人教新课标版数学高一- 数学(B)必修1练习 函数的奇偶性(二)
2.1.4 函数的奇偶性(二)
一、基础过关
1．下面四个结论：①偶函数的图象一定与y 轴相交；②奇函数的图象一定过原点；③偶函数的图象关于y 轴对称；④没有一个函数既是奇函数，又是偶函数．其中正确的结论个数是
( )
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
2．已知函数f (x )＝(m －1)x 2－2mx ＋3是偶函数，则在(－∞，0)上此函数
( )
A ．是增函数
B ．不是单调函数
C ．是减函数
D ．不能确定
3．定义在R 上的函数f (x )在(－∞，2)上是增函数，且f (x ＋2)的图象关于y 轴对称，则( ) A ．f (－1)＜f (3) B ．f (0)＞f (3) C ．f (－1)＝f (3)
D ．f (0)＝f (3)
4．设奇函数f (x )在(0，＋∞)上为减函数，且f (1)＝0，则不等式f (x )－f (－x )
x <0的解集为( )
A ．(－1,0)∪(1，＋∞)
B ．(－∞，－1)∪(0,1)
C ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)
D ．(－1,0)∪(0,1)
5．已知定义在R 上的奇函数f (x )，当x >0时，f (x )＝x 2＋|x |－1，那么x <0时，f (x )＝________. 6．设f (x )是(－∞，＋∞)上的奇函数，且f (x ＋2)＝－f (x )，当0≤x ≤1时，f (x )＝x ，则f (7.5) ＝________.
7．设函数f (x )在R 上是偶函数，在区间(－∞，0)上递增，且f (2a 2＋a ＋1)<f (2a 2－2a ＋3)，求a 的取值范围．
8．已知函数f (x )是定义在R 上的单调函数，满足f (－3)＝2，且对任意的实数a ∈R 有f (－a )＋f (a )＝0恒成立．
(1)试判断f (x )在R 上的单调性，并说明理由． (2)解关于x 的不等式f (2－x
x )<2.
二、能力提升
9．已知偶函数f (x )在区间[0，＋∞)上单调递增，则满足f (x )<f (1)的x 的取值范围是( ) A ．(－1,1) B ．(－1,0) C ．(0,1)
D ．[－1,1)
10．设偶函数f (x )的定义域为R ，当x ∈[0，＋∞)时，f (x )是增函数，则f (－2)，f (π)，f (－3)
的大小关系是
( )
A ．f (π)>f (－3)>f (－2)
B ．f (π)>f (－2)>f (－3)
C ．f (π)<f (－3)<f (－2)
D ．f (π)<f (－2)<f (－3)
11．y ＝f (x )在(0,2)上是增函数，y ＝f (x ＋2)是偶函数，则f (1)，f (52)，f (7
2)的大小关系是__________．
12．已知函数f (x )＝ax ＋1
x
2(x ≠0，常数a ∈R )．
(1)讨论函数f (x )的奇偶性，并说明理由；
(2)若函数f (x )在x ∈[3，＋∞)上为增函数，求a 的取值范围． 三、探究与拓展 13．已知函数
f (x )＝ax 2＋bx ＋1(a ，b
为常数)，x ∈R .F (x )＝⎩
⎪⎨⎪⎧
f (x ) (x >0)
－f (x ) (x <0).
(1)若f (－1)＝0，且函数f (x )的值域为[0，＋∞)，求F (x )的表达式；
(2)在(1)的条件下，当x ∈[－2,2]时，g (x )＝f (x )－kx 是单调函数，求实数k 的取值范围； (3)设m ·n <0，m ＋n >0，a >0，且f (x )为偶函数，判断F (m )＋F (n )能否大于零？
答案
1．A 2.A 3.A 4．C 5．－x 2＋x ＋1 6．－0.5
7．解 由f (x )在R 上是偶函数，在区间(－∞，0)上递增，可知f (x )在(0，＋∞)上递减． ∵2a 2＋a ＋1＝2(a ＋14)2＋7
8>0，
2a 2－2a ＋3＝2(a －12)2＋5
2>0，
且f (2a 2＋a ＋1)<f (2a 2－2a ＋3)， ∴2a 2＋a ＋1>2a 2－2a ＋3， 即3a －2>0，解得a >2
3
.
8．解 (1)f (x )是R 上的减函数．由f (－a )＋f (a )＝0可得f (x )是R 上的奇函数， ∴f (0)＝0，又∵f (x )在R 上是单调函数．由f (－3)＝2，得f (0)<f (－3)， ∴f (x )为R 上的减函数．
(2)由f (－3)＝2，又由于f (2－x
x
)<f (－3)，
又由(1)可得2－x x >－3，即2x ＋2
x >0，解得x <－1或x >0.
∴不等式的解集为{x |x <－1或x >0}． 9．A 10．A 11．f (72)<f (1)<f (5
2
)
12．解 (1)定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称． 当a ＝0时，f (x )＝1
x 2，满足对定义域上任意x ，
f (－x )＝f (x )，∴a ＝0时，f (x )是偶函数； 当a ≠0时，f (1)＝a ＋1，f (－1)＝1－a ， 若f (x )为偶函数，则a ＋1＝1－a ，a ＝0矛盾； 若f (x )为奇函数，则1－a ＝－(a ＋1)，1＝－1矛盾，
∴当a ≠0时，f (x )是非奇非偶函数.
(2)任取x 1>x 2≥3，f (x 1)－f (x 2)＝ax 1＋1x 21－ax 2－1
x 22＝a (x 1－x 2)＋x 22－x 21x 21x 22＝(x 1－x 2)(a －x 1＋x 2x 21x 22
)．
∵x 1－x 2>0，f (x )在[3，＋∞)上为增函数，∴a >x 1＋x 2x 21x 22，即a >1x 1x 22＋1
x 21x 2在[3，＋∞)上恒成立．
∵x 1>x 2≥3，
1x 1x 22＋1x 21x 2<13×3
2＋132×3＝227，∴a ≥2
27. 13．解
(1)由题意，得：⎩⎨⎧
a －
b ＋1＝0
a >0
b 2
－4a ＝0
，
解得：⎩⎪⎨⎪⎧
a ＝1
b ＝2
，
所以F (x )的表达式为：F (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧
(x ＋1)2 (x >0)－(x ＋1)2
(x <0)
.
(2)g (x )＝x 2＋(2－k )x ＋1，图象的对称轴为x ＝－2－k 2＝k －22，由题意，得k －22≤－2或
k －2
2≥2，
解得k ≥6或k ≤－2.
(3)∵f (x )是偶函数，∴f (x )＝ax 2＋1，F (x )＝⎩⎪⎨⎪
⎧
ax 2＋1 (x >0)－ax 2
－1 (x <0)
.
∵m ·n <0，不妨设m >n ，则n <0 又m ＋n >0，则m >－n >0， ∴|m |>|n |.
F (m )＋F (n )＝f (m )－f (n )＝(am 2＋1)－an 2－1＝a (m 2－n 2)>0， ∴F (m )＋F (n )大于零.。
2024-2025学年高一数学必修第一册(人教B版)函数的奇偶性(综合)-课件
例 8 已知函数 = 2 + 4 + 6, 求证: 的图像关于直线 = −2对称.
y
分析 只需要证明图像上所有的点关于直线的
对称点还在图像上即可.
O
x ＝ －2
x
例 8 已知函数 = 2 + 4 + 6, 求证: 的图像关于直线 = −2对称.
证明 在 的图像上任取点 0, 0 , 设 P 关于 = −2对
图所示, 若 f (2) = 0, 则使得 ≥ 0的 x 的取值范围是____________.
y
5
－5
－2
O
2
x
例 1′ 已知函数()是定义在 −5,5 上的奇函数, 它在 −5,0 上是增函数,
−2,0 ⋃ 2,5
若 2 = 0, 则使得 ≥ 0的 x 的取值范围是____________.
y
称的点为 1, 1 .
由
0+1
= −2,得
2
1
1 = 0
= −4 − 0, 即 −4 − 0, 0 .
Q(－4 －x0 ,y0 )
P(x0 ,y0 )
∵ −4 − 0 = −4 − 0 2 + 4 −4 − 0 + 6 = 20 + 40 + 6,
而0 = 0 =
分析 先将不等式变形成 1 > 2 的形式, 再利用函数 的单调性
去掉 “f ”, 得到1和2的大小关系, 即关于 m的不等式.
例 4 设函数 定义域为 −2,2 , 且在区间 0,2 上为减函数.
(1) 若 为奇函数, 且 + − 1 > 0, 则实数 m的范围为_______;
高中新课程数学(新课标人教B版)必修一2.1.4《函数奇偶性》课件2
相等
0
x
y
相等
0
x
本课小结
1、两个定义：对于f(x)定义域内的任意一个x,
如果都有f(－x)=-f(x) f(x)为奇函数
如果都有f(－x)=f(x)
f(x)为偶函数
2、两个性质：
一个函数为奇函数
它的图象关于原点对称
一个函数为偶函数
它的图象关于y轴对称
例１：判断下列函数的奇偶性：
(2) f (x) x2 1
(3) f (x) 5
(4) f (x) 0
(5) f (x) x 1
(6) f (x) x2, x [1,3]
课堂练习２
判断函数的奇偶性 (1)f(x)=(x-1) 1 x
1 x (2) f (x) 1 x2
x2 x2
小结
则f(-x)=-x(1+x)．又f(x)为奇函数有f(-x)=-
f(x),
所以-f(x)=-x(1+x)，则
f(x)=x(1+x),
又f(0)=f(-0)=-f(0)，则f(0)=0
则当x 0 时，f(x)=x(1+x)
课堂练习４
定义在[2，2]上的偶函数f(x)
在区间[0,2]上是减函数，
若f(1-m)<f(m), 求实数m的取值范围
② 根据自己预习时理解过的逻辑结构抓住老师的思路。老师讲课在多数情况下是根据教材本身的知识结构展开的，若把自己预习时所理解过的知识 逻辑结构与老师的讲解过程进行比较，便可以抓住老师的思路。
③ 根据老师的提示抓住老师的思路。老师在教学中经常有一些提示用语，如“请注意”、“我再重复一遍”、“这个问题的关键是····”等等，这些 用语往往体现了老师的思路。来自：学习方法网
人教版高中数学B版高中数学必修一《函数的奇偶性》函数的概念与性质(第2课时函数奇偶性的应用)
设 f(x)是偶函数，g(x)是奇函数，且 f(x)＋g(x)＝x2＋2x，求函 数 f(x)，g(x)的解析式． 解：因为 f(x)是偶函数，g(x)是奇函数， 所以 f(－x)＝f(x)，g(－x)＝－g(x)， 由 f(x)＋g(x)＝2x＋x2.① 用－x 代替 x 得 f(－x)＋g(－x)＝－2x＋(－x)2， 所以 f(x)－g(x)＝－2x＋x2，② (①＋②)÷2，得 f(x)＝x2. (①－②)÷2，得 g(x)＝2x.
奇偶性与单调性综合问题的两种类型 (1)比较大小 ①自变量在同一单调区间上，直接利用函数的单调性比较大小； ②自变量不在同一单调区间上，需利用函数的奇偶性把自变量 转化到同一单调区间上，然后利用单调性比较大小．
(2)解不等式 ①利用已知条件，结合函数的奇偶性，把已知不等式转化为 f(x1) ＜f(x2)或 f(x1)＞f(x2)的形式； ②根据奇函数在对称区间上的单调性一致，偶函数在对称区间 上的单调性相反，脱掉不等式中的“f”转化为简单不等式(组) 求解．
(2)因为定义在(－1，1)上的奇函数 f(x)是增函数，
由 f(t－1)＋f(2t)＜0，
得 f(t－1)＜－f(2t)＝f(－2t)．
所以有－－11＜＜－t－21t＜＜11，， t－1＜－2t，
0＜t＜2， 即－12＜t＜12，
t＜13.
解得 0＜t＜13.
故不等式 f(t－1)＋f(2t)＜0 的解集为t|0＜t＜13.
5．已知 f(x)是奇函数，且当 x＞0 时，f(x)＝x|x－2|，求 x＜0 时，f(x)的表达式． 解：因为 x＜0，所以－x＞0， 所以 f(－x)＝(－x)|(－x)－2|. 又因为 f(x)为奇函数， 所以 f(x)＝－f(－x) ＝－(－x)|(－x)－2|＝x|x＋2|. 故当 x＜0 时，f(x)＝x|x＋2|.
高中数学(人教B版)必修第一册：函数的奇偶性【精品课件】
注: 既不是奇函数也不是偶函数的函数, 称为非奇非偶函数.
问题 6. 是否存在函数, 既是奇函数又是偶函数? 说明理由.
分析 设函数 的定义域为 D, 且满足: ∀ ∈, − ∈, 则:
是奇函数 ⇔ − = − ,
是偶函数 ⇔ − = ,
∴ 既是奇函数又是偶函数 ⇔ − = − = ⇔ = 0.
如: = 2 − 2, =
1
都是偶函数.
注: 图像关于 y 轴对称的函数是偶函数, 偶函数的图像关于 y 轴对称.
问题2.函数 ℎ = 2 − 2,
∈ −1,2 是偶函数吗?
分析 = −1,2 , ∀ ∈ , 是否满足 ① − ∈ ; ② − = ?
2. − =
− = −
⇔ − − = 0,
⇔ − + = 0.
(1) = 2 +
偶函数
(2) = + 1 − − 1 +
奇函数
(3) = 2 + ∙
奇函数
例 3 如果函数 和 均为奇函数, 且定义域相同(均为 D), 判断下列
1 − 2
(4) =
;
3− − 3
(5) =
1− ,
1+
≥ 0
.
< 0
(1) = + 1 − − 1 ;
解 (1)定义域为, ∴∀ ∈, − ∈.
∵ − = − + 1 − − − 1 �
= − 1 − + 1 = − ,
点 P, 那么图像上必定存在一个横坐标为 − 的点 Q, 这两点关于 y 轴对称,
2019—2020年最新高中数学人教B版必修一2.1.4《第1课时函数的奇偶性的定义》同步测试.doc
第二章 2.1 2.1.4 第1课时函数的奇偶性的定义一、选择题1．设函数f(x)是定义在R上的奇函数，且f(－3)＝－2，则f(3)＋f(0)＝( )A．3 B．－3C．2 D．7[答案] C[解析] ∵函数f(x)是定义在R上的奇函数，∴f(0)＝0，又f(－3)＝－f(3)＝－2，∴f(3)＝2，∴f(3)＋f(0)＝2，故选C．2．下面四个结论：①偶函数的图象一定与y轴相交；②奇函数的图象一定经过原点；③偶函数的图象关于y轴对称；④既是奇函数又是偶函数的函数一定是f(x)＝0(x∈R)，其中正确命题的个数是( )A．1 B．2C．3 D．4[答案] A[解析] 偶函数的图象关于y轴对称，但不一定相交，因此③正确，①错误；奇函数的图象关于原点对称，但不一定经过原点，因此②不正确；若y＝f(x)既是奇函数又是偶函数，由定义可得f(x)＝0，但不一定x∈R，只要定义域关于原点对称即可，故④错误，既是奇函数又是偶函数的充要条件是定义域关于原点对称且函数值恒为零，区别在定义域，选A．3．若二次函数f(x)＝x2＋(b－2)x在区间[1－3a,2a]上是偶函数，则a、b的值是( )A．2,1 B．1,2C．0,2 D．0,1[答案] B[解析] 由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧ 1－3a ＋2a ＝0b －2＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1b ＝2. 4．(2014·湖南理，3)已知f(x)、g(x)分别是定义在R 上的偶函数和奇函数，且f(x)－g(x)＝x 3＋x 2＋1，则f(1)＋g(1)＝( )A ．－3B ．－1C ．1D ．3[答案] C[解析] ∵f(x)－g(x)＝x 3＋x 2＋1，① ∴f(－x)－g(－x)＝－x 3＋x 2＋1， 又∵f(x)为偶函数，g(x)为奇函数， ∴f(x)＋g(x)＝－x 3＋x 2＋1，② 由①②得f(x)＝x 2＋1，g(x)＝－x 3， ∴f(1)＝2，g(1)＝－1，∴f(1)＋g(1)＝1.5．(2014·全国新课标Ⅰ理，3)设函数f(x)、g(x)的定义域都为R ，且f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，则下列结论中正确的是( )A．f(x)g(x)是偶函数B．|f(x)|g(x)是奇函数C．f(x)|g(x)|是奇函数D．|f(x)g(x)|是奇函数[答案] C[解析] 令F(x)＝f(x)|g(x)|，则F(－x)＝f(－x)|g(－x)|＝－f(x)|g(x)|＝－F(x)，∴函数f(x)|g(x)|是奇函数．6．已知f(x)是定义在R上的偶函数，当x≥0时，f(x)＝x2－2x，则函数f(x)在R上的解析式是( )A．f(x)＝－x(x－2) B．f(x)＝x(|x|－2)C．f(x)＝|x|(x－2) D．f(x)＝|x|(|x|－2)[答案] D[解析] 解法一：设x<0，则－x>0，f(－x)＝(－x)2－2(－x)＝x2＋2x，∵y＝f(x)是定义在R上的偶函数，∴f(－x)＝f(x)，即f(x)＝x2＋2x(x<0)．∴f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x x ≥0x 2＋2x x<0，即f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x x －2x ≥0－xx －2x<0，∴f(x)＝|x|(|x|－2)．解法二：只有D 中的函数是R 上的偶函数，故选D ． 二、填空题7．如果F(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －3x>0f xx<0是奇函数，则f(x)＝________.[答案] 2x ＋3[解析] 设x<0，则－x>0，∴F(－x)＝2(－x)－3，即F(－x)＝－2x －3， 又F(x)为奇函数，∴F(－x)＝－F(x)， 即F(x)＝－F(－x)＝2x ＋3，∴f(x)＝2x ＋3.8．若f(x)＝(x ＋a)(x －4)为偶函数，则实数a ＝______. [答案] 4[解析] 本题考查二次函数、偶函数概念．由f(x)＝x 2＋(a －4)x －4a 为偶函数知其对称轴x ＝－a －42＝0，即a ＝4.另外本题也可利用偶函数定义求解．三、解答题9．(2014～2015学年度潍坊市四县市高一上学期期中测试)已知函数f(x)＝ax ＋bx(其中a 、b 为常数)的图象经过两点(1,2)和(2，52)．(1)求函数f(x)的解析式； (2)判断函数f(x)的奇偶性．[解析](1)由已知得⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝22a ＋b 2＝52，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1b ＝1.∴f(x)＝x ＋1x.(2)由题意可知，函数f(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称．又f(－x)＝－x －1x ＝－(x ＋1x )＝－f(x)，∴f(x)为奇函数．10．判断函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2x ＋ 3x<02x ＝0－x 2＋2x － 3x>0的奇偶性．[解析] 函数f(x)的定义域为(－∞，＋∞)，当x>0时，－x<0，f(－x)＝(－x)2＋2(－x)＋3＝x 2－2x ＋3＝－(－x 2＋2x －3)＝－f(x)；当x<0时，－x>0，f(－x)＝－(－x)2＋2(－x)－3＝－x 2－2x －3＝－(x 2＋2x ＋3)＝－f(x)．由于当x＝0时，f(0)＝2≠－f(0)，因此尽管x≠0时f(－x)＝－f(x)成立，但是不符合函数奇偶性的定义．∴函数f(x)既不是奇函数也不是偶函数.一、选择题1．如右图是偶函数y＝f(x)的局部图象，根据图象所给信息，下列结论正确的是( )A．f(－2)－f(6)＝0 B．f(－2)－f(6)<0C．f(－2)＋f(6)<0 D．f(－2)－f(6)>0[答案] B[解析] 由图象可知，f(2)<f(6)，又∵f(x)为偶函数，∴f(－2)＝f(2)，∴f(－2)－f(6)<0.2．设f(x)是R上的偶函数，且在(0，＋∞)上是减函数，若x1<0且x1＋x2>0，则( )A．f(－x1)>f(－x2) B．f(－x1)＝f(－x2)C．f(－x1)<f(－x2) D．f(－x1)与f(－x2)的大小不确定[答案] A[解析] ∵x2>－x1>0，f(x)是R上的偶函数，∴f(－x2)＝f(x2)．又f(x)在(0，＋∞)上是减函数，∴f(－x2)＝f(x2)<f(－x1)．3．(2014～2015学年度山东烟台高一上学期期中测试)设f(x)是定义在[－6,6]上的偶函数，且f(4)>f(1)，则下列各式一定成立的是( )A．f(0)<f(6) B．f(4)>f(3)C．f(2)>f(0) D．f(－1)<f(4)[答案] D[解析] ∵函数f(x)是定义在[－6,6]上的偶函数，∴f(－1)＝f(1)，又∵f(4)>f(1)，∴f(4)>f(－1)，故选D．4．(2014～2015学年度潍坊四县市高一上学期期中测试)已知函数f(x)＝x5＋ax3＋bx－8，且f(－2)＝10，那么f(2)等于( )A．－10 B．－18C．－26 D．10[答案] C[解析] 解法一：f(－2)＝(－2)5＋a(－2)3－2b－8＝－(25＋23a＋2b)－8＝10，∴25＋23a＋2b＝－18.∴f(2)＝25＋23a＋2b－8＝－18－8＝－26.解法二：显然f(x)＋8＝x5＋ax3＋bx为奇函数，f(－2)＋8＝－[f(2)＋8]，即18＝－f(2)－8.∴f(2)＝－26.二、填空题5．如果奇函数f(x)在区间[3,7]上是增函数，且最小值为5，那么f(x)在[－7，－3]上的最______值为________．[答案] 大－5[解析] 由f(x)在[3,7]上是增函数可知，f(x)在[3,7]上的最小值为f(3)＝5，∵奇函数在关于原点对称的区间上具有相同的单调性，∴f(x)在[－7，－3]上也是增函数，又f(x)为奇函数，∴f(x)在[－7，－3]上的最大值为f(－3)＝－f(3)＝－5.6．偶函数f(x)在[0，＋∞)上是减函数，则f(－4)______f(a2＋4)(a∈R)．(填：>、<、≥、≤)[答案] ≥[解析] 由f(x)是偶函数可知f(－4)＝f(4)．∵a2≥0，∴a2＋4≥4.又∵f(x)在[0，＋∞)上是减函数，∴f(4)≥f(a2＋4)，即f(－4)≥f(a2＋4)．三、解答题7．(2014～2015学年度青海师范大学附属第二中学高一上学期月考)设函数f(x)＝x2－2|x|(－3≤x≤3)．(1)证明：f(x)是偶函数；(2)画出此函数的图象，并指出函数的单调区间．[解析] (1)∵－3≤x≤3，∴函数f(x)的定义域关于原点对称．f(－x)＝(－x)2－2|－x|＝x2－2|x|＝f(x)，∴f(x)是偶函数．(2)函数f(x)的图象如图所示．由图象可知，函数f(x)的单调递增区间为[－1,0]，[1,3]，单调递减区间为[－3，－1]，[0,1]．8．已知f(x)是偶函数，g(x)是奇函数，且f(x)＋g(x)＝(x2＋1)(x＋1)，求f(x)、g(x)．[解析] ∵f(x)是偶函数，g(x)是奇函数，∴f(－x)＝f(x)，g(－x)＝－g(x)．在已知条件中，将x全部换成－x，得f(－x)＋g(－x)＝(x2＋1)(－x＋1)，即f(x)－g(x)＝(x2＋1)(－x＋1)．由⎩⎪⎨⎪⎧ f x g x x 2＋1x ＋1f x g x x 2＋1x ＋1， 得f(x)＝x 2＋1，g(x)＝x(x 2＋1)．。
人教B版数学高一版必修1学案 函数的奇偶性
2.1.4 函数的奇偶性谈重点对函数奇偶性的理解(1)定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的前提条件．由函数奇偶性的定义知，若x 是定义域中的一个数值，则－x必然在定义域中，因此，函数y＝f(x)是奇函数或偶函数的一个必不可少的前提条件是定义域在数轴上所表示的区间关于原点对称．换言之，若所给函数的定义域不关于原点对称，则函数一定不具有奇偶性．如函数y＝2x在(－∞，＋∞)上是奇函数，但在[－2,3]上则无奇偶性可言．(2)函数按奇偶性分为：奇函数、偶函数、既奇又偶函数、非奇非偶函数．(3)既奇又偶函数的表达式如f(x)＝0(x∈A)，定义域A是关于原点对称的非空数集．如函数f(x)＝0(－2≤x≤2)是既奇又偶函数；再如函数f(x)＝x＋－x，定义域为{0}且f(x)＝0，所以该函数也是既奇又偶函数．(4)若奇函数在原点处有定义，则有f(0)＝0.(5)函数的奇偶性与单调性的差异．奇偶性反映的是函数在定义域上的对称性，单调性是反映函数在某一区间上函数值的变化趋势．奇偶性是相对于函数的整个定义域来说的，这一点与函数的单调性不同，从这个意义上来讲，函数的单调性是函数的“局部”性质，而奇偶性是函数的“整体”性质，只有对定义域中的每一个x，都有f(－x)＝－f(x)(或f(－x)＝f(x))，才能说f(x)是奇(偶)函数．用定义判断函数奇偶性的一般步骤(1)求函数的定义域，并判断定义域是否关于原点对称．若定义域不关于原点对称，则函数既不是奇函数也不是偶函数，若定义域关于原点对称，则进行下一步．(2)求f(－x)并判断f(－x)与f(x)的关系．若f(－x)＝f(x)，则函数为偶函数；若f(－x)＝－f(x)，则函数为奇函数；若f(－x)＝f(x)且f(－x)＝－f(x)，则函数既是奇函数又是偶函数；若f(－x)≠f(x)且f(－x)≠－f(x)，则函数既不是奇函数又不是偶函数．(3)得出结论．【例1－1】下列说法正确的是()A．若一个函数的定义域关于坐标原点对称，则这个函数为奇函数B．若一个函数为偶函数，则它的定义域关于坐标原点对称C．若一个函数的定义域关于坐标原点对称，则这个函数为偶函数D．若函数f(x)的定义域为R，且f(0)＝0，则f(x)是奇函数答案：B【例1－2】判断下列函数的奇偶性：(1)(f x(2)(f x(3)f(x)＝x2－2|x|＋1，x∈[－1,1]．解：(1)∵由10,10,xx-≥⎧⎨-≥⎩得x＝1，∴函数f(x)的定义域为{1}，不关于原点对称．故f(x)既不是奇函数，也不是偶函数．(2)∵由2210,10,xx⎧-≥⎨-≥⎩得x2＝1，即x＝±1.∴函数f(x)的定义域是{－1,1}，关于原点对称．又∵f(x)＝0，∴f(x)既是奇函数又是偶函数．(3)函数的定义域为[－1,1]，关于原点对称．又∵f(－x)＝(－x)2－2|－x|＋1＝x2－2|x|＋1＝f(x)，∴f(x)是偶函数．2．奇、偶函数的图象特征(1)如果一个函数是奇函数，则这个函数的图象是以坐标原点为对称中心的中心对称图形；反之，如果一个函数的图象是以坐标原点为对称中心的中心对称图形，则这个函数是奇函数．(2)如果一个函数是偶函数，则它的图象是以y轴为对称轴的轴对称图形；反之，如果一个函数的图象关于y轴对称，则这个函数是偶函数．析规律巧用奇、偶函数的图象特征由于偶函数的图象关于y轴对称，奇函数的图象关于原点对称，因而在研究这类函数的性质时，只需通过研究函数(－∞，0](或[0，＋∞))上的情形，便可推断出函数在整个定义域上的情形．【例2－1】奇函数f(x)的定义域是[－2,2]且其图象的一部分如图所示，则不等式f(x)＜0的解集是________．解析：由于f(x)是奇函数，所以f(x)的图象关于原点对称，补全其图象，如图所示，从图上可以看出f(x)＜0的解集是(－1,0)∪(1,2)．答案：(－1,0)∪(1,2)【例2－2】已知，如图为某函数y＝f(x)的图象(关于原点对称)，且f(2)＝2，求f(－2)的值是多少？解：∵函数y＝f(x)的图象关于原点对称，∴函数y＝f(x)是奇函数．又f(2)＝2，∴f(－2)＝－f(2)＝－2.【例2－3】如图，给出了偶函数y＝f(x)的局部图象，试比较f(1)与f(3)的大小．分析：方法一：方法二：解：方法一：∵函数f(x)是偶函数，∴其图象关于y轴对称，如图．由图象可知f(1)＜f(3)．方法二：由题图可知f(－1)＜f(－3)．又函数y＝f(x)是偶函数，∴f(－1)＝f(1)，f(－3)＝f(3)，∴f(1)＜f(3)．析规律奇、偶函数图象的作用(1)由函数图象的对称性判断函数的奇偶性也是一种常用的奇偶性判断方法，称作图象法．(2)如果已知一个函数是奇函数或偶函数，则只要将它的定义域分成关于原点对称的两部分，得出函数在一部分上的性质和图象，就可推出这个函数在另一部分上的性质和图象．3．判断函数奇偶性的方法(1)定义法 (2)图象法其步骤是：①画出函数f (x )的图象；②判断函数图象关于原点或y 轴是否对称；③如果图象关于原点对称，那么这个函数是奇函数；如果图象关于y 轴对称，那么这个函数是偶函数；如果图象关于原点和y 轴均对称，那么这个函数既是奇函数又是偶函数；如果图象关于原点和y 轴均不对称，那么这个函数既不是奇函数也不是偶函数．(3)性质法①偶函数的和、差、积、商(分母不为零)仍为偶函数； ②奇函数的和、差仍为奇函数；③两个奇函数的积、商(分母不为0)为偶函数； ④一个奇函数与一个偶函数的积为奇函数． 【例3】判断下列函数的奇偶性：(1)222()=1x xf x x ++；(2)f (x )＝x 3－2x ；(3)f (x )＝x 2＋1.解：(1)函数的定义域为(－∞，－1)∪(－1，＋∞)不关于原点对称， 故函数f (x )既不是奇函数，也不是偶函数． (2)函数的定义域为R .方法一：f (－x )＝(－x )3－2(－x )＝－(x 3－2x )＝－f (x )， ∴函数f (x )＝x 3－2x 是奇函数．方法二：∵f 1(x )＝x 3是奇函数，f 2(x )＝－2x 也是奇函数， ∴f (x )＝f 1(x )＋f 2(x )＝x 3－2x 是奇函数． (3)函数的定义域为R .方法一：f (－x )＝(－x )2＋1＝x 2＋1＝f (x )，∴函数f (x )＝x 2＋1是偶函数．方法二：画出y ＝x 2＋1的图象，如图，由图可知其图象关于y 轴对称．∴函数f (x )＝x 2＋1是偶函数．辨误区 判断奇偶性应先考虑定义域本题(1)易错解为：f (x )＝2x 2＋2x x ＋1＝2x ，f (－x )＝－2x ＝－f (x )，则函数f (x )＝2x 2＋2xx ＋1是奇函数，其原因是没有讨论函数的定义域．避免出现此类错误的方法是讨论函数的奇偶性要遵守定义域优先的原则．4．分段函数奇偶性的判断判断分段函数的奇偶性时，通常利用定义法判断．在函数定义域内，对自变量x 的不同取值范围，有着不同的对应法则，这样的函数叫做分段函数．分段函数不是几个函数，而是一个函数．因此其判断方法也是先考察函数的定义域是否关于原点对称，然后判断f (－x )与f (x )的关系．首先要特别注意的是x 与－x 的范围，然后将它代入相应段的函数表达式中，f (x )与f (－x )对应不同的表达式，而它们的结果按奇偶函数的定义进行比较．例如：判断函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x (x －1)，x ≥0，－x (x ＋1)，x <0的奇偶性．解：函数的定义域是(－∞，0]∪(0，＋∞)＝R .∵当x ＞0时，有f (x )＝x (x －1)，－x ＜0， ∴f (－x )＝－(－x )·(－x ＋1)＝x (1－x )＝－x (x －1)＝－f (x )． 当x ＜0时，有f (x )＝－x (x ＋1)，－x ＞0， ∴f (－x )＝－x (－x －1)＝x (x ＋1)＝－f (x )． 当x ＝0时，f (0)＝0，f (－0)＝0＝－f (0)．综上所得，对x ∈R ，总有f (－x )＝－f (x )成立． ∴f (x )是奇函数．【例4－1】已知函数222,0,()=0,=0,,0x x x f x x x mx x ⎧-+>⎪⎨⎪+<⎩是奇函数，则m ＝________.解析：当x ＜0时，－x ＞0，f (－x )＝－(－x )2＋2(－x )＝－x 2－2x . ∵f (x )为奇函数，∴f (－x )＝－f (x )＝－x 2－2x . ∴f (x )＝x 2＋2x ＝x 2＋mx ， ∴m ＝2. 答案：2【例4－2】判断函数2211,0,2()=11,02x x f x x x ⎧+>⎪⎪⎨⎪--<⎪⎩的奇偶性．解：方法一：函数的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，当x ＞0时，－x ＜0，f (－x )＝12－(－x )2－1＝2112x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭＝－f (x )． 当x ＜0时，－x ＞0，f (－x )＝12(－x )2＋1＝12x 2＋1＝2112x ⎛⎫--- ⎪⎝⎭＝－f (x )．综上所述，在(－∞，0)∪(0，＋∞)上总有f(－x)＝－f(x)，所以函数f(x)是奇函数．方法二：作出函数的图象，如图所示．函数的图象关于原点对称，所以是奇函数．点技巧分段函数奇偶性的判断技巧(1)分段函数的奇偶性应分段说明f(－x)与f(x)的关系，只有当对称区间上的对应关系满足同样的关系时，才能判断函数的奇偶性，否则该分段函数既不是奇函数也不是偶函数；(2)若能画出分段函数的图象，可利用图象的对称性去判断分段函数的奇偶性．5．抽象函数奇偶性的判断对于抽象函数奇偶性的判断，由于无具体的解析式，要充分利用给定的函数方程关系式，对变量进行赋值，使其变为含有f(x)，f(－x)的式子．再利用奇偶性的定义加以判断．【例5】函数f(x)，x∈R，若对任意实数a，b都有f(a＋b)＝f(a)＋f(b)，求证：f(x)为奇函数．证明：令a＝0，则f(b)＝f(0)＋f(b)，∴f(0)＝0.又令a＝－x，b＝x，代入f(a＋b)＝f(a)＋f(b)，得f(－x＋x)＝f(－x)＋f(x)．即f(－x)＋f(x)＝0，∴f(－x)＝－f(x)．∴f(x)为奇函数．6．利用函数的奇偶性求函数解析式奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y轴对称．当函数f(x)具有奇偶性时，已知函数f(x)在y轴一侧的解析式，就可得到在y轴另一侧的解析式，具体做法如下：(1)“求谁设谁”，即在哪个区间求解析式，x就设在哪个区间内；(2)要利用已知区间的解析式进行代入；(3)利用f(x) 的奇偶性写出－f(x)或f(－x)，从而解出f(x)；(4)若函数f(x)的定义域内含0且为奇函数，则必有f(0)＝0.若做选择题或填空题，还可以采用如下办法：(1)直接代换法：若图象关于原点对称，只需把原函数中的x和y分别换成“－x”和“－y”；若关于y轴对称，只需把原函数中的x变为“－x”即可．(2)特殊点对称法：在函数y＝f(x)图象上找若干个(个数视y＝f(x)的形式而定)特殊点(a，f(a))，(b，f(b))，…，若y＝f(x)为奇函数，则(－a，－f(a))，(－b，－f(b))，…一定在另一半图象上；若y＝f(x)是偶函数，则(－a，f(a))，(－b，f(b))，…也一定在另一半图象上．设出其解析式，利用待定系数法求解．【例6－1】已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，当x∈(－∞，0)时，f(x)＝x－x4；当x∈(0，＋∞)时，f(x)＝________.解析：方法一：由于是填空题，故可采用直接代换法，将x用－x代替，即答案为－x－x 4.方法二：设x ∈(0，＋∞)，则－x ∈(－∞，0)，则f (－x )＝－x －(－x )4＝－x －x 4. ∵y ＝f (x )是偶函数，∴f (x )＝f (－x )．从而在区间(0，＋∞)上的函数表达式为f (x )＝－x －x 4. 答案：－x －x 4【例6－2】若f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ＜0时，f (x )＝x (2－x )，求函数f (x )的解析式．分析：解：∵f (x )是定义在R 上的奇函数， ∴f (－x )＝－f (x )，f (0)＝0. 当x ＞0时，－x ＜0，则 f (－x )＝－x (2＋x )＝－f (x )， ∴f (x )＝x (x ＋2)．故(2),0,()=0,=0,(2),0.x x x f x x x x x +>⎧⎪⎨⎪-<⎩辨误区 定义在R 上的奇函数易忽略的结论f (x )在定义域内的解析式是分段给出的，要写成分段函数的形式，另外不要忽略当x ＝0时，f (x )＝0.7．函数的奇偶性与单调性的综合应用 函数y ＝f (x )的奇偶性与其单调性的关系：(1)如果函数y ＝f (x )是奇函数，那么f (x )在区间(a ，b )(0＜a ＜b )和(－b ，－a )上具有“相同”的单调性．证明：当f (x )在区间(a ，b )上是增函数时，设－b ＜x 1＜x 2＜－a ，则a ＜－x 2＜－x 1＜b . 由于f (x )在区间(a ，b )上是增函数， 则有f (－x 1)＞f (－x 2)．又函数y ＝f (x )是奇函数，所以－f (x 1)＞－f (x 2)．所以f (x 1)＜f (x 2)．所以f (x )在区间(－b ，－a )上也是增函数．同理可证，当f (x )在区间(a ，b )(0＜a ＜b )上是减函数时，f (x )在区间(－b ，－a )上也是减函数．(2)如果函数y ＝f (x )是偶函数，那么f (x )在区间(a ，b )(0＜a ＜b )和(－b ，－a )上具有“相反”的单调性．证明略，与(1)的证明类似．这样，就可以利用函数y ＝f (x )的奇偶性与其单调性的关系解决有关问题了．【例7】函数y ＝f (x )(x ≠0)是奇函数，且当x ∈(0，＋∞)时是增函数，若f (2)＝0，求不规范解答顾问点评解：∵f (2)＝0，∴不等式可转化为f [x (x ＋1)]＜f (2)． 又∵f (x )在(0，＋∞)上是增函数，解决有关函数的奇偶性、单调性及不等式的综合问题，一般是先利用奇偶性。
高中数学人教B版必修一练习：2.1.4 函数的奇偶性.doc
2.1.4 函数的奇偶性【选题明细表】1.下列函数中,既是奇函数又是增函数的为( D )(A)y=x+1 (B)y=-x3(C)y=(D)y=x|x|解析:选项A是增函数不是奇函数,选项A不正确;选项B,C不是定义域内的增函数.故选D.2.(2018·山东烟台期中)函数f(x)=ax2+bx+2a-b是定义在[a-1,2a]上的偶函数,则a+b等于( C )(A)- (B)0 (C)(D)1解析:函数为偶函数,则定义域关于坐标原点对称,即a-1+2a=0,所以a=,结合二次函数的性质可得,其对称轴-=0,所以b=0,所以a+b=. 3.(2018·江西南昌实验中学期中)已知f(x)=ax5+bx3+cx-8,且f(-2)=4,那么f(2)等于( A )(A)-20 (B)10 (C)-4 (D)18解析:因为f(x)=ax5+bx3+cx-8,且f(-2)=4,所以f(-2)=-32a-8b-2c-8=4,解得32a+8b+2c=-12,所以f(2)=32a+8b+2c-8=-12-8=-20.故选A.4.设f(x)是R上的奇函数,且当x∈[0,+∞)时,f(x)=x(1+),那么当x∈(-∞,0]时,f(x)等于( D )(A)-x(1+) (B)x(1+)(C)-x(1-) (D)x(1-)解析:当x∈(-∞,0]时,-x∈[0,+∞),所以f(-x)=-x(1+)=-x(1-).因为f(x)为奇函数,所以f(x)=-f(-x)=x(1-).故选D.5.(2018·北京石景山九中期中)函数y=f(x)是定义在[-2,a](a>-2)上的偶函数,则a的值为.解析:因为f(x)是偶函数,且定义域为[-2,a],所以定义域[-2,a]关于原点O对称,所以a=-(-2)=2.答案:26.(2018·陕西安康期中)已知f(x)+g(x)为偶函数,f(x)-g(x)为奇函数,若f(2)=2,则g(-2)= .解析:因为f(x)+g(x)为偶函数,f(x)-g(x)为奇函数,所以解得g(-2)=f(2)=2.答案:27.设函数f(x),g(x)的定义域都是R,且f(x)是奇函数,g(x)是偶函数,则下列结论正确的是( C )(A)f(x)·g(x)是偶函数(B)|f(x)|·g(x)是奇函数(C)f(x)·|g(x)|是奇函数 (D)|f(x)·g(x)|是奇函数解析:因为f(x)是奇函数,g(x)是偶函数,所以f(-x)=-f(x),g(-x)=g(x),所以f(-x)·|g(-x)|=-f(x)·|g(x)|,所以f(x)·|g(x)|是奇函数.故选C.8.(2018·黑龙江齐齐哈尔检测)定义在R上的偶函数f(x)满足对任意的x1,x2∈(-∞,0](x1≠x2),有<0.则( B )(A)f(-3)<f(-2)<f(1) (B)f(1)<f(-2)<f(-3)(C)f(-2)<f(1)<f(-3) (D)f(-3)<f(1)<f(-2)解析:由于函数f(x)对任意的x1,x2∈(-∞,0](x1≠x2),<0,所以函数f(x)在(-∞,0)上是减函数,又函数f(x)是偶函数,所以函数f(x)在(0,+∞)上是增函数,且f(-2)=f(2),f(-3)=f(3);所以有f(1)<f(2)<f(3),从而得f(1)<f(-2)<f(-3);故选B.9.设函数f(x)是奇函数,在(0,+∞)上是增函数,且有f(-3)=0,则xf(x)<0的解集是( D )(A){x|-3<x<0或x>3}(B){x|x<-3或 0<x<3}(C){x|x<-3或x>3}(D){x|-3<x<0或0<x<3}解析:根据已知条件,可画出f(x)的大致图象,如图,从图中可得xf(x)<0的解集为{x|-3<x<0或0<x<3}.故选D.10.(2018·山东安丘期中)设a为常数,函数f(x)=x2-4x+3.若f(x+a)为偶函数,则a= .解析:法一因为f(x+a)是偶函数,所以f(a+x)=f(a-x).所以函数y=f(x)的对称轴方程为x=a.又f(x)=x2-4x+3=(x-2)2-1的对称轴方程为x=2.故a=2.法二函数f(x)=x2-4x+3为开口向上的抛物线,对称轴方程为x=2. 有f(x+2)=x2-1,此时对称轴为x=0,即f(x+2)为偶函数,所以a=2.答案:211.已知函数f(x)是定义在R上的函数,f(x)图象关于y轴对称,当x ≥0时,f(x)=x2-4x.(1)画出f(x)图象;(2)求出f(x)的解析式;(3)若函数y=f(x)与函数y=m的图象有四个交点,求m的取值范围. 解:(1)如图所示.(2)当x<0时-x>0,f(-x)=x2+4x,因为f(x)为偶函数,所以f(x)=f(-x)=x2+4x,所以f(x)=(3)最小值为f(-2)=f(2)=-4,由(1)图象可知函数y=f(x)与函数y=m 的图象有四个交点时,-4<m<0.12.(2018·山东邹城期中)已知偶函数f(x)与奇函数g(x)的定义域都是(-2,2),它们在[0,2]上的图象如图所示,则使关于x的不等式f(x)·g(x)<0成立的x的取值范围为( C )(A)(-2,-1)∪(1,2) (B)(-1,0)∪(0,1)(C)(-1,0)∪(1,2) (D)(-2,-1)∪(0,1)解析:当0<x<1时,f(x)>0,g(x)>0,f(x)·g(x)>0;当1<x<2时,f(x)<0,g(x)>0,f(x)·g(x)<0,故当x>0时,其解集为(1,2),因为y=f(x)是偶函数,y=g(x)是奇函数,所以f(x)·g(x)是奇函数,由奇函数的对称性可得当x<0时,其解集为(-1,0),综上,不等式f(x)·g(x)<0的解集是(-1,0)∪(1,2),故选C.。
高中数学函数的奇偶性例题解析 新课标 人教版 必修1(B)
函数的奇偶性 例题解析1、 已知函数f （x ）＝112＋＋bx ax （a ，b ，c ∈Z ）是奇函数，又f （1）＝2，f （2）＜3． （1）求a ，b ，c 的值；（2）判断f （x ）在（－∞，0）上的单调性．解：（1）∵函数f （x ）＝cbx ax ＋＋12（a ，b ，c ∈Z ）是奇函数， ∴f （－x ）＝－f （x ）．故：c bx ax ＋－＋12＝cbx ax ＋＋12，即－bx ＋c ＝－bx －c ． ∴c ＝0．∴f （x ）＝bxax 12＋．又f （1）＝2，故b a 1＋＝2． 而f （2）＜3，即b a 214＋＜3，即114＋＋a a ＜3，∴－1＜a ＜2． 又由于a ∈Z ，∴a ＝0或a ＝1．当a ＝0时，b ＝专（舍）；当a ＝1时，b ＝1．综上可知，a ＝b ＝1，c ＝0．（2）f （x ）＝xx 12＋＝x ＋x 1． 设x 1、x 2是（－∞，0）上的任意两个实数，且x 1＜x 2，则f （x 1）－f （x 2）＝x 1＋11x －（x 2＋21x ）＝x 1－x 2＋（11x －21x ） ＝x 1－x 2－2121x x x x －＝（x 1－x 2）21211x x x x －． 当x 1－x 2≤－1时，x 1x 2＞1，x 1x 2－1＞0，从而f （x 1）－f （x 2）＜0，即f （x 1）＜f （x 2）．所以函数f （x ）＝xx 12＋在]1(，－－ 上为增函数． 当－1≤x 1＜x 2＜0时，0＜x 1x 2＜1，x 1x 2－1＜0，从而f （x 1）－f （x 2）＞0，即f （x 1）＞f （x 2）．所以函数f （x ）＝xx 12＋·在)0[－，上0为减函数 2、判断下列函数是否具有奇偶性．（1）f （x ）＝x 3； （2）f （x ）＝2x 4＋3x 2；（3）f （x ）＝x 3＋31x ；（4）f （x ）＝x ＋1． 通过这四个小题的解答，仔细观察分析，不难发现如下结论：在公共定义域内， （1）两个偶函数之和为偶函数；两个偶函数之积为偶函数；（2）两个奇函数之和为奇函数；两个奇函数之积为偶函数；（3）一个奇函数与一个偶函数之积为奇函数．事实上，以上三个结论是正确的，下面以结论（3）为例证明．证明：设函数f （x ）为奇函数，它的定义域为A ，函数g （x ）为偶函数，它的定义域为B ，两个函数的公共定义域为C ，记F （x ）＝f （x ）g （x ）．设x ∈C ，f （－x ）＝f （－x ）g （－x ）＝－f （x ）g （x ）＝－f （x ）．所以函数F （x ）为奇函数，利用上述结论，我们可以解决一些问题，看下面的例子：f （x ）＝（1＋122－x ）f （x ）（x ≠0）是偶函数，且f （x ）不恒等于零，则f （x ）（ ）A ．是奇函数B ．是偶函数C ．可能是奇函数，也可能是偶函数D ．不是奇函数，也不是偶函数 分析：∵g （x ）＝1＋122－x ＝1212－＋x x ，g （－x ）＝1212－＋－－x x ＝－1212－＋x x ， ∴f （x ）是奇函数．又f （x ）不恒等于零，f （x ）为偶函数，由上面结论（2）知应选A ．。
人教B版数学高一版必修1练习函数的奇偶性
2.1.4 函数的奇偶性知识点一：奇偶函数的概念1．对于定义域是R 的任意奇函数f(x)，都有A ．f(x)－f(－x)>0B ．f(x)－f(－x)≤0C ．f(x)·f(－x)≤0D ．f(x)·f(－x)>0 2．已知函数f(x)＝x －2＋－x ＋2，则f(x)是 A ．奇函数 B ．偶函数C ．既奇又偶函数D ．非奇非偶函数3．已知函数y ＝f(x)是定义在区间[a －1,3]上的偶函数，那么a ＝__________.4．若f(x)是奇函数，则f(1＋2)＋f(11－2)＝__________.知识点二：奇偶函数的图象特征 5．下列命题正确的是A ．偶函数的图象一定与y 轴相交B ．奇函数的图象一定通过原点C ．不存在既是奇函数又是偶函数的函数D ．偶函数的图象关于y 轴对称6．奇函数y ＝f(x)(x∈R )的图象必过点A ．(a ，f(－a))B ．(－a ，f(a))C ．(－a ，－f(a))D ．(a ，f(1a))7．已知f(x)是定义在(－3,3)上的奇函数，当0<x<3时，f(x)的图象如图所示，那么不等式f(x)<0的解集为A ．(－3，－2)∪(0,1)B ．(－2，－1)∪(0,1)C ．(－3，－1)∪(0,1)D ．(0,1)∪(1,3)8．下图是根据y ＝f(x)绘出来的，则表示偶函数的图象是图中的__________．(把正确答案的序号都填上)能力点一：判断函数的奇偶性 9．下列函数中不是偶函数的是A ．y ＝－3x 2B ．y ＝3x 2＋|x|C ．y ＝1x 2－1D ．y ＝x 2－x ＋110．判断下列函数的奇偶性：(1)f(x)＝|x ＋a|－|x －a|(a∈R )；(2)f(x)＝x(12x －1＋12)；(3)f(x)＝1－x2|x ＋2|－2.11．判断函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x1－x ，x<0，x 1＋x ，x>0的奇偶性．能力点二：利用奇偶性求解析式12．若f(x)是定义在R 上的奇函数，当x<0时，f(x)＝x(x －1)．求当x≥0时，f(x)的解析式．能力点三：利用奇偶性确定字母范围13．设f(x)在R 上是偶函数，在区间(－∞，0)上递增，且有f(2a 2＋a ＋1)<f(2a 2－2a ＋3)，求a 的取值范围．能力点四：综合应用14．若函数y ＝f(x ＋2)是偶函数，则y ＝f(x)的对称轴方程是A ．x ＝0B ．x ＝2C ．x ＝－2D ．x ＝1 15．已知f(x)是偶函数，g(x)是奇函数，它们的定义域均为{x|x≠±1}，若f(x)＋g(x)＝1x －1，则f(x)＝__________，g(x)＝__________. 16．已知函数f(x)＝x 5＋ax 3＋bx －8，且f(－2)＝10，则f(2)＝__________.17．已知函数f(x)，x∈R ，若对于任意实数a ，b 都有f(a ＋b)＝f(a)＋f(b)．求证：f(x)为奇函数．18．函数f(x)＝ax ＋b 1＋x 2是定义在(－1,1)上的奇函数，且f(12)＝25.(1)确定函数f(x)的解析式；(2)用定义证明f(x)在(－1,1)上是增函数； (3)解不等式：f(t －1)＋f(t)<0.答案与解析基础巩固1．C 2.D 3.－24．0 ∵f(x)是奇函数，∴f(11－2)＝f[－(1＋2)]＝－f(1＋2)． ∴f(1＋2)＋f(11－2)＝f(1＋2)－f(1＋2)＝0. 5．D6．C 由f(－a)＝－f(a)知，(－a ，f(－a))即(－a ，－f(a))在y ＝f(x)的图象上． 7．C ∵f(x)是定义在(－3,3)上的奇函数，∴图象关于原点对称，易知f(x)<0的解集为(0,1)∪(－3，－1)．8．(3)能力提升9．D10．解：(1)f(x)的定义域(－∞，＋∞)关于原点对称．a≠0时，f(－x)＝|－x ＋a|－|－x －a|＝|x －a|－|x ＋a|＝－f(x)． a ＝0时，f(x)＝|x|－|x|＝0.∴f(－x)＝f(x)＝0，且f(－x)＝－f(x)＝0.综上，知当a≠0时，f(x)为奇函数；当a ＝0时，f(x)既是奇函数又是偶函数．(2)由2x－1≠0，得x≠0，∴f(x)的定义域关于原点对称．∵f(－x)＝－x(12－x －1＋12)＝－x(2x1－2x ＋12)＝x(2x2x －1－12)＝x(12x －1＋12)＝f(x)，∴f(x)是偶函数．(3)f(x)的定义域为[－1,0)∪(0,1]，则f(x)＝1－x 2|x ＋2|－2＝1－x2x ，f(－x)＝1－－x2－x＝－1－x 2x＝－f(x)．∴f(x)是奇函数．11．解：f(x)的定义域是(－∞，0)∪(0，＋∞)， 并且当x>0时，－x<0，∴f(－x)＝(－x)[1－(－x)]＝－x(1＋x)＝－f(x)； 当x<0时，－x>0，∴f(－x)＝－x(1－x)＝－f(x)． 故f(x)是奇函数．12．解：∵f(x)是奇函数，∴当x>0时，f(x)＝－f(－x)＝－(－x)(－x －1)＝x(－x －1)＝－x(x ＋1)；当x ＝0时，f(0)＝－f(0)， 即f(0)＝0.∴x≥0时，f(x)＝－x(x ＋1)．13．解：∵f(x)在R 上是偶函数，在区间(－∞，0)上递增， ∴f(x)在(0，＋∞)上递减．∵2a 2＋a ＋1＝2(a ＋14)2＋78>0，2a 2－2a ＋3＝2(a －12)2＋52>0，且f(2a 2＋a ＋1)<f(2a 2－2a ＋3)，∴2a 2＋a ＋1>2a 2－2a ＋3，即3a －2>0.解之，得a>23.14．B ∵y＝f(x ＋2)是偶函数， ∴f(x＋2)＝f(－x ＋2)． ∴f(x)的对称轴为x ＝2.15.1x 2－1 xx 2－1 ∵f(x)＋g(x)＝1x －1，① ∴f(－x)＋g(－x)＝1－x －1， 即f(x)－g(x)＝－1x ＋1.②由①②联立方程组可求得答案．16．－26 设g(x)＝x 5＋ax 3＋bx ，x∈R ，∵g(－x)＝－g(x)， ∴g(x)为奇函数．而f(x)＝g(x)－8，又f(－2)＝g(－2)－8＝10， ∴g(2)＝－g(－2)＝－18. ∴f(2)＝g(2)－8＝－26.拓展探究17．证明：令a ＝0，则f(b)＝f(0)＋f(b)，∴f(0)＝0.又令a ＝－x ，b ＝x ，代入f(a ＋b)＝f(a)＋f(b)得f(－x ＋x)＝f(－x)＋f(x)， 即0＝f(－x)＋f(x)． ∴f(－x)＝－f(x)． ∴f(x)为奇函数．18．解：(1)依题意，得⎩⎪⎨⎪⎧f 0＝0，f 12＝25，即⎩⎪⎨⎪⎧b1＋02＝0a2＋b1＋14＝25⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝0.∴f(x)＝x1＋x2.(2)任取－1<x 1<x 2<1，则Δx＝x 2－x 1>0，Δy＝f(x 2)－f(x 1)＝x 21＋x 22－x 11＋x 21＝x 2－x 1·1－x 1·x 21＋x 211＋x 22. ∵－1<x 1<x 2<1，∴x 2－x 1＝Δx>0，1＋x 21>0,1＋x 22>0. 又∵－1<x 1·x 2<1， ∴1－x 1·x 2>0.∴Δy>0.∴f(x)在(－1,1)上是增函数． (3)f(t －1)<－f(t)＝f(－t)． ∵f(x)在(－1,1)上是增函数， ∴－1<t －1<－t<1.解得0<t<12.。
人教版高中数学必修1 函数奇偶性 知识点 例题 练习试题 及其答案
函数奇偶性一、知识点：1.偶函数定义：一般地，如果对于函数f （x ）定义域内任意一个x ， 都有()()x f x f =-，那么函数f （x ）就叫做偶函数。
2.奇函数定义：一般地，如果对于函数f （x ）定义域内任意一个x ， 都有()()x f x f -=-，那么函数f （x ）就叫做奇函数。
3.判断函数奇偶性的步骤:⑴先判断函数f （x ）定义域是否关于原点对称;若函数定义域不关于原点对称,则函数f （x ）为非奇非偶函数; 若函数定义域关于原点对称,再进行第⑵步;⑵若()()x f x f =-或()()0=--x f x f ,则函数f （x ）为偶函数; 若()()x f x f -=-或()()0=+-x f x f ,则函数f （x ）为奇函数。
4．函数奇偶性的性质：⑴函数f （x ）为偶函数⇔函数f （x ）的图象关于y 轴对称； ⑵函数f （x ）为奇函数⇔函数f （x ）的图象关于原点对称；⑶若函数f （x ）为偶函数，则对于定义域内的任意x ，都有()()x f x f =-； ⑷若函数f （x ）为奇函数，则对于定义域内的任意x ，都有()()x f x f -=- ⑸若函数f （x ）为奇函数且定义域含有0，则有()()00f f -=-即()00=f函数奇偶性练习一、范例精讲例1.下列函数是偶函数的是（ ）A. 21x y = B. 3x y = C. 2-=x y D. 1-=x y例2.已知2)(xx e e x f --=，则下列正确的是（ ）A ．奇函数B ．偶函数C ．既是奇函数又是偶函数D ．非奇非偶函数例3.已知y ＝f (x )是定义在R 上的奇函数，则下列函数中为奇函数的是( )①y ＝f (|x |)；②y ＝f (－x )；③y ＝xf (x )；④y ＝f (x )＋x . A ．①③ B ．②③ C ．①④D ．②④例4.函数)(x f 是R 上的偶函数,且当0>x 时,函数的解析式为.)(12-=xx f 求当0<x 时,函数的解析式.例5.设函数f (x )＝1＋x 21－x 2.(1)求f (x )的定义域；(2)判断f (x )的奇偶性；(3)求证：f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋f (x )＝0.例6.已知，，求.二、对应训练1．若f （x ）为R 上的奇函数，给出下列四个说法：①f （x ）＋f （－x ）＝0 ；②f （x ）－f （－x ）＝2f （x ）；③f （x ）·f （－x ）<0 ④1)()(-=-x f x f . 其中一定正确的有（ ） A ．0个 B ．1个C ．2个D ．3个2.()x f y =是奇函数，当0>x 时，()(),1+=x x x f 则0<x 时，()=x f （ ）A.()1+-x xB.()1+-x xC.()1-x xD.()1+x x 3.已知函数)(x f 是定义在R 上的奇函数，当x x x f x 2)(,02-=≥， 求)(x f 的解析式.4.设函数f (x )＝ax 3＋bx 2＋cx ＋d 的图象如图所示，则f (－1)＋f (1)=()A ．大于0B ．小于0C ．等于0D ．以上结论都不对5.设函数()()216x a f x x ++=+为奇函数，则实数=a ______________6.已知)(x f 是定义在[)2,0-∪(]0,2上的奇函数，当0>x 时，)(x f 的图象如上图所示，那么)(x f 的值域是函数单调性、奇偶性综合练习一、范例精讲例1.设f (x )满足f (－x )＝f (x )，且在[0，＋∞)上为增函数，则f (－2)，f (－π)，f (3)的大小顺序是( )A ．f (－π)＜f (－2)＜f (3)B ．f (－π)＞f (－2)＞f (3)C ．f (－π)＜f (3)＜f (－2)D ．f (－π)＞f (3)＞f (－2)例2．定义在R 上的偶函数f (x )满足：对任意的x 1，x 2∈[0，＋∞)(x 1≠x 2)，有f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1<0，则( )A ．f (3)<f (－2)<f (1)B ．f (1)<f (－2)<f (3)C ．f (－2)<f (1)<f (3)D ．f (3)<f (1)<f (－2)例3.如果偶函数在具有最大值，那么该函数在有（ ）A ．最大值B ．最小值C ．没有最大值D ． 没有最小值例4.若函数 f （x ）=（K-2）x 2+（K-1）x +3是偶函数，则f （x ）的递减区间是例5.已知函数211)(xx f +=（1）判断)(x f 的奇偶性；（2）确定函数)(x f 在)0,(-∞上是增函数还是减函数？证明你的结论.例6.若f (x )满足f (－x )＝－f (x )，且在(－∞，0)内是增函数，又f (－2)＝0，则xf (x )<0的解集是( )A ．(－2,0)∪(0,2)B ．(－∞，－2)∪(0,2)C ．(－∞，－2)∪(2，＋∞)D ．(－2,0)∪(2，＋∞)二、对应训练1.已知奇函数()f x 在区间[]0,5上是增函数，那么下列不等式中成立的是（ ）()()()()()()()()()()()()43;43;43;34.A f f fB f f fC f f fD f f f ππππ>->>>>>->->-、、、、2.如果偶函数)(x f 在区间[3,7] 上是增函数且最大值为5，那么)(x f 在区间[]3,7--上是（ ）A.增函数且最小值是5B.增函数且最大值是5C.减函数且最大值是5D.减函数且最小值是5 3.已知函数f (x )＝－2x ＋m ，其中m 为常数．(1)证明：函数在R 上是减函数；(2)当函数f (x )是奇函数时，求实数m 的值．4.已知y ＝f (x )是定义在R 上的偶函数，当x ≥0时，f (x )＝x 2－2x .(1)求当x <0时，f (x )的解析式；(2)作出函数f (x )的图象，并指出其单调区间．函数奇偶性练习一、范例精讲例1.下列函数是偶函数的是（ C ）A. 21x y = B. 3x y = C. 2-=x y D. 1-=x y例2.已知2)(xx e e x f --=，则下列正确的是（ A ）A ．奇函数B ．偶函数C ．既是奇函数又是偶函数D ．非奇非偶函数例3.已知y ＝f (x )是定义在R 上的奇函数，则下列函数中为奇函数的是( D )①y ＝f (|x |)；②y ＝f (－x )；③y ＝xf (x )；④y ＝f (x )＋x . A ．①③ B ．②③ C ．①④D ．②④例4.函数)(x f 是R 上的偶函数,且当0>x 时,函数的解析式为.)(12-=xx f 求当0<x 时,函数的解析式.解析：当0<x 时，-x>0 ,则12--=-x x f )(.∵函数)(x f 是R 上的偶函数 ∴f(-x)=f （x ）∴2()1f x x=--,x<0.例5.设函数f (x )＝1＋x 21－x 2.(1)求f (x )的定义域；(2)判断f (x )的奇偶性；(3)求证：f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋f (x )＝0.解：(1)由解析式知，函数应满足1－x 2≠0，即x ≠±1. ∴函数f (x )的定义域为{x ∈R|x ≠±1}． (2)由(1)知定义域关于原点对称， f (－x )＝1＋(－x )21－(－x )2＝1＋x 21－x 2＝f (x )．∴f (x )为偶函数．(3)证明：∵f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 21－⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 2＝x 2＋1x 2－1，f (x )＝1＋x 21－x 2，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋f (x )＝x 2＋1x 2－1＋1＋x 21－x 2＝x 2＋1x 2－1－x 2＋1x 2－1＝0. 例6.已知，，求.解析： 已知中为奇函数，即=中，也即，，得，.二、对应训练1．若f （x ）为R 上的奇函数，给出下列四个说法：①f （x ）＋f （－x ）＝0 ；②f （x ）－f （－x ）＝2f （x ）；③f （x ）·f （－x ）<0 ④1)()(-=-x f x f 。