中职数学职业模块第一章《三角计算及其应用》教案
中职数学职业模块第一章《三角计算及其应用》
教学设计教案
第一课时：两角和与差的余弦（一）
【教学目标】
知识目标：
理解两角和与差的余弦公式． 能力目标：
通过三角计算的学习，培养学生的计算技能与计算工具使用技能．
【教学重点】
本节课的教学重点是两角差的余弦公式．
【教学难点】
难点是公式的推导和运用．
【教学设计】
介绍新知识前，先利用特殊角的三角函数值，认识到cos(6030)cos60cos30?-?≠?-?，进而提出如何计算cos()αβ-的问题．这个导入过程是非常重要的，所指出的错误正是学生学习中最容易发生的，在教学中不可忽视．利用向量论证cos()αβ-的公式，使得公式推导过程简捷．正确理解向量数量积的两种方法是理解公式推导过程的关键．建议教师授课前，让学生复习向量的有关知识．这个公式是推导后面各公式的基础，教学重点放在对公式形式特点的认识和对公式正向与反向的应用上．例1-例4都是两角和与差的余弦公式的应用，教学中要强调公式的特点．例3中得到的结论πcos()sin 2αα-=，π
sin()cos 2
αα-=都是初
中学习过的公式，现在将角从锐角推广到任意角．根据《中等职业学校数学教学大纲》的要求，教材并没有将这组公式作为公式来进行强化，只作为两角和与差的余弦公式运用的教学例题出现，同时承上启下，为推导sin()αβ±的公式作准备．教材利用cos()αβ-的公式推导cos()αβ+的公式的步骤是：利用[]cos()cos ()αβαβ+=--，推出cos()αβ+．
【课时安排】
1课时．
【教学过程】
揭示课题
1．1两角和与差的余弦公式 创设情境 兴趣导入
问题 我们知道，1cos 60cos302?=?=，显然 ()cos 6030cos60cos30?-?≠??-．
由此可知()cos cos cos αβαβ-≠-．
动脑思考 探索新知
在单位圆（如上图）中，设向量OA 、OB
与x 轴正半轴的夹角分别为α和β，则点A
的坐标为（cos ,sin αα），点B 的坐标为（cos ,sin ββ）．
因此向量(cos ,sin )OA αα= ，向量(cos ,sin )OB ββ= ，且1OA = ,1OB =
．
于是 c o s ()c o s ()O A O B O A O B αβαβ?=??-=-
，又
cos cos sin sin OA OB αβαβ?=?+?
，
所以 cos()cos cos sin sin αβαβαβ-=?+?． （1）
又 []c o s
()c o s ()
αβαβ+=--
cos cos()sin sin()αβαβ=?-+?-
cos cos sin sin αβαβ=?-?． （2）
利用诱导公式可以证明，(1)、(2)两式对任意角都成立（证明略）．由此得到两角和与差的余弦公式
cos()cos cos sin sin αβαβαβ+=?-? （1.1） c o s ()
c o s c o s s i n s αβαβαβ-=?+? （1.2）
公式（１.１）反映了αβ+的余弦函数与α，β的三角函数值之间的关系；公式（１.2）反
映了αβ-的余弦函数与α，β的三角函数值之间的关系． 巩固知识 典型例题
例1 求cos 75?的值．
分析 可利用公式（1.1），将75°角看作45°角与30°角之和． 解 cos75cos(4530)?=?+?cos 45cos30sin 45sin 30=??-??
1
2
=
=（转下节）
第二课时：两角和与差的余弦（二）
【教学目标】
知识目标：
理解两角和与差的余弦公式． 能力目标：
通过三角计算的学习，培养学生的计算技能与计算工具使用技能．
【教学重点】
本节课的教学重点是两角和与差的余弦公式．
【教学难点】
难点是公式的运用．
【课时安排】
1课时．
【教学过程】（接上节）
巩固知识 典型例题
例1 求cos 75?的值．
分析 可利用公式（1.1），将75°角看作45°角与30°角之和． 解 cos75cos(4530)?=?+?
cos 45cos30sin 45sin 30=??-??
1
2=
=
例2 设34
cos cos 55
αβ==，，
并且α和β都是锐角，求cos()αβ+的值． 分析 可以利用公式（1.1），但是需要首先求出sin α与sin β的值． 解 因为3
cos 5
α=，4cos 5β=，并且α和β都是锐角，所以
4sin 5α=
，3
sin 5
β． 因此 cos()cos cos sin sin αβαβαβ+=-， 3443
05555
=?-?=.
例3 分别用sin α或cos α，表示πcos()2α-与π
sin()2
α-
解 πcos()2α-=ππ
cos cos sin sin 22
αα?+?
0cos 1sin sin ααα=?+?=． 故 π
cos()sin 2
αα-=．
令
π2αβ-=,则π
2
αβ=-,代入上式得 π
cos sin()2
ββ=-，
即 π
sin()cos 2
αα-=.
运用知识 强化练习
1．求cos105?的值. 2．求cos15?的值． 理论升华 整体建构 思考并回答下面的问题：
两角和与差的余弦公式内容是什么？ 结论：
两角和与差的余弦公式
cos()cos cos sin sin αβαβαβ+=?-? （1.1）
cos()cos cos sin sin αβαβαβ-=?+? （1.2）
自我反思 目标检测
本次课采用了怎样的学习方法？你是如何进行学习的？你的学习效果如何？ 已知11
sin sin 23
αβ==，，
且αβ，均为锐角，求cos()αβ+的值． 继续探索 活动探究
(1)读书部分：教材
(2)书面作业：教材习题1．1（必做）；学习指导1．1（选做） (3)实践调查：用两角和与差的余弦公式印证一组诱导公式 课后反思：
第三课时：两角和与差的余弦公式与正弦公式（一）
【教学目标】
知识目标：
理解两角和与差的正弦公式． 能力目标：
通过三角计算的学习，培养学生的计算技能与计算工具使用技能．
【教学重点】
运用公式，进行简单三角函数式的化简及求值．
【教学难点】
运用公式，解决简单三角函数式的化简及求值问题．
【教学设计】
公式sin()αβ+的推导过程是，首先反向应用例3中的结论π
cos()sin 2αα-=，然后再
利用公式cos()αβ-，最后整理得到公式．教学关键是引导学生将()αβ+看做整体，这样才
能应用公式π
cos()2α-．反向使用公式，培养学生的逆向思维是数学课程教学的一项重要任
务，要在不同的例题和不同知识层面的教学上引起足够的重视．例5、例6是公式的巩固性题目，教学中要强调公式的特点，例7是反向应用公式，通过具体例题的分析，使得学生明白正向和反向应用公式的原因，注重方法和思想的教育．
【教学备品】
教学课件．
【课时安排】
1课时．
【教学过程】
揭示课题
1．1两角和与差的余弦公式与正弦公式． *创设情境 兴趣导入
问题πcos 2α??
-= ???
？
动脑思考 探索新知
由于π
cos()2
α-=sin α对于任意角都成立，所以
ππsin()cos ()cos ()22αβαβαβ????
+=-+=--????????
ππ
cos()cos sin()sin 22αβαβ=-?+-?
sin cos cos sin αβαβ=?+?.
[]sin()sin ()sin cos()cos sin()αβαβαβαβ-=+-=?-+?-
sin cos cos sin αβαβ=?-?.
由此得到，两角和与差的正弦公式
sin()sin cos cos sin αβαβαβ+=?+? (1.3) sin()sin cos cos sin αβαβαβ-=?-? (1.4)
巩固知识 典型例题
例5 求sin15?的值.
分析 可以利用公式（1.4），将15°角可以看作是60°角与45°角之差． 解 sin15sin(6045)?=?-?
sin 60cos 45cos60sin 45=??-??
12-
=
． 例6 已知3cos (0)52παα=∈-，，，求sin 6π
α+（）
的值． 解 由于π
(0)2
α∈，，故
4sin 5α=-， 所以
πππ
sin sin cos cos sin
666
431()552ααα+=+=-+?
==（）
（转下节）
第四课时：两角和与差的余弦公式与正弦公式（二）
【教学目标】
知识目标：
理解两角和与差的正弦公式． 能力目标：
通过三角计算的学习，培养学生的计算技能与计算工具使用技能．
【教学重点】
运用公式，进行简单三角函数式的化简及求值．
【教学难点】
运用公式，解决简单三角函数式的化简及求值问题．
【教学设计】
公式sin()αβ+的推导过程是，首先反向应用例3中的结论π
cos()sin 2αα-=，然后再
利用公式cos()αβ-，最后整理得到公式．教学关键是引导学生将()αβ+看做整体，这样才
能应用公式π
cos()2α-．反向使用公式，培养学生的逆向思维是数学课程教学的一项重要任
务，要在不同的例题和不同知识层面的教学上引起足够的重视．例5、例6是公式的巩固性题目，教学中要强调公式的特点，例7是反向应用公式，通过具体例题的分析，使得学生明白正向和反向应用公式的原因，注重方法和思想的教育．
【教学备品】
教学课件．
【课时安排】
1课时．
【教学过程】
（接上节）
巩固知识 典型例题
例7 求sin105cos75cos105sin 75??+??的值．
分析 所给的式子恰好是公式（1.3）右边的形式，可以考虑逆向使用公式． 解 sin105cos75cos105sin 75??+??
=sin(10575)?+? sin1800=?=．
【小提示】
逆向使用公式是非常重要的，往往会带来新的思路，使问题的解决简单化．
运用知识 强化练习
1．求sin165?的值． 2．求sin 255?的值．
3．求sin 25cos85cos 25sin85??-??的值． 理论升华 整体建构 思考并回答下面的问题：
两角和与差的正弦公式内容是什么？ 结论：
两角和与差的余弦公式
sin()sin cos cos sin αβαβαβ+=?+? (1.3)
sin()sin cos cos sin αβαβαβ-=?-? (1.4)
归纳小结 强化思想
本次课学了哪些内容？重点和难点各是什么？ 自我反思 目标检测
本次课采用了怎样的学习方法？你是如何进行学习的？你的学习效果如何？
已知12cos 13α=-，且π＜α＜3π2，求π
sin()4
α-的值．
继续探索 活动探究
(1)读书部分：教材
(2)书面作业：教材习题1．1（必做）；学习与训练1．1（选做） (3)实践调查：用两角和与差的正弦公式印证一组诱导公式
课后反思：
第五课时：倍角公式（一）
【教学目标】
知识目标： 了解二倍角公式．． 能力目标：
通过三角计算的学习，培养学生的计算技能与计算工具使用技能．
【教学重点】
运用三角公式，进行简单三角函数式的化简及求值．
【教学难点】
运用三角公式，解决简单三角函数式的化简及求值问题．
【教学设计】
要明确二倍角的概念：2α是α的二倍角，3α是
32α的二倍角，α是2
α
的二倍角等．二倍角的实质是用一个角的三角函数表示这个角的二倍角的三角函数．要使学生从一开始就对二倍角的含义有正确的认识．二倍角余弦的三种形式的公式同等重要，要分析这三种公式各自的形式特点．公式22cos2cos sin ααα=-的特点是公式的右边是平方差的形式，可以方便的进行因式分解；公式2cos22cos 1αα=-和2cos212sin αα=-是分别用角α的余弦与正弦中的一种函数来表示二倍角余弦；变形公式21cos2sin 2αα-=
和21cos2cos 2
α
α+=的特点是公式的左边是关于三角函数的平方，右边是关于二倍角余弦的一次式．正向使用公式通常把公式叫做降幂公式，反向使用公式通常把公式叫做升幂公式．降幂公式和升幂公式在专业课程及后继课程的学习中，有着广泛的应用．要引导学生抓住各个公式的特点，理解、记忆和正确使用这些公式．
【课时安排】
1课时．
【教学过程】
揭示课题
1．1两角和与差的余弦公式与正弦公式． 动脑思考 探索新知
在公式（1.3）中，令αβ=，可以得到二倍角的正弦公式
sin 2sin cos cos sin 2sin cos ααααααα=+=．
即
sin 22sin cos ααα= (1.5)
同理，公式（1.1）中，令αβ=，可以得到二倍角的余弦公式
22cos2cos sin ααα=- (1.6)
因为22sin cos 1αα+=，所以公式(1.6)又可以变形为
2cos22cos 1αα=-，
或 2cos212sin αα=-.
还可以变形为
21cos2sin 2
α
α-=
， 或 21cos2cos 2
α
α+=
. 公式（1.5）、（1.6）及其变形形式，反映出具有二倍关系的角的三角函数之间的关系．在三角的计算中有着广泛的应用． 【小提示】
二倍角公式适用于所有具有二倍关系的角．如4α与2α，α与2
α
，
2
α
与
4
α
等．
巩固知识 典型例题
例8 已知3
sin 5
α=
，且α为第二象限的角，求sin 2α、cos 2α的值． 解 因为α为第二象限的角，所以
24
cos 5
α==-，
故 24
sin 22sin cos 25ααα==-
， 27cos212sin 25
αα=-=． 例9 已知1
cos 23
α
=-，且(π,2π)α∈，求sin α、cos 4α的值．
分析
2
α
与α，
2
α
与
4
α
之间都是具有二倍关系的角，故可以使用二倍角公式来计算
解 由(π,2π)α∈知
π
(,π)22α
∈，所以
sin
2
α
== 故
12s i n
2s i n c o s (2
2
3α
α
α==-= 由于
ππ
(,)442
α
∈，且21
1()
1cos
132cos 4223α
α+-+=
=
=，所以
cos
4
α
=
（转下节）
第六课时：倍角公式（二）
【教学目标】
知识目标： 了解二倍角公式．． 能力目标：
通过三角计算的学习，培养学生的计算技能与计算工具使用技能．
【教学重点】
运用三角公式，进行简单三角函数式的化简及求值．
【教学难点】
运用三角公式，解决简单三角函数式的化简及求值问题．
【教学设计】
要明确二倍角的概念：2α是α的二倍角，3α是
32α的二倍角，α是2
α
的二倍角等．二倍角的实质是用一个角的三角函数表示这个角的二倍角的三角函数．要使学生从一开始就对二倍角的含义有正确的认识．二倍角余弦的三种形式的公式同等重要，要分析这三种公式各自的形式特点．公式22cos2cos sin ααα=-的特点是公式的右边是平方差的形式，可以方便的进行因式分解；公式2cos22cos 1αα=-和2cos212sin αα=-是分别用角α的余弦与正弦中的一种函数来表示二倍角余弦；变形公式21cos2sin 2αα-=
和21cos2cos 2
α
α+=的特点是公式的左边是关于三角函数的平方，右边是关于二倍角余弦的一次式．正向使用公式通常把公式叫做降幂公式，反向使用公式通常把公式叫做升幂公式．降幂公式和升幂公式在专业课程及后继课程的学习中，有着广泛的应用．要引导学生抓住各个公式的特点，理解、记忆和正确使用这些公式．
【课时安排】
1课时．
【教学过程】
巩固知识 典型例题
例8 已知3
sin 5
α=
，且α为第二象限的角，求sin 2α、cos 2α的值． 解 因为α为第二象限的角，所以
24
cos 5
α==-，
故 24
sin 22sin cos 25
ααα==-
，
27cos212sin 25
αα=-=． 例9 已知1
cos 23
α
=-，且(π,2π)α∈，求sin α、cos 4α的值．
分析
2
α
与α，
2
α
与
4
α
之间都是具有二倍关系的角，故可以使用二倍角公式来计算
解 由(π,2π)α∈知
π
(,π)22α
∈，所以
sin
2
α
== 故
12s i n
2s i n c o s (2
2
3α
α
α==-= 由于
ππ
(,)442
α
∈，且21
1()
1cos
132cos 4223
α
α+-+=
=
=，所以
cos
4
α
=
【注意】
要用公式（1.6）及其变形公式求三角函数的值时，经常需要进行开方运算，因此，
要首先确定角的范围. 运用知识 强化练习
已知5
sin 13
α=
，且α为第一象限的角，求sin 2α、cos 2α． 理论升华 整体建构
思考并回答下面的问题：
二倍角的正弦、余弦公式的内容是什么？ 结论：
sin 22sin cos ααα=
22cos2cos sin ααα=-
自我反思 目标检测
本次课采用了怎样的学习方法？你是如何进行学习的？你的学习效果如何？
已知4
cos25
α=，且2[π,2π]α∈求sin α． 继续探索 活动探究
(1)读书部分：教材
(2)书面作业：教材习题1．1（必做）；学习与训练1．1（选做） (3)实践调查：通过公式推导，了解公式间内在联系．
第七课时：正弦型函数（一）
【教学目标】
知识目标：
掌握正弦型函数的性质． 能力目标：
（1）通过三角计算的学习，培养学生的计算技能与计算工具使用技能． （2）通过应用举例与数学知识的应用，培养学生分析问题和解决问题的能力．
【教学重点】
利用正弦型函数的性质，求三角函数的周期和最值．
【教学难点】
利用正弦型函数的性质，求三角函数的周期和最值．
【教学设计】
本节课的教学重点是正弦型函数性质的理解与应用，教材主要研究正弦型函数的周期性和最大值（最小值）．讲解这部分内容时，一定要注意“变量替换”的运用，要讲清利用“变量替换”的手段进行化归的思想，以利于通过各个部分内容的教学，使得学生切实掌握这个重要的数学思维方法．例1介绍了求正弦型函数的最值及相应的角的取值的方法．解题过程中设新变量z 的目的是突出、强化“变量替换”，熟练之后，可以省略设新变量的过程，将π
26
x +
看做一个整体，直接写出取得最大（小）值时的角． 【课时安排】
一课时．
【教学过程】
揭示课题
1.2正弦型函数． *创设情境 兴趣导入
我们已经学习了正弦函数sin y x =和余弦函数cos y x =．在物理和电学中，经常遇到形如sin()y A x ω?=+(0,0)A ω>>的函数，这类函数叫做正弦型函数 动脑思考 探索新知
正弦型函数与正弦函数sin y x =有着密切的关系． 在正弦型函数sin()y A x ω?=+中，令z x ω?=+,则
sin()sin y A x A z ω?=+=，
函数sin y z =是正弦函数,其定义域为R ，周期为2π,故函数sin()y A x ω?=+(0,0)A ω>>的定义域为R ，并且
sin()sin sin(2π)A x A z A z ω?+==+ sin[()2π]A x ω?=++
2πsin ()A x ω?ω??
=++????
,
即2π
()()f x f x ω
=+
.
因此，函数sin()y A x ω?=+也是周期函数，其周期为
2π
ω
.
由于函数y =sin z 的最大值为1,最小值为－1，故y =A sin z (A ＞0)的最大值为A ，最小值为－A ．即正弦型函数sin()y A x ω?=+的最大值为A ，最小值为－A .
综上所述，正弦型函数sin()(
0,0)y A x A ω?ω=+>> 的定义域为R ，周期为2π
ω
，最大
值为A ，最小值为－A
巩固知识 典型例题
例1 求函数π
2sin(2)6
y x =+的周期,并指出当角x 取何值时函数取得最大值和最小值.
解 函数的周期为2π
π2
T ==. 设π26z x =+
，则π212
z x =-. 当π2π2z k =+，即π
π6x k =+时，函数2sin y z =有最大值，最大值为2； 当3π2π2z k =+
，即2ππ3
x k =+时，函数2sin y z =有最小值，最小值为2-. 所以，当ππ6x k =+
(k ∈Z )时，函数π2sin(2)6y x =+取得最大值2；当2π
π(3
x k k =+∈Z )时，函数π
2sin(2)6
y x =+取得最小值2-.
（转下节）
第八课时：正弦型函数（二）
【教学目标】
知识目标：
掌握正弦型函数的性质． 能力目标：
（1）通过三角计算的学习，培养学生的计算技能与计算工具使用技能． （2）通过应用举例与数学知识的应用，培养学生分析问题和解决问题的能力．
【教学重点】
利用正弦型函数的性质，求三角函数的周期和最值．
【教学难点】
利用正弦型函数的性质，求三角函数的周期和最值．
【教学设计】
本节课的教学重点是正弦型函数性质的理解与应用，教材主要研究正弦型函数的周期性和最大值（最小值）．讲解这部分内容时，一定要注意“变量替换”的运用，要讲清利用“变量替换”的手段进行化归的思想，以利于通过各个部分内容的教学，使得学生切实掌握这个重要的数学思维方法．例1介绍了求正弦型函数的最值及相应的角的取值的方法．解题过程中设新变量z 的目的是突出、强化“变量替换”，熟练之后，可以省略设新变量的过程，将π
26
x +
看做一个整体，直接写出取得最大（小）值时的角． 【课时安排】
一课时．
【教学过程】（接上节）
动脑思考 探索新知
一般地,研究函数s i n c o s y a x b x =+（0,0a b >>）时,首先要把函数转化为
sin()y A x θ=+的形式．考察以(,)a b 为坐标的点P (如图12-)，设以OP 为终边的角为θ，
则
图12-
cos θ=
，sin θ=
，tan b
a
θ=
． 于是
sin cos )a x b x x x +=
sin sin cos )
),
x x x θθθ=+=+
即A =θ的值可以由tan b
a
θ=确定（角θ所在的象限与点P 所在的象限相同）． 巩固知识 典型例题
22sin cos x y x x x = 例 当角为何值时，函数取得最大值、最小值，最大值、最小值各是多少？
2sin cos 2sin 2212sin 222ππ2sin 2cos sin cos 233π2sin 23y x x x
x x
x x x x x =-=??= ? ???
??
=- ?
???
?=- ?
?
?解 故当ππ22π32x k -=+，
即5πk π+()12x k y =∈Z ，取得最大值2；当ππ
22π32
x k -=-，即π
π()12
x k k y =-
∈Z ，取得最小值－2 运用知识 强化练习
求下列函数的周期，并指出当角x 取何值时函数取得最大值和最小值： (1)π
sin(3)4
y x =-； *（2）sin 2cos2y x x =-．
理论升华 整体建构
结论：正弦型函数sin()(
0,0)y A x A ω?ω=+>> 的定义域为R ，周期为2π
ω
，最大值为A ，
最小值为－A . 继续探索 活动探究
(1)读书部分：教材
(2)书面作业：教材习题1．2（必做）；学习与训练1．2（选做）
第九课时：作正弦型函数的图象（一）
【教学目标】
知识目标：
会利用“五点法”作出正弦型函数的图像，了解正弦型函数在电学中的应用．
能力目标：
通过应用举例与数学知识的应用，培养学生分析问题和解决问题的能力．
【教学重点】
利用“五点法”作出正弦型函数的图像；已知正弦型函数的图像写出函数的解析式．【教学难点】
已知正弦型函数的图像写出函数的解析式．
【教学设计】
本节课的教学要求是掌握正弦型函数的性质及图像的“五点法”作图；由于主要为工科机电类专业服务，所以，在正弦型函数的应用方面，没有介绍传统的简谐振动，而把重点放在介绍简谐交流电的三要素和同频率的正弦量的合成上，正弦量的合成也只介绍同峰值的正弦量的合成，降低了难度．例7是同频率的正弦量的合成问题．计算量比较大，可以根据学生的情况选用．电工实际计算中，一般是利用向量或复数进行计算．教材中安排本题的意图是为学生理解同频率的正弦量的合成奠定基础．
【课时安排】
1课时．
【教学过程】
揭示课题
1.2正弦型函数．
*创设情境兴趣导入
与正弦函数图像的做法类似，可以用“五点法”作出正弦型函数的图像．正弦型函数的图像叫做正弦型曲线．
巩固知识典型例题
例3作出函数
π
2sin()
4
y x
=-在一个周期内的简图．
分析函数
π
2sin()
4
y x
=-与函数2sin
y x
=的周期都是2π，最大值都是2，最小值都是
－2.
解为求出图像上五个关键点的横坐标，分别令
π
4
t x
=-=，
π
2
，π，
3π
2
，2π，求出
对应x的值与函数y的值，列表1-1如下：
表11-
以表中每组(,)x y 的值为坐标，描出对应五个关键点（π4，0）、（3π4，2）、（5π4，0）、（7π
4
，?2）、（
9π4，0）．用光滑的曲线联结各点，得到函数π
2sin()4
y x =-在一个周期内的图像（如图13-）．
图13-
动脑思考 探索新知
一般地,为了作出正弦型曲线sin()y A x ω?=+（0A >，0ω>），令t x ω?=+，利用上面的方法，可以求得五个关键点的坐标为（,0?ω-），（,4T A ?ω-+）,(,02T ?ω-+)，（3,4
T
A ?ω-+-），（,0T ?
ω
-
+）. 巩固知识 典型例题
例4 利用“五点法”作出函数1π
2sin()26
y x =+在一个周期内的图像.
解 函数的周期为2π4π12T ==，且π
π6132?ω-=-=-，所以五个关键点为π(,0)3
-，2π
(,2)3，5π(
,0)3，8π
(,2)3
-，11π(,0)3. （转下节）
第十课时：作正弦型函数的图象（二）
【教学目标】
知识目标：
会利用“五点法”作出正弦型函数的图像，了解正弦型函数在电学中的应用．
能力目标：
通过应用举例与数学知识的应用，培养学生分析问题和解决问题的能力．
【教学重点】
利用“五点法”作出正弦型函数的图像；已知正弦型函数的图像写出函数的解析式．【教学难点】
已知正弦型函数的图像写出函数的解析式．
【教学设计】
本节课的教学要求是掌握正弦型函数的性质及图像的“五点法”作图；由于主要为工科机电类专业服务，所以，在正弦型函数的应用方面，没有介绍传统的简谐振动，而把重点放在介绍简谐交流电的三要素和同频率的正弦量的合成上，正弦量的合成也只介绍同峰值的正弦量的合成，降低了难度．例7是同频率的正弦量的合成问题．计算量比较大，可以根据学生的情况选用．电工实际计算中，一般是利用向量或复数进行计算．教材中安排本题的意图是为学生理解同频率的正弦量的合成奠定基础．
【课时安排】
1课时．
【教学过程】（接上节）
描出这五个点，然后用光滑的曲线联结各点，得到函数在一个周期内的图像（如图-）.
14
图14
-
高中数学必修4三角函数教案
任意角的三角函数 一、教学目标 1、知识目标：借助单位圆理解任意角的三角函数(正弦、余弦、正切) 的定义，根据定义探讨出三角函数值在各个象限的符号，掌握同一个角的不同三角函数之间的关系。 2、能力目标：能应用任意角的三角函数定义求任意角的三角函数值。 3、情感目标：培养数形结合的思想。 二、教材分析 1、教学重点：理解任意角三角函数（正弦、余弦、正切）的定义。 2、教学难点：从函数角度理解三角函数。 3、教学关键：利用数形结合的思想。 三、教学形式：讲练结合法 四、课时计划：2节课 五、教具：圆规、尺子 六、教学过程 (一)引入 我们已经学过锐角三角函数，知道他们都是以锐角为自变量，以比值 为函数值的函数，你能用直角坐标系中的终边上点的坐标来表示锐角 三角函数吗？ 设锐角α的顶点与原点O 重合，始边与x 轴的非负半轴重合，那么它 的终边在第一象限，在α的终边上任取一点P （a,b ）,它与原点的距离 r=22b a +>0.根据初中学过的三角函数定义，我们有αsin =r b , r a αcos =
a b αtan =,取r=1,则a b tan αa,cos αb,αsin ===，引入单位圆概念。 （二）新课 1、设α是以任意角，它的终边与单位圆交于P （x,y ）,那么： （1） y 叫做α的正弦，记作αsin , 即y αsin =； （2） x 叫做α的余弦，记作αcos ，即x αcos =； （3） x y 叫做α的正切，记作αtan ，即x y αtan =)0(≠x . 注：用单位圆定义的好处就在于r=1,点的横坐标表示余弦值，纵坐标 表示正弦值。 2、根据任意角的三角函数定义，得到三种函数值在各象限的符号。 通过观察发现：第一象限全为正，第二象限只有正弦为正，第三象限只有正切为正，第四象限只有余弦为正。总结出一条法则：一全正，二正弦，三正切，四余弦。 注：这有利于培养学生观察和思考的能力，以方便记忆。 3、利用勾股定理可以推出：1cos sin 22=+αα，根据三角函数定义，当)(2z k k ∈+≠π πα时，有αα αtan cos sin =。这就是说同一个角α的正弦、余弦的平方和等于1，商等于角α的正切。 4、例题 例1求 3 5π的正弦、余弦和正切值。 解:在直角坐标系中，作3π5=∠AOB ,易知AOB ∠的终边与单位圆的交点 坐标为)2 3,21 (-，所以
中职数学-三角函数教案
三角函数 一、任意角 1. 角的概念的推广 ⑴“旋转”形成角 A B α O ⑵“正角”与“负角”“0角” 我们把按逆时针方向旋转所形成的角叫做正角，把按顺时针方向旋转所形成的角叫做负角，如图，以OA 为始边的角α＝210°，β＝－150°，γ＝660°。 2100 -1500 6600 。 特别地，当一条射线没有作任何旋转时，我们也认为这时形成了一个角，并把这个角叫 做零角。记法：角α或α∠ 可以简记成α。 2. “象限角” 角的顶点合于坐标原点，角的始边合于x 轴的正半轴，这样一来，角的终边落在第几象限，我们就说这个角是第几象限的角（角的终边落在坐标轴上，则此角不属于任何一个象限） 3. 终边相同的角 所有与 终边相同的角连同 在内可以构成一个集合。 {} Z k k S ∈?+==,360| αββ 二、弧度制 1. 定义：长度等于半径长的弧所对的圆心角称为1弧度的角它的单位是rad ，读做弧度， 这种用“弧度”做单位来度量角的制度叫做弧度制． * 说明：（1）正角的弧度数是正数，负角的弧度数是负数，零角的弧度数是0
（2）角α 的弧度数的绝对值公式：l r α= （l 为弧长， r 为半径） 2. 角度制与弧度制的换算： ∵ 360 ＝2 rad ∴180＝ rad ∴ 1 ＝ rad rad 01745.0180 ≈π '185730.571801 =≈?? ? ??=πrad 3. 两个公式 1）弧长公式：α?=r l 】 由公式：?= r l α α?=r l 比公式180 r n l π=简单 弧长等于弧所对的圆心角（的弧度数）的绝对值与半径的积 2）扇形面积公式 lR S 2 1 = 其中l 是扇形弧长，R 是圆的半径 4. 一些特殊角的度数与弧度数的对应值应该记住： 角度 0° 30° ! 45° 60° 90° 120° 135° 150° 180° 弧度 > π/6 π/4 π/3 π/2 2π/3 3π/4 5π/6 } π 角度 210° 225° 240° 270° 300° 315° ? 330° 360° 弧度 7π/6 5π/4 4π/3 3π/2 ( 5π/3 7π/4 11π /6 2π 5. 应确立如下的概念：角的概念推广之后，无论用角度制还是弧度制都能在角的集合与实数的集合之间建立一种一一对应的关系
高中数学三角函数教案
高中数学三角函数教案 一、教学目标 1.掌握任意角的正弦、余弦、正切函数的定义包括定义域、正负符号判断;了解任意 角的余切、正割、余割函数的定义. 2.经历从锐角三角函数定义过度到任意角三角函数定义的推广过程,体验三角函数概 念的产生、发展过程. 领悟直角坐标系的工具功能,丰富数形结合的经验. 3.培养学生通过现象看本质的唯物主义认识论观点,渗透事物相互联系、相互转化的 辩证唯物主义世界观. 4.培养学生求真务实、实事求是的科学态度. 二、重点、难点、关键 重点:任意角的正弦、余弦、正切函数的定义、定义域、正负符号判断法. 难点:把三角函数理解为以实数为自变量的函数. 关键:如何想到建立直角坐标系;六个比值的确定性α确定,比值也随之确定与依赖性比值随着α的变化而变化. 三、教学理念和方法 教学中注意用新课程理念处理传统教材,学生的数学学习活动不仅要接受、记忆、模 仿和练习,而且要自主探索、动手实践、合作交流、阅读自学,师生互动,教师发挥组织者、引导者、合作者的作用,引导学生主体参与、揭示本质、经历过程. 根据本节课内容、高一学生认知特点和我自己的教学风格,本节课采用“启发探索、 讲练结合”的方法组织教学. 四、教学过程 [执教线索: 回想再认:函数的概念、锐角三角函数定义锐角三角形边角关系——问题情境:能推广 到任意角吗?——它山之石:建立直角坐标系为何?——优化认知:用直角坐标系研究锐角三 角函数——探索发展:对任意角研究六个比值与角之间的关系:确定性、依赖性,满足函数 定义吗?——自主定义:任意角三角函数定义——登高望远:三角函数的要素分析对应法则、定义域、值域与正负符号判定——例题与练习——回顾小结——布置作业]
(完整版)中职数学-三角函数教案
、任意角 1. 角的概念的推广 ⑴“旋转”形成角 我们把按逆时针方向旋转所形成的角叫做正角，把按顺时针方向旋转所形成的角叫做负角，如图，以OA为始边的角α＝210 °，β＝－150 °，γ＝660°。 2. “象限角” 限，我们就说这个角是第几象限的角（角的终边落在坐标轴上，则此角不属于任何一个象限） 3. 终边相同的角 所有与终边相同的角连同在内可以构成一个集合。S | k 360 ,k Z 二、弧度制 1. 定义：长度等于半径长的弧所对的圆心角称为 1 弧度的角它的单位是rad ，读做弧度，这种用“弧度”做单位来度量角的制度叫做弧度制． 说明：（1）正角的弧度数是正数，负角的弧度数是负数，零角的弧度数是0 （2）角的弧度数的绝对值公式：l（l 为弧长，r 为半径） 2. 角度制与弧度制的换算： 三角函数 ⑵“正角”与“负角”“0 角” 210 0 210 -150 0 660 特别地，当一条射线没有作任何旋转时，我们也认为这时形成了一个角，并把这个角叫做零角。记法：角或可以简记成 角的顶点合于坐标原点，角的始边合于x 轴的正半轴，这样一来，角的终边落在第几象
∴ 1 ＝rad0.01745rad 180 1rad 18057.305718' 3. 两个公式 1）弧长公 式： l r 由公式：l l r比公式l nr 简 r180 弧长等于弧所对的圆心角（的弧度数）的绝对值与半径的积 1 2）扇形面积公式S lR 其中l 是扇形弧长，R 是圆的半径 2 角度 0°30°45°60°90°120°135°150°180° 弧度 π/6π /4π/3π/22π/33π/45π/6π 角度 210°225°240°270°300°315°330°360° 弧度7π/65π/44π/33π/25π/37π/411π /6 2π 5. 实数的集合之间建立一种一一对应的关系 、任意角三角函数的定义 1. 设是一个任意角，在的终边上任取（异于原点的）一点P（x，y） 360 ＝2 rad ∴180 ＝rad 任意角的集合实数集R
中职数学基础模块上册教案
中职数学（基础模块）教案 1．1集合的概念 知识目标：（1）理解集合、元素及其关系；（2）掌握集合的列举法与描述法，会用适当的方法表示集合． 能力目标：通过集合语言的学习与运用，培养学生的数学思维能力.教学重点：集合的表示法． 教学难点：集合表示法的选择与规范书写． 课时安排：2课时． 1.2集合之间的关系 知识目标：（1）掌握子集、真子集的概念；（2）掌握两个集合相等的概念；（3）会判断集合之间的关系. 能力目标：通过集合语言的学习与运用，培养学生的数学思维能力.教学重点：集合与集合间的关系及其相关符号表示． 教学难点：真子集的概念． 课时安排：2课时． 1.3集合的运算（1） 知识目标：（1）理解并集与交集的概念；（2）会求出两个集合的并集与交集．能力目标：（1）通过数形结合的方法处理问题，培养学生的观察能力；（2）通过交集与并集问题的研究，培养学生的数学思维能力． 教学重点：交集与并集． 教学难点：用描述法表示集合的交集与并集． 课时安排：2课时． 1.3集合的运算（2）
知识目标：（1）理解全集与补集的概念；（2）会求集合的补集． 能力目标：（1）通过数形结合的方法处理问题，培养学生的观察能力；（2）通过全集与补集问题的研究，培养学生的数学思维能力． 教学重点：集合的补运算． 教学难点：集合并、交、补的综合运算． 课时安排：2课时． 1.4充要条件 知识目标：了解“充分条件”、“必要条件”及“充要条件”． 能力目标：通过对条件与结论的研究与判断，培养思维能力． 教学重点：（1）对“充分条件”、“必要条件”及“充要条件”的理解．（2）符号“”，“”，“”的正确使用． 教学难点：“充分条件”、“必要条件”、“充要条件”的判定． 课时安排：2课时． 2.1不等式的基本性质 知识目标：⑴理解不等式的基本性质；⑵了解不等式基本性质的应用．能力目标：⑴了解比较两个实数大小的方法；⑵培养学生的数学思维能力和计算技能． 教学重点：⑴比较两个实数大小的方法；⑵不等式的基本性质． 教学难点：比较两个实数大小的方法． 课时安排：1课时． 2．2区间 知识目标：⑴掌握区间的概念；⑵用区间表示相关的集合．
高一数学三角函数教案
高一数学三角函数教案 高一数学《三角函数》教案如下： 已知三角函数值求角反正弦，反余弦函数 目的：要求学生初步了解理解反正弦、反余弦函数的意义，会由已知角的正弦值、余弦值求出范围内的角，并能用反正弦，反余弦的符号表示角或角的集合。 过程： 一、简单理解反正弦，反余弦函数的意义。 由 1在R上无反函数。 2在上， x与y是一一对应的，且区间比较简单 在上，的反函数称作反正弦函数， 记作，奇函数。 同理，由 在上，的反函数称作反余弦函数， 记作 二、已知三角函数求角 首先应弄清：已知角求三角函数值是单值的。 已知三角函数值求角是多值的。 例一、1、已知，求x 解：在上正弦函数是单调递增的，且符合条件的角只有一个 ∴ 即 2、已知 解：，是第一或第二象限角。 即。 3、已知
解： x是第三或第四象限角。 即或 这里用到是奇函数。 例二、1、已知，求 解：在上余弦函数是单调递减的， 且符合条件的角只有一个 2、已知，且，求x的值。 解：， x是第二或第三象限角。 3、已知，求x的值。 解：由上题：。 介绍：∵ ∴上题 例三、见课本P74-P75略。 三、小结：求角的多值性 法则：1、先决定角的象限。 2、如果函数值是正值，则先求出对应的锐角x; 如果函数值是负值，则先求出与其绝对值对应的锐角x， 3、由诱导公式，求出符合条件的其它象限的角。 四、作业：P76-77 练习 3 习题4.11 1，2，3，4中有关部分。 高一数学《三角函数的周期性》教案如下： 一、学习目标与自我评估 1 掌握利用单位圆的几何方法作函数的图象 2 结合的图象及函数周期性的定义了解三角函数的周期性，及最小正周期 3 会用代数方法求等函数的周期
中职数学-三角函数教案
三角函数 一、任意角 1、角得概念得推广 ⑴“旋转”形成角 ⑵“正角”与“负角”“０角” 我们把按逆时针方向旋转所形成得角叫做正角,把按顺时针方向旋转所形成得角叫做负角, 2、“象限角” 角得顶点合于坐标原点,角得始边合于轴得正半轴，这样一来,角得终边落在第几象限,我们就说这个角就是第几象限得角(角得终边落在坐标轴上，则此角不属于任何一个象限) ３、终边相同得角 所有与α终边相同得角连同α在内可以构成一个集合。 二、弧度制 1、定义:长度等于半径长得弧所对得圆心角称为1弧度得角它得单位就是ｒad，读做弧度,这种用“弧度”做单位来度量角得制度叫做弧度制． 说明：(1）正角得弧度数就是正数,负角得弧度数就是负数,零角得弧度数就是0 (２)角得弧度数得绝对值公式: （l 为弧长, r为半径) 2、角度制与弧度制得换算: ∵3６0?＝2πｒaｄ∴180?=πｒaｄ ∴1?＝
3、两个公式 1)弧长公式： 由公式：比公式简单 弧长等于弧所对得圆心角(得弧度数)得绝对值与半径得积 2）扇形面积公式其中就是扇形弧长,就是圆得半径 ４、一些特殊角得度数与弧度数得对应值应该记住： 5、应确立如下得概念：角得概念推广之后,无论用角度制还就是弧度制都能在角得集合与实数得集合之间建立一种一一对应得关系 任意角得集合实数集R 三、任意角三角函数得定义 1、设就是一个任意角,在得终边上任取（异于原点得)一点P(x,y) 则Ｐ与原点得距离 (1)把比值叫做得正弦记作： (２)把比值叫做得余弦记作： （3）把比值叫做得正切记作: 上述三个比值都不会随P点在得终边上得位置得改变而改变、当角得终边在纵轴上时,即时,终边上任意一点P得横坐标x都为0,所以tan无意义;
中职数学基础模块上册(人教版)全套教案
中职数学基础模块上册（人教版）全套教案 目录 第一章集合 (3) 1.1.1 集合的概念 (3) 1.1.2 集合的表示方法 (7) 1.1.3 集合之间的关系(一) (11) 1.1.3 集合之间的关系(二) (15) 1.1.4 集合的运算(一) (18) 1.1.4 集合的运算（二) (23) 1.2.1 充要条件 (26) 1.2.2 子集与推出的关系 (30) 第二章不等式 (33) 2.1.1 实数的大小 (33) 2.1.2 不等式的性质 (37) 2.2.1 区间的概念 (41) 2.2.2 一元一次不等式(组)的解法 (45) 2.2.3 一元二次不等式的解法(一) (49) 2.2.3 一元二次不等式的解法(二) (52) 2.2.4 含有绝对值的不等式 (56) 2.3 不等式的应用 (59) 第三章函数 (62) 3.1.1 函数的概念 (62) 3.1.2 函数的表示方法 (67) 3.1.3 函数的单调性 (71) 3.1.4 函数的奇偶性 (75) 3.2.1 一次、二次问题 (80) 3.2.2 一次函数模型 (83) 3.2.3 二次函数模型 (87) 3.3 函数的应用 (92) 第四章指数函数与对数函数 (95) 4.1.1 有理指数(一) (95) 4.1.1 有理指数(二) (99) 4.1.2 幂函数举例 (104) 4.1.3 指数函数 (108) 4.2.1 对数 (113) 4.2.2 积、商、幂的对数 (116) 4.2.3 换底公式与自然对数 (120) 4.2.4 对数函数 (123) 4.3 指数、对数函数的应用 (127) 第五章三角函数 (130) 5.1.1 角的概念的推广 (130) 5.1.2 弧度制 (134)
初中三角函数教案
初中数学 三角函数 1、勾股定理：直角三角形两直角边a 、b 的平方和等于斜边c 的平方。 2、如下图，在Rt △ABC 中，∠C 为直角，则∠A 的锐角三角函数为(∠A 可换成∠B)： 3 4 5、0°、30°、45°、60°、90°特殊角的三角函数值(重要) A 90 B 90∠-?=∠? =∠+∠得由B A 对边 邻边 C A 90 B 90∠-?=∠? =∠+∠得由B A
6、正弦、余弦的增减性： 当0°≤α≤90°时，sin α随α的增大而增大，cos α随α的增大而减小。 7、正切、余切的增减性： 当0°<α<90°时，tan α随α的增大而增大，cot α随α的增大而减小。 1、解直角三角形的定义：已知边和角（两个，其中必有一边）→所有未知的边和角。 依据：①边的关系：222c b a =+；②角的关系：A+B=90°；③边角关系：三角函数的定义。(注意：尽量避免使用中间数据和除法) 2、应用举例： (1)仰角：视线在水平线上方的角；俯角：视线在水平线下方的角。 (2)坡面的铅直高度h 和水平宽度l 的比叫做坡度(坡比)。用字母i 表示，即h i l =。坡度一般写成1:m 的形式，如1:5i =等。 把坡面与水平面的夹角记作α(叫做坡角)，那么tan h i l α= =。 3、从某点的指北方向按顺时针转到目标方向的水平角，叫做方位角。如图3，OA 、OB 、OC 、OD 的方向角分别是：45°、135°、225°。 4、指北或指南方向线与目标方向 线所成的小于90°的水平角，叫做方向角。如图4,OA 、OB 、OC 、OD 的方向角分别是：北偏东30°（东北方向） ， 南偏东45°（东南方向）， 南偏西60°（西南方向）， 北偏西60°（西北方向）。 :i h l =h l α
中职数学-三角函数教案
三角函数 、任意角 1.角的概念的推广 ⑴“旋转”形成角 ⑵“正角”与“负角”“0 角” 我们把按逆时针方向旋转所形成的角叫做正角，把按顺时针方向旋转所形成的角叫做负角，如图，以OA为始边的角α＝210°，β＝－150°，γ＝660°。 特别地，当一条射线没有作任何旋转时，我们也认为这时形成了一个角，并把这个角叫做零角。记法：角或可以简记成。 2.“象限角” 角的顶点合于坐标原点，角的始边合于x轴的正半轴，这样一来，角的终边落在第几象限，我们就说这个角是第几象限的角（角的终边落在坐标轴上，则此角不属于任何一个象限） 3.终边相同的角 所有与终边相同的角连同在内可以构成一个集合。S =| =+k360,k Z 二、弧度制 1.定义：长度等于半径长的弧所对的圆心角称为 1弧度的角王奎新新屯疆敞它的单位是 rad，读做弧度，这种用“弧度”做单位来度量角的制度叫做弧度制． 说明：（1）正角的弧度数是正数，负角的弧度数是负数，零角的弧度数是 0王新奎新疆屯敞 （2）角的弧度数的绝对值公式： = l（l 为弧长， r 为半径）
∵ 360 ＝ 2 rad ∴ 180 ＝rad r 2.角度制与弧度制的换算：
∴ 1 ＝ rad 0.01745rad 180 3. 两个公式 1）弧长公式： l = r 由公式： = l l =r 比公式l = n r 简单 r 180 弧长等于弧所对的圆心角（的弧度数）的绝对值与半径的积 2）扇形面积公式 S = 1lR 其中l 是扇形弧长， R 是圆的半径 2 角度 0° 30° 45° 60° 90° 120° 135° 150° 180° 弧度 0 π/6 π/4 π/3 π/2 2π/3 3π/4 5π/6 π 角度 210° 225° 240° 270° 300° 315° 330° 360° 弧度 7π/6 5π/4 4π/3 3π/2 5π/3 7π/4 11π /6 2π 实数的集合之间建立一种一一对应的关系 王奎新新屯疆敞 三、任意角三角函数的定义 1. 设 是一个任意角，在 的终边上任取（异于原点的）一点 P （x ，y ） 1rad = 57.30 = 5718' 任意角的集合 实数集 R
中职数学基础模块全套]
人教版中职数学教材基础模块上册全册教案 目录 第三章函数 .................................................... 3.1.1 函数的概念 .......................................... 3.1.2 函数的表示方法 ...................................... 3.1.3 函数的单调性 ........................................ 3.1.4 函数的奇偶性 ........................................ 3.2.1 一次、二次问题 ...................................... 3.2.2 一次函数模型 ........................................ 3.2.3 二次函数模型 ........................................ 3.3 函数的应用 ............................................ 第四章指数函数与对数函数 ...................................... 4.1.1 有理指数(一) ........................................ 4.1.1 有理指数(二) ........................................ 4.1.2 幂函数举例 .......................................... 4.1.3 指数函数 ............................................ 4.2.1 对数 ................................................ 4.2.2 积、商、幂的对数 .................................... 4.2.3 换底公式与自然对数 .................................. 4.2.4 对数函数 ............................................ 4.3 指数、对数函数的应用 ..................................
人教版高中数学三角函数全部教案
人教版高中数学三角函数 全部教案 This model paper was revised by the Standardization Office on December 10, 2020
三角函数 第一教时 教材：角的概念的推广 目的：要求学生掌握用“旋转”定义角的概念，并进而理解“正角”“负角”“象限角” “终边相同的角”的含义。 过程：一、提出课题：“三角函数” 回忆初中学过的“锐角三角函数”——它是利用直角三角形中两边的比值来定义 的。相对于现在，我们研究的三角函数是“任意角的三角函数”，它对我们今后的学习和研究都起着十分重要的作用，并且在各门学科技术中都有广泛应用。 二、角的概念的推广 1．回忆：初中是任何定义角的（从一个点出发引出的两条射线构成的几何图形）这种概念的优点是形象、直观、容易理解，但它的弊端在于“狭隘” 2．讲解：“旋转”形成角（P4） 突出“旋转”注意：“顶点”“始边”“终边” “始边”往往合于x轴正半轴 3．“正角”与“负角”——这是由旋转的方向所决定的。 记法：角α或α ∠可以简记成α
4．由于用“旋转”定义角之后，角的范围大大地扩大了。 1角有正负之分如：=210=150=660 2角可以任意大 实例：体操动作：旋转2周（360×2=720）3周（360×3=1080） 3还有零角一条射线，没有旋转 三、关于“象限角” 为了研究方便，我们往往在平面直角坐标系中来讨论角 角的顶点合于坐标原点，角的始边合于x轴的正半轴，这样一来，角的终边落在第几象限，我们就说这个角是第几象限的角（角的终边落在坐标轴上，则此角不属于任何一个象限） 例如：是第Ⅰ象限角30060是第Ⅳ象限角 5851180是第Ⅲ象限角2000是第Ⅱ象限角等 四、关于终边相同的角 1．观察：390，330角，它们的终边都与30角的终边相同 2．终边相同的角都可以表示成一个0到360的角与) k∈个周角的和 k (Z 390=30+360)1 k (= 330=30360)1 (= k = (- k30=30+0×360)0
中职数学基础模块上册《任意角的正弦函数、余弦函数和正切函数》word教案
5.3任意角的正弦函数、余弦函数和正切函数 【教学目标】 1、掌握任意角的三角函数的定义. 2、理解终边相同的角的三角函数值相等. 【教学重点】 任意角的三角函数的定义. 【教学难点】 任意角的三角函数的定义及其运算. 【教学过程】 (一) 复习提问 1.角的概念。 2.终边相同的角。（??+=360k αβ)(Z k ∈） 3.锐角三角函数的定义： AB BC A ==斜边对边sin ， AB AC A ==斜边邻边cos ， AC BC A == 邻边对边tan . （二）讲授新课 1.任意角的三角函数的定义 问题（1）：如何将上述的三角形放入直角坐标系中？ 学生回答：将A ∠的顶点即点A 与坐标原点重合，将其始边AC 与坐标系中 轴的非负半轴重合.
问题（2）：原有的线段AC 、BC 、AB 将如何改写？ 要求并引导学生将这三个距离用坐标x 和 y 表示.此时可根据学生的情况采用分小组讨 论的方法进行。 学生根据现有的图形，将刚才的定义进行改写： x AC =，y BC =，r y x AB =+=22(勾股定理)。 把这三个式子带入原始的定义中去可以得到： sin y r α= , cos x r α= , tan y x α= 给学生两分钟时间记忆公式并由教师提问以加深记忆效果。 问题（3）：若角的终边落在其他象限，如何求呢？ 当角的终边在第二、第三、第四象限的时候，其三个三角函数值的计算公式与上述的完全相同，但符号发生了变化： 第一象限：0>x ，0>y ，0>r ； 第二象限：0
中职数学-三角函数教案(中职教学)
三角函数 一、任意角 1. 角的概念的推广 ⑴“旋转”形成角 A B α O ⑵“正角”与“负角”“0角” 我们把按逆时针方向旋转所形成的角叫做正角，把按顺时针方向旋转所形成的角叫做负角，如图，以OA 为始边的角α＝210°，β＝－150°，γ＝660°。 2100 -1500 6600 特别地，当一条射线没有作任何旋转时，我们也认为这时形成了一个角，并把这个角叫做零角。记法：角α或α∠ 可以简记成α。 2. “象限角” 角的顶点合于坐标原点，角的始边合于x 轴的正半轴，这样一来，角的终边落在第几象限，我们就说这个角是第几象限的角（角的终边落在坐标轴上，则此角不属于任何一个象限） 3. 终边相同的角 所有与α终边相同的角连同α在内可以构成一个集合。{ } Z k k S ∈?+==,360| αββ 二、弧度制 1. 定义：长度等于半径长的弧所对的圆心角称为1弧度的角它的单位是rad ，读做弧度， 这种用“弧度”做单位来度量角的制度叫做弧度制． 说明：（1）正角的弧度数是正数，负角的弧度数是负数，零角的弧度数是0 （2）角α 的弧度数的绝对值公式：l r α= （l 为弧长， r 为半径）
2. 角度制与弧度制的换算： ∵ 360?＝2π rad ∴180?＝π rad ∴ 1?＝ rad rad 01745.0180 ≈π '185730.571801 =≈?? ? ??=πrad 3. 两个公式 1）弧长公式：α?=r l 由公式：?= r l α α?=r l 比公式180 r n l π= 简单 弧长等于弧所对的圆心角（的弧度数）的绝对值与半径的积 2）扇形面积公式 lR S 2 1 = 其中l 是扇形弧长，R 是圆的半径 4. 一些特殊角的度数与弧度数的对应值应该记住： 角度 0° 30° 45° 60° 90° 120° 135° 150° 180° 弧度 0 π/6 π/4 π/3 π/2 2π/3 3π/4 5π/6 π 角度 210° 225° 240° 270° 300° 315° 330° 360° 弧度 7π/6 5π/4 4π/3 3π/2 5π/3 7π/4 11π /6 2π 5. 应确立如下的概念：角的概念推广之后，无论用角度制还是弧度制都能在角的集合与实数的集合之间建立一种一一对应的关系 正角 零角 负角 正实数 零 负实数 任意角的集合 实数集R
高教版中职数学(基础模块)上册5.6《三角函数的图像和性质》word教案
5.6三角函数的图像和性质 创设情景兴趣导入 观察钟表，如果当前的时间是2点，那么时针走过12个小时后，显示的时间是多少呢？再经过12个小时后，显示的时间是多少呢？ ． 每间隔12小时，当前时间2点重复出现． 类似这样的周期现象还有哪些？ 动脑思考探索新知 对于函数()y f x = ，如果存在一个不为零的常数T ，当x 取定义域D 内的每一个值时,都有x T D +∈,并且等式()()f x T f x += 成立，那么，函数 ()y f x =叫做周期函数，常数T 叫做这个函数的一个周期． 由于正弦函数的定义域是实数集R ，对α∈R ，恒有2π()k k α+∈∈R Z ， 并且sin(2π)=sin ()k k αα+∈Z ，因此正弦函数是周期函数，并且2π， 4π，6π，及2π-，4π-，都是它的周期． 通常把周期中最小的正数叫做最小正周期，简称周期，仍用T 表示．今后我们所研究的函数周期，都是指最小正周期．因此，正弦函数的周期是2π．
构建问题探寻解决 由周期性的定义可知,在长度为2π的区间（如[]0,2π，[]2,0-π,[]2,4ππ）上，正弦函数的图像相同，可以通过平移[]0,2π上的图像得到．因此，重点研究正弦函数在一个周期内，即在[]0,2π上的图像． 用“描点法”作函数x y sin =在[]0,2π上的图像． 把区间[]0,2π分成12等份，并且分别求得函数x y sin =在各分点及区间端点的函数值，列表如下：（见教材） 以表中的y x ,值为坐标，描出点(,)x y ，用光滑曲线依次联结各点，得到[]sin 0,2y x =π在上的图像．（见教材） 将函数sin y x =在[]0,2π上的图像向左或向右平移2π，4π，，就得到sin ,y x =∞+∞在（-）上的图像，这个图像叫做正弦曲线．（见教材） 动脑思考探索新知 正弦曲线夹在两条直线1y =-和1y =之间，即对任意的角x ，都有 sin 1x …成立，函数的这种性质叫做有界性． 一般地，设函数)(x f y =在区间),(b a 上有定义，如果存在一个正数M ，对任意的),(b a x ∈都有 ()f x M …，那么函数)(x f y =叫做区间),(b a 内 的有界函数．如果这样的M 不存在，函数)(x f y =叫做区间),(b a 上的无界函数． 显然，正弦函数是R 内的有界函数．
高一数学《任意角的三角函数》教案
任意角的三角函数 一、教学内容分析： 新知识的发生是可能的，自然的。 三、设计思想 五、教学重点和难点： 1.教学重点：任意角三角函数的定义. 2.教学难点：正弦、余弦、正切函数的定义域. 六、教学过程 第一部分——情景引入 问题1:如图是一个摩天轮，假设它的中心离地面的高度为o h ，它的直径为2R ，逆时针方向匀速转动，转动一周需要360秒，若现在你坐在座舱中，从初始位置OA 出发（如图1所示）， 过了30秒后，你离地面的高度h 为多少？过了45秒呢？过了t 秒呢？ 【设计意图】：高中学生已经具有丰富的生活经验和一定的科学知识，因此选择感兴趣的、与其生活实际密切相关的素材，此情景设计应该有助于学生对知识的发生发展的理解。 图1
第二部分——复习回顾锐角三角函数 让学生自主思考如何解决问题：“过了30秒后，你离地面的高度为多少？” 【分析】：作图如图2很容易知道：从起始位置OA 运动30秒后到达P 点位置，由题意知030=∠AOP ，作PH 垂直地面交OA 于M ，又知MH ＝o h ，所以本问题转变成求PH 再次转变为求PM 。 要求PM 就是回到初中所学的解直角三角形的问题即锐角的三角函数。 问题2：锐角α的正弦函数如何定义？ 【学生自主探究】：学生很容易得到 R MP OP MP | |||||sin = = α?αsin ||R MP =?αsin ||0R h PH += ?h αsin 0R h += 所以学生很自然得到“过了30秒后，过了45秒,你离地面的高度h 为多少？” 00130sin R h h += 00245sin R h h += 【教师总结】：0t 在锐角的范围中，0 0sin t R h h += 第三部分——引入新课 问题3：请问t 的范围呢？随着时间的推移，你离地面的高度h 为多少？能不能猜想 00sin t R h h +=？ 【分析】：若想做到这一点，就得把锐角的正弦推广到任意角的正弦。今天我们就要来学习任意角的三函数角函数。 问题4：大家根据第一象限角的正弦函数的定义，能否也给出第二象限角的定义呢？ 【学生自主探究】：学生通过上面已知知识得到 | |||sin OP MP = αR y P = 学生定义好第二象限角后，让学生自己算出摩天 H 图2
中职数学教案
动物科技学院数学课程技术理论教学教案
（2）错误表示法：{实数集}；{全体实数} 例3 用描述法表示下列集合 （1）不等式2x+1《=0的解集 （2）所有奇数组成的集合 （3）由第一象限内所有的点组成的集合 3、文氏图：用一条封闭的曲线的内部来表示一个集合的方法。 注：何时用列举法？何时用描述法？ （1） 有些集合的公共属性不明显，难以概括，不便用描述法表示，只能用列举法。 如：集合{1000以内的质数} （2） 有些集合的元素不能无遗漏地一一列举出来，或者不便于、不需要一一列举出来，常 用描述法。 如：集合}1|),{(2+=x y y x ；集合{1000以内的质数} 五、集合与集合的关系 1. 元素与集合之间的关系是什么？ 元素与集合是从属关系，即对一个元素x 是某集合A 中的元素时，它们的关系为x ∈A ．若一个对象x 不是某集合A 中的元素时，它们的关系为x A ． 2. 集合有哪些表示方法？ 列举法，描述法，Venn 图法． 数与数之间存在着大小关系，那么，两个集合之间是不是也存在着类似的关系呢？先看下面两个集合：A ＝｛1，2，3｝，B ＝｛1，2，3，4，5｝．它们之间有什么关系呢？ 两集合相等：如果集合A 中的每一个元素都是集合B 中的元素，即A B ，反过来，集合B 的每 一个元素也都是集合A 中的元素，即B 》A ，那么就说集合A 等于集合B ，记作A ＝B ． 3. 子集、真子集的有关性质 由子集、真子集的定义可推知： （1）对于集合A ，B ，C ，如果A B ，B C ，那么A C ． （2）对于集合A ，B ，C ，如果A B ，B C ，那么A C ． （3）A A ．
中职数学基础模块(上册)
师生共同欣赏图片“中国所有的大熊猫”、“我们班的所有同学” 师：“物以类聚”；“人以群分”；这些都给我们以集合的印象 引入课题 【新授】 课件展示引例： (1) 某学校数控班学生的全体； (2) 正数的全体； (3) 平行四边形的全体； (4) 数轴上所有点的坐标的全体。 1. 集合的概念 (1) 一般地，把一些能够确定的对象看成一个整体，我们就说，这个整体是由这些对象的全体构成的集合(简称为集)； (2) 构成集合的每个对象都叫做集合的元素；
(3) 集合与元素的表示方法：一个集合，通常用大写英文字母 A ，B ，C ，…表示，它的元素通常用小写英文字母 a ，b ，c ，… 表示。 2. 元素与集合的关系 (1) 如果 a 是集合 A 的元素，就说a 属于A ，记作a ?A ，读作“a 属于A ” (2)如果a 不是集合A 的元素，就说a 不属于A ，记作a ? A 读作“a 不属于A ” 3. 集合中元素的特性 (1) 确定性：作为集合的元素，必须是能够确定的这就是说，不能确定的对象，就不能构成集合 (2) 互异性：对于一个给定的集合，集合中的元素是互异的这就是说，集合中的任何两个元素都是不同的对象 4. 集合的分类 (1) 有限集：含有有限个元素的集合叫做有限集 (2) 无限集：含有无限个元素的集合叫做无限集 5. 常用数集及其记法 (1) 自然数集：非负整数全体构成的集合，记作 N ； (2) 正整数集：非负整数集内排除0的集合，记作 N ＋或 N*； (3) 整数集：整数全体构成的集合，记作 Z ； (4) 有理数集：有理数全体构成的集合，记作 Q ； (5) 实数集：实数全体构成的集合，记作 R 。 【巩固】 例1 判断下列语句能否构成一个集合，并说明理由 (1) 小于 10 的自然数的全体；(2) 某校高一(2)班所有性格开朗的男生； (3) 英文的 26 个大写字母； (4) 非常接近 1 的实数。 练习1 判断下列语句是否正确： (1) 由2，2，3，3构成一个集合，此集合共有4个元素； (2) 所有三角形构成的集合是无限集； (3) 周长为20 cm 的三角形构成的集合是有限集； (4) 如果a ? Q ，b ? Q ，则 a ＋b ? Q 。 例2 用符号“?”或“?”填空： (1) 1 N ，0 N ，－4 N ，0.3 N ；(2) 1 Z ，0 Z ，－4 Z ，0.3 Z ； (3) 1 Q ，0 Q ，－4 Q ，0.3 Q ；(4) 1 R ，0 R ，－4 R ，0.3 R 。 练习2 用符号“?”或“?”填空： (1) －3 N ；(2) 3.14 Q ；(3) 13 Z ； (4) －12 R ；； (6) 0 Z 。 【小结】 1. 集合的有关概念：集合、元素 2. 元素与集合的关系：属于、不属于 3. 集合中元素的特性 4. 集合的分类：有限集、无限集 5. 常用数集的定义及记法 【作业】 教材P4，练习A 组第1~3题
高中数学三角函数的教学设计
附件：教学设计模板
（一）创设问题情境 师生活动：教师提问，学生思考、回答，学生口述的同时，教师加以引导并用幻灯片展示． 问题1： （1）各象限内三角函数值的符号是什么？（只讨论正弦、余弦、正切）（2）任意角的三角函数的定义是什么？ （3）公式一的内容与作用是什么？ 问题2:已知如何求的值. 教师引导：能否再把0°～360°间的角的三角函数，化为我们熟悉的 0°～90°间的角的三角函数问题呢？这节课我们就来学习和研究这样的问题. 【设计意图】通过复习旧知，为新知识的学习打下基础.特别是各象限三角函数的符号，对于诱导公式记忆起关键作用.提出的新问题，引导学生进一步思考，激起学生们的兴趣. (二)探索开发新结论 教师引导：为了解决以上问题，我们采用各个击破的方法.首先看，如果我们知道一个任意角与(＋)三角函数值的关系，问题就解决了. 探究一：任意角与(＋)三角函数值的关系. 问题3： ①(＋)角的终边关系如何？（互为反向延长线或关于原点对称） ②与(＋)角的终边分别交单位圆于点P1，P2，则点P1与P2位置关系如何？ （关于原点对称） ③点P1(x，y)，那么点P2的坐标怎样表示？（P2(－x，－y)）
④sin与sin(＋)，cos与cos(＋)，tan与tan(＋)的关系如何？ 经过探索，归纳成公式 -----公式二 【设计意图】公式二的三个式子中，是第一个解决的问题，由于方法及思路都是未知的，所以采取教师引导，师生合作共同完成办法．通过脚手架式的层层提问，引导学生自主推导诱导公式二，让学生体验证明猜想的乐趣，凸显学生学习的主体地位.同时，试图通过环环相扣的问题给学生传递“由宏观到微观考虑问题”的思维习惯，从而达到“授人以渔”的目的.后两个均由学生类比讨论完成． 学生活动：小组讨论，代表发言交流． 问题4：公式中的角仅是锐角吗？ 【设计意图】课前提问的问题是以引入的，之后的讨论只是用代数方法换成了一般形式的角，有些同学肯定会有这样的疑问，所以这个问题的解决好，就是突破难点的关键.引导学生互相讨论，交流可以使学生记忆更深刻. 师生活动：演示几何画板课件，首先作出第一象限的任意角，之后得到相应的三角函数值，拖动其终边上任意点，再让学生观察每一象限内三角函数值的符号和它们之间存在的对称关系，从而验证了猜想，使学生更好的理解了这个公式． 【设计意图】通过多媒体演示，发现变化规律，从而总结出三角函数的诱导公式． 类比第一个问题的解决方法，我们再来解决后面的两个问题.观察，由公式一知的终边与的终边相同，所以我们必须知道一个任意角与(-)三角函数值的关系. 探究二：任意角与(-)三角函数值的关系. 问题5： ①(-)角的终边位置关系如何？(关于x轴对称) ②设与(-)角的终边分别交单位圆于点P1，P2点P1与P2位置关系如何(关于
最新中职数学(高教版)基础模块教学设计：三角函数的图像和性质(公共基础类)数学
三角函数的图像和性质 【教学目标】 知识目标： (1) 理解正弦函数的图像和性质； (2) 理解用“五点法”画正弦函数的简图的方法； (3) 了解余弦函数的图像和性质． 能力目标： (1) 认识周期现象，以正弦函数、余弦函数为载体，理解周期函数； (2) 会用“五点法”作出正弦函数、余弦函数的简图； (3) 通过对照学习研究，使学生体验类比的方法，从而培养数学思维能力．【教学重点】 （1）正弦函数的图像及性质； （2）用“五点法”作出函数y=sin x在[] 0,2π上的简图． 【教学难点】 周期性的理解． 【教学设计】 （1）结合生活实例，认识周期现象，介绍周期函数； （2）利用诱导公式，认识正弦函数的周期； （3）利用“描点法”及“周期性”作出正弦函数图像； （4）观察图像认识有界函数，认识正弦函数的性质； （5）观察类比得到余弦函数的性质． 【教学备品】 课件，实物投影仪，三角板，常规教具． 【课时安排】 2课时．(90分钟) 【教学过程】
． ，及，
一般地，设函数y M，对任意的 叫做区间(a如果这样的M 无界函数．
过 程 行为 行为 意图 间 数,其函数值由?1增大到1；在每一个区间 3(2,222k k ππ +π+π)(k ∈Z )上都是减函数，其函数值由1减小到?1． 30 *动脑思考 探索新知 观察发现，正弦函数x y sin =在[]0,2π上的图像中有五个关键点：(0,0), ,12π?? ???, (),0π, 3,12π?? - ??? , ()2,0π． 描出这五个点后，正弦函数x y sin =,[]0,2π在上的图像的形状就基本上确定了．因此，在精确度要求不高时，经常首先描出这关键的五个点，然后用光滑的曲线把它们联结起来，从而得到正弦函数在[]0,2π上的简图．这种作图方法叫做“五点法”． 质疑 引领 总结 观察 思考 体会 五点 可以 教给 学生 自我 发现 总结 35 *巩固知识 典型例题 例1 利用“五点法”作函数x y sin 1+=在[]0,2π上的图像． 分析 x y sin =图像中的五个关键点的横坐标分别是0，2 π ，π，23π ，2π，这里要求出x y sin 1+=在五个相应的函数值， 从而得到五个点的坐标，最后用光滑的曲线联结这五个点，得到图像． 解 列表 x 0 π 2 π 3π2 2π x sin 1 0 ?1 0 x y sin 1+= 1 2 1 1 以表5-6中每组对应的x ,y 值为坐标，描出点),(y x ，用光滑的曲线顺次联结各点,得到函数 x y sin 1+=在[]0,2π上的图像． 说明 讲解 引领 质疑 分析 观察 思考 主动 求解 理解 讨论 安排 与知 识点 对应 例题 巩固 新知 注重 画图 时对 细节 的强 调和 引领 不等