[高中数学课件]相互独立事件概率
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高一下学期数学人教A版必修第二册10.2事件的相互独立性课件
1 2
,
3 4
,
3 4
，将它们中某两个元件并联后再和第三个
元件串联接入电路，它们是否正常工作相互独立.在如图所示的电路中，电路不发生故障的概率
是_______.
解：记 A “T1 正常工作”， B “T2 正常工作”， C “ T3 正常工作”，
则 P(A) 1 , P(B) P(C) 3 ，
23 60
5 12
9 10
.
6. 甲、乙、丙 3 位大学生同时应聘某个用人单位的职位，3 人能被选中的概率分别为 2 , 3 , 1 ， 543
且各自能否被选中互不影响． （1）求 3 人同时被选中的概率；
（2）求 3 人中至少有 1 人被选中的概率．
解：（2）方法二：“3 人中至少有 1 人被选中”的对立事件是“3 人都没有被选中”， 所以 3 人中至少有 1 人被选中的概率为
1 3
1 10
6. 甲、乙、丙 3 位大学生同时应聘某个用人单位的职位，3 人能被选中的概率分别为 2 , 3 , 1 ， 543
且各自能否被选中互不影响． （1）求 3 人同时被选中的概率； （2）求 3 人中至少有 1 人被选中的概率．
解：（2）方法一：3 人中有 2 人被选中的概率为
P2 P(ABC ABC ABC) P(ABC) P(ABC) P(ABC) 2 3 (1 1) 2 (1 3) 1 (1 2) 3 1 23 5 4 3 5 4 3 5 4 3 60
（1）两人都中靶； （2）恰好有一人中靶； （3）两人都脱靶. （4）至少有一人中靶.
解：（3）事件“两人都脱靶” AB ，所以 P( AB) P( A)P(B) 0.2 0.1 0.02
（4）方法 1：事件“至少有一人中靶” AB AB AB ，且 AB, AB 与 AB 两两互斥，
2025届高中数学一轮复习课件《事件的相互独立性与条件概率》ppt
高考一轮总复习•数学
第1页
第十章 统计、排列组合与概率
第8讲 事件的相互独立性与条件概率
高考一轮总复习•数学
第2页
复习要点 1.在具体情境中，结合古典概型，了解条件概率和两个事件相互独立的概 率.2.结合古典概型，了解条件概率与独立性的关系，会用乘法公式计算概率.3.结合古典概 型，会利用全概率公式计算概率．
它们相互独立，所以所求概率为(1－β)(1－α)(1－β)＝(1－α)(1－β)2，A 正确； 对于 B，三次传输，发送 1，相当于依次发送 1,1,1，
利用相互独立事件的概率公式判断 A，B．
则依次收到 1,0,1 的事件，是发送 1 接收 1、发送 1 接收 0、发送 1 接收 1 的 3 个事件的 积，
门科目考试成绩的结果互不影响，那么这位同学恰好得 2 个 A＋的概率是____3_0___．
高考一轮总复习•数学
解析：(1)P(A)＝AA22A66 55＝13，P(B)＝AA33A66 34＝15， A66
P(C)＝2AA3366A33＝110，P(D)＝AA6336＝A133＝16. 对于 A，P(AB)＝A22AA3366A23＝110≠P(A)·P(B)，故 A 错误； 对于 B，P(AC)＝2C15AA6622A22＝74200＝118≠P(A)P(C)，故 B 错误； 对于 C，P(AD)＝C12AC1466C15＝118＝P(A)·P(D)，故 C 正确； 对于 D，P(BC)＝P(C)≠P(B)P(C)，故 D 错误．
解析 答案
高考一轮总复习•数学
第10页
3 ． (2024·四 川 成 都 七 中 月 考 ) 某 保 险 公 司 将 其 公 司 的 被 保 险 人 分 为 三 类 ： “ 谨 慎
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第十章 统计、排列组合与概率
第8讲 事件的相互独立性与条件概率
高考一轮总复习•数学
第2页
复习要点 1.在具体情境中，结合古典概型，了解条件概率和两个事件相互独立的概 率.2.结合古典概型，了解条件概率与独立性的关系，会用乘法公式计算概率.3.结合古典概 型，会利用全概率公式计算概率．
它们相互独立，所以所求概率为(1－β)(1－α)(1－β)＝(1－α)(1－β)2，A 正确； 对于 B，三次传输，发送 1，相当于依次发送 1,1,1，
利用相互独立事件的概率公式判断 A，B．
则依次收到 1,0,1 的事件，是发送 1 接收 1、发送 1 接收 0、发送 1 接收 1 的 3 个事件的 积，
门科目考试成绩的结果互不影响，那么这位同学恰好得 2 个 A＋的概率是____3_0___．
高考一轮总复习•数学
解析：(1)P(A)＝AA22A66 55＝13，P(B)＝AA33A66 34＝15， A66
P(C)＝2AA3366A33＝110，P(D)＝AA6336＝A133＝16. 对于 A，P(AB)＝A22AA3366A23＝110≠P(A)·P(B)，故 A 错误； 对于 B，P(AC)＝2C15AA6622A22＝74200＝118≠P(A)P(C)，故 B 错误； 对于 C，P(AD)＝C12AC1466C15＝118＝P(A)·P(D)，故 C 正确； 对于 D，P(BC)＝P(C)≠P(B)P(C)，故 D 错误．
解析 答案
高考一轮总复习•数学
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3 ． (2024·四 川 成 都 七 中 月 考 ) 某 保 险 公 司 将 其 公 司 的 被 保 险 人 分 为 三 类 ： “ 谨 慎
事件的相互独立性、条件概率与全概率公(课件)-2025年高考数学一轮复习
1
,
8
所以D正确．故选：D
=
1
,
8
=
1
,
64
= ，则, 相互独立，
题型突破·考法探究
题型二：相互独立事件的判断
【典例2-2】（2024·山东泰安·三模）盒中有4个大小相同的小球，其中2个红球、2个白球，第
一次在盒中随机摸出2个小球，记下颜色后放回，第二次在盒中也随机摸出2个小球，记下颜色
胜者．
（1）若第一场比赛小金轮空，则需要下第四场比赛的概率为多少？
（2）求最终小金获胜的概率．
（3）若已知小郅第一局未轮空且获胜，在此条件下求小金最终获胜的概率（请用两种方法解答）．
【解析】（1）第一场比赛小郅获胜时，则第二场小金获胜，第三场小睿获胜，满足题意；
第一场比赛小睿获胜时，则第二场小金获胜，第三场小郅获胜，满足题意；
“{ = 0}与{ = 0}独立”是“{ = 1}与{ = 1}独立”的（ ）
A．充要条件
B．充分不必要条件
C．必要不充分条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】{ = 0}与{ = 0}独立，则( = 0, = 0) = ( = 0)( = 0)，
即 = 1, = 1 = = 1 − = 0, = 1
，故C项错误；
=
C22 C22 +C22 C12 C12 +C12 C12 C22 +C12 C12 C12 C12
C24 C24
=
25
36
= ，故D项正确．
题型突破·考法探究
题型二：相互独立事件的判断
【变式2-1】考虑以Ω为样本空间的古典概型．设X和Y定义Ω上，取值{0,1}的成对分类变量，则
10.2事件的相互独立性课件高一下学期数学人教A版必修第二册
P()=0.1.
（1）AB=“两人都中靶”，由事件独立性的定义，得
P(AB)=P(A)P(B)=0.8×0.9=0.72.
三、例题讲授
例2 甲、乙两名射击运动员进行射击比赛，甲的中靶概率为
0.8，乙的中靶概率为0.9，求下列事件的概率
（2）恰好有一人中靶；
解 ：设A =“甲中靶”，B =“乙中靶”，
（2,1） （2,2）（2,3） （2,4）
（3,1） （3,2）（3,3） （3,4）
（4,1） （4,2）（4,3） （4,4）
二、新知学习（共同探究）
实验2 一个袋子中装有标号分别是1，2，3，4的4个球，除标号
外没有其他差异，采用有放回方式从袋中依次任意摸出两球.设A＝
“第一次摸到球的标号小于3”， B＝“第二次摸到球的标号小于3”.
二、新知学习（共同探究）
实验2 一个袋子中装有标号分别是1，2，3，4的4个球，除标号
外没有其他差异，采用有放回方式从袋中依次任意摸出两球.设A＝
“第一次摸到球的标号小于3”， B＝“第二次摸到球的标号小于3”.
分析：样本空间 ={(m,n)| m,n ∈{1,2,3,4}},
A = {(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4)} ，
所以, P(AB)≠ P(A)P(B)，因此，事件A与事件B不独立.
三、例题讲授
例2 甲、乙两名射击运动员进行射击比赛，甲的中靶概率为
0.8，乙的中靶概率为0.9，求下列事件的概率
（1）两人都中靶；
（2）恰好有一人中靶；
（3）两人都脱靶；
（4）至少有一人中靶．
分析：设A=“甲中靶”，B=“乙中靶”，从要求的概率可知，需要先
（1）AB=“两人都中靶”，由事件独立性的定义，得
P(AB)=P(A)P(B)=0.8×0.9=0.72.
三、例题讲授
例2 甲、乙两名射击运动员进行射击比赛，甲的中靶概率为
0.8，乙的中靶概率为0.9，求下列事件的概率
（2）恰好有一人中靶；
解 ：设A =“甲中靶”，B =“乙中靶”，
（2,1） （2,2）（2,3） （2,4）
（3,1） （3,2）（3,3） （3,4）
（4,1） （4,2）（4,3） （4,4）
二、新知学习（共同探究）
实验2 一个袋子中装有标号分别是1，2，3，4的4个球，除标号
外没有其他差异，采用有放回方式从袋中依次任意摸出两球.设A＝
“第一次摸到球的标号小于3”， B＝“第二次摸到球的标号小于3”.
二、新知学习（共同探究）
实验2 一个袋子中装有标号分别是1，2，3，4的4个球，除标号
外没有其他差异，采用有放回方式从袋中依次任意摸出两球.设A＝
“第一次摸到球的标号小于3”， B＝“第二次摸到球的标号小于3”.
分析：样本空间 ={(m,n)| m,n ∈{1,2,3,4}},
A = {(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4)} ，
所以, P(AB)≠ P(A)P(B)，因此，事件A与事件B不独立.
三、例题讲授
例2 甲、乙两名射击运动员进行射击比赛，甲的中靶概率为
0.8，乙的中靶概率为0.9，求下列事件的概率
（1）两人都中靶；
（2）恰好有一人中靶；
（3）两人都脱靶；
（4）至少有一人中靶．
分析：设A=“甲中靶”，B=“乙中靶”，从要求的概率可知，需要先
高中数学必修二课件：事件的相互独立性
3．互斥事件、对立事件、相互独立事件的区别是什么？ 答：对于事件A，B，在一次试验中，A，B如果不能同时发生，那么称A，B 互斥．一次试验中，如果A，B两个事件互斥且A，B中必然有一个发生，那么称 A，B对立，显然A＋B为一个必然事件．A，B互斥则不能同时发生，但可能同时 不发生．如掷一枚均匀的骰子，“点数为1”为事件A，“点数为2”为事件B， 则A，B可能都不发生．两事件相互独立是指一个事件的发生与否对另一事件发 生的概率没有影响． A，B互斥，则P(AB)＝0；A，B对立，则P(A)＋P(B)＝1. A，B相互独立，则P(AB)＝P(A)·P(B)，可见这是不相同的概率．
1．对相互独立事件定义的理解
答：对于事件A，B，如果事件A(或B)是否发生对事件B(或A)发生的概率没 有影响，那么称这两个事件为相互独立事件．例如甲袋中装有3个白球，2个黑 球，乙袋中装有2个白球，2个黑球，从这两个袋中分别摸出一个球，把“从甲 袋摸出1个球，得到白球”记为事件A，把“从乙袋中摸出1个球，得到白球”记 为事件B，显然A与B相互独立．
思考题1 袋内有3个白球和2个黑球，从中有放回地摸球，用A表示“第
一次摸得白球”，如果“第二次摸得白球”记为B，“第二次摸得黑球”记为 C，那么事件A与B，A与C间的关系是( A )
A．A与B，A与C均相互独立 B．A与B相互独立，A与C互斥 C．A与B，A与C均互斥 D．A与B互斥，A与C相互独立
课时学案
题型一 相互独立事件的判断
例1 (1)把一颗质地均匀的骰子任意地掷一次，判断下列各组事件是否是独 立事件．
①A＝{掷出偶数点}，B＝{掷出奇数点}； ②A＝{掷出偶数点}，B＝{掷出3点}； ③A＝{掷出偶数点}，B＝{掷出3的倍数点}； ④A＝{掷出偶数点}，B＝{掷出的点数小于4}．
高一数学(人教A版)-事件的相互独立性课件
(1,1)
根据独立性假定，得
P( A1)
3 4
1 4
+
1 4
3 4
3 8
分析：设 A2 表示甲两轮猜对2个成语的事件，
甲
根据独立性假定，得
(0,0)
(0,1)
P( A2 )
3 4
3 4
9 16
(1,0)
(1,1)
33 44
设 B1，B2分别表示乙两轮猜对1个，2个成语的事件，
P( B1 )
2 3
因为A C ，且 A C ，所以
事件 A 与事件 C互为
．
2.如果事件 A 与事件 B 互斥，和事件 A B的概率与事件 A ， B 的概率之间的关系是
P( A B) P( A) P(B).
3.设 A ，B 是一个随机实验的两个事件，和事件 A B 的概 率与事件 A ，B 的概率之间的关系是
事件的相互独立性
高一年级 数学
1.一个袋子中有大小和质地相同的4个球，其中2个红色球 （标号为1和2 ），1个绿色球（标号为3 ），1个黄色球 （标号为4 ），从袋中随机摸出1个球．设事件A “摸到
红球”，B “摸到绿球”，C “摸到绿球或黄球”．
样本空间为 {1,2,3,4}
A {1,2} B {3} C {3,4} 因为A B ，所以事件 A 与事件 B ；
AB={(1,2),(2,1)} ，n( AB) 2 ．
所以
P( A)
n( A)
n( )
1 2
，P(B)
n(B)
n( )
1 2
，
P( AB)
n( AB)
n( )
1 6
．
此时 P( AB) P( A) P(B) ，
根据独立性假定，得
P( A1)
3 4
1 4
+
1 4
3 4
3 8
分析：设 A2 表示甲两轮猜对2个成语的事件，
甲
根据独立性假定，得
(0,0)
(0,1)
P( A2 )
3 4
3 4
9 16
(1,0)
(1,1)
33 44
设 B1，B2分别表示乙两轮猜对1个，2个成语的事件，
P( B1 )
2 3
因为A C ，且 A C ，所以
事件 A 与事件 C互为
．
2.如果事件 A 与事件 B 互斥，和事件 A B的概率与事件 A ， B 的概率之间的关系是
P( A B) P( A) P(B).
3.设 A ，B 是一个随机实验的两个事件，和事件 A B 的概 率与事件 A ，B 的概率之间的关系是
事件的相互独立性
高一年级 数学
1.一个袋子中有大小和质地相同的4个球，其中2个红色球 （标号为1和2 ），1个绿色球（标号为3 ），1个黄色球 （标号为4 ），从袋中随机摸出1个球．设事件A “摸到
红球”，B “摸到绿球”，C “摸到绿球或黄球”．
样本空间为 {1,2,3,4}
A {1,2} B {3} C {3,4} 因为A B ，所以事件 A 与事件 B ；
AB={(1,2),(2,1)} ，n( AB) 2 ．
所以
P( A)
n( A)
n( )
1 2
，P(B)
n(B)
n( )
1 2
，
P( AB)
n( AB)
n( )
1 6
．
此时 P( AB) P( A) P(B) ，
事件的相互独立性(共21张PPT)
⑴ “两次都中靶” 是指 “事件A发生且事件B发生” 即A·B ∴ P( A·B）= P（A）·P（B）=
（2）“至少有一次中靶” 是指 (中, 不中), (不中, 中), (中,中) 即 A·B + A·B+ A·B. ∴求 P(A·B + A·B+ A·B)
（3）“至多有一次中靶” 是指 (中, 不中), (不中, 中), (中,中) 即 A·B + A·B+ A·B. ∴求 P(A·B + A·B+ A·B)
0.3 60.4 80.84 即 A·B + A·B+ A·B.
篮球比赛 “罚球二次” . 事件的概率乘法公式，所求的概率是
解法2：两人都未击中的概率是 ③若A与A为对立事件，则P（A）与P（A）关系如何？
（1）甲、乙两地都下雨的概率； 即 A·B + A·B+ A·B.
P(A• B) P(A) • P(B) 这就是说，两个相互独立事件同时发生的概率，等于每个事件的概率的积。
②从中抽两次,每次1件则两次都抽出次品的概率是___
事件的概率乘法公式，所求的概率是
（3）其中至少有一方下雨的概率.
3.某战士射击中靶的概率为0.99.若连续射击两次. 求: (1) 两次都中靶的概率;(2)至少有一次中靶的概率:
(3)至多有一次中靶的概率;(4)目标被击中的概率.
分析: 设事件A为“第1次射击中靶”. B为“第2次射击中靶”. 又∵A与B是互斥事件.
设A，B为两个事件，如果 P(AB)=P(A)P(B),则称事件A 与事件B相互独立。
即事件A（或B）是否发生,对事件B（或A）发生的概率
没有影响，这样两个事件叫做相互独立事件。 注：
（2）“至少有一次中靶” 是指 (中, 不中), (不中, 中), (中,中) 即 A·B + A·B+ A·B. ∴求 P(A·B + A·B+ A·B)
（3）“至多有一次中靶” 是指 (中, 不中), (不中, 中), (中,中) 即 A·B + A·B+ A·B. ∴求 P(A·B + A·B+ A·B)
0.3 60.4 80.84 即 A·B + A·B+ A·B.
篮球比赛 “罚球二次” . 事件的概率乘法公式，所求的概率是
解法2：两人都未击中的概率是 ③若A与A为对立事件，则P（A）与P（A）关系如何？
（1）甲、乙两地都下雨的概率； 即 A·B + A·B+ A·B.
P(A• B) P(A) • P(B) 这就是说，两个相互独立事件同时发生的概率，等于每个事件的概率的积。
②从中抽两次,每次1件则两次都抽出次品的概率是___
事件的概率乘法公式，所求的概率是
（3）其中至少有一方下雨的概率.
3.某战士射击中靶的概率为0.99.若连续射击两次. 求: (1) 两次都中靶的概率;(2)至少有一次中靶的概率:
(3)至多有一次中靶的概率;(4)目标被击中的概率.
分析: 设事件A为“第1次射击中靶”. B为“第2次射击中靶”. 又∵A与B是互斥事件.
设A，B为两个事件，如果 P(AB)=P(A)P(B),则称事件A 与事件B相互独立。
即事件A（或B）是否发生,对事件B（或A）发生的概率
没有影响，这样两个事件叫做相互独立事件。 注：
两个相互独立事件同时发生的概率PPT教学课件
在上面5 X 4种结果中,同时摸出白 球的结果有3 X 2种.因此,从两个坛子 里分别摸出1个球,都是白球的概率 P(A﹒B)= __________________
另一方面,从甲坛子里摸出1个球,得 到白球的概率P(A)= ________
从乙坛子里摸出1个球,得到白球的 概率P(B)= _________ 由 ______________ = ____ × ____ 我们看到P(A﹒B)=P(A)﹒P(B)
（2）海—气相互作用与热交换的过程 （3）海—气相互作用与水平衡
（4）海—气相互作用与热量平衡
（2009·北京西城模拟）“云气西行，云云
然，冬夏不辍；水泉东流，日夜不休，上不竭，下
不满……”（《吕氏春秋·圜道》）这段文字主要涉及
A.静态水资源的更新过程
（B ）
B.水循环的水汽输送和径流输送环节
合理规划， 综合开发
3.潮汐能和波浪能的开发利用
类型 形式 分布 原因 建站条件 发电特点 发电流程
潮 汐 能
势能
狭窄的 海峡、 海湾、 河口区 域
势能带 口窄肚大、
动水轮 适宜的海
机
岸
密度高
潮汐涨落→ 大坝蓄水→ 势能→水轮 机发电
物体在
波 浪 能
动能 和势 能
平均潮 差小、 近岸水 较深
波浪作 用下震 动和摆 动、波 浪压力 变化转 换为势
为事件A,“从乙坛子里摸出1个球,得到 白球”为事件B,则事件A是否发生对事 件B的发生没有影响,这样的两个事件叫 做相互独立事件
在上面的问题里,事件 A 是指 “从甲坛子里摸出1个球,得到黑球”,
事件 B 是指“从乙坛子里摸出1个 球,得到黑球”.很明显事件A与B ,
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由 题 意 ， 这 两各 种射 情击 况一 在次 时 不 可 能 同时发生，即 B与 事 A件 B互 A 斥.
故所求概率为P（ BAAB）
P （ B ） A P A （ B ） P （ PAB （ ） ） P A （ ） P （B） 0 .6 ( 1 0 . 6()1 0 . 60).60 . 204.2 04.4 8 .
(1) 2人都击中目标的概率； (2)其中恰有1人击中目标的概率； (3)至少有1人击中目标的概率．
解：(1)记“甲射击1次，击中目标”为事件A，“乙射
击1次，击中目标”为事件B．由于甲(或乙)是否击中，对
乙(或甲)击中的概率是没有影响的，因此A与B是相互独立
又“两人各射击1次事，件都．击中目标”就是事件
从甲坛子里摸出1个球，有 5 种等可能的结果；从乙坛子 里摸出1个球，有 4 种等可能的结果．于是从两个坛子 里各摸出1个球，共有 5 × 4种等可能的结果.
(白，白)(白，白)(白，黑)(白，黑) (白，白)(白，白)(白，黑)(白，黑) (白，白)(白，白)(白，黑)(白，黑) (黑，白)(黑，白)(黑，黑)(黑，黑) (黑，白)(黑，白)(黑，黑)(黑，黑)
答：……
例1 甲、乙2人各进行1次射击，如果2人击中目标的概率都是 0.6，计算：(3)至少有1人击中目标的概率．
解 法 P （ B 1 P ） ： A （ B A B P A 0 ） .0 3 .0 6 4.
解法2:两人都未击中目标的概率是
P A （ B ） P A ） （ P B ） （ （ 0 ( .1 6 1 0 ).0 6 0 .) 4 0 . 4 . 16
即
P(A1·A2·…·An)=P(A1)·P(A2)·…·P(An)．
如果A、B是两个相互独立的事 件，那么1-P（A）•P（B）表示什么？
想一想？
表示相互独立事件A、B中 至少有一个不发生的概率
即 1P (A )P (B )P (AB )
三.例题分析：
例1 甲、乙2人各进行1次射击，如果2人击中目标的概率都是0.6， 计算：
Α与ΒΑ ，与Β是否也相互独立 ？
2.独立事件同时发生的概率
天马行空官方博客：
“从两h个ttp坛://子t.里qq.分com别/tm摸xk_出do1ci个n 球； ，都是白 球”是QQ一:13个182事411件89，；Q它Q群的：1发755生69，632就是事件
A，B同时发生，我们将它记作 A·B．想一想，上面两个相互独立事件 A，B同时发生的概率P(A·B)是多少？
同时摸出白球的 结果有3×2种．
P(AB)5342
甲
乙
又 P(A) 3 ， 5
P(B) 2 . 4
P (A B ) P (A )P (B )
这就是说，两个相互独立事件同时发 生的概率，等于每个事件发生的概率的 一般地，如果事件A积1，．A2，…，An相互独立，那么这n 个事件同时发生的概率，等于每个事件发生的概率的积，
⑴P（A·B）=P（A）·P（B）=0．9×0．95=0．855
⑵P（A· B）+P（A· B)=P(A) ·P(B)+P(A) ·P(B) =0．9×(1- 0．95)+(ห้องสมุดไป่ตู้ - 0．9) ×0．95 =0．14
另解：1 - P（A·B） -P（A·B）=1 - 0．855 - （1 - 0．95）· （1 - 0．9）=0．14
答：两件都是正品的概率是0．855恰有一件是正品概率 是0．14
三.例题分析：
例3 在一段线路中并联着3个自动控制的常开开关，只要其中有1 个开关能够闭合，线路就能正常工作．假定在某段时间内每个开关 能够闭合的概率都是0.7，计算在这段时间内线路正常工作的概率．
分析：根据题意，这段时间内线路正常工作，就是指3个开关中 至少有1个能够闭合，这可以包括恰有其中某1个开关闭合、恰有其 中某2个开关闭合、恰好3个开关都闭合等几种互斥的情况，逐一求 其概率较为麻烦，为此，我们转而先求3个开关都不能闭合的概率， 从而求得其对立事件——3个开关中至少有1个能够闭合的概率． 解：分别记这段时间内开关JA，JB，JC能够 闭合为事件A，B，C(如图)．由题意，这段 时间内3个开关是否能够闭合相互之间没有 影响．根据相互独立事件的概率乘法公式， 这段时间内3个开关都不能闭合的概率是
A·B发生，根据相互独立事件的概率乘法公式，得
到： P(A·B)=P(A)·P(B)=0.6×0.6=0.36．
答：……
例1 甲、乙2人各进行1次射击，如果2人击中目标的概率都是0.6， 计算：(2)其中恰有1人击中目标的概率； （ 2 ） “ 两 人次各，射恰击有1 1 人” 击包 中括 目两 标种 情 况 一 种 是 甲 击 中中 、（ 乙事 未件 B击 发A生 ） ， 另 一 种 是 未 击 中 、 乙 击A中 B（ 发事 生件 ）
把“从甲坛子里摸出1个
球，得到白球”叫做事件
A
P( A)
3
5
把“从乙坛子里摸出 1个
球，得到白球”叫做事件B
没有影响
P(B) 2 4
甲
乙
二.新课 1.独立事件的定义
事件A(或B)是否发生对事件B(或A)发生的概率
没有影响，这样的两个事件叫做相互独立事 想一想件：．如果事件Α
与Β相互独立，那么与Α Β，
10.7相互独立 事件同时发 生的概率
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一.新课引人
问题：
甲坛子里有3个白球，2个黑球，乙坛子里有2个白球，2个黑球，
从这两个坛子里分别摸出1个球，它们都是白球的概率是多少？
因此,至少有1人击中目标的概率
P1PA (B)10. 106. 84.
答：……
例2：制造一种零件，甲机床的正品率是0．9， 乙机床的正品率是0．95，从它们制造的产品中 各任抽一件，（1）两件都是正品的概率是多少 ？（2）恰有一件是正品的概率是多少？ 解：设A=从甲机床制造的产品中任意抽出一件 是正品；B=从乙机床制造的产品中任意抽出一件 是正品，则A与B是独立事件
故所求概率为P（ BAAB）
P （ B ） A P A （ B ） P （ PAB （ ） ） P A （ ） P （B） 0 .6 ( 1 0 . 6()1 0 . 60).60 . 204.2 04.4 8 .
(1) 2人都击中目标的概率； (2)其中恰有1人击中目标的概率； (3)至少有1人击中目标的概率．
解：(1)记“甲射击1次，击中目标”为事件A，“乙射
击1次，击中目标”为事件B．由于甲(或乙)是否击中，对
乙(或甲)击中的概率是没有影响的，因此A与B是相互独立
又“两人各射击1次事，件都．击中目标”就是事件
从甲坛子里摸出1个球，有 5 种等可能的结果；从乙坛子 里摸出1个球，有 4 种等可能的结果．于是从两个坛子 里各摸出1个球，共有 5 × 4种等可能的结果.
(白，白)(白，白)(白，黑)(白，黑) (白，白)(白，白)(白，黑)(白，黑) (白，白)(白，白)(白，黑)(白，黑) (黑，白)(黑，白)(黑，黑)(黑，黑) (黑，白)(黑，白)(黑，黑)(黑，黑)
答：……
例1 甲、乙2人各进行1次射击，如果2人击中目标的概率都是 0.6，计算：(3)至少有1人击中目标的概率．
解 法 P （ B 1 P ） ： A （ B A B P A 0 ） .0 3 .0 6 4.
解法2:两人都未击中目标的概率是
P A （ B ） P A ） （ P B ） （ （ 0 ( .1 6 1 0 ).0 6 0 .) 4 0 . 4 . 16
即
P(A1·A2·…·An)=P(A1)·P(A2)·…·P(An)．
如果A、B是两个相互独立的事 件，那么1-P（A）•P（B）表示什么？
想一想？
表示相互独立事件A、B中 至少有一个不发生的概率
即 1P (A )P (B )P (AB )
三.例题分析：
例1 甲、乙2人各进行1次射击，如果2人击中目标的概率都是0.6， 计算：
Α与ΒΑ ，与Β是否也相互独立 ？
2.独立事件同时发生的概率
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“从两h个ttp坛://子t.里qq.分com别/tm摸xk_出do1ci个n 球； ，都是白 球”是QQ一:13个182事411件89，；Q它Q群的：1发755生69，632就是事件
A，B同时发生，我们将它记作 A·B．想一想，上面两个相互独立事件 A，B同时发生的概率P(A·B)是多少？
同时摸出白球的 结果有3×2种．
P(AB)5342
甲
乙
又 P(A) 3 ， 5
P(B) 2 . 4
P (A B ) P (A )P (B )
这就是说，两个相互独立事件同时发 生的概率，等于每个事件发生的概率的 一般地，如果事件A积1，．A2，…，An相互独立，那么这n 个事件同时发生的概率，等于每个事件发生的概率的积，
⑴P（A·B）=P（A）·P（B）=0．9×0．95=0．855
⑵P（A· B）+P（A· B)=P(A) ·P(B)+P(A) ·P(B) =0．9×(1- 0．95)+(ห้องสมุดไป่ตู้ - 0．9) ×0．95 =0．14
另解：1 - P（A·B） -P（A·B）=1 - 0．855 - （1 - 0．95）· （1 - 0．9）=0．14
答：两件都是正品的概率是0．855恰有一件是正品概率 是0．14
三.例题分析：
例3 在一段线路中并联着3个自动控制的常开开关，只要其中有1 个开关能够闭合，线路就能正常工作．假定在某段时间内每个开关 能够闭合的概率都是0.7，计算在这段时间内线路正常工作的概率．
分析：根据题意，这段时间内线路正常工作，就是指3个开关中 至少有1个能够闭合，这可以包括恰有其中某1个开关闭合、恰有其 中某2个开关闭合、恰好3个开关都闭合等几种互斥的情况，逐一求 其概率较为麻烦，为此，我们转而先求3个开关都不能闭合的概率， 从而求得其对立事件——3个开关中至少有1个能够闭合的概率． 解：分别记这段时间内开关JA，JB，JC能够 闭合为事件A，B，C(如图)．由题意，这段 时间内3个开关是否能够闭合相互之间没有 影响．根据相互独立事件的概率乘法公式， 这段时间内3个开关都不能闭合的概率是
A·B发生，根据相互独立事件的概率乘法公式，得
到： P(A·B)=P(A)·P(B)=0.6×0.6=0.36．
答：……
例1 甲、乙2人各进行1次射击，如果2人击中目标的概率都是0.6， 计算：(2)其中恰有1人击中目标的概率； （ 2 ） “ 两 人次各，射恰击有1 1 人” 击包 中括 目两 标种 情 况 一 种 是 甲 击 中中 、（ 乙事 未件 B击 发A生 ） ， 另 一 种 是 未 击 中 、 乙 击A中 B（ 发事 生件 ）
把“从甲坛子里摸出1个
球，得到白球”叫做事件
A
P( A)
3
5
把“从乙坛子里摸出 1个
球，得到白球”叫做事件B
没有影响
P(B) 2 4
甲
乙
二.新课 1.独立事件的定义
事件A(或B)是否发生对事件B(或A)发生的概率
没有影响，这样的两个事件叫做相互独立事 想一想件：．如果事件Α
与Β相互独立，那么与Α Β，
10.7相互独立 事件同时发 生的概率
天马行空官方博客： /tmxk_docin ； QQ:1318241189；QQ群：175569632
一.新课引人
问题：
甲坛子里有3个白球，2个黑球，乙坛子里有2个白球，2个黑球，
从这两个坛子里分别摸出1个球，它们都是白球的概率是多少？
因此,至少有1人击中目标的概率
P1PA (B)10. 106. 84.
答：……
例2：制造一种零件，甲机床的正品率是0．9， 乙机床的正品率是0．95，从它们制造的产品中 各任抽一件，（1）两件都是正品的概率是多少 ？（2）恰有一件是正品的概率是多少？ 解：设A=从甲机床制造的产品中任意抽出一件 是正品；B=从乙机床制造的产品中任意抽出一件 是正品，则A与B是独立事件