第二章各向异性材料的应力应变关系复习过程
各向异性材料应力和变形特性分析
各向异性材料应力和变形特性分析各向异性材料是指具有不同的物理性质和力学性质的材料。
与各向同性材料相比，各向异性材料的应力和变形特性更加复杂和多样化。
了解和分析各向异性材料的应力和变形特性对于材料的设计和工程应用至关重要。
本文将介绍各向异性材料的应力和变形特性及其相关分析方法。
首先，我们需要了解各向异性材料的基本概念。
各向异性是指材料在不同方向上具有不同的物理性质和力学性质。
这些不同的性质可以通过晶体结构和分子排列方式来解释。
晶体结构的对称性和分子排列的有序性决定了材料在不同方向上的物理性质和力学性质的异同。
各向异性材料的一个常见例子是单晶材料，其晶体结构呈现出明显的对称性差异。
了解各向异性材料的应力和变形特性是从事材料设计和工程应用的重要基础。
在实际应用中，我们经常面对各向异性材料的力学性能问题，如应力分布、应变变化和材料的耐久性。
因此，理解和预测各向异性材料在受力过程中的行为对于材料工程师和设计师至关重要。
在分析各向异性材料的应力和变形特性时，我们通常使用弹性力学理论。
弹性力学理论可以描述材料在受力过程中的应力分布和变形特性。
应力是指材料中的力在单位面积上的作用效果。
变形是指材料在受力作用下产生的形状或体积的变化。
弹性力学理论可以通过建立数学模型来描述各向异性材料的应力和变形行为。
在弹性力学理论中，我们经常使用应力张量和应变张量来描述各向异性材料的应力和变形特性。
应力张量是描述材料中应力分布的矩阵。
它可以用来计算各向异性材料在不同方向上的应力值。
应变张量是描述材料中变形情况的矩阵。
它可以用来计算各向异性材料在不同方向上的应变值。
为了更好地分析各向异性材料的应力和变形特性，我们可以使用各向异性材料力学模型。
这些模型基于各向异性材料的晶体结构和分子排列方式，可以用来预测材料在受力过程中的行为。
常见的各向异性材料力学模型包括弹性模型、塑性模型和粘弹性模型等。
弹性模型是最常用的各向异性材料力学模型之一。
第二章-材料的变形——弹性变形备课讲稿
伪弹性是相变造成的，不遵从胡克定律。
伪弹性变形的量级大约在60％左右，大大超过正常弹性变形．
图1－15为伪弹性材料的应力一应变线示意图。
母相→M
CD段：M弹性变形 GH段：母相的恢复弹性变形
M→母相
母相→M
CD段：M弹性变形 GH段：母相的恢复弹性变形
M→母相
AB段为常规弹性变形阶段，为应力诱发马氏体相变开始的应力， C点处马氏体相变结束， CD段为马氏体的弹性应变阶段． 在CD段卸载，马氏体作弹性恢复，表示开始逆向相变的应力 F点开始马氏体逆转变，马氏体相变回原来的组织 到G点完全恢复初始组织 GH为初始组织的弹性恢复阶段，恢复到初始组织状态，没有任何
在正常状态下，晶格中的离 子能保持在其平衡位置仅作 微小的热振动，这是受离子 之间的相互作用力控制的结 果．一般认为，这种作用力 分为引力和斥力，引力是由 正离子和自由电子间的库仑 力所产生，而斥力是由离子 之间因电子壳层产生应变所 致．引力和斥力都是离子间 距的函数。
引力
斥力
离子互相作用时的受力模型
注：对于橡胶态的高分子聚合物，则在弹性变形范围内，应力和应变之间不呈线性 关系，且变形量较大．
一、弹性变形及其实质
胡克定律
正应力下：σ=E·ε 切应力下：τ=G·γ
σ、τ分别为正应力和切应力 ε、γ分别为正应变和切应变 E为弹性模量（正弹性模量、杨氏模量） G为切变模量。
一、弹性变形及其实质
弹性模量与切变模量之间关系为：
晶体结构：对各向异性晶体，沿原子密排面E较大。 化学成分与微观组织：对金属材料，变化很小。 温度：金属的弹性模量随温度升高的下降速度比陶
瓷材料高出大约1倍。高温下，希望用陶瓷材料替 代金属。
弹性模量的测量
2 第二章 应力和应变
第二章应力和应变地震波传播的任何定量的描述，都要求其能表述固体介质的内力和变形的特征。
现在我们对后面几章所需要的应力、应变理论的有关部分作简要的复习。
虽然我们把这章作为独立的分析，但不对许多方程进行推导，读者想进一步了解其细节，可查阅连续介质力学的教科书。
三维介质的变形称为应变，介质不同部分之间的内力称为应力。
应力和应变不是独立存在的，它们通过描述弹性固体性质的本构关系相联系。
2.1 应力的表述——应力张量2.1.1应力表示考虑一个在静力平衡状态下，均匀弹性介质里一个任意取向的无限小平面。
平面的取向可以用这个平面的单位法向矢量nˆ来规定。
在nˆ方向的一侧施加在此面单位面积上的力叫做牵引力，用矢量),,()ˆ(zyxtttnt=表示。
在nˆ相反方向的另一侧施加在此面上的力与其大小相等，方向相反，即)ˆ()ˆ(ntnt-=-。
t在垂直于平面方向的分量叫做法应力，平行于平面方向的分量叫做剪应力。
在流体的情况下，没有剪应力，nptˆ-=，这里P 是压强。
上面的表示这是一个平面上的应力状况，为表示固体内部任意平面上的应力状态，应力张量τ在笛卡尔坐标系（图 2.1）里可以用作用于xyxzyz,,平面的牵引力来定义(：ˆˆˆ()()()ˆˆˆ()()()ˆˆˆ()()()xx xy xzx x xy y y yx yy yzz z z zx zy zzt x t y t zt x t y t zt x t y t zττττττττττ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦（2.1）在右式的表示中，第一个下角标表示面的法线方向，第二个下角标表示该面上应力在该坐标轴上的投影。
图2.1 在笛卡尔坐标系里描述作用在无限小立方体面上的力的牵引力矢量)ˆ(),ˆ(),ˆ(z t y t xt 。
应力分量的符号规定如下：对于正应力，我们规定拉应力为正，压应力为负。
对于剪应力，如果截面的外法线方向与坐标轴一致，则沿着坐标轴的正方向为正，反之为负；如果截面方向与外法线方向相反，则沿着坐标轴反方向为正。
第2章 各向异性材料弹性力学基础_2017_19990
The basic questions of lamina macromechanics are: (1) what are the characteristics of a lamina? and (2) how does a lamina respond to applied stresses as in Figure 2-1?
• 平衡方程 σ ij , j + fi = 0 i, j = 1,2,3
展开一个方程:
∂σ x ∂x
+
∂τ xy ∂y
+
∂τ xz ∂z
+
f
= 0x
• 运动方程:
σ ij , j +
fi = ρ
∂ 2u ∂t 2
惯性力
指标重复服从加法约定
平衡方程
⎧ ⎪ ⎪
∂σ x ∂x
+
∂τ xy ∂y
+
∂τ xz ∂z
线性弹性力学中的六个应变分量εij之 间必须满足的微分方程。 六个应变分 量εij是由三个位移分量导出的，它们 彼此之间存在一定的内在联系，这些 联系就是应变协调方程。
• （i, j 交换）共有六个方程，六个应变分量应该 满足的一个关系，即:
ε ε ε ε + = + ij,kl
kl,ij
ik, jl
几何关系方程
εx
=
∂u ∂x
,
εy
=
∂v ∂y
,
εz
=
∂w ∂z ,
γ yz
=
∂w ∂y
+
∂v ∂z
;
γ zx
=
第二章各向异性弹性力学
以上的力学,几何,物理,以及边界条件诸方 面构成各向异性弹性力学的基本方程,与 各向同性弹性力学的区别在于物理方程. 其它均相同
弹性介质的本构关系 均质弹性体的弹性性质 坐标转换(应力应变及弹性系数转轴公式 坐标转换 应力应变及弹性系数转轴公式) 应力应变及弹性系数转轴公式 弹性对称性——本构关系的简化 本构关系的简化 弹性对称性 正交异性材料弹性常数的物理意义
各向异性弹性力学问题需满足的 基本方程
与各向同性弹性力学一样, 与各向同性弹性力学一样,各向异性弹性 力学有15 15个未知量 力学有15个未知量
3个位移分量,u,v,w
6个应变分量,ε x ,ε y , ε z ,γ yz ,γ xz ,γ yx
6个应力分量,σ x ,σ y , σ z ,τ yz ,τ xz ,τ yx
L1122 L2222 L3322 L2322 L3222 L3122 L1322 L1222 L2122
L1133 L2233 L3333 L2333 L3233 L3133 L1333 L1233 L2133
L1123 L2223 L3323 L2323 L3223 L3123ห้องสมุดไป่ตู้L1323 L1223 L2123
15个场方程 15个场方程 静力平衡方程（ ）＋几何关系 几何关系（ ）＋本构方程 本构方程（ 静力平衡方程（3）＋几何关系（6）＋本构方程（6） 可以求解了吗？ 可以求解了吗？
定解还需边界条件！ 定解还需边界条件！
给定力的边界条件(3) 给定力的边界条件(3)
σ x l + τ xy m + τ xz n = X ,已知 τ yx l + σ y m + τ yz n = Y ,已知 τ l + τ m + σ n = Z ,已知 zy z zx
应力应变关系
我所认识的应力应变关系一 在前面两章的分别学习了关于应力与应变的学习，第三章的本构关系讲述了应力与应变的关系从而构成了弹塑性力学的本构关系。
在单向应力状态下，理想的弹塑性材料的应力应变关系及其简单满足胡克定律即εσX XE =在三维应力状态下需要9个分量，即应力应变需要9个分量，于是可以把单向应力应变关系推广到三维应力状态，及推广到广义的胡克定律本式应该是91个应变分量 单由于切应力互等定理，此时后面的三个应力与式中的切应力想等即现在剩余36个应变分量。
(1)具有一个弹性对称面的线弹性体的应力应变公式如下(2)正交各向异性弹性体的弹塑性体公式如下(3)各向同性弹性体的本构方程各向同性弹性体在弹性状态下，主应力方向与主应变方向重合容易证明。
在主应变空间里，由于应变主轴与应力主轴重合，各向同性弹性体体内任意一点的应力和应变之间满足：111213x x y zC C C σεεε=++ 212223y x y z C C C σεεε=++313233z x y zC C C σεεε=++ （2-3）x ε对x σ的影响与y ε对y σ以及z ε对z σ的影响是相同的，即有112233==C C C ；y ε和z ε对x σ的影响相同，即1213=C C ，同理有2123=C C 和3132=C C 等 ，则可统一写为：112233==C C C a =122113312332=====C C C C C C b = （2-4）所以在主应变空间里，各向同性弹性体独立的弹性常数只有2个。
在任意的坐标系中，同样可以证明弹性体独立的弹性参数只有2个。
广义胡可定律如下式1[()]1[()]1[()]x x y z y y x z z z x y E E E εσνσσεσνσσεσνσσ⎧=-+⎪⎪⎪=-+⎨⎪⎪=-+⎪⎩ 222xy xy yz yz zx zx G G G τγτγτγ⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=⎪⎩v 泊松比 2(1)EG ν=+剪切模量 E ：弹性模量/杨氏模量 虎克定律E G σετγ==对于应变能函数理解有点浅在此就不多做介绍了。
第二章各向异性弹性力学基础
单层板在非材料主向上的应力-应变关系
我们也可以用应力来表示应变
特殊的正交各向异性单层板本构
cos 2 2 sin T sin cos sin 2 cos 2 sin cos 2sin cos 2sin cos cos 2 sin 2
不一致时 x
T
1 T
R T R
1
S ?
Q T Q T 转换折减刚度矩阵
1
1 T
单层板在非材料主向上的 应力-应变关系
广义的正交各向异性单层板本构
x Q11 x Q y Q12 y Q xy 16 xy
S12 S 22 S 26
S16 x S 26 y S66 xy
其中的柔度矩阵的元素，可定义为：
S11 1 Ex
S66
拉压 剪切
1 Gxy
S12 S 22
xy
Ex
yx
Ey
, xy
E x S12
2 2 2 1 1 2 2 12 (sin 4 cos 4 ) S 66 2 sin cos E1 G12 G1 2 E1 E 2 2 2 12 2 2 1 1 3 3 12 S 16 sin cos sin cos E1 G12 E1 G12 E2 E1 2 2 12 2 1 2 1 3 3 12 S 26 sin cos sin cos E1 G12 E1 G12 E2 E1
2-第二章_各向异性材料的应力-应变关系【2024版】
S1132 S2232 S3332 S2332 S3132 S1232 S3232 S1332 S2132
S1113 S2213 S3313 S2313 S3113 S1213 S3213 S1313 S2113
S1121
S
2221
S3321 S2321
S3121
S1221
S3221
S1321
应力，即 3 0 ，其他应力分量均为零，得到
1 S11 S12 S13 0
2
S12
S22
S23
0
0 S16 0
0
S26
0
3 3
2
233
S031
S32 0
S33 0
0 S44
0 S45
S36 0
03
(2.20)
1
31
0
0
0
S45 S55
0 0
12 S16 S26 S36 0 0 S66 0
31
0
0
0
C45 C55
0
31
12 C16 C26 C36 0 0 C66 12
(2.17) (2.18)
显然，单对称材料的式(2.18)和一般各向异性材料的式(2.7)相比，独立的 弹性常数由21个减少到13个。 与式(2.18)相对应，其应变-应力的关系为:
1 S11 S12 S13 0
31
C51
C52
C53
C54
C55
C56
3'1
12 C61 C62 C63 C64 C65 C66 12
(2.7)
(2.12)
这样由式(2.7)可得 1 C111 C12 2 C133 C14 23 C15 31 C1612 (2.13)
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第二章各向异性材料的应力应变 关系
２.１三维各向异性材料的应力-应 变关系
一：广义胡克定律
在弹性变形范围内，应力与应变成正比例关系，
其比例系数称为弹性量。（拉压模量、剪切模
量等）
ij C ijkl kl
应力与应变的 关系
S ij
ijkl kl (i.j.k.l=1.2.3)
应变与应力的 关系
单对称材料的应力
则单对称材料的应力应变关系就可以表示为：
则其应变-应力关系可以表示为：
三：正交各向异性材料的应力-应 变关系
具有三个相互正交的弹性对称面的材料称为正交 各向异性材料。按单对称材料分析方法可得：
则应力-应变关系为：
应变-应力关系为：
独立弹性常数只有９个， 正交各向异性材料三个 相互垂直的弹性对称面
则用工程弹性常数表达的正交各向异性材料的应 变-应力关系为：
由刚度系数矩阵与柔度系数矩阵的可逆性，可得：
式中：
➢ 工程弹性常数的互等关系 由于柔度矩阵的对称性，可得工程弹性常数的
互等关系为：
9个工程弹性常数，3个拉压 弹性模量，3个剪切弹性模量， 3个主泊松比
则刚度矩阵和柔度矩阵分别为：
其应力-应变关系：
应变-应力关系：
只有２个独 立弹性常数
２.２正交各向异性材料的工程弹 性常数
用工程弹性常数（拉压模量、剪切模量、泊松比） 来表示各向异性材料应力-应变关系。
➢ 柔度系数、刚度系数与工程弹性常数关系 由三个单向拉伸和三个纯剪切示意图来推导
沿 １ 轴向单向拉伸时，应力σ ≠ ０ ，其他应力 均为零，可得： 根据胡克定律和泊松效应有：
的法线方向 称为该材料的主方向。
四：横向各向同性材料的应力-应 变关系
三个相互垂直的弹性对称面中有一个是各向同 性的，如单向纤维增强复合材料。
其应力-应变关系为：
独立弹性常数只有５ 个
五：各向同性材料的应力-应变关 系
具有无穷多个弹性对称面的材料称为各向同性材 料。这种材料对于三个相互垂直的弹性对称面 的弹性性能完全相同。刚度系数满足：
则柔度系数与工程弹性常数关系为：
同理，沿 ２ 轴向和 ３ 轴向的 单向拉伸，还可得：
对于102面、203面和103面的纯剪切，可得：
式中E1,E2,E3和G12,G23,G13分 别为正交各向异性材料的拉压弹 性模量和剪切弹性模量； V12,V23,V13以及V21,V32,V31分 别为主泊松比和副泊松比
简化后，工程上常用的胡克定律表达式：
i C ij j i S ij j
(i.j=1.2.3.4.5.6)
其中：[Cij]刚度矩阵，[Sij] 柔度矩阵，互为逆矩 阵，即[Cij]= [Sij]-1
二：单对称材料应力应变关系
１Ｏ２ 平面是弹性对称面，沿 ３ 轴和 ３′ 轴方向上的应力和 应变有以下关系：