2015高考数学最有可能考的100题
2015年陕西省高考数学试题及答案理科及解析
左视團C . 2 n +4D . 3 n +42015年陕西省高考数学试卷（理科）一、选择题，共12小题，每小题5分，共60分21. ( 5 分)(2015?陕西)设集合 M={x|x 2=x} , N={x|lgx O }，贝U M U N=( )A . [0, 1]B . (0, 1]C . [0, 1)D . ( - s, 1] 2. （ 5分）（2015?陕西）某中学初中部共有110名教师，高中部共有 150名教师，其性别比例如图所示，则该校女教师的人数为（3. （ 5分）（2015?陕西）如图，某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数4. ( 5分)(2015?陕西)二项式(x+1 ) n ( n 3 +)的展开式中x 2的系数为15,则n=( A . 7B . 6C . 5D . 45. （ 5分）（2015?陕西）一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（C . 137D . 167y=3sinm ）的最大值为（）D . 106. （ 5 分）（2015?陕西）sin a =cos a 是 Cos2%=0”的（）A . 充分不必要条件B . 必要不充分条件 C.充分必要条件D .既不充分也不必要条件/输也/r —■~结束C . 10D . 289. ( 5 分)(2015?陕西)设 f (x ) =lnx , 0v a v b ,若 p=f (真E ), q=f (牟半)，r* (f ( a )+f ( b)),则下列关系式中正确的是( )A . q=r v pB . p=r v qC . q=r > pD . p=r >q10. （5分）（2015?陕西）某企业生产甲、乙两种产品均需用 A 、B 两种原料.已知生产 1 吨每种产品所需原料及每天原料的可用限额如表所示.如果生产一吨甲、乙产品可获得利润分别为3万元、4万元，则该企业每天可获得最大利润为（）甲乙原料限额A （吨） 3 212B （吨）17. （ 5分）（2015?陕西）对任意向量 (-■ ■) ? (「- ,'.)= r 2- I ，& （ 5分）（2015?陕西）根据如图框图，当输入 x 为2006时，输出的y （/ 输 Ax /F 列关系式中不恒成立的是（X-X-212. （5分）（2015?陕西）对二次函数f （x ） =ax 2+bx+c （a 为非零整数），四位同学分别给出 下列结论，其中有且只有一个结论是错误的，则错误的结论是（）A . -1是f （x ）的B . 1是f （x ）的极零点值点C . 3是f （x ）的极D .点（2, 8）在曲值线 y=f （x ）上二、填空题，共4小题，每小题5分，共20分13.（ 5分）（2015?陕西）中位数为1010的一组数构成等差数列，其末项为 2015,则该数列的首项为 _________________ .14. ______________ （5分）（2015?陕西）若抛物线y 2=2px （ p > 0）的准线经过双曲线 x 2 - y 2=1的一个焦点， 贝 y p= ___ .15. （5分）（2015?陕西）设曲线y=e x 在点（0, 1 ）处的切线与曲线 沪二（x > 0） 上点P 的切线垂直，则P 的坐标为 _____________________ .16 . （ 5分）（2015?陕西）如图，一横截面为等腰梯形的水渠，因泥沙沉积，导致水渠截面边界呈抛物线型（图中虚线所示），则原始的最大流量与当前最大流量的比值三、解答题，共5小题，共70分17 . （12分）（2015?陕西）△ ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为 a ，b ，c.向量i = （ a ， V3b ）与 n= （cosA ， sinB ）平行. (I )求 A ;(n )若 a= •'，b=2，求△ ABC 的面积.A .12万元B . 16万元C .仃万元D . 18万元11. （5 分）（2015?陕西） 设复数 z= (x - 1) +yi (x , y€R ), 十一C ；-_若|z|<l ，则y 汰的概率为D. I4A .18. （12分）（2015?陕西）如图，在直角梯形ABCD中，AD // BC , / BAD=AD=2 , E是AD的中点，O是AC与BE的交点，将ABE沿BE折起到A1BE的位置，如图2.（I ）证明：CD丄平面A1OC;（n ）若平面A1BE丄平面BCDE，求平面A1BC与平面A1CD夹角的余弦值.19. （12分）（2015?陕西）某校新、老校区之间开车单程所需时间为T, T只与道路通畅状况有关，对其容量为100的样本进行统计，结果如下：T （分钟）25 30 35 40频数（次）20 30 40 10（I ）求T的分布列与数学期望ET;（n ）刘教授驾车从老校区出发，前往新校区做一个50分钟的讲座，结束后立即返回老校区，求刘教授从离开老校区到返回老校区共用时间不超过120分钟的概率.,AB=BC=1 ,过两点(c，0)，( 0，b)的直线的距离为丄c.2(I )求椭圆E的离心率；(n )如图，AB是圆M : (x+2 ) 2+ ( y- 1) 2J<的一条直径，若椭圆E经过A、B两点,21. (12分)(2015?陕西)设f n (x)是等比数列1, x, x2,…，x n的各项和，其中x>0, n 3 ,(1)证明：函数Fn(x)=fn(x) - 2在(^, 1)内有且仅有一个零点(n )设有一个与上述等比数列的首项、末项、项数分别相同的等差数列，其各项和为g n (X),比较f n ( x )和g n ( x)的大小，并加以证明.四、选修题，请在22、23、24中任选一题作答，如果多做则按第一题计分.选修何证明选讲20. (12分)(2015?陕西)已知椭圆22” +y2 a b2c,原点O到经(记为xn),且xnj」：x ：L -4-1 :几E:=1 (a> b > 0)的半焦距为22. （10分）（2015?陕西）如图，AB切O O于点B ,直线AO交O O于D, E两点，BC丄DE , 垂足为C.（I ）证明：/ CBD= / DBA ;（H ）若AD=3DC，BC= _ ［，求O O 的直径.五、选修4-4 :坐标系与参数方程23. （2015?陕西）在直角坐标系xOy中，直线I的参数方程为点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，O C的极坐标方程为（I ）写出O C的直角坐标方程；（n）P为直线I上一动点，当P到圆心C的距离最小时，求P的直角坐标.六、选修4-5 :不等式选讲24. （2015?陕西）已知关于x的不等式|x+a|v b的解集为{x|2 v x v 4}（t为参数），以原sin 0.(I )求实数a, b的值；(n)求11「+1；卜-「的最大值.2015年陕西省高考数学试卷(理科)参考答案与试题解析一、选择题，共12小题，每小题5分，共60分1. ( 5 分)考点：并集及其运算.专题：集合.分析：求解一元二次方程化简M，求解对数不等式化简N,然后利用并集运算得答案.解答：解：由M={x|x 2=x}={0 , 1},N={x|lgx O}= (0, 1],得M U N={0 , 1} U (0, 1]=[0 , 1].故选：A .点评：本题考查了并集及其运算，考查了对数不等式的解法，是基础题.2. ( 5 分)考点：收集数据的方法.专题：计算题；概率与统计.分析：利用百分比，可得该校女教师的人数.解答：解：初中部女教师的人数为110>70%=77 ;高中部女教师的人数为40X150%=60, •••该校女教师的人数为77+60=137 ,故选：c.点评：本题考查该校女教师的人数，考查收集数据的方法，考查学生的计算能力，比较基础.3. （5 分）考点：由y=Asin （w x+ $）的部分图象确定其解析式.专题：三角函数的图像与性质. 分析：由题意和最小值易得k的值，进而可得最大值. 解答：解：由题意可得当sin （-一x+ 0）取最小值-1时，6函数取最小值y min= - 3+k=2，解得k=5 ,••• y=3sin （x+ 0）+5,&•当当sin （―^x+ 0）取最大值1时，6函数取最大值y max=3+5=8 ,故选：C.点评：本题考查三角函数的图象和性质，涉及三角函数的最值，属基础题.4. （5 分）考点：二项式定理的应用.专题：二项式定理.分析：由题意可得C 2丿（门- 1）=15，解关于n的方程可得.f 2解答：解：•••二项式（x+1 ）n（n€N+）的展开式中x2的系数为15,n （n = 1）• C 2=15，即----- =15，解得n=6,九z故选：B.点评：本题考查二项式定理，属基础题.5. （5 分）考点：由三视图求面积、体积.专题：计算题；空间位置关系与距离.分析：根据几何体的三视图，得出该几何体是圆柱体的一部分，利用图中数据求出它的表面积.解答：解：根据几何体的三视图，得；该几何体是圆柱体的一半，•该几何体的表面积为2S 几何体=n?K+ n W+2 >2=3 T+4 .故选：D.点评：本题考查了利用空间几何体的三视图求表面积的应用问题，是基础题目.6. （5 分）考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断.专题：简易逻辑.分析：由COS2a=COS2a- Sin2a,即可判断出.解答：解：由cos2 a=cos2a - sin2a,• sin a=cos a是“os2 a=O"的充分不必要条件.故选：A .点评：本题考查了倍角公式、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力，属于基础题.7. （5 分）考点：平面向量数量积的运算.专题：平面向量及应用.分析：由向量数量积的运算和性质逐个选项验证可得.解答：_•一—一 _解：选项A正确,••爲•习F l o底||COS V D，用〉I，又|cos v方，b＞鬥，冃n||b恒成立；选项B错误，由三角形的三边关系和向量的几何意义可得匚=j^hl- L 'll；选项C正确，由向量数量积的运算可得（..2=|「• “2；选项D正确，由向量数量积的运算可得（色十b） ?=32-b2.故选：B点评：本题考查平面向量的数量积，属基础题.& （5 分）考点：程序框图.专题：图表型；算法和程序框图.分析：模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的x的值，当x= - 2时不满足条件x%,计算并输出y的值为10. 解答：解：模拟执行程序框图，可得x=2006 ,x=2004满足条件X%,x=2002满足条件X%,x=2000满足条件X%,x=0满足条件X%,x= - 2不满足条件x%, y=10输出y的值为10.故选：C.点评：本题主要考查了循环结构的程序框图，属于基础题.9. （5 分）考点：不等关系与不等式.专题：不等式的解法及应用.分析：由题意可得p—（Ina+lnb）, q=ln （空出）沏=p, r—（Ina+lnb ）,可得大小2 2 2关系.解答：解：由题意可得若p=f =ln d七Inab=-^ （Ina+lnb）,q=f =ln 沏=p,r=2 (f (a ) +f (b )) 午(Ina+lnb ), ••• p=r v q ,故选：B点评：本题考查不等式与不等关系，涉及基本不等式和对数的运算，属基础题.10. (5 分)考点： 简单线性规划的应用. 专题： 不等式的解法及应用.分析：设每天生产甲乙两种产品分别为 x , y 顿，利润为z 兀，然后根据题目条件建立约束条 件，得到目标函数，画出约束条件所表示的区域，然后利用平移法求出z 的最大值.解答： 解：设每天生产甲乙两种产品分别为x , y 顿，利润为z 兀，r3^2y<12< x+2y^8K ACL y^Q目标函数为 z=3x+4y .作出二元一次不等式组所表示的平面区域（阴影部分）即可行域. 由 z=3x+4y 得 y=-上x+三,4 4平移直线y =违x 违由图象可知当直线y =违违经过点B 时，直线y = W 唱的截距 最大， 此时z 最大, 3x+2y=12 i+2y=8即B 的坐标为x=2 , y=3, • . z max =3x+4y=6+12=18 . 即每天生产甲乙两种产品分别为 2, 3顿，能够产生最大的利润，最大的利润是 18万元， 故选：D .点评： 本题主要考查线性规划的应用，建立约束条件和目标函数，利用数形结合是解决本题 的关键.解方程组，解得11.( 5考点：)分)几何概型.专题：概率与统计.分析：由题意易得所求概率为弓形的面积与圆的面积之比，分别求面积可得.解答：解：T复数z= (x - 1) +yi (x, y €R)且点(x, 丫)在(1, 0)为圆心1为半径的圆及其内部, 而y汰表示直线y=x左上方的部分，(图中阴影弓形)12. (5 分)考点：二次函数的性质.专题：创新题型；函数的性质及应用；导数的综合应用.分析：可米取排除法.分别考虑A , B , C, D中有一个错误，通过解方程求得a,判断是否为非零整数，即可得到结论.解答：解：可采取排除法.若A 错，贝V B , C, D 正确.即有f (x) =ax2+bx+c 的导数为f'(x) =2ax+b, 即有f' (1) =0，即2a+b=0,①又f (1) =3，即a+b+c=3 ②，又f ( 2) =8，即4a+2b+c=8 ,③ 由①②③ 解得，a=5, b= - 10, c=8 .符合a为非零整数.若B 错，贝U A , C, D 正确，则有a- b+c=0 ,且4a+2b+c=8 ,且. =3,解得a€?,4a不成立；p若C错，则A , B , D正确，则有a- b+c=0 ,且2a+b=0,且4a+2b+c=8 ,解得a=—不为非零整数，不成立;若D 错，贝U A , B, C 正确，则有a-b+c=O,且2a+b=0,且 _______________ =3，解得a=-二1 p 11 _ 117T l2 4 2H•••所求概率为弓形的面积与圆的面积之比,点评:•••所求概率P=属基础题.24忍4不为非零整数，不成立. 故选：A .点评：本题考查二次函数的极值、零点等概念，主要考查解方程的能力和判断分析的能力, 属于中档题.二、填空题，共4小题，每小题5分，共20分13. （5 分） 考点：等差数列.专题：等差数列与等比数列. 分析： 由题意可得首项的方程，解方程可得. 解答：解：设该等差数列的首项为 a , 由题意和等差数列的性质可得 2015+a=1010 X2解得a=5 故答案为：5点评：本题考查等差数列的基本性质，涉及中位数，属基础题.14. （5 分）考点： 抛物线的简单性质.专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程.分析： 先求出x 2-y 2=l 的左焦点，得到抛物线 y 2=2px 的准线，依据p 的意义求出它的值. 解答： 解：双曲线x 2 - y 2=l 的左焦点为（-A /文，0）,故抛物线y 2=2px 的准线为x= - V2 ,•专任，••• p=^2, 故答案为：2 ：:.点评：本题考查抛物线和双曲线的简单性质，以及抛物线方程y 2=2px 中p 的意义.15. （5 分）考点：利用导数研究曲线上某点切线方程. 专题：导数的概念及应用.分析： 利用y=e x 在某点处的切屑斜率与另一曲线的切线斜率垂直求得另一曲线的斜率，进而求得切点坐标.解答：解：T f （x ） =e x ,• f （0） =e o =1.•/ y=e x 在（0,1）处的切线与y=- （x >0） 上点P 的切线垂直•••点P 处的切线斜率为-1. 又 y'=-冷，设点 P （x o , y 0）x 0= ± , ■/ x >0, • x 0=1• y 0=1•••点P (1, 1)故答案为：(1, 1)点评：本题考查导数在曲线切线中的应用，在高考中属基础题型，常出现在选择填空中.16. (5 分)考点：直线与圆锥曲线的关系.专题：创新题型；圆锥曲线的定义、性质与方程.分析：建立直角坐标系，求出抛物线方程，然后利用定积分求出泥沙沉积的横截面面积，求出梯形面积，即可推出结果.解答：解：如图：建立平面直角坐标系，设抛物线方程为：y=ax2，因为抛物线经过(5,2),可得a』,25所以抛物线方程：y=三2,25 s横截面为等腰梯形的水渠，泥沙沉积的横截面的面积为：2x ( 「'2^2 _ 丄乂2X2)=2 (2 J I 5- 2)」,J屹护2 F 5 3，等腰梯形的面积为：型E X2=16,当前最大流量的横截面的面积16-卫，2 3原始的最大流量与当前最大流量的比值为:=1.2.故答案为：1.2.点评：本题考查抛物线的求法，定积分的应用，考查分析问题解决问题的能力，合理建系是解题的关键.三、解答题，共5小题，共70分17. (12 分)考点：余弦定理的应用；平面向量共线(平行)的坐标表示.专题：解三角形.分析：(I )利用向量的平行，列出方程，通过正弦定理求解 A ;(n )利用A，以及a=. _, b=2，通过余弦定理求出c,然后求解△ ABC的面积.解答：解：(I )因为向量1' = (a, .「；b)与丨i= (cosA, sinB)平行，所以as inB - L J X=0,由正弦定理可知：si nAsi nB - ': ；sin BcosA=0，因为sinB M D,所以tanA= 二可得A=.二；3(n ) a= 一：，b=2，由余弦定理可得：a2=b2+c2- 2bccosA，可得7=4+c2-2c,解得 c=3,△ ABC 的面积为：丄businA 色匡•二 2点评：本题考查余弦定理以及宰相肚里的应用，三角形的面积的求法，考查计算能力.18.( 12 分)考点： 二面角的平面角及求法；直线与平面垂直的性质. 专题： 空间位置关系与距离；空间角.分析：(I )根据线面垂直的判疋疋理即可证明：CD 丄平面 A 1OC ;(n )若平面A 1BE 丄平面BCDE ，建立空间坐标系，利用向量法即可求平面 A 1BC 与平面 A 1CD 夹角的余弦值.解答：TT 证明：(I )在图 1 中，•/ AB=BC=1 , AD=2 , E 是 AD 的中点，/ BAD=U ,2••• BE 丄 AC ,即在图2中，BE 丄OA 1 , BE 丄OC , 贝U BE 丄平面A 1OC ;•/ CD // BE ,• CD 丄平面A 1OC ;(n )若平面A 1BE 丄平面BCDE , 由(I )知 BE 丄 OA 1, BE 丄 OC , •Z A 1OC 为二面角 A 1 - BE - C 的平面角，TT--Z A 10C=,2如图，建立空间坐标系，I''=(-CD=BE= ( -^2，0, 0)设平面 A 1BC 的法向量为n|= (x , y , z ),平面 A 1CD 的法向量为n = (a , b , c ),D • BC =0 I - x+y=0 -H则｛ — 得.，令 x=1，则 y=1 , z=1，即 n| = (1, 1, 1),w AjC=C \y -z=0取 11= (0, 1, 1),•••平面A 1BC 与平面 A 1CD 为钝二面角,n C 二Q、n *■ CD ~0•/ A 1B=A 1E=BC=ED=1 . BC // ED0),0), A 】C= (0，年，贝 ycosv•••平面A1BC与平面A1CD夹角的余弦值为-点评：本题主要考查空间直线和平面垂直的判定以及二面角的求解，建立坐标系利用向量法是解决空间角的常用方法.19. （12 分）考点：离散型随机变量的期望与方差；离散型随机变量及其分布列.专题：概率与统计.分析：(I)求T的分布列即求出相应时间的频率，频率=频数T样本容量，数学期望ET=25 X0.2+30 >0.3+35 >0.4+40 >0.1=32 (分钟);(n)设T1, T2分别表示往、返所需时间，事件A对应于刘教授在路途中的时间不超过70 分钟”先求出PC.) =P (T1=35 , T2=40) +P (T1=40 , T2=35) +P (T1=40 , T2=40)=0.09，即P (A ) =1 - P (二)=0.91 .解答：解(I )由统计结果可得T的频率分布为T (分钟) 25 30 35 40频率0.2 0.3 0.4 0.1以频率估计概率得T的分布列为T 25 30 35 40P 0.2 0.3 0.4 0.1从而数学期望ET=25 >0.2+30 >0.3+35 >0.4+40 >0.仁32 (分钟)(n )设T1, T2分别表示往、返所需时间，T1, T2的取值相互独立，且与T的分布列相冋，设事件A表示刘教授共用时间不超过120分钟”，由于讲座时间为50分钟，所以事件A对应于刘教授在路途中的时间不超过70分钟”P (入)=P (T1+T2> 70) =P (T1=35, T2=40) +P (T1=40 , T2=35) +P (T1=40, T2=40) =0.4X).1+0.1 XJ.4+0.1 >0.1=0.09故P (A) =1 - P (二)=0.91故答案为：(I )分布列如上表，数学期望ET=32 (分钟)(n ) 0.91点评：本题考查了频率频数讶羊本容量，数学期望，对学生的理解事情的能力有一定的要求，属于中档题.20. （12 分）考点：直线与圆锥曲线的综合问题；曲线与方程.专题：创新题型；直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程.分析：(I )求出经过点(0, 3和(c, 0)的直线方程，运用点到直线的距离公式，结合离心率公式计算即可得到所求值；(n )由(I )知，椭圆E的方程为x2+4y2=4b2,①设出直线AB的方程，代入椭圆方程，运用韦达定理和弦长公式，结合圆的直径和中点坐标公式，解方程可得b2=3, 即可得到椭圆方程.解答：解：(I )经过点(0，b )和(c，0)的直线方程为bx+cy - bc=0，(H )由(I )知，椭圆E 的方程为x 2+4y 2=4b 2,①由题意可得圆心 M (-2, 1)是线段AB 的中点，贝U |AB|= . 'I, 易知AB 与x 轴不垂直，记其方程为 y=k (x+2) +1，代入①可得(1+4k 2) x 2+8k (1+2k ) x+4 (1+2k ) 2 - 4b 2=0,A (x1, y 1),B (x 2, y 2).=」：・:=I",解得b 2=3, 2 2则有椭圆E 的方程为 £+』一=1.12 3点评： 本题考查椭圆的方程和性质，主要考查椭圆的离心率的求法和椭圆方程的运用，联立 直线方程和椭圆方程，运用韦达定理和弦长公式，同时考查直线和圆的位置关系，以 及中点坐标公式和点到直线的距离公式的运用，属于中档题.21. (12 分)考点：数列的求和；等差数列与等比数列的综合.当x M l 时，利用导数求得 h ( x )在(0, 1 )内递增，在(1, +s)内递减，得到f n (x ) < g n ( x ).x i +x 2=-8k (142k).x 1x 2=4 (1+处)'- 4b l+4k 2X 1+x 2= - 4，得-8k Cl+2k)144k 2从而X 1X 2=8 - 2b 2，于是解得k=i专题： 综合题；创新题型；导数的综合应用；等差数列与等比数列.分析：(I )由 F n (x ) =f n (x ) - 2=1+X +X 2+ --++x n - 2 ,求得 F n (1) > 0 , F n (二)< 0.再F n ( x )在(2，1)内单调递增，得到厶且仅有个零点 X n ,由F n (x n ) =0，得到(n )先求出Z1)(心) 2构造函数 h ( x ) =f n (x ) - g n (x )=1+x+x 2+ ••++x n(n+l) (2)2，当x=1时,f n (x ) =g n ( x ).则原点到直线的距离为即为a=2b .|AB|=Ji+ (寺)2?殆F n (x )在(丄,1)内有由导数判断出函数证明：(I)由 F n (X )=f n (x ) - 2=1+x+x 2+・・++x n — 2, 则 F n ( 1) =n - 1 > 0,1-(丄)曲F n (g ) =1+斗J …+ 冷)_ 2= --------------------- 台 ------ ~2=_2 2 £ 1 - 1 212F n (x )在(-y , 1 )内至少存在一个零点，• h (乂)在(0, 1)内递增，在(1, +s)内递减,• h ( x )v h ( 1 ) =0，即卩 f n ( X ) v g n ( X ). 综上，当 X=1 时，f n ( x ) =g n ( x )； 当 X M l 时，f n ( x )V g n (x ).解答: 又 '::,- :n. ■ I, 二 F n ( x )1)内单调递增,••• Fn ( X )在(寺1)内有且仅有一个零点x n,设 h ( x ) =f n (x ) - g n (x ) =1+X+X 2+ ••++x n(n+1)(1十？)2当 X=1 时，f n (x ) =g n (x ).当X 鬥时，h‘ (宜)二L+戈肝…+n 占一】-匕色气若 O v x v 1, h' (x )>x n_1+2x nn (n 十L)2(n+1) 2 n- 1一二 0T X n 是 F n (x )的一个零点, • F n ( x n ) =0 ,(n )由题设,若 x > 1, h' (x )v点评：本题考查了函数零点的判定方法，考查了等比数列的前n项和，训练了利用导数研究函数的单调性，考查了数学转化与化归等思想方法，是中档题.四、选修题，请在22、23、24中任选一题作答，如果多做则按第一题计分.选修4-1 :几何证明选讲22. （10 分）考点：直线与圆的位置关系.专题：直线与圆.分析：（I）根据直径的性质即可证明：/ CBD= / DBA ;（n）结合割线定理进行求解即可求O O的直径.解答：证明：（I）•/ DE是O O的直径，贝U / BED+ / EDB=90 °•/ BC 丄DE,••• / CBD+ / EDB=90 ° 即/ CBD= / BED ,••• AB切O O于点B ,•/ DBA= / BED，即 / CBD= / DBA ;（n ）由（I ）知BD 平分 / CBA ,则」-」J=3,BC~CD••• BC=：:,•AB=3近,AC=血护_甌亠4，则AD=3 ,由切割线定理得AB 2=AD ?AE ,即AE=^—|.：AD故DE=AE - AD=3 ,即可O O的直径为3.点评：本题主要考查直线和圆的位置关系的应用和证明，根据相应的定理是解决本题的关键.五、选修4-4 :坐标系与参数方程23. （2015?陕西）考点：点的极坐标和直角坐标的互化.专题：坐标系和参数方程.分析：r 2- 2 2（I）由OC的极坐标方程为P=^3sinB.化为p=^^p£in日，把-'亠丫代入即可得出;|PC|= - 厂「再利用二次函数的性质即可得出.P sin9(II) ，又C解答： 解：(I )由O C 的极坐标方程为尸2. isin 0.日，化为x 2+y 2=2』^y\,'=3.•-|PC|=J 〔因此当t=0时，|PC 取得最小值2.；此时P (3, 0).点评： 本题考查了极坐标化为直角坐标方程、参数方程的应用、两点之间的距离公式、二次函 数的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题.六、选修4-5 :不等式选讲24. (2015?陕西)考点： 专题： 分析：解：(I )关于x 的不等式|x+a|v b 可化为-b - a v x v b - a , 又•••原不等式的解集为{x|2 v x v 4},(n )由I )可得 | :+•[_[=■i~+ .1=._L+. V.「1 「I :-■ ■-=2 申—=4,•••所求最大值为4本题考查不等关系与不等式，涉及柯西不等式求最值，属基础题.配方为•，彳V — (II )设 P ::二.：，又 C 二；.• p 2=2|V3P sin不等关系与不等式. 不等式的解法及应用.(I )由不等式的解集可得 ab 的方程组，解方程组可得； (n )原式'+ 一 »*—“+-，由柯西不等式可得最大值.■ b - 3=2f a- - 3，解方程组可得b 一 a=4 1 [b=l解答: 当且仅当即t=i 时取等号,点评:。
2015全国数学高考题及答案
2015年新课标全国高考数学（理科）及答案第Ⅰ卷一．选择题：共12小题，每小题5分，共60分。
在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的一项。
5.4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动，则周六、周日都有同学参加公益活动的概率7.执行下图的程序框图，若输入的a,b,k分别为1,2,3，则输出的M=9.不等式组的解集记为D.有下面四个命题：其中真命题是第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两个部分。
第（13）题-第（21）题为必考题，每个考生都必须作答。
第（22）题-第（24）题为选考题，考生根据要求作答。
二．填空题：本大题共四小题，每小题5分。
14.甲、乙、丙三位同学被问到是否去过A，B，C三个城市时，甲说：我去过的城市比乙多，但没去过B城市；乙说：我没去过C城市；丙说：我们三人去过同一个城市.由此可判断乙去过的城市为.三.解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
18. (本小题满分12分)从某企业的某种产品中抽取500件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下频率分布直方图：(i)利用该正态分布，求P（187.8<Z<212.2）；（ii）某用户从该企业购买了100件这种产品，记X表示这100件产品中质量指标值为于区间（187.8,212.2）的产品件数，利用（i）的结果，求EX.(Ⅰ) 求a3+b3的最小值；（Ⅱ）是否存在a,b，使得2a+3b=6？并说明理由2014年普通高等学校招生全国统一考试（课标I文科卷）数学（文科）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
8.如图，网格纸的各小格都是正方形，粗实线画出的事一个几何体的三视图，则这个几何体是（）A.三棱锥B.三棱柱C.四棱锥D.四棱柱A.-5B.3C.-5或3D.5或-31.填空题：本大题共4小题，每小题5分（13）将2本不同的数学书和1本语文书在书架上随机排成一行，则2本数学书相邻的概率为________.（14）甲、乙、丙三位同学被问到是否去过A、B、C三个城市时，甲说：我去过的城市比乙多，但没去过B城市；乙说：我没去过C城市；丙说：我们三人去过同一城市；由此可判断乙去过的城市为________.三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. （17）（本小题满分12分）（I）在答题卡上作出这些数据的频率分布直方图：（II）估计这种产品质量指标值的平均数及方差（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；（III）根据以上抽样调查数据，能否认为该企业生产的这种产品学科网符合“质量指标值不低于95的产品至少要占全部产品的80%”的规定？（19）(本题满分12分)请考生在第22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，解答时请写清题号.（22）（本小题满分10分）选修4-1，几何证明选讲1.填空题：本大题共4小题，每小题5分（13）将2本不同的数学书和1本语文书在书架上随机排成一行，则2本数学书相邻的概率为________.（14）甲、乙、丙三位同学被问到是否去过A、B、C三个城市时，甲说：我去过的城市比乙多，但没去过B城市；乙说：我没去过C城市；丙说：我们三人去过同一城市；由此可判断乙去过的城市为________.三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. （17）（本小题满分12分）（I）在答题卡上作出这些数据的频率分布直方图：（II）估计这种产品质量指标值的平均数及方差（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；（III）根据以上抽样调查数据，能否认为该企业生产的这种产品学科网符合“质量指标值不低于95的产品至少要占全部产品的80%”的规定？（19）(本题满分12分)请考生在第22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，解答时请写清题号.（22）（本小题满分10分）选修4-1，几何证明选讲20．（本小题13分）已知数列{}n a 满足：*1a ∈N ，136a ≤，且121823618n n n nn a a a a a +⎧=⎨->⎩，≤，，()12n =，，…． 记集合{}*|n M a n =∈N ．（Ⅰ）若16a =，写出集合M 的所有元素；（Ⅱ）若集合M 存在一个元素是3的倍数，证明：M 的所有元素都是3的倍数； （Ⅲ）求集合M 的元素个数的最大值．（考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效）。
2015年福建高考数学含答案(word版)
2015年普通高等学校招生全国统一考试（福建卷）数 学（理工类） 第I 卷（选择题共50分）一、选择题：本题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1、若集合{}234,,,A i i i i = （i 是虚数单位），{}1,1B =- ，则AB 等于A.{}1-B.{}1C.{}1,1-D.φ 2、下列函数为奇函数的是 A.y x =B.sin y x =C.cos y x =D.x x y e e -=-3、若双曲线22:1916x y E -= 的左、右焦点分别为12,F F ，点P 在双曲线E 上，且13PF =，则2PF 等于A.11B.9C.5D.34、为了解某社区居民的家庭年收入所年支出的关系，随机调查了该社区5户家庭，得到如下统计数据表：收入x （万元） 8.28.610.011.311.9支出y （万元）6.27.58.08.59.8根据上表可得回归本线方程ˆˆˆybx a =+ ，其中ˆˆˆ0.76,b a y bx ==- ，据此估计，该社区一户收入为15万元家庭年支出为A.11.4万元B.11.8万元C.12.0万元D.12.2万元5、若变量,x y 满足约束条件20,0,220,x y x y x y +≥⎧⎪-≤⎨⎪-+≥⎩则2z x y =- 的最小值等于A.52-B.2-C.32- D.2 6、阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，则输出的结果为 A.2 B.1 C.0 D.1-7、若,l m 是两条不同的直线，m 垂直于平面α ，则“l m ⊥ ”是“//l α ”的 A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件8、若,a b 是函数()()20,0f x x px q p q =-+>> 的两个不同的零点，且,,2a b - 这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则p q + 的值等于 A.6 B.7 C.8 D.99、已知1,,AB AC AB AC t t⊥== ，若P 点是ABC ∆ 所在平面内一点，且4A B A C AP ABAC=+，则PB PC ⋅ 的最大值等于 A.13 B.15 C.19 D.2110、若定义在R 上的函数()f x 满足()01f =- ，其导函数()f x ' 满足()1f x k '>> ，则下列结论中一定错误的是 A.11f k k ⎛⎫< ⎪⎝⎭ B.111f k k ⎛⎫>⎪-⎝⎭ C.1111f k k ⎛⎫< ⎪--⎝⎭ D. 111k f k k ⎛⎫> ⎪--⎝⎭第II 卷（非选择题共100分）二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分.把答案填在答题卡的相应位置. 11、()52x + 的展开式中，2x 的系数等于 .（用数字作答）12、若锐角ABC ∆ 的面积为103 ，且5,8AB AC == ，则BC 等于 .13、如图，点A 的坐标为()1,0 ，点C 的坐标为()2,4 ，函数()2f x x = ，若在矩形ABCD 内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率等于 .14、若函数()6,2,3log ,2,a x x f x x x -+≤⎧=⎨+>⎩（0a > 且1a ≠ ）的值域是[)4,+∞ ，则实数a 的取值范围是 .15、一个二元码是由0和1组成的数字串()*12n x x x n N ∈ ，其中()1,2,,k x k n =称为第k 位码元，二元码是通信中常用的码，但在通信过程中有时会发生码元错误（即码元由0变为1，或者由1变为0）已知某种二元码127x x x 的码元满足如下校验方程组：4567236713570,0,0,x x x x x x x x x x x x ⊕⊕⊕=⎧⎪⊕⊕⊕=⎨⎪⊕⊕⊕=⎩其中运算⊕ 定义为：000,011,101,110⊕=⊕=⊕=⊕= .现已知一个这种二元码在通信过程中仅在第k 位发生码元错误后变成了1101101，那么利用上述校验方程组可判定k 等于 .16.某银行规定，一张银行卡若在一天内出现3次密码尝试错误，该银行卡将被锁定，小王到银行取钱时，发现自己忘记了银行卡的密码，但是可以确定该银行卡的正确密码是他常用的6个密码之一，小王决定从中不重复地随机选择1个进行尝试.若密码正确，则结束尝试；否则继续尝试，直至该银行卡被锁定.(1)求当天小王的该银行卡被锁定的概率；(2)设当天小王用该银行卡尝试密码次数为X ，求X 的分布列和数学期望.17.如图，在几何体ABCDE 中，四边形ABCD 是矩形，AB ^平面BEG ，BE ^EC ，AB=BE=EC=2，G ，F 分别是线段BE ，DC 的中点.(1)求证：GF 平面ADE (2)求平面AEF 与平面BEC 所成锐二面角的余弦值.18. 已知椭圆E ：22221(a 0)x y b a b +=>>过点(0,2），且离心率为22.(1)求椭圆E 的方程； (2)设直线1x my m R =- ，()交椭圆E 于A ，B 两点，判断点G 9(4-,0) 与以线段AB 为直径的圆的位置关系，并说明理由.19.已知函数f()x 的图像是由函数()cos g x x =的图像经如下变换得到：先将()g x 图像上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍（横坐标不变），再将所得到的图像向右平移2p个单位长度.(1)求函数f()x 的解析式，并求其图像的对称轴方程；(2)已知关于x 的方程f()g()x x m +=在[0,2)p 内有两个不同的解,a b 1)求实数m 的取值范围；2)证明：22cos ) 1.5m a b -=-(20.已知函数f()ln(1)x x =+，(),(k ),g x kx R = (1)证明：当0x x x ><时，f()；(2)证明：当1k <时，存在00x >,使得对0(0),x x Î任意，恒有f()()x g x >；(3)确定k 的所以可能取值，使得存在0t >，对任意的(0),x Î，t 恒有2|f()()|x g x x -<.21.本题设有三个选考题，请考生任选2题作答. 选修4-2：矩阵与变换 已知矩阵2111,.4301A B 骣骣琪琪==琪琪-桫桫(1)求A 的逆矩阵1A -； (2)求矩阵C ，使得AC=B.选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xoy 中，圆C 的参数方程为13cos (t )23sin x ty tì=+ïí=-+ïî为参数.在极坐标系（与平面直角坐标系xoy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴非负半轴为极轴）中，直线l 的方程为2sin()m,(m R).4pr q -= (1)求圆C 的普通方程及直线l 的直角坐标方程； (2)设圆心C 到直线l 的距离等于2，求m 的值.选修4-5：不等式选讲已知函数()||||f x x a x b c =++++的最小值为4.(1)求a b c ++的值; (2)求2221149a b c ++的最小值为.数学试题（理工农医类）参考答案一、选择题：本大题考查基础知识和基本运算，每小题5分，满分50分。
2015年高考安徽理科数学试题及答案(word解析)
2015年普通高等学校招生全国统一考试（安徽卷）数学（理科）第Ⅰ卷（选择题 共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．（1）【2015年安徽，理1，5分】i 为虚数单位，则复数2i1i-在复平面内所对应的点位于（ ）（A ）第一象限 （B ）第二象限 （C ）第三象限 （D ）第四象限 【答案】B【解析】由题意()()()2i 1i 2i 22i1i 1i 1i 1i 2+-+===-+--+，其对应的点坐标为()1,1-，位于第二象限，故选B ．【点评】本题考查复数的运算，考查复数的几何意义，考查学生的计算能力，比较基础．（2）【2015年安徽，理2，5分】下列函数中，既是偶函数又存在零点的是（ ）（A ）cos y x = （B ）sin y x = （C ）ln y x = （D ）21y x =+ 【答案】A【解析】由选项可知，B 、C 项均不是偶函数，故排除B 、C ，A 、D 项是偶函数，但D 项与x 轴没有交点，即D项不存在零点，故选A ．【点评】本题考查了函数的奇偶性和零点的判断．①求函数的定义域；②如果定义域关于原点不对称，函数是非奇非偶的函数；如果关于原点对称，再判断()f x -与()f x 的关系；相等是偶函数，相反是奇函数；函数的零点与函数图象与x 轴的交点以及与对应方程的解的个数是一致的．（3）【2015年安徽，理3，5分】设:12p x <<，:21x q >，则p 是q 成立的（ ）（A ）充分不必要条件 （B ）必要不充分条件 （C ）充分必要条件 （D ）既不充分也不必要条件【答案】A【解析】由0:22x q >，解得0x >，易知，p 能推出q ，但q 不能推出p ，故p 是q 成立的充分不必要条件，故选A ．【点评】本题考查充分必要条件的判断，同时考查指数函数的单调性的运用，属于基础题． （4）【2015年安徽，理4，5分】下列双曲线中，焦点在y 轴上且渐近线方程为2y x =±的是（ ）（A ）2214y x -= （B ）2214x y -= （C ）2214y x -= （D ）2214x y -=【答案】C【解析】由题意，选项A ，B 的焦点在x 轴，故排除A ，B ，C 项渐近线方程为2214y x -=，即2y x =±，故选C ．【点评】本题考查双曲线的方程和性质，主要考查双曲线的焦点和渐近线方程的求法，属于基础题． （5）【2015年安徽，理5，5分】已知m ，n 是两条不同直线，α，β是两个不同平面，则下列命题正确的是（ ）（A ）若α，β垂直于同一平面，则α与β平行 （B ）若m ，n 平行于同一平面，则m 与n 平行（C ）若α，β不平行，则在α内不存在与β平行的直线 （D ）若m ，n 不平行，则m 与n 不可能垂直于同一平面 【答案】D【解析】对于A ，若α，β垂直于同一平面，则α，β不一定平行，如果墙角的三个平面；故A 错误；对于B ，若m ，n 平行于同一平面，则m 与n 平行．相交或者异面；故B 错误； 对于C ，若α，β不平行，则在α内存在无数条与β平行的直线；故C 错误；对于D ，若m ，n 不平行，则m 与n 不可能垂直于同一平面；假设两条直线同时垂直同一个平面，则这 两条在平行；故选D ．【点评】空间中直线与平面之间的位置关系；空间中直线与直线之间的位置关系；平面与平面之间的位置关系． （6）【2015年安徽，理6，5分】若样本数据1x ，2x ，⋅⋅⋅，10x 的标准差为8，则数据121x -，221x -，⋅⋅⋅，1021x -的标准差为（ ）（A ）8 （B ）15 （C ）16 （D ）32 【答案】C 【解析】设样本数据1x ，2x ，⋅⋅⋅，10x 的标准差为DX ，则8DX =，即方差64DX =，而数据121x -，221x -，⋅⋅⋅，1021x -的方差()22212264D X DX -==⨯，所以其标准差为226416⨯=，故选C ． 【点评】本题主要考查方差和标准差的计算，根据条件先求出对应的方差是解决本题的关键 （7）【2015年安徽，理7，5分】一个四面体的三视图如图所示，则该四面体的表面积是（ ） （A ）13+ （B ）23+ （C ）122+ （D ）22 【答案】B【解析】由题意，该四面体的直观图如下，ABD ∆，ACD ∆时直角三角形，ABC ∆，ACD ∆是等边三角形，则12212BCD ABD S S ∆∆==⨯⨯=，1322sin 6022ABC ACD S S ∆∆==⨯⨯︒=，所以四面体的表面积3212232BCD ABD ABC ACD S S S S S ∆∆∆∆=+++=⨯+⨯=+，故选B ． 【点评】本题考查了空间几何体的三视图的应用问题，解题的关键是由三视图得出几何体的结构特征，是基础题目．（8）【2015年安徽，理8，5分】ABC ∆是边长为2的等边三角形，已知向量a ，b 满足2AB a =， 2AC a b =+，则下列结论正确的是（ ）（A ）1b = （B ）a b ⊥ （C ）1a b ⋅= （D ）()4a b BC -⊥【答案】D【解析】依题意，()22BC AC AB a b a b =-=+-=，故2b =，故A 错误，222a a ==，所以1a =，又()2224222cos602AB AC a a b a ab ⋅=⋅+=+=⨯︒=，所以1a b ⋅=-，故B ，C 错误；设BC 中点为D ，则2AB AC AD +=，且AD BC ⊥，所以()4a b BC +⊥，故选D ．【点评】本题考查了向量的数量积公式的运用；注意：三角形的内角与向量的夹角的关系．（9）【2015年安徽，理9，5分】函数()()2ax bf x x c +=+的图象如图所示，则下列结论成立的是（ ）（A ）0a >，0b >，0c < （B ）0a <，0b >，0c > （C ）0a <，0b >，0c < （D ）0a <，0b <，0c < 【答案】C【解析】由()()2ax b f x x c +=+及图像可知，x c ≠-，0c ->；当0x =时，()200bf c =>，所以0b >；当0y =，0ax b +=， 所以0bx a=->，所以0a <．故0a <，0b >，0c <，故选C ． 【点评】本题主要考查函数图象的识别和判断，根据函数图象的信息，结合定义域，零点以及()0f 的符号是解决本题的关键．（10）【2015年安徽，理10，5分】已知函数()()sin f x x ωϕ=A +（A ，ω，ϕ均为正的常数）的最小正周期为π，当23x π=时，函数()f x 取得最小值，则下列结论正确的是（ ） （A ）()()()220f f f <-< （B ）()()()022f f f <<- （C ）()()()202f f f -<< （D ）()()()202f f f <<-【答案】A【解析】由题意，()()sin f x x ωϕ=A +()0,0,0A ωϕ>>>，22T πππωω===，所以2ω=，则()()sin f x x ωϕ=A +，而当23x π=时，2322,32k k Z ππϕπ⨯+=+∈，解得2,6k k Z πϕπ=+∈，所以()()sin 206f x x A π⎛⎫=A +> ⎪⎝⎭，则当2262x k πππ+=+，即6x k ππ=+时，()f x 取得最大值．要比较()()()2,2,0f f f -的大小，只需判断2，-2，0与最近的最高点处对称轴的距离大小，距离越大，值越小，易知0，2与6π比较近，-2与56π-比较近，所以当0k =时，6x π=，此时00.526π-=，2 1.476π-=，当1k =-时，56x π=-，此时520.66π⎛⎫---= ⎪⎝⎭，所以()()()220f f f <-<，故选A ．【点评】本题主要考查了三角函数的周期性及其求法，三角函数的图象与性质，用诱导公式将函数值转化到一个单调区间是比较大小的关键，属于中档题．第Ⅱ卷（非选择题 共100分）二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填在答题卡的相应位置．（11）【2015年安徽，理11，5分】731x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中3x 的系数是 （用数字填写答案）．【答案】35【解析】由题意()732141771rrr r r r T C x C x x --+⎛⎫== ⎪⎝⎭，令2145r -=，得4r =，则5x 的系数是4735C =．【点评】本题考查二项式定理的应用，本题解题的关键是正确写出二项展开式的通项，在这种题目中通项是解决二项展开式的特定项问题的工具．（12）【2015年安徽，理12，5分】在极坐标中，圆8sin ρθ=上的点到直线()3R πθρ=∈距离的最大值是 ．【答案】6【解析】由题意2sin ρρθ=，转化为直角坐标方程为228x y y +=，即()22416x y +-=；直线()3R πθρ=∈转化为直角坐标方程为3y x =，则圆上到直线的距离最大值是通过圆心的直线，设圆心到直线的距离为d ，圆心的半径为r ，则圆到直线距离的最大值()2204424613D d r -=+=+=+=+-．【点评】本题考查了极坐标化为直角坐标方程、点到直线的距离公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．（13）【2015年安徽，理13，5分】执行如图所示的程序框图（算法流程图），输出的n 为 ． 【答案】4【解析】由题意，程序框图循环如下：①1a =，；1n =②131112a =+=+，2n =；③1713512a =+=+，3n =；④117171215a =+=+，4n =，此时， 171.4140.0030.00512-≈<，所以输出4n =． 【点评】本题主要考查了循环结构的程序框图，正确写出每次循环得到的a ，n 的值是解题的关键，属于基础题． （14）【2015年安徽，理14，5分】已知数列{}n a 是递增的等比数列，249a a +=，238a a =，则数列{}n a 的前n 项和等于 ． 【答案】21n -【解析】由题意，14231498a a a a a a +=⎧⎨⋅==⎩，解得11a =，48a =或者18a =，41a =，而数列{}n a 是递增的等比数列，所以11a =，48a =，即3418a q a ==，所以2q =，因而数列{}n a 的前n 项和()111221112n n n n a q S q --===---． 【点评】本题考查等比数列的性质，数列{}n a 的前n 项和求法，基本知识的考查．（15）【2015年安徽，理15，5分】设30x ax b ++=，其中,a b 均为实数，下列条件中，使得该三次方程仅有一个实根的是 __．①3,3a b =-=-；②3,2a b =-=；③3,2a b =->；④0,2a b ==；⑤1,2a b ==． 【答案】①③④⑤【解析】令()3f x x ax b =++，求导得()23f x x a '=+，当0a ≥时，()0f x '≥，所以()f x 单调递增，且至少存在一个数使()0f x <，至少存在一个数使()0f x >，所以()3f x x ax b =++必有一个零点，即方程30x ax b ++=仅有一根，故④⑤正确；当0a <时，若3a =-，则()()()233311f x x x x '=-=+-，易知，()f x 在(),1-∞-，()1,+∞上单调递增，在[]1,1-上单调递减，所以()()1132f x f b b =-=-++=+极大，()()11320f x f b b ==-+=->极小，解得2b <-或2b >，故①③正确．所以使得三次方程仅有一个实根的是①③④⑤．【点评】本题考查了函数的零点与方程的根的关系；关键是数形结合、利用导数解之．三、解答题：本大题共6题，共75分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．解答写在答题卡上的指定区域内． （16）【2015年安徽，理16，12分】在ABC ∆中，4A π=，6AB =，AC =D 在BC 边上，AD BD =，求AD 的长．解：设ABC ∆的内角,,A B C 所对边的长分别是,,a b c ，由余弦定理得2222cos a b c bc BAC =+-∠223626cos 4π=+-⨯⨯1836(36)=+--90=，所以a =．又由正弦定理得sin sin b BAC B a ∠===， 由题设知04B π<<，所以cos B = 在ABD ∆中，由正弦定理得sin 6sin 3sin(2)2sin cos cos AB B B AD B B B Bπ===-【点评】本题主要考查了正弦定理，余弦定理在解三角形中的应用，属于基本知识的考查． （17）【2015年安徽，理17，12分】已知2件次品和3件正品放在一起，现需要通过检测将其区分，每次随机检测一件产品，检测后不放回，直到检测出2件次品或者检测出3件正品时检测结果． （1）求第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品的概率；（2）已知每检测一件产品需要费用100元，设X 表示直到检测出2件次品或者检测出3件正品时所需要的检测费用（单位：元），求X 的分布列和均值（数学期望）．解：（1）记“第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品”为事件A ，1123253()10A A P A A ==．（2）χ的可能取值为200，300，400，22251(200)10A P A χ===；31123232353(300)10A C C A P A χ+===； 136(400)1(200)(300)1101010P P P χχχ==-=-==--=． 故χ的分布列为13200300400350101010E χ=⨯+⨯+⨯=． 【点评】本题考查离散型随机变量的分布列以及期望的求法，考查计算能力． （18）【2015年安徽，理18，12分】设*n N ∈，n x 是曲线231n y x +=+在点(12)，处的切线与x 轴交点的横坐标．（1）求数列{}n x 的通项公式；（2）记2221221n n T x x x -=，证明14n T n≥． 解：（1）2221(1)(22)n n y x n x ++''=+=+，曲线221n y x +=+在点(12)，处的切线斜率为22n +，从而切线方程为2(22)(1)y n x -=+-，令0y =，解得切线与x 轴交点的横坐标1111n nx n n =-=++． （2）由题设和（1）中的计算结果知22222213211321...()()...()242n n n T x x x n--==， 当1n =时，114T =；当2n ≥时，因为2222212221(21)(21)1221()2(2)(2)2n n n n n n x n n n n n -------==>==； 所以211211()...2234n n T n n ->⨯⨯⨯⨯=，综上可得对任意的*n N ∈，均有14n T n≥． 【点评】本题主要考查切线方程的求法和放缩法的应用，属基础题型． （19）【2015年安徽，理19，13分】如图所示，在多面体111A B D DCBA ，四边形11AA B B ，11,ADD A ABCD 均为正方形，E 为11B D 的中点，过1,,A D E 的平面交1CD 于F ．（1）证明：11//EF B C ；（2）求二面角11E A D B --余弦值．解：（1）由正方形的性质可知11////A B AB DC ，且11A B AB DC ==，所以四边形11A B CD 为平行四边形，从而11//B C A D ，又1A D ⊂面1A DE ，1B C ⊄面1A DE ，于是1//B C 面1A DE ， 又1B C ⊂面11B CD ，面1A DE面11B CD EF =，所以1//EF B C ．（2）11,,AA AB AA AD AB AD ⊥⊥⊥，且1AA AB AD ==，以A 为原点，分别以1,,AB AD AA 为x 轴，y 轴和z轴单位正向量建立如图所示的空间直角坐标系，可得点的坐标(0,0,0)A ，(1,0,0)B ，(0,1,0)D ，111(0,0,1),(1,0,1),(0,1,1)A B D ，而E 点为11B D 的中点，所以E 点的坐标为()0.5,0.5,1．设面1A DE 的法向量1111(,,)n r s t =，而该面上向量()10.5,0.5,0A E =，()10,1,1A D =-，由11n A E ⊥，11n A D ⊥得111,,r s t 应满足的方程组11110.50.500r s s t +=⎧⎨-=⎩，()1,1,1-为其一组解，所以可取()11,1,1n =-，设面11A B CD 的法向量2222(,,)n r s t =，而该面上向量()110.5,0.5,0A B =，()10,1,1A D =-，由此同理可得2(0,1,1)n =所以结合图形知二面角11E A D B --的余弦值为1212||26||||332n n n n ==⨯．【点评】本题考查空间中线线平行的判定，求二面角的三角函数值，注意解题方法的积累，属于中档题．（20）【2015年安徽，理20，13分】设椭圆E 的方程为()222210x y a b a b+=>>，点O 为坐标原点，点A 的坐标为()0a ，，点B 的坐标为()0b ，，点M 在线段AB 上，满足2BM MA =，直线OM 的斜率为510． （1）求E 的离心率e ；（2）设点C 的坐标为()0b -，，N 为线段AC 的中点，点N 关于直线AB 的对称点的纵坐标为72，求E 的方程．解：（1）由题设条件知，点M 的坐标为21(,)33a b ，又510OM k =，从而5210b a =，进而得225,2a b c a b b ==-=，、故255c e a ==．（2）由题设条件和（1）的计算结果可得，直线AB 的方程为15x y bb +=，点N 的坐标为51(,)22b b -，设点N 关于直线AB 的对称点S 的坐标为17(,)2x ，则线段NS 的中点T的坐标为117,)244x b +-+，又点T 在直线AB 上，且1NS AB k k =-，从而有117441,71x b b b +-++=⎨+⎪=解得3b =，所以a =E 的方程为221459x y +=．【点评】本题考查了椭圆的标准方程及其性质、线段的垂直平分线性质、中点坐标公式、相互垂直的直线斜率之间的关系，考查了推理能力与计算能力，属于难题．（21）【2015年安徽，理21，13分】设函数2()f x x ax b =-+．（1）讨论函数(sin )f x 在22ππ(-,)内的单调性并判断有无极值，有极值时求出极值；（2）记2000()f x x a x b =-+，求函数0(sin )(sin )f x f x -在22ππ(-,)上的最大值D ；（3）在（2）中，取000a b ==，求24az b =-满足1D ≤时的最大值．解：（1）2(sin )sin sin sin (sin )f x x a x b x x a b =-+=-+，22x ππ-<<，[(sin )](2sin )cos ,22f x x a x x ππ'=--<<，因为22x ππ-<<，所以cos 0x >，22sin 2x -<<，①2,a b R ≤-∈时，函数(sin )f x 单调递增，无极值； ②2,a b R ≥∈时，函数(sin )f x 单调递减，无极值；③对于22a -<<，在(,)22ππ-内存在唯一的0x ，使得02sin x a =，02x x π-<≤时，函数(sin )f x 单调递减；02x x π≤<时，函数(sin )f x 单调递增．因此22a -<<，b R ∈时，函数(sin )f x 在0x 处有极小值20(sin )()24a a f x fb ==-．（2）22x ππ-≤≤时，00000|(sin )(sin )||()sin |||||f x f x a a x b b a a b b -=-+-≤-+-，当00()()0a a b b --≥时，取2x π=，等号成立，当00()()0a a b b --<时，取2x π=-，等号成立．由此可知，0|(sin )(sin )|f x f x -在[,]22ππ-上的最大值为00||||D a a b b =-+-．（3）1D ≤即为||||1a b +≤，此时201,11a b ≤≤-≤≤，从而214a zb =-≤．取0,1a b ==，则||||1a b +≤，并且214a z b =-=，由此可知，24a zb =-满足条件1D ≤的最大值为1．【点评】本题考查函数的性质和运用，主要考查二次函数的单调性和极值、最值，考查分类讨论的思想方法和数形结合的思想，属于难题．。
2015届高考数学一轮总复习 2-1函数及其表示
2015届高考数学一轮总复习 2-1函数及其表示基础巩固强化一、选择题1．(文)若函数f (x )的定义域是[0,4]，则函数g (x )＝f (2x )x 的定义域是( )A ．[0,2]B ．(0,2)C ．(0,2]D ．[0,2)[答案] C[解析] ∵⎩⎪⎨⎪⎧0≤2x ≤4，x ≠0.∴0<x ≤2，故选C.(理)(2013·湖北荆门期末)函数f (x )＝1x ln(x 2－3x ＋2＋－x 2－3x ＋4)的定义域为( )A ．(－∞，－4]∪(2，＋∞)B ．(－4,0)∪(0,1)C ．[－4,0)∪(0,1]D ．[－4,0)∪(0,1) [答案] D[解析] 要使函数f (x )有意义，必须且只需⎩⎨⎧x≠0，x 2－3x ＋2≥0，x 2－3x ＋2＋－x 2－3x ＋4>0，解得－4≤x <0或0<x <1.故选D.2．(文)(2012·江西文，3)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋1，x ≤1，2x ，x >1.则f (f (3))＝( )A.15 B ．3 C.23 D.139[答案] D[解析] 本题考查分段函数求值问题， 由条件知f (3)＝23，f (f (3))＝f (23)＝(23)2＋1＝139.(理)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋1，x ≤0，f (x －3)，x >0，则f (2014)等于( )A ．－1B ．1C ．－3D ．3[答案] C[解析] f (2014)＝f (2011)＝f (2008)＝……＝f (1)＝f (－2)＝2×(－2)＋1＝－3.3．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋1，x <1，x 2＋ax ，x ≥1，若f [f (0)]＝4a ，则实数a 等于( )A.12 B.45 C ．2 D ．9[答案] C[解析] ∵f (0)＝20＋1＝2，f (f (0))＝4a ， ∴22＋2a ＝4a ，∴a ＝2.4．(2013·银川模拟)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－4x ＋6，x ≥0，x ＋6，x <0，则不等式f (x )>f (1)的解集是( )A ．(－3,1)∪(3，＋∞)B ．(－3,1)∪(2，＋∞)C ．(－1,1)∪(3，＋∞)D ．(－∞，－3)∪(1,3) [答案] A[解析] 由题意知f (1)＝3，故原不等式可化为⎩⎪⎨⎪⎧ x ≥0，x 2－4x ＋6>3，或⎩⎪⎨⎪⎧x <0，x ＋6>3，解之得－3<x <1或x >3， ∴原不等式的解集为(－3,1)∪(3，＋∞)，故选A. 5．(文)函数f (x )＝22x －2的值域是( )A ．(－∞，－1)B ．(－1,0)∪(0，＋∞)C ．(－1，＋∞)D ．(－∞，－1)∪(0，＋∞)[答案] D [解析]1f (x )＝2x －1－1>－1，结合反比例函数的图象可知f (x )∈(－∞，－1)∪(0，＋∞)． (理)若函数y ＝f (x )的值域是[12，3]，则函数F (x )＝f (x )＋1f (x )的值域是( )A ．[12，3]B ．[2，103]C ．[52，103]D ．[3，103][答案] B[解析] 令t ＝f (x )，则12≤t ≤3，由函数g (t )＝t ＋1t 在区间[12，1]上是减函数，在[1,3]上是增函数，且g (12)＝52，g (1)＝2，g (3)＝103，可得值域为[2，103]，选B.6．a 、b 为实数，集合M ＝{ba ，1}，N ＝{a,0}，f 是M 到N 的映射，f (x )＝x ，则a ＋b 的值为( )A ．－1B ．0C ．1D ．±1 [答案] C[解析] ∵f (x )＝x ，∴f (1)＝1＝a ，若f (b a )＝1，则有ba ＝1，与集合元素的互异性矛盾，∴f (ba )＝0，∴b ＝0，∴a ＋b ＝1.二、填空题 7．(文)函数y ＝16－x －x 2的定义域是________．[答案] (－3,2)[解析] 由6－x －x 2>0，得x 2＋x －6<0， 即{x |－3<x <2}．(理)(2013·福州模拟)函数f (x )＝(x ＋1)2x ＋1－1－x 的定义域为________．[答案] (－∞，－1)∪(－1,1][解析] ∵要使函数f (x )＝(x ＋1)2x ＋1－1－x 有意义，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 1－x ≥0，x ＋1≠0，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ≤1，x ≠－1，∴函数f (x )的定义域为{x |x ≤1，且x ≠－1}．[失误与防范] 本题若将函数f (x )的解析式化简为f (x )＝(x ＋1)－1－x 后求定义域，会误认为其定义域为(－∞，1]．事实上，上述化简过程扩大了自变量x 的取值范围．防范错误的有效方法是每一步变形时观察一下是否为等价变换，否则应附加限制条件保持等价． 8．(文)如果函数f (x )＝1－x 21＋x 2，那么f (1)＋f (2)＋…f (2012)＋f (12)＋f (13)＋…＋f (12012)的值为________．[答案] 0[解析] 由于f (x )＋f (1x )＝1－x21＋x 2＋1－(1x )21＋(1x)2＝1－x 21＋x 2＋x 2－1x 2＋1＝0，f (1)＝0，故该式值为0.(理)规定记号“⊕”表示一种运算，且a ⊕b ＝ab ＋a ＋b ＋1，其中a 、b 是正实数，已知1⊕k ＝4，则函数f (x )＝k ⊕x 的值域是________．[答案] (2，＋∞)[解析] 1⊕k ＝k ＋k ＋2＝4，解之得k ＝1，∴f (x )＝x ＋x ＋2，由于“⊕”的运算对象是正实数，故x >0，∴f (x )>2.9．(2012·辽宁辽南协作体期中)已知f (x －2)＝⎩⎪⎨⎪⎧1＋x 2， x >2，2－x ， x ≤2，则f (1)＝________.[答案] 10[解析] f (1)＝f (3－2)＝1＋32＝10. 三、解答题10．(2012·北京海淀期中)某工厂生产某种产品，每日的成本C (单位：元)与日产量x (单位：t)满足函数关系式C ＝10 000＋20x ，每日的销售额R (单位：元)与日产量x 的函数关系式为R ＝⎩⎪⎨⎪⎧－130x 3＋ax 2＋290x ，0<x <120，20 400，x ≥120.已知每日的利润y ＝R －C ，且当x ＝30时，y ＝－100. (1)求a 的值；(2)当日产量为多少吨时，每日的利润可以达到最大，并求出最大值． [解析] (1)∵当x ＝30时，y ＝－100，∴－100＝－130×303＋a ×302＋270×30－10 000，∴a ＝3.(2)当0<x <120时，y ＝－130x 3＋3x 2＋270x －10 000.令y ′＝－110x 2＋6x ＋270＝0，可得：x 1＝90，x 2＝－30(舍去)，所以当x ∈(0,90)时，原函数是增函数，当x ∈(90,120)时，原函数是减函数． ∴当x ＝90时，y 取得极大值14 300. 当x ≥120时，y ＝10 400－20x ≤8 000.所以当日产量为90t 时，每日的利润可以达到最大值14 300元.能力拓展提升一、选择题11．(文)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ，x >0，2x ，x ≤0.若f (1)＋f (a )＝2，则a 的值为( )A ．1B ．2C ．4D ．4或1 [答案] C[解析] ∵f (1)＝0，∴f (a )＝2，∴log 2a ＝2(a >0)或2a ＝2(a ≤0)，解得a ＝4或a ＝1(舍)，故选C.(理)函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧sin (πx 2) (－1<x <0)，e x －1 (x ≥0).若f (1)＋f (a )＝2，则a 的所有可能值为( )A ．1B ．1，－22C ．－22D ．1，22[答案] B [解析] f (1)＝1，当a ≥0时，f (a )＝e a －1，∴1＋e a －1＝2，∴a ＝1，当－1<a <0时，f (a )＝sin(πa 2)， ∴1＋sin(πa 2)＝2， ∴πa 2＝π2＋2k π(k ∈Z )，∵－1<a <0，∴a ＝－22，故选B. 12．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧(3－a )x －4a (x <1)，log a x (x ≥1).是(－∞，＋∞)上的增函数，那么a 的取值范围是( )A ．(1，＋∞)B ．(－∞，3)C ．[35，3)D ．(1,3)[答案] D[解析] 解法1：由f (x )在R 上是增函数，∴f (x )在[1，＋∞)上单增，由对数函数单调性知a >1，① 又由f (x )在(－∞，1)上单增，∴3－a >0，∴a <3，②又由于f (x )在R 上是增函数，为了满足单调区间的定义，f (x )在(－∞，1]上的最大值3－5a 要小于等于f (x )在[1，＋∞)上的最小值0，才能保证单调区间的要求，∴3－5a ≤0，即a ≥35，③由①②③可得1<a <3.解法2：令a 分别等于35、0、1，即可排除A 、B 、C ，故选D.[点评] f (x )在R 上是增函数，a 的取值不仅要保证f (x )在(－∞，1)上和[1，＋∞)上都是增函数，还要保证x 1<1，x 2≥1时，有f (x 1)<f (x 2)．二、填空题[答案] －1或1[解析]14．(2013·四川省内江市第一次模拟)设函数f (x )＝|x |x ＋bx ＋c ，则下列命题中正确命题的序号有________．①函数f (x )在R 上有最小值；②当b >0时，函数在R 上是单调增函数； ③函数f (x )的图象关于点(0，c )对称；④当b <0时，方程f (x )＝0有三个不同实数根的充要重要条件是b 2>4|c |； ⑤方程f (x )＝0可能有四个不同实数根． [答案] ②③④[解析] f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋bx ＋c (x ≥0)－x 2＋bx ＋c (x <0)取b ＝0知，①⑤错； 容易判断②，③正确；b <0时，方程f (x )＝0有三个不同实数根，等价于c －b 24<0且c ＋b 24>0，∴b 2>4c 且b 2>－4c ，∴b 2>4|c |，故填②、③、④.三、解答题15．(文)函数f (x )＝x 2＋x －14.(1)若定义域为[0,3]，求f (x )的值域；(2)若f (x )的值域为[－12，116]，且定义域为[a ，b ]，求b －a 的最大值．[解析] ∵f (x )＝(x ＋12)2－12，∴对称轴为x ＝－12.(1)∵3≥x ≥0>－12，∴f (x )的值域为[f (0)，f (3)]， 即[－14，474]；(2)∵x ＝－12时，f (x )＝－12是f (x )的最小值，∴x ＝－12∈[a ，b ]，令x 2＋x －14＝116，得x 1＝－54，x 2＝14，根据f (x )的图象知当a ＝－54，b ＝14时，b －a 取最大值14－(－54)＝32.(理)已知f (x )是二次函数，若f (0)＝0，且f (x ＋1)＝f (x )＋x ＋1. (1)求函数f (x )的解析式； (2)求函数y ＝f (x 2－2)的值域． [解析] (1)设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)， 又f (0)＝0，∴c ＝0，即f (x )＝ax 2＋bx . 又f (x ＋1)＝f (x )＋x ＋1.∴a (x ＋1)2＋b (x ＋1)＝ax 2＋bx ＋x ＋1. ∴(2a ＋b )x ＋a ＋b ＝(b ＋1)x ＋1，∴⎩⎪⎨⎪⎧2a ＋b ＝b ＋1，a ＋b ＝1，解得⎩⎨⎧a ＝12，b ＝12.∴f (x )＝12x 2＋12x .(2)由(1)知y ＝f (x 2－2)＝12(x 2－2)2＋12(x 2－2)＝12(x 4－3x 2＋2)＝12(x 2－32)2－18， 当x 2＝32时，y 取最小值－18.∴函数y ＝f (x 2－2)的值域为[－18，＋∞)．16．(文)某地区预计2014年的前x 个月内对某种商品的需求总量f (x )(万件)与月份x 的近似关系式是f (x )＝175x (x ＋1)(19－x )，x ∈N *,1≤x ≤12，求：(1)2014年的第x 月的需求量g (x )(万件)与月份x 的函数关系式． (2)求第几个月需求量g (x )最大．[解析](1)第x月的需求量为g(x)＝f(x)－f(x－1)＝175x(x＋1)(19－x)－175(x－1)x(20－x)＝125x(13－x)．(2)g(x)＝125(－x 2＋13x)＝－125[42.25－(x－6.5)2]，因此当x＝6或7时g(x)最大．第6、7月需求量最大．(理)某种商品在30天内每件的销售价格P(元)与时间t(天)的函数关系如图所示：该商品在30天内日销售量Q(件)与时间t(天)之间的关系如表所示：(1)根据提供的图象，写出该商品每件的销售价格P与时间t的函数关系式；(2)在所给直角坐标系中，根据表中提供的数据描出实数对(t，Q)的对应点，并确定日销售量Q 与时间t的一个函数关系式；(3)求该商品的日销售金额的最大值，并指出日销售金额最大的一天是30天中的第几天？(日销售金额＝每件的销售价格×日销售量)[解析] (1)P ＝⎩⎪⎨⎪⎧t ＋20 (0<t <25，t ∈N *)，－t ＋100 (25≤t ≤30，t ∈N *). (2)图略，Q ＝40－t (t ∈N *)． (3)设日销售金额为y (元)，则y ＝⎩⎪⎨⎪⎧－t 2＋20t ＋800 (0<t <25，t ∈N *)，t 2－140t ＋4000 (25≤t ≤30，t ∈N *). 即y ＝⎩⎪⎨⎪⎧－(t －10)2＋900 (0<t <25，t ∈N *)，(t －70)2－900 (25≤t ≤30，t ∈N *). 若0<t <25(t ∈N *)， 则当t ＝10时，y max ＝900；若25≤t ≤30(t ∈N *)，则当t ＝25时，y max ＝1125. 由1125>900，知y max ＝1125，∴这种商品日销售金额的最大值为1125元，30天中的第25天的日销售金额最大．考纲要求1．了解构成函数的要素；了解映射的概念．2．在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数． 3．了解简单的分段函数，并能简单地应用． 4．会求一些简单函数的定义域．5．了解求函数值域的方法，会求一些简单函数的值域． 6．会求一些简单函数的解析式． 补充说明1．掌握几类题型：求定义域，分段函数求值、解不等式，已知分段函数值求自变量的值及函数的图象变换．2．函数的定义域是一个集合，应该用集合或区间表示，有几段时，要用“∪”连接，函数解析式是几个代数式的和时，定义域是使各部分有意义的x 的集合的交集．3．了解求函数解析式的常见类型及方法 (1)配凑法当已知函数表达式比较简单时，可直接应用此法．即根据具体解析式凑出复合变量的形式，从而求出解析式．(2)换元法已知f [g (x )]是关于x 的函数，即f [g (x )]＝F (x )，求f (x )的解析式，通常令g (x )＝t ，由此能解出x ＝φ(t )．将x ＝φ(t )代入f [g (x )]＝F (x )中，求得f (t )的解析式，再用x 替换t ，便得f (x )的解析式．注意，换元后要确定新元t 的取值范围．[例1] 已知f (2x ＋1)＝lg x ，求f (x )的解析式．[解析] 令2x ＋1＝t ，由于x >0，∴t >1且x ＝2t －1，∴f (t )＝lg2t －1，即f (x )＝lg 2x －1(x >1)． (3)待定系数法若已知函数的结构形式，则可用此法．[例2] (2012·德州模拟)设二次函数f (x )满足f (x －2)＝f (－x －2)且图象在y 轴上的截距为1，在x 轴上截得的线段长为22，求f (x )的解析式．[解析] ∵二次函数f (x )满足f (x －2)＝f (－x －2)， ∴f (x )的图象关于直线x ＝－2对称， 故可设f (x )＝a (x ＋2)2＋c ， ∵f (x )的图象在y 轴上的截距为1， ∴f (0)＝1，∴4a ＋c ＝1，①又f (x )的图象在x 轴上截得线段长为22，∴－2＋2与－2－2是方程a (x ＋2)2＋c ＝0的两根， ∴2a ＋c ＝0②由①、②解得，a ＝12，c ＝－1，∴f (x )＝12(x ＋2)2－1，即f (x )＝12x 2＋2x ＋1.(4)消元法已知f (x )满足某个等式，这个等式除f (x )是未知量外，还出现其它未知量，如f (－x )、f ⎝⎛⎭⎫1x 等，必须根据已知等式再构造其它等式组成方程组，通过解方程组求出f (x )．[例3] 已知函数f (x )满足条件：f (x )＋2f (－x )＝x ，则f (x )＝________.[分析] 由于难以判断f (x )是何种类型的函数，故不可能先设出f (x )的表达式，但如果把条件中的x 换成－x ，即得f (－x )＋2f (x )＝－x ，把f (x )、f (－x )作为一个整体量，实际上得到了这两个量的方程组．[解析] 用－x 代换条件方程中的x 得f (－x )＋2f (x )＝－x ，把它与原条件式联立．⎩⎪⎨⎪⎧f (x )＋2f (－x )＝x ， ①f (－x )＋2f (x )＝－x . ② ②×2－①得，f (x )＝－x . [答案] －x[点评] 充分抓住已知条件式的结构特征，运用x 取值的任意性获得②式是解决此题的关键．若已知2f (x )－f (－1x )＝2x －1，你会求f (x )吗？(5)赋值法此类解法的依据是：如果一个函数关系式中的变量对某个范围内的一切值都成立，则对该范围内的某些特殊值必成立，结合题设条件的结构特点，给变量适当取值，从而使问题简单化、具体化，进而获解．[例4] 已知f (0)＝1，f (a －b )＝f (a )－b (2a －b ＋1)，求f (x )． [解析] 令a ＝0，则f (－b )＝f (0)－b (－b ＋1)＝1＋b (b －1)＝b 2－b ＋1 再令－b ＝x 得：f (x )＝x 2＋x ＋1.[点评] 赋值法的关键环节是“赋值”，赋值的方法灵活多样，既要照顾到已知条件的运用和待求结论的产生，又要考虑所给关系式的结构特点．如本题另解：令b ＝a ，则1＝f (0)＝f (a )－a (2a －a ＋1) ＝f (a )－a (a ＋1)＝f (a )－a 2－a ， ∴f (a )＝a 2＋a ＋1，∴f (x )＝x 2＋x ＋1. (6)转化法已知f (x )在某个区间上的表达式及f (x )具有某种性质(如奇偶性、对称性等)，求f (x )在另一个区间上的表达式，常用转化法求解．[例5] 已知函数f (x )对任意实数x 均有f (x )＝kf (x ＋2)，其中常数k 为负数，且f (x )在区间[0,2]上有表达式f (x )＝x (x －2)．(1)求f (－1)，f (2.5)的值；(2)写出f (x )在[－3,3]上的表达式，并讨论函数f (x )在[－3,3]上的单调性．[解析] (1)由f (－1)＝kf (1)，f (2.5)＝1k f (12)知需求f (12)和f (1)，f (1)＝－1，f (12)＝12×(12－2)＝－34，∴f (－1)＝－k ，f (2.5)＝－34k(2)∵0≤x ≤2时，f (x )＝x (x －2)， 设－2≤x <0，则0≤x ＋2<2， ∴f (x )＝kf (x ＋2)＝k (x ＋2)x ； 设－3≤x <－2，则－1≤x ＋2<0， ∴f (x )＝kf (x ＋2)＝k 2(x ＋4)(x ＋2)； 设2<x ≤3，则0<x －2≤1， ∵f (x )＝kf (x ＋2)，∴f (x －2)＝kf (x )， ∴f (x )＝1k f (x －2)＝1k(x －2)(x －4)．综上可知，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧k 2(x ＋2)(x ＋4) －3≤x <－2，kx (x ＋2) －2≤x <0，x (x －2) 0≤x ≤2，1k (x －2)(x －4) 2<x ≤3.∵k <0，∴由二次函数的知识知：f (x )在[－3，－2)上是增函数，在[－2，－1)上是增函数，在[－1,0)上是减函数，在[0,1)上是减函数，在[1,2]上是增函数，在(2,3]上是增函数，又各区间都可以是闭区间，∴f (x )在[－3，－1]上是增函数，在[－1,1]上是减函数，在[1,3]上是增函数．[点评] 可用导数讨论单调性． 备选习题1．值域为{2,5,10}，对应关系为y ＝x 2＋1的函数个数为( ) A ．1 B ．8 C ．27 D ．39[答案] C[解析] 本题的关键是寻找满足条件的定义域有多少种情况．当y ＝2，即x 2＝1时，x ＝1，－1或±1有三种情况，同理当y ＝5,10时，x 的值各有三种情况，由分步乘法计数原理知，共有3×3×3＝27种可能．故选C.2．已知函数f (x )＝(x －a )(x －b )(其中a >b )的图象如下图所示，则函数g (x )＝a x ＋b 的图象是()[答案] A[解析] ∵f (x )＝(x －a )(x －b )的两个零点为a 和b 且a >b ，由图象知0<a <1，b <－1，∴g (x )＝a x＋b 单调减，且g (0)＝1＋b <0，故选A.3．函数f (x )＝|log 12 x |的定义域是[a ，b ]，值域为[0,2]，对于区间[m ，n ]，称n －m 为区间[m ，n ]的长度，则[a ，b ]长度的最小值为( )A.154 B ．3 C ．4 D.34[答案] D[解析] 令f (x )＝0得，x ＝1，令f (x )＝2得，log 12 x ＝±2，∴x ＝14或4，∴当a ＝14，b ＝1时满足值域为[0,2]，故选D.4．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧21－x －1 (x <1)，lg x (x ≥1).若f (x 0)>1，则x 0的取值范围是( )A ．(－∞，0)∪(10，＋∞)B ．(－1，＋∞)C ．(－∞，－2)∪(－1,10)D ．(0,10) [答案] A[解析] 由条件知，⎩⎪⎨⎪⎧ x 0<1，21－x 0－1>1，或⎩⎪⎨⎪⎧x 0≥1，lg x 0>1.∴x 0<0或x 0>10.5．(2012·东北三校二模)函数y ＝x ln(－x )与y ＝x ln x 的图象关于( ) A ．直线y ＝x 对称 B ．x 轴对称 C ．y 轴对称 D ．原点对称[答案] D[解析] 若点(m ，n )在函数y ＝x ln x 的图象上，则n ＝m ln m ，所以－n ＝－m ln[－(－m )]，可知点(－m ，－n )在函数y ＝x ln(－x )的图象上，反之亦然，而点(m ，n )与点(－m ，－n )关于原点对称，所以函数y ＝x ln x 与y ＝x ln(－x )的图象关于原点对称，故选D.6．如图，动点P 在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的对角线BD 1上，过点P 作垂直于平面BB 1D 1D 的直线，与正方体表面相交于M 、N .设BP ＝x ，MN ＝y ，则函数y ＝f (x )的图象大致是( )[答案] B[解析] 解法1：取AA 1、CC 1的中点E 、F ，EF 交BD 1于O ，则EF ∥AC ，∵AC ⊥BD ，AC ⊥BB 1， ∴AC ⊥平面BDD 1B 1，∴EF ⊥平面BDD 1B 1， ∴平面BED 1F ⊥平面BDD 1B 1，过点P 作MN ∥EF ，则MN ⊥平面BDD 1B 1， MN 交BE 、BF 于M 、N ，则BP BO ＝MN EF ，∴MN ＝EF BO·BP ，不难看出当P 在BO 上时，y 是x 的一次增函数， 当P 在OD 1上时，y 是x 的一次减函数，故选B.解法2：连接AC ，A 1C 1，则MN ∥AC ∥A 1C 1，当且仅当P 为BD 1的中点O 时，MN ＝AC 取得最大值，故答案A ，C 错，又当P 为BO 中点时，MN ＝12AC ，故答案D 错，所以选B.7．已知函数f (x )的值域为[0,4]，(x ∈[－2,2])，函数g (x )＝ax －1，x ∈[－2,2]，∀x 1∈[－2,2]，总∃x 0∈[－2,2]，使得g (x 0)＝f (x 1)成立，则实数a 的取值范围是______．[答案] ⎝⎛⎦⎤－∞，－52∪⎣⎡⎭⎫52，＋∞ [解析] 只需要函数f (x )的值域是函数g (x )值域的子集即可． (1)当a >0时，g (x )＝ax －1单调递增，∵x ∈[－2,2]，∴－2a －1≤g (x )≤2a －1，要使条件成立，只需⎩⎪⎨⎪⎧－2a －1≤02a －1≥4，∴a ≥52.(2)当a <0时，g (x )＝ax －1单调递减．∵x ∈[－2,2]，∴2a －1≤g (x )≤－2a －1，要使条件成立，只需⎩⎪⎨⎪⎧2a －1≤0－2a －1≥4，∴⎩⎨⎧a ≤12a ≤－52，∴a ≤－52.综上，a 的取值范围是⎝⎛⎦⎤－∞，－52∪⎣⎡⎭⎫52，＋∞. 8．某化工厂生产某种产品，每件产品的生产成本是3元，根据市场调查，预计每件产品的出厂价为x 元(7≤x ≤10)时，一年的产量为(11－x )2万件，若该企业所生产的产品全部售出，则称该企业正常生产，但为了保护环境，用于治理污染的费用与产量成正比，比例系数为常数a (1≤a ≤3)．(1)求该企业正常生产一年的利润L (x )与出厂价x 的函数关系式；(2)当每件产品的出厂价定为多少元时，企业一年的利润最大，并求最大利润． [解析] (1)依题意，L (x )＝(x －3)(11－x )2－a (11－x )2＝(x －3－a )(11－x )2，x ∈[7,10]．(2)因为L ′(x )＝(11－x )2－2(x －3－a )·(11－x )＝(11－x )(11－x －2x ＋6＋2a )＝(11－x )(17＋2a －3x )．由L ′(x )＝0，得x ＝11∉[7,10]或x ＝17＋2a3.因为1≤a ≤3， 所以193≤17＋2a 3≤233.①当193≤17＋2a 3≤7，即1≤a ≤2时，L ′(x )在[7,10]上恒为负，则L (x )在[7,10]上为减函数，所以L (x )max ＝L (7)＝16(4－a )．②当7<17＋2a 3≤233，即2<a ≤3时，L (x )max ＝L (17＋2a 3)＝427(8－a )3. 当1≤a ≤2时，在每件产品出厂价为7元时，年利润最大，为16(4－a )万元．当2<a ≤3时，在每件产品出厂价为17＋2a 3元时，年利润最大，为427(8－a )3万元．。
历年高三数学高考考点之基本不等式必会题型及答案
历年高三数学高考考点之<基本不等式>必会题型及答案体验高考1．(2015·四川)如果函数f (x )＝12(m －2)x 2＋(n －8)x ＋1(m ≥0，n ≥0)在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2上单调递减，那么mn 的最大值为( )A ．16B ．18C ．25 D.812答案 B解析 ①当m ＝2时，∵f (x )在[12，2]上单调递减， ∴0≤n ＜8，mn ＝2n ＜16.②m ≠2时，抛物线的对称轴为x ＝－n －8m －2. 据题意得，当m ＞2时，－n －8m －2≥2，即2m ＋n ≤12， ∵2m ·n ≤2m ＋n 2≤6， ∴mn ≤18，由2m ＝n 且2m ＋n ＝12得m ＝3，n ＝6.当m ＜2时，抛物线开口向下，据题意得，－n －8m －2≤12，即m ＋2n ≤18， ∵2n ·m ≤2n ＋m 2≤9， ∴mn ≤812， 由2n ＝m 且m ＋2n ＝18得m ＝9＞2，故应舍去．要使得mn 取得最大值，应有m ＋2n ＝18(m ＜2，n ＞8)．∴mn ＝(18－2n )n ＜(18－2×8)×8＝16，综上所述，mn 的最大值为18，故选B.2．(2015·陕西)设f (x )＝ln x,0＜a ＜b ，若p ＝f (ab )，q ＝f ⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 2，r ＝12(f (a )＋f (b ))，则下列关系式中正确的是( )A ．q ＝r ＜pB ．q ＝r ＞pC ．p ＝r ＜qD ．p ＝r ＞q 答案 C解析 ∵0＜a ＜b ，∴a ＋b 2＞ab ，又∵f (x )＝ln x 在(0，＋∞)上为增函数，故f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 2＞f (ab )，即q ＞p . 又r ＝12(f (a )＋f (b ))＝12(ln a ＋ln b ) ＝12ln a ＋12ln b ＝ln(ab )12＝f (ab )＝p .故p ＝r ＜q .选C.3．(2015·天津)已知a ＞0，b ＞0，ab ＝8，则当a 的值为________时，log 2a ·log 2(2b )取得最大值．答案 4解析 log 2a ·log 2(2b )＝log 2a ·(1＋log 2b )≤⎝⎛⎭⎪⎫log 2a ＋1＋log 2b 22＝⎝ ⎛⎭⎪⎫log 2ab ＋122 ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫log 28＋122＝4， 当且仅当log 2a ＝1＋log 2b ，即a ＝2b 时，等号成立，此时a ＝4，b ＝2.4．(2016·江苏)在锐角三角形ABC 中，若sin A ＝2sin B sin C ，则tan A tan B tan C 的最小值是________．答案 8解析 在△ABC 中，A ＋B ＋C ＝π，sin A ＝sin[π－(B ＋C )]＝sin(B ＋C )，由已知，sin A ＝2sin B sin C ，∴sin(B ＋C )＝2sin B sin C .∴sin B cos C ＋cos B sin C ＝2sin B sin C ，A ，B ，C 全为锐角，两边同时除以cos B cos C 得：tan B ＋tan C ＝2tan B tan C .又tan A ＝－tan(B ＋C )＝－tan B ＋tan C 1－tan B tan C ＝tan B ＋tan C tan B tan C －1. ∴tan A (tan B tan C －1)＝tan B ＋tan C .则tan A tan B tan C －tan A ＝tan B ＋tan C ，∴tan A tan B tan C ＝tan A ＋tan B ＋tan C＝tan A ＋2tan B tan C ≥22tan A tan B tan C ， ∴tan A tan B tan C ≥22，∴tan A tan B tan C ≥8.5．(2016·上海)设a ＞0，b ＞0.若关于x ，y 的方程组⎩⎪⎨⎪⎧ ax ＋y ＝1，x ＋by ＝1无解，则a ＋b 的取值范围是________．答案 (2，＋∞)解析 由已知，ab ＝1，且a ≠b ，∴a ＋b ＞2ab ＝2.高考必会题型题型一 利用基本不等式求最大值、最小值1．利用基本不等式求最值的注意点(1)在运用基本不等式求最值时，必须保证“一正，二定，三相等”，凑出定值是关键．(2)若两次连用基本不等式，要注意等号的取得条件的一致性，否则就会出错．2．结构调整与应用基本不等式基本不等式在解题时一般不能直接应用，而是需要根据已知条件和基本不等式的“需求”寻找“结合点”，即把研究对象化成适用基本不等式的形式．常见的转化方法有：(1)x ＋bx －a ＝x －a ＋bx －a ＋a (x >a )．(2)若a x ＋b y ＝1，则mx ＋ny ＝(mx ＋ny )×1＝(mx ＋ny )·⎝ ⎛⎭⎪⎫a x ＋b y ≥ma ＋nb ＋2abmn (字母均为正数)．例1 (1)已知正常数a ，b 满足1a ＋2b＝3，则(a ＋1)(b ＋2)的最小值是________． 答案 509解析 由1a ＋2b ＝3，得b ＋2a ＝3ab ， ∴(a ＋1)(b ＋2)＝2a ＋b ＋ab ＋2＝4ab ＋2，又a ＞0，b ＞0，∴1a ＋2b ≥22ab ，∴ab ≥89(当且仅当b ＝2a 时取等号)， ∴(a ＋1)(b ＋2)的最小值为4×89＋2＝509. (2)求函数y ＝x 2＋7x ＋10x ＋1(x ＞－1)的最小值． 解 设x ＋1＝t ，则x ＝t －1(t ＞0)，∴y ＝t －12＋7t －1＋10t＝t ＋4t＋5≥2 t ·4t ＋5＝9. 当且仅当t ＝4t，即t ＝2，且此时x ＝1时，取等号， ∴y min ＝9.点评 求条件最值问题一般有两种思路：一是利用函数单调性求最值；二是利用基本不等式．在利用基本不等式时往往都需要变形，变形的原则是在已知条件下通过变形凑出基本不等式应用的条件，即“和”或“积”为定值．等号能够取得．变式训练1 已知x ＞0，y ＞0，且2x ＋5y ＝20，(1)求u ＝lg x ＋lg y 的最大值；(2)求1x ＋1y的最小值． 解 (1)∵x ＞0，y ＞0，∴由基本不等式，得2x ＋5y ≥210xy .∵2x ＋5y ＝20，∴210xy ≤20，即xy ≤10，当且仅当2x ＝5y 时等号成立．因此有⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ＋5y ＝20，2x ＝5y ，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝5，y ＝2，此时xy 有最大值10.∴u ＝lg x ＋lg y ＝lg(xy )≤lg 10＝1.∴当x ＝5，y ＝2时，u ＝lg x ＋lg y 有最大值1.(2)∵x ＞0，y ＞0，∴1x ＋1y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋1y ·2x ＋5y 20＝120⎝ ⎛⎭⎪⎫7＋5y x ＋2x y ≥120⎝ ⎛⎭⎪⎫7＋25y x ·2x y ＝7＋21020， 当且仅当5y x ＝2x y时等号成立． 由⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ＋5y ＝20，5y x ＝2x y ，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝10 10－203，y ＝20－4103. ∴1x ＋1y 的最小值为7＋2 1020. 题型二 基本不等式的综合应用例2 (1)某车间分批生产某种产品，每批的生产准备费用为800元，若每批生产x 件，则平均仓储时间为x 8天，且每件产品每天的仓储费用为1元，为使平均到每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小，每批应生产产品( )A ．60件B ．80件C ．100件D ．120件答案 B 解析 平均每件产品的费用为y ＝800＋x 28x ＝800x ＋x 8≥2 800x ×x 8＝20，当且仅当800x ＝x 8，即x ＝80时取等号，所以每批应生产产品80件，才能使平均到每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小．(2)某单位决定投资3 200元建一仓库(长方体状)，高度恒定，它的后墙利用旧墙不花钱，正面用铁栅，每米长造价40元，两侧墙砌砖，每米长造价45元，顶部每平方米造价20元，求：仓库面积S 的最大允许值是多少？为使S 达到最大，而实际投资又不超过预算，那么正面铁栅应设计为多长？解 设铁栅长为x 米，一侧砖墙长为y 米，则顶部面积S ＝xy ，依题设，得40x ＋2×45y ＋20xy ＝3 200，由基本不等式得 3 200≥2 40x ·90y ＋20xy ＝120 xy ＋20xy ＝120 S ＋20S ，则S ＋6S －160≤0，即(S －10)·(S ＋16)≤0，故0＜S ≤10，从而0＜S ≤100，所以S 的最大允许值是100平方米，取得此最大值的条件是40x ＝90y 且xy ＝100，解得x ＝15，即铁栅的长应设计为15米．点评 基本不等式及不等式性质应用十分广泛，在最优化实际问题，平面几何问题，代数式最值等方面都要用到基本不等式，应用时一定要注意检验“三个条件”是否具备．变式训练2 (1)已知直线ax ＋by －6＝0(a ＞0，b ＞0)被圆x 2＋y 2－2x －4y ＝0截得的弦长为25，则ab 的最大值是________． 答案 92 解析 圆的方程变形为(x －1)2＋(y －2)2＝5，由已知可得直线ax ＋by －6＝0过圆心O (1,2)，∴a ＋2b ＝6(a ＞0，b ＞0)，∴6＝a ＋2b ≥22ab ，∴ab ≤92(当且仅当a ＝2b 时等号成立)， 故ab 的最大值为92. (2)某工厂某种产品的年固定成本为250万元，每生产x 千件，需另投入成本为C (x )，当年产量不足80千件时，C (x )＝13x 2＋10x (万元)．当年产量不小于80千件时，C (x )＝51x ＋10 000x－1 450(万元)．每件商品售价为0.05万元．通过市场分析，该厂生产的商品能全部售完． ①写出年利润L (x )(万元)关于年产量x (千件)的函数解析式；②当年产量为多少千件时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大？解 ①当0＜x ＜80时， L (x )＝1 000x ×0.05－(13x 2＋10x )－250＝－13x 2＋40x －250. 当x ≥80时， L (x )＝1 000x ×0.05－(51x ＋10 000x －1 450)－250 ＝1 200－(x ＋10 000x)． ∴L (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ －13x 2＋40x －2500＜x ＜80，1 200－x ＋10 000x x ≥80.②当0＜x ＜80时，L (x )＝－13x 2＋40x －250. 对称轴为x ＝60，即当x ＝60时，L (x )最大＝950(万元)．当x ≥80时，L (x )＝1 200－(x ＋10 000x)≤1 200－2 10 000＝1 000(万元)，当且仅当x ＝100时，L (x )最大＝1 000(万元)，综上所述，当x ＝100时，年获利最大．高考题型精练1．已知x ＞1，y ＞1，且14ln x ，14，ln y 成等比数列，则xy ( ) A ．有最大值e B ．有最大值 eC ．有最小值eD ．有最小值 e答案 C解析 ∵x ＞1，y ＞1，且14ln x ，14，ln y 成等比数列，∴ln x ·ln y ＝14≤⎝ ⎛⎭⎪⎫ln x ＋ln y 22，∴ln x ＋ln y ＝ln xy ≥1⇒xy ≥e.2．若正数x ，y 满足x ＋3y ＝5xy ，则3x ＋4y 的最小值是( )A.245B.285C ．5D ．6答案 C解析 方法一 由x ＋3y ＝5xy 可得15y ＋35x ＝1，∴3x ＋4y ＝(3x ＋4y )(15y ＋35x )＝95＋45＋3x5y ＋12y5x ≥135＋125＝5(当且仅当3x 5y ＝12y5x ，即x ＝1，y ＝12时，等号成立)，∴3x ＋4y 的最小值是5.方法二 由x ＋3y ＝5xy 得x ＝3y5y －1，∵x ＞0，y ＞0，∴y ＞15，∴3x ＋4y ＝9y5y －1＋4y＝135＋95·15y －15＋4⎝ ⎛⎭⎪⎫y －15 ≥135＋2 3625＝5， 当且仅当y ＝12时等号成立， ∴3x ＋4y 的最小值是5.3．若正数a ，b 满足1a ＋1b ＝1，则1a －1＋9b －1的最小值是( ) A ．1B ．6C ．9D ．16 答案 B解析 ∵正数a ，b 满足1a ＋1b＝1， ∴b ＝a a －1＞0，解得a ＞1.同理可得b ＞1， ∴1a －1＋9b －1＝1a －1＋9a a －1－1 ＝1a －1＋9(a －1)≥2 1a －1·9a －1＝6，当且仅当1a －1＝9(a －1)，即a ＝43时等号成立， ∴最小值为6.故选B.4．已知a ＞0，b ＞0，若不等式m 3a ＋b －3a －1b≤0恒成立，则m 的最大值为( ) A ．4 B ．16 C ．9 D ．3答案 B解析 因为a ＞0，b ＞0，所以由m 3a ＋b －3a －1b ≤0恒成立得m ≤(3a ＋1b )(3a ＋b )＝10＋3b a ＋3a b恒成立．因为3b a ＋3a b ≥23b a ·3a b＝6， 当且仅当a ＝b 时等号成立，所以10＋3b a ＋3a b≥16， 所以m ≤16，即m 的最大值为16，故选B.5．已知x ，y ∈(0，＋∞)，2x －3＝(12)y ，若1x ＋m y(m ＞0)的最小值为3，则m 等于( ) A ．2 B ．2 2 C ．3 D ．4答案 D解析 由2x －3＝(12)y 得x ＋y ＝3， 1x ＋m y ＝13(x ＋y )(1x ＋m y) ＝13(1＋m ＋y x ＋mx y) ≥13(1＋m ＋2m )(当且仅当y x ＝mx y时取等号) ∴13(1＋m ＋2m )＝3，解得m ＝4，故选D. 6．已知直线ax ＋by ＋c －1＝0(b ，c ＞0)经过圆x 2＋y 2－2y －5＝0的圆心，则4b ＋1c的最小值是( )A ．9B ．8C ．4D ．2答案 A解析 圆x 2＋y 2－2y －5＝0化成标准方程，得x 2＋(y －1)2＝6，所以圆心为C (0,1)，因为直线ax ＋by ＋c －1＝0经过圆心C ，所以a ×0＋b ×1＋c －1＝0，即b ＋c ＝1.因此4b ＋1c ＝(b ＋c )(4b ＋1c)＝4c b ＋b c ＋5. 因为b ，c ＞0，所以4c b ＋b c ≥24cb ·b c＝4. 当且仅当4c b ＝b c时等号成立． 由此可得b ＝2c ，且b ＋c ＝1，即b ＝23，c ＝13时，4b ＋1c取得最小值9. 7．已知x ＞0，y ＞0，x ＋3y ＋xy ＝9，则x ＋3y 的最小值为________．答案 6解析 由已知得x ＝9－3y 1＋y.方法一 (消元法)∵x ＞0，y ＞0，∴0＜y ＜3，∴x ＋3y ＝9－3y 1＋y ＋3y ＝121＋y ＋3(y ＋1)－6 ≥2121＋y ·3y ＋1－6＝6，当且仅当121＋y＝3(y ＋1)， 即y ＝1，x ＝3时，(x ＋3y )min ＝6.方法二 ∵x ＞0，y ＞0,9－(x ＋3y )＝xy ＝13x ·(3y )≤13·⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋3y 22，当且仅当x ＝3y 时等号成立．设x ＋3y ＝t ＞0，则t 2＋12t －108≥0，∴(t －6)(t ＋18)≥0，又∵t ＞0，∴t ≥6.故当x ＝3，y ＝1时，(x ＋3y )min ＝6.8．已知三个正数a ，b ，c 成等比数列，则a ＋cb ＋b a ＋c 的最小值为________． 答案 52解析 由条件可知a ＞0，b ＞0，c ＞0，且b 2＝ac ，即b ＝ac ，故a ＋c b ≥2ac b ＝2，令a ＋c b ＝t ，则t ≥2，所以y ＝t ＋1t在[2，＋∞)上单调递增， 故其最小值为2＋12＝52. 9．已知x ，y ∈R 且满足x 2＋2xy ＋4y 2＝6，则z ＝x 2＋4y 2的取值范围为________． 答案 [4,12]解析 ∵2xy ＝6－(x 2＋4y 2)，而2xy ≤x 2＋4y 22， ∴6－(x 2＋4y 2)≤x 2＋4y 22， ∴x 2＋4y 2≥4(当且仅当x ＝2y 时取等号)，又∵(x ＋2y )2＝6＋2xy ≥0，即2xy ≥－6，∴z ＝x 2＋4y 2＝6－2xy ≤12(当且仅当x ＝－2y 时取等号)，综上可知4≤x 2＋4y 2≤12.10．当x ∈(0,1)时，不等式41－x ≥m －1x 恒成立，则m 的最大值为________． 答案 9解析 方法一 (函数法)由已知不等式可得 m ≤1x ＋41－x， 设f (x )＝1x ＋41－x ＝1－x ＋4x x 1－x ＝3x ＋1－x 2＋x ，x ∈(0,1)．令t ＝3x ＋1，则x ＝t －13，t ∈(1,4)， 则函数f (x )可转化为g (t )＝t－⎝ ⎛⎭⎪⎫t －132＋t －13＝t －19t 2＋59t －49＝9t －t 2＋5t －4＝9－t ＋4t＋5， 因为t ∈(1,4)，所以5＞t ＋4t≥4， 0＜－(t ＋4t )＋5≤1，9－t ＋4t ＋5≥9， 即g (t )∈[9，＋∞)，故m 的最大值为9.方法二 (基本不等式法)由已知不等式可得m ≤1x ＋41－x，因为x ∈(0,1)，则1－x ∈(0,1)，设y ＝1－x ∈(0,1)，显然x ＋y ＝1.故1x ＋41－x ＝1x ＋4y ＝x ＋y x ＋4x ＋y y＝5＋(y x ＋4x y )≥5＋2y x ·4x y＝9， 当且仅当y x ＝4x y ，即y ＝23，x ＝13时等号成立． 所以要使不等式m ≤1x ＋41－x恒成立，m 的最大值为9. 11．运货卡车以每小时x 千米的速度匀速行驶130千米，按交通法规限制50≤x ≤100(单位：千米/时)．假设汽油的价格是每升2元，而汽车每小时耗油⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋x 2360升，司机的工资是每小时14元．(1)求这次行车总费用y 关于x 的表达式；(2)当x 为何值时，这次行车的总费用最低，并求出最低费用的值．解 (1)设所用时间为t ＝130x(小时)， y ＝130x ×2×⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋x 2360＋14×130x ，x ∈[50,100]． 所以，这次行车总费用y 关于x 的表达式是 y ＝2 340x ＋1318x ，x ∈[50,100]．(2)y ＝2 340x ＋1318x ≥2610， 当且仅当2 340x ＝13x 18， 即x ＝1810时等号成立．故当x ＝1810千米/时，这次行车的总费用最低，最低费用的值为2610元．12．某种商品原来每件售价为25元，年销售8万件．(1)据市场调查，若价格每提高1元，销售量将相应减少2 000件，要使销售的总收入不低于原收入，该商品每件定价最多为多少元？(2)为了扩大该商品的影响力，提高年销售量．公司决定明年对该商品进行全面技术革新和营销策略改革，并提高定价到x 元．公司拟投入16(x 2－600)万元作为技改费用，投入50万元作为固定宣传费用，投入15x 万元作为浮动宣传费用．试问：当该商品明年的销售量a 至少应达到多少万件时，才可能使明年的销售收入不低于原收入与总投入之和？并求出此时商品的每件定价．解 (1)设每件定价为t 元，依题意，有⎝ ⎛⎭⎪⎫8－t －251×0.2t ≥25×8， 整理得t 2－65t ＋1 000≤0，解得25≤t ≤40.∴要使销售的总收入不低于原收入，每件定价最多为40元．(2)依题意，x ＞25时，不等式ax ≥25×8＋50＋16(x 2－600)＋15x 有解， 等价于x ＞25时，a ≥150x ＋16x ＋15有解， ∵150x ＋16x ≥2150x ·16x ＝10(当且仅当x ＝30时，等号成立)，∴a ≥10.2， ∴当该商品明年的销售量a 至少应达到10.2万件时，才可能使明年的销售收入不低于原收入与总投入之和，此时该商品的每件定价为30元．。
2015高考数学一轮复习一元二次不等式及其解法
(2)分离参数法
如果欲求范围的参数能够分离到不等式的一边，那么这时可以 通过求出不等式另一边式子的最值(或范围)来得到不等式恒成 立时参数的取值范围.一般地，a≥f(x)恒成立时，应有 a≥f(x)max，a≤f(x)恒成立时，应有a≤f(x)min.
【加固训练】若函数f(x)=
【规范解答】(1)选A.不等式f(x)>0，
即(ax-1)(x+b)>0，其解集是(-1，3)，所以 a 0， ， a 1 1 ，解得 1 b 3， a b 3， 于是f(x)=(-x-1)(x-3)，所以不等式f(-2x)<0即为 (2x-1)(-2x-3)<0， 解得 x 1 或 x 3 . 2 2 (2)x2+x-2=(x-1)(x+2)<0,解得-2<x<1,解集为{x|-2<x<1}. 答案:{x|-2<x<1}
(3)①当a=0时，原不等式变为-x+1<0，此时不等式的解集为 {x|x>1}.
1 ②当a≠0时，原不等式可化为 a x 1 (x ) 0. a 1 若a<0，则上式即为 x 1 (x ) 0， a 又因为 1 1， 所以此时不等式的解集为{x|x>1或 x 1 }. a a 若a>0，则上式即为 (x 1)(x 1 ) 0. a 1 (ⅰ)当 1 1， 即a>1时，原不等式的解集为 {x | x 1}； a a (ⅱ)当 1 1， 即a=1 a 1 (ⅲ)当 1， 即0<a<1时，原不等式的解集为 {x |1 x 1}. a a
【解析】(1)正确.由不等式ax2+bx+c<0的解集为(x1,x2)可知函 数对应的抛物线开口向上，因此必有a>0. (2)正确.由一元二次不等式的解集与相应方程的根的关系可知 结论是正确的.
2015年陕西高考数学(含答案word版)
一、选择题1.设集合2{|}M x x x ==，{|lg 0}N x x =≤，则M N = A ．[0,1] B ．(0,1] C ．[0,1) D ．(,1]-∞2.某中学初中部共有110名教师，高中部共有150名教师，其性别比例如图所示，则该校女教师的人数为A ．167B ．137C ．123D ．933.如图，某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数3sin()6y x k πϕ=++，据此函数可知，这段时间水深（单位：m ）的最大值为 A ．5 B ．6 C ．8 D ．104.二项式(1)()n x n N ++∈的展开式中2x 的系数为15，则n =A ．4 B ．5 C ．6 D ．75.一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为A ．3π B ．4π C ．24π+ D ．34π+6.“sin cos αα=”是“cos 20α=”的A 充分不必要条件B 必要不充分条件C 充分必要条件D 既不充分也不必要7.对任意向量,a b，下列关系式中u 恒成立的是A ．||||||a b a b ∙≤B ．||||||||a b a b -≤-C ．22()||a b a b +=+ D ．22()()a b a b a b +-=-8.根据右边框图，当输入x 为2005时，输出的y =A28 B10 C4 D29.设()ln ,0f x x a b =<<，若p f =，()2a b q f +=，1(()())2r f a f b =+，则下列关系式中正确的是A ．q r p =< B ．q r p => C ．p r q =< D ．p r q =>10.某企业生产甲乙两种产品均需用A ，B 两种原料，已知生产1吨每种产品需原料及每天原料的可用限额如表所示，如果生产1吨甲、乙产品可获利润分别为3万元、4万元，则该企业每天可获得最大利润为A ．12万元B ．16万元C ．17万元D ．18万元11.设复数(1)z x yi =-+(,)x y R ∈，若||1z ≤，则y x ≥的概率 A ．3142π+ B ．1142π- C ．112π- D ．112π+ 12.对二次函数2()f x ax bx c =++（a 为非零整数．．），四位同学分别给出下列结论，其中有且仅有一个结论是错误的，则错误的结论是A ．-1是()f x 的零点B ．1是()f x 的极值点C ．3是()f x 的极值 D.点(2,8)在曲线()y f x =上 二、填空（本大题共4小题，每小题5分）13.中位数1010的一组数构成等差数列，其末项为2015，则该数列的首项为 14.若抛物线22(0)y px p =>的准线经过双曲线221x y -=的一个焦点，则p= 15.设曲线xy e =在点（0,1）处的切线与曲线1(0)y x x=>上点p 处的切线垂直，则P 的坐标为 16.如图，一横截面为等腰梯形的水渠，因泥沙沉积，导致水渠截面边界呈抛物线型（图中虚线表示），则原始的最大流量与当前最大流量的比值为三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．）17、（本小题满分12分）C ∆AB 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．向量()m a =与()cos ,sin n =A B平行．()I 求A ； ()II 若a =2b =求C ∆AB 的面积．18、（本小题满分12分）如图1，在直角梯形CD AB 中，D//C A B ，D 2π∠BA =，C 1AB =B =，D 2A =，E 是D A 的中点，O 是C A 与BE 的交点．将∆ABE 沿BE 折起到1∆A BE 的位置，如图2．()I 证明：CD ⊥平面1C A O ；()II 若平面1A BE ⊥平面CD B E ，求平面1C A B 与平面1CD A 夹角的余弦值．19、（本小题满分12分）设某校新、老校区之间开车单程所需时间为T ，T 只与道路畅通状况有关，对其容量为100的样本进行统计，结果如下：I 求T 的分布列与数学期望ET ；()II 刘教授驾车从老校区出发，前往新校区做一个50分钟的讲座，结束后立即返回老校区，求刘教授从离开老校区到返回老校区共用时间不超过120分钟的概率．20、（本小题满分12分）已知椭圆:E 22221x y a b +=（0a b >>）的半焦距为c ，原点O 到经过两点(),0c ，()0,b 的直线的距离为12c ．()I 求椭圆E 的离心率；()II 如图，AB 是圆:M ()()225212x y ++-=的一条直径，若椭圆E 经过A ，B 两点，求椭圆E 的方程．21、（本小题满分12分）设()n f x 是等比数列1，x ，2x ，⋅⋅⋅，n x 的各项和，其中0x >，n ∈N ，2n ≥．()I 证明：函数()()F 2n n x f x =-在1,12⎛⎫⎪⎝⎭内有且仅有一个零点（记为n x ），且11122n n n x x +=+； ()II 设有一个与上述等比数列的首项、末项、项数分别相同的等差数列，其各项和为()n g x ，比较()n f x 与()n g x 的大小，并加以证明．请在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分． 22、（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图，AB 切O 于点B ，直线AO 交O 于D ，E 两点，C D B ⊥E ，垂足为C ．()I 证明：C D D ∠B =∠BA ；()II 若D 3DC A =，C B =，求O 的直径．23、（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系x y O 中，直线l的参数方程为1322x t y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数）．以原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，C的极坐标方程为ρθ=．()I 写出C 的直角坐标方程；()II P 为直线l 上一动点，当P 到圆心C 的距离最小时，求P 的直角坐标．24、（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 已知关于x 的不等式x a b +<的解集为{}24x x <<．()I 求实数a ，b 的值； ()II的最大值．。
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7 98 6 3 8 9 3 9 8 8 4 1 5 10 3 1 11 4 （第4题图1）（第4题图2）≤≥12015高考数学最有可能考的100题一、选择题1.命题“R x ∈∀.，都有ln(x2+1)>0”的否定为 （ ）(A) R x ∈∀，都有ln(x2 +1)≤0 (B)R x ∈∃0，使得ln(x02+1)>0(C) R x ∈∀，都有ln(x2+l)<0 (D)R x ∈∃0，使得ln(x02+1)≤0【答案】D2．已知i 是虚数单位，则201311i i +⎛⎫ ⎪-⎝⎭的值是( )A ．iB ．i -C ．1D ．1- 【答案】 A3．下列命题的否定为假命题的是 A ．2,220x R x x ∃∈++≤B ．任意一个四边形的四个顶点共圆C ．所有能被3整除的整数都是奇数D ．22,sin cos 1x R x x ∀∈+= 【答案】D4．图1是某高三学生进入高中三年来的数学考试成绩的茎叶图，图中第1次到14次的考试成绩依次记为1214,,,.A A A 图2是统计茎叶图中成绩在一定范围内考试次数的一个算法流程图。
那么算法流程图输出的结果是（ ） A ．7 B ．8 C ．9 D ．10【答案】D>2013(0),(2013)(0)f f e f <<2013(2013)e f ->5．若复数（a －i ）2在复平面内对应的点在y 轴负半轴上，则实数a 的值是（ ）A ． 1B ．-1C ．2D ．-2【答案】A 6．已知函数2()1f x og x = ，若在[1，4]上随机取一个实数x0，则使得0()1f x ≥成立的概率为A ．13B ．12C ．23D ．34答案.C7.设不等式组22,42x y x y -+≥≥-⎧⎪⎨⎪⎩0≤， 表示的平面区域为D ．在区域D 内随机取一个点，则此点到直线+2=0y 的距离大于2的概率是( ) A. 413B. 513C. 825D. 925【答案】D8．已知)(x f 为R 上的可导函数，且R x ∈∀，均有)()(x f x f '>，则有（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】D9．两旅客坐火车外出旅游，希望座位连在一起，且仅有一个靠窗，已知火车上的座位的排法如表格所示，则下列座位号码符合要求的是A ．48，49B ．62，63C ．84，85D ．75，76【答案】C10．《九章算术》之后，人们进一步用等差数列求和公式来解决更多的问题，《张丘建算经》卷上第22题为：“今有女善织，日益功疾（注：从第2天起每天比前一天多织相同量的布），第一天织5尺布，现在一月（按30天计），共织390尺布”，则从第2天起每天比前一天多织（ ）尺布. A ．12B ．815C ．1631D ．1629【答案】D11. 定义在（－1，1）上的函数)(x f 满足：⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=-xy y x f y f x f 1)()(，当)0,1(-∈x 时，有0)(>x f ，若⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎭⎫⎝⎛=11151f f a ，)0(f b =，)(2-=e f c ，则a,b,c 的大小关系为 A. a c b >>B. b a c >>C. c b a >>D. c a b >>【答案】A12．函数212,41()(log ),5,35,2(2),4x x f x a f b c xf x x ⎧->⎪====⎨⎪+≤⎩记则 A ．a>b>c B ．b<a<cC ．a<c<bD ．a>c>b【答案】D13、下列命题中假命题是A 、x ∀＞0，有ln 2x+lnx ＋1＞0B 、,αβ∃∈R ，使cos()cos cos αβαβ+=+C 、“a 2＜b 2”是“a ＜b ”的必要不充分条件D 、m R ∃∈，使243()(1)m m f x m x -+=-是幂函数，且在（0，＋∞）上递减【答案】C14. 已知ABC ∆的三个顶点C B A ,,及所在平面内一点P 满足PA PB PC AB ++=，则点P 与ABC ∆的关系A ．P 在ABC ∆内部B ．P 在ABC ∆外部 C ．P 在边AB 上D ．P 在边AC 上 【答案】D15.△ABC 的外接圆的圆的加以为O,半径为1,若2AB AC AO +=，且||||AO AC =，则向量BA 在向量BC 方向上的射影的数量为( )A.32B.32C. 3D.-32【答案】A16．下列命题中，真命题是（ ） Ａ．2cos sin ,2,0>+⎢⎣⎡⎥⎦⎤∈x x x 使存在π Ｂ．)(x x x 212,,3≥+∞+∈使存在 Ｃ．1,2-=∈x R x x 使存在 Ｄ．x x x < ⎝⎛⎥⎦⎤∈sin ,2,0使对任意π【答案】D 17.设α、β为两个不同的平面，m 、n 为两条不同的直线，βα⊂⊂n m ,,有两个命题： P ：若α//β、则m//n; q:若n 丄α,则α丄β;那么（) A. “p 或q 是假命题 B. “ P 且q ”是真命题 C. “非p 或q 是假命题 D. “非p 且q 是真命题 【答案】D18．已知函数f(x)=20082cos (20000)32(2000)x x x x π-⎧≤⎪⎨⎪>⎩，则f[f （2013）]= A ．3 B ．-3C ．1D ． -1【答案】D19、某程序框图如右图所示，若输出的S ＝57，则判断框内填A 、k ＞4？B 、k ＞5？C 、k ＞6？D 、k ＞7？ 【答案】A 20.―个锥体的主视图和左视图如图所示,下面选项中，不可能是该锥体的俯视图的是【答案】C21．已知球的直径SC=4，A ，B 是该球球面上的两点，AB=2．∠ASC=∠BSC=45°则棱锥S —ABC的体积为A ．35 B ．233C ．433D ．533【答案】C22．若向量(23),(47),BA CA ==，，则BC = A ．（－2，－4） B ．（3．4）C ．（6，10）D ．（－6．－10）【答案】A23．已知全集U R =,集合{}|2A x x =≥，{|05}B x x =≤<，则集合)U C A B ⋂=（ （ ）A ．{|02}x x <<B ．{|02}x x <≤C ．{|02}x x ≤<D ．{|02}x x ≤≤【答案】C 。
{}|2U C A x x =<){|02}U C A B x x ∴⋂=≤<（，故选C24．设m 、n 为空间的两条不同的直线，α、β为空间的两个不同的平面，给出下列命题：①若m ∥α，m ∥β，则α∥β；②若m ⊥α，m ⊥β，则α∥β； ③若m ∥α，n ∥α，则m ∥n ；④若m ⊥α，n ⊥α，则m ∥n ． 上述命题中，所有真命题的序号是A. ①②B. ③④C. ①③D. ②④ 【答案】D25．要得到函数y= cos （2x+1）的图象，只要将函数y=cos2x 的图象 A ．向左平移1个单位 B ．向右平移1个单位 C ．向左平移12个单位 D ．向右平移12个单位 【答案】C26函数f （x ）=1n x －212x 的图像大致是【答案】C27.现在定义直角坐标系内任意两点),(),,(2211y x y x B A 之间的一种“距离”：y y x x AB 2121-+-=，给出下列三个命题：① 若点C 在线段AB 上，则AB CB AC =+； ② 在△ABC 中，若∠C=90,则AB CB AC =+； ③ 在△ABC 中，AB CB AC >+。
其中真命题的个数为（ ）A. 0B. 1C. 2D. 3 【答案】B28．已知向量a b 、是夹角为60°的两个单位向量，向量λa b ＋（λ∈R ）与向量2-a b 垂直，则实数λ的值为（ ）A 、1B 、－1C 、2D 、0 【答案】D29．如果若干个函数的图象经过平移后能够重合，则称这些函数为“同簇函数”.给出下列函数：①()sin cos f x x x =；②()2sin()4f x x π=+；③()sin 3cos f x x x =+；④()2sin 21f x x =+.其中是“同簇函数”的是A. ①②B. ①④C. ②③D. ③④ 【答案】C30定义区间(, )a b ，[, )a b ，(, ]a b ，[, ]a b 的长度均为d b a =-. 用[]x 表示不超过x 的最大整数，记{}[]x x x =-，其中R x ∈.设()[]{}f x x x =⋅，()1gx x =-，若用d 表示不等式()()f x gx <解集区间的长度，则当03x ≤≤时，有A ．1d =B ．2d =C ．3d =D ．4d =【答案】A二、填空题31.函数x xx f 21)(-=的定义域是________【答案】32.已知球O 是棱长为62的正方体ABCD －1111D C B A 的内切球，则平面1ACD 截球O 的截面的面积为__________。
【答案】15. π433. 在某大型企业的招聘会上，前来应聘的本科生、硕士研究生和 博士研究生共2000人，各类毕业生人数统计如图所示，则博士研究生 的人数为_____.【答案】24034.某篮球运动员在7天中进行投篮训练的时间（单位：分钟）用茎叶图表示（如图），图中左列表示训练时间的十位数，右列表示训练时间的个位数，则该运动员这7天的平均训练时间为 ▲ 分钟． 【答案】7235.根据如图所示的伪代码，最后输出的S 的值为 ． 【答案】14536．计算：1122log sin15log cos15+o o = ．【答案】237.定义运算，则关于非零实数x 的不等式的解集为 。
【答案】()[)1,00,2,2⎛⎤-∞⋃⋃+∞ ⎥⎝⎦38．观察下列算式：l 3 =1, 23 =3+5, 33= 7+9+11,S ←0For I From 1 to 28 Step 3 S ←S +I End For Print S（第34题）6 4 57 7 2 58 0 1（第3343 =13 +15 +17 +19 ，… … … … 若某数n 3按上述规律展开后，发现等式右边含有“2013”这个数，则n= ． 【答案】4539．设变量x ，y 满足约束条件010,14312x y y z x x y ≥⎧+⎪≥=⎨+⎪+≤⎩则的取值范围 。
【答案】[1/4,5]40、在极坐标系中，圆ρ＝2上的点到直线sin()6πρθ+＝3的距离的最小值是＿＿＿＿【答案】141.我们把焦点相同，且离心率互为倒数的椭圆和双曲线称为一对“黄金搭档”．已知1F 、2F 是一对“黄金搭档”的焦点，P 是它们在第一象限的交点，当 6021=∠PF F 时，这一对“黄金搭档”中双曲线的离心率是 【答案】342计算：i+2i 2+3i 3+……+359i 359= 。