反比例函数与几何图形变换

课 堂 检 测
k y = 1.（2012•潍坊）点P在反比例函数 x
（k≠0）的图象上，点Q ．
8 （2，4）与点P关于y轴对称，则反比例函数的解析式为 x
2．(2010·荆州)如图，直线 l 是经过点D(1,0) 且与 y 轴平行 的直线．在 Rt△ABC 中，直角边 AC＝4，BC＝3，将 BC 边在 k 直线 l 上滑动，使点 A、B 在函数 y＝ 的图象上，那么 k 的 x 值是( D ) 15 A．3 B．6 C．12 D. 4
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3.若反比例函数的图象经过点 P(－2,1)，则这个函数的图
二、四 象位于第____________ 象限．
2 4.（2011广东茂名）若函数 y = m x 的图像在其象限内y的
值随 x 的值增大而增大，则 m 的取值范围是（
B
）
A．m>－2
C．m>2
B．m<－2
D．m<2
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同学相长
考 查 考 问
1.(2013•恩施州）如图所示，等边三角形ABC放置在平面直角坐标系中，已 知A（0，0）、B（6，0），反比例函数的图象经过点C． （1）求点C的坐标及反比例函数的解析式． （2）将等边△ABC向上平移n个单位，使点B恰好落在双曲线上，求n的 值． 解：（1）过点C作CD垂直AB于AB交于点 D ∵ △ABC是等边三角形，且A（0，0）、 B（6，0）， ∴AC=AB=6,AD=3 ∴CD=3 ∴ C(3,3 ) ∴y= 9 x D (2) ∵向上平移n个单位 (0,0) (6,0) ∴B’(6,n) 又∵平移后恰好落在双曲线上 ∴n=1.5
【解析】设点 A 的坐标为(5，y1)，B 的坐标为(1,3＋y1)， 3 15 由于 k＝5y1＝3＋y1，∴y1＝ ，∴k＝ . 4 4
能 力 提 升
2．（2008，济南）如图4所示，等腰直角三角形ABC位于第一象限， A(1,1),且AB=AC=2，直角顶点A在直线y=x上，其中A点的横坐标为
(1,3+x) 3
. (1,0)
D
(5, x)
x
4
1
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1 的图 像上关于原点O对称 x 的任意两点,PA平行于y轴 ,PA平行于x轴 , Δ PAP的 4. 如图,P,P是函数y = 3、
C 面积 S, 则___. A.S = 1 C.S = 2 B.1<S<2 D.S>2
y
P(m,n)
典 例 欣 赏
例1 [2013·江西] 如图T4－1，在平面直角坐标系中，反 k 比例函数y＝ x (x>0)的图象和矩形ABCD在第一象限，AD平行于 x轴，且AB＝2，AD＝4，点A的坐标为(2，6)． (1)直接写出B，C，D三点的坐标； (2)若将矩形向下平移，矩形的两个顶点恰好同时落在反比 例函数的图象上，猜想这是哪两个点，并求矩形的平移距离和 反比例函数的解析式．
教 师 精 讲
解 (1)过点C作CE⊥AB于点E. ∵四边形ABCD是等腰梯形， ∴AD＝BC，DO＝CE， ∴△AOD≌△BEC，∴AO＝BE＝2. ∵BO＝6，∴DC＝OE＝4，∴C(4，3)． k 设反比例函数的解析式为y＝x(k≠0)， k 根据题意得3＝ ，解得k＝12. 4 12 ∴反比例函数的解析式为y＝ x . (2)将等腰梯形ABCD向上平移m个单位后得到梯形 A′B′C′D′，∴点B′(6，m)． 12 ∵点B′(6，m)恰好落在双曲线y＝ 上， x 12 ∴当x＝6时，m＝ ＝2，即m＝2. 6
理 一 理
的函数叫做反比例函数。
xy = k
k x （ k ≠ 0）
y=kx-1（k≠0）
图象的两个分支都无限接 近 x，y 轴，但都不会与 x 轴和y 轴相交 。图象是以原点为对称中 心的中心对称图形．
1.一般地，形如 y = — ( k是常数, k = 0 )
双曲线 2.反比例函数的图象是__ ________; k的符号 图像的大致位置 经过象限 性质 k＞ 0 y
A (2,6) D C D’ C’
A
2 B A’ 4
B’
图 T4－1
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解 (1)B(2，4)，C(6，4)，D(6，6)． (2)如图，矩形ABCD向下平移后得到矩形A′B′－C′D′，
设平移距离为a，则A′(2，6－a)，C′(6，4－a)． k ∵点A′，C′在y＝x的图象上， ∴2(6－a)＝6(4－a)， 解得a＝3， ∴点A′(2，3)， 6 ∴反比例函数的解析式为y＝x.
AB边上的一点，将△ADO沿直线OD
翻折，使A点恰好落在对角线OB上的
点E处，若点E在一反比例函数的图像
上，那么该函数的解析式是
12 ________ x ． y=-
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5.如图，四边形OABC是面积为4的正方形，函数y＝ x （x ＞0）的图象经过点B．（1）求k的值；（2）将正方形 OABC分别沿直线AB、BC翻折，得到正方形MABC′ 、 k x ＞0）的 NA′BC．设线段MC′、NA′分别与函数y＝ （x 图象交于点E、F，求线段EF所在直线的解析式．
k
思考: 试归纳反比例函数的概念、图象与性质， 并与正比例函数作比较.
专题四┃反比例函数与几何图形综合题
【点拨交流】 1．本题考查了哪些知识？ 2．B，C，D三点的坐标可以看作由点A(2，6)通过怎样的 平移得到？ 3．矩形的平移过程哪两点能同时在双曲线上？ 4．若矩形向下平移A个单位后点A，C对应的点A′，B′的 坐标分别是多少？ 5．怎样确定反比例函数的解析式？
解：（1）设反比例函数的解析式为 y =
k （k≠0） x
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3.（2013•襄阳）平行四边形ABCD在平面直角坐标系中的位置如图所示， 其中A（﹣4，0），B（2，0），C（3，3） 反比例函数y= （1）求此反比例函数的解析式； （2）将平行四边形ABCD沿x轴翻折得到平行四边形AD′C′B，请你通过计 算说明点D′在双曲线上； （3）请你画出△AD′C，并求出它的面积．
o x
k＜0
y o x
第 一、三 象限 在每一象限内y随 x的增大而 减小 _______
第
象限
在每一象限内y随 x的增大而 _______ 增大
理 一 理
3．k的几何意义：
k 反比例函数y＝ (k≠0)中比 x
例系数k的几何意义，即过双曲 线y＝
k (k≠0)上任意一点P x
作x轴、y轴垂线，设垂足分别为A、 B，则所得矩形OAPB的面积为 k .
典例探究
专题四┃反比例函数与几何图形综合题
【点拨交流】 1．本题考查了平面直角坐标中点的坐标的求法、矩形的性 质、反比例函数解析式的求法及平移知识． 2．点A向右平移4个单位得到点D；点A向下平移2个单位得到 点D；点A先向右平移4个单位，再向下平移2个单位得到点C或者 点A先向下平移2个单位，再向右平移4个单位得到点C. 3．矩形的平移过程发现只有A，C两点能同时在双曲线上． 4．因为点A的坐标为(2，6)，点C的坐标为(6，4)，所以矩形 向下平移a个单位后点A，C对应的点A′，C′的坐标分别是A′(2， 6－a)，C′(6，4－a)． 5．因为A′(2，6－a)，C′(6，4－a)在反比例函数的图象上， k 分别代入反比例函数y＝x求出a的值，从而确定k的值．
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例2 [2012·江西] 如图T4－2，等腰梯形ABCD放置在平面 直角坐标系中，已知A(－2，0)，B(6，0)，D(0，3)，反比例函数 的图象经过点C. (1)求C点坐标和反比例函数的解析式； (2)将等腰梯形ABCD向上平移m个单位后，使点B恰好落在 双曲线上，求m的值．
图T4－2
2n
解:设P(m,n),则P(-m,-n). AP =| 2m|，AP =| 2n|； S = 1 | AP AP| ΔPAP 2 = 1 | 2m|| 2n| 2 = 2|k|
o
2m P/ (-m,-n)
x
A
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4．如图，A，B是函数y=
1 的图像上关于原点O对称的任意两点，AC平 x
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例 1 [2013· 江西] 如图 T4－1，在平面直角坐标系中，反 k行 于 x 轴，且 AB＝2，AD＝4，点 A 的坐标为(2，6)． (1)直接写出 B，C，D 三点的坐标； (2)若将矩形向下平移 ，矩形的两个顶点恰好同时落在反比 例函数的图象上， 猜想这是哪两个点， 并求矩形的平移距离和反 比例函数的解析式．
自 主 复 习
k 1． (2011 年浙江温州 )已知点 P (－ 1,4) 在反比例函数 y＝ x
(k≠0)的图象上，则 k 的值是 ( D )
1 A．－ 4 1 B. 4
C． 4
y = k x
D ．－ 4
（k是常数，
2.（2011年上海）如果反比例函数
2 y = _________ ． x
k≠0）的图象经过点(－1,2)，那么这个函数的解析式是
图T4－1
典 例 欣 赏
例2 [2012·江西] 如图T4－2，等腰梯形ABCD放置在平面 直角坐标系中，已知A(－2，0)，B(6，0)，D(0，3)，反比例函数 的图象经过点C. (1)求C点坐标和反比例函数的解析式； (2)将等腰梯形ABCD向上平移m个单位后，使点B恰好落在 双曲线上，求m的值．
1，且两条直角边AB，AC分别平行于x轴，y轴，• 若双曲线y=（k≠0）
与△ABC有交点，则k的取值范围是（ ）
C
A．1<k<2
B．1≤k≤3
C．1≤k≤4
D．1≤k<4
能 力 提 升
3.（2013•荆州）如图，在平面直角坐标系中，直 线 y=－