平面向量基本定理最新衡水中学自用精品教学设计
〖2021年整理〗《平面向量基本定理 》优秀教案
第九章平面向量平面向量基本定理教材用数学的方法研究向量及其运算的性质，再运用数学模型去解决实际问题．这样处理体现了数学知识产生和发展的过程，突出了数学的来龙去脉，有助于学生理解数学的本质，形成对数学完整的认识，达到培养学生的创新思维和理性思维的目的．课程目标学科素养1.理解平面向量基本定理及其意义，2.在平面内，当一组基底选定后，会用这组基底来表示其他向量a逻辑推理: 通过用向量方法证明平面几何问题，提升逻辑推理素养b数学建模:通过用向量方法解决平面几何问题，培养数学建模素养1教学重点：会用向量方法计算或证明几何中的相关问题2教学难点：体会向量在解决数学和实际问题中的作用多媒体调试、讲义分发。
音乐是人们在休闲时候的一种选择，不管是通俗的流行歌曲、动感的摇滚音乐，还是高雅的古典音乐，它们都给了人们不同的享受、不一样的感觉事实上，音乐有基本音符：Do Re Mi Fa So La Si，所有的乐谱都是这几个音符的巧妙组合，音乐的奇妙就在于此在多样的向量中，我们能否找到它的“基本音符”呢？问题1如果e1，e2是两个不共线的确定向量，那么与e1，e2在同一平面内的任一向量a能否用e1，e2表示？依据是什么？提示能依据是数乘向量和平行四边形法则问题2如果e1，e2是共线向量，那么向量a能否用e1，e2表示？为什么？提示不一定，当a与e1共线时可以表示，否则不能表示平面向量基本定理定理中要特别注意向量e1与向量e2是两个不共线的向量条件e1，e2是同一平面内的两个不共线向量结论对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2基底不共线的向量e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底题型一平面向量基本定理的理解【例1】如果e1，e2是平面α内所有向量的一组基底，λ，μ是实数，判断下列说法是否正确，并说明理由1若λ，μ满足λe1＋μe2＝0，则λ＝μ＝0；2对于平面α内任意一个向量a，使得a＝λe1＋μe2成立的实数λ，μ有无数对；3线性组合λe1＋μe2可以表示平面α内的所有向量；4当λ，μ取不同的值时，向量λe1＋μe2可能表示同一向量解1正确若λ≠0，则e1＝－错误!e2，从而向量e1，e2共线，这与e1，e2不共线相矛盾，同理可说明μ＝02不正确由平面向量基本定理可知λ，μ唯一确定31＋μe2的形式，反之也成立4不正确结合向量加法的平行四边形法则易知，当λe1和μe2确定后，其和向量λe1＋μe2便唯一确定规律方法1对于平面内任一向量都可以用两个不共线的向量来表示；反之，平面内的任一向量也可以分解成两个不共线的向量的和的形式2向量的基底是指平面内不共线的两个向量，事实上若e1，e2是基底，则必有e1≠0，e2≠0且e1与e2不共线，【训练1】设e1，e2是平面内所有向量的一组基底，则下列四组向量中，不能作为基底的是错误!＋e2和e1－e2－4e2和6e1－8e2＋2e2和2e1＋e2和e1＋e2解析选项B中，6e1－8e2＝23e1－4e2，∴6e1－8e2与3e1－4e2共线，∴不能作为基底，选项A，C，D中两向量均不共线，答案B题型二用基底表示向量【例2】如图，在平行四边形ABCD中，设对角线错误!错误!，N分别是DA，BC的中点，且错误!＝，设错误!错误!C，由错误!是BC的中点，点N在AC上，且AN＝2NC，AM与BN相交于点与B错误!和B，＝4，B＝a，错误!＝b，试用a，b表示错误!解由典例解析知BP∶PN＝错误!，则错误!＝错误!错误!，错误!＝错误!＋错误!＝错误!＋错误!错误!＝b＋错误!错误!－错误!＝b＋错误!a－错误!b＝错误!b＋错误!a规律方法若直接利用基底表示向量比较困难，可设出目标向量并建立其与基底之间满足的二元关系式，然后利用已知条件及相关结论，从不同方向和角度表示出目标向量一般需建立两个不同的向量表达式，再根据待定系数法确定系数，建立方程或方程组，解方程或方程组即得【训练3】如图，在平行四边形ABCD中，E和F分别是边CD和BC的中点，若错误!＝λ错误!＋μ错误!，其中λ，μ∈R，则λ＋μ＝________解析设错误!＝a，错误!＝b，则错误!＝错误!a＋b，错误!＝a＋错误!b，又∵错误!＝a＋b，∴错误!＝错误!错误!＋错误!，即λ＝μ＝错误!，∴λ＋μ＝错误!答案错误!二、检测反馈，e2是平面内的一组基底，则下列四组向量能作为平面向量的基底的是1－e2，e2－e1－e2，e1－错误!e2－3e1，6e1－4e2＋e2，e1－e2解析选项A，B，C中的向量都是共线向量，不能作为平面向量的基底答案D2如图所示，矩形ABCD中，若错误!＝5e1，错误!＝3e2，则错误!等于5e1＋3e25e－3e22e2＋5e15e2＋3e1解析错误!＝错误!错误!＝错误!错误!－错误!＝错误!错误!＋错误!＝错误!5e1＋3e2答案A，E分别是△ABC的边AB，BC上的点，AD＝错误!AB，BE＝错误!BC，若错误!＝λ1错误!＋λ2错误!λ1，λ2为实数，则λ1＋λ2的值为________解析错误!＝错误!＋错误!＝错误!错误!＋错误!错误!＝错误!错误!＋错误!错误!－错误!＝－错误!错误!＋错误!错误!，又∵错误!与错误!不共线，∴λ1＝－错误!，λ2＝错误!，λ1＋λ2＝－错误!＋错误!＝错误!答案错误!4在△ABC中，点D，E，F依次是边AB的四等分点，试以错误!＝e1，错误!＝e2为基底表示错误!解错误!＝错误!－错误!＝e1－e2，因为D，E，F依次是边AB的四等分点，所以错误!＝错误!错误!＝错误!e1－e2，所以错误!＝错误!＋错误!＝e2＋错误!e1－e2＝错误!e1＋错误!e2向量既是代数的对象，又是几何的对象．作为代数对象，向量可以运算．作为几何对象，向量有方向，可以刻画直线、平面、角度等几何对象；向量有大小，可以刻画长度、面积、体积等几何度量问题．向量由大小和方向两个因素确定，大小反映了向量“数”的特征，方向反映了向量“形”的特征，是数学中数形结合思想的典型体现．。
平面向量基本定理教案(精选10篇)
平面向量基本定理教案(精选10篇)(实用版)编制人：______审核人：______审批人：______编制单位：______编制时间：__年__月__日序言下载提示：该文档是本店铺精心编制而成的，希望大家下载后，能够帮助大家解决实际问题。
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平面向量基本定理教案
《平面向量基本定理》教学设计一、背景分析1．教材分析向量是沟通代数、几何与三角函数的一种工具，有着极其丰富的实际背景。
此前的教学内容主要研究了向量的的概念和线性运算，集中反映了向量的几何特征。
本节课要讲解“平面向量基本定理”的概念和应用，是研究向量的正交分解和向量的坐标运算基础，向量的坐标运算正是向量的代数形态。
通过平面向量基本定理，平面中的向量与它的坐标建立起了一一对应的关系，即“数”的运算处理“形”的问题完美结合，在整个向量知识体系中处于承上启下的核心地位。
本节课教学重点是“平面向量基本定理探究过程和利用平面向量基本定理进行向量的分解”。
2．学情分析从学生知识层面看：本节课之前已经学习了向量的基本概念和基本运算，如共线向量、向量的加法、减法和数乘运算；另外学生对向量的物理背景有了初步的认识。
在教学中引入生活实例类比出向量的分解，让学生通过课件的直观感受和动手探索总结归纳出平面向量基本定理，尤其是将图形语言转化为文字语言，对学生的能力要求比较高．因此，我认为平面向量的分解及对这种分解唯一性的理解是本节课的教学难点二.学习目标1）知识与技能1、了解平面向量基本定理及其意义，会选择基底 来表示平面中的任一向量。
2、能用平面向量基本定理进行简单的应用。
2）过程与方法1、通过平面向量基本定理的探究，让学生体验数学定理的产生、形成过程，培 养学生观察发现问题、由特殊到一般的归纳总结问题能力。
2、通过对平面向量基本定理的运用，增强学生向量的应用意识，让学生 进一步体会向量是处理几何问题强有力的工具之一。
3）情感、态度与价值观目标用现实的实例，激发学生的学习兴趣，培养学生不断发现、探索新知的精神， 发展学生的数学应用意识三、教学重点及难点教学重点：对平面向量基本定理的探究教学难点：对平面向量基本定理的理解及应用四、课堂结构设计为达到本节课的教学目标，突出重点，突破难点，我把教学结构设计为以下阶段：五、教学过程设计1、复习旧知，做好铺垫复习旧知做好铺垫 问题驱动 探究新知 思考交流 构建概念 例题练习 巩固新知 归纳小结 深化认识 布置作业 巩固提高（1）向量的加法（2）向量的减法（向量的减法：向量的终点连接，箭头指向被减向量）（3）共线定理若b a a 与)0(≠共线)0(≠=a a b λ2.问题驱动、探究新知问题（1 ）已知21,e e （如图），做出2123e e +.解：做212,3e OB e OA ==,然后以为边做、OB OA OACB ,则2123e e OB OA AC OA OC +=+=+=，如下图所示：[设计意图]： 复习向量的加减法及数乘，为向量的线性表示打下基础．同时强调OC 可以沿着21,e e 分解，为学习平面向量基本定理起好铺垫作用。
《平面向量基本定理》教学设计
《平面向量基本定理》教学设计
则一定存在唯一一个实数λ，使得a b λ=.
①向量基线平行或重合则向量平行； ②如果所有向量都可以表示成数乘的同一个基向量的形式，则向量平行. 问题1-2：而我们所面临的平面向量往往并不是共线的，这些不共线的向向量基本定理、
二、总结活动，引出定理 问题2-1：给定两个不共线的向量，平面中的任意向量都能用这两个向量的线性运算的形式来进行表示，这种表示方式唯一吗？ 板书唯一性的证明过程，得到平面向量基本定理. 平面向量基本定理： 如果1e 和2e 是一个平面内的两个不共线的向量，那么对于该平面内
的任一向量a ，存在唯一一对实数1a ，2a ，使1122a a e a e =+.
不共线的向量1e 、2e 叫做这个平面所有向量的一组基底，记为
12{,}e e .
四、课堂小结
1.平面向量基本定理与平行向量基本定理
2.你如何看待基底的作用？
3.通过今天的学习你对平面直角坐标系中点的坐标有什么新的认识？
五、作业
备用练习及教材P99练习B。
教学设计2：6.3.1 平面向量基本定理
6.3.1 平面向量基本定理学 习 目 标核 心 素 养1．了解平面向量的基本定理及其意义，会用平面向量基本定理和向量的线性运算进行向量之间的相互表示．(重点)2．理解直线的向量参数方程式，尤其是线段中点的向量表达式．(难点)1．通过平面向量基本定理的学习，培养学生数学抽象核心素养．2．借助平面向量基本定理的应用，提升学生的逻辑推理和直观想象核心素养.【自主预习】1．平面向量基本定理 (1)平面向量基本定理：如果e 1和e 2是一平面内的两个不平行的向量，那么该平面内的任一向量a ，存在唯一的一对实数a 1，a 2，使a ＝a 1e 1＋a 2e 2. (2)基底：把不共线向量e 1，e 2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底，记为{e 1，e 2}．a 1e 1＋a 2e 2叫做向量a 关于基底{e 1，e 2}的分解式． 2．直线的向量参数方程式 (1)向量参数方程式：已知A ，B 是直线l 上任意两点，O 是l 外一点(如图所示)，对直线l 上任意一点P ，一定存在唯一的实数t 满足向量等式OP →＝(1－t )OA →＋tOB →；反之，对每一个实数t ，在直线l 上都有唯一的一个点P 与之对应．向量等式OP →＝(1－t )OA →＋tOB →叫做直线l 的向量参数方程式，其中实数t 叫做参变数，简称参数． (2)线段中点的向量表达式：在向量等式OP →＝(1－t )OA →＋tOB →中，令t ＝12，点M 是AB 的中点，则OM →＝12(OA →＋OB →)．这是线段AB 的中点的向量表达式．思考：平面向量的基底选取有什么要求？它是唯一的吗？[提示] 平面内任意两个不共线的向量都可以作为基底，基底不唯一，但选取时应尽量选有利于解决问题的基底，并且基底一旦选中，给定向量沿基底的分解是唯一确定的．【基础自测】1．已知平行四边形ABCD ，则下列各组向量中，是该平面内所有向量基底的是( ) A.AB →，DC →B.AD →，BC →C.BC →，CB →D.AB →，DA →D [由于AB →，DA →不共线，所以是一组基底．]2．已知AD 为△ABC 的边BC 上的中线，则AD →等于( ) A.AB →＋AC →B.AB →－AC →C.12AB →－12AC → D.12AB →＋12AC → D [根据线段BC 的中点向量表达式可知AD →＝12(AB →＋AC →)＝12AB →＋12AC →，故选D.]3．下列关于基底的说法正确的是________(填序号)． ①平面内不共线的任意两个向量都可作为一组基底． ②基底中的向量可以是零向量．③平面内的基底一旦确定，该平面内的向量关于基底的线性分解形式也是唯一确定的． ①③ [①③正确；对于②，由于零向量与任意向量平行，所以基底中不能有零向量．]【合作探究】【例1】 设M ，N ，P 是△ABC 三边上的点，且BM →＝13BC →，CN →＝13CA →，AP →＝13AB →，若AB →＝a ，AC →＝b ，试用a ，b 将MN →，NP →，PM →表示出来．[思路探究] 把a ，b 看成基底，先将三角形三边上的有关向量表示出来，然后再根据向量加法或减法的三角形法则，即可将MN →，NP →，PM →用基底来表示． [解] NP →＝AP →－AN →＝13AB →－23AC →＝13a －23b .MN →＝CN →－CM →＝－13AC →－23CB →＝－13b －23(a －b )＝－23a ＋13b .PM →＝－MP →＝－(MN →＋NP →)＝13(a ＋b )．【规律方法】平面向量基本定理的作用以及注意点：(1)根据平面向量基本定理，任何一组基底都可以表示任意向量.用基底表示向量，实质上主要是利用三角形法则或平行四边形法则，进行向量的加减法运算.(2)要注意适当选择向量所在的三角形或平行四边形，利用已知向量表示未知向量，或找到已知向量与未知向量的关系，用方程的观点求出未知向量. 【跟踪训练】1.如图，设点P ，Q 是线段AB 的三等分点，若OA →＝a ，OB →＝b ，则OP →＝________，OQ →＝________.(用a ，b 表示)23a ＋13b 13a ＋23b [OP →＝AP →－AO →＝13AB →＋OA →＝13(OB →－OA →)＋OA →＝23OA →＋13OB →＝23a ＋13b . OQ →＝AQ →－AO →＝23AB →＋OA →＝23(OB →－OA →)＋OA →＝13OA →＋23OB →＝13a ＋23b .]【例2】 已知平面内两定点A ，B ，对该平面内任一动点C ，总有OC →＝3λOA →＋(1－3λ)OB →(λ∈R ，点O 为直线AB 外一点)，则点C 的轨迹是什么图形？并说明理由．[思路探究] 将所给向量式与直线的向量参数方程式比较易得答案，也可以考虑将所给向量式化简后再观察特点．[解] 将已知向量等式两边同时减去OA →，得OC →－OA →＝(3λ－1)OA →＋(1－3λ)OB →＝(1－3λ)(OB →－OA →)＝(1－3λ)AB →， 即AC →＝(1－3λ)AB →，λ∈R ，又AC →，AB →共始点， ∴A ，B ，C 三点共线， 即点C 的轨迹是直线AB . 【规律方法】理解直线的向量参数方程式时要注意OP →＝(1－t )OA →＋tOB →中三向量共始点，左边向量的系数是1，右边两向量的系数之和为1，也可以结合向量加法的平行四边形法则进行理解. 【跟踪训练】2.如图，设一直线上三点A ，B ，P 满足 AP →＝λPB →(λ≠－1)，O 是平面上任意一点，则( )A.OP →＝OA →＋λOB →1＋λ(λ≠－1)B.OP →＝OA →＋λOB →1－λC.OP →＝OA →－λOB →1＋λ(λ≠－1)D.OP →＝OA →－2λOB →1－λA [∵一条直线上三点A 、B 、P 满足AP →＝λPB →(λ≠－1)， ∴OP →－OA →＝λ(OB →－O P →)，化为OP →＝OA →＋λOB →1＋λ(λ≠－1)．][探究问题]1．在向量等式OP →＝xOA →＋yOB →中，若x ＋y ＝1，则三点P ，A ，B 具有什么样的位置关系？ [提示] 三点P ，A ，B 在同一直线上．在向量等式OP →＝xOA →＋yOB →中，若x ＋y ＝1，则P ，A ，B 三点共线；若P ，A ，B 三点共线，则x ＋y ＝1. 2．平面向量基本定理的实质是什么？[提示] 平面向量基本定理的实质是把任一向量两个方向进行分解．【例3】 如图所示，在△OAB 中，OA →＝a ，OB →＝b ，点M 是AB 的靠近B 的一个三等分点，点N 是OA 的靠近A 的一个四等分点．若OM 与BN 相交于点P ，求OP →.[思路探究] 可利用OP →＝tOM →及OP →＝ON →＋NP →＝ON →＋sNB →两种形式来表示OP →，并都转化为以a ，b 为基底的表达式．根据任一向量基底表示的唯一性求得s ，t ，进而求得OP →.[解] OM →＝OA →＋AM →＝OA →＋23AB →＝OA →＋23(OB →－OA →)＝13a ＋23b .因为OP →与OM →共线，故可设OP →＝tOM →＝t 3a ＋2t3b .又NP →与NB →共线，可设NP →＝sNB →，OP →＝ON →＋sNB →＝34OA →＋s (OB →－ON →)＝34(1－s )a ＋s b ，所以⎩⎨⎧34(1－s )＝t3，s ＝23t ，解得⎩⎨⎧t ＝910，s ＝35，所以OP →＝310a ＋35b .【规律方法】1．任意一向量基底表示的唯一性的理解：2.任意一向量基底表示的唯一性的应用：平面向量基本定理指出了平面内任一向量都可以表示为同一平面内两个不共线向量e 1，e 2的线性组合λ1e 1＋λ2e 2.在具体求λ1，λ2时有两种方法： (1)直接利用三角形法则、平行四边形法则及向量共线定理； (2)利用待定系数法，即利用定理中λ1，λ2的唯一性列方程组求解． 【跟踪训练】3．如图所示，在△ABC 中，点M 是AB 的中点，且AN →＝12NC →，BN 与CM 相交于点E ，设AB→＝a ，AC →＝b ，试用基底a ，b 表示向量AE →.[解] 易得AN →＝13AC →＝13b ，AM →＝12AB →＝12a ，由N ，E ，B 三点共线，设存在实数m ， 满足AE →＝mAN →＋(1－m )AB →＝13m b ＋(1－m )a .由C ，E ，M 三点共线，设存在实数n 满足： AE →＝nAM →＋(1－n )AC →＝12n a ＋(1－n )b .所以13m b ＋(1－m )a ＝12n a ＋(1－n )b ，由于a ，b 为基底，所以⎩⎨⎧1－m ＝12n ，13m ＝1－n ，解得⎩⎨⎧m ＝35，n ＝45，所以AE →＝25a ＋15b .【课堂小结】1．基底的性质(1)不共线性：平面内两个不共线的向量才可以作为一组基底，基底不同，表示也不同．由于零向量与任何向量共线，所以零向量不可以作为基底．(2)不唯一性：对基底的选取不唯一，平面内任一向量a 都可被这个平面的一组基底e 1，e 2线性表示，且在基底确定后，这样的表示是唯一的． 2．用基底表示向量的两种方法(1)运用向量的线性运算法则对待求向量不断进行转化，直至用基底表示为止． (2)通过列向量方程或方程组的形式，利用基底表示向量的唯一性求解.【当堂达标】1．已知向量a ＝e 1－2e 2，b ＝2e 1＋e 2，其中e 1，e 2不共线，则a ＋b 与c ＝6e 1－2e 2的关系是( )A ．不共线B ．共线C ．相等D ．不确定B [∵a ＋b ＝3e 1－e 2，∴c ＝2(a ＋b )，∴a ＋b 与c 共线．]2．如果e 1，e 2是平面α内所有向量的一组基底，那么，下列命题正确的是( ) A ．若实数λ1，λ2，使λ1e 1＋λ2e 2＝0，则λ1＝λ2＝0B ．平面内任一向量a 都可以表示为a ＝λ1e 1＋λ2e 2，其中λ1，λ2∈RC ．λ1e 1＋λ2e 2不一定在平面α内，λ1，λ2∈RD ．对于平面α内任意一向量a ，使a ＝λ1e 1＋λ2e 2的实数λ1、λ2有无数对A [考查平面向量基本定理．因为e 1，e 2不共线，所以λ1e 1＋λ2e 2＝0，只能λ1＝λ2＝0.B 选项λ1，λ2∈R 不对，应该是唯一数对；C 选项λ1e 1＋λ2e 2一定在平面α内；D 选项应该是唯一一对．]3．已知A ，B ，D 三点共线，且对任意一点C ，有CD →＝43CA →＋λCB →，则λ＝________.－13[∵A ，B ，D 三点共线，∴存在实数t ，使AD →＝tAB →， 则CD →－CA →＝t (CB →－CA →)，即CD →＝CA →＋t (CB →－CA →)＝(1－t )CA →＋tCB →， ∴⎩⎪⎨⎪⎧1－t ＝43，t ＝λ，即λ＝－13.]4．已知e 1，e 2是平面内两个不共线的向量，a ＝3e 1－2e 2，b ＝－2e 1＋e 2，c ＝7e 1－4e 2，试用向量a 和b 表示c .[解] ∵a ，b 不共线，∴可设c ＝x a ＋y b ，则x a ＋y b ＝x (3e 1－2e 2)＋y (－2e 1＋e 2)＝(3x －2y )e 1＋(－2x ＋y )e 2＝7e 1－4e 2. 又∵e 1，e 2不共线，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 3x －2y ＝7，－2x ＋y ＝－4，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝－2，∴c ＝a －2b .。
平面向量基本定理教案
§2.3.1 平面向量基本定理教学设计教学目的：（1）了解平面向量基本定理；（2）理解平面里的任何一个向量都可以用两个不共线的向量来表示，初步掌握应用向量解决实际问题的重要思想方法；（3）能够在具体问题中适当地选取基底，使其他向量都能够用基底来表达.教学重点：平面向量基本定理.教学难点：平面向量基本定理的理解与应用.授课类型：新授课教学过程：1、 复习引入：1．实数与向量的积：实数λ与向量的积是一个向量，记作：λ（1）|λ|=|λ|||；（2）λ>0时λ与方向相同；λ<0时λ与方向相反；λ=0时λ=2．运算定律结合律：λ(μ)=(λμ) ；分配律：(λ+μ)=λ+μ， λ(+)=λ+λ3. 向量共线定理 向量与非零向量共线的充要条件是：有且只有一个非零实数λ，使=λ.二、讲解新课：1．提出问题：由平行四边形想到：（1）是不是每一个向量都可以分解成两个不共线向量？且分解是唯一？（2）对于平面上两个不共线向量，是不是平面上的所有向量都可以用它们来表示？2．设，是不共线向量，是平面内任一向量，ONBM MCh M= ，=λ1； = ，=λ2==+=λ1+λ2，平面向量基本定理：如果，是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数λ1，λ2使=λ1+λ2.探究：(1) 我们把不共线向量ｅ１、ｅ２叫做表示这一平面内所有向量的一组基底；(2) 基底不惟一，关键是不共线；(3) 由定理可将任一向量a在给出基底ｅ１、ｅ２的条件下进行分解；(4) 基底给定时，分解形式惟一. λ1，λ2是被，，唯一确定的数量3、两个非零向量的夹角：如图所示，已知两个非零向量，在平面上任取一点，作，则叫做向量与的夹角，【说明】（1）研究两个非零向量的夹角时，必须先将这两个向量的起点移至同一个点；但是当两个向量的终点重合时，表示向量的这两条线段所成的范围内的角也等于这两个向量之间的夹角。
平面向量基本定理的教学设计
平面向量基本定理的教学设计一、教学目标：1。
知识目标：了解平面向量基本定理，会作出由给定的一组基底所表示的向量。
会把任一向量表示成一组基底的线形组合。
2．能力目标：培养学生获取知识的能力。
3．德育目标：培养学生的探索精神。
二、教学重点：平面向量基本定理教学难点：对平面向量基本定理理解和应用。
解决难点的关键是充分理解平面向量加法的平行四边形法则和向量共线的充要条件。
三、教学方法：抓住学生直觉，调动学生已有知识和经验，让学生体验跳一跳，摸得着的乐趣，以教师为主导，学生为主体，培养学生探索能力。
四、教学过程：一、复习：向量加法的平行四边形法则和平面向量的共线的充要条件。
练习：已知,a b ，求作23a b - 二、新课导入：问题情景：两个纤夫拉小船的例子。
学生活动：1、让学生画出力的方向。
2、 师生共同完成力F 在两个方向上的分量,a b 。
3、 找,a b 分别与两个方向上单位向量12,e e的关系。
（黑板上画出图形，让学生先判断共线，再学生度量长度，找出12,λλ） 4．得出1212f e eλλ=+几何画板演示探究思考：1。
1λ，2λ唯一吗？几何画板演示2．平面内其他向量是否可以用12,e e表示。
几何画板演示3．给定的12,e e向量能否换成任意两个其他向量，什么要求？几何画板演示数学理论：平面向量基本定理：如果1e ，2e 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a ，有且只有一对实数λ1，λ2使a=λ11e +λ22e .说明：1。
我们把不共线向量ｅ１、ｅ２叫做表示这一平面内所有向量的一组基底； 2．底不惟一，关键是不共线；3．由定理可将任一向量a 在给出基底ｅ１、ｅ２的条件下进行分解；4．基底给定时，分解形式惟一. λ1，λ2是被a，1e ，2e 唯一确定的数量； 5．一个平面向量用一组基底e 1、e 2表示成a ＝λ1e 1＋λ2e 2的形式，我们称它为向量的分解，当e 1、e 2互相垂直时，就称为向量的正交分解。
平面向量基本定理教学设计
《平面向量基本定理》教学设计一、知识回顾（1）共线向量定理：()⇔≠o b b a //存在唯一实数λ使得b a λ=（2）向量的加法： 平行四边形法则 三角形法则 1e2e在向量加法的平行四边形法则中，OC 是21e e ，的合成，21e e ，也可以看做OC 的分解.二、新课讲解1.提出问题问题1：如图，对于平面内不共线的向量21e e ，，向量a 与21e e ，之间有什么关系？2.引入新课 问题2：任给两个不共线的向量21e e ，，平面内任意向量a 是否都可以用形如2211e e a λλ+=的形式来表示？下面通过作图来研究.1ea2e 如图，在平面上任取一点O,作a OC e OB e OA ===,,21.过点C 作CM//OB 交OA 于M ，作CN//OA 交OB 于N ，由向量的线性运算性质可知，存在实数21λλ，，O A C B O O AB B ACD O A M C N B使得2211,e ON e OM λλ==，由于ON OM OC += ，所以2211e e a λλ+= ，也就是说任一向量a 都可以表示成2211e e a λλ+=的形式。
3.归纳定理 平面向量基本定理：如果21e e 、是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这个平面内的任意向量a ，有且仅有一对实数21λλ， ，使2211e e a λλ+=。
共线向量定理是平面向量基本定理的一种特殊形式，平面向量基本定理是共线向量定理的推广定理说明：(1）我们把不共线向量21e e 、叫做表示这一平面的任意向量的一组基底。
（2）基底给定时，分解形式唯一。
（零向量如何用给定基底表示？）（3）若02211=+e e λλ，且21e e 、不共线 ，则021==λλ（4）这个定理告诉我们平面内任一向量都可以在给出基底的条件下分解，这样就可将平面内任意的向量通过基底联系起来，在解决平面向量的问题中有极大作用。
练习：设O 是平行四边形ABCD 两对角线的交点，下列向量组：（1）AB AD 与 (2)BC DA 与 (3)DC CA 与 (4)OB OD 与,其中可作为基底的有哪些？三、例题讲解例1 如图，已知向量21e e 、，求作向量2135.2-e e + 。
《平面向量基本定理》教学设计
《平面向量基本定理》教学设计一、背景分析1．教材分析函向量是沟通代数、几何与三角函数的一种工具，有着极其丰富的实际背景。
此前的教学内容主要研究了向量的的概念和线性运算，集中反映了向量的几何特征。
本节课要讲解“平面向量基本定理”的概念和应用，是研究向量的正交分解和向量的坐标运算基础，向量的坐标运算正是向量的代数形态。
通过平面向量基本定理，平面中的向量与它的坐标建立起了一一对应的关系，即“数”的运算处理“形”的问题完美结合，在整个向量知识体系中处于承上启下的核心地位。
本节课教学重点是“平面向量基本定理探究过程和利用平面向量基本定理进行向量的分解”。
2．学情分析从学生知识层面看：本节课之前已经学习了向量的基本概念和基本运算，如共线向量、向量的加法、减法和数乘运算及向量共线的充要条件等；另外学生对向量的物理背景有了初步的认识。
从学生能力层面看：通过以前的学习，已经初步具备类比归纳概括的能力，能在教师的引导下解决问题。
教学中引入生活实例类比出向量的分解，让学生通过课件的直观感受和动手探索总结归纳出平面向量基本定理，尤其是将图形语言转化为文字语言，对学生的能力要求比较高．因此，我认为平面向量的分解及对这种分解唯一性的理解是本节课的教学难点．二.学习目标1）知识与技能目标1、了解平面向量基本定理及其意义，会选择基底来表示平面中的任一向量。
2、能用平面向量基本定理进行简单的应用。
2）过程与方法目标1、通过平面向量基本定理的探究，让学生体验数学定理的产生、形成过程，培养学生观察发现问题、由特殊到一般的归纳总结问题能力。
2、通过对平面向量基本定理的运用，增强学生向量的应用意识，让学生进一步体会向量是处理几何问题强有力的工具之一。
3）情感、态度与价值观目标1、用现实的实例，激发学生的学习兴趣，培养学生不断发现、探索新知的精神，发展学生的数学应用意识；2、经历定理的产生过程，让学生体验由特殊到一般的数学思想方法，在探究活动中形成锲而不舍的钻研精神和科学态度。
《平面向量基本定理》教案
《平面向量基本定理》教案一、教学目标：1.知识与技能：了解平面向量基本定理及其意义, 理解平面里的任何一个向量都可以用两个不共线的向量来表示；能够在具体问题中适当地选取基底,使其他向量都能够用基底来表示。
2.过程与方法：让学生经历平面向量基本定理的探索与发现的形成过程,体会由特殊到一般和数形结合的数学思想，初步掌握应用平面向量基本定理分解向量的方法，培养学生分析问题与解决问题的能力。
3.情感、态度和价值观通过对平面向量基本定理的学习,激发学生的学习兴趣,调动学习积极性,增强学生向量的应用意识,并培养学生合作交流的意识及积极探索勇于发现的学习品质.二、教学重点：平面向量基本定理.三、教学难点：平面向量基本定理的理解与应用.四、教学方法：探究发现、讲练结合五、授课类型：新授课六、教具：电子白板、黑板和课件七、教学过程：（一）情境引课，板书课题由导弹的发射情境，引出物理中矢量的分解，进而探究我们数学中的向量是不是也可以沿两个不同方向的向量进行分解呢？（二）复习铺路，渐进新课在共线向量定理的复习中，自然地、渐进地融入到平面向量基本定理的师生互动合作的探究与发现中去，感受着从特殊到一般、分类讨论和数形结合的数学思想碰撞的火花，体验着学习的快乐。
（三）归纳总结，形成定理让学生在发现学习的.过程中归纳总结出平面向量基本定理，并给出基底的定义。
（四）反思定理，解读要点反思平面向量基本定理的实质即向量分解，思考基底的不共线、不惟一和非零性及实数对的存在性和唯一性。
（五）跟踪练习，反馈测试及时跟踪练习，反馈测试定理的理解程度。
（六）讲练结合，巩固理解即讲即练定理的应用，讲练结合，进一步巩固理解平面向量基本定理。
（七）夹角概念，顺势得出不共线向量的不同方向的位置关系怎么表示，夹角概念顺势得出。
然后数形结合，讲清本质：夹角共起点。
再结合例题巩固加深。
（八）课堂小结，画龙点睛回顾本节的学习过程，小结学习要点及数学思想方法，老师的“教”与学生的“学”浑然一体，一气呵成。
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平面向量基本定理
主标题：平面向量基本定理
副标题：为学生详细的分析指数函数的高考考点、命题方向以及规律总结。
关键词：函数，指数函数，知识总结
难度：3
重要程度：4
考点剖析：本考点包括平面向量的基本定理，考纲明确要求要了解平面向量的基本定理及其意义，理解平面里的任何一个向量都可以用两个不共线的向量来表示，初步掌握应用向量解决实际问题的重要思想方法；能够在具体问题中适当地选取基底，使其他向量都能够用基底来表达.
命题方向：
1.在平面内，任意一个向量可以用不共线的向量来表示，根据系数是唯一的求参数的取值是近几年高考的热点．
2.通过具体问题中适当的选取基底，利用平面向量的基本定理解决问题．
3.题型以选择题和填空题为主.
规律总结：
1.平面向量基本定理规律总结
一组基底：
1e ，2e 是同一平面内的两个不共线向量，不共线的向量可以作为一组基底，基底不是唯一的.
两个防范
(1) 1e ，2e 是同一平面内的两个不共线非零向量，不共线是作为基底的前提．
(2) 由定理可将任一向量a 在给出基底1e ，2e 的条件下进行分解，实数对12,λλ是
唯一的．
平面向量的基本定理
如果1e ，2e 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向
量a ，有且只有一对实数12,λλ，使1122a e e λλ=+ .
其中不共线的向量1e ，2e 叫做表示这一平面内所有向量的一组基底。
当0a = 时，恒有120λλ==；
当1λ=0时，2a e 与共线；当2=0λ时，1a e 与共线。