解析几何压轴大题专题突破 (1)

解析几何压轴大题专题突破

1. 已知命题 p ：方程

x 22m

+

y 29?m

=1 表示焦点在 y 轴上的椭圆，命题 q ：双曲线

y 25

?

x 2m

=1 的离心率 e ∈(

√6

2

,√2)，若命题 p ，q 中有且只有一个为真命题，求实数 m 的取值范围.

2. 在直角坐标系 xOy 中，曲线 C 1 的参数方程为 {x =√3cosα,

y =sinα,（α 为参数），以坐标

原点为极点，以 x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线 C 2 的极坐标方程为 ρsin (θ+π

4

)=2√2．

（1）写出 C 1 的普通方程和 C 2 的直角坐标方程；

（2）设点 P 在 C 1 上，点 Q 在 C 2 上，求 ∣PQ ∣ 的最小值及此时 P 的直角坐标．

3. 在直角坐标系 xOy 中，直线 C 1:x =?2，圆 C 2:(x ?1)2+(y ?2)2=1，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系． （1）求 C 1，C 2 的极坐标方程；

（2）若直线 C 3 的极坐标方程为 θ=π

4(ρ∈R )，设 C 2 与 C 3 的交点为 M ，N ，求 △

C 2MN 的面积．

4. 已知抛物线的对称轴为坐标轴，顶点是坐标原点，准线方程为 x =?1，直线 l 与抛物线相交于不同的 A ，B 两点． （1）求抛物线的标准方程；

（2）如果直线 l 过抛物线的焦点，求 OA ????? ?OB

????? 的值； （3）如果 OA ????? ?OB

????? =?4，直线 l 是否过一定点，若过一定点，求出该定点；若不过一定点，试说明理由．

5. 已知抛物线 C:y 2=2px (p >0) 与直线 x ?√2y +4=0 相切． （1）求该抛物线的方程；

（2）在 x 轴正半轴上，是否存在某个确定的点 M ，过该点的动直线 l 与抛物线 C

交于 A ，B 两点，使得 1

∣AM∣

+1∣BM∣ 为定值．如果存在，求出点 M 坐标；如果不

存在，请说明理由．

6. 在平面直角坐标系 xOy 中，动点 A 的坐标为 (2?3sinα,3cosα?2)，其中 α∈R ．在极坐标系（以原点 O 为极点，以 x 轴非负半轴为极轴）中，直线 C 的方程为 ρcos (θ?π

4

)=a ．

（1）判断动点 A 的轨迹的形状；

（2）若直线 C 与动点 A 的轨迹有且仅有一个公共点，求实数 a 的值．

7. 在平面直角坐标系 xOy 中，已知椭圆 C ：x 2a

+y 2b =1(a >b >0) 的离心率为 √6

3

．且

过点 (3,?1)．

（1）求椭圆 C 的方徎；

（2）动点 P 在直线 l ：x =?2√2 上，过 P 作直线交椭圆 C 于 M ，N 两点，使得

PM =PN ，再过 P 作直线 l?⊥MN ，直线 l? 是否恒过定点，若是，请求出该定

点的坐标；若否，请说明理由．

8. 在平面直角坐标系 xOy 中，C 1:{x =t,

y =k (t ?1)

（t 为参数）．以原点 O 为极点，x 轴

的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线 C 2:ρ2+10ρcosθ?6ρsinθ+33=0． （1）求 C 1 的普通方程及 C 2 的直角坐标方程，并说明它们分别表示什么曲线； （2）若 P ，Q 分别为 C 1，C 2 上的动点，且 ∣PQ ∣ 的最小值为 2，求 k 的值．

9. 设 F 1，F 2 分别是椭圆 C:

x 2a +

y 2b =1(a >b >0) 的左，右焦点，M 是 C 上一点且

MF 2 与 x 轴垂直．直线 MF 1 与 C 的另一个交点为 N ． （1）若直线 MN 的斜率为 3

4，求 C 的离心率；

（2）若直线 MN 在 y 轴上的截距为 2，且 ∣MN∣=5∣F 1N ∣，求 a ，b ．

10. 已知抛物线 E:x 2=2py (p >0)，直线 y =kx +2 与 E 交于 A ，B 两点，且 OA ????? ?

OB

????? =2，其中 O 为原点． （1）求抛物线 E 的方程；

（2）点 C 坐标为 (0,?2)，记直线 CA ，CB 的斜率分别为 k 1，k 2，证明：k 12

+

k 22

?2k 2 为定值．

11. 已知椭圆的一个顶点为 A (0,?1)，焦点在 x 轴上．若右焦点到直线 x ?y +2√2=

0 的距离为 3． （1）求椭圆的方程；

（2）设椭圆与直线 y =kx +m (k ≠0) 相交于不同的两点 M ，N ．当 ∣AM∣=∣AN∣

时，求 m 的取值范围．

12. 双曲线 C 与椭圆

x 28

+

y 24

=1 有相同的焦点，直线 y =√3x 为 C 的一条渐近线．求

双曲线 C 的方程．

13. 已知不过第二象限的直线 l:ax ?y ?4=0 与圆 x 2+(y ?1)2=5 相切． （1）求直线 l 的方程；

（2）若直线 l 1 过点 (3,?1) 且与直线 l 平行，直线 l 2 与直线 l 1 关于直线 y =1 对

称，求直线 l 2 的方程．

14. 在直角坐标系 xOy 中，圆 C 的参数方程 {x =1+cosφ,

y =sinφ

（φ 为参数）．以 O 为极

点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系． （1）求圆 C 的极坐标方程；

（2）直线 l 的极坐标方程是 ρ(sinθ+√3cosθ)=3√3，射线 OM ：θ=π

3 与圆 C 的

交点为 O ，P ，与直线 l 的交点为 Q ，求线段 PQ 的长．

15. 双曲线与椭圆有共同的焦点 F 1(0,?5)，F 2(0,5)，点 P (3,4) 是双曲线的渐近线与椭

圆的一个交点，求椭圆的方程和双曲线方程．

16. 在抛物线 y =4x 2 上有一点 P ，若点 P 到直线 y =4x ?5 的距离最短，求该点 P

坐标和最短距离．

17. 已知函数 y =a 2?x +1（a >0，且 a ≠1）的图象恒过定点 A ，点 A 在直线 mx +

ny =1(mn >0) 上，求 1

m

+1

n 的最小值．

18. 已知直线 l:y =x +m 与抛物线 y 2=8x 交于 A ，B 两点，

（1）若 ∣AB ∣=10，求 m 的值； （2）若 OA ⊥OB ，求 m 的值．

19. 若椭圆的对称轴在坐标轴上，两焦点与两短轴端点正好是正方形的四个顶点，又

焦点到同侧长轴端点的距离为 √?1，求椭圆的方程．

20. 讨论直线 l:y =kx +1 与双曲线 C:x 2?y 2=1 的公共点的个数．

21. 已知 p ：方程 x 2

+2mx +(m +2)=0 有两个不等的正根；q ：方程

x 2m+3

?

y 22m?1

=

1 表示焦点在 y 轴上的双曲线．

（1）若 q 为真命题，求实数 m 的取值范围； （2）若“p 或 q ”为真，“p 且 q ”为假，求实数 m 的取值范围．

22. 已知双曲线的焦点在 x 轴上，∣F 1F 2∣=2√3，渐近线方程为 √2x ±y =0，问：过

点 B (1,1) 能否作直线 l ，使 l 与双曲线交于 M ，N 两点，并且点 B 为线段 MN 的中点?若存在，求出直线 l 的方程；若不存在，请说明理由．

23. 已知点 P (2,0) 及圆 C ：x 2+y 2?6x +4y +4=0．

（1）设过 P 的直线 l 1 与圆 C 交于 M ，N 两点，当 ∣MN∣=4 时，求以 MN 为直径

的圆 Q 的方程；

（2）设直线 ax ?y +1=0 与圆 C 交于 A ，B 两点，是否存在实数 a ，使得过点

P (2,0) 的直线 l 2 垂直平分弦 AB ?若存在，求出实数 a 的值；若不存在，请说明

理由．

24. 在直角坐标系 xOy 中，已知直线 l:{x =1+√2

2

t

y =2+√2

2t

(t 为参数)，以坐标原点为极点，

x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C:ρ2(1+sin 2θ)=2． （1）写出直线 l 的普通方程和曲线 C 的直角坐标方程；

（2）设点 M 的直角坐标为 (1,2)，直线 l 与曲线 C 的交点为 A ，B ，求 ∣MA ∣?∣MB ∣ 的值．

25. 已知椭圆 C ：

x 2a

+y 2b =1(a >b >0)，离心率为 √3

2

，两焦点分别为 F 1，F 2，过 F 1

的直线交椭圆 C 于 M ，N 两点，且 △F 2MN 的周长为 8． （1）求椭圆 C 的方程；

（2）过点 P (m,0) 作圆 x 2+y 2=1 的切线 l 交椭圆 C 于 A ，B 两点，求弦长 ∣AB∣ 的最大值．

26. 已知数列 {a n } 的首项为 1，S n 为数列 {a n } 的前 n 项和，S n =qS n?1+1，其中

q >0，n >1，n ∈N ?．

（1）若 2a 2，a 3，a 2+2 成等差数列，求 {a n } 的通项公式； （2）设双曲线 x 2

?y 2

a n

2=1 的离心率为 e n ，且 e 2=3，求 e 12+e 22+?+e n 2．

27. 已知曲线 C 的极坐标方程为 ρ=2cosθ?4sinθ，以极点为原点，极轴为 x 轴的正

半轴，建立平面直角坐标系，直线 l 的参数方程为 {x =1+tcosα,

y =?1+tsinα（t 为参数）．

（1）判断直线 l 与曲线 C 的位置关系，并说明理由； （2）若直线 l 和曲线 C 相交于 A ，B 两点，且 ∣AB ∣=3√2，求直线 l 的斜率．

28. 已知椭圆

x 2a 2

+

y 2b 2

=1(a >b >0) 的离心率 e =

√6

3

，坐标原点到直线 l:y =bx +2

的距离为 √2．

（1）求椭圆的方程；

（2）若直线 y =kx +2(k ≠0) 与椭圆相交于 C ，D 两点，是否存在实数 k ，使得以 CD 为直径的圆过点 E (?1,0)?若存在，求出 k 的值，若不存在，请说明理由．

29. 在平面直角坐标系 xOy 中，直线 l 经过点 P (?3,0)，其倾斜角为 α，以原点 O 为

极点，以 x 轴非负半轴为极轴，与直角坐标系 xOy 取相同的长度单位，建立极坐标系．设曲线 C 的极坐标方程为 ρ2?2ρcosθ?3=0． （1）若直线 l 与曲线 C 有公共点，求倾斜角 α 的取值范围； （2）设 M (x,y ) 为曲线 C 上任意一点，求 x +y 的取值范围．

30. 椭圆与双曲线有许多优美的对称性质．对于椭圆

x 2a +

y 2b =1(a >b >0) 有如下命

题：AB 是椭圆

x 2a +

y 2b =1(a >b >0) 的不平行于对称轴且不过原点的弦，M 为

AB 的中点，则 k OM ?k AB =?b 2a 为定值．那么对于双曲线

x 2a ?

y 2b =1(a >0,b >

0) 则有命题：AB 是双曲线 x 2a ?y 2b =1(a >0,b >0) 的不平行于对称轴且不过原

点的弦，M 为 AB 的中点，则 k OM ?k AB = 定值 ．（在横线上填上正确的结论）并证明你的结论．

31. （1）求中心在原点，焦点在 x 轴上，焦距等于 4，且经过点 P(3,?2√6) 的椭圆方程； （2）求 e =√6

3

，并且过点 (3,0) 的椭圆的标准方程．

32. 已知抛物线 y 2=4x ，焦点为 F ，顶点为 O ，点 P 在抛物线上移动，Q 是 OP 的中

点，M 是 FQ 的中点，求点 M 的轨迹方程．

33. 已知点 A (0,?2)，椭圆 E ：

x 2a 2

+

y 2b 2

=1(a >b >0) 的离心率为 √32

，F 是椭圆的焦

点，直线 AF 的斜率为

2√3

3

，O 为坐标原点．

（1）求 E 的方程；

（2）设过点 A 的直线 l 与 E 相交于 P ，Q 两点，当 △OPQ 的面积最大时，求 l 的方程．

34. P 为椭圆

x 225

+

y 29

=1 上一点，F 1，F 2 为左右焦点，若 ∠F 1PF 2=60°．

（1）求 △F 1PF 2 的面积； （2）求 P 点的坐标．

35. 已知双曲线 C:

x 2a ?

y 2b =1(a >0,b >0) 的渐近线方程为：y =±√3x ，右顶点为

(1,0)．

（1）求双曲线 C 的方程；

（2）已知直线 y =x +m 与双曲线 C 交于不同的两点 A ，B ，且线段 AB 的中点为 M (x 0,y 0)．当 x 0≠0 时，求 y

0x 0 的值．

36. 已知双曲线

x 216

?

y 24

=1 的两焦点为 F 1，F 2．

（1）若点 M 在双曲线上，且 MF 1???????? ?MF 2???????? =0，求 M 点到 x 轴的距离； （2）若双曲线 C 与已知双曲线有相同焦点，且过点 (3√2)，求双曲线 C 的方程．

37. 椭圆

x 2a

+y 2

b =1(a >b >0) 的两个焦点为 F 1，F 2，点 P 在椭圆 C 上，且 ∣PF 1∣=4

3

，

∣PF 2∣=

143

，PF 1⊥PF 2．

（1）求椭圆 C 的方程；

（2）若直线 L 过圆 x 2+y 2+4x ?2y =0 的圆心 M 交椭圆于 A ，B 两点，且 A ，B 关于点 M 对称，求直线 L 的方程．

38. 已知半径为 5 的圆的圆心在 x 轴上，圆心的横坐标是整数，且与直线 4x +3y ?

29=0 相切． （1）求圆的方程；

（2）设直线 ax ?y +5=0(a >0) 与圆相交于 A ，B 两点，求实数 a 的取值范围； （3）在 (Ⅱ) 的条件下，是否存在实数 a ，使得弦 AB 的垂直平分线 l 过点 P (?2,4)，若存在，求出实数 a 的值；若不存在，请说明理由．

39. 已知直线 C 1:{x =1+tcosα,y =tsinα(t 为参数)，圆 C 2:{x =cosθ,

y =sinθ(θ 为参数)．

（1）当 α=π

3 时，求 C 1 与 C 2 的交点坐标；

（2）过坐标原点 O 作 C 1 的垂线，垂足为 A ，P 为 OA 的中点，当 α 变化时，求点 P 轨迹的参数方程，并指出它是什么曲线．

40. 已知圆 C 和 y 轴相切，圆心在直线 x ?3y =0 上，且被直线 y =x 截得的弦长为 2√7，求圆 C 的方程．

41. 如图，直线 l:y =x +b 与抛物线 C:x 2=4y 相切于点 A ．

（1）求实数 b 的值； （2）求以 A 点为圆心，且与抛物线 C 的准线相切的圆的方程．

42. 在直角坐标系 xOy 中，圆 C 的方程为 (x +6)2+y 2=25．

（1）以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求圆 C 的极坐标方程；

（2）直线 l 的参数方程是 {x =tcosα,

y =tsinα,（t 为参数），直线 l 与圆 C 交于 A ，B 两点，∣AB∣=√10，求 l 的斜率．

43. 已知双曲线与椭圆

x 29

+

y 225

=1 有公共焦点 F 1，F 2，它们的离心率之和为 24

5

．

（1）求双曲线的标准方程； （2）设 P 是双曲线与椭圆的一个交点，求 cos∠F 1PF 2．

44. 抛物线顶点在原点，它的准线过双曲线

x 2a 2

?

y 2b 2

=1(a >0,b >0) 的一个焦点，并

与双曲线实轴垂直，已知抛物线与双曲线的一个交点为 (3

2

,√6)，求抛物线与双曲

线方程．

45. 已知曲线 C 上任一点 P 到点 F (1,0) 的距离比它到直线 l ：x =?2 的距离少 1． （1）求曲线 C 的方程；

（2）过点 Q (1,2) 作两条倾斜角互补的直线与曲线 C 分别交于点 A ，B ，试问：直线 AB 的斜率是否为定值，请说明理由．

46. 在平面直角坐标系 xOy 中，圆 C 的参数方程为 {x =2cosφ,

y =2sinφ

（φ 为参数），直线 l

过点 (0,2) 且倾斜角为 π

3．

（1）求圆 C 的普通方程及直线 l 的参数方程； （2）设直线 l 与圆 C 交于 A ，B 两点，求弦 ∣AB ∣ 的长．

47. 已知椭圆 C:

x 2a

+y 2b =1(a >b >0) 的一个长轴顶点为 A (2,0)，离心率为 √22

，直线

y =k (x ?1) 与椭圆 C 交于不同的两点 M ，N ． （1）求椭圆 C 的方程； （2）当 △AMN 的面积为

√10

3

时，求 k 的值．

48. 已知椭圆

x 2a 2

+

y 2b 2

=1(a >b >0) 的左、右焦点为 F 1，F 2，A 点在椭圆上，离心率

是 √22

，AF 2 与 x 轴垂直，且 ∣AF 2∣=√2． （1）求椭圆的方程；

（2）若点 A 在第一象限，过点 A 作直线 l ，与椭圆交于另一点 B ，求 △AOB 面积的最大值．

49. 已知点 (1,√2

2) 在椭圆 C:x 2a

2

+

y 2b 2

=1(a >b >0) 上，椭圆离心率为 √2

2

．

（1）求椭圆 C 的方程；

（2）过椭圆 C 右焦点 F 的直线 l 与椭圆交于两点 A ，B ，在 x 轴上是否存在点 M ，

使得 MA ?????? ?MB ?????? 为定值?若存在，求出点 M 的坐标；若不存在，请说明理由．

参考答案，仅供参考

1. 若命题 p ：方程

x 22m

+

y 29?m

=1 表示焦点在 y 轴上的椭圆为真命题；

则 9?m >2m >0， 解得 0

则命题 p 为假命题时，m ≤0 或 m ≥3， 若命题 q ：双曲线 y 25

?x 2m

=1 的离心率 e ∈(

√6

2

,√2) 为真命题； 则 √5+m 5

∈(

√6

2

,√2)， 即

5+m 5∈(32

,2)，

即 52

则命题 q 为假命题时，m ≤5

2 或 m ≥5，

因为命题 p ，q 中有且只有一个为真命题， 当 p 真 q 假时，0

2，

当 p 假 q 真时，3≤m <5，

综上所述，实数 m 的取值范围是：0

2

或 3≤m <5．

2. （1） C 1:{x =√3cosα,

y =sinα

（α 为参数）的直角坐标方程是：x 23+y 2=1，

C 2 的直角坐标方程：ρsin (θ+π

4)=2√2，

整理得，

√2

2

ρsinθ+

√2

2

ρcosθ=2√2，x +y =4．

（2） 设 x +y =4 的平行线为 l 1:x +y +c =0， 当 l 1:x +y +c =0 且 c <0 和 C 1 相切时 ∣PQ ∣ 距离最小， 联立直线和椭圆方程得 x 23

+(x +c )2?1=0，

整理得

4x 23

+2cx +c 2

?1=0，需要满足 Δ=?4c 23

+

163

=0，求得 c =±2，

当直线为 l 1:x +y ?2=0 时，满足题意，

此时 ∣PQ ∣=√2，此时直线 l 1 和椭圆交点即是 P 点坐标 (32,1

2)．

3. （1） C 1:ρcosθ=?2，C 2:ρ2?2ρcosθ?4ρsinθ+4=0． （2） C 3:y =x ，

圆 C 2 的圆心 C 2 到 y =x 的距离 d =√2

=

√22

， ∴∣MN∣=2?√12?

(√22)

2=√2，

∴S △C 2MN =12

?∣MN∣?d =12

?√2?√22

=1

2

．

4. （1） 已知抛物线的对称轴为坐标轴，顶点是坐标原点，准线方程为 x =?1， 所以 p

2=1，p =2．

所以抛物线的标准方程为 y 2=4x ．

（2） 设 l:my =x ?1，与 y 2=4x 联立，得 y 2?4my ?4=0， 设 A (x 1,y 1)，B (x 2,y 2)， 所以 y 1+y 2=4m ，y 1y 2=?4， 所以

OA ????? ?OB ????? =x 1x 2+y 1y 2

=(m 2+1)y 1y 2+m (y 1+y 2)+1=?3.

（3） 假设直线 l 过定点，设 l:my =x +n ，{my =x +n,

y 2=4x, 得 y 2?4my +4n =0，

设 A (x 1,y 1)，B (x 2,y 2)， 所以 y 1+y 2=4m ，y 1y 2=4n ． 由

OA ????? ?OB ????? =?4

=(m 2+1)y 1y 2?mn (y 1+y 2)+n 2=n 2+4n,

解得 n =?2，

所以 l:my =x ?2 过定点 (2,0)． 5. （1） 联立方程有，{x ?√2y +4=0,

y 2=2px,

有 y 2?2√2py +8p =0，由于直线与抛物线相切，得 Δ=8p 2?32p =0，所以 p =4， 所以 y 2=8x ．

（2） 假设存在满足条件的点 M (m,0)(m >0)，直线 l:x =ty +m ，有 {x =ty +m,

y 2=8x,

y 2?8ty ?8m =0，设 A (x 1,y 1)，B (x 2,y 2)，

有 Δ>0，y 1+y 2=8t ，y 1y 2=?8m ，∣AM ∣2=(x 1?m )2+y 12=(t 2+1)y 12

，∣BM ∣2=(x 2?m )2+y 22=(t 2+1)y 22，

1∣AM∣

+1∣BM∣=1(t +1)y 1

2+1

(

t +1)y 2

2=1(t +1)(y 12+y 2

2y 12y 2

2)=

1(t +1)

(

4t 2+m

4m ),

当 m =4，满足 Δ>0 时，1

∣AM∣

2

+1∣BM∣2

为定值，

所以 M (4,0)．

6. （1） 设动点 A 的直角坐标为 (x,y )，则 {x =2?3sinα,

y =3cosα?2,

所以动点 A 的轨迹方程为 (x ?2)2+(y +2)2=9，其轨迹是半径为 3 的圆．

（2） 直线 C 的极坐标方程 ρcos (θ?π

4

)=a 化为直角坐标方程是 √2x +√2y =2a ，

由

∣∣2√2?2√2?2a ∣∣2

=3，得 a =3 或 a =?3．

7. （1） 因为椭圆 C ：

x 2a

2

+y 2b 2

=1(a >b >0) 的离心率为 √6

3

．且过点 (3,?1)，

所以 {

9

a

+1b =1,c 2a 2=

a 2?

b 2a 2

=

(√63)

2

,

解得 a 2

=12，b 2=4， 所以椭圆 C 的方程为

x 212

+

y 24

=1．

（2） 因为直线 l 的方程为 x =?2√2， 设 P(?2√2,y 0)，y 0∈(?

2√33,2√3

3

)， 当 y 0≠0 时，设 M (x 1,y 1)，N (x 2,y 2)，由题意知 x 1≠x 2， 联立 {x 1

212+y 1

24

=1,x 2

212

+

y 224

=1,

所以 x 12?x 2

212

+

y 12?y 2

24

=0， 所以

y 1?y 2x 1?x 2

=13

?

x 1+x 2

y 1+y 2

，

又因为 PM =PN ， 所以 P 为线段 MN 的中点， 所以直线 MN 的斜率为 ?1

3?

?2√2y 0

=

2√2

3y 0

， 又 l?⊥MN ，

所以 l? 的方程为 y ?y 0=?02√2

+2√2)，

即 y =?

02√

2

(x +4√2

3

)， 所以 l? 恒过定点 (?

4√2

3

,0)． 当 y 0=0 时，直线 MN 为 x =?2√2， 此时 l? 为 x 轴，也过点 (?4√2

3

,0)， 综上，l? 恒过定点 (?4√2

3

,0)． 8. （1） 由 {

x =t,

y =k (t ?1),

可得其普通方程为 y =k (x ?1)， 它表示过定点 (1,0)，斜率为 k 的直线．

由 ρ2+10ρcosθ?6ρsinθ+33=0 可得其直角坐标方程为 x 2+y 2+10x ?6y +33=0，

整理得 (x +5)2+(y ?3)2=1，它表示圆心为 (?5,3)，半径为 1 的圆． （2） 因为圆心 (?5,3) 到直线 y =k (x ?1) 的距离 d =√1+k 2

=

√1+k 2

，

故 ∣PQ ∣ 的最小值为 √1+k 2

?1，

故

√1+k 2

?1=2，

得 3k 2

+4k =0， 解得 k =0 或 k =?43

． 9. （1） 根据 c =2?

b 2 及题设知 M (c,b

2

a

)，F 2(?c,0)，由斜率公式并化简整理易得

2b 2=3ac ．

将 b 2=a 2?c 2 代入 2b 2=3ac ，解得 c

a

=1

2

或 c

a

=?2（舍去）．

故 C 的离心率为 12

．

（2） 由题意，得原点 O 为 F 1F 2 的中点，MF 2∥y 轴， 所以直线 MF 1 与 y 轴的交点 D (0,2) 是线段 MF 1 的中点，故 b 2a

=4，即 b 2=

4a.???①

由 ∣MN∣=5∣F 1N ∣ 得 ∣DF 1∣=2∣F 1N ∣． 设 N (x 1,y 1)，由题意知 y 1<0，

则 {2(?c ?x 1)=c,?2y 1=2, 即 {

x 1=?3

2c,

y 1=?1. 代入 C 的方程，得 9c 24a

2

+1b 2

=1.???②

将 ① 及 c =

√a 2

?

b 2 代入 ② 得

9(a 2?4a )4a 2

+

14a

=1．

解得 a =7，b 2=4a =28，故 a =7，b =2√7．

10. （1） 将 y =kx +2 代入 x 2=2py ，得 x 2?2pkx ?4p =0． 其中 Δ>0，

设 A (x 1,y 1)，B (x 2,y 2)，则 x 1+x 2=2pk ，x 1x 2=?4p ． 所以 OA ????? ?OB

????? =x 1x 2+y 1y 2=x 1x 2+x 1

22p

?

x 2

22p

=?4p +4．

由已知，?4p +4=2，解得 p =12

，所以抛物线 E 的方程为 x 2=y ． （2） 由（1）知，x 1+x 2=k ，x 1x 2=?2． k 1=

y 1+2x 1

=

x 1

2+2x 1

=

x 12?x 1x 2

x 1

=x 1?x 2， 同理 k 2=x 2?x 1，k =

y 1?y 2x 1?x 2

=

x 12?x 2

2x 1?x 2=x 1+x 2，所以 k 12+k 22

?2k 2=?8x 1x 2=16.

11. （1） 依题意可设椭圆方程为 x 2a

2

+y 2=1， 则右焦点 F(√a 2?1,0)，

由题设

∣∣√a 2?1+2√2∣

∣√2

=3，

解得 a 2=3， 故所求椭圆的方程为

x 23

+y 2=1．

（2） 设 P 为弦 MN 的中点，由 {y =kx +m,

x 23

+y 2=1,

得 (3k 2+1)x 2+6mkx +3(m 2?1)=0， 由于直线与椭圆有两个交点，

所以 Δ>0，即 m 2<3k 2+1,???① 所以 x P =

x M +x N

2

=?

3mk 3k 2+1， 从而 y P =kx P +m =m

3k +1， 所以 k AP =

y P +1x P

=?

m+3k 2+1

3mk

，

又 ∣AM∣=∣AN∣， 所以 AP ⊥MN ， 则 ?

m+3k 2+13mk

=?1

k ，即 2m =3k 2+1,???②

把 ② 代入 ① 得 2m >m 2 解得 0

>0，

解得 m >1

2．

故所求 m 的取值范围是 (1

2

,2)．

12. 设双曲线方程为 x 2a 2

?

y 2b 2

=1(a >0,b >0)，由椭圆

x 28

+

y 24

=1，求得两焦点为

(?2,0)，(2,0)，

所以对于双曲线 C ：c =2．

又 y =√3x 为双曲线 C 的一条渐近线， 所以 b

a =√3，解得 a =1，

b =√3．

所以双曲线 C 的方程为 x 2

?

y 23

=1．

13. （1） 因为直线 l 与圆 x 2+(y ?1)2=5 相切，所以 √1+a 2

=√5，

因为直线 l 不过第二象限，所以 a =2， 所以直线 l 的方程为 2x ?y ?4=0．

（2） 因为直线 l 1 过点 (3,?1) 且与直线 l 平行， 所以设直线 l 1 的方程为 2x ?y +b =0，

因为直线 l 1 过点 (3,?1)，所以 b =?7，则直线 l 1 的方程为 2x ?y ?7=0， 因为直线 l 2 与 l 1 关于 y =1 对称，所以直线 l 2 的斜率为 ?2，且过点 (4,1)， 所以直线 l 2 的方程为 y ?1=?2(x ?4)，即化简得 2x +y ?9=0．

14. （1） 圆 C 的参数方程 {x =1+cosφ,

y =sinφ（φ 为参数）．

消去参数可得：(x ?1)2+y 2=1．

把 x =ρcosθ，y =ρsinθ 代入化简得：ρ=2cosθ，即为此圆的极坐标方程． （2） 如图所示，

由直线 l 的极坐标方程是 ρ(sinθ+√3cosθ)=3√3，射线 OM ：θ=π

3

．

可得普通方程：直线 l ：y +√3x =3√3，射线 OM ：y =√3x ． 联立 {y +√3x =3√3,y =√3x,

解得 {x =3

2

,y =3√32,

即 Q (32,3√32

)． 联立 {y =√3x,(x ?1)2+y 2=1, 解得 {x =0,y =0 或 {x =1

2,y =√32.

所以 P (12,

√3

2

)．来自QQ 群284110736

所以 ∣PQ ∣=√(1

2?32)2

+

(√3

2

?

3√3

2

)2

=2．

15. 由共同的焦点 F 1(0,?5)，F 2(0,5)，

可设椭圆方程为 y 2a 2

+

x 2a 2?25

=1，

双曲线方程为

y 2b 2

?

x 225?b 2

=1，

点 P (3,4) 在椭圆上，

16a

2

+9a 2?25

=1，解得 a 2=40，

双曲线的过点 P (3,4) 的渐近线为 y =43

x ， 故

b 225?b =

169

，解得 b 2=16．

所以椭圆方程为：y 240

+

x 215

=1；

双曲线方程为：

y 216

?x 29

=1．

16. 设点 P (t,4t 2)，点 P 到直线 y =4x ?5 的距离为 d ，则 d =

∣2∣√17

=

4(t?12

)2

+4

√17

．

当 t =12

时，d 取得最小值，此时 P (12

,1) 为所求的点，最短距离为 4√17

17

． 17. 当 x =2 时 y =2， 所以过定点 A (2,2)， 因为 A 在直线上，

所以 2m +2n =1，且 mn >0， 所以 1

m +1

n =(1

m +1

n )(2m +2n )=2+2+

2m n

+2n m

≥4+2√4=8，

即 1

m

+1n 的最小值为 8．

18. （1） 设 A (x 1,y 1)，B (x 2,y 2)．

{y =x +m,y 2

=8x

?x 2+(2m ?8)x +m 2=0?{Δ=(2m ?8)2?4m 2

>0,x 1+x 2=8?2m,

x 1x 2=m 2. ∣AB ∣=√2∣x 1?x 2∣=√2√(x 1+x 2)2?4x 1x 2=10,

m =

716

，

因为 m <2， 所以 m =

716

．

（2） 因为 OA ⊥OB ， 所以 x 1x 2+y 1y 2=0，

x 1x 2+(x 1+m )(x 2+m )=0，2x 1x 2+m (x 1+x 2)+m 2=0． 2m 2+m (8?2m )+m 2=0，m 2+8m =0，m =0 或 m =?8， 经检验 m =?8．

19. 因为椭圆的对称轴在坐标轴上，两焦点与两短轴的端点恰好是正方形的四个顶点， 所以 b =c ，a =√2b ，又焦点到同侧长轴端点距离为 √2?1， 即 a ?c =√2?1，即 a ?b =√2?1，解得 a =√2，b =c =1， 所以当焦点在 x 轴时，椭圆的方程为：x 22

+y 2=1；

当焦点在 y 轴时，椭圆的方程为

y

22

+x 2=1．

20. 由方程组 {y =kx +1,

x 2?y 2

=1 消去 y ， 得 (1?k 2)x 2?2kx ?2=0，

当 1?k 2=0，即 k =±1 时，有一个交点． 当 1?k 2≠0，即 k ≠±1 时，

Δ=(?2k )2+4×2(1?k 2)=8?4k 2．

由 Δ>0，即 8?4k 2>0，得 ?√2√2，此时没有交点．

综上知，当 k ∈(?√?1)∪(?1,1)∪(1,√ 时，直线 l 与曲线 C 有两个交点； 当 k =±√时，直线 l 与曲线 C 切于一点； 当 k =±1 时，直线 l 与曲线 C 交于一点；

当 k ∈(?∞,?√2)∪(√2,+∞) 时，直线 l 与曲线 C 没有交点．

21. （1） 由已知方程 x 2

m+3?y 2

2m?1=1 表示焦点在 y 轴上的双曲线，则 {m +3<0,

1?2m >0,

得 {m

m <12

,

得 m 0,

?2m >0,

m +2>0,

解得 ?2

因此，p ，q 两命题应一真一假，当 p 为真，q 为假时，{?2

m ≥?3,

解得 ?2

当 p 为假，q 为真时，{m ≤?2或m ≥?1,m

解得 m

综上，?2

a =√2，

所以 a =1，b =√2． 所以双曲线的方程是：x 2

?

y 22

=1．

过点 B (1,1) 的直线方程为 y =k (x ?1)+1 或 x =1．

①当 k 存在时，联立方程可得 (2?k 2)x 2+(2k 2?2k )x ?k 2+2k ?3=0． 当直线与双曲线相交于两个不同点，可得 Δ=(2k 2?2k )2?4(2?k 2)(?k 2+2k ?3)>0，k <3

2，又方程的两个不同的根是两交点 M ，N 的横坐标，

所以 x 1+x 2=

2(k?k 2)2?k ．

又因为 B (1,1) 是线段 MN 的中点， 所以

2(k?k 2)2?k 2

=2，解得 k =2．

所以 k =2，使 2?k 2≠0 但使 Δ<0．

因此当 k =2 时，方程 (2?k 2)x 2+(2k 2?2k )x ?k 2+2k ?3=0 无实数解，故过点 B (1,1) 与双曲线交于两点 M ，N 且 B 为线段 MN 中点的直线不存在． ②当 x =1 时，直线经过点 B 但不满足条件． 综上所述，符合条件的直线 l 不存在．

23. （1） 由于圆 C ：x 2+y 2?6x +4y +4=0 的圆心 C (3,?2)，半径为 3，∣CP∣=√5，而弦心距 d =√5， 所以 d =∣CP∣=√， 所以 P 为 MN 的中点，

所以所求圆的圆心坐标为 (2,0)，半径为 1

2∣MN∣=2，故以 MN 为直径的圆 Q 的方程为

(x ?2)2+y 2=4；

（2） 把直线 ax ?y +1=0 即 y =ax +1 代入圆 C 的方程，消去 y ，整理得 (a 2+1)x 2+6(a ?1)x +9=0．

由于直线 ax ?y +1=0 交圆 C 于 A ，B 两点，故 Δ=36(a ?1)2?36(a 2+1)>0，即 ?2a >0，解得 a <0． 则实数 a 的取值范围是 (?∞,0)．

设符合条件的实数 a 存在，由于 l 2 垂直平分弦 AB ，故圆心 C (3,?2) 必在 l 2 上． 所以 l 2 的斜率 k PC =?2， 所以 k AB =a =1

2，

由于 12

?(?∞,0)，

故不存在实数 a ，使得过点 P (2,0) 的直线 l 2 垂直平分弦 AB ．

24. （1） 直线 l:{x =1+√2

2

t

y =2+√2

2t

(t 为参数)，消去参数 t 可得普通方程 l:x ?y +1=0．

曲线 C:ρ2(1+sin 2θ)=2，可得 ρ2+(ρsinθ)2=2， 可得直角坐标方程：x 2+y 2+y 2=2， 即 C:

x 22

+y 2=1．

（2） 把 l:{

x =1+√22

t y =2

+√

22

t 代入

x 22+y 2=1 中，

整理得 3t 2+10√2t +14=0， 设 A ，B 对应的参数分别为 t 1，t 2， 所以 t 1?t 2=

143

，点 M 在直线上

由 t 的几何意义可知，∣MA ∣∣MB ∣=∣t 1?t 2∣=143

．

25. （1） 由题得：c

a =

√3

2

，4a =8，

所以 a =2，c =√3． 又 b 2=a 2?c 2，

所以 b =1，即椭圆 C 的方程为 x 24

+y 2=1．

（2） 由题意知，∣m∣≥1．

当 m =1 时，切线 l 的方程 x =1，点 A ，B 的坐标分别为 (1,√32)，(1,?√3

2

)，此时 ∣AB∣=√3；

当 m =?1 时，同理可得 ∣AB∣=√3．

当 ∣m∣>1 时，设切线 l 的方程为 y =k (x ?m )(k ≠0)， 由 l 与圆 x 2+y 2=1 相切，得

√k 2+1

=1，即 m 2k 2=k 2+1．得 k 2=

1

m ?1

．

由 {y =k (x ?m ),

x 24

+y 2=1

得 (1+4k 2)x 2?8k 2mx +4k 2m 2?4=0．

设 A ，B 两点的坐标分别为 (x 1,y 1)，(x 2,y 2)，则 Δ=64k 4m 2?4(1+4k 2)(4k 2m 2?4)=48k 2

>0，x 1+x 2=8k 2m 1+4k ，x 1x 2=

4k 2m 2?41+4k ．

所以

∣AB∣=√(x 2?x 1)2+(y 2?y 1)2=√(1+k 2)[64k 4m 2(

1+4k )?

4(4k 2m 2?4)1+4k ]=

4√3∣m∣m 2+3

.

因为 ∣m∣≥1， 所以 ∣AB∣=

4√3∣m∣m +3

=

4√3∣m∣+

3∣m∣

≤2，且当 m =±√3 时，∣AB∣=2，由于当 m =±1 时，

∣AB∣=√3，

所以 ∣AB∣ 的最大值为 2．

26. （1） 当 n ≥2 时，S n+1=qS n +1,???① S n =qS n?1+1,???②

①?② 得 a n+1=q ?a n ，即从第二项开始，数列 {a n } 为等比数列，公比为 q ， 当 n =2 时，S 2=qS 1+1，即 a 1+a 2=qa 1+1，可得 a 2=a 1q ， 所以数列 {a n } 是以 1 为首项，q 为公比的等比数列， 所以 a 2=a 1q =q ，a 3=a 1q 2=q 2， 因为 2a 2，a 3，a 2+2 成等差数列，

所以 2a 3=2a 2+a 2+2，即 2q 2=2q +q +2，解得 q =2， 所以数列 {a n } 是以 1 为首项，2 为公比的等比数列， 所以 a n =2n?1；

（2） 由（1）可得数列 {a n } 是以 1 为首项，q 为公比的等比数列， 所以 a n =q n?1>0，

根据题意，e n 2

=1+a n 2，

因为 e 2=3，

所以 1+a 22=9，解得 a 2=2√2，

所以 q =

a 2a 1

=2√2，

所以 a n =(2√2)

n?1

，

所以 e n 2=1+a n 2

=1+8n?1，

所以 e 1

2+

e 2

2

+?+

e n

2=n +(1+8+82

+?+8n?1)

=n +

8n ?17

．

27. （1） 因为曲线 C 的极坐标方程为 ρ=2cosθ?4sinθ， 所以 ρ2=2ρcosθ?4ρsinθ，

所以曲线 C 的直角坐标方程为 x 2+y 2=2x ?4y ，即 (x ?1)2+(y +2)2=5， 因为直线 l 过点 (1,?1)，且该点到圆心的距离为 √(1?1)2+(?1+2)2<√5， 所以直线 l 与曲线 C 相交．

（2） 当直线 l 的斜率不存在时，直线 l 过圆心，∣AB ∣=2√≠3√2， 因此直线 l 必有斜率，设其方程为 y +1=k (x ?1)，即 kx ?y ?k ?1=0， 圆心到直线 l 的距离 d =√k 2+1

=√(√5)2

?

(3√2

2)2，

解得 k =±1，

所以直线 l 的斜率为 ±1．

28. （1） 直线 l:y =bx +2，坐标原点到直线 l 的距离为 √2， 所以

√b 2+1

=√2，

所以 b =1， 因为椭圆的离心率 e =√63

， 所以

a 2?1a 2

=

(√6

3)2，

所以 a 2=3， 所以所求椭圆的方程是

x 23

+y 2=1．

（2） 直线 y =kx +2 代入椭圆方程，消去 y 可得：(1+3k 2)x 2+12kx +9=0， 所以 Δ=36k 2?36>0， 所以 k >1 或 k

设 C (x 1,y 1)，D (x 2,y 2)，则有 x 1+x 2=?12k 1+3k

，x 1x 2=91+3k ，

因为 EC ????? =(x 1+1,y 1)，ED ????? =(x 2+1,y 2)，且以 CD 为直径的圆过点 E ，

所以 EC ⊥ED ，

所以 (x 1+1)(x 2+1)+y 1y 2=0，

所以 (1+k 2)x 1x 2+(2k +1)(x 1+x 2)+5=0， 所以 (1+k 2)×

91+3k

2

+(2k +1)×(?12k 1+3k 2

)+5=0，

解得 k =76

>1，

所以当 k =7

6 时，以 CD 为直径的圆过定点 E ．

29. （1） 将曲线 C 的极坐标方程 ρ2?2ρcosθ?3=0 化为直角坐标方程为 x 2+y 2?2x ?3=0， 直线 l 的参数方程为 {

x =?3+tcosα,

y =tsinα

（t 为参数），

将参数方程代入 x 2+y 2?2x ?3=0，整理得 t 2?8tcosα+12=0， 因为直线 l 与曲线 C 有公共点，所以 Δ=64cos 2α?48≥0， 所以 cosα≥

√3

2

或 cosα≤?

√32

， 因为 α∈[0,π)，

所以 α 的取值范围是 [0,π6

]∪[

5π6,π)．

（2） 曲线 C 的方程 x 2+y 2

?2x ?3=0 可化为 (x ?1)2+y 2=4，其参数方程为 {

x =1+2cosθ,

y =2sinθ

（θ 为参数）， 因为 M (x,y ) 为曲线上任意一点，

所以 x +y =1+2cosθ+2sinθ=1+2√2sin (θ+π

4)，

所以 x +y 的取值范围是 [1?2√2,1+2√2]． 30. b 2

a

证明：设 A (x 1,y 1)，B (x 2,y 2)，M (x 0,y 0)， 则有 {x 0=x 1+x 2

2

,

y 0=y 1+y 22.

x 12a ?y 1

2b =1，

x 2

2a 2

?

y 2

2b 2

=1，

两式相减得 x 12?x 2

2a =

y 12?y 2

2b ，

即

(x 1?x 2)(x 1+x 2)

a =

(y 1?y 2)(y 1+y 2)

b ，(y 1?y 2)(y 1+y 2)(

x 1?x 2)(x 1+x 2)

=

b 2a 即 k OM ?k AB =

b 2a ．

31. （1） 设椭圆的方程为

x 2a +y 2b =1(a >b >0)．

因为椭圆的焦距等于 4，且经过点 P(3,?2√6)， {2c =2√a 2?b 2=4,

32

a +(?2√6)2

b =1,

解得 {a 2=36,b 2=32.

所以所求的椭圆方程为

x 236

+

y 232

=1．

（2） ①当椭圆的焦点在 x 轴上时， 因为 a =3，e =

c a

=

√63， 所以 c =√6，可得 b 2

=a 2

?c 2

=3．此时椭圆的标准方程为 x 29

+

y 23

=1；

②当椭圆的焦点在 y 轴上时， 因为 b =3，e =c a

=

√63

， 所以

√a 2?b 2

a

=

√6

3

，解得 a 2=27．此时椭圆的标准方程为

y 227

+

x 29

=1．

综上所述，所求椭圆的标准方程为

x 29

+

y 23

=1 或

y 227

+

x 29

=1．

32. 设 M (x,y )，P (x 1,y 1)，Q (x 2,y 2)， 易求 y 2=4x 的焦点 F 的坐标为 (1,0)，

因为 M 是 FQ 的中点，所以 {x =1+x

2

2

,y =

y 22

?{x 2=2x ?1,y 2=2y, 又 Q 是 OP 的中点，所以 {x 2=x

12,y 2=

y 12

?{x 1=2x 2=4x ?2,y 1=2y 2=4y,

因为 P 在抛物线 y 2=4x 上，所以 (4y )2=4(4x ?2)， 所以 M 点的轨迹方程为 y 2=x ?1

2．

33. （1） 设 F (c,0)，由条件知 2c

=

2√33

，得 c =√3．

又 c

a

=

√3

2

， 所以 a =2，b 2

=a 2

?c 2

=1，故 E 的方程为

x 24

+y 2=1．

（2） 依题意当 l ⊥x 轴不合题意，故设直线 l ：y =kx ?2，设 P (x 1,y 1)，Q (x 2,y 2)，将 y =kx ?2 代入

x 24

+y 2=1，得 (1+4k 2)x 2?16kx +12=0，当 Δ=16(4k 2?

3)>0，即 k 2

>34

时，x 1,2=8k±2√4k 2?3

1+4k ．

从而 ∣PQ ∣=

2

+1∣x 1?x 2∣=

4√k 2+1?√4k 2?3

1+4k 2

，又点 O 到直线 PQ 的距离 d =

√k 2+1

，

所以 △OPQ 的面积 S △OPQ =12

d ∣PQ ∣=

4√4k 2?31+4k 2

，设 √4k 2?3=t ，则 t >0，S △OPQ =

4t t 2+4

=

4t+

4t

≤1，当且仅当 t =2，k =±√7

2

等号成立，且满足 Δ>0，

所以当 △OPQ 的面积最大时，l 的方程为：y =√72

x ?2 或 y =?√72

x ?2．

34. （1） 因为 a =5，b =3， 所以 c =4，

设 ∣PF 1∣=t 1，∣PF 2∣=t 2， 则 t 1+t 2=10，???①

t 12+t 22?2t 1t 2?cos60°=82，???②

由 ①2?② 得 t 1t 2=12，

所以 S △F 1PF 2=1

2

t 1t 2?sin60°=1

2

×12×

√3

2

=3√3．

（2） 设 P (x,y )，由 S △F 1PF 2=12

?2c ?∣y ∣=4?∣y ∣ 得 4∣y ∣=3√3， 所以 ∣y ∣=3√34

?y =±

3√34

,

将 y =±3√3

4

代入椭圆方程解得 x =±

5√13

4

， 所以 P (

5√134,3√34) 或 P (5√134,?3√34) 或 P (?5√134,3√34) 或 P (?5√134,?3√3

4

)． 35. （1） 双曲线 C:

x 2a

2

?y 2b 2

=1(a >0,b >0) 的渐近线方程为：y =±b

a

x ，

则由题意得，b a

=√3，a =1，解得 b =√3， 则双曲线的方程为：x 2

?

y 23

=1；

（2） 联立直线方程和双曲线方程，得到，

{y =x +m,x 2?y 23

=1,

消去 y ，得 2x 2?2mx ?m 2?3=0， 设 A (x 1,y 1)，B (x 2,y 2)，

则判别式 Δ=4m 2+8(m 2+3)>0，x 1+x 2=m ， 中点 M 的 x 0=m

2

，y 0=x 0+m =3

2

m ，

则有

y 0x 0

=3．来自QQ 群284110736

36. （1）

如图所示，不妨设 M 在双曲线的右支上，M 点到 x 轴的距离为 ?，

MF 1???????? ?MF 2???????? =0，则 MF 1⊥MF 2， 设 ∣MF 1∣=m ，∣MF 2∣=n ，

由双曲线定义知，m ?n =2a =8,???① 又 m 2+n 2=(2c )2=80,???② 由 ①② 得 m ?n =8， ∴1

2mn =1

2∣F 1F 2∣??， ∴?=

2√5

5．来自QQ 群284110736

（2） 设所求双曲线 C 的方程为 x 216?λ

?

y 24+λ

=1(?4<λ<16)，

由于双曲线 C 过点 (3√2,2)， 所以

1816?λ

?44+λ

=1，解得 λ=4 或 λ=?14（舍去）．

∴ 所求双曲线 C 的方程为

x 212

?

y 28

=1．

37. （1） ∵ 点 P 在椭圆 C 上， ∴2a =∣PF 1∣+∣PF 2∣=6，a =3．

在 Rt △PF 1F 2 中，2c =∣F 1F 2∣=√∣PF 2∣2

+∣PF 1∣2

=√(143)2

+(43)2

=2√53

3

；

故椭圆的半焦距 c =√53

3

，从而 b 2=a 2?c 2=

289

，

∴ 椭圆 C 的方程为

x 29

+

y 2

289

=1．

（2） 已知圆的方程为 (x +2)2+(y ?1)2=5，∴ 圆心 M 的坐标为 (?2,1)． 设 A ，B 的坐标分别为 (x 1,y 1)，(x 2,y 2)． 由题意 x 1≠x 2 且 x 1

29

+y 1228

9

=1,???①

x 229

+

y 22

289

=1.???②

由 ②?① 得

(x 1?x 2)(x 1+x 2)

9

+

(y 1?y 2)(y 1+y 2)

289

=0.???③

又 A ，B 关于点 M 对称，

∴x 1+x 2=?4，y 1+y 2=2，代入 ③ 得 y 1?y 2x 1?x 2

=

5681

，即直线 L 的斜率为 56

81

，

∴ 直线 L 的方程为 y ?1=5681

(x +2)，即 56x ?81y +193=0．

故所求的直线方程为 56x ?81y +193=0．来自QQ 群284110736

38. （1） 设圆心为 M (m,0)(m ∈Z )．

由于圆与直线 4x +3y ?29=0 相切，且半径为 5， 所以

∣4m?29∣

5

=5，

即 ∣4m ?29∣=25． 因为 m 为整数，故 m =1．

故所求圆的方程为 (x ?1)2+y 2=25．

（2） 把直线 ax ?y +5=0，即 y =ax +5，代入圆的方程，消去 y ，

整理，得 (a 2+1)x 2+2(5a ?1)x +1=0，由于直线 ax ?y +5=0 交圆于 A ，B 两点， 故 Δ=4(5a ?1)2?4(a 2+1)>0， 即 12a 2?5a >0， 由于 a >0，解得 a >

512

，

所以实数 a 的取值范围是 (512

,+∞)．

（3） 设符合条件的实数 a 存在，则直线 l 的斜率为 ?1

a ，l 的方程为 y =

?1

a

(x +2)+4，

即 x +ay +2?4a =0，

由于 l 垂直平分弦 AB ，故圆心 M (1,0) 必在 l 上， 所以 1+0+2?4a =0，解得 a =3

4． 由于 3

4

∈(5

12

,+∞)，故存在实数 a =34

．

使得过点 P (?2,4) 的直线 l 垂直平分弦 AB ．来自QQ 群284110736

39. （1） 当 α=π

3 时，C 1 的普通方程为

y =√3(x ?1),

C 2 的普通方程为

x 2+y 2=1.

联立方程组

{x 2+y 2=1,y =√3(x ?1),

解得 C 1 与 C 2 的交点为

(1,0) 和 (1,?√3

).

（2） C 1 的普通方程为

xsinα?ycosα?sinα=0,

A 点坐标为 (sin 2α,?cosαsinα)，故当 α 变化时，P 点轨迹的参数方程为

{x =12sin 2α,

y =?1

sinαcosα,

(α为参数). P 点轨迹的普通方程为

(x ?1)2+y 2

=1.

故 P 点轨迹是圆心为 (1

4

,0)，半径为 1

4

的圆．

40. 设圆心为 (3t,t )，半径为 r =∣3t∣， 则圆心到直线 y =x 的距离 d =√2=∣∣√2t ∣∣，

由勾股定理及垂径定理得：(2√7

2

)2

=r 2?d 2，即 9t 2?2t 2=7，

解得：t =±1，

所以圆心坐标为 (3,1)，半径为 3；或圆心坐标为 (?3,?1)，半径为 3， 则圆 C 的方程为 (x ?3)2+(y ?1)2=9 或 (x +3)2+(y +1)2=9． 41. （1） 由 {y =x +b,

x 2=4y

得 x 2?4x ?4b =0,???①

因为直线 l 与抛物线 C 相切，所以 Δ=(?4)2?4×(?4b )=0， 解得 b =?1．

（2） 由（1）知 b =?1，故方程 ① 即为 x 2?4x +4=0，解得 x =2，代入 x 2=4y ，得 y =1． 故点 A (2,1)，

因为圆 A 与抛物线 C 的准线相切，

所以圆 A 的半径 r 等于圆心 A 到抛物线的准线 y =?1 的距离，即 r =∣1?(?1)∣=2， 所以圆 A 的方程为 (x ?2)2+(y ?1)2=4．

42. （1） 由 {x =ρcosθ,

y =ρsinθ, 可得，(ρcosθ+6)2+ρ2sin 2θ=25，

整理得 ρ2+12ρcosθ+11=0 即为所求．

（2） 令直线 l 的斜率为 k ，可得直线的直角坐标方程为 kx ?y =0． 圆的半径为 r =5，圆心到直线的距离 d =√k 2+1

，

又因为 ∣AB∣=√10， 所以可得

∣AB∣24

+d 2=r 2

，即 5

2

+

36k 2k 2+1

=25，解得 k =±

√15

3

． 43. （1） 椭圆

x 29

+

y 225

=1 的焦点为 (0,±4)，离心率为 e =45

．

因为双曲线与椭圆的离心率之和为 245

， 所以双曲线的离心率为 2， 所以 c

a =2．

因为双曲线与椭圆 x 29

+

y 225

=1 有公共焦点 F 1，F 2，

所以 c =4，

所以 a =2，b =√12， 所以双曲线的方程是

y 24

?

x 212

=1．

（2） 由题意，∣PF 1∣+∣PF 2∣=10，∣PF 1∣?∣PF 2∣=4， 所以 ∣PF 1∣=7，∣PF 2∣=3， 因为 ∣F 1F 2∣=8，所以 cos∠F 1PF 2=72+32?82

2?7?3

=?1

7

．

44. 由题设知，抛物线以双曲线的右焦点为焦点，准线过双曲线的左焦点，

所以 p =2c ．

设抛物线方程为 y 2=4c ?x ，因为抛物线过点 (3

2,√6)，所以 6=4c ?3

2，

所以 c =1，故抛物线方程为 y 2=4x ． 又双曲线

x 2a

2

?y 2b 2

=1 过点 (32

,√6)，所以

9

4a

2

?6b 2

=1．

又 a 2+b 2=c 2=1，所以

94a

?61?a =1．所以 a 2=14

或 a 2=9（舍）．

所以 b 2

=34

，故双曲线方程为 4x 2

?

4y 2

3

=1．

45. （1） 因为 P 到点 F (1,0) 的距离比它到直线 l ：x =?2 的距离少 1， 所以 P 到点 F (1,0) 的距离与它到直线 l ：x =?1 的距离相等，

所以由抛物线定义可知点 P 的轨迹是以 F 为焦点、以直线 l ：x =?1 为准线的抛物线， 设抛物线方程为 y 2=2px (p >0) ，所以 P =2，所以曲线 C 的方程为 y 2=4x ．

（2） 直线 AB 的斜率为定值 ?1，理由如下：

设 A (x 1,y 1)，B (x 2,y 2)，则 y 12=4x 1，y 22

=4x 2，

因为直线 AQ ，BQ 倾斜角互补， 所以 k AQ +k BQ =0，即

y 1?2x 1?1

+

y 2?2x 2?1

=0， 4

y 1+2

+

4y 2+2

=0，

所以 y 1+y 2=?4，所以 k AB =

y 1?y 2x 1?x 2

=

4y 1+y 2

=?1．

46. （1） 圆 C 的参数方程为 {x =2cosφ,y =2sinφ（φ 为参数），消去参数可得：圆 C 的普通方

程为 x 2+y 2=4．

由题意可得：直线 l 的参数方程为 {

x =1

2t,

y =2+

√32

t （t 为参数）．

（2） 依题意，直线 l 的直角坐标方程为 √3x ?y +2=0， 圆心 C 到直线 l 的距离 d =2

2=1，所以 ∣AB ∣=2√r 2?d 2=2√3．

47. （1） 因为椭圆一个顶点为 A (2,0)，离心率为 √22

，

所以 {a =2,c

a =

√22,a 2=b 2

+c 2,

所以 b =√2，所以椭圆 C 的方程为 x 24

+

y 22

=1．

（2） 直线 y =k (x ?1) 与椭圆 C 联立 {y =k (x ?1),

x 24

+y 22

=1,

消元可得 (1+2k 2)x 2?

4k 2x +2k 2?4=0，

设 M (x 1,y 1)，N (x 2,y 2)，则 x 1+x 2=4k 21+2k 2

，x 1x 2=

2k 2?41+2k 2

， 所以 ∣MN∣=2

×√(x 1+x 2

)2

?4x 1x 2=

2√(1+k 2)(4+6k 2)

1+2k 2，

因为 A (2,0) 到直线 y =k (x ?1) 的距离为 d =√1+k 2

，

所以 △AMN 的面积 S =1

2∣MN∣d =

∣k∣√4+6k 21+2k 2

，

因为 △

AMN 的面积为 √10

3，所以

∣k∣√4+6k 21+2k =

√10

3

，所以 k =±1．

48. （1） 由题意 c a

=

√22，b 2a

=√2，a 2=b 2+c 2，

解得 a =2√2，b =c =2，则椭圆的方程为：

x 28

+

y 24

=1．

（2） 要使 △AOB 面积最大，则 B 到 OA 所在直线距离最远． 设与 OA 平行的直线方程为 y =

√2

2

x +b ．

由 {y =√2

2

x +b,

x 28

+y 2

4

=1,

消去 y 并化简得 x 2+√2bx +b 2?4=0． 由 Δ=0 得 b =±2√2，不妨取 b >0，

所以与直线 OA 平行，且与椭圆相切的直线方程为：y =√22

x +2√2，

则 B 到直线 OA 的距离等于 O 到直线：y =√22

x +2√2 的距离 d ，d =

4√3

3

，又 ∣OA ∣=

√6，

△AOB 面积的最大值 S =1

2×√6×

4√33

=2√2．

49. （1） 因为点 (1,√2

2) 在椭圆 C:x 2a

+y 2b =1(a >b >0) 上，椭圆离心率为 √2

2

，

所以 { 1a 2+1

2b 2=1,c a =√22

,a 2=b 2+c 2, 解得 a =√2，b =1，

所以椭圆 C 的方程为

x 22

+y 2=1．来自QQ 群284110736

（2） 假设存在点 M (x 0,0)，使得 MA ?????? ?MB ?????? 为定值， 设 A (x 1,y 1)，B (x 2,y 2)，设直线 l 的方程为 x =my +1，

联立 {x 2

2+y 2=1,

x =my +1

得 (m 2+2)y 2+2my ?1=0，y 1+y 2=?2m m +2，y 1y 2=?1m +2

，

MA ?????? =(x 1?x 0,y 1)=(my 1+1?x 0,y 1)，MB ?????? =(x 2?x 0,y 2)=(my 2+1?x 0,y 2)， 所以

MA ?????? ?MB ?????? =(my 1+1?x 0)(my 2+1?x 0)+y 1y 2

=(m 2+1)y 1y 2+m (1?x 0)(y 1+y 2)+(1?x 0)2=?(m 2+1)m 2+2

+

?2m 2(1?x 0)

m 2+2

+(1?x 0)2

=

m 2(x 02?2)+2(1?x 0

)2?1m +2

,

要使上式为定值，即与 m 无关，应有

x 0

2?21

=

2(1?x 0)2?1

2，解得 x 0=5

4

．

所以存在点 M (54

,0)，使得 MA ?????? ?MB ?????? 为定值 ?7

16

．