q). 例3 如果小张与小王都不去，则小李去. P：小张去. Q：小王去. R：小李去. 该命题可写成： (P∧Q)R. 如果小张与小王不都去，则小李去. 该命题可写成： (P∧Q)R, 也可以写成： (P∨QP∧Q， PR， P∨Q∧R，PQ ∨S , (P W) Q)； 下面的式子才是合式公式：
(P∧Q)，(PR)，((P∨Q)∧R). 按照合式公式定义最外层括号必须写. 约定：为方便，最外层括号可以不写，上面的合式
公式可以写成： P∧Q，PR，(P∨Q)∧R.
命题公式及符号化
一、 命题公式
1.定义1-3.1 命题演算的合式公式
合式公式是由命题变元、命题常量、联结词和圆括号按 一定的逻辑关系联结起来的符号串.我们以如下递归的形 式来定义合式公式：
(1)单个命题变元是一个合式公式. (2)若A是合式公式，则┐A也是合式公式. (3)若A，B是合式公式，则(A∧B)，(A∨B)，(AB)，
离散数学之命题符号化共35页文档
1、合法而稳定的权力在使用得当时很 少遇到 抵抗。 ——塞 ·约翰 逊 2、Байду номын сангаас力会使人渐渐失去温厚善良的美 德。— —伯克
3、最大限度地行使权力总是令人反感 ；权力 不易确 定之处 始终存 在着危 险。— —塞·约翰逊 4、权力会奴化一切。——塔西佗
5、虽然权力是一头固执的熊，可是金 子可以 拉着它 的鼻子 走。— —莎士 比
61、奢侈是舒适的，否则就不是奢侈 。——CocoCha nel 62、少而好学，如日出之阳；壮而好学 ，如日 中之光 ；志而 好学， 如炳烛 之光。 ——刘 向 63、三军可夺帅也，匹夫不可夺志也。 ——孔 丘 64、人生就是学校。在那里，与其说好 的教师 是幸福 ，不如 说好的 教师是 不幸。 ——海 贝尔 65、接受挑战，就可以享受胜利的喜悦 。——杰纳勒 尔·乔治·S·巴顿
谢谢！