纳维-斯托克斯方程(N-S方程)详细推导

旋转角速度 把对角线的旋转角速度定义为整个流体微团在平 面上的旋转角速度。
；
；
x
1 ( uz 2 y
u y z
)
y
1 ( ux 2 z
uz ) x
z
1 ( u y 2 x
u x y
)
•角变形速度：直角边 AMC （或BMD）与对角线 EMF 的 夹角的变形速度
x
1 ( uz 2 y
u y ) z
y
vz x
vx z
24
本构方程和NS方程
本构方程的讨论：
正应力与线变形速率：
线变形率与流体流动：
正应力中的粘性应力：
粘性流体动力学基础
流体正应力与三个速度偏导数有关 (即:线变形率)，同固体力学中的虎 克定律。
从流体流动角度看，线变形率的正负 反映了流体的流动是加速还是减速； 体变形率的正负反映了流动过程中流 体体积是增加还是减少。
x 2
x 2
x轴正方向 x轴负方向
13
本构方程和NS方程
粘性流体动力学基础
理想流体的运动微分方程
根据牛顿第二定律得x轴方向的运动微分方程
f x dxdydz
p
p x
dx 2
dydz
p
p x
dx 2
dydz
dxdydz
dux dt
fx
1
p x
dux dt
fy
1
p y
duy dt
fz
1
p z
)
( z y
z
)
dxdydz
z方向：
( x z
x
)
(
y z
y
)
(
z
z
2
)
dxdydz
微元体内的动量变化率
流体的瞬时质量为 dxdydz
X方向的瞬时动量为 vx dxdydz
x方向：x dxdydz y方向：y dxdydz z方向：z dxdydz
t
t
t
19
本构方程和NS方程
粘性流体动力学基础
粘性流体动力学基础
牛顿流体的本构方程：
xx
p 2
x
x
2 3
vx x
vy y
vz z
yy
p 2
y
y
2 3
vx x
vy y
vz z
zz
p 2
z
z
2 3
vx x
vy y
vz z
xy
yx
vx y
vy x
yz
zy
vy z
vz y
zx
xz
duz dt
ux t
ux x
ux
ux y
uy
ux z
uz
X
1
p x
u y t
u y x
ux
u y y
uy
u y z
uz
Y
1
p y
uz t
uz x
ux
uz y
uy
uz z
uz
Z
1
p z
理想流体的运动微分方程
即欧拉运动微分方程
14
本构方程和NS方程
粘性流体动力学基础
粘性流体的运动微分方程
以流体微元为分析对象，流体的运动方程可写为如下 的矢量形式：
DV F P
(1)
Dt
这里 ：
DV V V V
(2)
Dt t
是流体微团的加速度，微分符号：
D Dt
t
V
t
Vi
xi
(3)
称为物质导数或随体导数，它表示流体微团的某性质 时间的变化率。
15
本构方程和NS方程
粘性流体动力学基础
应力状态及切应力互等定律
zz
zz z
dz
yz
yz y
本构方程和NS方程
粘性流体动力学基础
本构方程及N-S方程
李连侠
水力学与山区河流开发保护国家重点实验室 2009年4月
1
本构方程和NS方程
粘性流体动力学基础
内容提要
• 流体运动分析及理想流体基本方程 • 真实流体受力分析 • 利用张量理论推导本构方程和粘性流体力学基本方程
2
本构方程和NS方程
粘性流体动力学基础
11
本构方程和NS方程
粘性流体动力学基础
若流体不可压缩： vx vy vz 0 x y z
上式表明，对于不可压缩液体，单位时间单位体积空间内流 入与流出的液体体积之差等于零，即液体体积守恒。
适用范围： 恒定流或非恒定流；理想液体或实际液体。
一维流动的连续方程 1 A1 2 A2
连续性方程是流体流动微分方程最基本的方程 之一。任何流体的连续运动均必须满足。
xx
p 2
x
x
2 3
vx x
vy y
vz z
xx 附加粘性正应力
xx p xx
附加粘性正应力的产生是速度沿流动方向的变化所导致的。25
本构方程和NS方程
粘性流体动力学基础
正应力与压力：
由于粘性正应力的存在，流动流体的压力在数值上一般不等
于正应力值。但有：
pm
xx yy zz
t
从而有：
( vx
x
)
(vy
y
)
( vz
z
)
dxdydzdt
t
dxdydzdt
或：
(vx ) (vy ) (vz ) 0
t x
y
z
连续性方程
矢量形式：
r
g()
0
t
（适用于层流、湍流、 牛顿、非牛顿流体）
连续方程物理意义：流体在单位时间内流经单位体积空间输 出与输入的质量差与其内部质量变化的代数和为零。
3
p 'v
这说明：三个正压力在数值上一般不等于压力，但它们的平 均值却总是与压力大小相等。
切应力与角边形率：
流体切应力与角变形率相关。
牛顿流体本构方程反映了流体应力与变形速率之间的关系， 是流体力学的虎克定律（反映应力和应变的关系）。
26
本构方程和NS方程
粘性流体动适力学用基于础 牛顿流体
流体运动微分方程——Navier－Stokes方程
1
3
g
x
Dvy Dt
fy
1
p y
2 y
x2
2 y
y 2
2 y
z 2
1
3
r
g
y
r
Dvz Dt
fz
1
p z
2z
x2
2z
y2
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
2z
z 2
1
3
g
z
矢量形式：
r Dv
ur f
1
p
r
2
1(gr )
Dt
3
28
本构方程和NS方程
粘性流体动适力学用基于础 牛顿流体
不可压缩流体的N－S方程： const
3
本构方程和NS方程
粘性流体动力学基础
平移运动、旋转运动、线变形运动和角变形运动
右图为任意t时刻在平面流场中所取的一个正方形流体微团。由 于流体微团上各点的运动速度不一致，经过微小的时间间隔后， 该流体微团的形状和大小会发生变化，变成了斜四边形。
4
本构方程和NS方程
粘性流体动力学基础
流体微团的运动形式 与微团内各点速度的变化有关。 设方形流体微团中心 M 的流速 分量为 ux 和 uy ，则微团各侧边 的中点 A 、 B 、 C 、 D 的流速 分量分别为：
• 线变形运动 微团左、右两侧的 A 点和 C 点沿 x 方向的速
度差为
，当这速度差值为正时，微团沿 x 方向发生
伸长变形；当它为负时，微团沿 x 方向发生缩短变形。
• 线变形速度 单位时间，单位长度的线变形称为线变形速 度。流体微团沿 x 方向的线变形速度：
6
本构方程和NS方程
粘性流体动力学基础
Z方向：
( v y
y
) dxdydzdt
2、dt时间内，整个六面体内输入与输出的质量差：
(vx ) dxdydzdt (vy ) dxdydzdt (vz ) dxdydzdt
x
y
z
( vx
x
)
(vy
y
)
( vz
z
)
dxdydzdt
10
本构方程和NS方程
粘性流体动力学基础
3、微元体内的质量变化： dxdydzdt
y ( ux 2 z
uz ) x
z
1
u (
y
2 x
u x ) y
7
本构方程和NS方程
粘性流体动力学基础
亥姆霍兹速度分解定理
整理推 广得
8
本构方程和NS方程
粘性流体动力学基础
不可压缩流体连续性微分方程
直角坐标系中的连续性方程 质量守恒
z dy
输的入质微量元流体量－
输出微元体 的质量流量
dz vx dydz
dy
zx
zx z
dz
xx yx
z y xz
yz
xy
xy x
dx
xx
xx x
dx
x
zx
zz
yx
yx y
dy
应力状态：
粘性流场中任意一点的应力有9 个分量，包括3个正应力分量和
6个切应力分量：
切应力互等定律
微元体上X和Z方向的表面力 在6个切应力分量中，互换下标 的每一对切应力是相等的。
Z方向的表面力：
xz
x
yz
y
zz
z
dxdydz
17
本构方程和NS方程
动量流量及动量变化率
粘性流体动力学基础
z
vz vx
vz vx z
dz
dy
vyvx
vy vx y
dy
dx
动量流量
动量通量 x 流通面积
vx vx
dz
vxvx
vxvx x
dx
＝ 动量流量
y
vyvx vzvx
Dvx Dt
fx
p x
2 3 x
r
g
2
x
x
x
y
vx y
vy x
z
vx z
vz x
27
本构方程和NS方程
粘性流体动适力学用基于础 牛顿流体
常见条件下N－S方程的表达形式：
常粘度条件下N－S方程： const
r
Dvx Dt
fx
1
p x
2x
x2
2x
y2
2x
z 2
Dvx Dt
fx
1
p x
2x
x2
2x
y2
2x
z 2
Dvy Dt
fy
1
p y
2 y
x2
2 y
y 2
2 y
z 2
Dvz Dt
fz
1
p z
2z
x2
2z
y2
2z
z 2
矢量形式：
r Dv
ur f
1
p
r
2
Dt
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本构方程和NS方程
适用于层流、湍流、牛顿、非牛顿流体。
20
本构方程和NS方程
方程的物理意义：
粘性流体动力学基础
方程左边是：任意时刻t通过考察点A的流体质点
加速度的三个分量；
Dvx / Dt ax
方程右边是：作用在单位体积流体上的表面力和体 积力在各坐标上的分量。
方程可简略表示成：
r ur
a F
这就是以单位体积的流体质量为基准的牛顿第二运动定律
x
动量在微元体表面的输入与输出
图中标注的是动量的输入或 输出方向，而动量或其通量 本身的方向均指向x方向，即 分速度vx的方向。
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本构方程和NS方程
粘性流体动力学基础
输入输出微元体的动量流量
x方向：
(
2 x
x
)
( y x
y
)
( z x
z
)
dxdydz
y方向：
( x y
x
)
( y 2
y
微团上每一点的速度都包含中心点的速度以及由于坐标位置不同所引起的速度增量两个组成部分。5
本构方程和NS方程
粘性流体动力学基础
• 平移运动速度 微团上各点公有的分速度 ux 和uy ，使它们 在 dt 时间内均沿 x 方向移动一距离 uxdt , 沿 y 方向移动一 距离 uydt 。因而，把中心点 M 的速度 ux和 uy ，定义为流 体微团的平移运动速度。
以应力表示的运动方程
x方向的运动方程：
x
t
x
(x )
x
y
x
y
z
x
z
fx
xx
x
yx
y
zx
z
y方向的运动方程：
y
t
x
y
x
y
y
y
z
y
z
fy
xy
x
yy
y
zy
z
z方向的运动方程：
z
t
x
z
x
y
z
y
z
z
z
fz
xz
x
yz
y
zz
z
注：上式就是以应力表示的粘性流体的运动方程，
12
本构方程和NS方程
粘性流体动力学基础
理想流体的运动微分方程
理想流体运动微分方程式是研究流体运动学的重要理论基
础。可以用牛顿第二定律加以推导。
受力分析：
r ur
a F
1、质量力： fxρdxdydz x轴正方向
2、表面力：
切向应力＝0（理想流体） 法向应力＝压强
p p dx p p dx
21
本构方程和NS方程
粘性流体动力学基础
粘性流体运动微分方程
Navier－Stokes方程
以应力表示的运动方程，需补充方程才能求解。
对一维流动问题： 补充方程：牛顿剪切定律
对粘性流体流动问题： 补充方程：广义的牛顿剪切定律
即：牛顿流体本构方程
关键：寻求 流体应力与 变形速率之 间的关系
目的
将应力从运动方程中消去，得到 由速度分量和压力表示的粘性流 体运动微分方程，即N-S方程。
流体质点运动的分析
•分析流场中任意流体微团运动是研究整个流场运动的基础。
•流体运动要比刚体运动复杂得多，流体微团基本运动形式 有平移运动、旋转运动、线变形和角变形运动等。实际运 动也可能遇到只有其中的某几种形式所组成。
•当流体微团无限小而变成质点时，其运动也是由平动、线 变形、角变形及旋转四种基本形式所组成。
22
本构方程和NS方程
粘性流体动力学基础
牛顿流体的本构方程
引入的基本假设：
为了寻求流体应力与变形速率之间的关系，Stokes提出三个 基本假设：
➢应力与变形速率成线性关系;
➢应力与变形速率之间的关系各向同性；
➢静止流场中，切应力为零，各正应力均等于静压力
xx yy zz p
23
本构方程和NS方程
dx
vx
vx
x
dx
dydz
x
y
微元体及其表面的质量通量
＝
微元体内的 质量变化率
9
本构方程和NS方程
粘性流体动力学基础
1、x方向：dt时间内沿从六面体 x 处与 x+dx 处输入与输出的
质量差：
vx
dydzdt
vx
(vx
x
)
dx
dydzdt
(vx
x
)
dxdydzdt
Y方向：
(
v
z
z
)
dxdydzdt；
yx xy
yz zy
zx xz
16
本构方程和NS方程
粘性流体动力学基础
微元体表面力的总力分量
X方向的表面力：
x dxdydz yx dydxdz zx dzdxdy
x
y
z
x yx zx dxdydz
x y z
Y方向的表面力：
xy
x
yy
y
zy
z
dxdydz