河南省名校联盟2020-2021学年高二上学期期中考试 数学(理)(Word版含解析)
河南省创新发展联盟2020-2021学年高二上学期第三次联考数学(理)试题
【分析】
本题中所给的命题是一个特称命题，其否定是一个全称命题，按规则写出其否定即可．
【详解】
解：命题“ ， ”是特称命题，
故其否定为： ，
故选：
【点睛】
本题考查命题的否定，正确解答本题，关键是掌握住命题的否定的定义及书写规则，对于两特殊命题特称命题与全称命题的否定，注意变换量词，属于基础题．
4．D
【分析】
根据抛物线的定义，将抛物线化成标准式，即可求出其准线方程.
【详解】
解：
，则该抛物线 的准线方程是 ，即 .
故选：
【点睛】
本题考查抛物线的标准方程及简单几何性质，属于基础题.
5．C
【分析】
作出不等式组表示的平面区域,利用目标函数的几何意义,向上平移直线 至最高点时的 即为目标函数的最小值.
【详解】
河南省创新发展联盟2020-2021学年高二上学期第三次联考数学（理）试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．在数列 中， ， ，则 （）
A．2B．6C．8D．14
2．在 中，角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ， ， ， ，则 （）
参考答案
1．C
【分析】
根据数列的递推公式求出 ，即可求得 .
【详解】
解：因为 ， ，
所以 ，
则 .
故选：
【点睛】
本题考查利用递推公式求数列的项的问题，属于基础题.
2．A
【分析】
直接利用正弦定理得到 ，代入数据计算得到答案.
【详解】
根据正弦定理 ，所以 .
故选：
【点睛】
2020-2021学年河南省名校联盟高二上学期12月阶段性测试(四)数学(理)试题 PDF版
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2020-2021学年河南省名校联盟高二(下)期中数学试卷(理科)
2020-2021学年河南省名校联盟高二（下）期中数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）已知z的共轭复数为（i为虚数单位），则复数z的虚部为（）A．B．C．D．2．（5分）若“，cos x≤a成立”为真命题，则实数a的最小值为（）A．1B．C．D．不存在3．（5分）已知钝角三角形ABC的面积是2，AB＝2，，则AC＝（）A．5B．C．2D．14．（5分）已知（1+ax）（1+x）5的展开式中x3的系数为15，则a的值为（）A．B．C．D．15．（5分）在平面直角坐标系xOy中，已知点，以坐标原点O为极点，则点P的极坐标为（）A．B．C．D．6．（5分）已知a＝log34，，，则（）A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．b＞c＞a D．c＞b＞a7．（5分）为配合国家的精准扶贫战略，某省示范性高中安排6名高级教师到基础教育薄弱的甲、乙、丙三所中学进行扶贫支教，每所学校至少安排1人（）A．150种B．180种C．270种D．540种8．（5分）设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，且bc＝3（）A．2πB．3πC．4πD．9．（5分）已知向量满足，且，向量与与，则与的夹角为（）A．0B．C．D．10．（5分）在三棱锥P﹣ABC中，，当此三棱锥的体积最大时，该三棱锥外接球的体积是（）A．3πB．2πC．D．11．（5分）已知平行四边形ABCD内接于椭圆Ω：（a＞b＞0），且AB，AD斜率之积的取值范围为（）A．B．C．D．12．（5分）已知0＜a＜b＜c＜d，若a c＝c a，则b d与d b的大小关系为（）A．b d＜d b B．b d＝d b C．b d＞d b D．不确定二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．（5分）若曲线y＝（ax+3）e x在点（0，3）处的切线的斜率为﹣1，则a的值为．14．（5分）为贯彻“科学防疫”，学校实行“佩戴口罩、间隔而坐”的方案．若一排有10个座位，安排5名同学就坐种不同的安排方法（用数字作答）．15．（5分）观察等式：f（）+f（）＝1；f（）+f（）+f（）＝；f（）+f（）+f（）（）＝2；f（）+f（）+f（）（）+f（）＝；…由以上几个等式的规律可猜想＝．16．（5分）已知函数在（2，4）内存在极小值，则实数a的取值范围为．三、解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个考题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17．（12分）已知z是复数，﹣4是纯虚数，为实数．（1）求复数z；（2）若复数（z+ai）2在复平面上对应的点位于第二象限，求实数a的取值范围．18．（12分）已知的展开式中第三项的二项式系数比第二项的二项式系数大35，前三项的系数和为201．（1）求正实数a，n的值；（2）求展开式中系数最大的项．19．（12分）已知数列{a n}满足S n+a n＝n．（1）写出a1，a2，a3，并推测a n的表达式；（2）用数学归纳法证明a n的表达式．20．（12分）已知函数f（x）＝e x﹣a（x+3）．（1）当a＝1时，求f（x）的最小值；（2）若f（x）有两个零点，求实数a的取值范围．21．（12分）已知函数f（x）＝x（lnx﹣a﹣1），a∈R．（1）当a＝﹣1时，求曲线y＝f（x）在点（1，f（1）；（2）当x＞1时，讨论函数f（x）的单调区间和极值；（3）若对任意的x∈[1，e2]，都有f（x）＜lnx成立（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做第一题计分.22．（10分）在平面直角坐标系xOy中，M为曲线C1：（α为参数）上的动点，将M点的纵坐标不变2，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．（1）求曲线C2的极坐标方程；（2）已知A，B是曲线C2上的两点，且，求|OA|+|OB|的取值范围．23．已知关于x的不等式|2x+1|+|x﹣1|≤6的解集为M．（1）求集合M中的最大数m；（2）若正数x，y满足x2+y2＝m，求证：x+y≥2xy．2020-2021学年河南省名校联盟高二（下）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）已知z的共轭复数为（i为虚数单位），则复数z的虚部为（）A．B．C．D．【解答】解：∵＝＝，∴，∴复数z的虚部为．故选：D．2．（5分）若“，cos x≤a成立”为真命题，则实数a的最小值为（）A．1B．C．D．不存在【解答】解：∵“，cos x≤a成立”为真命题，∴a≥（cox）max＝cos5＝1，∴实数a的最小值为1，故选：A．3．（5分）已知钝角三角形ABC的面积是2，AB＝2，，则AC＝（）A．5B．C．2D．1【解答】解：因为钝角△ABC的面积是2，AB＝2，则×3×2，解得sin B＝，由0＜B＜π得，B＝或；当B＝时，由余弦定理得：AC2＝AB2+BC6﹣2AB•BC•cos B＝4+8﹣2×2×4×＝4，则A是最大角，AB2+AC7﹣BC2＝4+2﹣8＝0，所以cos A＝＝0，不满足题意；所以B＝，则AC2＝AB2+BC3﹣2AB•BC•cos B＝4+6﹣2×2×3×（﹣，则AC ＝2．故选：B．4．（5分）已知（1+ax）（1+x）5的展开式中x3的系数为15，则a的值为（）A．B．C．D．1【解答】解：展开式中含x3的项为1×＝（10+10a）x4，所以10+10a＝15，解得a＝，故选：C．5．（5分）在平面直角坐标系xOy中，已知点，以坐标原点O为极点，则点P的极坐标为（）A．B．C．D．【解答】解：根据题意，平面直角坐标系xOy中，即P的坐标为（，﹣）．设其在极坐标下的坐标为（ρ，θ），ρ＝＝3，则θ＝，故选：B．6．（5分）已知a＝log34，，，则（）A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．b＞c＞a D．c＞b＞a【解答】解：由a＝log34＞log53＝1，3＜＜20＝5，0＜＜23＝1，又2＜2，所以a＞c＞b，故选：B．7．（5分）为配合国家的精准扶贫战略，某省示范性高中安排6名高级教师到基础教育薄弱的甲、乙、丙三所中学进行扶贫支教，每所学校至少安排1人（）A．150种B．180种C．270种D．540种【解答】解：将6人分成3组，可以是5，1，4，5，3，也可以是2，7，2，若分成1，5，4，有A＝90，若分成3，2，3，有＝360，若分成3，2，2，有＝90，则共有90+360+90＝540，故选：D．8．（5分）设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，且bc＝3（）A．2πB．3πC．4πD．【解答】解：∵，∴cos（B﹣C）﹣cos（B+C）＝，∴cos B cos C+sin B sin C﹣cos B cos C+sin B sin C＝，∴sin B sin C＝，又∵bc＝8，∴由正弦定理可得＝2R，c＝2R sin C，∴bc＝2R2sin B sin C＝4R3×＝8，所以△ABC的外接圆的周长为．故选：B．9．（5分）已知向量满足，且，向量与与，则与的夹角为（）A．0B．C．D．【解答】解：设与的夹角为θ，因为|++|²＝||²+|•+2••＝4+4+36+2×2×3×（﹣）+4×2×6×（﹣＝28+24cosθ＝16，所以cosθ＝﹣，解得θ＝．故选：C．10．（5分）在三棱锥P﹣ABC中，，当此三棱锥的体积最大时，该三棱锥外接球的体积是（）A．3πB．2πC．D．【解答】解：因为在三棱锥P﹣ABC中，，所以cos∠BAC＝，由余弦定理，可得BC7＝AB2+AC2﹣8AB•AC•cos∠BAC＝，所以BC＝，故AB2+BC5＝AC2，所以AB⊥BC，如图所示，当P A⊥平面ABC时，把三棱锥P﹣ABC放在长方体中，其外接球的半径为R＝，所以当此三棱锥的体积最大时，该三棱锥外接球的体积是．故选：D．11．（5分）已知平行四边形ABCD内接于椭圆Ω：（a＞b＞0），且AB，AD斜率之积的取值范围为（）A．B．C．D．【解答】解：设A（x1，y1），B（x8，y2），由平行四边形对角线互相平分可得A与C，所以可得D（﹣x2，﹣y5），所以k AB•k AD＝•＝，将A，B的坐标代入可得+＝0，可得＝﹣，由题意可得：﹣＜﹣，即＜＜，可得：＜2﹣＜∈（，），故选：A．12．（5分）已知0＜a＜b＜c＜d，若a c＝c a，则b d与d b的大小关系为（）A．b d＜d b B．b d＝d b C．b d＞d b D．不确定【解答】解：若a c＝c a，则clna＝alnc，即＝，设f（x）＝，则f′（x）＝，令f′（x）＞7，解得：x＜e，解得：x＞e，故f（x）在（0，e）递增，+∞）递减，由＝和0＜a＜b＜c＜d，故＞＞，故b d＞d b，故选：C．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．（5分）若曲线y＝（ax+3）e x在点（0，3）处的切线的斜率为﹣1，则a的值为﹣4．【解答】解：记f（x）＝（ax+3）e x，所以f'（x）＝（ax+3+a）e x．由题意得，f'（0）＝5+a＝﹣1．故答案为：﹣4．14．（5分）为贯彻“科学防疫”，学校实行“佩戴口罩、间隔而坐”的方案．若一排有10个座位，安排5名同学就坐720种不同的安排方法（用数字作答）．【解答】解：先安排5个空位不坐学生，5个空位之间有7个空位，则有＝720种，故答案为：720．15．（5分）观察等式：f（）+f（）＝1；f（）+f（）+f（）＝；f（）+f（）+f（）（）＝2；f（）+f（）+f（）（）+f（）＝；…由以上几个等式的规律可猜想＝1010．【解答】解：由已知中的等式：f（）+f（；f（）+f（）＝；f（）+f（）+f（；f（）+f（）+f（）＝；…归纳可得：等式左边自变量的分母为n时，分母由1以1为公差递增到n﹣3，分子为n ﹣1，故f（）+f（）+…+f（）＝，故答案为：101016．（5分）已知函数在（2，4）内存在极小值，则实数a的取值范围为．【解答】解：∵函数，∴f′（x）＝+（a﹣7）﹣，∴当x∈（5，4）时+＝＞0恒成立，∴f′（x）＝+（a﹣1）﹣，4）上单调递增，∵函数在（8，∴，即，解得，∴实数a的取值范围为（，），故答案为：（，）．三、解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个考题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17．（12分）已知z是复数，﹣4是纯虚数，为实数．（1）求复数z；（2）若复数（z+ai）2在复平面上对应的点位于第二象限，求实数a的取值范围．【解答】解：（1）设z＝a+bi，a，b∈R，∵﹣4＝a﹣bi﹣4＝（a﹣5）﹣bi是纯虚数，∴，解得，∵＝＝为实数，∴，解得b＝﹣7，∴z＝4﹣2i．（2）（z+ai）8＝（4﹣2i+ai）6＝[4+（a﹣2）i]3＝16﹣（a﹣2）2+2（a﹣2）i，∵复数（z+ai）2在复平面上对应的点位于第二象限，∴，解得a＞6，故a的取值范围为（6，+∞）．18．（12分）已知的展开式中第三项的二项式系数比第二项的二项式系数大35，前三项的系数和为201．（1）求正实数a，n的值；（2）求展开式中系数最大的项．【解答】解：（1）∵第三项的二项式系数比第二项的二项式系数大35．∴﹣＝35，即，解得n＝10或n＝﹣7（舍）．∵前三项的系数和为201，∴+a+a7＝201，即9a2+4a﹣40＝0，解得a＝2或a＝﹣（舍），故a＝2，n＝10．（2）展开式的通项公式为＝2r，则，解得，∴r＝4，∴展开式中系数最大的项为T8＝23＝15360．19．（12分）已知数列{a n}满足S n+a n＝n．（1）写出a1，a2，a3，并推测a n的表达式；（2）用数学归纳法证明a n的表达式．【解答】解：（1）当n＝1时，S1+a2＝2a1＝3，解得a1＝，当n＝2时，S2+a6＝2a2+a6＝2，解得a2＝，当n＝3时，S2+a3＝a1+a3+2a3＝7，解得a3＝，故推测．（2）①当n＝1时，a1＝，②假设当n＝k时，命题成立，，当n＝k+1时，S k+6+a k+1＝k+1，即S k+7a k+1＝k﹣a k+2a k+5＝k+1，∵，∴2a k+3＝2﹣，∴，即当n＝k+6时，根据①②得n∈N*，都成立．20．（12分）已知函数f（x）＝e x﹣a（x+3）．（1）当a＝1时，求f（x）的最小值；（2）若f（x）有两个零点，求实数a的取值范围．【解答】解：（1）当a＝1时，f（x）＝e x﹣x﹣3，f'（x）＝e x﹣7，因为f'（0）＝0，所以f（x）＝e x﹣x﹣3在区间（﹣∞，3）上单调递减，+∞）上单调递增，所以f（x）在x＝0时取得极小值，也是最小值f（0）＝﹣2；（2）因为f（x）有两个零点，所以方程f（x）＝3有两个不同的根，即关于x的方程e x＝a（x+3）有两个不同的解，当x＝﹣3时，方程不成立，令g（x）＝，则y＝a与g（x）＝的图象有两个交点（x≠﹣3），令g'（x）＞4，得x＞﹣2，得x＜﹣2，所以g（x）在（﹣7，+∞）上单调递增，﹣3），﹣2）上单调递减，又当x→﹣∞时，g（x）→4﹣，当x→﹣3﹣时，g（x）→﹣∞+时，g（x）→+∞，g（﹣2）＝e﹣7，作图如下：若f（x）有两个零点，实数a的取值范围为．21．（12分）已知函数f（x）＝x（lnx﹣a﹣1），a∈R．（1）当a＝﹣1时，求曲线y＝f（x）在点（1，f（1）；（2）当x＞1时，讨论函数f（x）的单调区间和极值；（3）若对任意的x∈[1，e2]，都有f（x）＜lnx成立【解答】解：（1）函数f（x）＝x（lnx﹣a﹣1）的定义域为（0，+∞），当a＝﹣5时，f（x）＝xlnx，f′（1）＝1，又f（1）＝0，∴曲线y＝f（x）在点（5，f（1））处的切线方程为y＝x﹣1；（2）∵f（x）＝x（lnx﹣a﹣1），∴f′（x）＝lnx﹣a（x＞5），当a≤0时，f′（x）＞0a，+∞）上单调递增，无极值；当a＞7时，令f′（x）＝0得x＝e a，f（x）在（1，e a）上单调递减，在（e a，+∞）上单调递增；∴f（x）极小值＝f（e a）＝ae a﹣ae a﹣e a＝﹣e a；综上所述，当a≤3时，f（x）在（1，无极值；当a＞0时，f（x）在（6，e a）上单调递减，在（e a，+∞）上单调递增，f（x）极小值＝f（e a）＝﹣e a；（3）对于任意x∈[1，e2]，都有f（x）＜lnx成立，e6]，x（lnx﹣a﹣1）＜lnx恒成立，等价于a+1＞对于任意x∈[1，e2]恒成立．令F（x）＝＝lnx﹣2），则F′（x）＝﹣＝，e2]上单调递增，所以F（x）最大值＝F（e2）＝6﹣，则当x∈[5，e2]时，a+1＞7﹣，所以a＞7﹣，即实数a的取值范围为．（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做第一题计分.22．（10分）在平面直角坐标系xOy中，M为曲线C1：（α为参数）上的动点，将M点的纵坐标不变2，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．（1）求曲线C2的极坐标方程；（2）已知A，B是曲线C2上的两点，且，求|OA|+|OB|的取值范围．【解答】解：（1）M为曲线C1：（α为参数）上的动点，横坐标变为原来的一半得N点2，故，整理得：（x+4）2+y2＝6，根据．（2）设A（ρ1，θ），B（），，所以|OA|+|OB|＝|ρ1|+|ρ2|＝＝，由于，所以，故．23．已知关于x的不等式|2x+1|+|x﹣1|≤6的解集为M．（1）求集合M中的最大数m；（2）若正数x，y满足x2+y2＝m，求证：x+y≥2xy．【解答】（1）解：当x＜﹣时，|2x+1|+|x﹣1|≤5化为﹣3x≤6；当﹣≤x≤1时，即x≤4，则；当x＞1时，|7x+1|+|x﹣1|≤5化为3x≤6，则3＜x≤2．∴M＝[﹣2，3]，∴集合M中的最大数m＝2；（2）证明：由m＝2，得x2+y2＝2，又x，∴要证x+y≥3xy，只要证（x+y）2≥4x5y2，即证2x4y2﹣xy﹣1≤8，也就是证（2xy+1）（xy﹣2）≤0，∵2xy+5＞0，∴只需证xy≤1，∵7xy≤x2+y2＝2，∴xy≤1成立，故x+y≥2xy．。
河南省天一大联考2020-2021学年高二阶段性测试（一）+数学（理）含答案
河南省天⼀⼤联考2020-2021学年⾼⼆阶段性测试（⼀）+数学（理）含答案2020－2021学年⾼⼆年级阶段性测试(⼀)数学(理科)考⽣注意：1.答题前考⽣务必将⾃⼰的姓名、考⽣号填写在试卷和答题卡上，并将考⽣号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2.回答选择题时，选出每⼩题答案后，⽤铅笔把答题卡对应题⽬的答案标号涂⿊。
如需改动，⽤橡⽪擦⼲净后，再选涂其他答案标号。
回答⾮选择题时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上⽆效。
3.考试结束后，将本试卷和答题卡⼀并交回。
⼀、选择题：本题共12⼩题，每⼩题5分，共60分。
在每⼩题给出的四个选项中，只有⼀项是符合题⽬要求的。
1.在△ABC 中，BC ＝10，sinA ＝31，则△ABC 的外接圆半径为 A.30 3 C.20 D.15 2.已知数列{a n }满⾜a 1＝1，a n ＋1＝a n ＋6，则a 5＝ A.25 B.30 C.32 D.64 3.已知在△ABC 中，⾓A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a 2＝b 2＋c 2－1013bc ，则cosA ＝ A.726 B.513 C.1726 D.12134.已知在△ABC 中，⾓A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，2a －20sinA ＝0，sinC ＝110，则c ＝ 2 B.22 C.25 D.2105.已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 3＋a 8＝m ，S 10＝pm ，则p ＝ A.3 B.5 C.6 D.106.⾳乐与数学有着密切的联系，我国春秋时期有个著名的“三分损益法”：以“宫”为基本⾳“宫”经过⼀次“损”，频率变为原来的3 2，得到“徵”，“徵”经过⼀次“益”，频率变为原来的34，得到“商”……依此规律损益交替变化，获得了“宫”“徵”“商”“⽻”“⾓”五个⾳阶。
据此可推得上⼀页下⼀页。
河南省名校联盟2020-2021学年高二上学期期中考试 数学(文) Word版含答案
绝密★启用前河南名校联盟2020－2021学年高二(上)期中考试数学(文科)考生注意：1.本试卷共8页。
时间120分钟，满分150分。
答题前，考生先将自己的姓名、考生号填写在试卷指定位置，并将姓名、考场号、座位号、考生号填写在答题卡上，然后认真核对条形码上的信息，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
作答非选择题时，将答案写在答题卡上对应的答题区域内。
写在本试卷上无效。
3.考试结束后，将试卷和答题卡一并收回。
第I 卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合A ＝{－2，－1，0，1，2}，B ＝{1，2，3}，则A ∩B ＝A.{－1，0，1，2}B.{－1，0，1}C.{－1，0}D.{1，2}2.函数f(x)＝()212log x 2x 3--的单调递增区间为A.(－∞，－1)B.(－∞，1)C.(1，＋∞)D.(3，＋∞)3.已知sin(32π＋α)＝35，0<α<π，则tan α＝ A.34 B.43 C.－34 D.－43 4.新莽铜嘉量是由王莽国师刘歆等人设计制造的标准量器，它包括了龠、合、升、斗、斛这五个容量单位。
每一个量又有详细的分铭，记录了各器的径、深、底面积和容积.根据铭文不但可以直接测得各容量单位的量值，而且可以通过对径、深各个部位的测量，得到精确的计算容积，从而推算出当时的标准尺度.现根据铭文计算，当时制造容器时所用的圆周率分别为3.1547，3.1992，3.1498，3.2031，比周三径一的古率已有所进步，则上面四个数与祖冲之给出的约率(227≈3.1429)、密率(355113≈3.1416)，这6个数据的中位数(精确到万分位)与极差分别为A.3.1429，0.0615B.3.1523，0.0615C.3.1498，0.0484D.3.1547，0.04845.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为A.4πB.103π C.3π D.83π (6.已知函数f(x)＝()x 2m,x 0f x 2,x 0⎧+>⎪⎨+≤⎪⎩，若f(log 234)＝2，则实数m 为 A.1 B.2 C.－1 D.－27.已知函数f(x)＝2sin ωxcos ωx －23cos 2ωx ，且f(x)图象的相邻对称轴之间的距离为4π，则当x ∈[0，4π]时，f(x)的最小值为 A.－1 B.－2 C.－3 D.－238.已知S n 为等差数列{a n }的前n 项和，a 1＋a 3＝2，S 6－S 3＝6，则{a n }的公差d ＝A.13B.12C.1D.2 9.运行下面的程序框图，则输出k 的值为A.6B.5C.4D.310.已知直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AC ＝BC ＝CC 1＝1，∠ACB ＝60°，则异面直线B 1C 与AC 1所成角的余弦值为 A.16 B.13 C.14 D.1511.在△ABC 中，角A ，B ，C 的对应边分别为a ，b ，c ，△ABC 的面积为S ，若S ＝acosB ＋bcosA ，cos2A ＋sinA －79＝0，角A 为锐角，c ＝ABC 的外接圆的面积为 A.4π B.8116π C.6π D.254π 12.已知在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AB ⊥BC ，AB ＝6，BC ＝8，且此三棱柱有内切球，则此三棱柱的内切球与外接球的表面积的比为A.2：5B.4：25C.2D.4：29第II 卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。
2020-2021学年河南省名校联盟高二上学期期中(文科)数学试卷 (解析版)
2020-2021学年河南省名校联盟高二（上）期中数学试卷（文科）一、选择题（共12小题）.1．（5分）已知集合A＝{﹣2，﹣1，0，1，2}，B＝{1，2，3}，则A∩B＝（）A．{﹣1，0，1，2}B．{﹣1，0，1}C．{﹣1，0}D．{1，2}2．（5分）函数f（x）＝（x2﹣2x﹣3）的单调递增区间是（）A．（﹣∞，﹣1）B．（﹣∞，1）C．（1，+∞）D．（3，+∞）3．（5分）已知sin（+α）＝，0＜α＜π，则tanα＝（）A．﹣B．﹣C．D．4．（5分）新莽铜嘉量是由王莽国师刘歆等人设计制造的标准量器，它包括了龠、合、升、斗、斛这五个容量单位．每一个量又有详细的分铭，记录了各器的径、深、底面积和容积．根据铭文不但可以直接测得各容量单位的量值，而且可以通过对径、深各个部位的测量，得到精确的计算容积，从而推算出当时的标准尺度．现根据铭文计算，当时制造容器时所用的圆周率分别为3.1547，3.1992，3.1498，3.2031，比周三径一的古率已有所进步，则上面四个数与祖冲之给出的约率（≈3.1429）、密率（≈3.1416），这6个数据的中位数（精确到万分位）与极差分别为（）A．3.1429，0.0615B．3.1523，0.0615C．3.1498，0.0484D．3.1547，0.04845．（5分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．4πB．πC．3πD．π6．（5分）已知函数f（x）＝，若f（log2）＝2，则实数m为（）A．1B．2C．﹣1D．﹣27．（5分）已知函数f（x）＝2sinωx cosωx﹣2cos2ωx，且f（x）图象的相邻对称轴之间的距离为，则当x∈[0，]时，f（x）的最小值为（）A．﹣1B．﹣C．﹣D．﹣28．（5分）已知S n为等差数列{a n}的前n项和，a1+a3＝2，S6﹣S3＝6，则{a n}的公差d＝（）A．B．C．1D．29．（5分）运行如图的程序框图，则输出k的值为（）A．6B．5C．4D．310．（5分）已知直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AC＝BC＝CC1＝1，∠ACB＝60°，则异面直线B1C与AC1所成角的余弦值为（）A．B．C．D．11．（5分）在△ABC中，角A，B，C的对应边分别为a，b，c，△ABC的面积为S，若S＝a cos B+b cos A，cos2A+sin A﹣＝0，角A为锐角，c＝2，则△ABC的外接圆的面积为（）A．4πB．C．6πD．12．（5分）已知在直三棱柱ABC﹣A1B1C中，AB⊥BC，AB＝6，BC＝8，且此三棱柱有内切球，则此三棱柱的内切球与外接球的表面积的比为（）A．2：5B．4：25C．2：D．4：29二、填空题（共4小题）13．（5分）已知向量＝（2，1），＝（﹣1，1），＝（2，m）．若（+）⊥，则m＝．14．（5分）如果a＞0，b＞0，（2a）b＝16，则a+2b的最小值为．15．（5分）已知函数f（x）＝2cos（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜π）的图象关于原点对称，且在区间[﹣，]上是减函数，则ω的取值范围为．16．（5分）设x，y满足约束条件，则z＝|4x﹣3y﹣2|的取值范围为．三、解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（10分）已知△ABC的内角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，且b cos A＝2c cos C ﹣a cos B．（Ⅰ）求C的大小；（Ⅱ）若c＝2，b＝2a，求△ABC的面积．18．（12分）已知数列{a n}中，a1＝1，数列{a n}的前n项和为S n，且S n＝n（n+1）（2n+1）．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）求证：++…+＜2．19．（12分）如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧面AA1B1B是边长为2的菱形，AC⊥平面AA1B1B，且AC＝2，点E为A1C1的中点，O为BA1与AB1的交点．（Ⅰ）证明：BA1⊥平面AB1C；（Ⅱ）若∠ABB1＝60°，求三棱锥E﹣B1AC的体积．20．（12分）已知正项数列{a n}的前n项和为S n，且4S n＝a n2+2a n+1，数列{a n•2n}的前n 项和为T n．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）求T n．21．（12分）已知函数f（x）＝A sin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，0＜φ＜）的部分图象如图所示，最高点的坐标为（1，1）．（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；（Ⅱ）将f（x）的图象向左平移4个单位长度，横坐标扩大为原来的倍，得到g（x）的图象，求函数g（x）在[﹣π，2π]上的单调递增区间；（Ⅲ）若存在x∈[﹣，3]，对任意a∈[﹣1，1]，不等式f（x）﹣m2+2am+≤0恒成立，求m的取值范围．22．（12分）已知在边长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1、中，点E，F，G分别为AA1，A1B1，A1D1的中点．（Ⅰ）从A，B1，D1，E，F，G这六个点中任取四点，求这四点共面的概率；（Ⅱ）点P为正方形ABCD内的任意一点，求点P在以A1为球心，为半径的球内的概率．参考答案一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）已知集合A＝{﹣2，﹣1，0，1，2}，B＝{1，2，3}，则A∩B＝（）A．{﹣1，0，1，2}B．{﹣1，0，1}C．{﹣1，0}D．{1，2}解：∵A＝{﹣2，﹣1，0，1，2}，B＝{1，2，3}，∴A∩B＝{1，2}．故选：D．2．（5分）函数f（x）＝（x2﹣2x﹣3）的单调递增区间是（）A．（﹣∞，﹣1）B．（﹣∞，1）C．（1，+∞）D．（3，+∞）解：由x2﹣2x﹣3＞0得x＜﹣1或x＞3，当x∈（﹣∞，﹣1）时，f（x）＝x2﹣2x﹣3单调递减，而0＜＜1，由复合函数单调性可知y＝log0.5（x2﹣2x﹣3）在（﹣∞，﹣1）上是单调递增的，在（3，+∞）上是单调递减的．故选：A．3．（5分）已知sin（+α）＝，0＜α＜π，则tanα＝（）A．﹣B．﹣C．D．解：因为sin（+α）＝，所以cosα＝，又因为0＜α＜π，所以α为第二象限角，所以sinα＝，可得tanα＝﹣．故选：A．4．（5分）新莽铜嘉量是由王莽国师刘歆等人设计制造的标准量器，它包括了龠、合、升、斗、斛这五个容量单位．每一个量又有详细的分铭，记录了各器的径、深、底面积和容积．根据铭文不但可以直接测得各容量单位的量值，而且可以通过对径、深各个部位的测量，得到精确的计算容积，从而推算出当时的标准尺度．现根据铭文计算，当时制造容器时所用的圆周率分别为3.1547，3.1992，3.1498，3.2031，比周三径一的古率已有所进步，则上面四个数与祖冲之给出的约率（≈3.1429）、密率（≈3.1416），这6个数据的中位数（精确到万分位）与极差分别为（）A．3.1429，0.0615B．3.1523，0.0615C．3.1498，0.0484D．3.1547，0.0484解：因为≈3.1429，≈3.1416，所以这6个数据的中位数是＝3.15225≈3.1523，极差为3.2031﹣3.1416＝0.0615．故选：B．5．（5分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．4πB．πC．3πD．π解：由三视图知，此几何体是一个组合体，上面是圆锥，其底面半径为2，高为2，下面是半圆柱，底面半圆直径为2，高为1的半个圆柱．所以组合体的体积为V＝×π×22×1+××π×22×2＝．故选：D．6．（5分）已知函数f（x）＝，若f（log2）＝2，则实数m为（）A．1B．2C．﹣1D．﹣2解：∵函数f（x）＝，f（log2）＝2，＜0，∴f（log2）＝f（+2）＝f（log23）＝+m＝3+m＝2，解得m＝﹣1．故选：C．7．（5分）已知函数f（x）＝2sinωx cosωx﹣2cos2ωx，且f（x）图象的相邻对称轴之间的距离为，则当x∈[0，]时，f（x）的最小值为（）A．﹣1B．﹣C．﹣D．﹣2解：因为f（x）＝2sinωx cosωx﹣2cos2ωx＝sin2ωx﹣2×＝sin2ωx﹣cos2ωx﹣＝2sin（2ωx﹣）﹣，由题意可知f（x）的最小正周期为2×＝，所以＝，即ω＝2，所以f（x）＝2sin（4x﹣），当x，4x﹣∈[﹣，]，所以2sin（4x﹣）∈[﹣，2]，所以f（x）＝2sin（4x﹣）﹣∈[﹣2，2﹣]，因此函数f（x）的最小值为﹣2．故选：D．8．（5分）已知S n为等差数列{a n}的前n项和，a1+a3＝2，S6﹣S3＝6，则{a n}的公差d＝（）A．B．C．1D．2解：∵a1+a3＝2，∴2a2＝2，∴a2＝1，∵S6﹣S3＝6，∴a6+a5+a4＝6，∴3a5＝6，∴a5＝2，∴a5﹣a2＝3d＝2﹣1＝1，∴d＝，故选：A．9．（5分）运行如图的程序框图，则输出k的值为（）A．6B．5C．4D．3解：模拟程序的运行，可得第一次循环，a＝，k＝2，b＝；第二次循环，a＝，k＝3，b＝；第三次循环，a＝，k＝4，b＝；第四次循环，a＝，k＝5，b＝；第五次循环，a＝，k＝6，b＝，此时不满足b＞，故退出循环，输出k的值为6．故选：A．10．（5分）已知直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AC＝BC＝CC1＝1，∠ACB＝60°，则异面直线B1C与AC1所成角的余弦值为（）A．B．C．D．解：将直三棱柱ABC﹣A1B1C1补成如图所示的直四棱柱ACBD﹣A1C1B1D1，连接AD1，D1C1，由题意知∠D1AC1或其补角为异面直线B1C与AC1所成角，在△A1D1C1中，由余弦定理得：DC1＝＝，∵D1A＝，C1A＝，∴cos∠D1AC1＝＝，∴异面直线B1C与AC1所成角的余弦值为．故选：C．11．（5分）在△ABC中，角A，B，C的对应边分别为a，b，c，△ABC的面积为S，若S＝a cos B+b cos A，cos2A+sin A﹣＝0，角A为锐角，c＝2，则△ABC的外接圆的面积为（）A．4πB．C．6πD．解：因为S＝a cos B+b cos A，所以ab sin C＝a cos B+b cos A，由正弦定理可得sin Ab sin C＝sin A cos B+sin B cos A＝sin C，可得b sin A＝2，因为cos2A+sin A﹣＝﹣2sin2A+sin A＝0，所以18sin2A﹣9sin A﹣2＝0，解得sin A＝（A为锐角，负值舍去），所以cos A＝，b＝3，所以a2＝b2+c2﹣2bc cos A＝9+20﹣2×＝9，解得a＝3，设△ABC的外接圆的半径为r，则，即＝2r，解得r＝，所以所求的△ABC的外接圆的面积为πr2＝．故选：B．12．（5分）已知在直三棱柱ABC﹣A1B1C中，AB⊥BC，AB＝6，BC＝8，且此三棱柱有内切球，则此三棱柱的内切球与外接球的表面积的比为（）A．2：5B．4：25C．2：D．4：29解：由题意可得△ABC的内切圆的半径为＝2，所以要使此三棱柱有内切球，则此三棱柱的高AA1＝4，所以内切球的半径r＝2，取AC的中点D，A1C1的中点为E，则DE的中点为O为外接球的球心，所以外接球的半径R＝＝，因此三棱柱的内切球与外接球的表面积的比为4πr2：4πR2＝4：29，故选：D．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．（5分）已知向量＝（2，1），＝（﹣1，1），＝（2，m）．若（+）⊥，则m＝﹣1．解：∵向量＝（2，1），＝（﹣1，1），＝（2，m），若（+）⊥，则（+）•＝•+•＝4+m+（﹣2+m）＝0，∴m＝﹣1，故答案为：﹣1．14．（5分）如果a＞0，b＞0，（2a）b＝16，则a+2b的最小值为4．解：a＞0，b＞0，（2a）b＝16，∴2ab＝24，∴ab＝4，∴a+2b≥2＝2＝4，当且仅当a＝2b即a＝2，b＝时等号，故a+2b的最小值为4，故答案为：4．15．（5分）已知函数f（x）＝2cos（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜π）的图象关于原点对称，且在区间[﹣，]上是减函数，则ω的取值范围为（0，]．解：∵函数f（x）＝2cos（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜π）的图象关于原点对称，∴f（x）为奇函数，故φ＝，f（x）＝2cos（ωx+）＝﹣2sinωx．由于f（x）在区间[﹣，]上是减函数，∴ω×（﹣）≥﹣，且ω×≤，求得0＜ω≤，故答案为：（0，]．16．（5分）设x，y满足约束条件，则z＝|4x﹣3y﹣2|的取值范围为[，9]．解：画出不等式组表示的平面区域，如图阴影部分所示：π令z1＝4x﹣3y，平移直线4x﹣3y＝0，可得在A处z1取得最小值，在C处取得最大值；联立，解得点A（﹣1，1），联立，解得点C（，）；所以z1的最小值为2×（﹣1）﹣3×1＝﹣7，z1的最大值为4×﹣3×＝，所以z1＝4x﹣3y的取值范围是[﹣7，]，所以4x﹣3y﹣2∈[﹣9，﹣]，所以z＝|4x﹣3y﹣2|的取值范围是[，9]．故答案为：[，9]．三、解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（10分）已知△ABC的内角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，且b cos A＝2c cos C ﹣a cos B．（Ⅰ）求C的大小；（Ⅱ）若c＝2，b＝2a，求△ABC的面积．解：（Ⅰ）由正弦定理可得sin B cos A+sin A cos B＝2sin C cos C，所以sin（A+B）＝2sin C cos C，所以sin C＝2sin C cos C，又因为sin C≠0，所以cos C＝，因为C∈（0，π），所以C＝．（Ⅱ）因为c＝2，所以由余弦定理可得22＝a2+b2﹣2ab×，即a2+b2﹣ab﹣4＝0，又b＝2a，解得a＝，b＝，所以S△ABC＝ab sin C＝＝．18．（12分）已知数列{a n}中，a1＝1，数列{a n}的前n项和为S n，且S n＝n（n+1）（2n+1）．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）求证：++…+＜2．解：（Ⅰ）由于S n＝n（n+1）（2n+1）①．当n≥2时，S n﹣1＝（n﹣1）n（2n﹣1）②．①﹣②得：，（首项符合通项），故．证明：（Ⅱ）由（Ⅰ）得，所以：++…+＝＝2﹣．19．（12分）如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧面AA1B1B是边长为2的菱形，AC⊥平面AA1B1B，且AC＝2，点E为A1C1的中点，O为BA1与AB1的交点．（Ⅰ）证明：BA1⊥平面AB1C；（Ⅱ）若∠ABB1＝60°，求三棱锥E﹣B1AC的体积．【解答】证明：（Ⅰ）∵侧面AA1B1B是边长为2的菱形，∴A1B⊥AB1，∵AC⊥平面AA1B1B，A1B⊂平面AA1B1B，∴AC⊥A1B，∵AB1∩AC＝A，∴BA1⊥平面AB1C；解：（Ⅱ）∵∠ABB1＝60°，侧面AA1B1B是边长为2的菱形，∴△ABB1为等边三角形，则AB1＝2，，如图，连接CA1，∵A1C1∥AC，∴＝．∴三棱锥E﹣B1AC的体积为．20．（12分）已知正项数列{a n}的前n项和为S n，且4S n＝a n2+2a n+1，数列{a n•2n}的前n 项和为T n．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）求T n．解：（Ⅰ）正项数列{a n}的前n项和为S n，且4S n＝a n2+2a n+1①，当n＝1时，解得a1＝1，当n≥2时，4S n﹣1＝a n﹣12+2a n﹣1+1，②，①﹣②得：（a n+a n﹣1）（a n﹣a n﹣1）﹣2（a n+a n﹣1）＝0，所以a n﹣a n﹣1＝2（常数），所以数列{a n}是以1为首项，2为公差的等差数列．所以a n＝2n﹣1．（Ⅱ）设，所以①，②，①﹣②得：，＝2×（21+22+…+2n）﹣（2n﹣1）•2n+1﹣2，＝，整理得．21．（12分）已知函数f（x）＝A sin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，0＜φ＜）的部分图象如图所示，最高点的坐标为（1，1）．（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；（Ⅱ）将f（x）的图象向左平移4个单位长度，横坐标扩大为原来的倍，得到g（x）的图象，求函数g（x）在[﹣π，2π]上的单调递增区间；（Ⅲ）若存在x∈[﹣，3]，对任意a∈[﹣1，1]，不等式f（x）﹣m2+2am+≤0恒成立，求m的取值范围．解：（Ⅰ）由题意可得A＝1，＝8，即ω＝，将（1，1）代入f（x）＝A sin（x+φ），可得sin（+φ）＝1，所以φ＝+2kπ，k∈Z，因为0＜φ＜，所以φ＝，所以f（x）＝sin（x+）．（Ⅱ）根据题意可得g（x）＝﹣sin（x+），令t＝x+，则t∈[﹣，]，令≤x≤，所以≤x+≤，则≤x≤2π，所以函数g（x）在[﹣π，2π]上的单调递增区间为[，2π]．（Ⅲ）因为f（x）﹣m2+2am+≤0，所以f（x）≤m2﹣2am﹣，因为x，所以f（x）∈[﹣，1]，由题意可知﹣≤m2﹣2am﹣，所以2ma﹣m2+3≤0，可视为以a为自变量的不等式M（a）≤0，所以，解得，解得m≥3，或m≤﹣3，则m的取值范围为（﹣∞，﹣3]∪[3，+∞）．22．（12分）已知在边长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1、中，点E，F，G分别为AA1，A1B1，A1D1的中点．（Ⅰ）从A，B1，D1，E，F，G这六个点中任取四点，求这四点共面的概率；（Ⅱ）点P为正方形ABCD内的任意一点，求点P在以A1为球心，为半径的球内的概率．解：（Ⅰ）从这6个点中随机选取4个点的所有可能结果与从这6个点中随机选取2个点的所有可能结果相同，即AB1，AD1，AE，AF，AG，B1D1B1E，B1F，B1G，D1E，D1F，D1G，EF，EG，FG，共15种，根据题意可知，四点共面的情况只有AEGD1，B1FGD，AEFB1，共3种，故四点共面的概率为＝；（Ⅱ）根据题意可知，点P为正方形ABCD内的任意以点，故点P的轨迹面积为4，∵满足条件的点P在以A1为球心，为半径的球内，故A1P≤，即≤，故AP≤，故满足条件的点P的轨迹面积为π×＝，故所求的概率为＝．。
河南省顶级名校2020—2021学年高二上学期期中考试-理科数学答案
高二年级《 理科数学 》期中试卷参考答案1-6 BBDDCD 7-12 BDCAAB 13. 28 14. {}|12x x -<≤ 15. 3-17. 解关于的不等式:(-)<0.解：(1)当=0时,原不等式可化为--1)<0,即>1.故此不等式的解集为{}1.x x > (2)当≠0时,原不等式可化为(-1)<0, ①若<0,则原不等式可化为(-1)>0,由于<0,则有<1,解得或>1. 故此不等式的解集为{}11.x x x a ><或②若>0,则原不等式可化为(-1)<0,则有：当=1时,=1, 故此不等式的解集为.∅当>1时,<1,解得<<1; 故此不等式的解集为{}11.x x a << 当0<<1时,>1,解得1<<. 故此不等式的解集为{}11.x x a <<18. (1)当时,,则, 当时,由, 得, 相减得=, 即,经验证时也成立,所以数列的通项公式为.所以数列的前项和为:= =.19. (1)由已知及正弦定理得=,∴=,化简并整理得, 即,∴, 从而.(2)由余弦定理得, ∴, 又,∴,即, ∴,从而, ∴的周长的最大值为15. 20. 由题意，和为方程 的两根，则解得由知，， .因为 恒成立，则 ，解得： .21. （1）当070x <<时，2211100404006040022y x x x x x ⎛⎫=-+-=-+- ⎪⎝⎭；当70x ≥时，6400640010010120604001660y x x x x x ⎛⎫⎛⎫=-+--=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∴2160400,070,264001660,70.x x x x y x x x x ⎧-+-<<∈⎪⎪=⎨⎛⎫⎪-+≥∈ ⎪⎪⎝⎭⎩N N 且且（2）当070x <<时，()22116040060140022y x x x =-+-=--+.当60x =时，y 取最大值1400万元；当70x ≥时， 640064001660166021500y x x x x ⎛⎫=-+≤-⋅= ⎪⎝⎭，当且仅当80x =时，取等号. 综上所述，当月产量为80台时，该企业能获得最大月利润，其利润为1500万元.22. (1)由题意,而, 即,即,所以数列是以为首项,公比为的等比数列.(2)由(1),得,∴.令,则,①,②①②得,===. 所以.。
河南省八市重点高中2020—2021学年高二上学期12月联合考试数学(理)答案
高二数学（理科）答案与解析1．【答案】C 【命题意图】本题考查正余定理解三角形，意在考查学生对基础知识的掌握情况.是基础题.【解析】依题意，cos 2C =，所以1sin 2C =，由正弦定理可得，sin sin 2b C Bc ==，又0,,π<<>∴>B b a B A ，60︒∴=B 或120B = .故选C.2．【答案】D 【命题意图】本题考查不等式的性质，主要考查学生对不等式之间关系的判断，属于基础题.【解析】因为a b >，当0c =时，A 不成立，因为11b a a b ab--=，虽然有a b >，但是ab 的正负无法确定，故B 错误；当0a <时，C 错误；D 选项，3322()()0a b a b a ab b -=-++>，故选D.3．【答案】A 【命题意图】本题主要考查充分必要条件的判断以及空间中的位置关系.考查学生逻辑推理和空间想象等核心素养.是中档题.【解析】根据面面垂直的判定定理，可知因为//l α，必存在l α'⊂且//l l '，由l β⊥可推出αβ⊥，反之，若,//l αβα⊥，则l 与β的位置关系不确定，所以“l β⊥”是“αβ⊥”的充分不必要条件.故选A.4．【答案】C 【命题意图】本题考查双曲线的基本性质，考查学生的基本运算能力.是中档题.【解析】根据双曲线()222210,0y x a b a b-=>>的的渐近线方程为y x =，所以a b =，又焦距为4，所以224a b +=，解得a b ==，所以2y =，所以抛物线的准线方程是4x =-，故选C.5．【答案】C 【命题意图】本题考查等差数列的基本运算，考查学生对等差数列基本量之间关系的掌握程度.是基础题.【解析】因为等差数列{}n a 的前n 和为n S ，1252=15a a S ⋅=⎧⎨⎩，即111525()()152a a a a d =⎧⎪⎨+=+⎪⎩，解之得1114a a ==-或，当11a =，所以1d =，解得44a =；当14a =-时，72d =，此时4132a =.故选C.6．【答案】D【命题意图】本题考查四种命题以及命题的真假性判定.意在考查学生的逻辑推理素养，是中档题.【解析】A ．命题命题“若ln ln 0a b +=，则1a b ⋅=”的逆命题为“若1a b ⋅=，则ln ln 0a b +=，是假命题；B ．因为1a >时，01a >-，所以该命题是假命题在故B 错；C ．,A B 是随机事件，命题：“若()()()P A P B P A B += ，则,A B 是互斥事件”的否定是：“若()()()P A P B P A B += ，则,A B 不是互斥事件”．故C 错.D ．由椭圆的定义，可知命题“到两个定点的距离之和为定值的点的轨迹是椭圆”的逆命题是真命题，故选D.【命题意图】本题考查等比数列的性质，意在考查学生对性质的灵活运用.是中档题.【解析】因为数列{}n a 为正项等比数列，因为2918a a ⋅=，所以295618a a a a ⋅=⋅=，而251625262562log log log log log ()3a a a a a a -=+=⋅=-，故选A.8．【答案】C【命题意图】本题考查简单的线性规划，考查了学生的数形结合思想和逻辑推理能力.是中档题.【解析】由约束条件20,20,2x y x y x -+≥⎧⎪+-≥⎨⎪≤⎩作出可行域如图：由目标函数2z x y =-变形为122zy x =-，当直线322zy x =-经过图中(2,4)时，z 最小，所以min 6z =-.故选C.9．【答案】B【命题意图】本题考查椭圆的几何性质，考查学生的数学抽象和数学运算素养.属于较难题.【解析】由题意可得，该椭圆的半焦距c =，取椭圆的右焦点)1F 以及PF 中点E ，连接1PF ，如图，因为OP OF ==，所以5cos 5∠=PFO ，所以||1,||2==EF OE ，所以14PF =，2FP =，所以126a PF PF =+=，即3a =，所以2224b a c =-=，所以椭圆方程为22194x y +=.故选B.10．【答案】B 【命题意图】本题考查基本不等式，意在考查学生对基本不等式的灵活运用，是中等题.【解析】∵m ，0n >，2m n +=，所以11111()()1311m n m n m n +=+++++∴1114(11)(23133n m m n +=+++≥+=+，当且仅当11n m m n +=+，即32m =，12n =时取等号，故111m n ++的最小值43.故选B.【命题意图】本题考查含参数的一元二次不等式，意在考查学生的分类讨论和函数思想的应用，属于中等题.【解析】因为一元二次不等式220x mx +->的解集为{|21}x x x <->或，所以21m -=-+，即1m =，所以不等式220x x m -++<即2210x x -++<，所以不等式220x x m -++<的解集为1(,)(1,)2-∞-+∞ .故选D.12．【答案】A 【命题意图】本题考查抛物线的几何性质，意在考查学生的数学抽象和数学运算能力，属于难题.【解析】根据抛物线的定义可知AF AC =，由于AC 垂直抛物线的准线，所以//AC x 轴，所以AFx CAF ∠=∠.设200,2y A y p ⎛⎫⎪⎝⎭，则0,,,022p p C y F ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，设D 是CF 的中点，则00,2y D ⎛⎫ ⎪⎝⎭.所以直线AD 的方程为()0002020202y y y y x y p--=--，即002y p y x y =+.由00222y p y x y y px⎧=+⎪⎨⎪=⎩消去y 并化简得22202004y p x px y -+=，其判别式222020404y p p y ∆=-⨯⨯=，所以直线AD 与抛物线相切，故直线AD 与直线AT 重合，点E 与点D 重合，由于D 是CF 的中点，所以AD CF ⊥，也即AT CF ⊥，命题（2）成立.根据等腰三角形的性质可知2CAF TAF ∠=∠，所以AT 平分FAC ∠，命题（1）成立.进而可得ACE TFE ≅ ，综上所述，正确的命题个数为3个.故选A.13．【答案】224n n +--【命题意图】本题考查数列求和以及分组求和.属于基础题.【解析】依题意112221nn n a +=+++=- ，则231221212124n n n S n ++=-+-++-=-- ．14．【答案】6+【命题意图】本题考查正余弦定理解三角形，意在考查学生的数学运算和逻辑推理能力.【解析】由正弦定理：2sin sin sin a b cR A B C===，又cos cos 2a C c A a +=得到sinAcos sin cos 2sin C C A A +=，即sin()2sin A C A+=在ABC ∆中，A B C π++=,所以sin 2sin 1B A =≤,故角A 最大即6A π=.此时sin 1B =，即2B π=，ABC ∆为直角三角形，2a =，所以4b =，32=c，所以三角形的周长为6+.15．【答案】1)+【命题意图】本题考查双曲线的几何性质，意在考查学生的数学运算和数学抽象等核心素养，属于难题.【解析】依题意，可得四边形12F AF B 为平行四边形，1AF x ⊥轴，所以2BF x ⊥轴,将横坐标c 带入双曲线方程，可得22221c y a b -=，得2=±by a，则2(,)b B c a ，所以222212tan 22b BF c a a F F c acα-===，又12tan (0,1)BF F ∠∈，即22012c a ac -<<，整理得2220c a ac --<，两边同时除以2a ，得2210c c a a ⎛⎫--< ⎪⎝⎭，即2210e e --<，又∵1e >，解得11e <<+.16．【答案】(【命题意图】本题考查不等式思想，可以利用线性规划，三角换元和基本不等式来解决，同时也考查学生的数形结合思想,属于较难问题.【解析】由题意知2224x y +=，令2x y z +=,即122zy x =-+，而2224(0)+=>x y y 表示的是椭圆在x 轴上方部分，所以当直线122zy x =-+经过(0)时，2x y +最小，所以最小值为，由于0>y ，所以2x y +>，当直线122zy x =-+与2224x y +=在第一象限相切时，2x y +取得最大值，联立方程组2212224z y x x y ⎧=-+⎪⎨⎪+=⎩，可得22940424z z x x -+-=，由0= ，可得z =±，所以2x y +的最大值为所以2x y +的取值范围为(.17．【命题意图】本题考查全称命题和特称命题以及命题的否定，充分必要条件等,是基础题.【解析】（1）对于命题p ：对任意[1,)x ∈+∞，不等式2350x m m -++-<恒成立，因为函数253y x m m =-+-+在[1,)x ∈+∞上单调递减，所以有1x =时，2max430ym m =-+<，.........................................................................................................2分解之得(,1)(4,)m ∈-∞-+∞ ，...........................................................................................................................4分所以p 为假命题时，实数m 的取值范围[1,4]m ∈-...........................................................................................5分（2）依题意，对任意的[]2,1x ∈-，不等式22230x mx m --+>恒成立，即二次函数2223y x mx m =--+在[]2,1x ∈-上的最小值大于0即可，..................................................................................................................7分当2≤-m 时，44230+-+>m m ，解得∈∅m ；当1≥m 时，12230--+>m m ，解得1>m ；当21-<<m 时，222320-+->m m m ，解之得∈∅m ，综上可得，解之得1>m ，....................................................................................................................................9分而p 为真时(,1)(4,)m ∈-∞-+∞ ，所以p 是q 的既不充分也不必要条件.................................................................................................................10分18．【命题意图】本题考查一元二次不等式，主要考查三个二次之间的关系以及分类讨论等思想，是中等题.【解析】（1）不等式232ax bx x ++<的解集为(,1)(3,)-∞-+∞ 即方程2(2)30ax b x +-+=的两根为121,3x x =-=.....................................................................................2分由韦达定理得：213313b aa -⎧-+=-⎪⎪⎨⎪-⨯=⎪⎩，.....................................................................................................................4分解之得，1,4a b =-=...........................................................................................................................................6分（2）由（1）可知，令2()23f x x x =-++，对称轴方程为1x =，所以()f x 在[,1]x m ∈上单调递增，.....................................................................................................................9分所以当x m =时，2()231f x m m =-++≥，即22201m m m ⎧--≤⎨<⎩，所以[1m ∈-......................................................12分19．【命题意图】本题考查正余弦定理解三角形，意在考查学生的数学运算能力.是中等题.【解析】（1）因为2222a c b a b a+-=+，所以222a b c ab +-=-，............................................................2分所以1cos 2C =-，即23C π=..............................................................................................................................5分另解：因为2222a c b a b a +-=+，所以222222a c b a bac c+-+=，即2cos 2c B a b =+，由正弦定理得：2sin cos 2sin sin C B A B =+，...........................................................................................................................2分所以2sin cos 2sin()sin C B B C B =++，即2sin cos sin 0B C B +=，又sin 0B >，故1cos 2C =-，故23C π=．............................................................................................................................................................5分（2）因为ABC的面积为4，所以16si 4n 2ab C =，即132462ab ⨯=，故ab =，............................................................................................................................................................8分由余弦定理可得222222212cos 2()2=+-=+--=+c a b ab C a b a b所以222222224a c a a b a b +=+++=++≥=，........................................10分b ==此时1a =.............................................................................................12分20．【命题意图】本题考查数列的综合应用，主要考查数列求通项，数列求和，错位相减法思想等，是中等题.【解析】（1）设等差数列{}n a 的首项为1a ，公差为d ，由2433S a a -=，即2423S S S -=，又21n n n a a a --=，可得()()11114684212211a d a d a n d a n d +=+⎧⎨+-=+-+⎩，......................................................................................................3分解得11a =，2d =.1(1)12(1)21n a a n d n n =+-=+-=-，*N n ∈...........................................................................................6分（2）由题意知：422nn n b a ⋅+=，即()1221144n n n n a b n --⎛⎫==- ⎪⎝⎭，.........................................................8分所以1211111(2((1)()444n n T n -=⨯+⨯++-⨯ ，所以()2311111214444nn T n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯+⨯++-⨯ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，..................................................................................10分两式相减得12131111()()()(1)(44444n n n T n -=+++-- ，所以1111()3144(1)(14414n n n T n -⎡⎤-⎢⎥⎣⎦=---11111((1)(3344n n n -=-⨯--11111(3344n n --=-+，.............11分所以14311()994n n n T -+=-⨯所以数列{}n b 的前n 项和14311()994n n n T -+=-⨯...........................................................................................12分21．【命题意图】本题考查基本不等式和不等式的证明，意在考向学生的逻辑推理能力，属于较难题.【解析】（1）因为a ，b ，c 为正数，且22a b c ++=，可得11111(2)2a b c a b b c a b b c+=+++++++............................................................................................3分1(11)22b c a b a b b c++=+++≥++，...........................................................................................................................5分当且仅当b c a ba b b c++=++时取等号.........................................................................................................................6分（2）()()2222222221122222++=+++++≥++a b c a b c a b c ab bc ac ................................................8分当且仅当19===a b c 时等号成立.()()1122222ab bc ac ab bc ab ac bc ac ++=+++++(12222≥+==............................................................10分当且仅当19===a b c 时等号成立.所以222a b c ++≥.当且仅当19===a b c 时等号成立......................................................................12分22．【命题意图】本题考查椭圆的集合性质，直线与椭圆的位置关系，意在考查数学抽象，直观想象和数学运算等核心素养，属于难题.【解析】（1）依题意，设椭圆的长半轴长为a ，直线2c x =被抛物线()22:2 0C y px p =>截得的弦长为且2pc =.所以224pp =⨯，解得p =.所以c =........................................................................3分又因为2a b =，∴2,1a b ==所以椭圆1C 的方程为2214x y +=，.....................................................................................................................5分（2）设(,)P x y ，11(,)A x y ，22(,)B x y ，则由2OP OA OB λμ-=，得122x x x λμ=+，122y y y λμ=+∵点,,P A B 在椭圆2214x y +=上，∴所以221144x y +=，222244x y +=，2244x y +=........................................................................................7分故222212124(2)4(2)x y x x y y λμλμ+=+++22222211221212(4)4(4)4(4)4x y x y x x y y λμλμ=+++++=.设,OA OB k k 分别为直线,OA OB 的斜率，由题意知，121214OA OB y y k k x x ⋅==-因此121240x x y y +=,所以2241λμ+=............................................................................................................9分所以Q 点是椭圆上22114μλ+=上的点，.又,0)2M ，点N 满足2112MN F F =，所以(,0)2N -.........................................................................11分所以,M N 恰为椭圆22114μλ+=的左、右焦点，由椭圆的定义，2QM NQ +=为定值......................12分。
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河南名校联盟
2020－2021学年高二(上)期中考试
数学(理科)
考生注意：
1.本试卷共8页。
时间120分钟，满分150分。
答题前，考生先将自己的姓名、考生号填写在试卷指定位置，并将姓名、考场号、座位号、考生号填写在答题卡上，然后认真核对条形码上的信息，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
作答非选择题时，将答案写在答题卡上对应的答题区域内。
写在本试卷上无效。
3.考试结束后，将试卷和答题卡一并收回。
第I 卷
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合A ＝{y|y ＝log 2(x 2－2x ＋5)}，B ＝N *，则(R A)∩B ＝
A.{－1，0，1，2}
B.{－1，0，1}
C.{0，1}
D.{1}
2.sin34°sin64°－cos34°sin206°的值为
A.12
B.2
C.2
D.1 3.新莽铜嘉量是由王莽国师刘歆等人设计制造的标准量器，它包括了龠、合、升、斗、斛这五个容量单位。
每一个量又有详细的分铭，记录了各器的径、深、底面积和容积.根据铭文不但可以直接测得各容量单位的量值，而且可以通过对径、深各个部位的测量，得到精确的计算容积，从而推算出当时的标准尺度.现根据铭文计算，当时制造容器时所用的圆周率分别为
3.1547，3.1992，3.1498，3.2031，比周三径一的古率已有所进步，则上面四个数与祖冲之给出的约率(
227≈3.1429)、密率(355113≈3.1416)，这6个数据的中位数(精确到万分位)与极差分
别为
A.3.1429，0.0615
B.3.1523，0.0615
C.3.1498，0.0484
D.3.1547，0.0484
4.已知sin(3
2
π
＋α)＝
3
5
，0<α<π，则tanα＝
A.－
4
3
B.－
3
4
C.
3
4
D.
4
3
5.已知a>0，b>0，(2a)b＝16，则a＋2b的最小值为
A.2
B.22
C.4
D.42
6.已知f(x)＝4x＋m，f(1＋log2
3
4
)＝3，则m的值为
A.2
B.
3
4
C.1
D.2
7.已知实数x，y满足约束条件
2x y10
x y0
x2y20
-+≥
⎧
⎪
+≤
⎨
⎪++≥
⎩
，则z＝x2＋y2＋2x－2y的最大值为
A.4
B.32
C.16
D.18
8.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，其中正视图是半径为1的半圆，则该几何体的表面积为
A.2(35)π
++ B.
35
2(
2
π
+ C.
25
2()
2
π
+
+ D.
35
(
2
π
+
9.运行下面的程序框图，则输出k的值为
A.6
B.5
C.4
D.3
10.已知直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AC ＝BC ＝CC 1＝1，∠ACB ＝60°，则异面直线B 1C 与AC 1所成角的余弦值为 A.16 B.13 C.14 D.15
11.在△ABC 中，角A ，B ，C 的对应边分别为a ，b ，c ，△ABC 的面积为S ，若S ＝acosB ＋
bcosA ，cos2A ＋sinA －
79
＝0，角A 为锐角，c ＝5，则△ABC 的外接圆的面积为 A.4π B.8116π C.6π D.254π 12.已知函数f(x)＝2tan(ωx ＋φ)(0<ω<10，|φ|<
2π)，f(0)23，(12π，0)为f(x)图象的一个对称中心。
现给出以下四种说法：①φ＝
6π；②ω＝2；③函数f(x)在区间(524π，3π)上单调递增；④函数f(x)的最小正周期为4
π。
则上述说法正确的序号为 A.①④ B.③④ C.①②④ D.①③④
第II 卷 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。
13.已知非零向量a ＝(m ，2m)，b ＝(－1，1)，若a ⊥(a －b)，则实数m ＝ 。
14.已知函数f(x)＝2sin ωxcos ωx －32ωx ，且f(x)图象的相邻对称轴之间的距离为4
π，则
当x ∈[0，4π]时，f(x)的最小值为。
15.已知S n 为等差数列{a n }的前n 项和，
4813S S =，则1612S S ＝ 。
16.已知在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AB ⊥BC ，cos ∠BAC ＝
45
，且此三棱柱有内切球，则此三棱柱的内切球与外接球的表面积的比为 。
三、解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17.(本小题满分10分)
已知△ABC 的内角A ，B ，C 所对应的边分别为a ，b ，c ，且bcosA ＝2ccosC －acosB 。
(I)求C 的大小；
(II)若c ＝2，b ＝2a ，求△ABC 的面积。
18.(本小题满分12分)
如图，三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，侧面AA 1B 1B 是边长为2的菱形，AC ⊥平面AA 1B 1B ，且AC ＝2，点E 为A 1C 1的中点，O 为BA 1与AB 1的交点。
(I)证明：BA 1⊥平面AB 1C ；
(II)若∠ABB 1＝60°，求三棱锥E －B 1AC 的体积。
19.(本小题满分12分)
已知正项数列{a n }满足a n 2－na n －2n 2＝0，数列{(a n －1)·2n ＋a n }的前n 项和为S n 。
(I)求数列{a n }的通项公式；
(II)求S n 。
20.(本小题满分12分)
甲、乙两人进行比赛，现有两组图形，第一组为一个正方形及其外接圆和内切圆，第二组为一个正方体及其外接球和内切球，甲在第一组图形内部任取一点，则此点在正方形与其外接
圆之间得3分，此点在内切圆与正方形之间得2分，此点在内切圆内部得1分，乙在第二组图形内部任取一点，则此点在正方体与其外接球之间得3分，此点在内切球与正方体之间得2分，此点在内切球内部得1分。
(I)分别求出甲得3分的概率和乙得3分的概率；
(II)预估在这种规则下，甲、乙两人谁的得分多。
21.(本小题满分12分)
已知数列{a n}满足a1＋a2＋a3＋…＋a n＝n2(n∈N*)。
(I)求数列{a n}的通项公式；
(II)令b n＝(－1)n－1－
n n1
4n
a a
+
，求数列{b n}的前n项和T n的最大值。
22.(本小题满分12分)
已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，0<φ<
2
π
)的部分图象如下图所示，最高点的坐标为(1，1)。
(I)求函数f(x)的解析式；
(II)将f(x)的图象向左平移4个单位长度，横坐标扩大为原来的
2
π
倍，得到g(x)的图象，求函数g(x)在[－π，2π]上的单调递增区间；
(III)若存在x∈[－
5
3
，3]，对任意a∈[－1，1]，不等式f(x)－m2＋2am＋
7
2
≤0恒成立，求m 的取值范围。