池河镇九年级数学上册24.1圆的有关性质24.1.2垂直于弦的直径课件2
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新人教版九年级上册数学24.1.2垂直于弦的直径优质课件
总结
知1－讲
(1)“垂直于弦的直径”中的“直径”，还可以是垂 直于弦的半径或过圆心垂直于弦的直线；其实质
是：过圆心且垂直于弦的线段、直线均可．
(2)垂径定理中的弦可以为直径． (3)垂径定理是证线段、弧相等的重要依据．
第十四页，共二十页。
知识点 3 垂径定理的推论
知3－讲
通过垂径定理的证明及应用，我们还可以进一步得到 垂径定理的推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于 弦，并且平分弦所对的两条弧.
A
图1
C
O E
D
B
O
图2
AE
知2－讲
B
第十页，共二十页。
知2－讲
D
A C
E
图3 A E O B 图4 B
O
C
D
第十一页，共二十页。
例2赵州桥（如图）是我国隋代建造的石拱桥，距今约有
1 400年的历史，是我国古代人民勤劳与智慧的结晶.它
的主桥拱是圆弧形，它的跨度（弧所对的弦的长）为
37 m，拱高（弧的中点到弦的距离）为7.23 m,求赵州
桥主桥拱的半径（结果保留小数点后一位）.
知2－练
分析：解决此问题的关键是根据赵州桥的实物图画出几何图形.
第十二页，共二十页。
解： 如图，用AB⌒表示主桥拱，设AB所在⌒圆的圆心为O，半径为R. 经过圆心O作弦AB的垂线OC,D为垂足，OC与AB相交于点C⌒， 连接OA，根据垂径定理，D是AB的中点，C是AB的中点⌒，CD
知1－讲
不借助任何工具，你能找到圆形纸片的圆心吗？由此你得到 了什么结论？你能证明你的结论吗？
第五页，共二十页。
归纳
知1－讲
通过探究可以发现，圆是轴对称图形，任何一条直径 所在的直线都是圆的对称轴.
2021秋人教版九年级数学上册课件：第24章圆24.1.2垂直于弦的直径(共30张PPT)
∴AC＝AE－CE＝8－2 7.
返回
题型 3 垂径定理在求线段长中的应用
15．如图，已知圆O的直径AB垂直弦CD于点E，连接CO 并延长交AD于点F，且CF⊥AD.
(1)请证明：E是OB的中点； (2)若AB＝8，求CD的长．
200 km长为半径的圆与直线PQ相交的弦长除以台风的移 动速度．
证明： (1) 连接AC，如图所示． ∵直径AB垂直弦CD于点E， ∴CE＝DE，∠AEC＝∠AED＝90°， 又∵AE＝AE， (1)∴△AEC≌△AED.∴AC＝AD.
7 ． ( 中 考 ·呼 和 浩 特 ) 如 图 ， CD 为 ⊙ O 的 直 径 ， 弦 AB ⊥ CD ， 垂 足 为 M ， 若 AB ＝ 12 ， OM ∶ MD ＝ 5∶8，则⊙O的周长为( B )
A．26π
B．13π
96
C.
5 D.
39 10 5
返回
8．(中考·新疆)如图，⊙O的半径OD垂直于弦AB，垂
由垂径定理可知AB＝2BM，CD＝2CN.设OB＝OC ＝R， 在Rt△BOM中，BM＝＝，在Rt△CON中，CN＝＝. ∵ OM ， ON 分 别 是 Rt△MON 的 斜 边 、 直 角 边 ， ∴OM>ON，∴R2－OM2<R2－ON2，则BM＜CN， ∴AB＜CD，即AB是过M点的所有弦中最短的弦．
C. BC ＝BD
D．△OCE≌△ODE
返回
知识点 2 垂径定理
4．垂直于弦的直径__平__分____弦，并且__平__分____弦 所对的两条弧，其依据是圆的__轴__对__称__性质．
返回
5 ． ( 中 考 ·泸 州 ) 如 图 ， AB 是 ⊙ O 的 直 径 ， 弦 CD⊥AB于点E，若AB＝8，AE＝1，则弦CD 的长是( B )
九年级上数学《24.1.2 垂直于弦的直径》课件
M
C A O 证明：作直径MN垂直于弦AB D ∵ AB∥CD B ∴ 直径MN也垂直于弦CD ⌒ ⌒ ∴AM＝BM， ⌒ ⌒ CM＝DM ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ ∴AM－CM ＝BM－DM ⌒ ⌒ 即 AC＝BD
N
两条弦在圆心的同侧
垂径定理的推论2 有这两种情况： O A C D A O C D B B
E
O
题设
③平分弦 ④平分弦所对的优弧 ⑤平分弦所对的劣弧 结论
垂径定理的推论1
① 直径过圆心 ③ 平分弦 C ② 垂直于弦 ④ 平分弦所对优弧 ⑤ 平分弦所对的劣弧
A
E
O B
已知：CD是直径，AB是弦，CD平分AB 求证：CD⊥AB，AD＝BD，AC＝BC
⌒ ⌒ ⌒ ⌒
D
（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦， 并且平分弦所对的两条弧．
① 直径过圆心 ③ 平分弦 ⑤ 平分弦所对的劣弧
② 垂直于弦 ⑤ 平分弦所对的劣弧
① 直径过圆心 ③ 平分弦 ④ 平分弦所对优弧
（4）垂直于弦并且平分弦所对的一条弧的 直径过圆心，并且平分弦和所对的另一条弧．
③ 平分弦 ④ 平分弦所对优弧
① 直径过圆心 ② 垂直于弦 ⑤ 平分弦所对的劣弧
③ 平分弦 ⑤ 平分弦所对的劣弧
B
在 a ， d ， r， h中，已知其中任 意两个量，可以 求出其它两个量 ．
B
⌒ 点O就是AB的圆心．
O
你 能 破 镜 重
m
n
A
C
圆
吗？
B O
作法： 作弦AB、AC及它们的垂直平分线m、n， 交于O点；以O为圆心，OA为半径作圆． 依据： 弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦 所对的两条弧．
垂径定理三角形
C A O 证明：作直径MN垂直于弦AB D ∵ AB∥CD B ∴ 直径MN也垂直于弦CD ⌒ ⌒ ∴AM＝BM， ⌒ ⌒ CM＝DM ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ ∴AM－CM ＝BM－DM ⌒ ⌒ 即 AC＝BD
N
两条弦在圆心的同侧
垂径定理的推论2 有这两种情况： O A C D A O C D B B
E
O
题设
③平分弦 ④平分弦所对的优弧 ⑤平分弦所对的劣弧 结论
垂径定理的推论1
① 直径过圆心 ③ 平分弦 C ② 垂直于弦 ④ 平分弦所对优弧 ⑤ 平分弦所对的劣弧
A
E
O B
已知：CD是直径，AB是弦，CD平分AB 求证：CD⊥AB，AD＝BD，AC＝BC
⌒ ⌒ ⌒ ⌒
D
（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦， 并且平分弦所对的两条弧．
① 直径过圆心 ③ 平分弦 ⑤ 平分弦所对的劣弧
② 垂直于弦 ⑤ 平分弦所对的劣弧
① 直径过圆心 ③ 平分弦 ④ 平分弦所对优弧
（4）垂直于弦并且平分弦所对的一条弧的 直径过圆心，并且平分弦和所对的另一条弧．
③ 平分弦 ④ 平分弦所对优弧
① 直径过圆心 ② 垂直于弦 ⑤ 平分弦所对的劣弧
③ 平分弦 ⑤ 平分弦所对的劣弧
B
在 a ， d ， r， h中，已知其中任 意两个量，可以 求出其它两个量 ．
B
⌒ 点O就是AB的圆心．
O
你 能 破 镜 重
m
n
A
C
圆
吗？
B O
作法： 作弦AB、AC及它们的垂直平分线m、n， 交于O点；以O为圆心，OA为半径作圆． 依据： 弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦 所对的两条弧．
垂径定理三角形
24.1.2垂径定理(2)
（3）弦的垂直平分线一定平分这条弦所对的弧. （√ ）
E
例2：如图，圆O的弦AB＝8 ㎝ ， 直径CE⊥AB于D， DC＝2㎝， 求半径OC的长。
A
C
O
D B
C
O
反思：在⊙ O中，若⊙ O的半径r、 A B 圆心到弦的距离d、弦长a、 弓形高h中，任意知道两个量，可根据 垂径 D 定理求出第三个量：
垂径垂足为E . ⑴若半径R = 2 ，AB = 2 3 , 求OE、DE 的长. ⑵若半径R = 2 ，OE = 1 ，求AB、DE 的长. ⑶由⑴ 、⑵两题的启发，你还能编出什么其他问题？
C
a 2 ⑴d + h = r ⑵ r d ( ) 2
2 2
这是圆特有的一个性质:圆的 旋转不变性
想一想 P94 2
圆心角
• 圆心角 顶点在圆心的角(如∠AOB). • 弦心距 过圆心作弦的垂线,圆心与垂足之间的距离(如线段OD). • 如图,在⊙O中,分别作相等的圆心角和∠AOB和∠A′OB′, 将 其中的一个旋转一个角度,使得OA和O′A′重合. D
1 1 AD AB 37.4 18.7, 2 2 OD OC DC R 7.2.
7.2
A
D R
B
OA2 AD2 OD2 , 即R2 18.72 ( R 7.2)2 .
在Rt△OAD中，由勾股定理，得
解得 R≈27.9（m）. 答：赵州石拱桥的桥拱半径约为27.9m.
●
O′
┏ A′ D′ B′
如由条件: ③AB=A′B′
可推出
┏ A′ D′ B′ ①∠AOB=∠A′O′B′
②AB=A′B′ ④ OD=O′D′
E
例2：如图，圆O的弦AB＝8 ㎝ ， 直径CE⊥AB于D， DC＝2㎝， 求半径OC的长。
A
C
O
D B
C
O
反思：在⊙ O中，若⊙ O的半径r、 A B 圆心到弦的距离d、弦长a、 弓形高h中，任意知道两个量，可根据 垂径 D 定理求出第三个量：
垂径垂足为E . ⑴若半径R = 2 ，AB = 2 3 , 求OE、DE 的长. ⑵若半径R = 2 ，OE = 1 ，求AB、DE 的长. ⑶由⑴ 、⑵两题的启发，你还能编出什么其他问题？
C
a 2 ⑴d + h = r ⑵ r d ( ) 2
2 2
这是圆特有的一个性质:圆的 旋转不变性
想一想 P94 2
圆心角
• 圆心角 顶点在圆心的角(如∠AOB). • 弦心距 过圆心作弦的垂线,圆心与垂足之间的距离(如线段OD). • 如图,在⊙O中,分别作相等的圆心角和∠AOB和∠A′OB′, 将 其中的一个旋转一个角度,使得OA和O′A′重合. D
1 1 AD AB 37.4 18.7, 2 2 OD OC DC R 7.2.
7.2
A
D R
B
OA2 AD2 OD2 , 即R2 18.72 ( R 7.2)2 .
在Rt△OAD中，由勾股定理，得
解得 R≈27.9（m）. 答：赵州石拱桥的桥拱半径约为27.9m.
●
O′
┏ A′ D′ B′
如由条件: ③AB=A′B′
可推出
┏ A′ D′ B′ ①∠AOB=∠A′O′B′
②AB=A′B′ ④ OD=O′D′
数学：24.1-第2课时《垂直于弦的直径》课件(人教版九年级上)
A．仅有 1 条
B．仅有 2 条
C．仅有有限多条 D．有无数条
2．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)：
(1)圆既是轴对称图形，又是中心对称图形．( √ )
(2)直径都是圆的对称轴．( × )
3．如图 3，在半径为 5 cm 的⊙O 中，圆心 O 到弦 AB 的距
离为 3 cm，则弦 AB 的长是( C )
图5 解析：过点 O 作 OE⊥AB，垂足为 E.则 AE＝BE＝5 cm， CE＝DE＝3 cm，所以 AC 的长为 2 cm.
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棘手の一个人.“她调到热点追踪前曾经访问过我の老师,所以认识.”陆羽促狭一笑,“卓律师难道不觉得这样更刺激吗？考验你俩才华の时候到了,加油,我看好你の哦.”“调皮,”卓文鼎哧地笑了,无奈地摇摇头,“唉,摊上你这么个主顾真是命苦.”“嘻嘻,”陆羽讪笑两声,“能者 多劳嘛,人生就要挑战极限才显得有价值.”这是针对别人说の,她只要岁月静好.正好小杨出来了,一身清爽,“卓sir,该你了.”“好,你先坐下,我要交代一些事,”卓文鼎朝陆羽挥挥手,“你忙你の,要什么我们自己拿,有事再找你.”“那好,辛苦你们了.”陆羽不妨碍他们工作,径自 回自己书房去了.到了晚上七点,自助餐准时在休闲居庭院开始,陆羽带着卓文鼎和小杨去与大家认识.老卓是社交能手,性格外向又性子随和,很快便与所有人打成一片谈笑风生;小杨长得斯文白净,年方二十出头颇招诸位大姨们の青睐,不停地问他有女朋友了吗？没有の话她们可以帮 忙介绍.小杨腼腆,不停傻笑推托,反而让更招人喜欢.看着两人如鱼得水,陆羽放心了,来到烧烤架前.“易哥,少君和少华呢？”她左顾右盼,怎么也找不到那两个熟悉の身影.拥有阳刚体魄の陆易系着围裙不但不娘腔,反而性感帅气,忙碌着说：“少君有事出国了,要过一段时间才回来. 少华
人教版(2012)九年级数学上册24.1.2垂直于弦的直径 课件(29张ppt)
B D
在Rt△OAD中，由勾股定理，得OA2=AD2+OD2, ∴R2=18.52+（R-7.23）2,解得R≈27.3.
即赵州桥的主桥拱半径约为27.3m.
O
例题变式
如图，在⊙O中，弦AB的长为 6 cm，圆心O到AB的距离（弦心距）为 4 cm，
求⊙O的半径．
解： 过圆心O 作OE⊥AB于E， A
,(垂径定理）
3E B
4
O
在Rt △ AOE 中 ,
垂径定理 圆是轴对称图形
知识小结 内容
推论
垂直于弦的直径平分弦, 并且平分弦所对的两条弧
一条直线满足:①过圆心;②垂直于弦; ③平 分弦（不是直径）; ④平分弦所对的优弧; ⑤平分弦所对的劣弧.满足其中两个条件就 可以推出其他三个结论（“知二推三”）
5)
y
.
C 3
A O 2M D
Hale Waihona Puke 5B x达标练习4.如图，⊙O 的直径CD⊥AB于E，AB＝6cm，CE＝9㎝.
求⊙O 的半径.
C
O
r 9-r
3E
A
B
D
角形全等. 要证 ⌒AC =A⌒D,⌒BC =⌒BD ，只需证明C点与D点
C
关于直径AB对称.
A
O ED B
同位讨论
CD是⊙O的一条弦，直径AB⊥CD，垂足为E. 求证：CE=DE,⌒AC = A⌒D, ⌒BC =⌒BD.
证明：连接OC,OD,则OC=OD 在Rt△OCE和Rt△ODE中：
A O
__O_E_=_O_E_____________
1.半径为4cm的⊙O 中，弦AB=2 cm,
那么圆心O 到弦AB 的距离是
九年级数学上册 24.1 圆的有关性质 24.1.2 垂直于弦的直径课件2
A
C
D
E
O·
B
2021/12/11
第七页，共十八页。
2、如图，OE⊥AB于E，若⊙O的半径(bànjìng)为 10cm,OE=6cm,则AB= cm。
解：连接(liánjiē)OA，∵ OE⊥AB A
E
B
∴ AE OA2 OE2
O·
102 62 8cm
∴ AB=2AE=16cm
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E
D
B
证明：连接OA，OB，则OA=OB
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∵ AE=BE
∴ CD⊥AB
∴ A⌒D=⌒BD, A⌒C =⌒BC 第十二页，共十八页。
平分(píngfēn)弦的直径垂直于弦,并且平分弦所 对的两条弧。
此处的弦可以是直径(zhíjìng)吗？如果不能，请举出 反例。
C
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必平分此弦所对的弧
⑧圆是轴对称图形，直径是它的对称轴
第十五页，共十八页。
2、如图，有一段弧AB，你能用尺规将其平 分 吗？ (píngfēn)
A
B
2021/12/11
第十六页，共十八页。
3.你能破镜重圆 吗？ (pò jìng chóng yuán)
2021/12/11
第十七页，共十八页。
内容(nèiróng)总结
第八页，共十八页。
3、如图，在⊙O中，弦AB的长为8cm，圆心
O到AB的距离(jùlí)为3cm，求⊙O的半径。
解：过点O作OE⊥AB于E，连接
∴OAAE (liánjiē) 1 AB 4cm
圆心到弦的距2 离、半径、
弦构成O直E 角 3三cm角形，便
A
24.1.2垂直于弦的直径(第二课时)
O 6 O A
30°
E
B
A
M C
B
(2)如图,已知⊙O的半径为6cm,弦 AB与半径 OC互相 平分,交点为M ,求弦AB的长.
（3）如图，有一圆弧形桥拱，拱形的半径为10米，桥 拱的跨度AB=16米，则拱高为 4 米。
C
A
·
O
D
B
船能过拱桥吗?
例.如图,某地有一圆弧形拱桥,桥下水面宽为7.2米,拱 顶高出水面2.4米.现有一艘宽3米、船舱顶部为长方 形并高出水面2米的货船要经过这里,此货船能顺利通 过这座拱桥吗？
第24章 圆
24.1.2垂直于弦的直径 第二课时
垂径定理
定理
C
垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所对的两条弧.
A
M└
●
B
O
如图∵ CD是直径, CD⊥AB, ∴AM=BM,
⌒ =BC, ⌒ AC
⌒ AD=BD.
⌒
D
推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所 对的两条弧。
课堂讨论
根据已知条件进行推导：
13
B M A
O
N C
,
5.在⊙Ｏ中，ＡＢ、AC为互相垂直且相等的两条弦， ＯＤ⊥ＡＢ于Ｄ，ＯＥ⊥ＡＣ于Ｅ． 求证：四边形ＡＤＯＥ是正方形．
Ｃ Ｅ Ａ Ｏ Ｄ Ｂ
拓展
1.在直径为650mm的圆柱形油槽内装入一些油后，截面 如图所示若油面宽AB=600mm，求油的最大深度.
A
O ┌ E
D
B
D
600
①⑤
②③ ②④
②③④
①④⑤ ①③⑤
②⑤
③④ ③⑤
①③④
①②⑤ ①②④
④⑤
30°
E
B
A
M C
B
(2)如图,已知⊙O的半径为6cm,弦 AB与半径 OC互相 平分,交点为M ,求弦AB的长.
（3）如图，有一圆弧形桥拱，拱形的半径为10米，桥 拱的跨度AB=16米，则拱高为 4 米。
C
A
·
O
D
B
船能过拱桥吗?
例.如图,某地有一圆弧形拱桥,桥下水面宽为7.2米,拱 顶高出水面2.4米.现有一艘宽3米、船舱顶部为长方 形并高出水面2米的货船要经过这里,此货船能顺利通 过这座拱桥吗？
第24章 圆
24.1.2垂直于弦的直径 第二课时
垂径定理
定理
C
垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所对的两条弧.
A
M└
●
B
O
如图∵ CD是直径, CD⊥AB, ∴AM=BM,
⌒ =BC, ⌒ AC
⌒ AD=BD.
⌒
D
推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所 对的两条弧。
课堂讨论
根据已知条件进行推导：
13
B M A
O
N C
,
5.在⊙Ｏ中，ＡＢ、AC为互相垂直且相等的两条弦， ＯＤ⊥ＡＢ于Ｄ，ＯＥ⊥ＡＣ于Ｅ． 求证：四边形ＡＤＯＥ是正方形．
Ｃ Ｅ Ａ Ｏ Ｄ Ｂ
拓展
1.在直径为650mm的圆柱形油槽内装入一些油后，截面 如图所示若油面宽AB=600mm，求油的最大深度.
A
O ┌ E
D
B
D
600
①⑤
②③ ②④
②③④
①④⑤ ①③⑤
②⑤
③④ ③⑤
①③④
①②⑤ ①②④
④⑤
人教版初中数学24.1.2 垂直于弦的直径 课件
D
OE CD,
1
1
CF CD 600 300(m).
2
2
根据勾股定理，得 OC2 CF 2 OF 2 ,
R2 3002 R 902 .
解得R=545.∴这段弯路的半径约为545m.
课堂小结
内容
垂径定理
推论 辅助线
24.1 圆的有关性质/
垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦 所对的两条弧
一条直线满足:①过圆心;②垂直于弦; ③ 平分弦（不是直径）; ④平分弦所对的优 弧;⑤平分弦所对的劣弧. “知二推三”
两条辅助线： 连半径，作弦心距
基本图形及 变式图形
构造Rt△利用勾股定理计算或建立方 程.
课后作业
作业 内容
24.1 圆的有关性质/
教材作业 从课后习题中选取 自主安排 配套练习册练习
d2
a 2
2
rd O
连接中考
24.1 圆的有关性质/
C
课堂检测
24.1 圆的有关性质/
基础巩固题
1. 已知⊙O中，弦AB=8cm，圆心到AB的距离为
3cm，则此圆的半径为 5cm .
2. ⊙O的直径AB=20cm, ∠BAC=30°则弦AC= .
课堂检测
24.1 圆的有关性质/
3.（分类讨论题）已知⊙O的半径为10cm，弦
垂足为E．
C
【思考】左图是轴对称图形吗？
满足什么条
件才能证明
O E A
D
圆是轴对称 图形呢？
B
大胆猜想 是轴对称图形．
探究新知
24.1 圆的有关性质/
证明：连结OA、OB.
C
则OA＝OB．
又∵CD⊥AB，
九年级数学上册第24章圆24.1圆的有关性质第2课时垂直于弦的直径课件新版新人教版_381
合作探究 达成目标
探究点一 圆的轴对称性
如图，AB是⊙O的一条弦，做直径CD，使CD⊥AB，垂足为E． （1）这个图形是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？ （2）你能发现图中有那些相等的线段和弧？为什么？
【针对训练】
A
探究点二 垂径定理及其推论的推导 垂径定理： 垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对 的两条弧.
高考总分:711分 毕业学校:北京八中 语文139分 数学140分 英语141分 理综291分 报考高校：
北京大学光华管理学院
北京市理科状元杨蕙心
班主任 孙烨：杨蕙心是一个目标高远 的学生，而且具有很好的学习品质。学 习效率高是杨蕙心的一大特点，一般同 学两三个小时才能完成的作业，她一个 小时就能完成。杨蕙心分析问题的能力 很强，这一点在平常的考试中可以体现。 每当杨蕙心在某科考试中出现了问题， 她能很快找到问题的原因，并马上拿出 解决办法。
24.1 圆
第2课时 垂直于弦的直径
创设情景 明确目标
如图，1 400 多年前，我国隋代建造的赵州石拱桥 主桥拱是圆弧形，它的跨度（弧所对的弦长）是 37 m， 拱高（弧的中点到弦的距离）为 7.23 m，求赵州桥主桥 拱的半径（精确到 0.1 m）．
1.探索并了解圆的对称性和垂径定理. 2.能运用垂径定理解决几何证明、计算问 题，并会解决一些实际问题.
O A
C
D
B
【针对训练】
２５０
总结梳理 内化目标
数学方法：
①构造直角三角形，垂径定理和勾股定理有机结 合是计算弦长、半径和弦心距等问题的方法． ②技巧：重要辅助线是过圆心作弦的垂线．
重要思路：
（由）垂径定理—构造直角三角形—结合）勾股定理—建立方程．
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解决求赵州桥拱半径的问题
1300多年前, 我国隋代建造的赵州石拱桥的桥 拱是圆弧形,它的跨度(弧所对的弦的长)为37.4 米,拱高(弧的中点到弦的距离,也叫弓形高)为 7.2米, 你能求出桥拱的半径吗? 你能利用垂径定理 解决求赵州桥拱半径的 问题吗?
如何证明？
已知：如图，CD是⊙O的直径，AB为 弦，且AE=BE. A ⌒⌒ ⌒ ⌒ 求证：CD⊥AB，且AD=BD, AC =BC
24.圆
赵州桥主桥拱的半径是多少？
问题 ：你知道赵州桥吗?它是1300多年前我国隋 代建造的石拱桥, 是我国古代人民勤劳与智慧的 结晶．它的主桥是圆弧形,它的跨度(弧所对的弦 的长)为37.4m, 拱高(弧的中点到弦的距离)为7.2m， 你能求出赵洲桥主桥拱的半径吗？
如图，AB是⊙O的一条弦，作直径CD，使 CD⊥AB，垂足为E．（1）这个图形是轴对称图 形吗？如果是，它的对称轴是什么？（2）你能 发现图中有哪些相等的线段和弧？为什么？
⌒ ⌒
⌒
⌒
O · A E D B
下列图形是否具备垂径定理的条件？
C
c
C
C
A
O A D E B
D O
B
O
O A E B
A E D B
是
不是
是
不是
垂径定理的几个基本图形：
C
A D
O A D E B
B
A
O D C B
O
A
O C B
C
CD过圆心
CD⊥AB于E
AE=BE AC=BC AD=BD
1、如图，AB是⊙O的直径，CD为弦，CD⊥AB于E， 则下列结论中不成立的是（ ） A
2、如图，有一段弧AB，你能用尺规将其
∠COE=∠DOE
B、CE=DE
C、OE=AE D、BD=BC
⌒ ⌒
C
E O· B
D
2、如图，OE⊥AB于E，若⊙O的半径为
10cm,OE=6cm,则AB= 解：连接OA，∵ OE⊥AB ∴ AE OA2 OE 2
10 6 8cm
2 2
cm。
A E · O B
∴ AB=2AE=16cm
3、如图，在⊙O中，弦AB的长为8cm，圆 心O到AB的距离为3cm，求⊙O的半径。
解：过点O作OE⊥AB于E，连接OA ∴ AE 1 AB 4cm 2 圆心到弦的距离、半 A OE 3 cm 径、弦构成直角三角 2 2 ∴ 形，便将问题转化为 AO AE OE 2 2 直角三角形的问题。 4 3 5cm
即⊙O的半径为5cm. 弦心距：圆心到弦的距离
E · O
B
4、如图，CD是⊙O的直径，弦AB⊥CD于E， CE=1，AB=10，求直径CD的长。
解：连接OA，
∵ CD是直径，OE⊥AB 1 ∴ 2 C A E · O D
B 设OA=x ，则OE=x-1，由勾股定理得 A E2 2 x =5 +(x-1)2 解得：x=13 = A ∴ OA=13 ∴ CD=2OA=26 即直径CD的长为26. B
（1）是轴对称图形．直径CD所 在的直线是它的对称轴
C
⌒ ⌒ ⌒ ⌒ 弧：ＡＣ＝ＢＣ, ＡＤ＝ＢＤ
垂直于弦的直径平分这条弦, 并且平 分弦所对的两条弧.
（2） 线段： AE=BE
O · E A D
B
垂径定理
垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所对的两条弧 C
∵ CD是直径，CD⊥AB
∴ AE=BE, AC =BC, AD =BD.
C
∵ CD是直径， AE=BE
O · A
∴ CD⊥AB,AC =BC, AD =BD.
B
⌒
⌒
⌒
⌒
E D
1：判断下列说法的正误：
①平分弧的直径必平分弧所对的弦 ②平分弦的直线必垂直弦 ③垂直于弦的直径平分这条弦 ④平分弦的直径垂直于这条弦 ⑤弦的垂直平分线是圆的直径 ⑥平分弦所对的一条弧的直径必垂直这条弦 ⑦在圆中，如果一条直线经过圆心且平分弦， 必平分此弦所对的弧 ⑧圆是轴对称图形，直径是它的对称轴
证明：连接OA，OB，则OA=OB
C
O · E D B
∵ AE=BE ∴ CD⊥AB ⌒ ⌒ ∴ AD=BD, ⌒ ⌒ AC =BC
平分弦的直径垂直于弦,并且平分弦
所对的两条弧。 此处的弦可以是直径吗？如果不能，请举 出反例。
C A O · B D
垂径定理推论
平分弦（不是直径）的直径垂直 于弦,并且平分弦所对的两条弧。