2017高二数学期末考试题及答案
2017年高二下学期期末数学试卷两套合集三理科附答案解析
2017年高二下学期期末数学试卷两套合集三（理科）附答案解析高二（下）期末数学试卷（理科）一、选择题（每题5分）1．如果复数z=a2+a﹣2+（a2﹣3a+2）i为纯虚数，那么实数a的值为（）A．﹣2 B．1 C．2 D．1或﹣22．给出如下四个命题：①若“p∨q”为真命题，则p、q均为真命题；②“若a＞b，则2a＞2b﹣1”的否命题为“若a≤b，则2a≤2b﹣1”；③“∀x∈R，x2+x≥1”的否定是“∃x0∈R，x2+x≤1”；④“x＞0”是“x+≥2”的充要条件．其中不正确的命题是（）A．①② B．②③ C．①③ D．③④3．对两个变量y和x进行回归分析，得到一组样本数据：（x1，y1），（x2，y2），…，（xn，yn），则下列说法中不正确的是（）A．由样本数据得到的回归方程=x+必过样本中心（，）B．残差平方和越小的模型，拟合的效果越好C．用相关指数R2来刻画回归效果，R2越小，说明模型的拟合效果越好D．若变量y和x之间的相关系数为r=﹣0.9362，则变量y和x之间具有线性相关关系4．下面几种推理中是演绎推理的是（）A．由金、银、铜、铁可导电，猜想：金属都可以导电B．猜想数列5，7，9，11，…的通项公式为an=2n+3C．由正三角形的性质得出正四面体的性质D．半径为r的圆的面积S=π•r2，则单位圆的面积S=π5．因为a，b∈R+，a+b≥2，…大前提x+≥2，…小前提所以x+≥2，…结论以上推理过程中的错误为（）A．小前提B．大前提C．结论 D．无错误6．设随机变量ξ服从正态分布N（1，σ2），则函数f（x）=x2+2x+ξ不存在零点的概率为（）A．B．C．D．7．设Sn 是等差数列{an}的前n项和，S5=3（a2+a8），则的值为（）A．B．C．D．8．在△ABC中，B=，c=150，b=50，则△ABC为（）A．直角三角形B．等腰三角形或直角三角形C．等边三角形D．等腰三角形9．将数字1，2，3，4填入标号为1，2，3，4的四个方格里，每格填一个数字，则每个方格的标号与所填的数字均不相同的填法有（）A．6种B．9种 C．11种D．23种10．函数f（x）=sinx+2x，若对于区间[﹣π，π]上的任意x1，x2，都有|f（x1）﹣f（x2）|≤t，则实数t的最小值是（）A．4πB．2πC．πD．011．设直线l与曲线f（x）=x3+2x+1有三个不同的交点A、B、C，且|AB|=|BC|=，则直线l的方程为（）A．y=5x+1 B．y=4x+1 C．y=x+1 D．y=3x+112．已知函数f（x）=，若对任意的x1，x2∈[e2，+∞），有||＞，则实数k的取值范围为（）A．（﹣∞，2] B．（﹣∞，1）C．[2，+∞）D．（2，+∞）二、填空题（每题5分）13．在（x﹣）5的二次展开式中，x2的系数为________（用数字作答）．14．以模型y=ce kx去拟合一组数据时，为了求出回归方程，设z=lny，其变换后得到线性回归方程z=0.3x+4，则c=________．15．现有16个不同小球，其中红色、黄色、蓝色、绿色小球各4个，从中任取3个，要求这3个小球不能是同一颜色，且红色小球至多1个，不同的取法为________．16．设a为实常数，y=f（x）是定义在R上的奇函数，当x＜0时，f（x）=9x++7．若f（x）≥a+1对一切x≥0成立，则a的取值范围为________．三、解答题17．数列{a n }的前n 项和为S n =2n+1﹣2，数列{b n }是首项为a 1，公差为d （d ≠0）的等差数列，且b 1，b 3，b 11成等比数列． （1）求数列{a n }与{b n }的通项公式； （2）设，求数列{c n }的前n 项和T n ．18．某火锅店为了了解气温对营业额的影响，随机记录了该店1月份中5天的日营业额y （单位：千元）与该地当日最低气温x （单位：℃）的数据，如表： x 2 5 8 9 11 y 12 10 8 8 7 （Ⅰ）求y 关于x 的回归方程=x+；（Ⅱ）判定y 与x 之间是正相关还是负相关；若该地1月份某天的最低气温为6℃，用所求回归方程预测该店当日的营业额．（Ⅲ）设该地1月份的日最低气温X ～N （μ，δ2），其中μ近似为样本平均数，δ2近似为样本方差s 2，求P （3.8＜X ＜13.4）附：①回归方程=x+中， =， =﹣b ．②≈3.2，≈1.8．若X ～N （μ，δ2），则P （μ﹣δ＜X ＜μ+δ）=0.6826，P （μ﹣2δ＜X ＜μ+2δ）=0.9544．19．某中学将100名高一新生分成水平相同的甲、乙两个“平行班”，每班50人，陈老师采用A ，B 两种不同的教学方式分别在甲、乙两个班进行教改实验，为了了解教学效果，期末考试后，陈老师对甲、乙两个班级的学生成绩进行统计分析，画出频率分布直方图（如图）．记成绩不低于90分者为“成绩优秀”．（1）从乙班随机抽取2名学生的成绩，记“成绩优秀”的个数为ξ，求ξ的分布列和数学期望；（2）根据频率分布直方图填写下面2×2列联表，并判断能否在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为：“成绩优秀”与教学方式有关．甲班（A方式）乙班（B方式）总计成绩优秀成绩不优秀总计附：．P（K2≥k）0.250.150.100.050.025k 1.323 2.072 2.706 3.841 5.02420．如图，正方形ABCD和四边形ACEF所在的平面互相垂直，CE⊥AC，EF∥AC，AB=，CE=EF=1．（Ⅰ）求证：AF∥平面BDE；（Ⅱ）求证：CF⊥平面BDE；（Ⅲ）求二面角A﹣BE﹣D的大小．21．已知椭圆C：（a＞b＞0）的右焦点为F（，0），上下两个顶点与点F 恰好是正三角形的三个顶点．（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）过原点O的直线l与椭圆交于A，B两点，如果△FAB为直角三角形，求直线l的方程．22．已知函数f（x）=（其中k∈R，e是自然对数的底数），f′（x）为f（x）导函数．（Ⅰ）若k=2时，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（Ⅱ）若f′（1）=0，试证明：对任意x＞0，f′（x）＜恒成立．参考答案与试题解析一、选择题（每题5分）1．如果复数z=a2+a﹣2+（a2﹣3a+2）i为纯虚数，那么实数a的值为（）A．﹣2 B．1 C．2 D．1或﹣2【考点】复数的基本概念．【分析】纯虚数的表现形式是a+bi中a=0且b≠0，根据这个条件，列出关于a的方程组，解出结果，做完以后一定要把结果代入原复数检验是否正确．【解答】解：∵复数z=a2+a﹣2+（a2﹣3a+2）i为纯虚数，∴a2+a﹣2=0且a2﹣3a+2≠0，∴a=﹣2，故选A2．给出如下四个命题：①若“p∨q”为真命题，则p、q均为真命题；②“若a＞b，则2a＞2b﹣1”的否命题为“若a≤b，则2a≤2b﹣1”；③“∀x∈R，x2+x≥1”的否定是“∃x0∈R，x2+x≤1”；④“x＞0”是“x+≥2”的充要条件．其中不正确的命题是（）A．①② B．②③ C．①③ D．③④【考点】命题的真假判断与应用．【分析】①“p∨q”为真命题，p、q二者中只要有一真即可；②写出一个命题的否命题的关键是正确找出原命题的条件和结论；③直接写出全称命题的否定判断；④利用基本不等式，可得结论．【解答】解：①“p∨q”为真命题，p、q二者中只要有一真即可，故不正确；②“若a＞b，则2a＞2b﹣1”的否命题为“若a≤b，则2a≤2b﹣1”，正确；③“∀x∈R，x2+x≥1”的否定是“∃x0∈R，x2+x＜1”，故不正确；④“x＞0”时，“x+≥2”，若“x+≥2”，则“x＞0”，∴“x＞0”是“x+≥2”的充要条件，故正确．故选：C．3．对两个变量y和x进行回归分析，得到一组样本数据：（x1，y1），（x2，y2），…，（xn，yn），则下列说法中不正确的是（）A．由样本数据得到的回归方程=x+必过样本中心（，）B．残差平方和越小的模型，拟合的效果越好C．用相关指数R2来刻画回归效果，R2越小，说明模型的拟合效果越好D．若变量y和x之间的相关系数为r=﹣0.9362，则变量y和x之间具有线性相关关系【考点】两个变量的线性相关．【分析】线性回归方程一定过样本中心点，在一组模型中残差平方和越小，拟合效果越好，相关指数表示拟合效果的好坏，指数越小，相关性越强．【解答】解：样本中心点在直线上，故A正确，残差平方和越小的模型，拟合效果越好，故B正确，R2越大拟合效果越好，故C不正确，当r的值大于0.75时，表示两个变量具有线性相关关系，故选C4．下面几种推理中是演绎推理的是（）A．由金、银、铜、铁可导电，猜想：金属都可以导电=2n+3B．猜想数列5，7，9，11，…的通项公式为anC．由正三角形的性质得出正四面体的性质D．半径为r的圆的面积S=π•r2，则单位圆的面积S=π【考点】演绎推理的意义．【分析】本题考查的是演绎推理的定义，判断一个推理过程是否是演绎推理关键是看他是否符合演绎推理的定义，能否从推理过程中找出“三段论”的三个组成部分．【解答】解：选项A是由特殊到一般的推理过程，为归纳推理，选项B，是由特殊到一般的推理过程，为归纳推理，选项C：是由特殊到与它类似的另一个特殊的推理过程，是类比推理，选项D半径为r圆的面积S=πr2，因为单位圆的半径为1，则单位圆的面积S=π中，半径为r圆的面积S=πr2，是大前提单位圆的半径为1，是小前提单位圆的面积S=π为结论．故选：D．5．因为a，b∈R+，a+b≥2，…大前提x+≥2，…小前提所以x+≥2，…结论以上推理过程中的错误为（）A．小前提B．大前提C．结论 D．无错误【考点】进行简单的演绎推理．【分析】演绎推理是由一般到特殊的推理，是一种必然性的推理，演绎推理得到的结论不一定是正确的，这要取决与前提是否真实和推理的形式是否正确，演绎推理一般模式是“三段论”形式，即大前提小前提和结论． 【解答】解：∵，这是基本不等式的形式，注意到基本不等式的使用条件，a ，b 都是正数，是小前提，没有写出x 的取值范围，∴本题中的小前提有错误， 故选A ．6．设随机变量ξ服从正态分布N （1，σ2），则函数f （x ）=x 2+2x+ξ不存在零点的概率为（ ） A ．B ．C ．D ．【考点】正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义；函数的零点；古典概型及其概率计算公式．【分析】函数f （x ）=x 2+2x+ξ不存在零点，可得ξ＞1，根据随机变量ξ服从正态分布N （1，σ2），可得曲线关于直线x=1对称，从而可得结论． 【解答】解：∵函数f （x ）=x 2+2x+ξ不存在零点， ∴△=4﹣4ξ＜0，∴ξ＞1∵随机变量ξ服从正态分布N （1，σ2）， ∴曲线关于直线x=1对称 ∴P （ξ＞1）= 故选C ．7．设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，S 5=3（a 2+a 8），则的值为（ ）A ．B ．C ．D ．【考点】等差数列的前n 项和．【分析】利用等差数列的性质与通项公式即可得出． 【解答】解：设等差数列{a n }的公差为d ． 由等差数列{a n }的性质可得：a 2+a 8=2a 5，∴S 5=3（a 2+a 8）=6a 5， ∴5a 1+=6（a 1+4d ），化为a 1=﹣14d ． 则===．故选：D ．8．在△ABC 中，B=，c=150，b=50，则△ABC 为（ ）A ．直角三角形B ．等腰三角形或直角三角形C ．等边三角形D ．等腰三角形 【考点】正弦定理．【分析】由已知及正弦定理可求得sinC==，利用大边对大角可得＜C ＜π，可解得：C ，A 的值，从而得解．【解答】解：由已知及正弦定理可得：sinC===．∵c=150＞b=50，∴＜C ＜π，可解得：C=或．∴解得：A=或．故选：B ．9．将数字1，2，3，4填入标号为1，2，3，4的四个方格里，每格填一个数字，则每个方格的标号与所填的数字均不相同的填法有（ ） A ．6种 B ．9种 C ．11种 D ．23种 【考点】排列、组合及简单计数问题．【分析】首先计算4个数字填入4个空格的所有情况，进而分析计算四个数字全部相同，有1个数字相同的情况，有2个数字相同情况，有3个数字相同的情况数目，由事件间的相互关系，计算可得答案．【解答】解：根据题意，数字1，2，3，4填入标号为1，2，3，4的四个方格里，共A 44=24种填法，其中，四个数字全部相同的有1种， 有1个数字相同的有4×2=8种情况， 有2个数字相同的有C 42×1=6种情况， 有3个数字相同的情况不存在，则每个方格的标号与所填的数字均不相同的填法有24﹣1﹣8﹣6=9种， 故选B ．10．函数f （x ）=sinx+2x ，若对于区间[﹣π，π]上的任意x 1，x 2，都有|f （x 1）﹣f （x 2）|≤t ，则实数t 的最小值是（ ） A ．4π B ．2π C ．π D ．0【考点】利用导数研究函数的单调性．【分析】问题等价于对于区间[﹣π，π]上，f （x ）max ﹣f （x ）min ≤t ，求出f （x ）的导数，分别求出函数的最大值和最小值，从而求出t 的范围即可．【解答】解：对于区间[﹣π，π]上的任意x 1，x 2，都有|f （x 1}﹣f （x 2）|≤t ， 等价于对于区间[﹣π，π]上，f （x ）max ﹣f （x ）min ≤t ， ∵f （x ）=sinx+2x ，∴f′（x ）=cosx+2≥0，∴函数在[﹣π，π]上单调递增，∴f （x ）max =f （π）=2π，f （x ）min =f （﹣π）=﹣2π， ∴f （x ）max ﹣f （x ）min =4π， ∴t ≥4π，∴实数t 的最小值是4π， 故选：A ．11．设直线l 与曲线f （x ）=x 3+2x+1有三个不同的交点A 、B 、C ，且|AB|=|BC|=，则直线l 的方程为（ ）A ．y=5x+1B ．y=4x+1C ．y=x+1D ．y=3x+1【考点】函数与方程的综合运用；利用导数研究函数的单调性．【分析】根据对称性确定B 的坐标，设出直线方程代入曲线方程，求出A 的坐标，利用条件，即可求出斜率的值，从而得到直线的方程．【解答】解：由题意，曲线f （x ）=x 3+2x+1是由g （x ）=x 3+2x ，向上平移1个单位得到的，函数g （x ）=x 3+2x 是奇函数，对称中心为（0，0）， 曲线f （x ）=x 3+2x+1的对称中心：B （0，1）， 设直线l 的方程为y=kx+1，代入y=x 3+2x+1，可得x 3=（k ﹣2）x ，∴x=0或x=±∴不妨设A （，k+1）（k ＞2）∵|AB|=|BC|=∴（﹣0）2+（k+1﹣1）2=10∴k3﹣2k2+k﹣12=0∴（k﹣3）（k2+k+4）=0∴k=3∴直线l的方程为y=3x+1故选：D．12．已知函数f（x）=，若对任意的x1，x2∈[e2，+∞），有||＞，则实数k的取值范围为（）A．（﹣∞，2] B．（﹣∞，1）C．[2，+∞）D．（2，+∞）【考点】利用导数研究函数的单调性．【分析】根据不等式单调函数的单调性关系，将不等式进行转化，利用导数求函数的最值即可得到结论．【解答】解：∵f（x）=，∴f′（x）=﹣，当0＜x＜1时，f′（x）＞0，当x＞1时，f′（x）＜0∴f（x）在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）单调递减，故f（x）在[e2，+∞）上单调递减，不妨设x1≥x2≥e2，则||＞⇔f（x2）﹣f（x1）＞k（﹣），⇔f（x2）﹣k•＞f（x1）﹣k•，⇔函数F（x）=f（x）﹣=﹣在[e2，+∞）上单调递减，则F′（x）=≤0在[e2，+∞）上恒成立，∴k≤lnx在[e2，+∞）上恒成立，∵在[e2，+∞）上，（lnx）min=lne2=2，故k∈（﹣∞，2]，故选：A二、填空题（每题5分） 13．在（x ﹣）5的二次展开式中，x 2的系数为40（用数字作答）．【考点】二项式定理．【分析】利用二项展开式的通项公式求出第r+1项，令x 的指数为2求出x 2的系数． 【解答】解：，令所以r=2，所以x 2的系数为（﹣2）2C 52=40． 故答案为4014．以模型y=ce kx 去拟合一组数据时，为了求出回归方程，设z=lny ，其变换后得到线性回归方程z=0.3x+4，则c=e 4． 【考点】线性回归方程．【分析】我们根据对数的运算性质：log a （MN ）=log a M+log a N ，log a N n =nlog a N ，即可得出结论．【解答】解：∵y=ce kx ，∴两边取对数，可得lny=ln （ce kx ）=lnc+lne kx =lnc+kx ， 令z=lny ，可得z=lnc+kx ， ∵z=0.3x+4， ∴lnc=4， ∴c=e 4． 故答案为：e 4．15．现有16个不同小球，其中红色、黄色、蓝色、绿色小球各4个，从中任取3个，要求这3个小球不能是同一颜色，且红色小球至多1个，不同的取法为472． 【考点】计数原理的应用．【分析】利用间接法，先选取没有条件限制的，再排除有条件限制的，问题得以解决． 【解答】解：由题意，不考虑特殊情况，共有C 163=560种取法，其中每一种小球各取三个，有4C 43=16种取法，两个红色小球，共有C 42C 121=72种取法， 故所求的取法共有560﹣16﹣72=472种． 故答案为：472．16．设a 为实常数，y=f （x ）是定义在R 上的奇函数，当x ＜0时，f （x ）=9x++7．若f （x ）≥a+1对一切x ≥0成立，则a 的取值范围为．．【考点】函数奇偶性的性质；基本不等式．【分析】先利用y=f （x ）是定义在R 上的奇函数求出x ≥0时函数的解析式，将f （x ）≥a+1对一切x ≥0成立转化为函数的最小值≥a+1，利用基本不等式求出f （x ）的最小值，解不等式求出a 的范围．【解答】解：因为y=f （x ）是定义在R 上的奇函数， 所以当x=0时，f （x ）=0；当x ＞0时，则﹣x ＜0，所以f （﹣x ）=﹣9x ﹣+7因为y=f （x ）是定义在R 上的奇函数， 所以f （x ）=9x+﹣7；因为f （x ）≥a+1对一切x ≥0成立， 所以当x=0时，0≥a+1成立， 所以a ≤﹣1； 当x ＞0时，9x+﹣7≥a+1成立，只需要9x+﹣7的最小值≥a+1， 因为9x+﹣7≥2=6|a|﹣7，所以6|a|﹣7≥a+1， 解得，所以．故答案为：．三、解答题17．数列{a n }的前n 项和为S n =2n+1﹣2，数列{b n }是首项为a 1，公差为d （d ≠0）的等差数列，且b 1，b 3，b 11成等比数列． （1）求数列{a n }与{b n }的通项公式；（2）设，求数列{c n }的前n 项和T n ．【考点】数列的求和；等差数列的通项公式；等比数列的通项公式． 【分析】（1）利用、等差数列的通项公式、等比数列的定义即可得出；（2）利用“错位相减法”即可得出．【解答】解析：（1）当n ≥2时，a n =S n ﹣S n ﹣1=2n+1﹣2n =2n ， 又，也满足上式，所以数列{a n }的通项公式为．b 1=a 1=2，设公差为d ，由b 1，b 3，b 11成等比数列， 得（2+2d ）2=2×（2+10d ），化为d 2﹣3d=0． 解得d=0（舍去）d=3，所以数列{b n }的通项公式为b n =3n ﹣1． （2）由（1）可得T n =，∴2T n =，两式相减得T n =，==．18．某火锅店为了了解气温对营业额的影响，随机记录了该店1月份中5天的日营业额y （单位：千元）与该地当日最低气温x （单位：℃）的数据，如表： x 2 5 8 9 11 y 12 10 8 8 7 （Ⅰ）求y 关于x 的回归方程=x+；（Ⅱ）判定y 与x 之间是正相关还是负相关；若该地1月份某天的最低气温为6℃，用所求回归方程预测该店当日的营业额．（Ⅲ）设该地1月份的日最低气温X～N（μ，δ2），其中μ近似为样本平均数，δ2近似为样本方差s2，求P（3.8＜X＜13.4）附：①回归方程=x+中，=，=﹣b．②≈3.2，≈1.8．若X～N（μ，δ2），则P（μ﹣δ＜X＜μ+δ）=0.6826，P（μ﹣2δ＜X＜μ+2δ）=0.9544．【考点】线性回归方程；正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义．【分析】（I）利用回归系数公式计算回归系数，得出回归方程；（II）根据的符号判断，把x=6代入回归方程计算预测值；（III）求出样本的方差，根据正态分布知识得P（3.8＜X＜13.4）=P（3.8＜X＜10.2）+P（10.2＜X＜13.4）．【解答】解：（I）解：（I）=×（2+5+8+9+11）=7，=（12+10+8+8+7）=9．=4+25+64+81+121=295，=24+50+64+72+77=287，∴==﹣=﹣0.56．=9﹣（﹣0.56）×7=12.92．∴回归方程为：=﹣0.56x+12.92．（II）∵=﹣0.56＜0，∴y与x之间是负相关．当x=6时，=﹣0.56×6+12.92=9.56．∴该店当日的营业额约为9.56千元．（III）样本方差s2=×[25+4+1+4+16]=10，∴最低气温X～N（7，10），∴P（3.8＜X＜10.2）=0.6826，P（0，6＜X＜13.4）=0.9544，∴P（10.2＜X＜13.4）=（0.9544﹣0.6826）=0.1359．∴P（3.8＜X＜13.4）=P（3.8＜X＜10.2）+P（10.2＜X＜13.4）=0.6826+0.1359=0.8185．19．某中学将100名高一新生分成水平相同的甲、乙两个“平行班”，每班50人，陈老师采用A，B两种不同的教学方式分别在甲、乙两个班进行教改实验，为了了解教学效果，期末考试后，陈老师对甲、乙两个班级的学生成绩进行统计分析，画出频率分布直方图（如图）．记成绩不低于90分者为“成绩优秀”．（1）从乙班随机抽取2名学生的成绩，记“成绩优秀”的个数为ξ，求ξ的分布列和数学期望；（2）根据频率分布直方图填写下面2×2列联表，并判断能否在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为：“成绩优秀”与教学方式有关．甲班（A方式）乙班（B方式）总计成绩优秀成绩不优秀总计附：．P（K2≥k）0.250.150.100.050.025k 1.323 2.072 2.706 3.841 5.024【考点】离散型随机变量的期望与方差；独立性检验；离散型随机变量及其分布列．【分析】（1）由频率分布直方图，得乙班“成绩优秀”人数为4，ξ可能取值为0，1，2，分别求出相应的概率，由此能求出ξ的分布列和Eξ．（2）由频率分布直方图得甲班成绩优秀、成绩不优秀的人数分别为12，38，乙班成绩优秀、成绩不优秀的人数分别为4，46，作出列联表，求出K2的观测值，由此能判断能否在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为：“成绩优秀”与教学方式有关．【解答】解：（1）由频率分布直方图，得乙班“成绩优秀”人数为4，ξ可能取值为0，1，2，P（ξ=0）==，P（ξ=1）==，P（ξ=2）==，∴ξ的分布列为：ξ012P∴Eξ==．（2）由频率分布直方图得甲班成绩优秀、成绩不优秀的人数分别为12，38，乙班成绩优秀、成绩不优秀的人数分别为4，46，甲班（A方式）乙班（B方式）总计成绩优秀12416成绩不优秀384684总计5050100根据列联表中数据，K2的观测值：K2=≈4.762，∵4.762＞3.841，∴在错误的概率不超过0.05的前提下认为：“成绩优秀”与教学方式有关．20．如图，正方形ABCD和四边形ACEF所在的平面互相垂直，CE⊥AC，EF∥AC，AB=，CE=EF=1．（Ⅰ）求证：AF∥平面BDE；（Ⅱ）求证：CF⊥平面BDE；（Ⅲ）求二面角A﹣BE﹣D的大小．【考点】空间中直线与平面之间的位置关系；直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的判定．【分析】（Ⅰ）设AC与BD交于点G，则在平面BDE中，可以先证明四边形AGEF为平行四边形⇒EG∥AF，就可证：AF∥平面BDE；（Ⅱ）先以C为原点，建立空间直角坐标系C﹣xyz．把对应各点坐标求出来，可以推出•=0和•=0，就可以得到CF⊥平面BDE（Ⅲ）先利用（Ⅱ）找到=（，，1），是平面BDE的一个法向量，再利用平面ABE的法向量•=0和•=0，求出平面ABE的法向量，就可以求出二面角A﹣BE ﹣D的大小．【解答】解：证明：（I）设AC与BD交于点G，因为EF∥AG，且EF=1，AG=AC=1，所以四边形AGEF为平行四边形．所以AF∥EG．因为EG⊂平面BDE，AF⊄平面BDE，所以AF∥平面BDE．（II）因为正方形ABCD和四边形ACEF所在的平面互相垂直，CE⊥AC，所以CE⊥平面ABCD．如图，以C为原点，建立空间直角坐标系C﹣xyz．则C（0，0，0），A（，，0），D（，0，0），E（0，0，1），F（，，1）．所以=（，，1），=（0，﹣，1），=（﹣，0，1）．所以•=0﹣1+1=0，•=﹣1+0+1=0．所以CF⊥BE，CF⊥DE，所以CF⊥平面BDE（III）由（II）知，=（，，1），是平面BDE的一个法向量，设平面ABE的法向量=（x，y，z），则•=0，•=0．即所以x=0，且z=y．令y=1，则z=．所以n=（），从而cos（，）=因为二面角A﹣BE﹣D为锐角，所以二面角A﹣BE﹣D为．21．已知椭圆C：（a＞b＞0）的右焦点为F（，0），上下两个顶点与点F 恰好是正三角形的三个顶点．（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）过原点O的直线l与椭圆交于A，B两点，如果△FAB为直角三角形，求直线l的方程．【考点】椭圆的简单性质．【分析】（Ⅰ）通过题意直接计算即得结论；（Ⅱ）通过设直线l 方程，设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）．分FA ⊥FB 、FA 与FB 不垂直两种情况讨论即可． 【解答】解：（Ⅰ）由题可知c=，a=2b ，∵b 2+c 2=a 2，∴a 2=4，b 2=1， ∴椭圆C 的标准方程为：； （Ⅱ）由题，当△FAB 为直角三角形时，显然过原点O 的直线l 斜率存在， 设直线l 方程为：y=kx ，设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）． ①当FA ⊥FB 时， =（x 1﹣，y 1），=（x 2﹣，y 2）．联立，消去y 得：（1+4k 2）x 2﹣4=0，由韦达定理知：x 1+x 2=0，x 1x 2=﹣，=•=x 1x 2﹣（x 1+x 2）+3+k 2x 1x 2=（1+k 2）•（﹣）+3=0，解得k=±，此时直线l 的方程为：y=±x ；②当FA 与FB 不垂直时，根据椭圆的对称性，不妨设∠FAB=，即点A 既在椭圆上又在以OF 为直径的圆上．∴，解得x 1=，y 1=±，∴k==±，此时直线l 的方程为：y=±x ； 综上所述，直线l 的方程为：y=±x 或y=±x ．22．已知函数f （x ）=（其中k ∈R ，e 是自然对数的底数），f′（x ）为f （x ）导函数．（Ⅰ）若k=2时，求曲线y=f （x ）在点（1，f （1））处的切线方程；（Ⅱ）若f′（1）=0，试证明：对任意x＞0，f′（x）＜恒成立．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（Ⅰ）求出函数的导数，计算f（1），f′（1），代入切线方程即可；（Ⅱ）求出k的值，令g（x）=（x2+x）f'（x），问题等价于，根据函数的单调性证明即可．【解答】解：（Ⅰ）由得，x∈（0，+∞），所以曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线斜率为：，而f（1）=，故切线方程是：y﹣=﹣（x﹣1），即：x+ey﹣3=0；（Ⅱ）证明：若f′（1）=0，解得：k=1，令g（x）=（x2+x）f'（x），所以，x∈（0，+∞），因此，对任意x＞0，g（x）＜e﹣2+1，等价于，由h（x）=1﹣x﹣xlnx，x∈（0，∞），得h'（x）=﹣lnx﹣2，x∈（0，+∞），因此，当x∈（0，e﹣2）时，h'（x）＞0，h（x）单调递增；x∈（e﹣2，+∞）时，h'（x）＜0，h（x）单调递减，所以h（x）的最大值为h（e﹣2）=e﹣2+1，故1﹣x﹣xlnx≤e﹣2+1，设φ（x）=e x﹣（x+1），∵φ'（x）=e x﹣1，所以x∈（0，+∞）时，φ'（x）＞0，φ（x）单调递增，φ（x）＞φ（0）=0，故x∈（0，+∞）时，φ（x）=e x﹣（x+1）＞0，即，所以．因此，对任意x＞0，恒成立．高二（下）期末数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．双曲线﹣=1的渐近线方程为（ ）A ．y=±x B ．y=±2x C ．y=±x D ．y=±x2．复数z=（3﹣2i ）i 的共轭复数等于（ ）A ．﹣2﹣3iB ．﹣2+3iC ．2﹣3iD ．2+3i3．观察下列式子：1+3=22，1+3+5=32，1+3+5+7=42，1+3+5+7+9=52，…，据此你可以归纳猜想出的一般结论为（ ）A ．1+3+5+…+（2n+1）=n 2（n ∈N *）B ．1+3+5+…+（2n+1）=（n+1）2（n ∈N *）C ．1+3+5+…+（2n ﹣1）=（n ﹣1）2（n ∈N *）D ．1+3+5+…+（2n ﹣1）=（n+1）2（n ∈N *） 4．定积分e x dx=（ ） A ．1+e B ．eC ．e ﹣1D ．1﹣e5．已知x ，y 的取值如表所示，若y 与x 线性相关，且线性回归方程为，则的值为（ ） x 1 2 3y 6 4 5 A ．B ．C ．D ．﹣6．函数f （x ）=x 3﹣3x+2的极大值点是（ ） A ．x=±1B ．x=1C ．x=0D ．x=﹣17．设（2x ﹣1）5=a 0+a 1x+a 2x 2+a 3x 3+a 4x 4+a 5x 5，则a 1+a 2+a 3+a 4+a 5=（ ） A ．2B ．1C ．0D ．﹣18．函数f （x ）=的导函数f′（x ）为（ ）A ．f′（x ）=B ．f′（x ）=﹣C ．f′（x ）=D ．f′（x ）=﹣9．五人站成一排，其中甲、乙之间有且仅有1人，不同排法的总数是（ ） A ．48 B ．36 C ．18 D ．12 10．已知椭圆+=1的左、右焦点分别为F 1，F 2，点P 在椭圆上，若|PF 2|=，则cos ∠F 1PF 2=（ ） A ．B ．C ．D ．11．已知P 是抛物线y 2=4x 上一动点，则点P 到直线l ：2x ﹣y+3=0和y 轴的距离之和的最小值是（ ）A ．B ．C ．2D ．﹣112．已知f （x ）是定义在R 上的奇函数，且f （2）=0，当x ＞0时，f （x ）+xf′（x ）＞0（其中f′（x ）为f （x ）的导函数），则f （x ）＞0的解集为（ ） A ．（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞） B ．（﹣∞，﹣2）∪（0，2） C ．（﹣2，0）∪（2，+∞） D ．（﹣2，0）∪（0，2）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分． 13．（x ﹣）6展开式的常数项为_______．14．若曲线y=kx+lnx 在点（1，k ）处的切线平行于x 轴，则k=_______． 15．已知椭圆+=1（a ＞b ＞0）的左焦点F 1（﹣c ，0），右焦点F 2（c ，0），若椭圆上存在一点P ，使|PF 1|=2c ，∠F 1PF 2=30°，则该椭圆的离心率e 为_______． 16．若存在正实数x 0使e（x 0﹣a ）＜2（其中e 是自然对数的底数，e=2.71828…）成立，则实数a 的取值范围是_______．三、解答题：本大题共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．已知抛物线x 2=4y 的焦点为F ，P 为该抛物线在第一象限内的图象上的一个动点 （Ⅰ）当|PF|=2时，求点P 的坐标；（Ⅱ）求点P 到直线y=x ﹣10的距离的最小值．18．学校游园活动有这样一个游戏：A 箱子里装有3个白球，2个黑球，B 箱子里装有2个白球，2个黑球，参加该游戏的同学从两个箱子中各摸出一个球，若颜色相同则获奖，现甲同学参加了一次该游戏． （Ⅰ）求甲获奖的概率P ；（Ⅱ）记甲摸出的两个球中白球的个数为ξ，求ξ的分布列和数学期望E （ξ）19．已知函数f（x）=alnx﹣x+3（y=kx+2k），曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为y=x+b（b∈R）（Ⅰ）求a，b的值；（Ⅱ）求f（x）的极值．20．某市高二学生进行了体能测试，经分析，他们的体能成绩X服从正态分布N（μ，σ2），已知P（X≤75）=0.5，P（X≥95）=0.1（Ⅰ）求P（75＜X＜95）；（Ⅱ）现从该市高二学生中随机抽取3位同学，记抽到的3位同学中体能测试成绩不超过75分的人数为ξ，求ξ的分布列和数学期望．21．已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的离心率e=，点A（1，）在椭圆C上（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）过椭圆C的左顶点B且互相垂直的两直线l1，l2分别交椭圆C于点M，N（点M，N均异于点B），试问直线MN是否过定点？若过定点，求出定点的坐标；若不过定点，说明理由．22．已知函数f（x）=alnx+x2﹣（a∈R）（Ⅰ）若a=﹣4，求f（x）的单调区间；（Ⅱ）若f（x）≥0在区间[1，+∞）上恒成立，求a的最小值．参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．双曲线﹣=1的渐近线方程为（）A．y=±x B．y=±2x C．y=±x D．y=±x【考点】双曲线的简单性质．【分析】运用双曲线﹣=1的渐近线方程为y=±x，求得已知双曲线方程的a，b，即可得到所求渐近线方程．【解答】解：由双曲线﹣=1的渐近线方程为y=±x，双曲线﹣=1的a=2，b=，可得所求渐近线方程为y=±x．故选：A．2．复数z=（3﹣2i）i的共轭复数等于（）A．﹣2﹣3i B．﹣2+3i C．2﹣3i D．2+3i【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】直接由复数代数形式的乘法运算化简z，则其共轭可求．【解答】解：∵z=（3﹣2i）i=2+3i，∴．故选：C．3．观察下列式子：1+3=22，1+3+5=32，1+3+5+7=42，1+3+5+7+9=52，…，据此你可以归纳猜想出的一般结论为（）A．1+3+5+…+（2n+1）=n2（n∈N*）B．1+3+5+…+（2n+1）=（n+1）2（n∈N*）C．1+3+5+…+（2n﹣1）=（n﹣1）2（n∈N*）D．1+3+5+…+（2n﹣1）=（n+1）2（n∈N*）【考点】归纳推理．【分析】观察不难发现，连续奇数的和等于奇数的个数的平方，然后写出第n个等式即可．【解答】解：∵1+3=22，1+3+5=32，…，∴第n个等式为1+3+5+…+（2n+1）=（n+1）2（n∈N*），故选：B．4．定积分e x dx=（）A．1+e B．e C．e﹣1 D．1﹣e【考点】定积分．【分析】求出被积函数的原函数，计算即可．【解答】解：原式==e﹣1；故选C．5．已知x，y的取值如表所示，若y与x线性相关，且线性回归方程为，则的值为（）x123y645A．B．C．D．﹣【考点】线性回归方程．【分析】根据所给的三组数据，求出这组数据的平均数，得到这组数据的样本中心点，根据线性回归直线一定过样本中心点，把样本中心点代入所给的方程，得到b的值．【解答】解：根据所给的三对数据，得到=2，=5，∴这组数据的样本中心点是（2，5）∵线性回归直线的方程一定过样本中心点，线性回归方程为，∴5=2b+6∴b=﹣．故选：D．6．函数f（x）=x3﹣3x+2的极大值点是（）A．x=±1 B．x=1 C．x=0 D．x=﹣1【考点】利用导数研究函数的极值．【分析】先求导函数，确定导数为0的点，再确定函数的单调区间，利用左增右减，从而确定函数的极大值点．【解答】解：∵f（x）=x3﹣3x+2，∴f′（x）=3x2﹣3，当f′（x ）=0时，3x 2﹣3=0，∴x=±1．令f′（x ）＞0，得x ＜﹣1或x ＞1； 令f′（x ）＜0，得﹣1＜x ＜1； ∴函数的单调增区间为（﹣∞，﹣1），（1，+∞），函数的单调减区间为（﹣1，1） ∴函数的极大值点是x=﹣1 故选：D ．7．设（2x ﹣1）5=a 0+a 1x+a 2x 2+a 3x 3+a 4x 4+a 5x 5，则a 1+a 2+a 3+a 4+a 5=（ ） A ．2 B ．1 C ．0 D ．﹣1 【考点】二项式定理的应用．【分析】利用赋值法将x=0代入，可得a 0，再将x=1代入，a 0代入解得a 1+a 2+a 3+a 4+a 5． 【解答】解：把x=0代入得，a 0=﹣1， 把x=1代入得a 0+a 1+a 2+a 3+a 4+a 5=1，把a 0=﹣1，代入得a 1+a 2+a 3+a 4+a 5=1﹣（﹣1）=2． 故选：A ．8．函数f （x ）=的导函数f′（x ）为（ ）A ．f′（x ）=B ．f′（x ）=﹣C ．f′（x ）=D ．f′（x ）=﹣【考点】导数的运算．【分析】根据函数商的导数公式进行求解即可． 【解答】解：函数的导数f′（x ）===﹣，故选：B9．五人站成一排，其中甲、乙之间有且仅有1人，不同排法的总数是（ ） A ．48 B ．36 C ．18 D ．12 【考点】排列、组合及简单计数问题．【分析】甲、乙两人和中间一人捆绑算一个元素，共三个元素排列，不要忘记甲、乙两人之间的排列．【解答】解：因为5人站成一排， 甲、乙两人之间恰有1人的不同站法=36，故选：B ．10．已知椭圆+=1的左、右焦点分别为F 1，F 2，点P 在椭圆上，若|PF 2|=，则cos ∠F 1PF 2=（ ） A ．B ．C ．D ．【考点】椭圆的简单性质．【分析】利用椭圆的标准方程及其定义可得：|PF 1||，再利用余弦定理即可得出． 【解答】解：∵椭圆+=1，∴a=2，b=2=c ，∵|PF 2|=，|PF 1|+|PF 2|=4，∴|PF 1||=3，∴cos ∠F 1PF 2==．故选：D ．11．已知P 是抛物线y 2=4x 上一动点，则点P 到直线l ：2x ﹣y+3=0和y 轴的距离之和的最小值是（ ）A ．B ．C ．2D ．﹣1 【考点】抛物线的简单性质．【分析】作图，化点P 到直线l ：2x ﹣y+3=0和y 轴的距离之和为PF+PA ﹣1，从而求最小值．【解答】解：由题意作图如右图， 点P 到直线l ：2x ﹣y+3=0为PA ； 点P 到y 轴的距离为PB ﹣1； 而由抛物线的定义知， PB=PF ；故点P 到直线l ：2x ﹣y+3=0和y 轴的距离之和为PF+PA ﹣1； 而点F （1，0）到直线l ：2x ﹣y+3=0的距离为=；。
(完整版)2017年高二(上)期末数学试卷(理科)(解析版)
高二（上）数学期末试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，均为单选题，每小题5分，共60分）1．抛物线y2=4x上一点M到准线的距离为3，则点M的横坐标x为（）A．1 B．2 C．3 D．42．已知向量，，若与平行，则m的值为（）A．1 B．﹣1 C．﹣2 D．﹣63．在正项等比数列{a n}中，a1和a19为方程x2﹣10x+16=0的两根，则a8•a10•a12等于（）A．16 B．32 C．64 D．2564．已知椭圆和双曲线有公共的焦点，那么双曲线的渐近线方程是（）A．x=±B．y=C．x=D．y=5．已知一个四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的四个侧面中，直角三角形的个数是（）A．4 B．3 C．2 D．16．为了得到函数y=3cos2x的图象，只需将函数的图象上每一点（）A．横坐标向左平动个单位长度B．横坐标向右平移个单位长度C．横坐标向左平移个单位长度D．横坐标向右平移个单位长度7．执行如图所示的程序框图，若输入n=10，则输出的S=（）A．B．C．D．8．抛掷一枚均匀的硬币4次，出现正面次数多余反面次数的概率是（）A．B．C．D．9．已知l是双曲线的一条渐近线，P是l上的一点，F1，F2是C 的两个焦点，若PF1⊥PF2，则△PF1F2的面积为（）A．12 B．C．D．10．已知直线y=﹣2x+1与椭圆+=1（a＞b＞0）相交于A，B两点，且线段AB的中点在直线x﹣4y=0上，则此椭圆的离心率为（）A．B．C．D．11．已知直线l过点（﹣1，0），l与圆C：（x﹣1）2+y2=3相交于A，B两点，则弦长的概率为（）A．B．C．D．12．设F1，F2分别是椭圆的左、右焦点，已知点F1的直线交椭圆E于A，B两点，若|AF1|=2|BF1|，AF2⊥x轴，则椭圆E的方程为（）A．B．C．D．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．已知椭圆+=1的长轴在x轴上，若焦距为4，则m等于．14．函数f（x），x∈R，满足如下性质：f（x）+f（﹣x）=0，f（+x）=f（﹣x），f（1）=3，则f（2）=．15．函数给出下列说法，其中正确命题的序号为．（1）命题“若α=，则cosα=”的逆否命题；（2）命题p：∃x0∈R，使sinx0＞1，则￢p：∀x∈R，sinx≤1；（3）“φ=+2kπ（k∈Z）”是“函数若y=sin（2x+φ）为偶函数”的充要条件；（4）命题p：“，使”，命题q：“在△ABC中，若使sinA＞sinB，则A＞B”，那么命题（¬p）∧q为真命题．16．抛物线C：y2=4x的交点为F，准线为l，p为抛物线C上一点，且P在第一象限，PM⊥l交C于点M，线段MF为抛物线C交于点N，若PF的斜率为，则=．三、解答题（本大题共6小题，共70分）17．已知数列{a n}是公差为正数的等差数列，其前n项和为S n，a1=1，且3a2，S3，a5成等比数列．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设，求数列{b n}的前n项和T n．18．如图是某市有关部门根据对某地干部的月收入情况调查后画出的样本频率分布直方图，已知图中第一组的频数为4000．请根据该图提供的信息解答下列问题：（图中每组包括左端点，不包括右端点，如第一组表示收入在[1000，1500）（1）求样本中月收入在[2500，3500）的人数；（2）为了分析干部的收入与年龄、职业等方面的关系，必须从样本的各组中按月收入再用分层抽样方法抽出100人作进一步分析，则月收入在[1500，2000）的这段应抽多少人？（3）试估计样本数据的中位数．19．如图，直棱柱ABC﹣A1B1C1中，D，E分别是AB，BB1的中点，AA1=AC=CB= AB．（Ⅰ）证明：BC1∥平面A1CD（Ⅱ）求二面角D﹣A1C﹣E的正弦值．20．已知向量，，其中ω＞0，函数，其最小正周期为π．（1）求函数f（x）的表达式及单调减区间；（2）在△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，S为其面积，若f（）=1，b=1，S△ABC=，求a的值．21．已知椭圆C： +=1（a＞b＞0）经过点M（1，），F1，F2是椭圆C的两个焦点，|F1F2|=2，P是椭圆C上的一个动点．（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）若点P在第一象限，且•≤，求点P的横坐标的取值范围；（Ⅲ）是否存在过定点N（0，2）的直线l交椭圆C交于不同的两点A，B，使∠AOB=90°（其中O为坐标原点）？若存在，求出直线l的斜率k；若不存在，请说明理由．22．已知圆E：（x+1）2+y2=16，点F（1，0），P是圆E上任意一点，线段PF的垂直平分线和半径PE相交于Q（1）求动点Q的轨迹Γ的方程；（2）若直线y=k（x﹣1）与（1）中的轨迹Γ交于R，S两点，问是否在x轴上存在一点T，使得当k变动时，总有∠OTS=∠OTR？说明理由．高二（上）期末数学试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，均为单选题，每小题5分，共60分）1．抛物线y2=4x上一点M到准线的距离为3，则点M的横坐标x为（）A．1 B．2 C．3 D．4【考点】抛物线的简单性质．【分析】首先求出p，准线方程，然后根据，直接求出结果．【解答】解：设M（x，y）则2P=4，P=2，准线方程为x==﹣1，解得x=2．选B．2．已知向量，，若与平行，则m的值为（）A．1 B．﹣1 C．﹣2 D．﹣6【考点】平行向量与共线向量．【分析】利用向量共线定理即可得出．【解答】解：=（﹣3，3+2m），∵与平行，∴3+2m+9=0，解得m=﹣6．故选：D．3．在正项等比数列{a n}中，a1和a19为方程x2﹣10x+16=0的两根，则a8•a10•a12等于（）A．16 B．32 C．64 D．256【考点】等比数列的性质．【分析】由a1和a19为方程x2﹣10x+16=0的两根，根据韦达定理即可求出a1和a19的积，而根据等比数列的性质得到a1和a19的积等于a102，由数列为正项数列得到a10的值，然后把所求的式子也利用等比数列的性质化简为关于a10的式子，把a10的值代入即可求出值．【解答】解：因为a1和a19为方程x2﹣10x+16=0的两根，所以a1•a19=a102=16，又此等比数列为正项数列，解得：a10=4，则a8•a10•a12=（a8•a12）•a10=a103=43=64．故选C4．已知椭圆和双曲线有公共的焦点，那么双曲线的渐近线方程是（）A．x=±B．y=C．x=D．y=【考点】双曲线的标准方程；椭圆的标准方程．【分析】先根据椭圆方程和双曲线方程分别表示出c，令二者相等即可求得m和n的关系，进而利用双曲线的方程求得双曲线的渐近线方程．【解答】解：∵椭圆和双曲线有公共焦点∴3m2﹣5n2=2m2+3n2，整理得m2=8n2，∴=2双曲线的渐近线方程为y=±=±x故选D5．已知一个四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的四个侧面中，直角三角形的个数是（）A．4 B．3 C．2 D．1【考点】直线与平面垂直的性质；简单空间图形的三视图．【分析】画出满足条件的四棱锥的直观图，可令棱锥PA⊥矩形ABCD，进而可得可得△PAB 和△PAD都是直角三角形，再由由线面垂直的判定定理可得CB⊥平面PAB，CD⊥平面PAD，又得到了两个直角三角形△PCB 和△PCD，由此可得直角三角形的个数．【解答】解：满足条件的四棱锥的底面为矩形，且一条侧棱与底面垂直，画出满足条件的直观图如图四棱锥P﹣ABCD所示，不妨令PA⊥矩形ABCD，∴PA⊥AB，PA⊥AD，PA⊥CB，PA⊥CD，故△PAB 和△PAD都是直角三角形．又矩形中CB⊥AB，CD⊥AD．这样CB垂直于平面PAB内的两条相交直线PA、AB，CD垂直于平面PAD内的两条相交直线PA、AD，由线面垂直的判定定理可得CB⊥平面PAB，CD⊥平面PAD，∴CB⊥PB，CD⊥PD，故△PCB 和△PCD都是直角三角形．故直角三角形有△PAB、△PAD、△PBC、△PCD共4个．故选A．6．为了得到函数y=3cos2x的图象，只需将函数的图象上每一个点（）A．横坐标向左平动个单位长度B．横坐标向右平移个单位长度C．横坐标向左平移个单位长度D．横坐标向右平移个单位长度【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【分析】利用y=Acos（ωx+φ）的图象变换规律，得出结论．【解答】解：将函数=3cos2（x+）的图象上每一个点横坐标向右平移个单位长度，可得函数y=3cos2x的图象，故选：B．7．执行如图所示的程序框图，若输入n=10，则输出的S=（）A．B．C．D．【考点】循环结构．【分析】框图首先给累加变量S和循环变量i分别赋值0和2，在输入n的值为10后，对i的值域n的值大小加以判断，满足i≤n，执行，i=i+2，不满足则跳出循环，输出S．【解答】解：输入n的值为10，框图首先给累加变量S和循环变量i分别赋值0和2，判断2≤10成立，执行，i=2+2=4；判断4≤10成立，执行=，i=4+2=6；判断6≤10成立，执行，i=6+2=8；判断8≤10成立，执行，i=8+2=10；判断10≤10成立，执行，i=10+2=12；判断12≤10不成立，跳出循环，算法结束，输出S的值为．故选A．8．抛掷一枚均匀的硬币4次，出现正面次数多余反面次数的概率是（）A．B．C．D．【考点】古典概型及其概率计算公式．【分析】抛掷一枚均匀的硬币4次，相当于进行4次独立重复试验，利用n次独立重复试验中事件A恰好发生k次的概率计算公式能求出出现正面次数多余反面次数的概率．【解答】解：抛掷一枚均匀的硬币4次，相当于进行4次独立重复试验，∴出现正面次数多余反面次数的概率：p==．故选：D．9．已知l是双曲线的一条渐近线，P是l上的一点，F1，F2是C 的两个焦点，若PF1⊥PF2，则△PF1F2的面积为（）A．12 B．C．D．【考点】双曲线的简单性质．【分析】设P的坐标，利用PF1⊥PF2，建立方程，求出P的坐标，则△PF1F2的面积可求．【解答】解：由题意，设P（y，y），∵PF1⊥PF2，∴（﹣y，﹣y）•（y，﹣y）=0，∴2y2﹣6+y2=0，∴|y|=，∴△PF1F2的面积为=2．故选D．10．已知直线y=﹣2x+1与椭圆+=1（a＞b＞0）相交于A，B两点，且线段AB的中点在直线x﹣4y=0上，则此椭圆的离心率为（）A．B．C．D．【考点】直线与椭圆的位置关系．【分析】将直线y=﹣2x+1与直线x﹣4y=0联立，求得中点坐标，由A，B在椭圆上，两式相减可知=﹣×=﹣，则=2，求得a2=2b2，椭圆的离心率e===．【解答】解：设A（x1，y1），B（x2，y2），由题意可知：，解得：，则线段AB的中点（，），则x1+x2=，y1+y2=，由A，B在椭圆上，+=1， +=1，两式相减，得+=0，=﹣×=﹣，∴=2，即a2=2b2，椭圆的离心率e===，故选D．11．已知直线l过点（﹣1，0），l与圆C：（x﹣1）2+y2=3相交于A，B两点，则弦长的概率为（）A．B．C．D．【考点】几何概型．【分析】先找出使弦长|AB|=2时的情况，再求直线与圆相切时的情形，根据几何概型的概率公式求解即可【解答】解：圆心C是（1，0）半径是，可知（﹣1，0）在圆外要使得弦长|AB|≥2，设过圆心垂直于AB的直线垂足为D，由半径是，可得出圆心到AB的距离是1，此时直线的斜率为，倾斜角为30°，当直线与圆相切时，过（﹣1，0）的直线与x轴成60°，斜率为，所以使得弦长的概率为：P==，故选：C．12．设F1，F2分别是椭圆的左、右焦点，已知点F1的直线交椭圆E于A，B两点，若|AF1|=2|BF1|，AF2⊥x轴，则椭圆E的方程为（）A．B．C．D．【考点】椭圆的简单性质．【分析】利用椭圆的性质求出A，B的坐标，代入椭圆方程，结合1=b2+c2，即可求出椭圆的方程．【解答】解：由题意椭圆，a=1，F1（﹣c，0），F2（c，0），AF2⊥x轴，∴|AF2|=b2，∴A点坐标为（c，b2），设B（x，y），则∵|AF1|=2|F1B|，∴（﹣c﹣c，﹣b2）=2（x+c，y）∴B（﹣2c，﹣b2），代入椭圆方程可得：4c2+b2=1，∵1=b2+c2，∴b2=，∴x2+=1．故选：C．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．已知椭圆+=1的长轴在x轴上，若焦距为4，则m等于4．【考点】椭圆的简单性质．【分析】根据椭圆+=1的长轴在x轴上，焦距为4，可得10﹣m﹣m+2=4，即可求出m的值．【解答】解：∵椭圆+=1的长轴在x轴上，焦距为4，∴10﹣m﹣m+2=4，解得m=4故答案为：4．14．函数f（x），x∈R，满足如下性质：f（x）+f（﹣x）=0，f（+x）=f（﹣x），f（1）=3，则f（2）=﹣3．【考点】函数的值．【分析】推导出f（x+3）=﹣f（x+）=f（x），由f（1）=3，得f（2）=f（﹣1）=﹣f（1），由此能求出结果．【解答】解：∵函数f（x），x∈R，满足如下性质：f（x）+f（﹣x）=0，f（+x）=f（﹣x），∴f（x+3）=﹣f（x+）=f（x）∵f（1）=3，f（2）=f（﹣1）=﹣f（1）=﹣3．故答案为：﹣3．15．函数给出下列说法，其中正确命题的序号为①②④．（1）命题“若α=，则cosα=”的逆否命题；（2）命题p：∃x0∈R，使sinx0＞1，则￢p：∀x∈R，sinx≤1；（3）“φ=+2kπ（k∈Z）”是“函数若y=sin（2x+φ）为偶函数”的充要条件；（4）命题p：“，使”，命题q：“在△ABC中，若使sinA＞sinB，则A＞B”，那么命题（¬p）∧q为真命题．【考点】命题的真假判断与应用．【分析】（1），原命题为真，逆否命题为真命题；（2），命题p：∃x0∈R，使sinx0＞1，则￢p：∀x∈R，sinx≤1，；（3），“φ=+2kπ（k∈Z）”是“函数若y=sin（2x+φ）为偶函数”的充分不必要条件；（4），判断命题p、命题q的真假即可【解答】解：对于（1），∵cos=，∴原命题为真，故逆否命题为真命题；对于（2），命题p：∃x0∈R，使sinx0＞1，则￢p：∀x∈R，sinx≤1，为真命题；对于（3），“φ=+2kπ（k∈Z）”是“函数若y=sin（2x+φ）为偶函数”的充分不必要条件，故为假命题；对于（4），x∈（0，）时，sinx+cosx=，故命题p为假命题；在△ABC中，若sinA＞sinB⇒2RsinA＞2RsinB⇒a＞b⇒A＞B，故命题q为真命题那么命题（¬p）∧q为真命题，正确．故答案为：①②④16．抛物线C：y2=4x的交点为F，准线为l，p为抛物线C上一点，且P在第一象限，PM⊥l交C于点M，线段MF为抛物线C交于点N，若PF的斜率为，则=．【考点】抛物线的简单性质．【分析】过N作l的垂线，垂足为Q，则|NF|=|NQ|，|PF|=|PM|，求出P的坐标，可得cos∠MNQ=，即可得到．【解答】解：抛物线C：y2=4x的焦点为F（1，0），过N作l的垂线，垂足为Q，则|NF|=|NQ|，∵PF的斜率为，∴可得P（4，4）．∴M（﹣1，4），∴cos∠MFO=∴cos∠MNQ=∴=故答案为：．三、解答题（本大题共6小题，共70分）17．已知数列{a n}是公差为正数的等差数列，其前n项和为S n，a1=1，且3a2，S3，a5成等比数列．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设，求数列{b n}的前n项和T n．【考点】数列的求和；数列递推式．【分析】（1）设出等差数列的公差，由3a2，S3，a5成等比数列列式求得公差，代入等差数列的通项公式得答案；（2）求出等差数列的前n项和，代入，利用裂项相消法求数列{b n}的前n项和T n．【解答】解：（1）设数列{a n}的公差为d（d＞0），则a2=1+d，S3=3+3d，a5=1+4d，∵3a2，S3，a5成等比数列，∴，即（3+3d）2=（3+3d）•（1+4d），解得d=2．∴a n=1+2（n﹣1）=2n﹣1；（2）由（1）得：，∴=，∴=．18．如图是某市有关部门根据对某地干部的月收入情况调查后画出的样本频率分布直方图，已知图中第一组的频数为4000．请根据该图提供的信息解答下列问题：（图中每组包括左端点，不包括右端点，如第一组表示收入在[1000，1500）（1）求样本中月收入在[2500，3500）的人数；（2）为了分析干部的收入与年龄、职业等方面的关系，必须从样本的各组中按月收入再用分层抽样方法抽出100人作进一步分析，则月收入在[1500，2000）的这段应抽多少人？（3）试估计样本数据的中位数．【考点】众数、中位数、平均数；频率分布直方图．【分析】（1）根据频率分布直方图，求出各段的频率，然后再求[2500，3500）的人数；（2）根据抽样方法，选取抽样的人数，（3）根据求中位数的方法即可．【解答】解：（1）∵月收入在[1000，1500]的频率为0.0008×500=0.4，且有4000人，∴样本的容量n=，月收入在[1500，2000）的频率为0.0004×500=0.2，月收入在[2000，2500）的频率为0.0003×500=0.15，月收入在[3500，4000）的频率为0.0001×500=0.05，∴月收入在[2500，3500）的频率为；1﹣（0.4+0.2+0.15+0.05）=0.2，∴样本中月收入在[2500，3500）的人数为：0.2×10000=2000．（2）∵月收入在[1500，2000）的人数为：0.2×10000=2000，∴再从10000人用分层抽样方法抽出100人，则月收入在[1500，2000）的这段应抽取（人）．（3）由（1）知月收入在[1000，2000）的频率为：0.4+0.2=0.6＞0.5，∴样本数据的中位数为：=1500+250=1750（元）．19．如图，直棱柱ABC﹣A1B1C1中，D，E分别是AB，BB1的中点，AA1=AC=CB= AB．（Ⅰ）证明：BC1∥平面A1CD（Ⅱ）求二面角D﹣A1C﹣E的正弦值．【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面平行的判定．【分析】（Ⅰ）通过证明BC1平行平面A1CD内的直线DF，利用直线与平面平行的判定定理证明BC1∥平面A1CD（Ⅱ）证明DE⊥平面A1DC，作出二面角D﹣A1C﹣E的平面角，然后求解二面角平面角的正弦值即可．【解答】解：（Ⅰ）证明：连结AC1交A1C于点F，则F为AC1的中点，又D是AB中点，连结DF，则BC1∥DF，因为DF⊂平面A1CD，BC1⊄平面A1CD，所以BC1∥平面A1CD．（Ⅱ）因为直棱柱ABC﹣A1B1C1，所以AA1⊥CD，由已知AC=CB，D为AB的中点，所以CD⊥AB，又AA1∩AB=A，于是，CD⊥平面ABB1A1，设AB=2，则AA1=AC=CB=2，得∠ACB=90°，CD=，A1D=，DE=，A1E=3故A1D2+DE2=A1E2，即DE⊥A1D，所以DE⊥平面A1DC，又A1C=2，过D作DF⊥A1C于F，∠DFE为二面角D﹣A1C﹣E的平面角，在△A1DC中，DF==，EF==，所以二面角D﹣A1C﹣E的正弦值．sin∠DFE=．20．已知向量，，其中ω＞0，函数，其最小正周期为π．（1）求函数f（x）的表达式及单调减区间；（2）在△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，S为其面积，若f（）=1，b=1，S△ABC=，求a的值．【考点】余弦定理；平面向量数量积的运算．【分析】（1）利用两个向量的数量积公式，三角恒等变换化简函数的解析式，再利用正弦函数的周期性和单调性，得出结论．=，求得c=4，再利用余弦定理求（2）由f（）=1，求得A=，根据S△ABC得a=的值．【解答】解：（1）函数=cos2ωx+sinωxcosωx﹣=cos2ωx+sin2ωx=sin（2ωx+），其最小正周期为=π，∴ω=1，f（x）=sin（2x+）．令2kπ+≤2x+≤2kπ+，求得kπ+≤x≤kπ+，故函数的减区间为[kπ+，kπ+]，k∈Z．（2）在△ABC中，∵f（）=sin（A+）=1，=bc•sinA=•1•c•=，∴A=，又b=1，S△ABC∴c=4，∴a===．21．已知椭圆C： +=1（a＞b＞0）经过点M（1，），F1，F2是椭圆C 的两个焦点，|F1F2|=2，P是椭圆C上的一个动点．（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）若点P在第一象限，且•≤，求点P的横坐标的取值范围；（Ⅲ）是否存在过定点N（0，2）的直线l交椭圆C交于不同的两点A，B，使∠AOB=90°（其中O为坐标原点）？若存在，求出直线l的斜率k；若不存在，请说明理由．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程．【分析】（Ⅰ）由椭圆经过点M（1，），|F1F2|=2，列出方程组，求出a，b，由此能求出椭圆C的标准方程．（Ⅱ）设P（x，y），则=（3x2﹣8），由此能求出点P的横坐标的取值范围．（Ⅲ）设直线l的方程为y=kx+2，联立，得（1+4k2）x2+16kx+12=0，由此利用根的判别式、韦达定理、向量的数量积，结合已知条件能求出直线的斜率．【解答】解：（Ⅰ）∵椭圆C： +=1（a＞b＞0）经过点M（1，），F1，F2是椭圆C的两个焦点，|F1F2|=2，∴，解得a=2，b=1，∴椭圆C的标准方程为．（Ⅱ）∵c=，F1（﹣，0），F2（），设P（x，y），则=（﹣）•（）=x2+y2﹣3，∵，∴=x2+y2﹣3==（3x2﹣8），解得﹣，∵点P在第一象限，∴x＞0，∴0＜x＜，∴点P的横坐标的取值范围是（0，]．（Ⅲ）当直线l的斜率不存在时，直线l即为y轴，A、B、O三点共线，不符合题意，当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y=kx+2，联立，得（1+4k2）x2+16kx+12=0，由△=（16k）2﹣48（1+4k2）＞0，解得，，，∵∠AOB=90°，∴=0，∵=x1x2+y1y2=x1x2+（kx1+2）（kx2+2）==0，解得k2=4，满足k2＞，解得k=2或k=﹣2，∴直线l的斜率k的值为﹣2或2．22．已知圆E：（x+1）2+y2=16，点F（1，0），P是圆E上任意一点，线段PF的垂直平分线和半径PE相交于Q（1）求动点Q的轨迹Γ的方程；（2）若直线y=k（x﹣1）与（1）中的轨迹Γ交于R，S两点，问是否在x轴上存在一点T，使得当k变动时，总有∠OTS=∠OTR？说明理由．【考点】椭圆的简单性质．【分析】（1）连结QF，运用垂直平分线定理可得，|QP|=|QF|，可得|QE|+|QF|=|QE|+|QP|=4＞|EF|=2，由椭圆的定义即可得到所求轨迹方程；（2）假设存在T（t，0）满足∠OTS=∠OTR．设R（x1，y1），S（x2，y2），联立直线方程和椭圆方程，运用韦达定理和判别式大于0，由直线的斜率之和为0，化简整理，即可得到存在T（4，0）．【解答】解：（1）连结QF，根据题意，|QP|=|QF|，则|QE|+|QF|=|QE|+|QP|=4＞|EF|=2，故动点Q的轨迹Γ是以E，F为焦点，长轴长为4的椭圆．设其方程为，可知a=2，c=1，∴，所以点Q的轨迹Γ的方程为；（2）假设存在T（t，0）满足∠OTS=∠OTR．设R（x1，y1），S（x2，y2）联立，得（3+4k2）x2﹣8k2x+4k2﹣12=0，由韦达定理有①，其中△＞0恒成立，由∠OTS=∠OTR（显然TS，TR的斜率存在），故k TS+k TR=0即②，由R，S两点在直线y=k（x﹣1）上，故y1=k（x1﹣1），y2=k（x2﹣1）代入②得，即有2x1x2﹣（t+1）（x1+x2）+2t=0③，将①代入③，即有：④，要使得④与k的取值无关，当且仅当“t=4“时成立，综上所述存在T（4，0），使得当k变化时，总有∠OTS=∠OTR．2017年2月24日。
湖州市2017学年第二学期期末调研测试高二数学卷答案(定稿)
2017学年第二学期期末调研测试卷高二数学答案一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只(本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分．)11. 1 12. 2，5； 13. 56，162；14. π，[]03，； 15. 144； 16. 6a ≤； 17. 13⎤⎦，三、解答题(本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．) 18．(本小题满分14分)已知函数()31f x x ax =--， x ∈R ，a ∈R .(Ⅰ)若()f x 在定义域内为增函数，求实数a 的取值范围； (Ⅱ) 若3a =，求()f x 在[]22-，上的最大值与最小值. 解：(Ⅰ)()23f x x a '=-，------------2分依题知()230f x x a '=-≥即23a x ≤在R 上恒成立，-----------4分 所以()2min30a x ≤=；---------------6分(Ⅱ)当3a =时，()331f x x x =--，()233f x x '=-， 得在[]22-，上()f x 的增区间是[]12，和[]21--，，------------8分 减区间是[]11-，，--------------10分所以()()(){}max max 121f x f f =-=，，-------------12分()()(){}min min 213f x f f =-=-，.--------------------14分19．(本小题满分15分)从n 个正整数123n ，，，，中任取两个不同的数，若取出的两数之和等于7的概率为328. (Ⅰ)求n 的值；(Ⅱ)若()201212nn n x a a x a x a x -=++++ . ①求3a ；②在{}0123n a a a a a ，，，，，中任取不同的3个，求它们的乘积是负数的概率.(Ⅰ)总的取法有2n C 种，两数和为7的取法有()()()162534，，，，，三种， 故233828nn C =⇒=.----------------------5分(Ⅱ)由(Ⅰ)知()()82801281212n x x a a x a x a x -=-=++++ ，所以①()33382448a C =-=-；----------------10分②{}{}012301238n a a a a a a a a a a = ，，，，，，，，，，中，02468a a a a a ，，，，为正数， 1357a a a a ，，，为负数，所以所求概率为213544391121C C C p C +==.-------------15分20. (本小题满分15分)如图，三棱锥P ABC -中，E D ,分别是棱BC AC ，的中点，48PB PC AB AC BC =====，，，PA =(Ⅰ)求证：BC ⊥平面PED ；(Ⅱ)求PC 与平面PAB 所成角的正弦值.(Ⅰ)证明：因为48AB AC BC ===，，，所以 AB BC ⊥， 因为E D ,分别是棱BC AC ，的中点，所以 ED BC ⊥，-------------2分又PB PC =，D 为BC 中点，所以PD BC ⊥，------4分而ED PD D = ，ED PD ⊂，平面PED ，所以 BC ⊥平面PED .-----------6分(Ⅱ)解：由已知易得2ED PD ==，--------7分PA BCD E第20题图由PA =，48PC AC ==，得cos APC ∠=，所以及122PE PA PC =+ .-----------9分 取ED 中点F ，连PF ，并作//FG BD 交AB 于G ，连PG .因为PED ∆位等边三角形，BC ⊥平面PED ，F 为ED 的中点，所以PF ⊥平面ABC . 因为FG AB ⊥，故由三垂线定理知PG AB ⊥，所以AB ⊥平面PFG ，作FH PG ⊥于H ，则FH ⊥平面PAB ，因为3P F F ==，所以PG =，所以5P FF FH PH ⋅==所以C 到平面PAB的距离2d FH =，所以PC 与平面PAB所成角的正弦值为d PC =另法：向量法，略. 21. (本小题满分15分)已知F 是椭圆()222210y x C a b a b+=>>：的右焦点，O 是坐标原点，2OF = ，过F 作x 轴的垂线交椭圆于直线A B ，两点，且OAB ∆的面积是103. (Ⅰ)求椭圆C 的标准方程；(Ⅱ)若直线l 与椭圆C 交于P Q ，两点，与x 轴交于点M ，且2PM MQ =，求OPQ ∆的面积取得最大值时l 的斜率.(Ⅰ)解：由已知得2c =，22221y c a b+=，----------1分 所以2A AB b y y y a==-，，------------3分所以OAB ∆的面积21023b S a =⨯=，又2224a bc -==，从而解得3a b =，-------5分 所以椭圆C 的标准方程为22195y x +=.--------6分 (Ⅱ) 依题可设l 方程为()0x ty m m =+≠，联立22195x ty my x =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消x 得()22259105450ty mty m +++-=，设()()1122P x y Q x y ，，，，则2121222105455959mt m y y y y t t --+==++，，-----------8分且由2PM MQ =得122y y =-，由此三式得()22222259595151t t m t m t ++=+⇒=+，------------------10分所以12111222OPQ S m y y ∆=-=32==-------------13分 所以当2512t +=即21t =，也即l 的斜率1k ==OPQ ∆的面积最大.---15分22. (本小题满分15分)设函数()ln 1m f x x x =+-(m ∈R ). (Ⅰ)当1m =时，求函数()f x 的单调区间；(Ⅱ)当12m ≥，()1x ∈+∞，时，求证：()1f x >.(Ⅰ)解：12m =时，()112ln f x x x =+-，()()()()()()222212122521121122f x x x x x x x x x x x '=-==------+，---------2分令()()00f x f x ''><，及0x >且1x ≠得()f x 的增区间是()()1022+∞，，，；-----4分 减区间是()()11122，，，；------------6分(减区间中1未断开扣1分)(Ⅱ)证明：即证当()1x ∈+∞，，12m ≥，函数()ln m f x x =+的最小值大于1. 由()222221(1)(2)1(1)(1)(1)m x mx x m x f x x x x x x x ---++'=-==---，------------------------------8分令22()(1)(2)1g x x mx x m x =--=-++，对称轴25124m x +=≥>，且(1)0g m =-<， 所以存在()+∞∈,10x ，使得()00=x g ，所以当()01x x ∈，时，()0()g x f x <⇒在()01x ，上是减函数， 所以当()0x x ∈+∞，时，()0()g x f x >⇒在()0x +∞，上是增函数，--------------10分所以()()min 000ln 1m f x f x x x ==+-，又200(1)x m x -=--------------------------------12分及200(1)x m x -=21≥，所以20≥x ，---------------------------------------------------14分所以()()min 00011ln 1ln 2ln 12f x f x x x ==-+≥+=>，证毕. --- ----------------15分。
2016-2017学年四川省绵阳市高二下学期期末数学试卷(文科)(解析版)
2016-2017学年四川省绵阳市高二（下）期末数学试卷（文科）一、选择题（本大题共12小题，每小题4分，共48分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（4分）已知集合A={﹣1，0，1，2}，B={x|（x+1）（x﹣2）＜0}，则A∩B=（）A．{0，1}B．{﹣1，0}C．{﹣1，0，1}D．{0，1，2}2．（4分）与命题“若a∈M，则b∈M”等价的命题是（）A．若a∈M，则b∉M B．若b∈M，则a∉M C．若b∉M，则a∈M D．若b∉M，则a∉M3．（4分）已知a＞b，则下列不等式恒成立的是（）A．a2＞b2B．＜C．a2＞ab D．a2+b2＞2ab4．（4分）设f（x）=，则f（f（4））=（）A．﹣1 B．C．D．5．（4分）设a=0.91.1，b=1.10.9，c=log0.91.1，则a，b，c的大小关系正确的是（）A．b＞a＞c B．a＞b＞c C．c＞a＞b D．a＞c＞b6．（4分）函数f（x）=﹣log3x的零点所在的区间为（）A．（0，）B．（，1）C．（1，3） D．（3，4）7．（4分）设p：x2﹣x﹣20≤0，q：≥1，则p是q的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件8．（4分）若变量x，y满足，则2x﹣y的最大值是（）A．﹣2 B．3 C．7 D．99．（4分）设f（x）=sinx﹣x，则下列说法正确的是（）A．f（x）是有零点的偶函数B．f（x）是没有零点的奇函数C．f（x）既是奇函数又是R上的增函数D．f（x）既是奇函数又是R上的减函数10．（4分）已知函数y=xf′（x）（f′（x）是函数f（x）的导函数）的图象如图所示，则y=f（x）的大致图象可能是（）A．B． C． D．11．（4分）当x∈（0，3）时，关于x的不等式e x﹣x﹣2mx＞0恒成立，则实数m的取值范围是（）A．（﹣∞，）B．（，+∞）C．（﹣∞，e+1）D．（e+1，+∞）12．（4分）定义在R上的奇函数f（x）满足f（﹣1）=0，且当x＞0时，f（x）＞xf′（x），则下列关系式中成立的是（）A．4f（）＞f（2）B．4f（）＜f（2）C．f（）＞4f（2）D．f （）f（2）＞0二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分）13．（3分）lg+lg6=．14．（3分）已知i是虚数单位，复数z满足zi=1+i，则z=．15．（3分）已知关于x的不等式tx2﹣5x﹣t2+5＜0的解集为{x|1＜x＜m}，则m+t=．16．（3分）过原点作曲线y=e x（其中e为自然对数的底数）的切线l，若点M（，a+2b））（a≥0，b≥0）在切线l上，则a+b的最小值为．三、解答题17．（10分）设二次函数f（x）=mx2﹣nx（m≠0），已知f（x）的图象的对称轴为x=﹣1，且f（x）的图象与直线y=x只有一个公共点．（1）求f（x）的解析式；（2）若关于x的不等式e f（x）＞在x∈R时恒成立（其中e为自然对数的底数），求实数t的取值范围．18．（10分）为了减少能源损耗，某工厂需要给生产车间建造可使用20年的隔热层．已知建造该隔热层每厘米厚的建造成本为3万元．该生产车间每年的能源消耗费用M（单位：万元）与隔热层厚度x（单位：厘米）满足关系：M（x）=（0≤x≤10），若不建隔热层，每年能源消耗费用为7.5万元，设f（x）为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用只和．（1）求k的值及f（x）的表达式；（2）试问当隔热层修建多厚时，总费用f（x）达到最少？并求出最少费用．19．（10分）已知函数f（x）=（1﹣2a）lnx+ax+，其中a∈R．（1）当a=1时，求f（x）的极值；（2）记函数g（x）=f（x）+（2a﹣3）lnx﹣，若g（x）在区间[1，4]上单调递减，求实数a的取值范围．四、选修4-4：坐标系与参数方程20．（10分）在直角坐标系xOy中，设直线l：（t为参数）与曲线C：（φ为参数）相交于A、B两点．（1）若以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴，求直线l的极坐标方程；（2）设点P（2，），求|PA|+|PB|的值．五、选修4-5：不等式选讲21．已知函数f（x）=|x+1|+|x﹣5|的最小值为m（1）求m的值；（2）若a，b，c为正实数，且a+b+c=m，求证：a2+b2+c2≥12．2016-2017学年四川省绵阳市高二（下）期末数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题4分，共48分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（4分）已知集合A={﹣1，0，1，2}，B={x|（x+1）（x﹣2）＜0}，则A∩B=（）A．{0，1}B．{﹣1，0}C．{﹣1，0，1}D．{0，1，2}【分析】求出集合B中不等式的解集确定出B，找出A与B的交集即可．【解答】解：由B中不等式解得：﹣1＜x＜2，即B={x|﹣1＜x＜2}，∵A={﹣1，0，1，2}，∴A∩B={0，1}，故选：A．【点评】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．2．（4分）与命题“若a∈M，则b∈M”等价的命题是（）A．若a∈M，则b∉M B．若b∈M，则a∉M C．若b∉M，则a∈M D．若b∉M，则a∉M【分析】求出命题“若a∈M，则b∈M”的逆否命题，由此能求出命题“若a∈M，则b∈M”等价的命题．【解答】解：命题“若a∈M，则b∈M”的逆否命题是：“若b∉M，则a∉M”，原命题与逆否命题是等价命题，∴命题“若a∈M，则b∈M”等价的命题是“若b∉M，则a∉M”．故选：D．【点评】本题考查命题的等价命题的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意原命题与逆否命题是等价命题的合理运用．3．（4分）已知a＞b，则下列不等式恒成立的是（）A．a2＞b2B．＜C．a2＞ab D．a2+b2＞2ab【分析】通过取值，利用不等式的基本性质即可判断出结论．【解答】解：A．取a=1，b=﹣2，满足a＞b，可得a2＜b2，因此A不正确；B．取a=1，b=﹣2，满足a＞b，可得＞，因此B不正确；C．取a=﹣1，b=﹣2，满足a＞b，可得a2＜ab，因此C不正确；D．∵a＞b，∴a2+b2﹣2ab=（a﹣b）2＞0，∴a2+b2＞2ab，因此D正确．故选：D．【点评】本题考查了不等式的基本性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．4．（4分）设f（x）=，则f（f（4））=（）A．﹣1 B．C．D．【分析】先求出f（4）=1﹣=﹣1，从而f（f（4））=f（﹣1）=2﹣1，由此能求出结果．【解答】解：∵f（x）=，∴f（4）=1﹣=﹣1，f（f（4））=f（﹣1）=2﹣1=．故选：C．【点评】本题考查函数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意函数性质的合理运用．5．（4分）设a=0.91.1，b=1.10.9，c=log0.91.1，则a，b，c的大小关系正确的是（）A．b＞a＞c B．a＞b＞c C．c＞a＞b D．a＞c＞b【分析】利用指数函数与对数函数的单调性即可得出．【解答】解：∵a=0.91.1∈（0，1），b=1.10.9＞1，c=log0.91.1＜0，则b＞a＞c，故选：A．【点评】本题考查了指数函数与对数函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．6．（4分）函数f（x）=﹣log3x的零点所在的区间为（）A．（0，）B．（，1）C．（1，3） D．（3，4）【分析】根据零点的判定定理，对选项逐一验证即可．【解答】解：∵f（）=4＞0，f（1）=2＞0，f（3）=＜0，f（1）f（3）＜0，一定有零点，故选：C．【点评】本题主要考查零点的判定定理．属基础题．7．（4分）设p：x2﹣x﹣20≤0，q：≥1，则p是q的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【分析】分别解出不等式，即可判断出结论．【解答】解：p：x2﹣x﹣20≤0，解得﹣4≤x≤5，∴x∈[﹣4，5]=A．q：≥1，解得﹣4＜x≤5．∴x∈（﹣4，5]．则p是q的必要不充分条件．故选：B．【点评】本题考查了不等式的解法、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．8．（4分）若变量x，y满足，则2x﹣y的最大值是（）A．﹣2 B．3 C．7 D．9【分析】由约束条件作出可行域，然后结合2x﹣y的几何意义，求得2x﹣y的最大值．【解答】解：由约束条件，作出可行域如图，设z=2x﹣y，则y=2x﹣z，当此直线经过图中B时，在y轴的截距最小，z最大，由得到B（3，﹣1），∴2x﹣y的最大值为6+1=7；故选C．【点评】本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法和数学转化思想方法，是中档题．9．（4分）设f（x）=sinx﹣x，则下列说法正确的是（）A．f（x）是有零点的偶函数B．f（x）是没有零点的奇函数C．f（x）既是奇函数又是R上的增函数D．f（x）既是奇函数又是R上的减函数【分析】根据题意，由函数f（x）的解析式，求出f（﹣x）并分析与f（x）的关系，可得f（x）为奇函数，对其求导可得f′（x）≤0，可得函数f（x）为减函数，由奇函数的性质分析可得f（0）=0，即函数f（x）存在零点；由此分析选项即可得答案．【解答】解：根据题意，对于函数f（x）=sinx﹣x，有f（﹣x）=sin（﹣x）﹣（﹣x）=﹣（sinx﹣x）=﹣f （x），则函数f（x）为奇函数，其导数f′（x）=cosx﹣1≤0，即函数f（x）为减函数，对于函数f（x）=sinx﹣x，有f（0）=0﹣0=0，则函数f（x）存在零点；分析选项可得：D符合；故选：D．【点评】本题考查函数的奇偶性、单调性的判定，涉及函数零点的判定，注意掌握函数的奇偶性、单调性以及零点的判定方法．10．（4分）已知函数y=xf′（x）（f′（x）是函数f（x）的导函数）的图象如图所示，则y=f（x）的大致图象可能是（）A．B． C． D．【分析】根据题意，设函数y=xf′（x）与x轴负半轴交于点M（m，0），且﹣2＜m＜﹣1；与x轴正半轴交于点N（1，0），结合函数y=xf′（x）的图象分段讨论y=f′（x）的符号，进而分析函数y=f（x）的单调性，分析选项即可得答案．【解答】解：根据题意，设函数y=xf′（x）与x轴负半轴交于点M（m，0），且﹣2＜m＜﹣1；与x轴正半轴交于点N（1，0），当x＜m时，x＜0而y=xf′（x）＜0，则有y=f′（x）＞0，函数y=f（x）在（﹣∞，m）上为增函数；当m＜x＜0时，x＜0而y=xf′（x）＞0，则有y=f′（x）＜0，函数y=f（x）在（m，0）上为减函数；当0＜x＜1时，x＞0而y=xf′（x）＜0，则有y=f′（x）＜0，函数y=f（x）在（0，1）上为减函数；当x＞1时，x＞0而y=xf′（x）＞0，则有y=f′（x）＞0，函数y=f（x）在（1，+∞）上为增函数；分析选项可得：C符合；故选：C．【点评】本题考查函数的导数与函数单调性的关系，涉及函数的图象以及单调性，关键是分析出导数的符号．11．（4分）当x∈（0，3）时，关于x的不等式e x﹣x﹣2mx＞0恒成立，则实数m的取值范围是（）A．（﹣∞，）B．（，+∞）C．（﹣∞，e+1）D．（e+1，+∞）【分析】由题意可得2m+1＜在（0，3）的最小值，求出f（x）=的导数和单调区间，可得f（x）的最小值，解不等式即可得到m的范围．【解答】解：当x∈（0，3）时，关于x的不等式e x﹣x﹣2mx＞0恒成立，即为2m+1＜在（0，3）的最小值，由f（x）=的导数为f′（x）=，当0＜x＜1时，f′（x）＜0，f（x）递减；当1＜x＜3时，f′（x）＞0，f（x）递增．可得f（x）在x=1处取得最小值e，即有2m+1＜e，可得m＜．故选：A．【点评】本题考查不等式恒成立问题的解法，注意运用参数分离和构造函数法，运用导数求出单调区间和最值，考查运算能力，属于中档题．12．（4分）定义在R上的奇函数f（x）满足f（﹣1）=0，且当x＞0时，f（x）＞xf′（x），则下列关系式中成立的是（）A．4f（）＞f（2）B．4f（）＜f（2）C．f（）＞4f（2）D．f （）f（2）＞0【分析】先根据f（x）＞xf′（x），判断函数的单调性，可得到答案．【解答】解：当x＞0时，f（x）＞xf′（x），[]′=＜0，即x＞0时是减函数，所以，即：4f（）＜f（2）．故选：B．【点评】本题主要考查了函数单调性与导数的关系，考查构造法的应用．在判断函数的单调性时，常可利用导函数来判断．二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分）13．（3分）lg+lg6=1．【分析】直接利用对数的运算法则化简求解即可．【解答】解：lg+lg6=lg5﹣lg3+lg2+lg3=lg5+lg2=lg10=1．故答案为：1．【点评】本题考查对数的应用，考查计算能力．14．（3分）已知i是虚数单位，复数z满足zi=1+i，则z=1﹣i．【分析】把已知等式变形，然后利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．【解答】解：由zi=1+i，得．故答案为：1﹣i．【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，是基础的计算题．15．（3分）已知关于x的不等式tx2﹣5x﹣t2+5＜0的解集为{x|1＜x＜m}，则m+t=5．【分析】由题意，不等式为一元二次不等式并且t＞0，对应方程的根为1，m，根据韦达定理得到m．t即可．【解答】解：由题意，方程tx2﹣5x﹣t2+5=0的两根为1，m，所以，解得，所以m+t=5；故答案为：5．【点评】本题关键是明确一元二次不等式的解集与对应二次方程的关系；利用韦达定理得到关于m，t的方程组解之．16．（3分）过原点作曲线y=e x（其中e为自然对数的底数）的切线l，若点M（，a+2b））（a≥0，b≥0）在切线l上，则a+b的最小值为1．【分析】设出切点坐标，利用导数可得切线方程，再由切线过原点可得切点坐标，进一步得到切线方程，把M坐标代入，可得a，b关系式，求出b的取值范围，把a+b化为关于b的函数，利用导数求得a+b的最小值．【解答】解：设切点为P（），则，∴过切点的切线方程为y﹣=．把原点坐标代入，可得，则x0=1．∴切线方程为y=ex．∵点M（，a+2b））（a≥0，b≥0）在切线l上，∴a+2b=e•=2﹣ab．则a+2b=2﹣ab，即a=．∴a+b=．令g（b）=（0≤b≤1）．则g′（b）=≤0在[0，1]上恒成立．∴g（b）=（0≤b≤1）为减函数．则g（b）min=g（1）=1．故答案为：1．【点评】本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，训练了利用导数求函数在闭区间上的最值，是中档题．三、解答题17．（10分）设二次函数f（x）=mx2﹣nx（m≠0），已知f（x）的图象的对称轴为x=﹣1，且f（x）的图象与直线y=x只有一个公共点．（1）求f（x）的解析式；（2）若关于x的不等式e f（x）＞在x∈R时恒成立（其中e为自然对数的底数），求实数t的取值范围．【分析】（1）先利用对称轴方程求得n=﹣2m；再利用条件求出m和n之间的另一关系式，联立即可求f（x）的解析式；（2）先利用e＞1把原不等式转化为x2+x＞tx﹣2在x∈R时恒成立（其中e为自然对数的底数），再分类讨论，根据基本不等式即可求出t的范围．【解答】解：（1）∵由f（x）=mx2﹣nx（a≠0）的对称轴方程是x=﹣1，∴n=﹣2m；∵函数f（x）的图象与直线y=x只有一个公共点，∴有且只有一解，即mx2﹣（n+1）x=0有两个相同的实根；故△=（n+1）2=0，解得n=﹣1，m=∴f（x）=x2+x．（2）∵e＞1，不等式e f（x）＞在x∈R时恒成立∴f（x）＞tx﹣2．∵x2+x＞tx﹣2在x∈R时恒成立，∴tx＜x2+x+2，当x＞0时，t＜++1，∵++1≥2+1=3，当且仅当x=2时取等号，∴t＜3，当x＜0，t＞++1，∵++1=﹣（﹣﹣）+1≤﹣2+1=﹣1，当且仅当x=﹣2时取等号，∴t＞﹣1，当x=0时，恒成立，综上所述t的取值范围为（﹣1，3）．【点评】本题考查了二次函数解析式的求法以及函数恒成立问题．二次函数解析式的确定，应视具体问题，灵活的选用其形式，再根据题设条件列方程组，即运用待定系数法来求解．在具体问题中，常常会与图象的平移，对称，函数的周期性，奇偶性等知识有机的结合在一起．18．（10分）为了减少能源损耗，某工厂需要给生产车间建造可使用20年的隔热层．已知建造该隔热层每厘米厚的建造成本为3万元．该生产车间每年的能源消耗费用M（单位：万元）与隔热层厚度x（单位：厘米）满足关系：M（x）=（0≤x≤10），若不建隔热层，每年能源消耗费用为7.5万元，设f（x）为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用只和．（1）求k的值及f（x）的表达式；（2）试问当隔热层修建多厚时，总费用f（x）达到最少？并求出最少费用．【分析】（1）由建筑物每年的能源消耗费用M（单位：万元）与隔热层厚度x（单位：cm）满足关系：M（x）=（0≤x≤10），若不建隔热层，每年能源消耗费用为7.5万元．可得M（0）=7.5，得k=15，进而得到M（x）=．建造费用为M1（x）=3x，则根据隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和为f（x），即可得到f（x）的表达式；（2）由（1）中所求的f（x）的表达式，利用导数法，求出函数f（x）的单调性，然后根据函数单调性求出总费用f（x）的最小值．【解答】解：（1）设隔热层厚度为x cm，由题设，每年能源消耗费用为M（x）=（0≤x≤10），再由M（0）=7.5，得k=15，因此M（x）=．而建造费用为M1（x）=3x，最后得隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和为f（x）=20M（x）+M1（x）=20×+3x=+3x（0≤x≤10）；（2）f′（x）=3﹣，令f'（x）=0，解得x=8，或x=﹣12（舍去）．当0＜x＜8时，f′（x）＜0，当8＜x＜10时，f′（x）＞0，故x=8是f（x）的最小值点，对应的最小值为f（8）=．故当隔热层修建8cm厚时，总费用达到最小值为54万元．【点评】本题考查函数模型的选择及应用，考查了简单的数学建模思想方法，训练了利用导数求函数的最值，是中档题．19．（10分）已知函数f（x）=（1﹣2a）lnx+ax+，其中a∈R．（1）当a=1时，求f（x）的极值；（2）记函数g（x）=f（x）+（2a﹣3）lnx﹣，若g（x）在区间[1，4]上单调递减，求实数a的取值范围．【分析】（1）先求导，再根据导数和极值的关系即可求出；（2）先求导，再构造函数，得到h（x）=ax2﹣2x+（3a﹣2）≤0在[1，4]上恒成立，根据方程根的关系即可求出a的取值范围．【解答】解：（1）：当a=1时，f（x）=﹣lnx+x+，x＞0，∴f′（x）=﹣+1﹣==，令f′（x）=0，解得x=2，当x∈（2，+∞）时，f′（x）＞0，函数f（x）单调递增，当x∈（0，2）时，f′（x）＜0，函数f（x）单调递减，当x=2时，函数f（x）有极小值，即为f（1）=3，无极大值；（2）函数g（x）=f（x）+（2a﹣3）lnx﹣=（1﹣2a）lnx+ax++（2a﹣3）lnx﹣=﹣2lnx+ax﹣，∴g′（x）=﹣+a+=，设h（x）=ax2﹣2x+（3a﹣2）∵g（x）在区间[1，4]上单调递减，∴h（x）≤0，在[1，4]上恒成立，当a=0时，h（x）=﹣2x﹣2＜0在[1，4]上恒成立，满足题意，当a≠0时，∴或即，解得a≤﹣或0＜a≤，综上所述a的取值范围为（﹣∞，﹣]∪[0，]【点评】本题考查了导数和函数的极值和单调性的关系，以及函数与方程根的关系，考查了转化思想，以及分类讨论的思想，属于中档题．四、选修4-4：坐标系与参数方程20．（10分）在直角坐标系xOy中，设直线l：（t为参数）与曲线C：（φ为参数）相交于A、B两点．（1）若以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴，求直线l的极坐标方程；（2）设点P（2，），求|PA|+|PB|的值．【分析】（1）直线l：（t为参数），消去参数可得普通方程，利用互化公式可得极坐标方程．（2）曲线C：（φ为参数），利用平方关系化为普通方程．把直线l：（t为参数）代入椭圆方程可得：13t2+56t+48=0，利用根与系数的关系可得|PA|+|PB|=|t1|+|t2|=|t1+t2|．【解答】解：（1）直线l：（t为参数），可得：x﹣y﹣=0，可得极坐标方程：﹣ρsinθ﹣=0；（2）曲线C：（φ为参数），化为普通方程：=1．把直线l：（t为参数）代入椭圆方程可得：13t2+56t+48=0，可得：t1+t2=﹣，t1t2=，∴|PA|+|PB|=|t1|+|t2|=|t1+t2|=．【点评】本题考查了参数方程化为普通方程、极坐标方程化为直角坐标方程、直线与椭圆相交关系、一元二次方程的根与系数的关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．五、选修4-5：不等式选讲21．已知函数f（x）=|x+1|+|x﹣5|的最小值为m（1）求m的值；（2）若a，b，c为正实数，且a+b+c=m，求证：a2+b2+c2≥12．【分析】（1）通过讨论x的范围，求出f（x）的最小值即m的值即可；（2）根据（a2+b2+c2）（12+12+12）≥（a+b+c）2=36，可得a2+b2+c2 的最小值为12．【解答】解：（1）f（x）=|x+1|+|x﹣5|，x≥5时，f（x）=x+1+x﹣5=2x﹣4，此时f（x）的最小值是6，﹣1≤x≤5时，f（x）=x+1﹣x+5=6，x≤﹣1时，f（x）=﹣x﹣1﹣x+5=﹣2x+4，此时f（x）的最小值是6，故f（x）的最小值是6，故m=6；（2）由（1）得a+b+c=6，因为a，b，c 均为正实数，由柯西不等式得，（a2+b2+c2）（12+12+12）≥（a+b+c）2=36，当且仅当a=b=c=2时等号成立，∴a2+b2+c2 的最小值为12．【点评】本题考查了解绝对值不等式问题，考查柯西不等式的应用，是一道中档题．。
江苏省淮安市2016-2017学年高二下学期期末考试数学(理)试卷 Word版含答案
数学试卷（理科）一、填空题：（本大题共14小题，每小题5分，共70分）1. 已知复数1iz i+=（i 为虚数单位），则复数z 的实部为 . 3.若346n n A C =，则n 的值为 . 4.已知向量()()1,1,0,1,0,2a b ==-，若ka b +与b 相互垂直，则k 的值是 .5．已知二项式61x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭，则它的展开式中的常数项为 .6.在3名男教师和3名女教师中选取3人参加义务献血，要求男、女教师都有，则有 种不同的选取方法（用数字作答）.7.已知曲线()22:1C x y y -+=在矩阵2201A -⎡⎤⎢⎥⎣⎦对应的变换下得到曲线C '，则曲线C '的方程为 .8.甲、乙、丙三人各自独立的破译一个密码，假定它们译出密码的概率都是15，且相互独立，则至少两人译出密码的概率为 .11.现有10件产品，其中6件一等品，4件二等品，从中随机选出3件产品，其中一等品的件数记为随机变量X,则X 的数学期望()E X = .12.从3名男生和3名女生中选出4人分别分别担任辩论赛中的一、二、三、四辩手，其中男生甲不能担任一辩手，那么不同的编队形式有 种.（用数字作答）13.已知1232727272727S C C C C =++++，则S 除以9所得的余数是 .14.利用等式()111,,k k n n kC nC k n k n N -*-=≤≤∈可以化简12111222n n n n n C C n C -⋅+⋅+⋅ ()101122111111222123.n n n n n n n n nC n C n C n C n n -------=+⋅+⋅++⋅=+=⋅等式11k k n n kC nC --=有几种变式，如：1111k k n n C C k n--=又如将1n +赋给n ，可得到()111,k k n n kC n C -+=+，类比上述方法化简等式：23101211111115253515n n n n n n C C C C n +⎛⎫⎛⎫⎛⎫⋅+⋅+⋅++⋅= ⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎝⎭.二、解答题：本大题共6小题，共90分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程.17.（本题满分14分）在某次问卷调查中，有a,b 两题为选做题，规定每位被调查者必须且只需在其中选做一题，其中包括甲乙在内的4名调查者选做a 题的概率均为23，选做b 题的概率均为1.3（1）求甲、乙两位被调查者选做同一道题的概率；（2）设这4名受访者中选做b 题的人数为ξ，求ξ的概率分布和数学期望.18.（本题满分16分）如图，直三棱柱111ABC A B C -中，底面ABC 为等腰直角三角形，1,2,3,AB AC AB AC AA M ⊥===是侧棱1CC 上一点.（1）若1BM A C ⊥，求1C MMC的值；（2）若2MC =，求直线1BA 与平面ABM 所成角的正弦值.19.（本题满分16分）已知()()()()()201211112,.nn x n a a x a x a x n n N *+=+-+-+++≥∈.（1）当3n =时，求31223222a a a ++的值； （2）设232,.2nn n n n a b T b b b -==+++①求n b 的表达式；②使用数学归纳法证明：当2n ≥时，()()11.6n n n n T +-=20.（本题满分16分）设函数()()(),10,0.xf x y my m y =+>>（1）当2m =时，求()7,f y 的展开式中二项式系数最大的项；（2）已知()2,f n y 的展开式中各项的二项式系数和比(),f n y 的展开式中各项的二项式系数和大992，若()01,nn f n y a a y a y =+++，且240a =，求1ni ai =∑；（3）已知正整数n 与正实数t ，满足()1,1,,n f n m f n t ⎛⎫= ⎪⎝⎭求证：162017,.f f t ⎛⎛⎫>- ⎪ ⎝⎭⎝.数学试卷（理科）参考答案与评分标准一、填空题:1．1 2．()2,0 3. 7 4. 5． 5. -20 6.18 7．2214x y += 8.13125 9. 10．,骣÷ç÷ç÷ç桫121255 11．95 12．300 13．7． 14．116()115n n +⎡⎤-⎢⎥+⎣⎦二、解答题:17．（1）设事件A 表示“甲选做第a 题”，事件B 表示“乙选做第a 题”，则甲、乙2名受访者选做同一道题的事件为“AB AB +”，且事件A 、B 相互独立.所以()()()()()P AB AB P A P B P A P B +=+=2211533339⨯+⨯= ………………5分答：甲、乙两位被调查者选做同一道题的概率59……………………………………6分（2）随机变量ξ的可能取值为0,1,2,3,4，且ξ～1(4,)3B . (8)分所以44441112()()(1)()()(0,1,2,3,4)3333k k k k k kP k C C k ξ--==-==， …………10分所以变量ξ的分布表为：……12分所以1632248140123481818181813E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=（或14433E np ξ==⨯=）…14分18.（1）以A 为坐标原点，以射线AB 、AC 、1AA分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系，…………………………………………1分如图所示，则()2,0,0B()0,0,3，设MC h =，则 (0,2,M ()10,2,3AC =- 由1BM AC ⊥得1BM AC ⋅，即22⨯解得43h =故154C M MC =； (2) 因为2MC =，所以M ，()()(2,0,0,0,2,2,2,0,3AB AM BA ===-第18题图x设平面ABM 的一个法向量为(),,n x y z =，由0{0n AB n AM ⋅=⋅=得0{0x y z =+=，所以()0,1,1n =-，………………………………………………………………………10分 112,n BA n BA n BA ⋅==⋅-14分 设直线1BA 与平面ABM 所成的角为θ,所以13sin cos ,n BA θ==， 所以直线1BA 与平面ABM . ……………………………16分. 19.（1）记3()(1)f x x =+，令01,8x a ==得， …………………………………………2分令31223312522228a a a x =+++=0得 a ，……………………………………………………4分 故3122312561822288a a a ++=-=； ………………………………………………………5分 （2）设y x =-1，则原展开式变为：()n n ny a y a y a a y ++++=+...22210，则2222-=n n C a ， ………………………………………………………………………7分 所以222(1)22n n n a n n b C --===，………………………………………………………9分 证明：①当2=n 时，221,1T b ==，结论成立；……………………………………10分②假设k n =时成立，即(1)(1)6k k k k T +-=，那么1+=k n 时，11(1)(1)(1)62k k k k k k k k T T b +++-+=+=+[][](1)(1)1(1)1(1)(2)66k k k k k k ++++-++==所以当1n k =+时结论也成立．…………………………………………………………14分综上①②当2n ≥时，(1)(1)6n n n n T +-=． …………………………………………16分20．（1）因为f (7，y )＝()712y +，故展开式中二项式系数最大的项分别是第4项和第5项，即T 4＝()3372C y =3280y ，()444572560T C y y ==； ……………………………5分（2）由题意知，22n －2n ＝992，即(2n －32)(2n ＋31)＝0，所以2n ＝32，解得n ＝5， ………………………………………………………………7分则由()5(5,)1f y my =+=5015a a y a y +++，又222540a C m ==，且0m >，所以2m =，则51i i a ==∑()5512131+-=-=242； …………………………………………10分(3)证明：由1(,1)(,)nf n m f n t=，得(1＋m )n ＝m n(1＋m t )n ＝(m ＋m 2t )n ，则1＋m ＝m ＋m2t ，所以m ＝t ， ………………………………………………………12分又f ＝(1＋m 1 000t )2 017＝(1＋11 000)2 017>1＋12017C 11 000＋22017C (11 000)2＋32017C (11 000)3>1＋2＋2＋1＝6，而1(2017,)f t-=20171m t -⎛⎫+ ⎪⎝⎭＝(1＋1t )－2 017<1， 所以f >16(2017,)f t -．………………………………………………16分。
【推荐下载】2017高二数学期末试题(附答案)
[键入文字]
2017高二数学期末试题（附答案）
距离期末考试越来越近了，大家是不是都在紧张的复习中呢?编辑了2017高二数学期末试题，希望对您有所帮助!
一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分)
1、不在小于6 表示的平面区域内的一个点是
A.(0，0) B. (1，1) C.(0，2) D. (2，0)
2、已知△ABC的三内角A，B，C成等差数列，且AB=1，BC=4，则该三角形面积为
A. B.2 C.2 D.4
3、设命题甲: 的解集是实数集;命题乙: ,则命题甲是命题乙成立的
A . 充分不必要条件B. 充要条件
C. 必要不充分条件D. 既非充分又非必要条件
4、与圆及圆都外切的动圆的圆心在
A. 一个圆上B. 一个椭圆上
C. 双曲线的一支上D. 一条抛物线上
5、已知为等比数列，是它的前项和。
若，且与2 的等差中项为，
则等于
A. 31 B. 32 C. 33 D. 34
6、如图，在平行六面体中，底面是边长为2的正
方形，若，且，则的长为
A. B. C. D.
7、设抛物线的焦点为F，准线为,P为抛物线上一点,PA⊥,A为垂足.如果直线AF 的斜率为,那么|PF|等于
1。
2016_2017学年度高二第二学期期末考试理科数学试题与答案
试卷类型：A高二数学（理科）试题2017.7 注意事项：1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共5页。
2.答题前，考生务必在答题卡上用直径0.5毫米的黑色字迹签字笔将自己的、号填写清楚，并粘好条形码。
请认真核准条形码上的号、和科目。
3.答第Ⅰ卷时，选出每题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
答在本试卷上无效。
4.答第Ⅱ卷时，请用直径0.5毫米的黑色字迹签字笔在答题卡上各题的答题区域作答。
答在本试卷上无效。
5.第（22）、（23）小题为选考题，请按题目要求从中任选一题作答，并用2B 铅笔在答题卡上把所选题目题号后的方框涂黑。
6.考试结束后，将本试卷和答题卡一并收回。
附：回归方程ˆˆˆybx a =+中斜率与截距的最小二乘估计公式分别为： ∑∑∑∑====--=---=ni ini ii ni ini iixn xy x n yx x x y yx x b1221121)())((ˆ，x b y aˆˆ-= 第Ⅰ卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的。
（1）已知复数iiz +-=122，其中i 是虚数单位，则z 的模等于 （A ）2- (B) 3 (C) 4 (D) 2（2）用反证法证明某命题时，对结论：“自然数c b a ,,中恰有一个偶数”正确的反设为 (A) c b a ,,中至少有两个偶数 (B)c b a ,,中至少有两个偶数或都是奇数 (C) c b a ,,都是奇数 (D) c b a ,,都是偶数 （3）用数学归纳法证明：对任意正偶数n ，均有41212111 (41)31211+++=--++-+-n n n n （ )21...n++，在验证2=n 正确后，归纳假设应写成 （A ）假设)(*N k k n ∈=时命题成立 （B ）假设)(*N k k n ∈≥时命题成立 （C ）假设)(2*N k k n ∈=时命题成立 （D ）假设))(1(2*N k k n ∈+=时命题成立(4)从3男4女共7人中选出3人，且所选3人有男有女，则不同的选法种数有 （A ）30种 (B) 32 种 (C) 34种 (D) 35种 (5)曲线xe y =在点()22e ，处的切线与坐标轴所围三角形的面积为(A)22e (B)2e (C) 22e (D) 492e(6)已知随机变量X 服从正态分布()2,3σN ，且)3(41)1(>=<X P X P ，则)5(<X P 等于(A)81 (B) 85 (C) 43 (D) 87(7)已知⎰≥3sin 2πxdx a ，曲线)1ln(1)(++=ax aax x f 在点())1(,1f 处的切线的斜率为k ，则k 的最小值为 (A)1 (B)23(C)2 (D) 3 （8）甲、乙、丙三人独立参加体育达标测试，已知甲、乙、丙各自通过测试的概率分别为p ,4332，，且他们是否通过测试互不影响.若三人中只有甲通过的概率为161，则甲、丙二人中至少有一人通过测试的概率为 (A)87 (B) 43 (C) 85 (D) 76（9）函数)1(2)(3-'+=f x x x f ，则函数)(x f 在区间[]3,2-上的值域是 (A) ]9,24[- (B) ]24,24[- (C) ]24,4[ (D)[]9,4 (10)设()()5522105)1(...1)1(1x a x a x a a x +++++++=-，则420a a a ++等于(A) 242 (B) 121 (C) 244 (D)122(11)已知函数)()()(2R b x bx x e x f x ∈-=.若存在⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈2,21x ，使得0)()(>'+x f x x f ，则实数b 的取值围是(A) ⎪⎭⎫ ⎝⎛∞-65, (B) ⎪⎭⎫ ⎝⎛∞-38, (C) ⎪⎭⎫⎝⎛-65,23 (D) ⎪⎭⎫⎝⎛∞+，38 (12)中国南北朝时期的著作《子算经》中，对同余除法有较深的研究.设)0(,,>m m b a 为整数，若a 和b 被m 除得的余数相同，则称a 和b 对模m 同余，记为)(mod m b a =.如9和21被6除得的余数都是3，则记)6(mod 219=.若20202022201200202...22⋅++⋅+⋅+=C C C C a ，)10(mod b a =，则b 的值可以是(A) 2011 (B) 2012 (C) 2013 (D) 2014第II 卷本卷包括必考题和选考题两部分。
2017-2018学年高二年级数学期末试卷(理数)含答案
2．若 x 2m2 3 是 1 x 4 的必要不充分条件，则实数 m 的取值范围是（ ）
10．已知函数 f x 1 x3 1 mx2 4x 3 在区间 1,2上是增函数，则实数 m 的取值范围是（
32
A . 3,3
B . ,3 3, C . ,1 1,
，则满足
11．已知函数
f
x
3|x1| , x2 2x
x 1,
0, x
0
若关于
x
的方程 f
x2
a
1f
x
a
0有
7
个不
等实根，则实数 a 的取值范围是(
)
A . 2,1
B .2,4
C . 2,1
D . ,4
12.
已知函数
A . loga c logb c B . logc a logc b C . a c bc
D . ca cb
一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是 9．已知函数 f x 2 xm 1 为偶函数，记 a f log0.5 3 ， b f log2 5 ， c f 2m，则
由题设知
，
则
解得 的横坐标分别是 则 有 又
，又 于是
， ，
，
，即 l 与直线 平行， 一定相交，分别联立方
设
是平面
的法向量，则
，即
。
对任意
，要使
与
的面积之比是常数，只需 t 满足
可取
，故，所以 与平面
20. （1）依题意可得
所成角的正弦值为 ---------12 分 ，
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
2017高二数学期末考试题及答案必考Ⅰ部分一、选择题：本大题共8个小题，每小题5分，满分40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 若复数z=(1+ai)·(2+i)是纯虚数，则实数a的值为A.2B.-C.D.-22.如图所示是数列一章的知识结构图，下列说法正确的是A.“概念”与“分类”是从属关系B.“等差数列”与“等比数列”是从属关系C.“数列”与“等差数列”是从属关系D.“数列”与“等比数列”是从属关系，但“数列”与“分类”不是从属关系3.下列说法中错误的是A.对于命题p：∈R，sin x0>1，则绨p：∈R，sin x≤1;B.命题“若0C.若p∨q为真命题，则p，q均为真命题;D.命题“若x2-x-2=0，则x=2”的逆否命题是“若x≠2，则x2-x-2≠0”.4.“1A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.既不充分也不必要条件D.充要条件5.某工厂生产某种产品的产量x(吨)与相应的生产能耗y(吨标准煤)有如下几组样本数据：x 3 4 5 6y 2.5 3 4 4.5据相关性检验，这组样本数据具有线性相关关系，通过线性回归分析，求得其回归直线的斜率为0.7，则这组样本数据的回归直线方程是A.=0.7x+0.35B.=0.7x+1C.=0.7x+2.05D.=0.7x+0.456.三角形的面积为S=(a+b+c)r，a、b、c为三角形的边长，r为三角形内切圆的半径，利用类比推理可以得出四面体的体积为A.V=abcB.V=ShC.V=(S1+S2+S3+S4)r，(S1、S2、S3、S4为四个面的面积，r为内切球的半径)D.V=(ab+bc+ac)h，(h为四面体的高)7.函数f(x)=x5-x4-4x3+7的极值点的个数是A.1个B.2个C.3个D.4个8.已知椭圆+=1，F1、F2分别为其左、右焦点，椭圆上一点M到F1的距离是2，N是MF1的中点，则|ON|(O为原点)的长为A.1B.2C.3D.4选择题答题卡题号1 2 3 4 5 6 7 8 得分答案二、填空题：本大题共5个小题，每小题5分，共25分.请把答案填在答题卷对应题号后的横线上.9.已知复数z=1+，则||=____________.10.读下面的程序框图，当输入的值为-5时，输出的结果是________.11.黑白两种颜色的正六边形地面砖按如图的规律拼成若干个图案：则第n个图案中的白色地面砖有______________块.12.曲线f(x)=xsin x在点处的切线方程是______________.13.已知双曲线-=1(a，b>0)的顶点到渐近线的距离等于，则双曲线的离心率e是________.三、解答题：本大题共3小题，共35分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.14.(本小题满分11分)在某测试中，卷面满分为100分，60分及以上为及格，为了调查午休对本次测试前两个月复习效果的影响，特对复习中进行午休和不进行午休的考生进行了测试成绩的统计，数据如下表所示：分数段[29～40) [40，50) [50，60) [60，70) [70，80) [80，90) [90，100]午休考生人数23 47 30 21 14 31 14不午休考生人数17 51 67 15 30 17 3参考公式及数据：K2=P(K2≥k0) 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005k0 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879(1)根据上述表格完成列联表：及格人数不及格人数总计午休不午休总计(2)能否在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为午休与考生及格有关系?对今后的复习有什么指导意义?15.(本小题满分12分)已知：a，b，c>0.求证：a(b2+c2)+b(a2+c2)+c(a2+b2)≥6abc.16.(本小题满分12分)已知抛物线y2=4x的焦点是F，准线是l，过焦点的直线与抛物线交于不同两点A，B，直线OA(O为原点)交准线l于点M，设A(x1，y1)，B(x2，y2).(1) 求证：y1y2是一个定值;(2) 求证：直线MB平行于x轴.必考Ⅱ部分一、填空题：本大题共1个小题，每小题5分，共5分.请把答案填在答题卷对应题号后的横线上.1.从抛物线x2=4y上一点P引抛物线准线的垂线，垂足为M，且|PM|=5，设抛物线的焦点为F，则△MPF的面积为________.二、选择题：本大题共1个小题，每小题5分，满分5分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.2.已知定义在R上的函数f(x)的导数是f′(x)，若f(x)是增函数且恒有f(x)>0，则下列各式中必成立的是A.2f(-1)2f(-3)C.2f(1)>f(2)D.3f(2)>2f(3)三、解答题：本大题共3小题，共40分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.3.(本小题满分13分)已知函数f(x)=-x3+3x.(1)求函数f(x)的单调区间和极值;(2)当x∈[0，a]，a>0时，设f(x)的值是h(a)，求h(a)的表达式.4.(本小题满分13分)(1)证明：xln x≥x-1;(2)讨论函数f(x)=ex-ax-1的零点个数.5. (本小题满分14分)如图，已知焦点在x轴上的椭圆+=1(b>0)有一个内含圆x2+y2=，该圆的垂直于x轴的切线交椭圆于点M，N，且⊥(O为原点).(1)求b的值;(2)设内含圆的任意切线l交椭圆于点A、B.求证：⊥，并求|AB|的取值范围.湖南师大附中2015届高二第一学期期末考试试题数学(文科)参考答案必考Ⅰ部分(100分)6.C【解析】△ABC的内心为O，连结OA、OB、OC，将△ABC分割为三个小三角形，这三个小三角形的高都是r，底边长分别为a、b、c;类比：设四面体A-BCD的内切球球心为O，连接OA、OB、OC、OD，将四面体分割为四个以O为顶点，以原面为底面的四面体，高都为r，所以有V=(S1+S2+S3+S4)r.7.B【解析】f′(x)=x4-4x3-12x2=x2(x+2)(x-6)，所以f(x)有两个极值点x=-2及x=6.8.D【解析】据椭圆的定义，由已知得|MF2|=8，而ON是△MF1F2的中位线，故|ON|=4.二、填空题9.10.2【解析】①A=-5④A=-1+2=1>0，⑤A=2×1=2.11.4n+2【解析】第1个图案中有6块白色地面砖，第二个图案中有10块，第三个图案中有14块，归纳为：第n个图案中有4n+2块.12.x-y=013.【解析】由题意知∵K2≈5.7>5.024，因此，有97.5%的把握认为午休与考生及格有关系，即能在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为午休与考生及格有关系.(10分)对今后的复习的指导意义就是：在以后的复习中，考生应尽量适当午休，以保持的学习状态.(11分)(2)据题意设A，M(-1，yM)，(8分)由A、M、O三点共线有-4，(10分)又y1y2=-4则y2=yM，故直线MB平行于x轴.(12分)必考Ⅱ部分(50分)一、填空题1.10【解析】设P(xP，yP)，∵|PM|=|PF|=yP+1=5，∴yP=4，则|xP|=4，S△MPF=|MP||xP|=10.二、选择题2.B【解析】由选择支分析可考查函数y=的单调性，而f′(x)>0且f(x)>0，则当x即函数在(-∞，0)上单调递减，故选B.三、解答题3.【解析】(1)f′(x)=-3x2+3=-3(x+1)(x-1)(2分)列表如下：x (-∞，-1) -1 (-1，1) 1 (1，+∞)f′(x) - 0 + 0 -f(x) 递减极小值递增极大值递减所以：f(x)的递减区间有：(-∞，-1)，(1，+∞)，递增区间是(-1，1);f极小值(x)=f(-1)=-2，f极大值(x)=f(1)=2.(7分)(2)由(1)知，当0此时fmax(x)=f(a)=-a3+3a;(9分)当a>1时，f(x)在(0，1)上递增，在(1，a)上递减，即当x∈[0，a]时fmax(x)=f(1)=2(12分)综上有h(a)=(13分)4.【解析】(1)设函数φ(x)=xln x-x+1，则φ′(x)=ln x(1分)则φ(x)在(0，1)上递减，在(1，+∞)上递增，(3分)φ(x)有极小值φ(1)，也是函数φ(x)的最小值，则φ(x)≥φ(1)=1×ln 1-1+1=0故xln x≥x-1.(5分)(2)f′(x)=ex-a(6分)①a≤0时，f′(x)>0，f(x)是单调递增函数，又f(0)=0，所以此时函数有且仅有一个零点x=0;(7分)②当a>0时，函数f(x)在(-∞，ln a)上递减，在(ln a，+∞)上递增，函数f(x)有极小值f(ln a)=a-aln a-1(8分)ⅰ.当a=1时，函数的极小值f(ln a)=f(0)=a-aln a-1=0则函数f(x)仅有一个零点x=0;(10分)ⅱ.当01时，由(1)知极小值f(ln a)=a-aln a-1当0故此时，则f(x)还必恰有一个小于ln a的负根;当a>1时，2ln a>ln a>0，计算f(2ln a)=a2-2aln a-1考查函数g(x)=x2-2xln x-1(x>1) ，则g′(x)=2(x-1-ln x)，再设h(x)=x-1-ln x(x>1)，h′(x)=1-=>0故h(x)在(1，+∞)递增，则h(x)>h(1)=1-1-ln 1=0，所以g′(x)>0，即g(x)在(1，+∞)上递增，则g(x)>g(1)=12-2×1×ln 1-1=0即f(2ln a)=a2-2aln a-1>0，则f(x)还必恰有一个属于(ln a，2 ln a)的正根.故01时函数f(x)都是恰有两个零点.综上：当a∈(-∞，0]∪{1}时，函数f(x)恰有一个零点x=0，当a∈(0，1)∪(1，+∞)时函数f(x)恰有两个不同零点. (13分)5.【解析】(1)当MN⊥x轴时，MN的方程是x=±，设M，N由⊥知|y1|=，即点在椭圆上，代入椭圆方程得b=2.(3分)(2)当l⊥x轴时，由(1)知⊥;当l不与x轴垂直时，设l的方程是：y=kx+m，即kx-y+m=0则分)-8=0,Δ=16k2m2-4(1+2k2)(2m2-8)=(4k2+1)>0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)则，(7分)x1x2+y1y2=(1+k2)x1x2+km(x1+x2)+m2-+==0，即⊥.即椭圆的内含圆x2+y2=的任意切线l交椭圆于点A、B时总有⊥.(9分) (2)当l⊥x轴时，易知|AB|=2=(10分)当l不与x轴垂直时，|AB|===(12分)设t=1+2k2∈[1，+∞)，∈(0，1]则|AB|==所以当=即k=±时|AB|取值2，当=1即k=0时|AB|取最小值，(或用导数求函数f(t)=，t∈[1，+∞)的值与最小值)综上|AB|∈.(14分)。