数学分析课件：19-1(梯度,散度,旋度)
x
y
z
称为 f 在 p0 的梯度.
沿此方向, 方向导数取最大值|| gradf ( p0 ) || .
设u (cos ,cos ,cos ) R3是一个方向, 则
方向导数
f u ( p0 )
f ( p0 ) cos f ( p0 ) cos f ( p0 ) cos .
x
y
z
2. 等值面
向量函数
F( x, y, z) (P( x, y, z),Q( x, y, z), R( x, y, z)).
二、梯度场
1. 梯度
设V R3 为一开集, 函数 f 连续可微. p0 V .
gradf
(
p0
)
f ( p0 x
)
i
f
( p0 y
)
j
f
( p0 z
)
k
( f ( p0 ) , f ( p0 ) , f ( p0 ) )
F dS
divF (M * ) S
V
令 V收缩到点M0 , 则M *也趋向于点M0 , 因此
F dS
divF(M0 )
lim V M0
S
V
表明 divF(M0 ) 是流量对体积V的变化律.
divF(M0 ) 0, 流出, 称M0为源;
divF(M0 ) 0, 吸收, 称M0为汇. 若对向量场F中每一点,都有 divF 0, 称 F 无源场.
(2) ( f g) ( f ) (g);
(3) ( fg) f (g) g ( f );
(4) 设是单变量函数 ,则( f ) (' f )f .
例1 设径向量 p ( x, y, z), 令p || p ||, 求梯度p. 解： p2 p p x2 y2 z2,
2 pp p2 ( x2 y2 z2 ) 2( x, y, z) 2 p,
则斯托克斯公式
S
(R y
Q )dydz z
(P z
R)dzdx x
(Q x
P y
)dxdy
Pdx Qdy Rdz
可写成 rotF dS F ds, S
向量场 F 沿封闭曲线 的环流量,
反映了流体沿的旋转强弱程度.
斯托克斯公式的物理意义 : 向量场 F 沿封闭曲线 的环流量, 等于F
称 { p V : f ( p) c,c为常数} 为数量场 f 的
c 等值面.
易见 gradf 正是 f 的等值面的法向量 .
3. Nabla算子
( , , ), f (f , f , f ).
x y z
x y z
性质 :
梯度的另一表示.
(1) (cf ) c( f ), 其中 c 为常数;
方程
f
2 f x 2
2 y
f
2
2 z
f
2
0,
则称
f
是V
上
的调和函数.
例3 设径向量 p ( x, y, z), 令p || p ||, 证明 1 ( p 0)是一调和函数. p
证：
1 p
2
1 p
1 p
p p3
0.
四、旋度场
设 F( x, y, z) (P( x, y, z),Q( x, y, z), R( x, y, z))
2010／06／09
第十九章 场的数学
§19.1 梯度、散度、旋度
一、场的概念
1. 数量场
若在全空间或者其中某一区域V 中的每一点,
都有一个数量与之对应, 则称在V上定义了一个
数量场; 2. 向量场
数量函数 f ( x, y, z).
若在V 中的每一点, 都有一个向量与之对应,
则称在V上定义了一个向量场;
dS ndS (dydz,dzdx,dxdy)
于是 Gauss公式 可写成 :
divFdxdydz F dS
V
S
向量场 F 通过定向曲面 S 的通量.
任取M0 V , 对上式左侧用中值定理, 得
divFdxdydz divF (M * ) V F dS
V
S
其中 M *为V 中某一点, 于是
为空间区域V上的向量值函数, 对( x, y, z) V , 定义向量函数 :
rotF ( R Q , P R , Q P ), y z z x x y
称rotF为向量场F在( x, y, z)处的旋度. 由rotF 定义的向量场, 称为旋度场.
i jk 便于记忆的形式: rotF
即 : divF P Q R . x y z
divergence
Gauss公式
V
(
P x
Q y
R z
)dxdydz
Pdydz Qdzdx Rdxdy
S
(P cos Q cos Rcos )dS
S
其中 S 取外侧, n (cos ,cos ,cos )为S的外侧上
的单位法向量. 定义面积向量元素:
因此，当p 0时, p p p . || p || p
三、散度场
设 F( x, y, z) (P( x, y, z),Q( x, y, z), R( x, y, z))
为空间区域V上的向量值函数, 定义数量函数
D( x, y, z) P Q R x y z
称为向量函数F在( x, y, z)处的散度, 记为 divF .
利用Nabla算子, 散度可以写成
性质 :
divF F .
(1) (cF ) c F , c为常数;
(2) (F1 F2 ) F1 F2;
(3) 设 ( x, y, z)是数量场,则
F F F .
例2 设径向量 p ( x, y, z), 令p || p ||, 求divp p. 解： p x y z 3,
x y z PQR
也可写成向量积的形式: rotF F 设 S 为双侧曲面, 为其边界曲线, 其中 S 的 侧和 的方向满足 右手法则.
设t (cost ,cos t ,cos t )是曲线正向上的单
位切向量, 定义弧长元素向量:
ds (cost ,cos t ,cos t )ds tds
x y z
p p1p p1 p p2 p,
p 利用性质3,
p p p p p p
3 p p p2 p
(3 ) p .
(4) 设 ( x, y, z)是数量场,则
2
x 2
2
y 2
2
z 2
记 ,
Laplace算子
于是 .
设V为一区域, 如果V上的数量场 f 满足Laplace
哈密顿算子与梯度、散度、旋度
哈密顿算子的定义与性质
• 定义向量微分算子
∂ ∂ ∇ = ∂x i + ∂∂y j + ∂z k
• 称为▽( Nabla ，奈 称为▽ 布拉)算子, 布拉)算子, 或哈密 顿( Hamilton ) 算子
• • •
矢量性 微分算子 只对于算子▽ 只对于算子▽ 右边的量发生 右边的量发生 微分作用
∂Dx ∂Dy ∂Dz + + =ρ ∂x ∂y ∂z ∂Bx ∂By ∂BZ + + =0 ∂x ∂y ∂z
哈密顿算子与梯度、散度、 哈密顿算子与梯度、散度、旋度
• 英汉对对碰 • • • • Operator▽ Operator▽ Gradient Divergence Curl • • • • 哈密顿算子 梯度(grad) 梯度(grad) 散度(div) 散度(div) 旋度(rot) 旋度(rot)
∂u ∂u ∇u = ∂x i + ∂ y ∂u j + ∂z k
= gradu
(2) A = P(x, y, z)i + Q(x, y, z) j + R(x, y, z) k, 则
∇⋅ A
∂P ∂Q ∂R = ∂x + ∂ y + ∂z = div A
i
∂ = ∂x ∇× A P
j
∂ ∂y
k
∂ ∂z
对速度矢量场， 对速度矢量场 ， 流体微团运动分析证明 速度散度的物理意义是标定流体微团运 动过程中相对体积的时间变化率。 动过程中相对体积的时间变化率。
矢量场的旋度(curl) 矢量场的旋度(curl)
对矢量场， 对矢量场 ， 在笛卡尔坐标系下其旋度定 义为： 义为： ir rj kr
旋度梯度散度
旋度梯度散度旋度、梯度和散度是向量分析中的三个重要概念，它们在物理学、工程学和应用数学中具有广泛的应用。
本文将就旋度、梯度和散度这三个概念展开讨论，介绍它们的定义、性质以及在实际问题中的应用。
一、旋度的定义和性质旋度是一个向量场的一个重要特征，它描述了向量场的旋转性质。
在三维空间中，给定一个向量场F(x, y, z)，其旋度定义为：rot F = (∂Fz/∂y - ∂Fy/∂z, ∂Fx/∂z - ∂Fz/∂x, ∂Fy/∂x - ∂Fx/∂y)其中，Fx、Fy、Fz分别表示向量场F在x、y、z方向上的分量。
旋度的几何意义是：旋度的大小表示向量场的旋转速率，而旋度的方向表示旋转轴的方向。
换言之，旋度可以告诉我们向量场在某一点上是否存在旋转，并且可以确定旋转轴的方向。
旋度具有一些重要的性质。
首先，旋度是一个向量，它的方向垂直于曲面元素的法向量，并且符合右手法则。
其次，旋度与向量场的平面性质相关，当旋度为零时，向量场是无旋的，即向量场在任意闭合路径上的线积分为零；当旋度不为零时，向量场是有旋的，即向量场在某些路径上的线积分不为零。
二、梯度的定义和性质梯度是一个标量场的一个重要特征，它描述了标量场的变化率和变化方向。
在三维空间中，给定一个标量场φ(x, y, z)，其梯度定义为：grad φ = (∂φ/∂x, ∂φ/∂y, ∂φ/∂z)梯度的几何意义是：梯度的大小表示标量场变化最快的方向，而梯度的方向与变化率最大的方向一致。
梯度具有一些重要的性质。
首先，梯度是一个向量，它的方向指向标量场变化最快的方向，并且变化率最大；其次，梯度的大小表示标量场变化的速率，大小越大表示变化越快；最后，梯度是无旋的向量场，即梯度场的旋度为零。
三、散度的定义和性质散度是一个向量场的一个重要特征，它描述了向量场的发散性质。
在三维空间中，给定一个向量场F(x, y, z)，其散度定义为：div F = ∂Fx/∂x + ∂Fy/∂y + ∂Fz/∂z散度的几何意义是：散度的大小表示向量场在某一点上的发散程度，正值表示向外发散，负值表示向内汇聚。
物理场论梯度散度和旋度课件
➢在直角坐标系中：
A
P(x,
u max(u ) l
u
(u) • l
u
cos
l
➢梯度性质2：数量场
u(M
)在
M
点处的梯度垂直于
0
该点的等值面，且指向函数 u(M )增大的方向。
➢梯度性质3：梯度gradu 的方向与 u 等值面的法
线重合，且指向 u
增大的方向，大小是
n
方向的
方向导数 u 。
n
梯度
➢梯度性质4：梯度 gradu 的方向，即等值面的法
面
S
某
一侧的曲面积分：
AndS A • dS
S
S
为矢量场
A(M
)向积分所沿一侧穿过曲面
S
的通量。
➢假若：
m
A A1 A2 Am Ai
i 1
则有：
m
n n
A• dS ( Ai ) • dS Ai • dS i
S
S i1
i1 S
i 1
➢通量是可以叠加的。
通量和源
S
曲面积分
➢进一步用矢量表示为：
A Axex Ayey Azez
n
cosex
cos ey
cos ez
cos,cos,cos 分别表示外法向单位矢量在 x, y, z 轴的 投影，则有：
( Ax cos Ay cos Az cos )dS
根据右S 图，有以下关系：
n
z
dS
cosdS dydz cosdS dxdz
cosez
方向导数
➢
以下将讨论数量场
u
在
l
方向的变化规律。
散度,旋度,梯度
《散度,旋度,梯度》1、散度：可用于表征空间各点矢量场发散的强弱程度，物理上，散度的意义是场的有源性。
当div F>0 ，表示该点有散发通量的正源（发散源）；当div F<0 表示该点有吸收通量的负源（洞或汇）；当div F=0，表示该点无源。
2、旋度是向量分析中的一个向量算子，可以表示三维向量场对某一点附近的微元造成的旋转程度。
这个向量提供了向量场在这一点的旋转性质。
旋度向量的方向表示向量场在这一点附近旋转度最大的环量的旋转轴，它和向量旋转的方向满足右手定则。
旋度向量的大小则是绕着这个旋转轴旋转的环量与旋转路径围成的面元的面积之比。
3、梯度：是一个向量（矢量），表示某一函数在该点处的方向导数沿着该方向取得最大值。
对散度的理解梯度: 运算的对像是纯量,运算出来的结果会是向量在一个纯量场中,梯度的计算结果会是"在每个位置都算出一个向量,而这个向量的方向会是在任何一点上从其周围(极接近的周围,学过微积分该知道甚么叫极限吧?)纯量值最小处指向周围纯量值最大处.而这个向量的大小会是上面所说的那个最小与最大的差距程度"举例子来讲会比较简单,如果现在的纯量场用一座山来表示,纯量值越大的地方越高,反之则越低.经过梯度这个运操作数的运算以后,会在这座山的每一个点上都算出一个向量,这个向量会指向每个点最陡的那个方向,而向量的大小则代表了这个最陡的方向到底有多陡.散度: 运算的对像是向量,运算出来的结果会是纯量散度的作用对像是向量场,如果现在我们考虑任何一个点(或者说这个点的周围极小的一块区域),在这个点上,向量场的发散程度,如果是正的,代表这些向量场是往外散出的.如果是负的,代表这些向量场是往内集中的.一样,举例子:因为散度的作用对像是向量场,所以就不能用上面所讲的山来想象,这次要想象一个大广场里挤了很多人,如果每个人都在到处走动,是不是可以把每个人的行动都看成是一个向量,假如现在某人放了一个屁,周围的人(可能包含他自己)都想要赶快闪远一点,就会发现,在这块区域的人都往这小块区域以外的方向移动.对啦…这就是散度(你也可以想说是闪远一点的闪度…冷…),大家如果散得越快,散得人越多,这个散度算出来就就越大.旋度: 运算的对像是向量,运算出来的结果会是向量旋度的作用对象也是向量场,这次直接用上面的例子来讲:如果现在散开的众人都是直直的往那个屁的反方向散开,这时候你看到这些人的动线是不是就是一个标准的幅射状?不过事实上,每个人在闻到屁的时候是不会确切的知道屁到底是来自哪个方向的.而可能会走错方向,试过之后才发现不对劲,越找越臭.这时候你看到众人的走向不见得就是一个幅射状(大家都径向移动),而可能有一些切向移动的成份在(以屁发点为中心来看)旋度对应的就是这些切向移动的情况,相对来讲,散度对应的其实就是径向移动的情况.而一个屁,虽然可能会像上述的造成一些切向的移动,但理论上来讲,并不会使散开的众人较趋向于顺时钟转,或逆时钟转.在这种情况,顺时钟转的情况可以看作与逆时钟转的情况抵消,因此,在这情况下,旋度仍然是零.也就是说,一个屁能造成散度,而不会造成旋度…而甚么时候是有旋度的呢?如果这时候音乐一放,大家开始围着中间的营火手拉手跳起土风舞(当然是要绕着营火转的那种啦)这时候就会有旋度没有散度啦.(刚刚一直放屁的那位跑出去找厕所的除外)以上这三个,有一点一定要记得的.不论是梯度,散度,旋度,都是一种local的量(纯量,向量),所考虑的都是任何一点(其周围极接近,极小的小范围)的情况.以上举的例子因为要容易了解,所以都是针对二度空间向量为例,而且都是很大的东西,但广场是一个点,营火晚会也是一个点,纳须弥于芥子,这就请自行想象吧。
散度、旋度、梯度释义
散度、旋度、梯度释义散度、旋度、梯度是矢量分析中的重要概念，通常用于描述矢量场的特性。
1. 散度（Divergence）散度是指矢量场在某一点上的流出量与流入量之差，也就是说，它描述了矢量场的源和汇在该点的情况。
如果某一点的散度为正，表示该点是矢量场的源，矢量场从该点向外扩散；如果散度为负，表示该点是矢量场的汇，矢量场汇聚于该点；如果散度为零，则表示该点是矢量场的旋转中心。
数学上，散度用向量微积分的形式来表示，它是矢量场的散度算子作用于该点处的矢量的结果。
散度算子用符号“∇·”表示，因此，该点的散度可以用以下公式来计算：div F = ∇·F其中，F表示矢量场，div F表示该点的散度。
2. 旋度（Curl）旋度是指矢量场在某一点上的旋转程度，也就是说，它描述了矢量场在该点处的旋转方向和强度。
如果某一点的旋度为正，表示该点周围的矢量场是顺时针旋转的；如果旋度为负，表示该点周围的矢量场是逆时针旋转的；如果旋度为零，则表示该点周围的矢量场没有旋转。
数学上，旋度用向量微积分的形式来表示，它是矢量场的旋度算子作用于该点处的矢量的结果。
旋度算子用符号“∇×”表示，因此，该点的旋度可以用以下公式来计算：curl F = ∇×F其中，F表示矢量场，curl F表示该点的旋度。
3. 梯度（Gradient）梯度是指矢量场在某一点上的变化率，也就是说，它描述了矢量场在该点处的变化方向和强度。
如果某一点的梯度为正，表示该点处的矢量场在该方向上增强；如果梯度为负，表示该点处的矢量场在该方向上减弱；如果梯度为零，则表示该点处的矢量场没有变化。
数学上，梯度用向量微积分的形式来表示，它是矢量场的梯度算子作用于该点处的标量函数的结果。
梯度算子用符号“∇”表示，因此，该点的梯度可以用以下公式来计算：grad f = ∇f其中，f表示标量函数，grad f表示该点的梯度。
梯度、散度和旋度——定义及公式
梯度、散度和旋度——定义及公式1 哈密顿算子（Hamiltion Operator ）哈密顿算子本身没有含义，只有作用于后面的量才有实际意义；它是一个微分算子，符号为∇。
三维坐标系下，有=i j k x y z∂∂∂∇++∂∂∂ 或者 (,,)x y z ∂∂∂∇=∂∂∂ 其中,,i j k 分别为xyz 方向上的单位矢量。
2 梯度（Gradient ） 2.1 梯度的定义梯度是哈密顿算子直接作用于函数f 的结果（f 可以是标量和向量）。
(,,)f f f f f f grad f f i j k x y z x y z ∂∂∂∂∂∂=∇=++=∂∂∂∂∂∂ 标量场的梯度是向量，标量场中某一点的梯度指向标量场增长最快的地方，梯度的长度是最大变化率。
2.2 梯度的性质∇c=0∇(RS)= ∇R+∇S21()(),0R S R R S S S S∇=∇-∇≠ [()]()f S f S S '∇=∇其中，C 为常数，R 、S 为两个标量场，f 为一连续可微函数。
3 散度（Divergence ）散度是哈密顿算子与矢量函数f 点积的结果，是一个标量。
设矢量函数=(,,)x y z x y z f f i f j f k f f f =++则散度表示为： (,,)(,,)y x z x y z f f f div f f f f f x y z x y z∂∂∂∂∂∂=∇==++∂∂∂∂∂∂ 散度是描述空气从周围汇合到某一处或从某一处散开来程度的量。
它可用于表征空间各点矢量场发散的强弱程度，物理上，散度的意义是场的有源性。
当0div f >，该点有散发通量的正源（发散源）；当0div f <，该点有吸收通量的负源（洞或汇）； 当=0div f ，该点无源。
4 旋度（Curl, Rotation ）旋度是哈密顿算子与矢量函数f 叉积的结果，是一个矢量，设矢量函数=(,,)x y z x y z f f i f j f k f f f =++则旋度：=rot ()()()y y x x z z x y zij k f f f f f f curl f f f i j k xy z y zz x x y f f f ∂∂∂∂∂∂∂∂∂=∇⨯==-+-+-∂∂∂∂∂∂∂∂∂ 旋度是矢量分析中的一个矢量算子，可以表示三维矢量场对某一点附近的微元造成的旋转程度。
梯度,散度,旋度
梯度,散度,旋度
梯度是指函数在某一点处的切线斜率，它可以用来表示函数在某一点处的变化率，可以用来描述函数的变化趋势。
散度是指函数在某一点处的二阶导数，它可以用来表示函数在某一点处的变化率的变化率，可以用来描述函数的变化趋势的变化趋势。
旋度是指函数在某一点处的三阶导数，它可以用来表示函数在某一点处的变化率的变化率的变化率，可以用来描述函数的变化趋势的变化趋势的变化趋势。
梯度可以用一阶导数的形式表示，即函数f(x)在点x处的梯度
可以表示为f'(x)，其中f'(x)表示函数f(x)在点x处的一阶导数。
散度可以用二阶导数的形式表示，即函数f(x)在点x处的散度
可以表示为f''(x)，其中f''(x)表示函数f(x)在点x处的二阶导数。
旋度可以用三阶导数的形式表示，即函数f(x)在点x处的旋度
可以表示为f'''(x)，其中f'''(x)表示函数f(x)在点x处的三阶导数。
梯度、散度和旋度都可以用来描述函数的变化趋势，但它们之间有着明显的区别。
梯度可以用来表示函数在某一点处的变化率，散度可以用来表示函数在某一点处的变化率的变化率，而旋度可以用来表示函数在某一点处的变化率的变化率的变化率。
因此，梯度、散度和旋度都可以用来描述函数的变化趋势，但它们之间有着明显的区别。
如何理解和区分旋度、散度和梯度？微分学中重要的概念
如何理解和区分旋度、散度和梯度？微分学中重要的概念散度和旋度是向量场的两种度量，它们在很多应用中都非常重要。
这两者都很容易理解，只需把向量场看成是液体或气体的流动；也就是说，向量场中的每个向量都应该被解释为一个速度向量。
倒三角符号假设有一个三个变量的函数——比如说，房间里的温度：T(x, y, z)。
我们想把“导数”的概念推广到像T这样的函数，它依赖于三个变量而不是一个变量。
梯度具有向量的形式：括号中的项是向量微分算子，被称为哈密顿算子或倒三角算子（nabla operator或 del operator）：准确地说，哈密顿算子是一个作用于T的向量算子，而不是一个乘以T的向量。
可以看出，标量函数的梯度具有非常不同的物理意义。
梯度具有以下一般属性：•它作用于一个标量函数并得到一个向量函数。
•梯度总是指向标量函数中变化最大的方向。
•梯度垂直于一个定值曲面。
这个性质将被广泛地用于确定向量场的方向。
哈密顿算子作用的方式有三种：1.对于标量函数T：（梯度）；∇T2.对于向量函数v(x,y,z)，通过点积：(散度)∇⋅v3.对于向量函数v(x,y,z)，通过叉乘：(旋度)∇×v•倒三角符号可能不显示散度从哈密顿算子的定义出发，构建散度：向量函数v的散度本身是一个标量。
向量函数v的散度本身是一个标量。
“散度”的名字选择得很好，因为∇（倒三角）⋅v是向量v 从一个点散开（散度）的度量值。
例如下图1中的向量函数。
（a）中函数的散度较大（箭头指向外，是正散度）；（b）中函数的散度为零；（c）中的函数的散度也是正的。
•图1想象一下站在池塘边。
在水面撒上一些木屑；如果木屑散开了，你就是把它们丢在正散度的点；如果它聚集在一起，则你是把它们丢在负散度点。
这个模型中的矢量函数v是水的速度，这是一个二维的例子。
例：假设图1中的函数为计算散度，旋度根据哈密顿算子的定义，我们构造旋度：注意，向量函数v的旋度，是一个向量。
1.2 散度-旋度-梯度
u u( x, y, z) u(r ) C
如同温层，等位面，等高线
a
b
等值面
d c
2
方向导数
如何了解标量场 中某一点的标量 函数U沿某一方 向的变化情况？
b a
等值面
d c
方向导数：标量函数在给定点沿 某一方向对距离的变化率
U l
3
方向导数
z
ez
z
U l
M ( x 0 x , y0 y, z 0 z )
1 1 ( ) 的梯度 R R
z
r
Q ( x , y , z ) R
o
r
P ( x, y, z )
y
x
16
源点与场点
• 源点： • 场点：
( x, y, z) ( x, y, z )
源点 r'
R
场点
r
O
17
例题
1 1 距离矢量 R r r ，求标量场 R 的梯度 ( ) R z Q ( x , y , z )
数学描述：矢量 A 沿某一有向曲面 S 的面积分
A dS A en dS A cos θdS
s s s
通量(Flux)
dS en dS
S
C
有向曲面：开表面， 右螺旋
闭合曲面，外法线
通量：穿过曲面s的矢量线的总数
22
通量的应用
• 判断闭合曲面内源的性质
ey ez 直角坐标系中： ex x y z 1 柱面坐标系中： e e ez z 1 1 球面坐标系中： eR e e R R R sin
散度,梯度,旋度.
散度散度（divergence）的概念：在矢量场F中的任一点M处作一个包围该点的任意闭合曲面S，当S所限定的体积ΔV以任何方式趋近于0时，则比值∮F·d S/ΔV的极限称为矢量场F在点M处的散度，并记作div F由散度的定义可知，div F表示在点M处的单位体积内散发出来的矢量F的通量，所以div F描述了通量源的密度。
div F=▽·F气象学：散度指流体运动时单位体积的改变率。
简单地说，流体在运动中集中的区域为辐合，运动中发散的区域为辐散。
用以表示的量称为散度，值为负时为辐合，此时有利于天气系统的的发展和增强，为正时表示辐散，有利于天气系统的消散。
表示辐合、辐散的物理量为散度。
微积分学→多元微积分→多元函数积分：设某量场由A(x,y,z) = P(x,y,z)i + Q(x.y,z)j + R(x,y,z)k给出，其中P、Q、R 具有一阶连续偏导数，Σ 是场内一有向曲面，n是Σ 在点(x,y,z) 处的单位法向量，则∫∫A·n dS 叫做向量场A通过曲面Σ 向着指定侧的通量，而δP/δx + δQ/δy + δR/δz 叫做向量场A的散度，记作div A，即div A= δP/δx + δQ/δy + δR/δz。
上述式子中的δ 为偏微分（partial derivative）符号。
散度（divergence）的运算法则：div (α A + β B ) = α div A+ β div B (α,β为常数)div (u A ) =u div A+ A grad u (u为数性函数)在二元函数的情形，设函数z=f(x,y)在平面区域D内具有一阶连续偏导数，则对于每一点P(x,y)∈D，都可以定出一个向量(δf/x)*i+(δf/y)*j这向量称为函数z=f(x,y)在点P(x,y)的梯度，记作gradf(x,y)类似的对三元函数也可以定义一个：(δf/x)*i+(δf/y)*j+(δf/z)*k 记为grad[f(x,y,z)] 梯度的汉语词义，用法。