理论力学第三章 刚体力学-3
I xz x I yz y I zz z
J x I xx x I xy y I xzz J y I yx x I yy y I yz z J I I I zx x zy y zz z z
i 1
其中，
A B C B C A C B A
n 2 J mi ri ri ri
i 1
(1)
下面求动量矩 J 的分量表达式 n 2 J mi ri ri ri
d d 1i 2 k di 1 dt dt dt 0 d i 1 dt 2 i 12 j
D
z方向不变，xy平面绕z轴转动
2 2 aM R 1 2 j
【例10】高为h，顶角为2α的圆锥在一平面上滚动而 不滑动，如已知此锥以匀角速度ω绕 o 轴转动，试求 圆锥底面上A点的转动加速度a1和向轴加速度a2的量值。
z
2
o
y
1
x
结论：当刚体绕两个相交轴转动时，刚体的瞬时角速 度等于它分别绕这两个轴转动的角速度的矢量和。
1 2
其中，方向沿转动瞬轴，即 1 2的方向。
【例9】半径为R的圆盘以不变的角速度 1 绕水平轴AB转动，而 轴AB又以不变的角速度 2 绕竖直轴CD转动，求圆盘水平直 径一端M点的速度和加速度。 z 2 解：建立平面转动坐标系oxyz C y M r 1i 2 k Rj M B A o 1 Rk 2 Ri x 1 d aM r r dt
（4）本体极面，空间极面
空间极面：转动瞬轴在空间(固定坐标 系中)描绘的曲面。 本体极面：转动瞬轴在刚体内(动坐标 系中)描绘的曲面。 潘索定理：本体极面在空间极面上作纯滚动
2、速度，加速度
(1) 速度： r
其中，是刚体定点转动的瞬时 角速度。 r 是刚体上一点相对固定 点o的位矢。
dt dt d i ctg dt k i 2 ctgj h h d总 2 a1 r ctgj ( cos 2i sin 2k ) dt cos cos h h 2 2 ctg cos 2k ctg sin 2i cos cos
2
h 2 h 2 2 大小： a1 ( ) [cos 2 sin 2 ] sin sin
2 2
2h 所以： a1 sin
3、求 a2（向轴加速度 ）
a2 总 (总 r )
h h 其中，总 r ctgi ( cos 2i sin 2k ) cos cos h ctg sin 2j cos cos h 2 sin cosj sin cos 2h cosj a2 总 (总 r ) (ctgi ) (2h cosj ) 2 2 cos 2 h k sin 2 cos 2 所以： a2 a2 2 h sin
二、定点转动刚体的动能
n 1 1 T mii2 mii i i 1 2 i 1 2 1 n 其中， A B C B C A mii ri 2 i 1 n
1 n 1 T ri mii J 2 2 i 1 1 2 2 I xxx I yy y I zz z2 2 I yz y z 2 I zx z x 2 I xy x y 2
P(dm) y x
o
y
z
x I yz , I zx , I xy 叫做惯量积 其中 I xx , I yy , I zz 叫做轴转动惯量，
I xy I yx xydm I xx y 2 z 2 dm 2 2 I yy z x dm 和 I yz I zy yzdm 2 2 I I zx xzdm I x y dm xz zz
物理意义？
其中， I
xx mi y z i 1 n 2 2 I yy mi zi xi i 1 n 2 2 I zz mi xi yi i 1
2 i 2 i
n
n I xy I yx mi xi yi i 1 n 以及 I yz I zy mi yi z i i 1 n I xz I zx mi xi z i i 1
(2) 加速度：
d a r ( r ) dt
d 其中， r 是转动加速度。 dt ( r ) 是向轴加速度。
(3)刚体作一般运动时，将运动分解为刚体随基点A的平动＋ 刚体绕基点A的“定点”转动，则刚体上任一点P的速度为
注意：若选动坐标系系，惯量系数均为常数
表示为矩阵形式：
I
I xx I yx I zx
I xy I yy I zy
I xz I yz I zz
**
(2)惯量椭球－用几何方法求刚体对某瞬时轴的转动惯量 l z x R Q点的坐标为： Q y R z R R
x
2 k
1、在圆锥上建立o-xyz坐标系，母线 与ox重合，与圆锥一起运动。
z方向不变，xy平面绕z轴转动
z
2
y
A
2、求 总
总
1
h
o
x
总 2 ctgi ctgi
r h h cos 2i sin 2ky
x
§3.7 转动惯量
一、定点转动刚体的动量矩 动坐标系oxyz
z
i
设 Pi 为刚体上任一质点，该质点对定点 o的动量矩为
i
ri mii
整个刚体对同一点o的动量矩为
n J ri mii
i 1 n
o
x
ri
y
mi ri ri
i 1
ri xi i yi j zi k x i y j z k
J x I xx J y I yx J I z zx
I xy I yy I zy
V 2V1l V l 2 2 a l sin sin cos 1 1 l cos 2 R R R
2 2
2
2
2
§3.6 欧拉角
e e e N z
【例11】
1
z轴不动，xy平面绕z轴转动
【例12】
刚体的一般运动
A
角
z方向不变，xy平面绕z轴转动
r r a aA V 2 1V i i l sin i l cos k R R V V 1 j k 1 j k l sin i l cos k R R 2 V 2 2V 1l V l 2 2 1 l sin 2 sin i cos j 1 l cos k R R R
3、求 a1 （转动加速度 ） d总 a1 r dt d总 d di 其中， (ctgi ) ctg
dt
h h 2 ctg cos 2k ctg sin 2i cos cos 2h (cos2k sin 2i ) sin
A r
加速度为
d a aA r ( r ) dt
r 是P点相对于基点A的位矢
3、刚体绕两相交轴转动的合成
刚体绕某点 O作定点转动，相当于刚体绕某轴作“定轴” 转动，而该轴又绕另一固定轴转动，这两个轴相交于O点。
I mi di
2
或 I d dm
2
即转动惯量=各质点的质量与该点到转轴距离平方乘积 之和。转动惯量由刚体的质量分布和转轴位置决定。
回转半径
I I mk k m
2
刚体对定轴的转动惯量
等效质点对定轴的转动惯量
常用到的结果：
长为 l 的均质细杆绕过中心且与杆垂直 I ml 2 12 的轴线的转动惯量： 半径为R的均质圆盘绕过圆心且垂直圆面的转动惯量是：
T 1 x 2
y
I xx z I yx I zx
I xy I yy I zy
I xz x I yz y I zz z
三、转动惯量
转动惯量：描述刚体转动惯性大小的物理量。 1、对定轴转动惯性的大小用转动惯量描述， 其定义为：
1
1 I mR 2 2
平行轴定理
I I c md
2
叙述：刚体对某一轴线的转动惯量，等于对通过质 心的平行轴的转动惯量加上刚体的质量与两 轴间垂直距离平方的乘积。
2、对定点转动惯性的大小，由于转轴的方向不断变 化，要用一个张量才能描述。 z
I xx 1 惯量张量： I yx I zx I xy I yy I zy I xz I yz I zz
理论力学第三章刚体力学
线量和角量的对应
dr
dr v dt
d
d dt
dv a dt
d dt
6.欧勒角
1).欧勒角 章动 角 自转 角 Z轴位置由 θ，φ角决 定 进动 角
节线ON
0 0 2 0 2
2).欧勒运动学方程
在直角坐标系
x i y j z k
理 论 力 学
第三章 刚体运动
概述
1.刚体是一个理想模型，它可以看作是一种特
殊的质点组，这个质点组中任何两个质点之间
的距离不变.这使得问题大为简化，使我们能 更详细地研究它的运动性质，得到的结果对实 际问题很有用。 2.一般刚体的自由度为6.如果刚体运动受到约束, 自由度相应减少.
3.刚体的两种基本运动
刚体上任一点p的坐标分别为
v r ra a ra 而在系 a xy z r r ( r b a a b ra ) rb ra (rb ra )
得
r ra ra
2
drci (rci mi Jc ) dt i 1 n (e) (rci Fi ) Mc
n
i 1
简表为:
d Mc Jc dt
(6个方程正好确定刚体的6个独立变量)
刚体的动量矩 (角动量) n n ) 简表为: J J c J ci (ri mi vi ) rc mvc (rci mi vci
三.刚体的平衡
刚体平衡条件
(e) Fi 0
n i
n (e) Fi ) 0 (rci Mc i 1
理论力学题库第3章
理论力学题库——第三章一、填空题1.刚体作定轴转动时有个独立变量，作平面平行运动时有个独立变量。
2.作用在刚体上的力可沿其作用线移动而（“改变”或“不改变”）作用效果，故在刚体力学中，力被称为矢量。
3.作用在刚体上的两个力，若大小相等、方向相反，不作用在同一条直线上，则称为。
4.刚体以一定角速度作平面平行运动时，在任一时刻刚体上恒有一点速度为零，这点称为。
5.刚体作定点转动时，用于确定转动轴在空间的取向及刚体绕该轴线所转过的角度的三个独立变化的角度称为，其中ϕ称为角，ψ称为角，θ称为角。
6.描述刚体的转动惯量与回转半径关系的表达式是。
7.刚体作平面平行运动时，任一瞬间速度为零的点称为，它在刚体上的轨迹称为，在固定平面上的轨迹称为。
8.平面任意力系向作用面内任意一点简化的结果可以归结为两个基本物理量，主矢和主矩。
9.用钢楔劈物，接触面间的摩擦角为ϕf。
劈入后欲使楔不滑出，则钢楔两侧面的夹角θ需满足的条件为θ≦2ϕf。
10.刚体绕OZ轴转动，在垂直于转动轴的某平面上有A，B两点，已知OZ A=2OZB，某瞬时aA=10m/s2，方向如图所示。
则此时B点加速度的大小为5m/s2；与O z B成60度角。
11.如图，杆AB绕A轴以ϕ=5t（ϕ以rad计，t以s计）的规律转动，上一小环M将杆AB和半径为R（以m计）的固定大圆环连在一起，若以O1为原点，逆时针为正向，则用自然法表示的点M的运动方程为s=πR/2+10Rt 。
12. 两全同的三棱柱，倾角为θ，静止地置于光滑的水平地面上，将质量相等的圆盘与滑块分别置于两三棱柱斜面上的A处，皆从静止释放，且圆盘为纯滚动，都由三棱柱的A处运动到B处，则此两种情况下两个三棱柱的水平位移_相等_（填写相等或不相等），因为两个系统在水平方向质心位置守恒。
13.二力构件是指其所受两个力大小相等、方向相反，并且作用在一条直线上是最简单的平衡力系。
14. 若刚体在三个力作用下平衡，其中两个力的作用线汇交于一点，则第三个力的作用线必过此点 ，且 三力共面 。
理论力学-3-力系的平衡
z
F2
O
F1
F
z
0
M F 0 M F 0
x y
自然满足，且
M F 0
z
M F 0
O
平面力系平衡方程的一般形式
于是，平面力系平衡 方程的一般形式为： z O y
Fx 0 Fy 0 M F 0 o
其中矩心 O 为力系作用面 内的任意点。
静不定次数：静不定问题中，未知量的个数与独立的平 衡方程数目之差。
多余约束：与静不定次数对应的约束，对于结构保持静 定是多余的，因而称为多余约束。 关于静不定问题的基本解法将在材料力学中介绍。
P A m a B q
解：对象：梁 受力：如图 方程：
C
b
F F
0, FAx P cosq 0, FAx P cosq # FAy FB P sin q 0 1 y 0, M A F 0, m FBa Pa bsinq 0 2
B A
FR FR
x
A
B
FR
A、B 连线不垂直于x 轴
B A
FR
x
3.3 平面力系的平衡方程 “三矩式” M A = 0， MB = 0 , MC = 0。
C B A C B A
FR FR
满足第一式？ 满足第二式？ 满足第三式？
B A
FR
FR
A、B、C 三点不 在同一条直线上
C A
B
M (F ) 0 Fy 0
A
FQ (6 2) FP 2 FB 4 W (12 2) 0
FQ FA FP FB W 0
理论力学第三章
M
F'
F
二、空间力偶等效定理
空间力偶的等效条件是：作用在同一刚体上的两个力偶， 如果力偶矩矢相等，则两力偶等效。
理论力学 中南大学土木工程学院 24
理论力学
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25
理论力学
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26
三、空间力偶系的合成与平衡
1、合成
力偶作用面不在同一平面内的力偶系称为空间力偶系。 空间力偶系合成的最后结果为一个合力偶，合力偶 矩矢等于各分力偶矩矢的矢量和。即：
8
[例]图示起重机吊起重物。起重杆的A端用球铰链固定在地面上，B端用 绳CB和DB拉住，两绳分别系在墙上的C点和D点，连线CD平行于x轴。 已知CE=EB=DE，角a =30o ，CDB平面与水平面间的夹角∠EBF= 30o， 重物G=10kN。如不计起重杆的重量，求起重杆所受的力和绳子的拉力。 解：1、取杆AB与重物为研究 对象，受力分析如图。
空间力系向点O简化得到一空间汇交力系和一空间 力偶系，如图。
z O
F1 y F2 z M2 z F'1 Mn F'2 y
Fn x
＝
M1 x
O F'n
＝
MO
F'R
O y
x
( i 1，， 2 ，n )
Fi Fi M i M O ( Fi ) ri Fi
M M cos( M，k ) z M
27
理论力学
中南大学土木工程学院
[例]工件如图所示，它的四个面上同时钻五个孔，每个孔所受的切削力偶 矩均为80N· m。求工件所受合力偶的矩在x，y，z轴上的投影Mx，My，Mz， 并求合力偶矩矢的大小和方向。
第三章理论力学
因此，其平衡的解析条件为：
F
x
0
x
F
y
0
y
F
z
0
z
M
0
M
0
M
0
------ 平衡方程
共六个方程，可以求解空间任意力系中的六个未知约束力． 3、空间任意力系的两种特殊情况： 1）空间平行力系的平衡方程
Fy F cos
，
方向：＋、－号；
Fz F cos
2）间接投影法（二次投影法） 如果只已知与一根轴的夹 角 ，则通常的做法是：先将 该力向z 轴及其垂面分解（与 垂面的夹角为 90 )，而位于 垂面内的分力，其平面几何关
系比空间几何关系要容易寻找得多，因此只要在该垂面内
找出其与该平面内的两根轴之一的夹角（与另一根轴的夹
第三章
空间力系
注意：本章不作为重点，主要介绍一些基本概念、基本原理 和一些基本方法的应用，但不作为重点练习；个别需 要掌握的内容设有标注，望大家掌握．
一、空间力系：当力系中各分力的作用线分布于 三维空间时，该力系称为空间力 系． 二、空间力系又可根据力系中各分力的作用线的 分布情况划分为：空间汇交力系、空间力偶 系、空间平行力系和空间 任意力系． 三、本章研究的主要问题：力系的简化、合成及 平衡问题．
M x ( F ) M x ( Fx ) M x ( Fy ) M x ( Fz ) Fz y Fy z M y ( F ) M y ( Fx ) M y ( Fy ) M y ( Fz ) Fx z Fz x M z (F ) M z (Fx ) M z (Fy ) M z (Fz ) Fy x Fx y
理论力学-第三章刚体力学3资料
vi
ω Ri
θi ri
动力学方程：
取转动轴为z轴
k
dJ
M
dt
dJ z dt
Mz
d dt
I zz
M
z
I zz
d
dt
Mz
定轴转动动能：
T
i
1 2
mivi2
i
1 2
mi 2 Ri2
1 2
i
mi Ri2
2
1 2
I zz 2
平动动能：
T
i
1 2
mivi2
i
1 2
mivC2
1 2
§3.6 刚体的平动与绕固定轴的转动
一、 刚体的平动（Translation of Rigid Body） 平动的特点：
各质点的运动情况完全相同
（位移、速度、加速度、轨迹等）
可以用一个点的运动来代表整个刚体（一般取质心）
运动学方程： rC
rC
t
动力学方程：
mrC
F
注意：M 0
例如：讨论平动汽车在刹车时受到的地面支持力。
a2 a2 3g 2
C
Cn
（3）求未知约束力：质心运动定理
tg1 aCn aC 60
maCn maC
Rx
Rx
3
Ry mg Ry mg
3mg 4
4
R R2 R2 1.32mg
x
y
tg1 Ry Rx 11
与x轴负向夹角
作业：P174 （3.7） （3.8）（3.11）
y
vAx
（2）几何法：
取瞬心为基点（瞬心法）刚体上任意一点速度为：
v
r
理论力学周衍柏第三章
(e) dT Fi dri
(e) 若 Fi dri dV 则 T V E
为辅助方程，可代替上述6个方程中任何一个
§3.5 转动惯量
一、刚体的动量矩 1. 某时刻刚体绕瞬轴OO’转动,则pi点的速度为
vi rii
动量矩为 2. 坐标表示
R Fi Fi 0 M M i ri Fi 0
2. 几种特例 1）汇交力系（力的作用线汇交于一点）：取汇交点为 简化中心，则
Fix 0 R Fi 0 Fiy 0 Fiz 0
三、力偶力偶矩 1. 力偶：等大、反向、不共线的两个力组成的利系。
力 偶 所在平面角力偶面. 2. 力偶矩: 对任意一点O M rA F rB F (rA rB ) F r F M Fd
方向 : 右手法则 上式表明:
J z x mi zi xi y mi zi yi z mi ( xi2 yi2 )
I yy mi ( zi2 源自xi2 ) I zy mi zi yi I yz mi yi zi I xz mi xi zi
I zz mi ( xi2 yi2 )
理论力学第三章冯维明主编
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3.2 点的速度合成定理 由合成定理有
例 题
式中三个矢量具有六个要素,已知四个,可作速度平行四边 形,如图所示,则求得
vA va ve cot v cot 30 3v
v θ v θ
v
其方向铅直向上。
v
Theoretical Mechanics
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3.2 点的速度合成定理
v
由正弦定理
ve vr sin sin 60
v
与 v r 间的夹角为 va
v
Theoretical Mechanics
2
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第三章 点的合成运动
§3.3 牵连运动为平动时 点的加速度合成定理
Theoretical Mechanics
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3.3 牵连运动为平动时点的加速度合成定理
Theoretical Mechanics
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3.2 点的速度合成定理
3.2.1 绝对速度、相对速度和牵连速度
牵连点：在任意瞬时，与动点相重合的动坐标 系上的点。
讨 论
动坐标系是一个包含与之固连的刚体在内的运动 空间，除动坐标系作平移外，动坐标系上各点的运 动状态是不相同的。在任意瞬时，只有牵连点的运 动能够给动点以直接的影响。为此，定义某瞬时， 与动点相重合的动坐标系上的点（牵连点）相对于 静坐标系运动的速度称为动点的牵连速度 。
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3.2 点的速度合成定理
3.2.1 绝对速度、相对速度和牵连速度 3.2.2 速度合成定理
Theoretical Mechanics
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3.2 点的速度合成定理
3.2.1 绝对速度、相对速度和牵连速度
理论力学习题答案第三章
第三章思考题解答3.1 答：确定一质点在空间中得位置需要3个独立变量，只要确定了不共线三点的位置刚体的位置也就确定了，故须九个独立变量，但刚体不变形，此三点中人二点的连线长度不变，即有三个约束方程，所以确定刚体的一般运动不需3n 个独立变量，有6个独立变量就够了.若刚体作定点转动，只要定出任一点相对定点的运动刚体的运动就确定了，只需3个独立变量；确定作平面平行运动刚体的代表平面在空间中的方位需一个独立变量，确定任一点在平面上的位置需二个独立变量，共需三个独立变量；知道了定轴转动刚体绕转动轴的转角，刚体的位置也就定了，只需一个独立变量；刚体的平动可用一个点的运动代表其运动，故需三个独立变量。
3.2 答物体上各质点所受重力的合力作用点即为物体的重心。
当物体的大小远小于地球的线度时物体上各质点所在点的重力加速度都相等，且方向彼此平行即重力场为均匀场，此时质心与重心重合。
事实上但物体的线度很大时各质点所在处g 的大小是严格相等，且各质点的重力都指向地心，不是彼此平行的，重心与质心不和。
答 当物体为均质时，几何中心与质心重合；当物体的大小远小于地球的线度时，质心与重心重合；当物体为均质且大小远小于地球的线度时，三者都重合。
3.4 答 主矢F 是力系各力的矢量和，他完全取决于力系中各力的大小和方向，故主矢不随简化中心的位置而改变，故而也称之为力系的主矢；简化中心的位置不同，各力对简化中心的位矢i r 也就不同则各力对简化中心的力矩也就不同，故主矩随简化中心的位置而变，被称之为力系对简化中心的主矩。
分别取O 和O '为简化中心，第i 个力i F 对O 和O '的位矢分别为i r 和i r '，则i r =i r '+O O '，故()()iii ii i O F O O r F r M ⨯'-'=⨯'=∑∑'()∑∑⨯'-⨯'=ii ii i F O O F r ∑⨯'+=ii o F O O M即o o M M ≠'主矢不变，表明刚体的平动效应不变，主矩随简化中心的位置改变，表明力系的作用对刚体上不同点有不同的转动效应，但不改变整个刚体的转动规律或者说不影响刚体绕质心的转动。
理论力学习题(3)
第三章 思考题3．1 刚体一般是由n （n 是一个很大的数目）个质点组成，为什么刚体的独立变量却不是3n 而是6或者更少？答：若组成刚体的每个质点都是自由质点，则质点的自由度为3n ，但刚体在运动中形状不变，各质点间的距离保持不变。
组成刚体的质点不是完全自由的，因而刚体的自由度大大少于3n 。
事实上，对于自由刚体，确定其位置只要确定其中任意不共线的3点的位置就行了，确定3点的位置需要9个变量，考虑到3点之间3个距离不变，9个变量之间有3个约束方程，所以独立变量共有6个。
若刚体不是自由的，还受到其它约束，独立变量的个数还可能少于6个。
3．2 何谓物体的重心？它和质心是不是总是重合在一起的？答：物体各部分所受重力的合力作用点叫做物体的重心。
在一般情况下，物体各部分所受重力的方向是平行的，那么，重心就是平行力系的中心，且无论物体方位如何，其重心在物体内的位置不变。
当物体中各部分重力加速度相同时，物体的重心和质心重合，若物体各部分重力加速度不同，重心可能与质心不重合，由于物体的大小比地球小得多，物体各部分重力加速度的差异实际上观察不到，所以可以认为重心和质心是重合的，但重心和质心是两个完全不同的概念，质心只与物体的质量分布有关，完全由物体本身性质决定，而与重力是否存在无关。
因此，质心的概念比重心具有更重要的意义。
3．3 试讨论图形的几何中心、质心和重心重合在一起的条件。
答：当物体质量均匀分布，物体各部分重力加速度都相同时，物体的几何中心、质心和重心三者重合。
3．4 简化中心改变时，主矢和主矩是不是也要随着改变？如果要改变，会不会影响刚体的运动？答：简化中心改变时，主矢不变，主矩改变。
这种主矩的改变，不会影响刚体的运动。
因为力系对任意简化中心的主矩和主矢都是和原力系等效的，它们对刚体运动产生的效果是等效的。
3．5 已知一均匀棒，当它绕其一端并垂直于棒的轴转动时，转动惯量为231ml ，m为棒的质量，l 为棒长。