北师大版九年级上册 第二章一元二次方程的解法专题

专题 一元二次方程的解法

类型1 直接开平方法

形如x 2＝p(p ≥0)或(mx ＋n)2＝p(p ≥0)的方程，用直接开平方法求解．

1．用直接开平方法解下列方程：

(1)3x 2－27＝0； (2)(x ＋3)2＝(1－2x)2.

类型2 配方法

当二次项系数为1，且一次项系数为偶数时，用配方法求解．

2．用配方法解下列方程：

(1)9y 2－18y －4＝0； (2)14

x 2－6x ＋3＝0.

类型3 因式分解法

能化成形如(x ＋a)(x ＋b)＝0的一元二次方程用因式分解法求解．

3．用因式分解法解下列方程：

(1)x(x －2)＋x －2＝0； (2)5x(x －3)＝6－2x (3)5(x －3)2＝x 2－9.

类型4 公式法

当方程没有明显特征时，运用公式法求解．

4．用公式法解下列方程：

(1)2x 2－3x ＋1＝0； (2)4x 2－36x ＋3＝0； (3)3x(x －3)＝2(x －1)(x ＋1)． .

类型5 选择合适的方法解一元二次方程

5．用适当的方法解下列方程：

(1)x 2－4x －6＝0； (2)4x 2－4x －3＝0； (3)(x ＋8)(x ＋1)＝－12；

(4)－3x ＋12

x 2＝－2； (5)4(x ＋1)2＝9(x －2)2； (6)(2x －1)(x ＋1)＝(3x ＋1)(x ＋1)．

类型6 换元法

6．【注重阅读理解】(教材P57复习题T12变式)阅读材料：

为了解方程(x 2－1)2－5(x 2－1)＋4＝0，我们可以将x 2－1看作一个整体，设x 2－1＝y ，那么

原方程可化为y2－5y＋4＝0①，解得y1＝1，y2＝4.当y＝1时，x2－1＝1，∴x2＝2.∴x＝±2；当y＝4时，x2－1＝4，∴x2＝5.∴x＝±5，故原方程的解为x1＝2，x2＝－2，x3＝5，x4＝－ 5.

解答问题：

(1)上述解题过程，在由原方程得到方程①的过程中，利用换元法达到了降次的目的，体现了转化的数学思想；

(2)请利用以上知识解方程：(x2＋x)2－5(x2＋x)＋4＝0；

(3)已知实数a，b满足(a2＋b2)2－3(a2＋b2)－10＝0，试求a2＋b2的值．

根据一元二次方程根的情况求字母系数的取值(范围)

【方法指导】关于x的方程ax2＋bx＋c＝0有实数根，注意对a分类讨论．

(1)当a＝0，且b≠0时，方程为一元一次方程，必有实数根；

(2)当a≠0时，方程为一元二次方程：①当Δ>0时，方程有两个不相等的实数根；②当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；③当Δ<0时，方程没有实数根．

已知关于x的一元二次方程m2x2＋(2m＋1)x＋1＝0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是．

【变式1】若该一元二次方程有两个相等的实数根，则m的值为．

【变式2】若该一元二次方程没有实数根，则m的取值范围是．

【变式3】若该一元二次方程有实数根，则m的取值范围是．

【变式4】若方程m2x2＋(2m＋1)x＋1＝0有实数根，则m的取值范围是．