简单几何体
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简单几何体结构简图
画龙点晴
概念棱柱：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行由这些面所围成的几何体称为棱柱。两个互相平行的面叫做棱柱的底面, 其余各面叫做棱柱的侧面, 两个侧面的公共边叫做棱柱的侧棱, 侧面和底面的公共顶点叫做棱柱的顶点.不在同一个平面上的两个顶点的连线叫做棱柱的对角线, 两个底面的距离叫做棱柱的高.
棱柱的分类: 按侧棱与底面的关系, 棱柱可分为: 斜棱柱: 侧棱不垂直于底面的棱柱叫做斜棱柱. 直棱柱：侧棱垂直于底面的棱柱叫做直棱柱. 正棱柱：底面是正多边形的直棱柱叫做正棱柱. 按底面的多边形的边数可分为: 底面是三角形、四边形、五边形??我们把这些棱柱分别叫做三棱柱、四棱柱、五棱柱??
棱柱的表示法: 棱柱用表示底面各顶点的字母表示, 或者用棱柱对角线的两个端点的字母表示, 如五棱柱可表示为:棱柱ABCDE-A/ B/ C/ D/ E/ , 或棱柱AC/.
棱柱的性质：
(1) 侧棱都相等, 侧面都是平行四边形；
(2) 两个底面与平行于底面的截面都是全等的多边形；
(3) 过不相邻的两条侧棱的截面(对角面)是平行四边形；
直棱柱的性质: 直棱柱的侧棱长和高相等，侧面及经过不相邻的两条侧棱的截面都是矩形。
平行六面体: 底面是平行四边形的四棱柱叫做平行六面体.
长方体: 底面是矩形的直平行六面体叫做长方体, 长方体的一条对角线长的平方和等于一个顶点上三条棱的长的平方和.
正方体: 棱长都相等的长方体叫做正方体.
公式
棱柱的侧面积和全面积 : 直棱柱的侧面积等于它的底面周长 C 与高 h 的乘积, 即S 直棱柱 Ch , 斜棱柱的侧 面积等于它的直截面 (垂直于侧棱并与每条侧棱都相交的截面
)的周长 C 1 与侧棱长 l 的乘积 ,
即
S
斜棱柱侧 C 1 l
, 棱柱的全面积等于侧面积与两底面积的和 .
[活用实例 ]
[例1] 如图，在平行六面体 ABCD-A 1B 1C 1D 1中，已知 AB=5，AD=4，AA 1=3， AB AD ，
(1) 求证 : 顶点 A1在底面 ABCD 的射影 O 在∠ BAD 的平分线上 ; (2)
求这个平行六面体的表面积 .
[ 题解 ](1) 如图 , 连结 A 1O, 则 A 1O ⊥底面 ABCD. 作OM ⊥AB 交AB 于M,作ON ⊥AD 交 AD 于N,连结 A 1M,A 1N.
由三垂线定理得 A 1M ⊥ AB,A 1N ⊥AD.
∵ ∠A 1AM=∠A 1AN,∴ Rt △A 1NA ≌Rt △A 1MA.∴
A 1M=A 1N.
∴ OM=ON. ∴ 点 O 在∠ BAD 的平分线上 .
13
(2)
AM AA 1 cos
3 ,
3 2 2 AN 3 ,
2 3
3 侧面AB 1和侧面 DC 1的面积都等于
4 =6,侧面AD 1和侧面BC 1的面积都等于
5 =7.5,
22 又AB AD ， 两底面面积都等于 4 5=20， 平行六面体的表面积
为 2(6+7.5 )+20=47. [例2] 如图,A 1B 1C 1-ABC 是直三棱柱 ,过点A 1、B 、C 1的平面和平面 ABC 的交线记作 l . (1) 判定直线 A 1C 1和l 的位置关系 ,并加以证明 ; (2) 若 A 1A=1,AB=4,BC=3, ∠ ABC=90° , 求顶点到直线
[ 题解 ](1) 根据棱柱的定义知平面 A 1B 1C 1和平面 ABC 平行 .
由题设知直线 A 1C 1=平面A 1B 1C 1∩平面 A 1BC 1 ,直线 l =平面A 1BC 1∩平面 ABC. 根据两平面平行的性质定理有 l ∥A 1C 1.
(2) 解法一 :过点A 1作A 1E ⊥ l 于E,则A 1E 的长为点 A 1到l 的距离 .
连结AE.由直棱柱的定义知 A 1A ⊥平面 ABC. ∴ 直线 AE 是直线 A 1E 在平面 ABC 上的射影 . 又 l 在平面 ABC 上,根据三垂线定理的逆定理有 AE ⊥l .
A 1AB= A 1AD= ，
3
l 的距离 .
4
由棱柱的定义知 A 1C 1∥AC,又l ∥A 1C 1, l ∥AC.
作BD ⊥AC 于D,则BD 是Rt △ABC 斜边AC 上的高 ,且BD=AE,
从而
AE=BD=
AB BC
AC
43
5 12 5
在Rt △A 1AE 中, ∵ A 1A=1, ∠ A1AE=90°
2
12 2 2 13 13 A 1E AE 2 A 1A
( )2 12 . 故点 A 1到直线 l 的距离为
.
5 5 5 解法二 : 同解法一得 l ∥ AC.
由平行直线的性质定理知∠ CAB=∠ABE,从而有 Rt △ABC ∽Rt △ BEA,AE:BC=AB:AC,
BC AB AE , 以下同解法一 .
AC
[例3] 如图, 已知A 1B 1C 1-ABC 是正三棱柱 ,D 是AC 中点. (1) 证明 AB 1∥平面 DBC1;
(2) 假设 AB 1⊥BC 1,求以 BC 1为棱,DBC 1与CBC 1为面的二面角α的度数 .
[ 题解 ](1) ∵ A 1B 1C 1-ABC 是正三棱柱 , ∴四边形 B 1BCC 1是矩
形 . 连结B 1C 交BC 1于E,则B 1E=EC.连结 DE. 在△ AB1C 中, ∵AD=DC ∴, DE ∥AB 1.
又 AB 1 平面 DBC 1, DE 平面 DBC 1, ∴ AB 1∥平面 DBC 1.
(2) 作DF ⊥BC,垂足为 F,则DF ⊥面B 1BCC 1,连结EF,则EF 是ED 在平面 B 1BCC 1上的射影 .
∵AB 1⊥ BC 1, 由(1) 知AB 1∥DE,∴DE ⊥BC 1,则BC 1⊥EF,∴∠ DEF 是二面角α的平面角
1 设AC=1, 则 DC= .
2
∵△ ABC 是正三角形 ,∴在 Rt △DCF 中,
DF DC sinC
3 ,
CF= DC cosC
取 BC 中点 G.∵ EB=EC,∴ EG ⊥BC. 在Rt △ BEF 中 ,AC=1, 2 3 1
EF 2 BF GF, 又BF=BC-FC= , GF= ,
44
∴∠ DEF=45° . 故二面角α为 45°.
概念 棱锥：有一个面是多边形、其余各面是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的几何体叫做棱锥 .
这 个多边形叫做棱锥的底面 , 其余各面叫做棱锥的侧面 , 相邻侧面的公共边叫做棱锥的侧棱 , 各侧面的公共点 叫做棱锥的顶点 , 顶点到底面的距离叫做棱锥的高 .
棱锥的分类 : 按底面多边形的边数 , 棱锥可分为三棱锥、四棱锥、五棱锥 ?? 棱锥的表示法 : 棱锥用表示顶点和底面各顶点 , 或者底面一条对角线端点的字母来表示 . 例如,棱锥 S-ABCDE,或棱锥 S-AC. 正棱锥：底面是正多边形，并且顶点在底面上的射影是底面中心，这样的棱锥叫做正棱锥 . 正棱锥的性质：
(1) 各侧棱相等，各侧面是全等的等腰三角形；
(2) 棱锥的高、斜高及斜高在底面上的射影(底面的边心距)组成一个直角三角形，这个直角角三角形的 一个锐
角是侧面与底面的夹角；
(3) 棱锥的高、侧棱和侧棱在底面上的射影(底面正多边形外接圆半径)也组成一个直角三角形，这个直 角三角
形的一个锐角是侧棱与底面的夹角。 如果棱锥被平行于底面的平面所截，那么截面和底面相似，并且它们的面积比等于等于 截得的棱锥的高和已知棱锥的高的平方比；截得棱锥与已知棱锥的侧面积之比也等于它们相应
的高的平方 比。
棱锥的中截面 : 过棱锥的高的中点并且平行于底面的截面叫做棱锥的中截面 .
公式
正棱锥的侧面积和全面积 : 正棱锥的侧面积等于底面周长 C 与斜高 h /乘积的一半 . 即 S 正棱锥侧 1C h .
2
[活用实例 ]
[例4] 如图,在三棱锥 S-ABC 中,S 在底面上的射影 N 位于底面的高 CD 上;M 是侧棱SC 上的一点 ,使截面MAB
与底面所成的角等于∠ NSC. 求证： SC 垂直于截面 MAB.
2
3 1
3 3
DF
EF
2
即 EF= .
tan DEF
44 16
4
EF
1
343
般棱锥的性质
概念
多面体：由若干个平面多边形围成的几何体叫做多面体 . 围成多面体的各个多边形叫做多面体的面 . 两个面 的公共边叫做多面体的棱 . 若干个面的公共顶点叫做多面体的顶点 .
凸多面体 : 把多面体的任何一个面伸展为平面 , 如果所有其他各面都在这个平面的同侧 , 这样的多面体叫 做凸多面体 .
正多面体：每个面都是有相同边数的正多边形，且以每个顶点这其一端都有相同数目的棱的凸多面体叫做 正多面体 .
[ 题解 1] 因为 SN 是底面的垂线 ,NC 是斜线 SC 在底面上的射影 ,AB ⊥NC,所以 AB ⊥ SC （据三垂线定理 ）. 连结 DM.
因为AB ⊥DC,AB ⊥SC,所以AB 垂直于 DC 和SC 所决定的平面 . 又因 DM 在这平面内 , 所以 AB ⊥ DM.
∴∠ MDC 是截面与底面所成二面角的平面角 , ∠MDC=∠NSC.
在△MDC 和△NSC 中,因为∠MDC=∠NSC,∠DCS 是公共角 ,所以∠ DMC ∠= SNC=90°从而 DM ⊥SC.
从AB ⊥SC,DM ⊥SC,可知SC ⊥截面 MAB.
[题解2]连结DS,DM ，因为 SN 是底面的垂线 ,AB ⊥DN,所以AB ⊥ DS （据三垂线定理 ）. 从而AB ⊥平
面 SDC. 因SC,DM 都在平面 SDC 内, 故AB ⊥SC,AB ⊥DM.
由AB ⊥DM,AB ⊥DC,可知∠ MDC 是截面与底面所成二面角的平面角 , ∠MDC=∠NSC.
以下同证法一 ,故SC ⊥截面 MAB.
[ 题解 3] 连结 DM,DS. 因为 M,N 分别在△ SDC 的两边上 , 所以 SN 和DM 都在平面内 , 且相交于一
点 P. 又因PN 是底面的垂线 ,AB ⊥DN,所以 AB ⊥ DM （据三垂线定理 ）. ∴∠ MDC 是截面与底面所成二面角的平面角 , ∠MDC ∠= NSC.
又∠ MDC=∠NSC,∠DCS 是△ DCM 和△ SCN 的公共角 ,故∠ DMC ∠= SNC=90° .从而从AB ⊥DM,AB ⊥DC,可知 AB ⊥平面 MDC.因为SC 是平面 MDC 内的直线 ,所以AB ⊥ SC. 从 AB ⊥ SC,DM ⊥SC,可知 SC ⊥截面 MAB.
[例 5] 如图，正四棱锥的棱长和底面边长均为 a, 求：（ 1）侧面与底面所成角 的余弦； 2）相邻两个侧面所成二面角
的余弦。
[ 题解 ] （ 1）作 SO ⊥面 ABCD 于 O ，作 SE ⊥BC 于 E ， 31
SE a,OE a, cos
22
OE SE
（2）设 SA 的中点为 F ，连接 BF 、 DF ，
SAB
BF SA,DF SA, BFD
BF
DF
3
a,BD 2a, cos 2
DF 2 BF 2
BD
2
2 DF BF
连接 OE ，
SAD
正多面体的种类: 正多面体只有五种：正四面体、正六面体、正八面体、正十二面体和正二十面体，其中正四面体、正八面体、正二十面体的面是正三角形，正六面体的面是正方形，正十二面体的面是正五边形。
公式
欧拉公式: 简单多面体的顶点数V、面数 F 的和与棱数 E 之间存在规律V+F-E=2，它叫做欧拉公式。
[活用实例]
[ 例6] 如果一个凸多面体，各顶点引出奇数条棱，求证：顶点数为偶数。
[题解1] 假设多面体的顶点数V=2n+1(n 1,n N*)，第i 个顶点处有2m i +1条棱(m i 1, m i N*)，
棱数为E，则2E=(2m1+1)+ (2m 2+1)+ ??..+ (2m i +1)+??.+ (2m 2n+1+1)
=2(m 1+m2+??+m i +??m2n+1)+(2n+1).
E=(m1+m2+??+m i +??m2n+1)+n+ 1.
2
这与棱数是正整数矛盾，此多面体的顶点数为偶数。
[ 题解2] 设顶点数为V，各顶点引出的棱数分别为2n1+1、2n2+1、??、2n V+1(n i 1，n i N*),
1
则棱数E= [(2n 1+1)+(2n 2 +1)+ ??+(2n V+1)],
2
2E=2(n 1+n2+??+n V)+V, V=2E-2(n 1+n2+??+n V). 故V 一定是偶数.
[ 例7] 一个多面本，每个面的边数相同，每个顶点出发的棱数也相同，若各个面的内角总和为36000，
求这个多面体的面数F、顶点数V 及棱数 E.
[ 题解] 设多面体的每个面的边数为x ，每一个顶点处出发的棱数为y，则
3600 0=F (x 2) 1800, F(x-2)=20,
20 F=
x2
Fx 10x
E= .又E Vy,
2E
V20x.
2 x 2
2,y(x 2)y.
代入欧拉公式得20x2010x
10
.
2. x 2
(x 2)y x2x23y 5
又x 3,(x
N*), y 3,(y
N*),
可得 3 y 5. y=3,4,5
y 3 或4,x N *, y=5时,x=3,
这个多面体的各面是三角形，各顶点处有5条棱，
所以，这个多面体有12 个顶点，20 个面，30 条棱.
[例8] 一个简单多面体的顶点数为12，以每个顶点为一端都有 3 条棱，面的形状只有四边形和六边形，求多面体中四边形和六边形数目。
[题解] 设这个多面体中四边形和六边形分别有x 个、y个，则面数F=x+y，
3V 1
V=12 且每个顶点为一端都有 3 条棱，E= (3 12) =18，
22 由欧拉公式V+F-E=2，得12+( x+y ) -18=2 ，即x+y=8 ①，
11
又E= (4x 6y) (3 12) ，即时2x+3y=18 ②，22
由①、②解得x=6,y=2 ，该简单多面体有 6 个四边形， 2 个六边形。
概念
体积 : 几何体占有空间部分的大小叫做它的体积
定理
祖暅原理： 夹在两个平行平面间的几何体，被平行于这两个平面的任何平面所截，如果截得的两 个截面的面积都相等，那么这两个几何体的体积相等。
公式
abc ,其中 a,b,c 分别为长方体的长、宽、高
点评：(1) 三棱锥的四个面都可以做底面，解题时可根据具体问题选择；
长方体的体积 : V 长方体 正方体的体积 : V 正方体
a 3 , 其中 a 为正方体的棱长 .
柱体的体积公式： 锥体的体积公式： V 柱体= Sh ， 其中 S 是柱体的底面积， h 是柱体的高 . 1
V 锥体= Sh ，其中 S 是锥体的底面积， h 是锥体的高 .
3
[活用实例 ]
[例 9] 三棱锥 A — BCD 中 AB CD ，且 AB=m ，CD=n ，EF 是AB 、CD 的公垂线段， FE=h ，
求三棱锥的体积， V A-BCD 。.
[题解 ]连 CE 、DE ， AB CD,AB EF,CD EF F,则 AB 平面 CED ，则
1
V A-BCD =V A-CED +V B-CED = S
CED
3
AE 1S CED
3 BE 1S CED
3
11 AB
32
CD EF AB
1
= mnh. 6
点评 ：这里用的就是分割，
把一个三棱锥分割成两个，分别求体积。
[例 10] 三棱锥 P —ABC 中， PA=a ，AB=AC=2a ， PAB= PAC=
BAC=60o ，
求三棱锥 P — ABC 的体积 .
[ 题解 ] 在 PAB 中， PA=a ， AB=2a ， PAB=60o ，由余弦定理可得 PB= 3a ，
AB 2=PA 2+PB 2， PA PB, 同理可证 AP PC ，
也就是可以把 PBC 作为底面，高 AP=a ，只需求 PBC 的面积即可。
∵AB=AC=2，a BAC=60o
BC=2a ， B C 边上高线 PD= 3a ，
S
PBC
1
BC PD
2
1
2a 3a 2
3a 2
,
V
A PBC
1
S PBC PA 1 3a 33
AP 平面 PBC ，
(2) 本题也可以用 ABC 作底，由已知从 A 点出发的三条射线两两所成角都是 60o ，点 P 点在平面 ABC
上的射影 O 落在 BAC 的平分线 AD 上， PO 是高线， 由已知条件求出正三角形 ABC 的面积， 再求出 PO 长即 可。
[例 11] 已知 ABCD-A 1B 1C 1D 1是棱长为 a 的正方
体， 求四棱锥
概念
球：半圆以它的直径为旋转轴，旋转所成的曲面叫做球面 . 球面所围成的几何体叫做球体，简称球 .半圆的 圆心叫做球心 . 连结球心和球面上任一点的线段叫做球的半径 . 连结球心和球面上两点并且经过球心的线 段叫做球的直径 . 球面也可以看作与定点的距离等于定长的点的集合
(轨迹 ).
球的表示 : 一个球通常用它的球心的字母来表示 , 例如球 O. 球的截面的性质：
(1) 球的截面是圆面 ;
(2) 球心和截面圆心的连线垂直于截面 ;
22
R d .
球的大圆和小圆 : 球面被经过球心的平面截得的圆叫做球的大圆 , 被不经过球心的截面截得的圆叫做球的 小圆. 两点间的球面距离 : 在球面上，两点之间的最短路线 , 就是经过这两点的大圆在这两点间的一段劣弧的长 度 , 这个弧长叫做两点间的球面的距离 .(求两点间的球面的距离的关键，在于求出过这两点的球半径的夹 角). 经度 : 某地的经度是一个二面角的度数， 即经过该地的经线所在半圆面与 00 经线所在半圆面所成的二面角 的度数。
纬度 : 某地的纬度是一个线面角的度数，即该地与球心的连线与赤道平面所成角的度数。
公式
球的表面积公式 : 设球的半径为 R ，则球的表面积为 S 球面=4 R 2，即球的面积等于大圆面积的 4 倍。 4
球的体积公式 : V 球= R 3.其中 R 为球的半径 .
3
E 、
F 分别为棱 AA 1与 CC 1的中点，
A 1-EBFD 1的体积。
[ 题解 ] EB BF FD 1 D 1E
a 2 (a 2)2
5 a, 2
四棱锥 A 1-EBFD 1的底面是菱形，连接 EF ，则 EFB
EFD 1，
V
A 1 EF
B V A 1 EFD 1
,
CC 1 || 平面 ABB 1A 1，
三棱锥 F-EBA 1的高是 CC 1到平面 AB 1 的距离，即棱长
a ， 1
A 1E 2 EBA 1
V
A 1 V A 1 12
a . 4 a a 2 12 a 4 13 a. 6
等积变换”和“割补”的思
想， AB EFB
EBFD 1
V F EBA 1
2V A 1 EFB
1 3
. a. 12 点评 ：本例运用
锥的体积，而求三棱锥的体积又利用了三棱锥的特点(体积的自等
性) 将求一个四棱锥的体积转化为求两个体积相等的
三棱 ，从而简化计算。
［活用实
例］
［例12］在球O内有相距1cm 的两个平行截面，截面面积分别为求球O 的表面积。
［题解］作球O 的轴截面如图所示，圆O是球的大圆，
A 1B1、A 2B2分别是两个平行截面圆的直径，
过O作OC1 A1B1于C1，交A2B2于C2， A 1B 1||A 2B2，C1、C2分别为A1B1、A2B2 的中点，
设两平行截面的半径分别为r1、r2,且r2>r1, 则有r12=5 r12=5, r22=8,
OA 1、OA 2都等于球的半径R，5 cm2和8 cm2，球心不在截面之间，
r22=8
A2 OC1 A2B2，B
OC1= R2r12R25 ，OC2= R2R28 ，R25 R28 1，解得R2 =9，
S 球=4 9=36 （cm2）.
［例13］ A 、B、C是球面上三点，已知弦
AB=18cm ，离恰好为球半径的一半，求球的面积。［题解］ AB 2+BC 2=AC 2，ABC 为直角三角形，ABC 的外接圆O1的半径r=15cm ，BC=24cm ，A C=30cm
，
平面ABC 与球心O 的距
因圆O1即为平面ABC 截球O 所得的圆面，因此有
R
R2=（R）2+152，
2
R2=300，S 球=4 R2=1200 （cm2）.
点评：求球的表面积实际上即求球的半径，要注意利用球的截面的性质［例14］设地球的半径为R，在北纬600圈上甲、乙两地，它们在纬度圈R
上的弧长是, 求这两地的球面距离。
2
1 ［题解］如图北纬600圈小圆的半径，O1A=O 1B=OAcos60
0= R,
2 R 北纬600圈上弧长是R的弧对的圆心角AO1B= 2，
北纬2 1 R
2
即AB 为北纬600圈小圆的直径，由AO=BO=R ，OAB AOC 3
R
OAB 为正三角形，AOB 为球心角，弧AEB= 即为所求.
3
[ 例15] 如图，球面上有三个点，其中任意两点的球面距离都等于大圆周长的
长为4
［题解］
，求这个球的半径。
由已知AOB= BOC= COA=60 0，
则OAB 、OAC 、OBC 是等边三角形，ABC 是正三角形，
设球半径为R ，，则
AB=BC=CA=R ，
ABC 外接圆半径r= 3R ，
3
2
3
1
3
由已知小圆即 ABC 外接圆周长为 4 ，即 r=2，
3
R=2， R=2 3 . 3
[ 例 16] 正三棱锥 P-ABC 的侧棱长为 ，两侧棱的夹角为 2 ，求其外接球的体积 [题解 ]如图，作 PD 底面 ABC 于 D ，则 D 为正三角形 ABC 的中心， OD 底面
ABC ， P 、O 、D 三点共线，
PA PB PC , APB 2 ,
A P D A 233sin ，又 OP=OA=R ， PE 12PA 1
2
PO
PE cos
4
2
sin 2 3 3 3 3 4sin 2
]3=
2 2
4 2 2(3 4sin 2 )2 1 sin 3
2
2 2 sin ,
3
23 AB 2 2
2 2
cos2
AD AB
sin
3
3
设 APD
，作 OE PA 于
E ， 在 Rt PAD 中，
sin P
O
D
A
1.1简单几何体 教案 (高中数学必修二北师大版)
§1简单几何体 1．1简单旋转体 1．2简单多面体 (教师用书独具) ●三维目标 1．知识与技能 (1)认识柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征，并能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构．(2)掌握简单几何体的分类． 2．过程与方法 通过对简单几何体结构的描述和判断，培养学生的观察能力和空间想象能力． 3．情感、态度与价值观 通过对简单几何体的学习，体会数学的应用价值，增加学生学习数学的兴趣． ●重点难点 重点：简单几何体的结构特征． 难点：简单几何体的分类． 教学时要从生活空间里各式各样的几何体的特点入手，引导学生观察、归纳出几何体的结构特征，进而认识旋转体与多面体，找准彼此的分类特征． (教师用书独具)
●教学建议 本节内容是学习立体几何的第一节，是对简单几何体的初步认识，为以后学习立体几何内容作好图形基础．本节课宜采用观察总结式教学模式，即在教学过程中，让学生观察现实生活的几何体，在老师的引导下，去认识简单的旋转体和简单的多面体，让学生观察、讨论、总结出各几何体的特征，让学生学会把具体生活空间几何体抽象到数学中的立体几何体． ●教学流程 创设问题情景，引出问题，旋转体与多面体的特征是什么？?引导学生结合现实空间几何体来认识圆柱、圆锥、圆台、球与棱柱、棱锥、棱台?通过例1及其互动探究，使学生掌握平面图形的旋转问题?通过例2及其变式训练，使学生掌握简单多面体的特征?通过例3及变式训练，使学生认识简单组合体的构成?归纳整理，进行课堂小结整体认识本节课所学知识?完成当堂双基达标，巩固所学知识并进行反馈、矫正 观察下列图形 思考它们有什么共同特点？是怎样形成的？ 【提示】共同特点：组成它们的面不全是平面图形．可以由平面图形旋转而成． 1．旋转体的定义：一条平面曲线绕着它所在的平面内的一条定直线旋转所形成的曲面叫作旋转面；封闭的旋转面围成的几何体叫作旋转体．
空间几何体 - 简单 - 讲义
空间几何体 知识讲解 一、构成空间几何体的基本元素 1.几何体的概念 概念：只考虑形状与大小，不考虑其它因素的空间部分叫做一个几何体，比如长方体，球体等． 2.构成几何体的基本元素：点、线、面 （1）几何中的点不考虑大小，一般用大写英文字母A B C ，，来命名； （2）几何中的线不考虑粗细，分直线（段）与曲线（段）；其中直线是无限延伸的，一般 用一个小写字母a b l ，，或用直线上两个点AB PQ ，表示； 一条直线把平面分成两个部分． （3）几何中的面不考虑厚薄，分平面（部分）和曲面（部分）； 其中平面是一个无限延展的，平滑，且无厚度的面，通常用一个平行四边形表示，并把它想象成无限延展的； 平面一般用希腊字母αβγ ，，来命名，或者用表示它的平面四边形的顶点或对角顶点的字 母来命名，如右图中，称平面α，平面ABCD 或平面AC ； 一个平面将空间分成两个部分． 3.用运动的观点理解空间基本图形间的关系 理解：在几何中，可以把线看成点运动的轨迹，点动成线；把面看成线运动的轨迹，线动成面；把几何体看成面运动的轨迹（经过的空间部分），面动成体． 二、多面体的结构特征 1.多面体 D C B A α
1）多面体的定义 由若干个平面多边形所围成的几何体．围成多面体的各个多边形叫做多面体的面，相邻两个面的公共边叫做多面体的棱，棱与棱的公共点叫做多面体的顶点，连结不在同一个面上的两个顶点 的线段叫做多面体的对角线． 2）多面体的分类 按凹凸性分类：把一个多面体的任意一个面延展成平面，如果其余的各面都在这个平面的同一侧，则这样的多面体就叫做凸多面体．否则就叫做凹多面体． 按面数分类：一个多面体至少有四个面．多面体按照它的面数分别叫做四面体、五面体、六面体等等． 3）简单多面体 定义：表面经过连续变形可以变成球体的多面体叫做简单多面体； 欧拉公式：简单多面体的顶点数V 、面数F 和棱数E 有关系2V F E +-=． 4）正多面体 定义：每个面都有相同边数的正多边形，每个顶点都有相同棱数的凸多面体，叫做正多面体； 正多面体只有正四面体、正六面体、正八面体、正十二面体、正二十面体这5种；经过正多面体上各面的中心且垂直于所在面的垂线相交于一点，这点叫做正多面体的中心，且这点到各顶点的距离相等，到各面的距离也相等． 2.棱柱 1）棱柱的定义 由一个平面多边形沿某一确定方向平移形成的空间几何体叫做棱柱．平移起止位置的两个面叫做棱柱的底面，多边形的边平移所形成的面叫做棱柱的侧面；相邻侧面的公共边叫做棱柱的侧棱；过不相邻的两条侧棱所形成的面叫做棱柱的对角面；与底面垂直的直线与两个底面的交点部分的线段或距离称为棱柱的高． 下图中的棱柱，两个底面分别是面ABCD ，A B C D ''''，侧面有ABBA ''，DCC D ''等四个，侧棱为AA BB CC DD ''''，，，，对角面为面ACC A BDD B ''''，，A H '为棱柱的高．
高中简单立体几何体(附例题详解)资料讲解
2. 简单几何体 知识网络 简单几何体结构简图 画龙点晴 概念 棱柱：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行由这些面所围成的几何体称为棱柱。两个互相平行的面叫做棱柱的底面,其余各面叫做棱柱的侧面,两个侧面的公共边叫做棱柱的侧棱,侧面和底面的公共顶点叫做棱柱的顶点.不在同一个平面上的两个顶点的连线叫做棱柱的对角线,两个底面的距离叫做棱柱的高. 棱柱的分类: 按侧棱与底面的关系,棱柱可分为: 斜棱柱:侧棱不垂直于底面的棱柱叫做斜棱柱. 直棱柱：侧棱垂直于底面的棱柱叫做直棱柱. 正棱柱：底面是正多边形的直棱柱叫做正棱柱. 按底面的多边形的边数可分为: 底面是三角形、四边形、五边形……我们把这些棱柱分别叫做三棱柱、四棱柱、五棱柱…… 棱柱的表示法: 棱柱用表示底面各顶点的字母表示,或者用棱柱对角线的两个端点的字母表示,如五棱柱 可表示为:棱柱ABCDE-A /B /C /D /E /,或棱柱AC / . 棱柱的性质： (1)侧棱都相等,侧面都是平行四边形； (2)两个底面与平行于底面的截面都是全等的多边形； (3)过不相邻的两条侧棱的截面（对角面）是平行四边形； 直棱柱的性质: 直棱柱的侧棱长和高相等，侧面及经过不相邻的两条侧棱的截面都是矩形。 平行六面体: 底面是平行四边形的四棱柱叫做平行六面体. 长方体: 底面是矩形的直平行六面体叫做长方体, 长方体的一条对角线长的平方和等于一个顶点上三条棱的长的平方和. 正方体: 棱长都相等的长方体叫做正方体. 公式 棱柱的侧面积和全面积: 直棱柱的侧面积等于它的底面周长C 与高h 的乘积, 即Ch S =直棱柱, 斜棱柱的侧面积等于它的直截面(垂直于侧棱并与每条侧棱都相交的截面)的周长C 1与侧棱长l 的乘积, 即l C S ?=1斜棱柱侧, 棱柱的全面积等于侧面积与两底面积的和. [活用实例] [例1] 如图，在平行六面体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，已知AB=5，AD=4，AA 1=3，AB ⊥AD ，∠A 1AB=∠A 1AD=3 π， (1)求证:顶点A1在底面ABCD 的射影O 在∠BAD 的平分线上; (2)求这个平行六面体的表面积.
空间几何体经典试题
空间几何体 考点一：空间几何体与三视图 1.一个物体的三视图的排列规则 俯视图放在正视图的下面，长度与正视图的长度一样，侧视图放在正视图的右面，高度与正视图的高度一样，宽度与俯视图的宽度一样．即“长对正、高平齐、宽相等”． 2.要熟悉各种基本几何体的三视图.同时要注意画三视图时，能看到的轮廓线画成实线，看不到的轮廓线画成虚线. 例题1.(2016·高考天津卷)将一个长方体沿相邻三个面的对角线截去一个棱锥，得到的几何体的正视图与俯视图如图所示，则该几何体的侧(左)视图为() 例题2.(2015·高考北京卷)某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥最长棱的棱长为() A．1 B．2C．3D．2 练习1．已知某几何体的正视图和侧视图均如图所示，给出下列5个图形： 其中可以作为该几何体的俯视图的图形个数是() A．5B．4 C．3 D．2 练习2．“牟合方盖”是我国古代数学家刘徽在研究球的体积的过程中构造的一个和谐优美的几何体．它由完全相同的四个曲面构成，相对的两个曲面在同一个圆柱的侧面上，好似两个扣合(牟合)在一起的方形伞(方盖)．其直观图如图，图中四边形是为体现其直观性所作的辅助线．当其正视图和侧视图完全相同时，它的俯视图可能是()
考点二 空间几何体的表面积与体积 1.求解几何体的表面积或体积 (1)对于规则几何体，可直接利用公式计算． (2)对于不规则几何体，可采用割补法求解；对于某些三棱锥，有时可采用等体积转换法求解． (3)求解旋转体的表面积和体积时，注意圆柱的轴截面是矩形，圆锥的轴截面是等腰三角形，圆台的轴截面是等腰梯形的应用． ★1.求三棱锥的体积时要注意三棱锥的每个面都可以作为底面； 2.在求几何体的表面积和体积时，注意等价转化思想的运用，如用“割补法”把不规则几何体转化为规则几何体、立体几何问题转化为平面几何问题等. 例题3．(2016·高考全国Ⅲ卷)如图所示，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的表面积为( ) A ．18＋365 B ．54＋185 C ．90 D ．81 练习3.(2016·高考全国Ⅰ卷)如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条互相垂直的 半径．若该几何体的体积是 28π3，则它的表面积是( ) A ．17π B ．18π C ．20π D ．28π 练习4．(2016·高考山东卷)一个由半球和四棱锥组成的几何体，其三视图如图所示，则该几何体的体积为( )
《简单几何体的三视图》说课稿
《简单几何体的三视图》说课稿 大家好！今天我说课的题目是《简单几何体三视图》，所选用的教材为北师大版数学必修2第一章第3小节.本节课内容是在学习空间几何体结构特征之后、直观图之后的情况下教学的. 根据新课标的理念，对于本节课，我将以教什么，怎样教，为什么这样教为思路，从教材分析、教法学法、教学设计、板书设计这四个方面加以说明. 一、教材分析 （1）内容分析 初中时学生已对三视图有了一些认识，所以在本节课在对三视图的定义进行简单的复习回顾后，着手于基本几何体的画法，并从中引出绘制三视图应注意的问题.随后定位于简单组合体，分别给出了什么是组合体及简单组合体三视图的画法实例，并在此过程中再强调绘制三视图应注意的问题. （2）教学目标 1、知知识与技能目标：理解三视图的投影规律，能画出简单组合体的三视图； 2、过程与方法目标：学生亲身实践，动手作图，体会三视图的作用； 3、情感、态度与价值观目标：培养学生自主探究与合作学习的学习方式，激发学生应用数学的热情. （3）重点与难点 1、重点：简单组合体的三视图画法； 2、难点：三视图的画法规则，虚线、实线的使用. 二、教法、学法 （1）教法：由基本几何体三视图的画法入手，由简至繁、循序渐进，逐步让学生掌握简单组合体的三视图的画法，以三维动画模拟实物演示，激发学生学习兴趣，突破教学重难点. （2）学法：学生在教师营造的“可探索”环境里，积极参与，通过自己的观察、想象、思考、实践，主动发现规律、获得知识，体验成功. 三、教学过程 （1）教学导入 从房子模型、飞机这些较为复杂的几何体的视图欣赏入手，激发学生画组合体三视图的兴趣，随后引入课题并复习回顾三视图的定义及画法规则. （2）简单几何体的三视图的画法 1、例1画长、宽、高分别为5、3、4的长方体的三视图. 思考问题：是否可以任画三个长方形作为它的三视图？ 引导学生分组讨论，适时总结归纳出三视图的画法规则——长对正，高齐平，宽相等. 2、练习1：分别画出球、圆柱、圆锥、正三菱柱的三视图. 这些练习的设置是为了让学生进一步熟练基本几何体的三视图的画法，从而为后面简单组合体三视图的画法奠定基础.
空间几何体的表面积和体积考点讲解及经典例题解析
空间几何体的表面积和体积习题讲解 一．课标要求： 了解球、棱柱、棱锥、台的表面积和体积的计算公式（不要求记忆公式）。 二．命题走向 近些年来在高考中不仅有直接求多面体、旋转体的面积和体积问题，也有已知面积或体积求某些元素的量或元素间的位置关系问题。即使考查空间线面的位置关系问题，也常以几何体为依托.因而要熟练掌握多面体与旋转体的概念、性质以及它们的求积公式.同时也要学会运用等价转化思想，会把组合体求积问题转化为基本几何体的求积问题，会等体积转化求解问题，会把立体问题转化为平面问题求解，会运用“割补法”等求解。 考查形式： （1）用选择、填空题考查本章的基本性质和求积公式； （2）考题可能为：与多面体和旋转体的面积、体积有关的计算问题；与多面体和旋转体中某些元素有关的计算问题； 三．要点精讲 1．多面体的面积和体积公式 表中S表示面积，c'、c分别表示上、下底面周长，h表斜高，h'表示斜高，l表示侧棱长。 2．旋转体的面积和体积公式
表中l 、h 分别表示母线、高，r 表示圆柱、圆锥与球冠的底半径，1r 、2r 分别表示圆台 上、下底面半径，R 表示半径。 四．典例解析 题型1：柱体的体积和表面积 例1．一个长方体全面积是20cm 2，所有棱长的和是24cm ，求长方体的对角线长. 解：设长方体的长、宽、高、对角线长分别为xcm 、ycm 、zcm 、lcm 依题意得：? ??=++=++24)(420)(2z y x zx yz xy )2() 1( 由（2）2得：x 2+y 2+z 2+2xy+2yz+2xz=36（3） 由（3）－（1）得x 2+y 2+z 2=16 即l 2=16 所以l =4(cm)。 点评：涉及棱柱面积问题的题目多以直棱柱为主，而直棱柱中又以正方体、长方体的表面积多被考察。我们平常的学习中要多建立一些重要的几何要素（对角线、内切）与面积、体积之间的关系。 例2．如图1所示，在平行六面体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，已知AB=5，AD=4，AA 1=3，AB ⊥AD ，∠A 1AB=∠A 1AD= 3 π。 （1）求证：顶点A 1在底面ABCD 上的射影O 在∠BAD 的平分线上； （2）求这个平行六面体的体积。
简单几何体、组合体专题训练
简单几何体、组合体专题训练 1.圆柱的侧面展开图是长为12cm ，宽为8cm 的矩形，则这个圆柱的体积为 （ ） A.288 π cm 3 B. 192 π cm 3 C. 288 π cm 3或 192 π cm 3 D.192π cm 3 2.把直径分别为6cm ，8cm ，10cm 的三个铜球先熔成一个大球，再将其削成一个最大的正方体，则这一正方体的体积为 . 3.轴截面是正方形的圆柱有一内接正四棱柱，已知圆柱的轴截面对角线长为 22cm ，则四棱柱的体积为（ ） A.4cm 3 B.8 cm 3 C.2πcm 3 D.4πcm 3 4.棱长为a 的正方体中，连接相邻面的中心，以这些线段为棱的八面体的体积为（ ） A.33a B.34a C.36a D.3 12 a
5.已知一个直棱柱底面是菱形，面积为S ，两对角面的面积分别为m ，n ，求直棱柱的体积. 6.如图，一个三棱柱形容器中盛有水，且侧棱18AA =.若侧面11AA B B 水平放置时，液面恰好过AC 、BC 、11AC 、11B C 的中点，当底面ABC 水平放置时，液面高为多少？ 7.（全国1理16）一个等腰直角三角形的三个顶点分别在正三棱柱的三条侧棱上，已知正三棱柱的底面边长为2，则该三角形的斜边长为 __________。 8.一个容器形如倒置的等边圆锥，如图所示，当所盛水深是容器高的一半时，将容器倒转，那么水深是容器高的（ ） A.31172+ B.3172 C.31172- D.31 173 -
9.在全面积为2a π的圆锥中，当底面半径为何值时圆锥体积最大，最大体积是多少？ 10.半径为r 的球放置于倒置的等边圆锥容器内，再将水注入容器内到水与球面相切为止，取出球后水面的高度是 . 11.直三棱柱111ABC A B C -的体积为V ，已知点P ，Q 分别为1AA ，1CC 上的点，而且满足1AP C Q =，则四棱锥B APQC -的体积是（ ） A.12 V B.13 V C.14 V D.23 V 12.一个正三棱锥的底面边长为a ，且三条侧棱两两垂直，求棱锥的体积. 13.四面体ABCD 中，5AB CD ==，41BC AD ==，34BD AC ==，求这个四面体的体积.
空间几何体经典习题
正视图 俯视图 侧视图 空间几何体(经典习题) 一、选择题： 1、半径为R 的半圆卷成一个圆锥，则它的体积为（） A 3R B 3R C 3R D 3R 2、一个正方体的顶点都在球面上，它的棱长为2cm ，则球的表面积是（ ） Ａ．28cm π Ｂ．212cm π Ｃ．216cm π Ｄ．220cm π 3、圆台的一个底面周长是另一个底面周长的3倍，母线长为3，圆台的侧面积为84π，则 圆台较小底面的半径为（） A ．7Ｂ．6Ｃ．5Ｄ．3 4、棱台上、下底面面积之比为1:9,则棱台的中截面分棱台成两部分的体积之比是() A ．1:7Ｂ．2:7Ｃ．7:19Ｄ．5:16 5、一简单组合体的三视图及尺寸如图示（单位:cm ）则该组合 体的体积为（） A.720003cm B.640003cm C.560003cm D.440003cm 6、如图是某几何体的三视图，其中正视图是腰长为2的 等腰三角形，俯视图是半径为1的半圆，则该几何体的 体积是（） A ．3 B ．12π C ． 3D ．6
A B D C E F 2 2 2 正视侧视 1 1 俯视 俯视图 2 2 正(主)视图 2 2 2 侧(左)视图 2 2 2 7、如图，在多面体ABCDEF 中，已知平面ABCD 是边长为3的正方形，//EF AB ,32 EF =,且EF 与平面ABCD 的距离为2，则该多面体的体积为（） A ．92 Ｂ．5 Ｃ．6Ｄ． 15 2 8、一个棱锥的三视图如图,则该棱锥的体积是（） A.34B.3 8C.4D.8 9、如图是一个空间几何体的三视图，则该几何体的侧面积为（） A.43 B.43 第8题第9题 10、如图为一平面图形的直观图，则此平面图形可能是选项中的( ) 11、棱长为1的正方体上，分别用过共顶点的三条棱中点的平面截该正方体,则截去8 个三棱锥后 ,剩下的凸多面体的体积是（） A 、23B 、76C 、45D 、56 12、在一个盛满水的三棱锥容器，不久发现三条侧棱上各有一个小洞D 、E 、F ，且知 SD ：DA=SE ：EB=CF ：FS=2：1，若仍用这个容器盛水，则最多可盛原来水的（） A 、 2923B 、2719C 、3130D 、27 23 13、一空间几何体的三视图如图所示则该几何体的体积为(). A.223π+ B.423π+ C.232π+ D.23 4π+ 2 2 侧(左)视 2 2 2 正(主) 俯视
知识点梳理-简单几何体
简单几何体 1.概念： 2.结构特征：(1)两底面互相平行；(2)侧面是平行四边形；(3)侧棱互相平行. 3.分类一：三棱柱、四棱柱、五棱柱…… 分类二：斜棱柱、直棱柱、正棱柱. 斜棱柱 正四棱柱 正六棱柱 直棱柱：侧棱与底面垂直的棱柱叫做直棱柱. 正棱柱：底面是正多边形的直棱柱叫做正棱柱. 平行六面体：底面是平行四边形的四棱柱叫做平行六面体. 1.概念： 2.结构特征：(1)有一个面是多边形(包括三角形)；(2)其余各面是有一个公共顶点的三角形. 3.分类：一般棱锥、正棱锥. 棱锥 正四棱锥 正四面体 正棱锥：底面为正多边形，公共顶点在底面的投影是底面中心的棱锥叫做正棱锥. 正四面体：各面都是等边三角形的三棱锥叫做正四面体 . 1.概念： 2.结构特征：(1)侧棱的延长线相交于一点；(2)侧面是梯形；(3)两底面互相平 行，两底面相似. 1.概念： 2.结构特征：(1)两底面互相平行；(2)任意两条母线都平行；(3)母线与底面垂直；(4)轴截面为矩形；(5)侧面展开图是矩形. 1.概念： 正四棱台 四棱台
2.结构特征：(1)所有母线相交于一点；(2)旋转轴与底面垂直；(3)轴截面为等腰三角形；(4)侧面展开图是扇形. 1.概念： 2.结构特征：(1)两底面互相平行；(2)母线的延长线相交于一点；(3)轴截面为等腰梯形；(4)侧面展开图是扇环. 1.概念： 2.结构特征：(1)球面是曲面，不能展开成平面图形；(2)球面上任一点与球心的连线都是半径. 大圆：经过球心的截面去截球面所得的圆称为大圆. 小圆：不经过球心的截面去截球面所得的圆称为小圆. 3.球的截面的性质： (1)球的截面是圆面； (2)球心和截面圆心的连线垂直于截面； (3)球心到截面的距离d与球半径R及截面圆半径r 的关系是r= 4.两点间的球面距离：在球面上，两点之间的最短路线，就是经过这两点的大圆在这两点间的一段劣弧的长度，这个弧长叫做两点间的球面的距离.
空间几何体的结构的教学设计
人教版必修2“空间几何体的结构(一)”的教学设计 一、设计思想 立体几何初步是几何学的重要组成部分，也是新课程改动较大的内容之一．《空间几何体的结构》是新课程立体几何部分的起始课程，是立体几何课程的重要内容，根据新课程的要求，这一部分的教学，就是加强几何直观的教学，适当进行思辨论证，引入合情推理．基于这样的要求，《空间几何体的结构》一课的设计，笔者以培养学生的几何直观能力，抽象概括，合情推理能力，空间想象能力为指导思想，运用建构主义教学原理，用观察实物抽象出空间图形----用文字描述空间图形-----用数学语言定义空间图形这三部曲来构建课堂主框架．每一个概念的得出都与实物相结合，让学生经历观察、归纳、分类、抽象、概括这一过程．整个设计从增强学生参与数学学习的意愿入手，在学生明确学习任务的基础上，在有序列地解决问题中展开学习，运用激活、展示、应用、和整合策略，以师、生、文本三者间的多维对话为手段，最终达到提高学生参与数学学习能力的目标，取得教学的实效性．过程中让学生体验有关的数学思想，提高学生自主学习、分析问题和解决问题的能力，培养学生合作学习的意识． 二、教材分析 本节课《空间几何体的结构》选自普通高中课程标准实验教科书《数学》人教A版必修2第一章的第一节，课标对空间几何体的结构的教学要求为：认识柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征，并能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构，发展几何直观能力．教材首先让学生观察现实世界中实物的图片，引导学生将观察到的实物进行归纳、分类、抽象、概括，得出柱体、锥体、台体的结构特征，在此基础上给出由它们组合而成的简单几何体的结构特征．《省学科教学指导意见》将这一节内容安排为两课时，笔者的设计的是第一课时，本节内容在义务教育数学课程“空间与图形”已有所涉及，但要求不同，素材更为丰富，即区别在于学习的深度和概括程度．笔者认为教学时，不能认为这部分的要求是降低了，讲课时一带而过，要领会新课标的意图，加强几何直观的训练，在引导学生直观感受空间几何体结构特征的同时，学会类比，学会推理，学会说理． 三、学情分析 学生在义务教育阶段学习“空间与图形”时，已经认识了一些具体的棱柱（如正方体、长方体等），对圆柱、圆锥和球的认识也比较具体，能从具体的物体抽象出相应的几何体模型，但没有学习柱体、锥体的定义，只停留在“看”的层面．本节课对它们的研究的更为深入，给出了它们的结构特征．同时，还学习了棱台的有关知识，比义务教育阶段数学课程“空间与图形”部分呈现的组合体多，复杂程度也加大．学生在学习本课时，通过观察实物抽象出空间图形是容易的，但要上升到用数学语言定义空间图形就比较困难．所以笔者让学生在课前先做一些柱体、锥体、台体的模型，教学过程中，每一个空间图形的定义，都通过学生观察他们自己所做的模型，结合教师、教材提供的图片，再讨论得出．
观察简单的几何体,二年级上册,第37课时
第37课时观察简单的几何体 学习内容 课本第69页例2～例3，第71练习十六第5题，成长小档案。 学习目标 能辨认从不同位置看到的简单几何体的形状。 课文讲解 例2，观察简体的几何体。从不同的角度观察学过Array的立体几何图形，初步渗透三视图1的知识。观察时，要 让孩子目光平视，正对物体。 观察对象有3种：一是长方体和正方体，由平面围 成的；二是圆柱体，有平面也有曲面；三是球，由曲面 围成的。 对所学过的立体图形从整体认识到局部特征的认 识，沟通了立体图形与平面图形之间的关系，为以后学 习立体图形的特征作准备。 例3，解决问题。根据一个面的形状猜想几何体， 进一步体会到局部与整体的关系。 从不同位置看到的简单物体的形状可能是不同的， 是本课的学习基础。从不同位置看到的简单几何体的形 状可能是不同的，也可能是相同的，进一步体会到局部 与整体的关系，是本课的新知。 辅导精要 例2，拿出长方体、正方体、圆柱体和球等学具， 学具上没有别的图案。 观测。让孩子分别观察这些学具，依据已有的经验，他可能从前面、后面、左面、右面观察，并发现： 长方体，前面和后面的形状相同，左面和右面的形状相同，但前面和左面的形状不同。 正方体，从前面、后面、左面、右面看到的图都一样。圆柱体、球也如此。 画图。让孩子说说看到的图是什么形状，用手沿着图形的四周画一画。 反思一：从不同位置看到的形状一定不同吗？可能是不同的，也可能是相同的；有的一定是相同的，并举例说明。 反思二：能改变观察位置，看到不同的形状吗？引导孩子从上面看。长方体、圆柱体能看到与前面不同的图形，正方体、球看到与前面一样的图形。 阅读课文。让孩子把右边的三幅图与同学的名字连线。在小刚批注“前面”，在小英批注“左面”。 反思一：为什么要从上面、前面、左面三个位置观察长方体？从不同位置看到的图形可能是不同的。 反思二：再从别的位置观察，看到的会出现新的图形？后面与前面、右面与左面、下面与上面看到的分别相同。所以，观察长方体只要从前面、左面、上面三个观察就可以了。 例3，整体阅读，读解决问题的一般步骤，明确这是解决问题的例题。 1将人的视线规定为平行投影线，然后正对着物体看过去，将所见物体的轮廓用正投影法绘制出来，该图形称为视图。三视图是观测者从三个不同位置观察同一个空间几何体而画出的平面图形，是主视图（正视图）、 俯视图、左视图（侧视图）的总称。 1
空间立体几何高考知识点总结与经典题目
空间立体几何 知识点归纳： 1. 空间几何体的类型 (1)多面体：由若干个平面多边形围成的几何体，如棱柱、棱锥、棱台。 (2)旋转体：把一个平面图形绕它所在的平面内的一条定直线旋转形成了封闭几何体。 如圆柱、圆锥、圆台。 2. 一些特殊的空间几何体 直棱柱：侧棱垂直底面的棱柱。正棱柱：底面多边形是正多边形的直棱柱。 正棱锥：底面是正多边形且所有侧棱相等的棱锥。 正四面体：所有棱都相等的四棱锥。 3. 空间几何体的表面积公式 棱柱、棱锥的表面积：各个面面积之和 _ 2 圆柱的表面积：S =2 rl 2 r2圆锥的表面积：S =理「I ?二r 2 2 圆台的表面积：S =理rl 7 r?二RI ?二R 球的表面积：s= 4 R2 4 ?空间几何体的体积公式 1 柱体的体积：V = S底 h 锥体的体积：v = - S底h 3底 1 ---------- 、， 4 3 台体的体积：V = —( S上?S上S T S下)h 球体的体积：V R 3 '3 5.空间几何体的三视图 正视图：光线从几何体的前面向后面正投影，得到的投影图。 侧视图：光线从几何体的左边向右边正投影，得到的投影图。 俯视图：光线从几何体的上面向右边正投影，得到的投影图。 画三视图的原则： 长对正、宽相等、高平齐。即正视图和俯视图一样长，侧视图和俯视图一样宽，侧视图和正视图一样高。 6 .空间中点、直线、平面之间的位置关系 (1) 直线与直线的位置关系：相交；平行；异面。
（2）直线与平面的位置关系：直线与平面平行；直线与平面相交；直线在平面内。 （3）平面与平面的位置关系：平行；相交。 7. 空间中点、直线、平面的位置关系的判断 （1）线线平行的判断： ①平行公理：平行于同一直线的两直线平行。 ②线面平行的性质定理：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相 交，那么这条直线和交线平行。 ③面面平行的性质定理：如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行。 ④线面垂直的性质定理：垂直于同一平面的两直线平行。 （2）线线垂直的判断： ①线面垂直的定义：若一直线垂直于一平面，这条直线垂直于平面内所有直线。 ②线线垂直的定义：若两直线所成角为，则两直线垂直 ③一条直线和两条平行直线中的一条垂直，也必垂直平行线中的另一条。 （3）线面平行的判断： ①线面平行的判定定理：如果平面外的一条直线和平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平 面平行。 ②面面平行的性质定理：两个平面平行，其中一个平面内的直线必平行于另一个平面。 （4）线面垂直的判断： ①线面垂直的判定定理：如果一直线和平面内的两相交直线垂直，这条直线就垂直于这 个平面。 ②如果两条平行线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面。 ③一直线垂直于两个平行平面中的一个平面，它也垂直于另一个平面。 ④如果两个平面垂直，那么在一个平面内垂直于交线的直线必垂直于另一个 （5）面面平行的判断：
数学必修二第一章知识点总结+习题
第一章空间几何体 1、空间几何体的结构：空间几何体分为多面体和旋转体和简单组合体 ⑴常见的多面体有：棱柱、棱锥、棱台； 常见的旋转体有：圆柱、圆锥、圆台、球。 (2)简单组合体的构成形式： 一种是由简单几何体拼接而成，例如课本图1.1-11中（1）（2）物体表示的几何体； 一种是由简单几何体截去或挖去一部分而成，例如课本图1.1-11中（3）（4）物体表 示的几何体。 练习1．下图是由哪个平面图形旋转得到的（） A B C D 2、柱、锥、台、球的结构特征 （1）棱柱： 定义：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的几何体。 分类：以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱柱、四棱柱、五棱柱等。 表示：用各顶点字母，如五棱柱' ' ' ' 'E D C B A ABCDE 或用对角线的端点字母，如五棱柱' AD 几何特征：两底面是对应边平行的全等多边形；侧面、对角面都是平行四边形；侧棱平行且相等；平行于底面的截面是与底面全等的多边形。 （2）棱锥 定义：有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的几何体 分类：以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱锥、四棱锥、五棱锥等 简单组合体
表示：用各顶点字母，如五棱锥' ''''E D C B A P - 几何特征：侧面、对角面都是三角形；平行于底面的截面与底面相似。 (3）棱台：定义：用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，截面和底面之间的部分 分类：以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱态、四棱台、五棱台等 表示：用各顶点字母，如五棱台' ' ' ' ' E D C B A P - 几何特征：①上下底面是相似的平行多边形 ②侧面是梯形 ③侧棱交于原棱锥的顶点 练习2．一个棱柱至少有 _____个面，面数最少的一个棱锥有 ________个顶点， 顶点最少的一个棱台有 ________条侧棱。 3.空间几何体的三视图和直观图 把光由一点向外散射形成的投影叫中心投影，中心投影的投影线交于一点；把在一束平行光线照射下的投影叫平行投影，平行投影的投影线是平行的。 （1）定义： 正视图：光线从几何体的前面向后面正投影得到的投影图； 侧视图：光线从几何体的左面向右面正投影得到的投影图； 俯视图：光线从几何体的上面向下面正投影得到的投影图。 几何体的正视图、侧视图和俯视图统称为几何体的三视图。 注：正视图反映了物体上下、左右的位置关系，即反映了物体的高度和长度； 俯视图反映了物体左右、前后的位置关系，即反映了物体的长度和宽度； 侧视图反映了物体上下、前后的位置关系，即反映了物体的高度和宽度。 （2）三视图中反应的长、宽、高的特点：“长对正”，“高平齐”，“宽相等” 练习3．有一个几何体的三视图如下图所示，这个几何体应是一个( ) A.棱台 B.棱锥 C.棱柱 D.都不对 练习4．如图是一个物体的三视图，则此物体的直观图是( )． 主视图 左视图 俯视图
空间几何体的三视图经典例题
空间几何体的三视图经典例题
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一、教学目标 1. 巩固空间几何体的结构及其三视图和直观图 二、上课内容 １、回顾上节课内容 2、空间几何体的结构及其三视图和直观图知识点回顾 3、经典例题讲解 4、课堂练习 三、课后作业 见课后练习 一、上节课知识点回顾 1.奇偶性 1）定义：如果对于函数ｆ（x)定义域内的任意ｘ都有f(-x）=-f(ｘ）,则称f(x)为奇函数;如果对于函数f(x）定义域内的任意x都有f(-x)=ｆ(ｘ)，则称ｆ(ｘ）为偶函数。 如果函数ｆ(x)不具有上述性质，则f(x)不具有奇偶性.如果函数同时具有上述两条性质,则ｆ(x)既是奇函数,又是偶函数。 ２)利用定义判断函数奇偶性的格式步骤：
＼o＼ac(○,１) 首先确定函数的定义域，并判断其定义域是否关于原点对称；○2确定f(-x)与f(ｘ)的关系;○3作出相应结论: 若ｆ（-x）＝f（x) 或f(-x)－f（ｘ) =0，则f(x)是偶函数；若f(-x）=－f(ｘ）或f(－x)+f(x）= 0,则f（x)是奇函数 3）简单性质: ①图象的对称性质：一个函数是奇函数的充要条件是它的图象关于原点对称；一个函数是偶函数的充要条件是它的图象关于ｙ轴对称； 2.单调性 １)定义:一般地，设函数y=f(ｘ)的定义域为I,?如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量x1,ｘ2,当x1
人教数学必修二示范教案 空间几何体的三视图
教学分析 在上一节认识空间几何体结构特征的基础上，本节来学习空间几何体的表示形式，以进一步提高对空间几何体结构特征的认识.主要内容是：画出空间几何体的三视图. 比较准确地画出几何图形，是学好立体几何的一个前提.因此，本节内容是立体几何的基础之一，教学中应当给以充分的重视. 画三视图是立体几何中的基本技能，同时，通过三视图的学习，可以丰富学生的空间想象力.“视图”是将物体按正投影法向投影面投射时所得到的投影图.光线自物体的前面向后投影所得的投影图称为“正视图”，自左向右投影所得的投影图称为“侧视图”，自上向下投影所得的投影图称为“俯视图”.用这三种视图即可刻画空间物体的几何结构，这种图称之为“三视图”. 教科书从复习初中学过的正方体、长方体……的三视图出发，要求学生自己画出球、长方体的三视图；接着，通过“思考”提出了“由三视图想象几何体”的学习任务.进行几何体与其三视图之间的相互转化是高中阶段的新任务，这是提高学生空间想象力的需要，应当作为教学的一个重点. 三视图的教学，主要应当通过学生自己的亲身实践，动手作图来完成.因此，教科书主要通过提出问题，引导学生自己动手作图来展示教学内容.教学中，教师可以通过提出问题，让学生在动手实践的过程中学会三视图的作法，体会三视图的作用.对于简单几何体的组合体，在作三视图之前应当提醒学生细心观察，认识了它的基本结构特征后，再动手作图.教材中的“探究”可以作为作业，让学生在课外完成后，再把自己的作品带到课堂上来展示交流. 值得注意的问题是三视图的教学，主要应当通过学生自己的亲身实践、动手作图来完成.另外，教学中还可以借助于信息技术向学生多展示一些图片，让学生辨析它们是平行投影下的图形还是中心投影下的图形. 三维目标 1.掌握平行投影和中心投影，了解空间图形的不同表示形式和相互转化，发展学生的空间想象能力，培养学生转化与化归的数学思想方法. 2.能画出简单空间图形（长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱等的简易组合）的三视图，并能识
空间几何体的表面积和体积经典例题(教师讲义打印一份)
空间几何体的表面积和体积 一．课标要求： 了解球、棱柱、棱锥、台的表面积和体积的计算公式（不要求记忆公式）。 二．命题走向 近些年来在高考中不仅有直接求多面体、旋转体的面积和体积问题，也有已知面积或体积求某些元素的量或元素间的位置关系问题。即使考查空间线面的位置关系问题，也常以几何体为依托.因而要熟练掌握多面体与旋转体的概念、性质以及它们的求积公式.同时也要学会运用等价转化思想，会把组合体求积问题转化为基本几何体的求积问题，会等体积转化求解问题，会把立体问题转化为平面问题求解，会运用“割补法”等求解。 由于本讲公式多反映在考题上，预测2016年高考有以下特色： （1）用选择、填空题考查本章的基本性质和求积公式； （2）考题可能为：与多面体和旋转体的面积、体积有关的计算问题；与多面体和旋转体中某些元素有关的计算问题； 三．要点精讲 1．多面体的面积和体积公式 侧棱长。 2．旋转体的面积和体积公式 12 上、下底面半径，R 表示半径。 四．典例解析 题型1：柱体的体积和表面积 例1．一个长方体全面积是20cm 2，所有棱长的和是24cm ，求长方体的对角线长. 解：设长方体的长、宽、高、对角线长分别为xcm 、ycm 、zcm 、lcm 依题意得：?? ?=++=++24 )(420)(2z y x zx yz xy )2()1(
由（2）2得：x 2+y 2+z 2+2xy+2yz+2xz=36（3） 由（3）－（1）得x 2+y 2+z 2=16 即l 2=16 所以l =4(cm)。 点评：涉及棱柱面积问题的题目多以直棱柱为主，而直棱柱中又以正方体、长方体的表面积多被考察。我们平常的学习中要多建立一些重要的几何要素（对角线、内切）与面积、体积之间的关系。 例2．如图1所示，在平行六面体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，已知AB=5，AD=4，AA 1=3，AB ⊥AD ，∠A 1AB=∠A 1AD= 3 π。 （1）求证：顶点A 1在底面ABCD 上的射影O 在∠BAD 的平分线上； （2）求这个平行六面体的体积。 图1 图2 解析：（1）如图2，连结A 1O ，则A 1O ⊥底面ABCD 。作OM ⊥AB 交AB 于M ，作ON ⊥AD 交AD 于N ，连结A 1M ，A 1N 。由三垂线定得得A 1M ⊥AB ，A 1N ⊥AD 。∵∠A 1AM=∠A 1AN ， ∴Rt △A 1NA ≌Rt △A 1MA,∴A 1M=A 1N ， 从而OM=ON 。 ∴点O 在∠BAD 的平分线上。 （2）∵AM=AA 1cos 3 π =3×21=23 ∴AO=4 cos πAM =223 。 又在Rt △AOA 1中，A 1O 2=AA 12 – AO 2=9－ 29=2 9， ∴A 1O= 223，平行六面体的体积为2 2 345? ?=V 230=。 题型2：柱体的表面积、体积综合问题 例3．一个长方体共一顶点的三个面的面积分别是6,3,2，这个长方体对角线的长是（ ） A ．2 3 B ．3 2 C ．6 D ． 6 解析：设长方体共一顶点的三边长分别为a =1，b ＝ 2，c ＝3，则对角线l 的长为
空间几何体的三视图经典例题
一、教学目标 1. 巩固空间几何体的结构及其三视图和直观图 二、上课内容 1、回顾上节课内容 2、空间几何体的结构及其三视图和直观图知识点回顾 3、经典例题讲解 4、课堂练习 三、课后作业 见课后练习 一、上节课知识点回顾 1．奇偶性 1）定义：如果对于函数f(x)定义域内的任意x都有f(－x)=－f(x)，则称f(x)为奇函数；如果对于函数f(x)定义域内的任意x都有f(－x)=f(x)，则称f(x)为偶函数。 如果函数f(x)不具有上述性质，则f(x)不具有奇偶性.如果函数同时具有上述两条性质，则f(x)既是奇函数，又是偶函数。 2）利用定义判断函数奇偶性的格式步骤：
○1首先确定函数的定义域，并判断其定义域是否关于原点对称；○2确定f(－x)与f(x)的关系；○3作出相应结论： 若f(－x) = f(x) 或f(－x)－f(x) = 0，则f(x)是偶函数；若f(－x) =－f(x) 或f(－x)＋f(x) = 0，则f(x)是奇函数 3）简单性质： ①图象的对称性质：一个函数是奇函数的充要条件是它的图象关于原点对称；一个函数是偶函数的充要条件是它的图象关于y轴对称； 2．单调性 1）定义：一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内的某个区间D 内的任意两个自变量x1，x2，当x1 简单几何体的结构、三视图和直观图 考纲解读 1.以常见的几何体及简单组合体为模型画三视图、辩认三视图；2.辩识三视图所表示的立体模型；3.通过模型转化几何体、三视图、直观图；4.会画某些建筑物的三视图与直观图． [基础梳理] 1．多面体的结构特征 (1)棱柱的侧棱都互相平行，上下底面是全等的多边形． (2)棱锥的底面是任意多边形，侧面是有一个公共顶点的三角形． (3)棱台可由平行于底面的平面截棱锥得到，其上下底面是相似多边形． 2．旋转体的形成 几何体旋转图形旋转轴 圆柱矩形任一边所在的直线 圆锥直角三角形任一直角边所在的直线 圆台直角梯形垂直于底边的腰所在的直线 球半圆直径所在的直线 3. (1)三视图的形成与名称： ①形成：空间几何体的三视图是用平行投影得到的，在这种投影之下，与投影面平行的平面图形留下的影子，与平面图形的形状和大小是完全相同的； ②名称：三视图包括正视图、侧视图、俯视图． (2)三视图的画法： ①在画三视图时，重叠的线只画一条，挡住的线要画成虚线． ②三视图的正视图、侧视图、俯视图分别是从几何体的正前方、正左方、正上方观察到的几何体的正投影图． 4．空间几何体的直观图 空间几何体的直观图常用斜二测画法来画，其规则是：(1)原图形中x轴、y轴、z轴两两垂直，直观图中，x′轴，y′轴的夹角为45°或135°，z′轴与x′轴和y′轴所在平面垂直． (2)原图形中平行于坐标轴的线段，直观图中仍平行于坐标轴；平行于x轴和z轴的线段在直观图中保持原长度不变；平行于y轴的线段在直观图中长度为原来的一半． [三基自测] 1．如图，长方体ABCD A′B′C′D′被截去一部分，其中EH∥A′D′.剩下的几何体是()高中数学简单的几何体的结构考点及例题讲解