等差数列和等比数列的应用复习PPT课件
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2014版高考数学一轮总复习 第33讲 等差、等比数列的综合应用课件 理 新人教A版
4.各项均为正数的等比数列{an}的前 n 项和为 Sn， 若 Sn＝2，S3n＝14，则 S4n＝ 30 .
【解析】由已知及等比数列{an}的性质知， Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，S4n－S3n 也成等比数列， 从而(S2n－2)2＝2(14－S2n)， 又 Sn>0，所以 S2n＝6， 于是(S3n－S2n)2＝(S2n－Sn)(S4n－S3n)， 即(14－6)2＝(6－2)(S4n－14)，所以 S4n＝30.
素材1
已知等差数列{an}的前 n 项和为 Sn， 公差 d<0， 满足 S12>0， S13<0，求 Sn 达到最大值时对应的项数 n 的值．
a1＋a12×12 【解析】因为 S12＝ ＝6(a6＋a7)>0， 2 a1＋a13×13 S13＝ ＝13a7<0， 2 所以 a6>0，a7<0，故当 n＝6 时，S6 取最大值．
备选例题
(2010· 泰州市质检)在数列{an}中， 1＝1,3anan－1＋an－an a
－1
＝0(n≥2)． (1)求数列{an}的通项公式； (2)若 λan＋ ≥λ 对任意 n≥2，n∈N*恒成立，求实数 a n＋ 1 1
λ 的取值范围．
1 【解析】(1)将 3anan－1＋an－an－1＝0，整理可得a ＝1＋3(n n －1)＝3n－2， 1 所以 an＝ (n≥2)． 3n－2 当 n＝1 时，a1＝1，也满足上式， 1 所以{an}的通项公式为 an＝ . 3n－2
【解析】因为 a5·2n－5＝22n(n≥3)，且{an}成等比数列， a 则 a1·2n－1＝a3·2n－3＝a5·2n－5＝„＝22n＝a2. a a a n 令 S＝log2a1＋log2a3＋„＋log2a2n－1， 则 S＝log2a2n－1＋log2a2n－3＋„＋log2a1， 所以 2S＝log2[(a1·2n － 1)(a3·2n － 3)„(a2n － 3·3)(a2n － 1·1)]＝ a a a a log2(22n)n. 所以 2S＝2n· n，故 S＝n2.
高考数学一轮总复习课件：数列的综合应用
又因为an≤15，所以6×1.2n－1≤15， 所以n－1≤5，所以n≤6. 所以an＝611×，1n.2＝n－11，，2≤n≤6，
15，n≥7.
(2)由(1)得，2021年全年的投资额是(1)中数列{an}的前12项 和，所以S12＝a1＋(a2＋…＋a6)＋(a7＋…＋a12)＝11＋6×(1.2＋… ＋1.25)＋6×15＝101＋6×1.2×（1.21－.251－1）≈154.64(万元)．
(1)证明：an＋2－an＝λ； (2)是否存在λ，使得{an}为等差数列？并说明理由． 【思路】 (1)已知数列{an}的前n项和Sn与相邻两项an，an＋1间 的递推关系式anan＋1＝λSn－1，要证an＋2－an＝λ，故考虑利用an＋1＝ Sn＋1－Sn消去Sn进行证明． (2)若{an}为等差数列，则有2a2＝a1＋a3，故可由此求出λ，进 而由an＋2－an＝4验证{an}是否为等差数列即可．
【解析】 (1)证明：由已知，得bn＝2an>0. 当n≥1时，bbn＋n 1＝2an＋1－an＝2d. 所以数列{bn}是首项为2a1，公比为2d的等比数列． (2)函数f(x)＝2x在(a2，b2)处的切线方程为y－2a2＝(2a2ln2)(x －a2)，它在x轴上的截距为a2－ln12. 由题意，a2－ln12＝2－ln12，解得a2＝2. 所以d＝a2－a1＝1，所以an＝n，bn＝2n，anbn2＝n·4n.
比数列．所以an＋1＝45＋－25190n.
(3)因为an＋1>60%，即
4 5
＋
－25
9 10
n
>
3 5
，则
9 10
n
<
1 2
，所以
n(lg9－1)<－lg2，n>1－lg22lg3≈6.572 1.
数列ppt课件
等差数列的求和公式
总结词
等差数列的求和公式是用来计算数列 中所有项的和的数学公式。
详细描述
等差数列的求和公式是 S_n = n/2 * (2a_1 + (n - 1)d)，其中 S_n 表示前 n 项的和，a_1 表示首项，d 表示公差， n 表示项数。这个公式可以帮助我们快 速计算出等差数列中所有项的和。
03 等比数列
等比数列的定义
总结词
等比数列是一种特殊的数列，其中任意项与它的前一项的比值都相等。
详细描述
等比数列是一种有序的数字排列，其中任意一项与它的前一项的比值都等于同一个常数。这个常数被称为公比， 通常用字母q表示。
等比数列的通项公式
总结词
等比数列的通项公式是用来表示数列中每一项的数学表达式。
04 数列的极限与收敛
数列的极限定义
极限的定义
对于数列${ a_{n}}$，如果当$n$ 趋于无穷大时，$a_{n}$趋于某个
常数$a$，则称$a$为数列${ a_{n}}$的极限。
极限的性质
极限具有唯一性、有界性、保序性 等性质。
极限的运算性质
极限具有可加性、可乘性、可分离 性等运算性质。
收敛数列的性质
在经济学中的应用
在经济学中，很多问题也可以转化为求和问题，例如计算总收益、总成本等。而求和问题 同样可以转化为数列的极限问题。因此，数列的极限和收敛的概念在经济学中也有着广泛 的应用。
05 数列的级数
级数的定义与分类
要点一
定义
级数是无穷数列的和，可分为数项级数和函数项级数。
要点二
分类
根据项的正负和收敛性，级数可分为正项级数、负项级数 、交错级数等。
正项级数的审敛法
高三数学二轮复习数列的综合应用课件
P2
P1
Pn＋1(xn＋1，n＋1)得到折线P1P2…Pn＋1，
求由该折线与直线y＝0，x＝x1，x＝xn＋1
所围成的区域的面积Tn．
O
x 1 x2
x3
x4
x
已知{xn}是各项均为正数的等比数列，且x1＋x2＝3，x3－x2＝2．
（1）求数列{xn}的通项公式；
（2）如图，在平面直角坐标系xOy中，依次连接点P1(x1，1)，P2(x2，2)，…，
（1）求S1，S2及数列{Sn}的通项公式；
（2）若数列{bn}满足bn ＝
1
7
≤|Tn|≤ ．
3
9
−1
，且{bn}的前n项和为Tn，求证：当n≥2时，
已知数列{an}满足a1＝1，Sn＝2an＋1，其中Sn为{an}的前n项和(n∈N*)．
（1）求S1，S2及数列{Sn}的通项公式；
（2）若数列{bn}满足bn ＝
Pn＋1(xn＋1，n＋1)得到折线P1P2…Pn＋1，求由该折线与直线y＝0，x＝x1，x＝
xn＋1所围成的区域的面积Tn．
y
P4
P3
P2
P1
O
x1 x2
x3
x4
x
数列求和的
基本方法
01
公式法
02
分组求和法
03
错位相减法
04
倒序相加法
05
裂项相消法
考点2：数列与不等式综合问题
已知数列{an}满足a1＝1，Sn＝2an＋1，其中Sn为{an}的前n项和(n∈N*)．
1
7
≤|Tn|≤ ．
3
9
−1
，且{bn}的前n项和为Tn，求证：当n≥2时，
人教版数学选择性必修二考点复习：等差数列和等比数列课件
高二选择性必修二
等差数列和等比数列
考情分析
202X年
202X年
202X年
Ⅰ卷 Ⅱ卷 Ⅲ卷 Ⅰ卷 Ⅱ卷 Ⅲ卷 Ⅰ卷 Ⅱ卷 Ⅲ卷
等差数列
和
T4
T17 T17 T9,T14 T19 T5,T14 T17 T4,T6
新高考Ⅰ
卷
T14,T18
等比数列 高考试题中数列一般是以两个小题或一个解答题的情势出现,难度
(2)列、解方程组：把条件转化为关于a1和d(q)的方程(组), 然后求解,
注意整体计算, 以减少运算量.
对点训练
1.(202X北京高三一模)设等差数列{an}的前n项和为Sn, 若a3=2,
a1+a4=5, 则S6=( B )
A.10
B.9
C.8
3 = 1 + 2 = 2
由题意得, ቊ
，
1 + 4 = 21 + 3 = 5
由题设得4(an+1-bn+1)=4(an-bn)+8,即an+1-bn+1=an-bn+2.
又因为a1-b1=1,所以{an-bn}是首项为1,公差为2的等差数列.
(2)由(1)知, an+bn=
所以an=
1
2
1
2−1
, an-bn=2n-1.
1
1
[(an+bn)+(an-bn)]=
2
2
bn= [(an+bn)-(an-bn)]=
第n环扇面形石板块数为等差数列{an},其前n项和满
足S3n-S2n=S2n-Sn=729,解方程即可得到n,进一步得到S3n
易错分析
等差数列和等比数列
考情分析
202X年
202X年
202X年
Ⅰ卷 Ⅱ卷 Ⅲ卷 Ⅰ卷 Ⅱ卷 Ⅲ卷 Ⅰ卷 Ⅱ卷 Ⅲ卷
等差数列
和
T4
T17 T17 T9,T14 T19 T5,T14 T17 T4,T6
新高考Ⅰ
卷
T14,T18
等比数列 高考试题中数列一般是以两个小题或一个解答题的情势出现,难度
(2)列、解方程组：把条件转化为关于a1和d(q)的方程(组), 然后求解,
注意整体计算, 以减少运算量.
对点训练
1.(202X北京高三一模)设等差数列{an}的前n项和为Sn, 若a3=2,
a1+a4=5, 则S6=( B )
A.10
B.9
C.8
3 = 1 + 2 = 2
由题意得, ቊ
，
1 + 4 = 21 + 3 = 5
由题设得4(an+1-bn+1)=4(an-bn)+8,即an+1-bn+1=an-bn+2.
又因为a1-b1=1,所以{an-bn}是首项为1,公差为2的等差数列.
(2)由(1)知, an+bn=
所以an=
1
2
1
2−1
, an-bn=2n-1.
1
1
[(an+bn)+(an-bn)]=
2
2
bn= [(an+bn)-(an-bn)]=
第n环扇面形石板块数为等差数列{an},其前n项和满
足S3n-S2n=S2n-Sn=729,解方程即可得到n,进一步得到S3n
易错分析
等差等比数列的证明ppt课件
等差、等比数列的证明
1、定义法 an+1 - an=d 或 an-an-1=d
2、中项法 2an=an-1+an+1 (n>1)
3、通项公式法 an=pn+q(关于n的一次函数)
4、前n项和法 Sn=An2+Bn
1
等差、等比数列的证明 一、等差数列的证明
例1 已知数列an的前n项和为Sn=3n2 -2n， 证明数列an 成等差数列，并求其首项、
11
12
13
14
（2）
证明
an 2n
为等差数列，并求an
5
第七课时B组
8.已知数列an 的前n项和为Sn，Sn
=
1 3
(an
1)
（1）求a1、a2 .
（2）求证：数列an 是等比数列
6
等差、等比的计算问题的常用方法
方法1、利用等差、等比的性质 方法2、利用基本量（解方程组）
项(an)的性质： an=am+(n-m)d 任两项的关系式
am+an=ap+aq(m+n=p+q)角标和性质
和(Sn)的性质： Sm ,S2m -Sm ,S3m -S2m ,L 成等差
Sn与项an的关系：
7
重点回顾
数列
等差数列
等比
定义 通项公式
an+1-an=d 或 an-an-1=d
an= a1+(n-1)d
前n项和
性质 和Sn与项an 的关系
aanm=+ama+n(=n-amp)+d aq(m+n=p+q)
公差、通项公式
2
第四课时拓展延伸（2015新课标全国卷）
1、定义法 an+1 - an=d 或 an-an-1=d
2、中项法 2an=an-1+an+1 (n>1)
3、通项公式法 an=pn+q(关于n的一次函数)
4、前n项和法 Sn=An2+Bn
1
等差、等比数列的证明 一、等差数列的证明
例1 已知数列an的前n项和为Sn=3n2 -2n， 证明数列an 成等差数列，并求其首项、
11
12
13
14
（2）
证明
an 2n
为等差数列，并求an
5
第七课时B组
8.已知数列an 的前n项和为Sn，Sn
=
1 3
(an
1)
（1）求a1、a2 .
（2）求证：数列an 是等比数列
6
等差、等比的计算问题的常用方法
方法1、利用等差、等比的性质 方法2、利用基本量（解方程组）
项(an)的性质： an=am+(n-m)d 任两项的关系式
am+an=ap+aq(m+n=p+q)角标和性质
和(Sn)的性质： Sm ,S2m -Sm ,S3m -S2m ,L 成等差
Sn与项an的关系：
7
重点回顾
数列
等差数列
等比
定义 通项公式
an+1-an=d 或 an-an-1=d
an= a1+(n-1)d
前n项和
性质 和Sn与项an 的关系
aanm=+ama+n(=n-amp)+d aq(m+n=p+q)
公差、通项公式
2
第四课时拓展延伸（2015新课标全国卷）
数列(共84张PPT)
Leabharlann 3.2等差数列及其通项公式
观察
在自然数集N中，能被2整除的数称为偶数.按照从小到大的次序写出偶数：
0，2，4，6，8，10，12，16， ⋯ .
偶数数列的第1项是0，从第2项起，每一项减去它前面一项所得的差都等于2.
3.2
等差数列及其通项公式
抽象
定义
如果一个数列从第2项起，每一项减去它前面一项所得的差都等
由已知，4 = 7，9 = 22，根据通项公式得
1 + 4 − 1 = 7，
ቊ
1 + 9 − 1 = 22.
整理，得
1 + 3 = 7，
ቊ
1 + 8 = 22.
解得
1 = −2， = 3.
因此
20 = −2 + 20 − 1 × 3 = 55.
即第20项是55.
1.2
如果一个数列的第项能用它前面若干项的表达式来表示，那么把
这个表达式称为这个数列的递推公式.
公式（2）是斐波那契数列的递推公式，1 ，2 称为初始项．
3.1
例 1
数列的概念
己知下述数列的通项公式，分别求出它们的前4项：
（1） = 3 + 1；
（2） =
1
；
（3） =
1
；
2
（4） = −1
= 1 + ，
⋯，
−2 + 3 = 1 + − 2 − 1 + 1 + − 2 − 1 −
= 1 + ，
−1 + 2 = 1 + − 1 − 1 + + − 1 − 1 −
观察
在自然数集N中，能被2整除的数称为偶数.按照从小到大的次序写出偶数：
0，2，4，6，8，10，12，16， ⋯ .
偶数数列的第1项是0，从第2项起，每一项减去它前面一项所得的差都等于2.
3.2
等差数列及其通项公式
抽象
定义
如果一个数列从第2项起，每一项减去它前面一项所得的差都等
由已知，4 = 7，9 = 22，根据通项公式得
1 + 4 − 1 = 7，
ቊ
1 + 9 − 1 = 22.
整理，得
1 + 3 = 7，
ቊ
1 + 8 = 22.
解得
1 = −2， = 3.
因此
20 = −2 + 20 − 1 × 3 = 55.
即第20项是55.
1.2
如果一个数列的第项能用它前面若干项的表达式来表示，那么把
这个表达式称为这个数列的递推公式.
公式（2）是斐波那契数列的递推公式，1 ，2 称为初始项．
3.1
例 1
数列的概念
己知下述数列的通项公式，分别求出它们的前4项：
（1） = 3 + 1；
（2） =
1
；
（3） =
1
；
2
（4） = −1
= 1 + ，
⋯，
−2 + 3 = 1 + − 2 − 1 + 1 + − 2 − 1 −
= 1 + ，
−1 + 2 = 1 + − 1 − 1 + + − 1 − 1 −
数列复习专题精选完整版ppt课件
数列与函数问题：化归思想，函数与方程思想
恒成立问题： 论证推理
探索性问题--恒成立问题
恒成立问题： 论证推理
探索性问题--存在性问题
注：（1）不等式恒成立与最值问题相关联：确定变量最大或最小（2）数列最值问题关联：单调数列特征，或数列取值正负变化特征，或数列二次函数特征（3）恒成立问题：推理论证（4）存在性问题：寻找，特值法、代入验证法等
二、数列基本方法
1、方程（组）思想、函数思想2、代入法，因式分解降次法3、待定系数法4、分类讨论思想5、化归转换思想★6、不等式放缩应用
数列问题探究-典型例举
数列问题探究-典型例举
数列问题：
2、一般数列通项递推的应用（关于Sn--an）
递推式运用原则：减元原则、降次原则、目标趋近原则
知识拓展与方法应用：
数 列
1.知识
2. 问题
3. 方法
一、数列基础知识
一般数列：
特殊数列：等差数列
特殊数列：等差数列性质 足码和特征、和项特征、奇偶项和特征
特殊数列：等比数列
特殊数列：等比数列性质 足码和特征、和项特征、奇偶项和特征
二、数列基本问题
公式变式\性质应用
题例
基本关系式应用：正用代入--逆用作差
一般数列通项递推的应用
数列求和：数列递推问题：数列与不等式问题：数列与函数：探索性问题：成立与存在性问题预测方向
数列递推问题
数列递推问题
数列递推问题---化归转换为运用待定系数法、累加或累乘型
数列递推问题---化归转换为运用待定系数法、累加或累乘型
小结：（1）高考卷选择填空题型：等差等比比重大，一般数列通项或和，新定义与创新型问题（2）高考数列解答题：通项、前n项和，★递推问题，不等式证明（3）含参数问题：取值或范围，最值问题（4）重点问题：特殊数列、递推问题等
【步步高】高考数学考前3个月(上)专题复习专题三第一讲等差数列与等比数列课件
解 设{an}的首项为 a1，公差为 d，
本 讲 栏
则aa11＋＋32dd＋aa11＋ ＋65dd＝＝0－，16，
目 开 关
即aa211＋＝8－da41d＋，12d2＝－16，
解得ad1＝＝2－8 或ad1＝＝－8，2，
因此 Sn＝－8n＋n(n－1)＝n(n－9) 或 Sn＝8n－n(n－1)＝－n(n－9).
本 讲 栏 目 开 关
考点与考题
第一讲
第一讲 等差数列与等比数列
本
讲 栏
【考点整合】
目 开
1.等差数列
关 (1)定义式：an＋1－an＝d(n∈N*，d 为常数).
(2)通项公式：an＝a1＋(n－1)d. (3)前 n 项和公式：Sn＝na12＋an＝na1＋nn－2 1d.
(4)等差中项公式：2an＝an－1＋an＋1(n∈N*，n≥2).
则 a1＋a10＝
()
本 A.7
B.5
C.－5
D.－7
讲 栏 目 开
解析 方法一 由题意得aa45＋ a6＝a7＝ a1qa41×q3＋ a1qa51＝q6＝ a21q29，＝－8，
关
∴qa31＝ ＝－ 1 2，
或q3＝－12， a1＝－8，
∴a1＋a10＝a1(1＋q9)＝－7.
考点与考题
第一讲
故 a2＝a1＋d＝1. 答案 1
题型与方法
第一讲
题型一 等差数列的有关问题
本
讲 题型概述 等差数列是一个重要的数列类型，高考命题主要考
栏
目 查等差数列的概念、基本量的运算及由概念推导出的一些重
开
关 要性质，灵活运用这些性质解题，可达到避繁就简的目的.
题型与方法
专题33 等差、等比数列的性质的综合应用(课件)-2019年高考数学(理)名师揭秘之一轮总复习
则a4a5a6＝5 2.
3.在正项等比数列{an}中，lg a3＋lg a6＋lg a9＝ 6，则a1a11的值是( A )
A.10 000 B.1 000
C.100
D.10
(2)设函数 f(x)＝12x，数列{bn}满足条件 b1＝2，f(bn ＋1)＝f（－31－bn），(n∈N*).
①求数列{bn}的通项公式； ②设 cn＝bann，求数列{cn}的前 n 和 Tn.
【解析】(1)因为a＝λb，所以12Sn＝2n－1，
Sn＝2n＋1－2. 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(2n＋1－2)－(2n－2) ＝2n，
1．等差数列的常用性质 (1)通项公式的推广：an＝ak＋(n－k)d(n，k∈N*)． (2)若{an}为等差数列，且 m＋n＝p＋q(m，n，p， q∈N*)，则 am＋an＝ap＋aq. (3)若{an}是等差数列，公差为 d，则 an，an＋m，an＋ 2m，…(n，m∈N*)是公差为__m_d____的等差数列． (4)数列 Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…也是等差数列． (5)S2n－1＝(2n－1)an.
≤49，
∴ak(k∈M)组成首项为211，公比为4的等比数列.
则所有ak(k∈M)的和211（11－－4445）＝2101－32
048 .
例4已知数列{an}的前 n 项和为 Sn，向量 a＝(Sn，
1)，b＝2n－1，12，满足条件 a＝λb，λ ∈R 且 λ≠0. (1)求数列{an}的通项公式；
②cn＝bann＝3n2－n 1，
Tn＝221＋252＋283＋…＋32nn－－14＋3n2－n 1
①
12Tn＝222＋253＋284＋…＋3n2－n 4＋32nn－＋11
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.
4.数列复习参考题最后一道题.
3.等差数列a n 中，首项a1 0，公差d 0，S n 是前n项和，
(Байду номын сангаас)
(B)
(C)
(D)
4.某工厂2004年的月产值按同一增长率增长 增长，一季度产值为20万元，半年总产值为 60万元，则2004年全年总产值为 万元.
二、典例分析：
25 例1 ．已知数列a n 为等比数列，a 2 50，a5 , 4 设bn log2 a n .
一、课堂练习：
则a2 a8
1.等差数列an 中，若a3 a4 a5 a6 a7 60，
24
.
2.在等比数列中，有连续 五项分别为： 3，a，b，c， 12，则 b= 6 a= 3 2 c= 6 2 ac= 36 ；
（ C ） 则点n，S n 可能在下列哪条曲线上？
⑴求证：数列bn 为等差数列；⑵求数列bn 的前n项和； ⑶求数列S n 中的最大值.
1 1 2.等比数列an 中，已知a1 2 ，前三项和S3 7 ，求q. 2 2
3.已知a，b，a b依次成等差数列，a，b，ab依次成等比数列， 如果对于实数m，有0logm ab1成立，则m的取值范围为
4.数列复习参考题最后一道题.
3.等差数列a n 中，首项a1 0，公差d 0，S n 是前n项和，
(Байду номын сангаас)
(B)
(C)
(D)
4.某工厂2004年的月产值按同一增长率增长 增长，一季度产值为20万元，半年总产值为 60万元，则2004年全年总产值为 万元.
二、典例分析：
25 例1 ．已知数列a n 为等比数列，a 2 50，a5 , 4 设bn log2 a n .
一、课堂练习：
则a2 a8
1.等差数列an 中，若a3 a4 a5 a6 a7 60，
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2.在等比数列中，有连续 五项分别为： 3，a，b，c， 12，则 b= 6 a= 3 2 c= 6 2 ac= 36 ；
（ C ） 则点n，S n 可能在下列哪条曲线上？
⑴求证：数列bn 为等差数列；⑵求数列bn 的前n项和； ⑶求数列S n 中的最大值.
1 1 2.等比数列an 中，已知a1 2 ，前三项和S3 7 ，求q. 2 2
3.已知a，b，a b依次成等差数列，a，b，ab依次成等比数列， 如果对于实数m，有0logm ab1成立，则m的取值范围为