应用几何法求最值

( ) 2 = 翔 + 托 =
xo 。 =
，
‘
胪 ．
半
辽
=
2
，
} 争 点到 肘
．．
y
轴 的最 短距 离是 x 。=
5
了
，
此
时
点
肘
为(
j
，
。 _ )
三 、 在 立 体 几 何 中的应 用
例5
如 图 V。
,4 B CD
为正 四 棱锥
( ￡ A VB < 4 5 0 ) ， 闭 折 线 A E F GA 是 过
此 时 P 点 的坐标 与椭 圆 方 程．
解
易求得 双 曲线 的两 焦 点 分 别 为 ^
(一
l
0
，
) ，R
( 1 ，O) ，
由此 设 椭 圆 为 ：等 + 丢
=
l (口>
)1 ，
易
求
得
一 关于直线
L
-
a
旷一 l
} 的 对 称 点 为 尸 ( -
3
2
，
)
，则直线
￡
与直线
R 尸 ：y
=
一
扛一 1)的
} 孚 交 点 为 P o ( 一
IM M ’l =
} - ( PI A ’I + IB B r1) =
( L4 用 +
'
IB b 1)
≥
I
IA B I ．
设点 M
的 坐 标 为 (‰
) y， o
则
，
} 粕 +
≥
3
丁 ' ．．． z 。 ≥
5
丁
， 当且 仅 当 A 曰 过
F
点 时取 等号
。
弘 即 叩 =
．
．
一
丁 疗 争 1
。
，弘 +
2y + 7 = O
的 点 Q 的 距 离． ( 如 图 )18 D l为 最 大 值 ， IC 目 为最 小 值．
华 ‘ ic B =
．
竽 蚴 =
，
同乘 厕
，
悬
、／丁 p d 。 = 1 i 一 4
p 1 5 ：
，。
．
舄 例 2 求 函 数 y 。 i 乏
的最值及 对应 的 z 值．
解 ~ 令 u =
L
AE
FG
‘
，． ．
A
F
上
VC．
蓟 ~ 作
VO L 平面 A B CD _
于
0
，
f A O ：
l
了
Ac ： N
2
s in
，
则 VO = w 丽
、／ 手 =
1 — 2 s ．n 2
= 讥面
在 中 △ ^ V C
V O ‘ ’
，．
AC ：
VC
AF 。
、／ A F ：
．。
鬲
2 、／丁 s i n } ， 二
篁# 土 a r c c o s
』
时
，四点
A
E
，
F
，
G
，
才可 能共 面．
通 过 以 上 几 个例题可 见 几 何法 求最 值是一 种常用 的方 ，
法
在教学
，
中应 对
学
生
适
当的传授
和渗透
这 。
样
对提
高学生
灵活 应 用 所学 知识 解 决 问题 的能 力将 有 较 大 的 帮助 ．
数学学 习与研 究
2 0 10 2 ．
解题 技巧 与方法
●
' j 尸
． 87
．- I ， r．
●
应 用f 瓜 何 流
◎ 朱 蜀 云 ( 云 南 省 昆 明 市 第九 中学 6 5 0 2 2 8 )
【摘 要 】本 文 主 要 探 讨 了 应 用 几 何 方 法 在 函 数 、 解 析 几 何 、 立 体几 何等方面 求最值 的一 些方法 和技巧．
=
2
、／丁
点
，
J口(
，
)．பைடு நூலகம்
} 孚 椭 圆 方 程 为 +
=J ．
]
斗
例 4 定长 为 3 的线段 AB 的两
个 端 点在抛 物 线 ，=
z
上
移动
记
，
线段
的 中点 为 M． 求 M 点到 Y 轴 的最短 距
离 ． 并 求 此 时点 M 的 坐标．
解 设 ，J 为 矿= * 的 准 线 ( 如 图 ) ，
【关 键 词 】几 何 方 法 ；最 值 ；数 形 结 合 ；函 数 ；解 析 几 何 ；立
体几 何
函数的最 值(值域 )是高 中数学 的重 点 内容 ，也 是近 几 年 高考 的热点 ， 对 函数最 值的求解 方 法 较 多 。 其 中几 何法 是 一 种重要 的方法 ．但常被学 生 所 忽略．
下 面 对 几 何法 求最 值进 行 归 纳 和 总 结． 一 、 在 函 数 中的应 用
6 。 贝Ⅱ有 ( u 一 4 ) ’ + (口 一
6 -
X
3
)。 =
4 +
．口 = x +
9 (u
≥
) 4 ．
如 图 ，Y =
生 表示 右半 圆 (u 一
) ( 4 。+
"一
3
)。 =
9 (4 ≤ Ⅱ ≤ 7 )
Ⅱ
上 的 动点 P (u ，口 )与 坐 标原 点 0 的 线段 的斜 率 ^。 ，
÷ ( 1 )
忻 ’ _V F =
丽
、／ 争 =
’一 8 s i n 。
c 。s z
V 由 V F = V F , ， EI]
8 I 一
2 s
in
2
x
丁
cos
z
= c os x
解 得 c 。s *
：
X ／5
下
型 乏』 -
即 1 ，
z ： a rc c o s
．
故四点
A
E
，
F
，
C
，
不一
定 共 面 ， 当且 仅 当 ￡ A VB =
G
，
。三
点
分别对应
E
凡 ， C
三 点 假 ．
} 设 A
E
，
FG
，
，
四点共 面．不 妨设
VA
=
1 ￡ A VB = ，
x ，z
E
(0 ，
) ，易
睾 知 ，4 A l j - y 一 ， y ^
=
c o s 2x A B = ，
2s in
．
又
面 F C V C E V C 粥 V ‘
。
．
上
。
上
‘
，． ．
当过
A
(4
6
，
) 时 ，x
=
0 Y ， m
=
，
二
(2 ) 当过 B (4 ，0 )时 ，x
=
6 一
，‰
二 、在解析几 何 中的应 用
=0 ．
例3
在 直 线 ．已：Y = x + 3 上 取 一
点 P 过 点 P 且 以双 曲线 ，
12 x
。
一
4f
=
3 的焦点 为焦点作椭 圆 ，
求椭 圆长 轴的最 小值 及
，
)．
j
j
由椭 圆定 义 与平 面 几 何 的结 论得 ： 2 a = IF , 户I + lR 尸I = IF ' 只 + IF ~P I ≥ IF ' R I =
、／( 1 + 3 )。 + (0 — 2 )。 = 2 、／5 ，
当且 仅 当点 P
重合于点
尸0
时
上
，
式
取
“
=
号 ” ．
毒 孚 ’
故椭圆 长轴 长的最 小值为 (勃 k
A 点且 沿 正 四 棱锥侧 面 一 周 的细 绳最
短 时 的路 径． 问 ：四 点 A
E
，
F
，
G
，
是否一
C
定 共 面 ? 并 说 明 理 由．
解 将 正 四 棱 锥 的 侧 面 沿 VA 剪
开并 铺平在一 个平 面上 ，则细绳 长度的 A ¨ r)
B
最 短 值 即 为线段
，4 A 且 ．，
^ E 。，
例 1 求 函 教 P = 12 t 一 2 X／4 一 “一 2 10 + 7 1的 最 值 ．
解 令 睢瀛
则
．
P = 、／F F 阿
12 t 一 2 、v／矿 1 二 i 严 + 7 l
、／矿 F 阿
％ 、 P
夕簟≮
／0
2
B：
为 半 圆 (： z 一
广 2 )。 +
=
4 (y
≥ 0 )上 的点 P 到 直线 2x 一