2020-2021学年北京市东城区高一上学期期末考试数学试卷及答案
32
12
当 2x π = 4π ，即 x π 时， f (x) 取得最小值 3 ．
33
2
2
若选择条件①③，
（Ⅰ）由函数
f
(x)
最小正周期 T
2π
=
π ，得
2.
又函数 f (x) 图象关于 x π 对称，所以有 sin(2 π ) 1，所以 k ， k Z ，即
12
12
6
2
k ， k Z ， 3
2
1)
( x1
x2 x1 2)(x2 2)
，
由 x1 x2 2 ，
得 x2 x1 0 ， x1 2 0, x2 2 0 ，
所以 f (x1) f (x2 ) 0 ，即 f (x1) f (x2 ) ，
所以 y f (x) 在区间 (, 2) 上为减函数.
18．若选择条件①②，
选取一组数据求出相应的 k 值．（精确到 0.01） （II）“碧螺春”用 75 C 左右的水冲泡可使茶汤清澈明亮，口感最佳.在（I）的条件下，200ml 水煮沸后在19 C
室温下为获得最佳口感大约冷却 分钟左右冲泡，请在下列选项中选择一个最接近的时间填在横线上，
并说明理由．
A． 5
B． 7
C．10
2020-2021 学年北京市东城区高一上学期期末考试数学试卷及答案
一、单选题
1．已知集合 A {1, 0,1}，集合 B x N x2 1 ，那么 A B （ ）
A．{1}
B．{0,1}
C．{1,1}
D．{1, 0,1}
2．已知 f (x) 为奇函数，且当 x 0 时， f (x) x 2 ，则 f ( 1 ) 的值为（ ）
（Ⅰ）由函数
f
(x)
最小正周期 T
2π
=
π ，得
2.
因为 f (x) 图象关于点 ( π , 0) 对称，所以 sin[2 ( π) ] 0 ，
6
6
所以 k ， k Z ，所以 k ， k Z ，又已知 (0, π ) ，故 π ．
3
3
2
3
因此 f (x) sin(2x π ) ． 3
15．某地原有一座外形近似为长方体且底面面积为 150 平方米的蓄水池，受地形所限，底面长和宽都不超 过 18 米．现将该蓄水池在原有占地面积和高度不变的条件下，重建为两个相连的小蓄水池， 其底面由两 个长方形组成（如图所示）.若池壁的重建价格为每平方米 300 元，池底重建价格每平方米 80 元，那么要 使重建价最低，蓄水池的长和宽分别为____，____．
（Ⅱ）用定义证明 f (x) 在区间 (, 2) 上为减函数.
18．已知函数 f (x) sin( x ) ，其中 0, (0, π ) ．从条件①、条件②、条件③这三个条件中选 2
择两个作为已知条件，求：
（Ⅰ） f (x) 的单调递增区间；
（Ⅱ） f (x) 在区间[0, ]的最大值和最小值．
四、解答题
16．设全集U R ，集合 A x 2x2 x 0 ， B x R ax 1 0 .
（Ⅰ）当 a 1时，求 A B ，ðU A ；
（Ⅱ）若 B ðU A ，求 a 的取值范围．
17．已知函数
f
(x)
1 1, x2
x 2,
) 的值并直接写出 f (x) 的零点；
当a
0
时，
B
x
x
1 a
，若
B
ðU
A ，则有
1 a
1 , 解得 a 2
2 ，此时 0
a
2
；
当 a 0 时， B ，满足 B ðU A ；
当a
0 时，
B
{x
x
1}，满足 B a
ðU
A；
综上，实数 a 的取值范围是 (, 2] .
17．（Ⅰ）因为
f
(3)
log2 (3 1)
1，所以
又已知 (0, π ) ，故 π ．
2
3
因此 f (x) sin(2x π ) ． 3
由
π 2
2kπ
2x
π 3
π 2
2kπ
,
k
Z
，解得
5 12
k
x
12
k
,
k
Z
.
所以 f (x) 的单调递增区间为[ 5π kπ, π kπ ] (k Z) ．
12
12
（Ⅱ）因为
0
x
2
，所以
π 3
2x π 4π 33
成的轨迹为（ ）
A．
B．
C．
D．
10．已知函数 f x x a ，给出下列结论：
x
① a R ， f x 是奇函数；
② a R ， f x 不是奇函数；
③ a R ，方程 f x x 有实根；
④ a R ，方程 f x x 有实根．
其中，所有正确结论的序号是（ ）
A．①③
因为 f (x) 在定义域 R 上是奇函数，所以 f x2 x f x m ，
又
f
(x)
1 2
1 2x 1
为增函数，所以
x2
x
x
m 恒成立，
由 x2 2x m 0 恒成立，有△ 4 4m 0 ，解得 m 1，
所以， m 的取值范围是 , 1 ．
20．（I）由
0
(1
0 ) ekt
f
(
f
(3))
f
(1)
1 1 2
1 0 ．
当
x
2
时，由
f
(x)
x
1
2
1
0
解得
x
1；
当 x 2 时，由 f (x) log2(x 1) 0 解得 x 2 ，
所以 f (x) 的零点为1和 2 ．
（Ⅱ） x1, x2
(, 2)
，且
x1
x2 ，则
f
(x1)
f
(x2 )
1 x1
2
1( 1 x2
D．若 a b 0 ， c 0 ，则 c c ab
5．已知 tan 1，则 2sin2 3cos2 （ ）
A． 7 4
B． 1 2
1 C．
2
3
D．
4
6．若函数 f (x) 是 R 上的减函数， a 0 ，则下列不等式一定成立的是（ ）
A． f (a2 ) f (a)
B．
f
(a)
分钟这组数据有 3.4=
1 k
ln
79 66
，
即 k ln 79 ln 66 0.05 ； 3.4
选取从
1
98 C
下降到
80 C
所用
时间约为
5
分钟这组数
据有
5= 1 ln 79 k 61
，即
k ln 79 ln 61 0.05 ; 5
故 k 0.05
（II） 200ml 水煮沸后在19 C 室温下大约冷却 7 分钟左右冲泡口感最佳，故选择 B．
2 条件①：函数 f (x) 最小正周期为 π ； 条件②：函数 f (x) 图象关于点 ( π , 0) 对称；
6
条件③： 函数 f (x) 图象关于 x π 对称． 12
19．已知函数
f
(x)
a
1 2x 1 是奇函数.
（Ⅰ）求 a 的值；
（Ⅱ）判断 f (x) 的单调性；（只需写出结论）
（Ⅲ）若不等式 f x x2 f x m 0 恒成立，求 m 的取值范围．
B．①④
C．①②④
D．②③④
二、填空题
11．函数 f x 2 x 的定义域为________．
x 12．已知函数 f (x) 是指数函数，若 f (1) 4 ，则 f (2) ____ f ( 3) .(用“ ”“ ”“ ”填空
f (3)
三、双空题
13．在平面直角坐标系
x
O
y
中，角
20．中国茶文化博大精深.小明在茶艺选修课中了解到，不同类型的茶叶由于在水中溶解性的差别，达到最 佳口感的水温不同．为了方便控制水温，小明联想到牛顿提出的物体在常温环境下温度变化的冷却模型：
如果物体的初始温度是1 ，环境温度是0 ，则经过时间 t （单位：分）后物体温度 将满足： =0 (1 0 ) ekt ，其中 k 为正的常数．小明与同学一起通过多次测量求平均值的方法得到 200ml 初
．
当
2x
π 3
=
π 2
，即
x
π 12
时，
f
(x)
取得最大值1；
当 2x π = 4π ，即 x π 时， f (x) 取得最小值 3 ．
33
2
2
若选择②③，不能确定函数最小正周期，无法确定 ，所以无法确定函数解析式．
19．（I）因为 f (x) 为奇函数，定义域为 R ，
所以 f 0 =0 ，即 a 1 0 ，解得 a 1 ，
2
2
当a
1 2
时
f (x)
1 1 2 2x 1
，此时
f (x)
f
x
1 2
1 2x 1
1 2
2
2x x
1
0
即
f (x) f
x
，函数
f
(x)
1 2
1 2x
1
为奇函数.
（Ⅱ）
f
(x)
1 2
1 2x 1
为增函数
（Ⅲ）不等式 f x x2 f x m 0 恒成立，即 f x m f x x2 恒成立，
北京市2020-2021学年高一上学期期末数学试题汇编：三角函数 (答案详解)
2021北京高一数学上学期期末汇编：三角函数一．选择题（共23小题）1．（2020秋•通州区期末）“，”是“”的 A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件2．（2020秋•通州区期末）已知函数：①，②，③，则其中最小正周期为的是 A ．①②B ．①③C ．②③D ．①②③3．（2020秋•通州区期末）已知为第三象限角，则下列判断正确的是 A ．B ．C ．D ．4．（2020秋•通州区期末）下列各角中与终边相同的角是 A ．B ．C ．D ．5．（2020秋•顺义区期末）单位圆圆周上的点以为起点做逆时针方向旋转，10分钟转一圈，24分钟之后，从起始位置转过的角是 A ．B ．C ．D ．6．（2020秋•海淀区校级期末）可化简为 A ．B ．C ．D ．7．（2020秋•东城区期末）若扇形的半径为1，周长为，则该扇形的圆心角为 A ．B ．C ．D ．8．（2020秋•东城区期末）已知，则 A ．B ．C ．D ．9．（2020秋•海淀区校级期末）已知，，，那么的值为 A ．2B ．C ．D ．10．（2020秋•丰台区期末）已知，，则的值为 26k παπ=+k Z ∈1sin 2α=()tan y x =sin ||y x =|sin |y x =π()θ()sin 0θ>cos 0θ>sin tan 0θθ⋅>sin 2tan 0θθ⋅>60︒()300-︒240-︒120︒390︒O e P A OP OA ()245π-125π145π245πsin 2021︒()sin 41︒sin 41-︒cos 41︒cos 41-︒π()π1π-2π-12π-tan 1α=-222sin 3cos (αα-=)74-12-1234222cos 3sin 1αα-=3(2πα∈-)π-tan α()2-1212-3sin 5α=2παπ<<tan α()A ．B ．C ．D ．11．（2020秋•西城区校级期末）已知角的终边经过点，那么 A ．B ．C ．D ．12．（2020秋•顺义区期末）“是“”的 A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件13．（2020秋•通州区期末）为了得到函数的图象，可以将函数的图象 A ．向右平移个单位长度B ．向左平移个单位长度C ．向右平移个单位长度D ．向左平移个单位长度14．（2020秋•朝阳区期末）设函数，若存在实数，，，，满足当时，，则正整数的最小值为 A ．505B ．506C ．507D ．50815．（2020秋•朝阳区期末）已知，均为第一象限角，则“”是“”的 A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件16．（2020秋•大兴区期末）等于 A ．B ．CD ．117．（2020秋•顺义区期末）在平面直角坐标系中，角，角的终边关于直线对称，若，则 )A ．BC ．D ．18．（2020秋•大兴区期末）下列函数中，周期为且为偶函数的是 A ．B ．C ．D ．19．（2020秋•海淀区校级期末）已知，则的取值可以为 ABC ．D ．20．（2020秋•海淀区校级期末）如图，一个摩天轮的半径为，轮子的最低处距离地面3434-4343-α(3,4)P -sin (α=)3545-3434-sin θ3πθ=()cos 2y x =sin 2y x =()4π4π2π2π()4|sin|2xf x π=1x 2x ⋯n x 12n x x x <<⋯<12231|()()||()()||()()|2021n n f x f x f x f x f x f x --+-+⋯⋯+-=n ()αβαβ<sin sin αβ<()3tan4π()1-αβy x =1cos 3α=-sin (β=1313-π()()tan 2f x x =()sin cos f x x x=()cos(2)2f x x π=+22()cos sin f x x x=-3sin()sin()2παπα--+=cos sin αα-()10m 2m．如果此摩天轮按逆时针匀速转动，每30分钟转一圈，且当摩天轮上某人经过点（点与摩天轮天轮中心的高度相同）时开始计时，在摩天轮转动的一圈内，此人相对于地面的高度不小于的时间大约是 A ．8分钟B ．10分钟C ．12分钟D ．14分钟21．（2020秋•海淀区校级期末）函数，，的值域为 A ．B ．C ．D ．22．（2020秋•丰台区期末）函数在区间上的最大值为 A ．B ．1CD ．223．（2020秋•顺义区期末）如图，已知是半径为，圆心角为的扇形，点，，分别是半径，及扇形弧上的三个动点（不同于，，三点），则关于的周长说法正确的是 A ．有最大值，有最小值B ．有最大值，无最小值C ．无最大值，有最小值D．无最大值，无最小值二．填空题（共12小题）24．（2020秋•通州区期末） ．25．（2020秋•通州区期末）已知某扇形的圆心角是2，圆心角所对的弧长也是2，则该扇形的半径为 ；面积为 ．26．（2020秋•朝阳区期末）在平面直角坐标系中，角的顶点为坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，终边经过点，则 ．27．（2020秋•大兴区期末）已知角终边与单位圆的交点为，则 ； ．28．（2020秋•顺义区期末）已知是第三象限角，且， ．29．（2020秋•顺义区期末） ．P P O 17m ()sin()2y x π=+(3x π∈-5]6π()1[2[1[,1]2-1[2-()2sin(6f x x π=-[,32ππ()2-OPQ r 4πA B C OP OQO P Q ABC ∆()5sin6π=αx P tan α=α1()2cos α=sin()απ+=α4cos 5α=-sin α=sin()4π-=30．（2020秋•海淀区校级期末）若角与角的终边关于直线对称，则角的终边上的所有角的集合可以写为 31．（2020秋•东城区期末）在平面直角坐标系中，角以为始边，它的终边与单位圆交于第一象限内的点，则 ．保持角始边位置不变，将其终边逆时针旋转得到角，则 ．32．（2020秋•丰台区期末）若函数的一个零点为，则 ．33．（2020秋•丰台区期末） ．34．（2020秋•朝阳区期末）若函数的图象关于直线对称，则常数的一个取值为 ．35．（2020秋•通州区期末）若，是第二象限的角，则 ．三．解答题（共13小题）36．（2020秋•朝阳区期末）已知函数．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）若，求的最大值和最小值；（Ⅲ）将函数的图象向左平移个单位长度，所得函数图象与函数的图象重合，求实数的最小值．37．（2020秋•通州区期末）已知函数，再从①，；②，这两个条件中选择一个作为已知条件，完成下面问题．（Ⅰ）求；（Ⅱ）写出的最小正周期及一条对称轴方程（只写结果）；（Ⅲ）求函数在，上的最大值和最小值．38．（2020秋•通州区期末）已知函数．（Ⅰ）写出函数的振幅、周期、初相；（Ⅱ）用“五点法”作出在一个周期内的图象（先列表，再画图）．β23πα=y x =βxOy αOx 12(,)13P m tan α=α2πβcos β=()sin(2)()22f x x ππϕϕ=+-<<6x π=ϕ=5tan4π=()cos(2)f x x ϕ=+3x π=ϕ4sin 5α=αtan 2α=2()2sin cos(2)13f x x x π=+--()6f π[0,]2x π∈()f x ()f x (0)m m >cos 2y x =m 212()2cos sin f x x x ωω=+11ω=22ω=11ω=21ω=(0)f ()f x ()f x [0]2π()2sin(26f x x π=+()f x ()f x39．（2020秋•通州区期末）已知锐角、的终边与单位圆的交点分别为，．（Ⅰ）求及的值；（Ⅱ）求．40．（2020秋•通州区期末）（1）若，求的值；（2）已知锐角，满足，若，求的值．41．（2020秋•顺义区期末）已知函数．（1）当时，求的最小正周期及单调递增区间；（2）求在上的最大值及最小值，并指出相应的值．42．（2020秋•大兴区期末）（Ⅰ）已知，求的值；（Ⅱ）若，求的一个值．43．（2020秋•海淀区校级期末）已知关于的方程的两根为和，．（1）求实数的值；（2）求的值．44．（2020秋•丰台区期末）在平面直角坐标系中，角以为始边，其终边与单位圆的交点为．（Ⅰ）求，的值；（Ⅱ）若，求函数的最小正周期和单调递增区间．45．（2020秋•朝阳区期末）已知函数αβ1(2A B tan βcos()πα+sin()αβ-3tan 4α=-sin cos sin cos αααα+-αβ11cos()14αβ+=-sin()αβ-=cos β1()sin(2)23f x x π=-x R ∈()f x ()f x [,]44ππ-x 1sin ,(,)32πααπ=∈tan αcos 2sin()x x x ϕ-=+ϕx 21204x bx -+=sin θcos θ3(,)44ππθ∈b 2sin cos 1cos sin θθθθ+-xOy αOx O e 1)2sin αsin()2πα-(0,)2πα∈()sin(sin )f x x αα=-()sin()(0,0,0)2f x A x A πωϕωϕ=+>><<只能同时满足下列四个条件中的三个：①最小正周期为；②最大值为2；③；④．（Ⅰ）请指出同时满足的三个条件，并说明理由；（Ⅱ）求的解析式；（Ⅲ）求的单调递增区间．46．（2020秋•通州区期末）已知函数．（Ⅰ）求的最小正周期；（Ⅱ）求的单调区间；（Ⅲ）若函数在，上单调递增，求实数的取值范围．47．（2020秋•大兴区期末）已知函数．（Ⅰ）用“五点法”画出函数在一个周期内的简图；（Ⅱ）说明函数的图象可以通过的图象经过怎样的变换得到？（Ⅲ）若，写出的值．48．（2020秋•东城区期末）已知函数，其中．从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择两个作为已知条件，求：（Ⅰ）的单调递增区间；（Ⅱ）在区间的最大值和最小值．条件①：函数最小正周期为；条件②：函数图象关于点对称；条件③：函数图象关于对称．2π(0)1f =-(03f π-=()f x ()f x ()f x ()2cos()sin 3f x x x π=-()f x ()f x ()f x [0]m m ()3sin(26f x x π=+()y f x =()y f x =sin y x =003(),[2,3]2f x x ππ=∈0x ()sin()f x x ωϕ=+0,(0,)2πωϕ>∈()f x ()f x [0,2π()f x π()f x (,0)6π-()f x 12x π=2021北京高一数学上学期期末汇编：三角函数参考答案一．选择题（共23小题）1．【分析】先利用特殊角的三角函数值，求出，再利用充分条件与必要条件的定义进行判断即可．【解答】解：等价于或，所以“，”是“”的充分不必要条件．故选：．【点评】本题考查了充分条件与必要条件的判断，涉及了三角方程的求解，属于基础题．2．【分析】根据三角函数的周期性进行判断即可．【解答】解：①的周期，满足条件．②是偶函数，图象不具备周期性，不满足条件．③的周期，则的周期，满足条件，故选：．【点评】本题主要考查三角函数周期的判断，结合三角函数的周期公式是解决本题的关键，是基础题．3．【分析】由的范围逐一核对四个选项得答案．【解答】解：为第三象限角，，，，故，错误；，故错误；，故正确．故选：．【点评】本题考查三角函数值的符号，是基础题．4．【分析】把角化为对于，，，的形式，再判断即可．【解答】解：对于，，与是终边相同的角；对于，，与不是终边相同的角；对于，，与不是终边相同的角；对于，，与不是终边相同的角．故选：．【点评】本题考查了终边相同的角的概念与应用问题，是基础题．5．【分析】利用一周为，然后求出每分钟转的弧度数，再求解24分钟转的弧度数即可．【解答】解：因为一周为，1sin 2α=1sin 2α=26k παπ==52,6k k Z παπ=+∈26k παπ=+k Z ∈1sin 2α=A tan y x =T π=sin ||y x =sin y x =2T π=|sin |y x =T π=B θθ tan 0θ∴>sin 0θ<cos 0θ<A B sin tan 0θθ⋅<C sin 2tan 2sin cos tan 0θθθθθ⋅=>D D 360k α⨯︒+k Z ∈[0α∈︒360)︒A 300136060-︒=-⨯︒+︒60︒B 2401360120-︒=-⨯︒+︒60︒C 120︒60︒D 390136030︒=⨯︒+︒60︒A 2π2π故10分钟转了，所以每分钟就转了，故24分钟转了，所以从起始位置转过的角是．故选：．【点评】本题考查了角的概念的理解和应用，解题的关键是求出每分钟转的弧度数，属于基础题．6．【分析】直接利用诱导公式化简即可．【解答】解：．故选：．【点评】本题主要考查了诱导公式，属于基础题．7．【分析】计算扇形的弧长，再求扇形弧长所对的圆心角．【解答】解：扇形的半径为1，周长为，所以扇形的弧长为，扇形弧长所对的圆心角为．故选：．【点评】本题考查了计算扇形弧长所对的圆心角应用问题，是基础题．8．【分析】利用“弦化切”及其平方关系化简已知等式即可得出．【解答】解：因为，则．故选：．【点评】本题考查了“弦化切”及同角三角函数基本关系式，考查了计算能力，属于基础题．9．【分析】利用同角三角函数间的基本关系即可求解．【解答】解：因为，可得，，因为，，所以．故选：．【点评】本题考查同角三角函数间的基本关系，考查运算能力，属于基础题．2π2105ππ=242455ππ⨯=OP OA 245πD sin 2021sin(3606139)︒=︒⨯-︒sin(139)sin139sin 41=-︒=-︒=-︒B π2π-221ππ-=-C tan 1α=-222222222232321312sin 3cos 1(1)12sin cos tan sin cos tan αααααααα--⨯--====-++-+B 22222cos 3sin 2(1sin )3sin 1αααα-=--=21sin 5α=24cos 5α=3(2πα∈-)π-sin α=cos α=sin 1tan cos 2ααα==-D10．【分析】由已知利用同角三角函数基本关系式可得，．【解答】解：，，，则．故选：．【点评】本题考查了同角三角函数基本关系式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．11．【分析】由条件利用任意角的三角函数的定义，求得的值．【解答】解：由于角的终边经过点，，，，，故选：．【点评】本题主要考查任意角的三角函数的定义，属于基础题．12．【分析】根据充分必要条件的定义结合三角函数从而得到答案．【解答】解：推不出，不是充分条件，推出，是必要条件，故选：．【点评】本题考查了充分必要条件，考查了三角函数问题，是一道基础题．13．【分析】利用诱导公式化简函数为，然后利用函数图象的平移推出正确选项．【解答】解：因为函数，所以可由的图象，向左平移个单位长度，得到函数的图象．故选：．【点评】本题是基础题，考查三角函数的诱导公式的应用，函数图象的平移变换，注意三角函数的平移原则为“左加右减上加下减”．14．【分析】利用函数，得到的值域，从而得到，然后迭加得到，根据选项进行判断即可．【解答】解：由的值域可得，，即，故，即，当时，，当时，，故正整数的最小值为507．cos αtan α 3sin 5α=2παπ<<4cos 5α∴==-sin 3tan cos 4ααα==-B sin αα(3,4)P -3x ∴=4y =-||5r OP ==4sin 5y r α∴==-B sin θ=3πθ=3πθ=sin θ=B cos 2y x =sin(2)2y x π=+cos 2sin(22y x x π==+sin 2y x =4πsin[2()]sin(2)cos 242y x x x ππ=+=+=B ()4|sin|2xf x π=()f x 12|()()|4f x f x -…20214(1)n -…sin y x =()[0f x ∈4]12|()()|4f x f x -…12231|()()||()()||()()|4(1)n n f x f x f x f x f x f x n --+-+⋯+--…20214(1)n -…506n =4(1)20202021n -=<507n =4(1)20242021n -=>n故选：．【点评】本题考查了三角函数性质的应用，涉及了三角函数值域的应用，解题的关键是构造绝对值相加的等式，属于中档题．15．【分析】举例说明前面不能推后面，后面不能推前面，结合充分条件、必要条件的定义进行判定即可．【解答】解：取、，、均为第一象限角，且，但，、均为第一象限角，，取、，但，所以“”是“”的既不充分也不必要条件．故选：．【点评】本题主要考查了三角不等式，以及充分条件、必要条件的判定，同时考查了学生逻辑推理的能力和运算求解的能力，属于基础题．16．【分析】利用诱导公式得到：．【解答】解：．故选：．【点评】本题主要考查了诱导公式的应用，属于基础题．17．【分析】设的终边经过点，则由题意的终边经过点，利用任意角的三角函数的定义即可得解．【解答】解：在平面直角坐标系中，角，角的终边关于直线对称，设的终边经过点，则的终边经过点，，．故选：．【点评】本题主要考查了任意角的三角函数的定义，属于基础题．18．【分析】利用三角函数的周期性和奇偶性即可求解．【解答】解：，函数的周期为，故不满足题意；，函数的周期为，，是奇函数，故不满足题意；，是奇函数，故不满足题意；，最小正周期为且为偶函数，故满足题意．故选：．【点评】本题考查了函数的周期性以及函数的奇偶性，是基础题．C 60α=︒390β=︒αβαβ<sin sin αβ>αβsin sin αβ<390α=︒60β=︒αβ>αβ<sin sin αβ<D 3tantan 44ππ=-3tan tan()tan 1444ππππ=-=-=-B α(,)m n β(,)n m αβy x =∴α(,)m n β(,)n m 1cos 3α==- 1sin 3β∴==-D ()tan 2f x x =2πA ()sin cos sin 2f x x x x ==π()sin(2)sin 2()f x x x f x -=-=-=-B ()cos(2)sin 22f x x x π=+=-C 22()cos sin cos 2f x x x x =-=πD D19．【分析】直接利用三角函数的诱导公式和同角三角函数的值的应用求出结果．【解答】解：因为所以，整理得，所以①当时，②当时，，则故选：．【点评】本题考查的知识要点：三角函数的关系式的变换，诱导公式，同角三角函数的关系式，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题．20．【分析】根据题意求出此人相对于地面的高度函数，利用，求出此人相对于地面的高度不小于17的时间即可．【解答】解：由题意知，，解得，所以在时摩天轮上某人所转过的角为，所以在时此人相对于地面的高度为，由，得，解得，所以，且，所以此人有10分钟相对于地面的高度不小于17 ．故选：．【点评】本题考查了三角函数模型的应用问题，也考查了运算求解能力，是基础题．21．【分析】利用诱导公式将函数化简，再由余弦函数的性质即可求值域．【解答】解：，3sin()sin()3cos sin 2παπααα--+=+=223cos sin cos sin 1αααα⎧+=⎪⎨+=⎪⎩210cos 10αα++=cos α=-cos α=sin α=cos sin αα-=cos α=sin α=cos sin αα-=C ()h t ()17h t …230T πω==15πω=t 15t πt 10sin12(0)15h t t π=+…10sin 121715t π+…1sin 152t π…56156t πππ… (52522)t (255)1022-=m B sin(cos 2y x x π=+=因为，，所以，，即函数的值域为，．故选：．【点评】本题主要考查诱导公式、三角函数的最值，属于基础题．22．【分析】直接利用三角函数的定义域求出函数的值域，进一步求出函数的最大值．【解答】解：由于，所以，则：，故．所以当故选：．【点评】本题考查的知识要点：三角函数的性质，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题．23．【分析】将、分别关于半径，对称的线段为，，将的周长的最值转化为三条线段的最值进行分析求解即可．【解答】解：将、分别关于半径，对称的线段为，，则的周长，当，，，共线时取等号，故的周长有最小值，最大值无限趋近，但取不到，故无最大值．故选：．(3x π∈-5]6πcos [x ∈1][1]B [,32x ππ∈[,663x πππ-∈1sin()[62x π-∈()f x ∈2x π=C AC BC AP AQ AC ''BC 'ABC ∆BC AB AC '++''AC BC AP BQ AC ''BC 'ABC ∆L BC AB AC BC AB AC C C =++='++'''''…C 'A B C ''ABC ∆OPQ ∆C【点评】本题考查了三角形周长最值的求解，涉及了线段求和的最值的解法，解题的关键是将其中两条线段作对称，当三条线段共线时找到最值，属于中档题．二．填空题（共12小题）24．【分析】利用诱导公式化简求值即可得解．【解答】解：．故答案为：．【点评】本题考查运用诱导公式化简求值，考查了转化思想，属于基础题．25．【分析】根据扇形的弧长公式求出扇形的半径，再计算扇形的面积．【解答】解：扇形的圆心角是2，圆心角所对的弧长也是2，所以该扇形的半径为；面积为．故答案为：1，1．【点评】本题考查了扇形的弧长与面积公式应用问题，是基础题．26．【分析】由题意利用任意角的三角函数的定义即可求解．【解答】解：一个角的顶点在坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，终边经过点，．故答案为：．【点评】本题主要考查任意角的三角函数的定义，属于基础题．27．【分析】由题意利用任意角的三角函数的定义，诱导公式，求出结果．【解答】解：由于角终边与单位圆的交点为，则，．故答案为：，．【点评】本题主要考查任意角的三角函数的定义，诱导公式，属于基础题．28．【分析】由已知利用同角三角函数基本关系式即可计算求解．【解答】解：因为是第三象限角，且，所以．故答案为：．51sin sin()sin 6662ππππ=-==1221||2l r α===221121122S r α=⋅=⨯⨯=扇形 αx P 1tan 2α∴==12α1(2cos α=1sin()sin 2απα+=-=-12-α4cos 5α=-3sin 5α==-35-【点评】本题主要考查了同角三角函数基本关系式在三角函数化简求值中的应用，考查了转化思想，属于基础题．29．【分析】由题意利用诱导该公式，计算求得要求式子的值．【解答】解：，故答案为：．【点评】本题主要考查诱导该公式的应用，属于基础题．30．【分析】由已知利用终边相同的角的概念即可求解．【解答】解：角的取值集合是，，角与角的终边关于直线对称，可得，，可得角的取值集合是，，故答案为：，．【点评】本题主要考查终边相同的角的定义和表示方法，属于基础题．31．【分析】由题意利用任意角的三角函数的定义，诱导公式即可求解．【解答】解：角与角均以为始边，它们的终边关于轴对称．若角以为始边，它的终边与单位圆交于第一象限内的点，则，则，保持角始边位置不变，将其终边逆时针旋转得到角，则．故答案为：，．【点评】本题主要考查任意角的三角函数的定义，诱导公式在三角函数化简求值中应用，属于基础题．32．【分析】由函数的零点代入，由三角函数的值及的范围，可得的值．【解答】解：因为函数的一个零点为，所以，可得，，又因为，所以，故答案为：【点评】本题考查三角函数的性质及零点与方程根的关系，属于基础题．sin(sin 44ππ-=-=α2{|23k πααπ=+}k Z ∈β23πα=y x =2222(23346k k ππππβππ=+-⨯-=-+k Z ∈β{|26k πββπ=-+}k Z ∈{|26k πββπ=-+k Z ∈}αβOx x αOx 12(,)13P m 513m ==121213tan 5512α==α2πβ12cos cos()sin 213πβαα=+=-=-1251213-ϕϕ()sin(2)(22f x x ππϕϕ=+-<<6x π=sin(2)06πϕ⋅+=3k πϕπ=-k Z ∈22ππϕ-<<3πϕ=-3π-33．【分析】由题意利用诱导公式，计算求得结果．【解答】解：，故答案为：1．【点评】本题主要考查诱导公式的应用，属于基础题．34．【分析】余弦函数的图象的对称性，求得常数的一个取值．【解答】解：函数的图象关于直线对称，，，令，可得常数，故答案为：．【点评】本题主要考查余弦函数的图象的对称性，属于基础题．35．【分析】先求出的值，再由正切函数的二倍角公式可得答案．【解答】解：因为为第二象限的角，又，所以，，，故答案为：．【点评】本小题主要考查三角函数值符号的判断、同角三角函数关系、和角的正切公式，同时考查了基本运算能力及等价变换的解题技能．三．解答题（共13小题）36．【分析】（Ⅰ）直接利用三角函数的关系式的变换，变形成正弦型函数，进一步求出结果；（Ⅱ）利用函数的定义域求出函数的值域，进一步求出函数的最值；（Ⅲ）利用函数的图象的平移变换的应用和函数的对应关系的应用求出结果．【解答】解：（Ⅰ）函数．所以．（Ⅱ）由于，所以，所以当时，，当时，．（Ⅲ）将函数的图象向左平移个单位长度，5tan tan 144ππ== ϕ ()cos(2)f x x ϕ=+3x π=23k πϕπ∴⨯+=k Z ∈1k =3πϕ=3πtan αα4sin 5α=3cos 5α=-sin 4tan cos 3ααα∴==-22tan 24tan 217tan ααα==-24721()2sin cos(2)1cos 22cos 2sin(2)326f x x x x x x x ππ=+--=+-=-1()sin()6362f πππ=-=[0,]2x π∈52[,]666x πππ-∈-0x =1()(0)2min f x f ==-3x π=()()13max f x f π==()f x (0)m m >所得函数的图象与函数的图象重合，故，解得，当时，．【点评】本题考查的知识要点：三角函数关系式的变换，正弦型函数的性质的应用，函数的图象的平移变换，属于基础题．37．【分析】若取①：（Ⅰ）利用三角函数恒等变换化简函数解析式，利用特殊角的三角函数值即可计算得解．（Ⅱ）利用正弦函数的周期公式可求的最小正周期，利用正弦函数的对称性即可求解一条对称轴方程．（Ⅲ）由题意可求，利用正弦函数的性质即可求解其最值．若取②：（Ⅰ）利用三角函数恒等变换及配方法化简函数解析式，利用特殊角的三角函数值即可计算得解．（Ⅱ）利用函数的周期性和对称性即可求解．（Ⅲ）由题意可求，利用二次函数的性质即可求解其最值．【解答】解：若取①，（Ⅰ），；（Ⅱ），的最小正周期，一条对称轴方程为．（Ⅲ），，函数在，，函数在，．若取②，（Ⅰ），；()sin(22)6g x x m π=+-cos 2y x =22()62m k k Z πππ-=+∈()3m k k Z ππ=+∈0k =3min m π=()f x 52444x πππ+……0sin 1x ……11ω=22:ω=2()2cos sin 2cos 2sin 21)14f x x x x x x π=+=++=++(0)1124f π∴=+==()14f x x π=++ ()f x ∴22T ππ==8x π=02x π……∴52444x πππ+……∴()f x [02π112π+=+()f x [0]2π5104π+=11ω=21:ω=222171()2cos sin 22sin sin 2(sin )84f x x x x x x =+=-+=--2171(0)2(0)284f ∴=-⨯-=（Ⅱ），的最小正周期，一条对称轴方程为．（Ⅲ），，函数在，上的最大值为：，函数在，上的最小值为：．【点评】本题考查了三角函数的图象与性质的应用问题，也考查了转化与运算能力，属于中档题．38．【分析】（Ⅰ）根据函数的解析式的形式，根据振幅为，周期，初相为，可得答案．（Ⅱ）根据列表、描点、连线的基本步骤，画出函数在一个周期，的大致图象即可．【解答】解：（Ⅰ）由于，可得函数的振幅为2、周期为、初相为．（Ⅱ）列表如下：0200在一个周期内的图象如图所示：【点评】本题考查了三角函数的图象与性质的应用问题，解题时应根据画三角函数的图象的基本步骤画出图形，是基础题．39．【分析】先由已知求出，角的大小，进而可以对应各个问题逐个求解．【解答】解：由已知可得：，2171()2(sin )84f x x =-- ()f x ∴2T π=2x π=02x π……0sin 1x ∴……∴()f x [02π178()f x [0]2π21712(1184-⨯-=sin()y A x ωϕ=+A 2T πω=ϕ[02]π()2sin(26f x x π=+()f x π6π26x π+2ππ32π2πx12π-6π512π23π1112π()f x 2-()f x αβ,34ππαβ==（Ⅰ），，故，；（Ⅱ）故．【点评】本题考查了三角函数的定义以及求解三角函数值，考查了学生的运算能力，属于基础题．40．【分析】（1）弦化切即可求解；（2）根据已知求出对应的三角函数值，利用配凑法求出的值，由此可以求解．【解答】解：（1）因为，则；（2）因为锐角，满足，，则，，则，，所以，所以【点评】本题考查了两角和与差的三角函数求值的问题，涉及到角的范围，考查了学生的运算能力，属于基础题．41．【分析】（1）直接利用正弦型函数的性质求出函数的最小正周期和函数的单调区间；（2）利用函数的定义域求出函数的值域，进一步求出函数的最值．【解答】解：（1）函数，所以函数的最小正周期为．令，解得，tan tan14πβ==1cos()cos(cos332πππαπ+=+=-=-tan 1β=1cos()2πα+=-sin()sin cos cos sin sin coscossin3434ππππαβαβαβ-=-=-12-=sin()αβ-=cos 2β3tan 4α=-31sin cos tan 1143sin cos tan 1714αααααα-+++===-----αβ11cos()14αβ+=-sin()αβ-=(,)2παβπ+∈(0,)2παβ-∈sin()αβ+==1cos()7αβ-==cos 2cos[()()]cos()cos()sin()sin()βαβαβαβαβαβαβ=+--=+-++-11111472=-⨯+=cos β==1()sin(223f x x π=-22T ππ==222()232k x k k Z πππππ-+-+∈……5()1212k x k k Z ππππ-++∈……故函数的单调递增区间为．（2）由于，所以，故，当时，函数的最小值为，当时，函数的最大值为．【点评】本题考查的知识要点：三角函数的关系式的变换，正弦型函数的性质的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题．42．【分析】（Ⅰ）由题意利用同角三角函数基本关系式即可求解．（Ⅱ）利用二倍角的正弦公式化简已知等式，即可求解．【解答】解：（Ⅰ）因为，可得，可得（Ⅱ）若，可得，可得的一个值为．【点评】本题主要考查了同角三角函数基本关系式，二倍角的正弦公式在三角函数化简求值中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．43．【分析】（1）根据题意，利用韦达定理列出关系式，利用完全平方公式及同角三角函数间的基本关系化简求出的值即可；（2）由的值，利用完全平方公式求出的值，原式利用同角三角函数间的基本关系化简，即可求出值．【解答】解：（1）方程的两根为、，，，，，，即，，解得：（负值舍去），5[,]()1212k k k Z ππππ-++∈[,]44x ππ∈-52[,]366x πππ-∈-11()[,]24f x ∈-12x π=-12-4x π=141sin ,(,)32πααπ=∈cos α==sin tan cos ααα==cos 2sin()x x x ϕ=+152(cos )2sin(2sin()26x x x x πϕ=+=+ϕ56πbb sin cos θθ± 21204x bx -+=sin θcos θsin cos 2b θθ∴+=1sin cos 08θθ=> 3(,)44ππθ∈(42ππθ∴+∈)πsin cos )04πθθθ+=+>22221(sin cos )sin cos 2sin cos 1284b θθθθθθ∴+=++=+⨯=b =则（2），，．【点评】此题考查了同角三角函数间基本关系的运用，以及完全平方公式的运用，熟练掌握基本关系是解本题的关键，属于基础题．44．【分析】（Ⅰ）利用三角函数的定义与诱导公式即可得出．（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，根据，可得，进而得出及其周期、及其单调性．【解答】解：（Ⅰ）依题意知，所以．（4分）（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，因为，所以，所以，令，由得，，且的最小正周期为，即，于是，所以，由周期函数的定义可知，函数的最小正周期为．（在求周期时，直接用公式获得答案的，同样给分）由得，，所以函数的单调递增区间是．（9分）【点评】本题考查了三角函数的图象与性质、诱导公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．45．【分析】（Ⅰ）若函数满足条件③，则由，推出与，矛盾，可得函数不能满足条件③；b =22213(sin cos )sin cos 2sin cos 1284θθθθθθ-=+-=-⨯= sin cos θθ∴-=sin cos θθ+ ∴22sin cos 1(sin cos )cos sin cos sin θθθθθθθθ++==--1sin 2α=(0,)2πα∈α()f x 1sin 2α=cos α=sin()cos 2παα-==⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯1sin 2α=(0,2πα∈6πα=1()sin(26f x x π=-126z x π=-x R ∈z R ∈sin y z =2πsin(2)sin z z π+=11sin(2)sin(2626x x πππ-+=-11sin((4))sin()2626x x πππ+-=-()f x 4π2||T πω=122,2262k x k k Z πππππ-+-+∈……2444,33k x k k Z ππππ-++∈……()f x 24[4,4],33k k k Z ππππ-++∈⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯()f x (0)sin 1f A ϕ==-0A >02πϕ<<()f x（Ⅱ）由条件①，利用周期公式可求，由条件②，可得，由条件④，可得，结合范围，可求，可得函数解析式；（Ⅲ）利用正弦函数的单调性即可求解．【解答】解：（Ⅰ）若函数满足条件③，则，这与，矛盾，故函数不能满足条件③，所以函数只能满足条件①，②，④，（Ⅱ）由条件①，可得，又因为，可得，由条件②，可得，由条件④，可得，又因为，所以，所以；（Ⅲ）由，，可得：，，可得的单调递增区间为，．【点评】本题主要考查了由的部分图象确定其解析式，考查了正弦函数的图象和性质，属于中档题．46．【分析】（Ⅰ）利用辅助角公式进行化简，结合周期公式进行计算即可．（Ⅱ）根据函数的单调性进行求解即可．（Ⅲ）根据函数的单调性建立不等式关系进行求解即可．【解答】解：（Ⅰ），即函数的周期．（Ⅱ）由，，得，，即，，即函数的单调递增区间为，，，1ω=2A =()06f π-=02πϕ<<3πϕ=()f x (0)sin 1f A ϕ==-0A >02πϕ<<()f x ()f x 22||ππω=0ω>1ω=2A =(2sin()033f ππϕ-=-+=02πϕ<<3πϕ=()2sin()3f x x π=+22232k x k πππππ-++……k Z ∈52266k x k ππππ-+……k Z ∈()f x 5[26k ππ-2]()6k k Z ππ+∈sin()y A x ωϕ=+21()2(cos )sin sin cos 2f x x x x x x x=+=+11cos 21sin 2sin 22sin(2)2223x x x x x π-==-+=-22T ππ==222232k x k πππππ--+……k Z ∈522266k x k ππππ-+……k Z ∈51212k x k ππππ-+……k Z ∈[12k ππ-5]12k ππ+k Z ∈由，，得，，即，，即函数的单调递减区间为，，．（Ⅲ）当时，函数的递增区间为，，若函数在，上单调递增，则，即实数的取值范围是．【点评】本题主要考查三角函数的图象和性质，利用辅助角公式进行化简，结合三角函数的周期性，单调性的性质是解决本题的关键，是中档题．47．【分析】（Ⅰ）用五点法作函数在一个周期上的简图；（Ⅱ）根据函数的图象变换规律，可得结论；（Ⅲ）由正弦函数的性质即可求解．【解答】解：（Ⅰ）列表：0300描点，连线，作图如下：（Ⅱ）法一：将函数的横坐标不变，纵坐标变为原来的3倍得到，再将得到的图象的纵坐标不变，横坐标变为原来的倍得到，再将得到的图象向左平移得到．法二：将函数的横坐标不变，纵坐标变为原来的3倍得到，3222232k x k πππππ+-+…k Z ∈51122266k x k ππππ++……k Z ∈5111212k x k ππππ++……k Z ∈5[12k ππ+1112k ππ+k Z ∈0k =[12π-512π()f x [0]m 5012m π<…m 5012m π<…sin()y A x ωϕ=+sin()y A x ωϕ=+26x π+2ππ32π2πx12π-6π512π23π1112π()f x 3-sin y x =3sin y x =123sin 2y x =12π()3sin(2)6f x x π=+sin y x =3sin y x =再将得到的图象向左平移得到，再将得到的图象的纵坐标不变，横坐标变为原来的倍得到．（Ⅲ）若，则，即，或，，即，或，，又，所以或或．【点评】本题主要考查五点法作函数的图象，函数的图象变换规律以及正弦函数的性质，属于中档题．48．【分析】（Ⅰ）根据所选条件确定函数的解析式，再由正弦函数的单调性即可求得的单调递增区间；（Ⅱ）由正弦函数的性质即可求得最值．【解答】解：选择条件①②解答如下：（Ⅰ）由函数最小正周期，得．又图象关于点对称，有，又已知，故．因此．，解得，．所以的单调递增区间为．（Ⅱ）因为，所以．当，即时，取得最大值1；当，即时，取得最小值．如果选择条件①③解答如下：由函数最小正周期，得．又函数图象关于对称，有，6π3sin(6y x π=+12()3sin(2)6f x x π=+03()2f x =033sin(2)62x π+=02266x k πππ+=+k Z ∈052266x k πππ+=+k Z ∈0x k π=k Z ∈03x k ππ=+k Z ∈0[2x π∈3]π02x π=03x π=73πsin()y A x ωϕ=+sin()y A x ωϕ=+()f x ()f x ()f x 2||T ππω==2ω=()f x (,0)6π-sin[2()]06πϕ⨯-+=(0,)2πϕ∈3πϕ=()sin(23f x x π=+222,232k x k k Z πππππ-+++∈由……51212k x k ππππ-++……k Z ∈()f x 5[,]()1212k k k Z ππππ-++∈02x π (423)33x πππ+……232x ππ+=12x π=()f x 4233x ππ+=2x π=()f x ()f x 2||T ππω==2ω=()f x 12x π=sin(2)112πϕ⨯+=±。
2020-2021学年北京市东城区高三(上)期末数学试卷1(附解析)
2020-2021学年北京市东城区高三（上）期末数学试卷一、选择题（本大题共10小题，共40.0分）1.已知集合A={x|x−1≥0}，B={0,1，2}，则A∩B=()A. {0}B. {1}C. {2}D. {1,2}2.已知{a n}是公差为d的等差数列，S n为其前n项和.若S3=3a1+3，则d=()A. −2B. −1C. 1D. 23.下列函数中，既是奇函数，又在区间(0,1)上单调递增的是()A. y=2−xB. y=lnxC. y=1xD. y=sinx4.将正方体去掉一个四棱锥，得到的几何体如图所示，该几何体的侧(左)视图为()A.B.C.D.5.与圆x2+(y−1)2=5相切于点(2,2)的直线的斜率为()A. −2B. −12C. 12D. 26.函数f(x)=2sin(ωx+φ)(ω>0,|φ|<π2)的部分图象如图所示，则f(π)=()A. −√3B. −√32C. √32D. √37. 设a ⃗ ，b ⃗ 是两个不共线向量，则“a ⃗ 与b ⃗ 的夹角为锐角”是“a ⃗ ⊥(a ⃗ −b⃗ )”的( ) A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件8. 十二生肖，又叫属相，依次为鼠、牛、虎、兔、龙、蛇、马、羊、猴、鸡、狗、猪.现有十二生肖的吉祥物各一个，甲、乙、丙三名同学从中各选一个，甲没有选择马，乙、丙二人恰有一人选择羊，则不同的选法有( )A. 242种B. 220种C. 200种D. 110种9. 已知抛物线y 2=2px(p >0)的焦点F 到准线的距离为2，过焦点F 的直线与抛物线交于A ，B 两点，且|AF|=3|FB|，则点A 到y 轴的距离为( )A. 5B. 4C. 3D. 210. 某公园门票单价30元，相关优惠政策如下：①10人(含)以上团体购票9折优惠；②50人(含)以上团体购票8折优惠；③100人(含)以上团体购票7折优惠；④购票总额每满500元减100元(单张票价不优惠)．现购买47张门票，合理地设计购票方案，则门票费用最少为( )A. 1090元B. 1171元C. 1200元D. 1210元二、填空题（本大题共5小题，共25.0分）11. 设i 为虚数单位，则复数3+4i i = ______ ．12. 函数f(x)=√x −1+lnx 的定义域是______ ．13. 已知sinθ=−13，θ∈(π,3π2)，则cosθ= ______ ，cos2θ= ______ ． 14. 已知双曲线M ：x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0)，△ABC 为等边三角形.若点A 在y 轴上，点B ，C 在双曲线M 上，且双曲线M 的实轴为△ABC 的中位线，则双曲线M 的离心率为______ ．15. 已知函数f(x)=2[sinx]+3[cosx]，x ∈[0,2π]，其中[x]表示不超过x 的最大整数.例如：[1]=1，[0.5]=0，[−0.5]=−1．①f(2π3)= ______ ；②若f(x)>x +a 对任意x ∈[0,2π]都成立，则实数a 的取值范围是______ ．三、解答题（本大题共6小题，共85.0分）16.如图，在四棱锥P−ABCD中，PD⊥平面ABCD，PD=4，底面ABCD是边长为2的正方形，E，F分别为PB，PC的中点．(Ⅰ)求证：平面ADE⊥平面PCD；(Ⅱ)求直线BF与平面ADE所成角的正弦值．)，ℎ(x)=cosx，再从条件①、条件②这两个条件中选17.已知函数g(x)=sin(x−π6择一个作为已知，求：(Ⅰ)f(x)的最小正周期；]上的最大值．(Ⅱ)f(x)在区间[0,π2条件①：f(x)=g(x)⋅ℎ(x)；条件②：f(x)=g(x)+ℎ(x)．18.为了解果园某种水果产量情况，随机抽取10个水果测量质量，样本数据分组为[100,150)，[150,200)，[200,250)，[250,300)，[300,350)，[350,400](单位：克)，其频率分布直方图如图所示：(Ⅰ)用分层抽样的方法从样本里质量在[250,300)，[300,350)的水果中抽取6个，求质量在[250,300)的水果数量；(Ⅱ)从(Ⅰ)中得到的6个水果中随机抽取3个，记X为质量在[300,350)的水果数量，求X的分布列和数学期望；(Ⅲ)果园现有该种水果约20000个，其等级规格及销售价格如表所示，质量m(单位：克)m<200200≤m<300m≥300等级规格二等一等特等价格(元/个)4710试估计果园该种水果的销售收入．19.已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)过点A(−2,0)，B(2,0)，且离心率为12．(Ⅰ)求椭圆C的方程；(Ⅱ)设直线l与椭圆C有且仅有一个公共点E，且与x轴交于点G(E,G不重合)，ET⊥x轴，垂足为T.求证：|TA||TB|=|GA||GB|．20.已知函数f(x)=1−ax2，a∈R．e x(Ⅰ)若曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线平行于直线y=x，求该切线方程；(Ⅱ)若a=1，求证：当x>0时，f(x)>0；(Ⅲ)若f(x)恰有两个零点，求a的值．21.给定正整数m，t(m≤t)，若数列A：a1，a2，…，a n，…满足：a i∈(0,1}，a i=a i+t，a1+a2+⋯+a t=m，则称数列A具有性质E(t,m)．对于两个数列B：b1，b2，…，b n，…；C：c1，c2，…，c n，…，定义数列B+C：b1+c1，b2+c2，…，b n+c n，…．(Ⅰ)设数列A具有性质E(4,2)，数列B的通项公式为b n=n(n∈N∗)，求数列A+B 的前四项和；(Ⅱ)设数列A i(i∈N∗)具有性质E(4,m)，数列B满足b1=1，b2=2，b3=3，b4=4且b j=b j+4(j∈N∗).若存在一组数列A1，A2，……，A k，使得A1+A2+⋯+A k+B 为常数列，求出m所有可能的值；(Ⅲ)设数列A i(i∈N∗)具有性质E(t,t−1)(常数t≥2)，数列B满足b1=1，b2=2，…，b t=t且b j=b j+t(j∈N∗).若存在一组数列A1，A2，…，A k，使得A1+A2+⋯+A k+B为常数列，求k的最小值.(只需写出结论)答案和解析1.【答案】D【解析】解：∵A={x|x≥1}，B={0,1，2}，∴A∩B={1,2}．故选：D．可求出集合A，然后进行交集的运算即可．本题考查了描述法和列举法的定义，交集及其运算，考查了计算能力，属于基础题．2.【答案】C【解析】解：∵S3=3a1+3，∴3a1+3d=3a1+3，则d=1．故选：C．利用求和公式即可得出．本题考查了等差数列的求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．3.【答案】D【解析】解：对于A，y=2−x为非奇非偶函数，不符合题意；对于B，y=lnx为非奇非偶函数，不符合题意；对于C，y=1为奇函数，但在区间(0,1)上单调递减，不符合题意；x对于D，y=sinx为奇函数，由正弦函数的图象可知，y=sinx在区间(0,1)上单调递增，符合题意．故选：D．由基本初等函数的单调性和奇偶性逐一判断即可．本题主要考查函数奇偶性与单调性的判断，熟练掌握基本初等函数的性质是解题的关键，属于基础题．4.【答案】B【解析】解：将几何体补充为正方体，如图1所示：则该正方体去掉这个四棱锥，得到的几何体的侧(左)视图如图2所示：故选：B．将几何体补充为正方体，结合图形得出该几何体的侧(左)视图．本题考查了空间几何体三视图的应用问题，也考查了直观想象能力，是基础题．5.【答案】A【解析】解：根据题意，圆x2+(y−1)2=5，其圆心为(0,1)，设圆心为C，切点(2,2)为P，则K PC=2−12−0=12，则切线的斜率k=−2，故选：A．根据题意，求出圆的圆心坐标，设圆心为C，切点(2,2)为P，求出PC的斜率，由切线的性质分析可得答案．本题考查直线与圆的位置关系，涉及切线的性质，属于基础题．6.【答案】A【解析】解：由图可知，T2=5π12−(−π12)=π2，则T=π，∴ω=2．又2×5π12+φ=π2，∴φ=−π3．则f(x)=2sin(2x−π3)，∴f(π)=2sin(2π−π3)=2sin(−π3)=−√3．故选：A．由已知函数图象求得T，进一步得到ω，再由五点作图的第二点求得φ，则函数解析式可求，从而可得f(π)．本题主要考查由函数的部分图象求函数解析式，属于中档题．7.【答案】B【解析】解：若a⃗⊥(a⃗−b⃗ )，则a⃗⋅(a⃗−b⃗ )=a⃗2−|a⃗||b⃗ |cos<a⃗,b⃗ >=|a⃗|(|a⃗|−|b⃗ |cos<a⃗,b⃗ >)=0∵a⃗，b⃗ 是两个不共线向量，∴a⃗≠0⃗，即|a⃗|≠0，∴|a⃗|=|b⃗ |cos<a⃗,b⃗ >，∴cos<a⃗,b⃗ >>0，∵<a⃗,b⃗ >≠0，∴a⃗与b⃗ 的夹角为锐角，而a⃗与b⃗ 的夹角为锐角，不妨设a⃗=(1,0),b⃗ =(2,2)，此时a⃗⋅(a⃗−b⃗ )=−1≠0，故a⃗与(a⃗−b⃗ )不垂直，∴“a⃗与b⃗ 的夹角为锐角”是“a⃗⊥(a⃗−b⃗ )”的必要不充分条件．故选：B．根据向量垂直时数量积为0建立等式，可得到a⃗与b⃗ 的夹角为锐角，反之不成立，再结合充分条件必要条件的定义可得结论．本题主要考查向量的有关性质，以及充分条件必要条件的判定，同时考查了学生转化的能力，属于基础题．8.【答案】C【解析】解：根据题意，分3步进行分析：对于甲，不选马和羊，有10种选法，对于乙和丙，有1个人选择羊，有2种选法，剩下1人在剩下10个生肖中任选1个，有10种选法，则有10×2×10=200种不同的选法，故选：C．根据题意，分3步进行分析甲乙丙的选法，由分步计数原理计算可得答案．本题考查排列组合的应用，涉及分步计数原理的应用，属于基础题．9.【答案】C【解析】解：焦点F到准线的距离为p=2，过点A作AD垂直于准线l于点D，过点B作BE垂直于l 于点E，延长AB交l于点C，则△BCE∽△ACD，所以BCAC =BEAD=BFAF=13，记BC=x，则AC=3x，因为|AF|=3|FB|，所以BF=14AB=12x，AF=3BF=32x，因为CF=BC+BF=32x，F为AC的中点，所以AD=2FG=4，即点A到y轴的距离为4−p2=3．故选：C．根据题意得到p的值，过点A作AD垂直于准线l于点D，过点B作BE垂直于l于点E，延长AB交l于点C，再利用三角形相似得到BC和AC的关系，从而得到BF，AF，CF 的关系，求出AD=4，即可得到答案．本题考查了抛物线性质的应用，涉及了抛物线定义的理解和应用，在涉及抛物线上的点到焦点距离的问题时，一般会转化为到准线的距离开解决．10.【答案】B【解析】解：由于需要购买47张门票，所以不能享受优惠政策中的②和③，若只按优惠政策①购买，则门票费用为47×30×90%=1269元；若将47分为17+17+13，则可享受两次优惠政策④，一次优惠政策①，门票费用为(17×30−100)×2+13×30×90%=1171元，因为1269>1171，所以门票费用最少为1171元．故选：B．分两种情况：只按优惠政策①购买，将47分为17+17+13，两次按优惠政策④，一次按优惠政策①购买，分别计算门票费用，取较小者的方案．本题考查函数的实际应用，考查学生的逻辑推理能力和运算能力，属于基础题．11.【答案】4−3i【解析】解：复数3+4i i=−i(3+4i)−i⋅i=4−3i ．故答案为：4−3i ．利用复数的运算法则即可得出．本题考查了复数的运算法则，属于基础题．12.【答案】[1,+∞)【解析】解：由题意得： {x −1≥0x >0，解得：x ≥1， 故函数的定义域是[1,+∞)， 故答案为：[1,+∞)．根据对数函数的性质以及二次根式的性质求出函数的定义域即可．本题考查了求函数的定义域问题，考查对数函数的性质以及二次根式的性质，是一道基础题．13.【答案】2√2【解析】解：因为sinθ=−13，θ∈(π,3π2)，可得cosθ=−√1−sin 2θ=−√1−(−13)2=−2√23， 可得cos2θ=2cos 2θ−1=2×(−2√23)2−1=79．故答案为：−2√23，79．由已知利用同角三角函数基本公式可求得cosθ的值，利用二倍角的余弦公式即可求解cos2θ的值．本题主要考查了同角三角函数基本公式，二倍角的余弦公式在三角函数化简求值中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．14.【答案】√2【解析】解：∵双曲线M 的实轴为△ABC 的中位线， ∴等边△ABC 的边长为4a ，假设点B 在第一象限，则点B 的坐标为(2a,√3a)， 将其代入双曲线M 的方程有，4a 2a 2−3a 2b 2=1，∴a b=1，离心率e =√a 2+b 2a 2=√1+b2a 2=√2． 故答案为：√2．易知，等边△ABC 的边长为4a ，不妨取点B 为(2a,√3a)，将其代入双曲线的方程可得a =b ，再由e =√1+b 2a2，得解．本题考查双曲线的几何性质，包含a 、b 、c 的含义与关系，离心率，考查学生的逻辑推理能力和运算求解能力，属于基础题．15.【答案】43 (−∞,32−2π]【解析】解：①f(2π3)=2[sin 2π3]+3[cos 2π3]=2[√32]+3[−12]=20+3−1=43；②若f(x)>x +a 对任意x ∈[0,2π]都成立，即为a <f(x)−x =2[sinx]+3[cosx]−x 对任意x ∈[0,2π]都成立， 当x =0或x =2π时，f(x)−x =1+3=4或4−2π； 当x =π2时，f(x)−x =2+1−π2=3−π2； 当x =π时，f(x)−x =1+13−π=43−π； 当x =3π2时，f(x)−x =12+1−3π2=32−3π2；当0<x <π2时，sinx ∈(0,1)，cosx ∈(0,1)， 可得a ≤20+30−π2=2−π2；同理可得当π2<x <π时，可得a ≤20+3−1−π=43−π； 当π<x <3π2时，可得a ≤2−1+3−1−3π2=56−3π2；当3π2<x <2π时，可得a ≤2−1+30−2π=32−2π． 综上可得，a 的取值范围是(−∞,32−2π]． 故答案为：43；(−∞,32−2π]．①由特殊角的三角函数值和诱导公式、以及[x]的定义，可得所求值；②由题意可得a <f(x)−x =2[sinx]+3[cosx]−x 对任意x ∈[0,2π]都成立，分别讨论x 在各个象限和坐标轴的取值情况，结合[x]的定义，可得所求范围．本题考查函数恒成立问题解法，以及新定义[x]的理解和运用，考查分类讨论思想和化简运算能力、推理能力，属于中档题．16.【答案】(Ⅰ)证明：因为PD ⊥平面ABCD ，所以PD ⊥AD ，因为底面ABCD 是正方形， 所以AD ⊥CD ， 因为PD ∩CD =D ， 所以AD ⊥平面PCD ， 又AD ⊂平面ADE ， 所以平面ADE ⊥平面PCD ； (Ⅱ)解：因为PD ⊥平面ABCD ， 所以PD ⊥AD ，PD ⊥CD ， 因为底面ABCD 是正方形， 所以AD ⊥CD ，如图建立空间直角坐标系D −xyz ，因为PD =4，底面ABCD 是边长为2的正方形，所以P(0,0，4)，A(2,0，0)，B(2,2，0)，C(0,2，0)，D(0,0，0)，E(1,1，2)，F(0,1，2)， 则DA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,0,0),DE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,1,2),BF ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−2,−1,2)， 设平面ADE 的法向量为m⃗⃗⃗ =(x,y,z)， 则有{m ⃗⃗⃗ ⋅DA ⃗⃗⃗⃗⃗ =0m ⃗⃗⃗ ⋅DE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0，可得{2x =0x +y +2z =0，所以m⃗⃗⃗ =(0,2,−1)， 设直线BF 与平面ADE 所成的角为θ，则sinθ=|cos <BF ⃗⃗⃗⃗⃗ ,m ⃗⃗⃗ >|=|BF ⃗⃗⃗⃗⃗⋅m ⃗⃗⃗ ||BF ⃗⃗⃗⃗⃗ ||m ⃗⃗⃗ |=√9×√5=4√515， 所以直线BF 与平面ADE 所成角的正弦值为4√515．【解析】(Ⅰ)利用直线与平面垂直的性质定理和平面与平面垂直的判定定理进行分析证明即可；(Ⅱ)建立合适的空间直角坐标系，求出所需点的坐标，求出直线的方向向量和平面的法向量，将直线与平面所成的角转化为两个向量的夹角进行求解即可．本题考查了立体几何的综合应用，涉及了线面垂直的性质定理和面面垂直的判定定理的应用，用向量法求解空间角时，关键是建立合适的空间直角坐标系，准确求出所需点的坐标．17.【答案】解：选择条件①：f(x)=g(x)⋅ℎ(x)，(Ⅰ)f(x)=sin(x−π6)cosx=(√32sinx−12cosx)cosx=√32sinxcosx−12cos2x=√32×12sin2x−1+cos2x2=√34sin2x−14cos2x−14=12sin(2x−π6)−14，所以f(x)的最小正周期T=2π2=π．(Ⅱ)因为x∈[0,π2]，可得2x−π6∈[−π6,5π6]，所以sin(2x−π6)∈[−12,1]，可得12sin(2x−π6)−14∈[−12,14]，当2x−π6=π2，即x=π3时，f(x)有最大值14．选择条件②：f(x)=g(x)+ℎ(x)，(Ⅰ)f(x)=sin(x−π6)+cosx=(√32sinx−12cosx)+cosx=√32sinx+12cosx=sin(x+π6)，所以f(x)的最小正周期T=2π1=2π．(Ⅱ)因为x∈[0,π2]，可得x+π6∈[π6,2π3]，所以sin(x+π6)∈[12,1]，当x+π6=π2，即x=π3时，f(x)有最大值1．【解析】选择条件①：(Ⅰ)利用三角函数恒等变换的应用可求函数解析式为f(x)=1 2sin(2x−π6)−14，利用正弦函数的周期公式即可求解；(Ⅱ)由已知可求2x−π6∈[−π6,5π6]，利用正弦函数的性质，即可求解函数的最大值．选择条件②：(Ⅰ)利用三角函数恒等变换的应用可求函数解析式为f(x)=sin(x+π6)，利用正弦函数的周期公式即可求解；(Ⅱ)由已知可求得x+π6∈[π6,2π3]，利用正弦函数的性质，即可求解函数的最大值．本题主要考查了三角函数恒等变换，正弦函数的周期公式以及正弦函数的性质，考查了转化思想和函数思想的应用，属于基础题．18.【答案】解：(Ⅰ)质量在[250,300)，[300,350)的该种水果的频率分别为0.008×50= 0.4，0.004×50=0.2，其比为2：1，所以按分层抽样从质量在[250,300)，[300,350)的这种水果中随机抽取6个，质量在[250,300)的该种水果有4个；(Ⅱ)由(Ⅰ)可知，6个水果中有2个质量在[300,350)，所以X 的所有可能取值为0，1，2， P(X =0)=C 43C 63=15，P(X =1)=C 42C 21C 63=35，P(X =2)=C 41C 22C 63=15，所以X 的分布列为：所以E(X)=0×15+1×35+2×15=1；(Ⅲ)二等品的频率为(0.002+0.002)×50=0.2， 一等品的频率为(0.003+0.008)×50=0.55， 特等品的频率为(0.004+0.001)×50=0.25，则20000个水果中共有二等品4000个，一等品11000个，特等品有5000个， 则销售收入约为4000×4+11000×7+5000撑10=143000元．【解析】(Ⅰ)根据频率分布直方图得到质量在[250,300)，[300,350)的该水果的频率，按照比例抽取即可；(Ⅱ)由(Ⅰ)得到X 的所有可能取值，再分别求得其相应的概率，列出分布列，再求期望即可；(Ⅲ)根据频率分布直方图，得到该水果的频率，然后估计20000个水果中各等级的个数，求解即可．本题考查了离散型随机变量及其分布列、频率分布直方图的相关知识，也考查了学生处理数据的能力．解题的关键是正确读取频率分布直方图中的信息． 19.【答案】解：(Ⅰ)由题意可得{a =2e =c a =12a 2=b 2+c 2，解得：a 2=4，b 2=3，所以椭圆的方程为：x 24+y 23=1；(Ⅱ)由题意可得直线l 的斜率存在且不为0，设直线l 的方程为：y =kx +m(m ≠0)， {y =kx +m x 24+y 23=1，整理可得：(3+4k 2)x 2+8kmx +4m 2−12=0，由题意可得△=0，即64k 2m 2−16(3+4k 2)(m 2−3)=0，解得：m 2=3+4k 2设G(x1,0)，E(x0,y0)则x1=−mk ，x0=−4km3+4k2=−4km，因为ET⊥x轴，所以T(−4km,0)，|TA| |TB|=|−4km+2||2−(−4km)|=|−4k+2m||2m+4k|=|m−2k||m+2k|，又因为|GA||GB|=|−2+mk||2+mk|=|m−2k||m+2k|，所以可证：|TA||TB|=|GA||GB|．【解析】(Ⅰ)由题意及a，b，c之间的关系求出a，b的值，进而求出椭圆的方程；(Ⅱ)由题意开始直线l的方程，与椭圆联立，由判别式为0求出参数之间的关系，设G，E的坐标，由题意可得G，E用直线的参数表示的坐标，进而求出|TA||TB|与|GA||GB|的表示，可证得|TA||TB|=|GA||GB|．本题考查求椭圆的方程及直线与椭圆相切的性质，及证明的方法，属于中档题．20.【答案】解：(Ⅰ)因为f′(x)=ax(x−2)e x，所以f′(1)=−ae=1，故a=−e，所以f(1)=1−ae=2，所以切线方程为y−2=x−1，即y=x+1．(Ⅱ)当a=1时，f(x)=1−x2e x ，f′(x)=x(x−2)e x，当x∈(0,2)时，f′(x)<0，f(x)单调递减，当x∈(2,+∞)时，f′(x)>0，f(x)单调递增，所以f(x)的最小值为f(2)=1−4e2>0，故x>0时，f(x)>0．(Ⅲ)对于函数f(x)=1−ax2e x，a∈R，①当a≤0时，f(x)>0，f(x)没有零点，②当a>0时，f(x)=ax(x−2)e x，当x∈(−∞,0)时，f′(x)>0，所以f(x)在区间(−∞,0)上单调递增，当x∈(0,2)时，f′(x)<0，所以f(x)在区间(0,2)上单调递减，当x∈(2,+∞)时，f′(x)>0，所以f(x)在区间(2,+∞)上单调递增，所以f(0)=1是函数的极大值，f(2)=1−4ae2是f(x)的极小值，因为√a )=1−a(−√a)2e−1√a=1−1e−1√a=1−1√a<0，所以f(x)在(−∞,0)上有且只有一个零点，由f(2)=1−4ae2，①若f(2)>0，即a<e24，f(x)在区间(0,+∞)上没有零点．②若f(2)=0，即a=e24，f(x)在区间(0,+∞)上只有一个零点．③若f(2)<0，即a>e24，由于f(0)=1，所以f(x)在区间(0,2)上有一个零点．由(Ⅱ)知，当x>0时，e x>x2，所以f(4a)=1−16a 3e4a =1−16a3(e2a)2>1−16a3(2a)2=1−1a>0，故f(x)在区间(2,4a)上有一个零点，因此a>e24时，f(x)在区间(0,+∞)上有两个零点，综上，当f(x)有两个零点时，a=e24．【解析】(Ⅰ)对f(x)求导得f′(x)，由导数的几何意义可得k切=f′(1)，进而由点斜式写出切线的方程．(Ⅱ)当a=1时，f(x)=1−x2e x，对f(x)求导得f′(x)，分析f′(x)的正负，f(x)单调性，进而可得f(x)的最小值f(2)=1−4e2>0，即可证明．(Ⅲ)对于函数f(x)=1−ax2e x，a∈R，分两种情况①当a≤0时，②当a>0时，分析f(x)的单调性，最值，进而得函数f(x)的零点．本题考查导数的综合应用，解题中注意分类讨论思想的应用，属于中档题．21.【答案】解：(I)数列A+B的前四项和为A的前四项和与B的前四项和之和，为2+ 10=12，(II)由题知m≤4，数列A i(i∈N∗)满足a i=a i+4，b j=b j+4(j∈N∗)，故只要考虑数列A i，B j的前四项，取A1，A2，…A5，A6为1，0，0，0；1，0，0，0；1，0，0，0；0，1，0，0；0，1，0，；0，0，1，0，可使A1+A2+⋯+A6+B的前四项为4，4，4，4，所以m=1成立；取A1，A2，A3为1，1，0，0；1，1，0，0；1，0，1，0，可使A1+A2+A3+B的前四项为4，4，4，4，所以m=2成立；取A1，A2，…A5，A6为1，1，1，0；1，1，1，0； 1，1，0，1；1，1，1，0；1，0，1，1；1，1，0，1，可使A1+A2+⋯+A6+B的前四项为7，7，7，7，所以m=3成立；当m=4时，A i的前四项是1，1，1，1，所以对任意的k，A1+A2+⋯+A k+B不会是常数列，综上，m=1，2，3．t(t−1)．(III)12【解析】(I)数列A+B的前四项和为A的前四项和与B的前四项和之和，代入可求；(II)由题知m≤4，a i=a i+4，b j=b j+4，只要考虑数列A i，B j的前四项，分情况检验即可求解满足条件的m，(III)结合已知条件代入直接求解．本题以新定义为载体，主要考查了数列性质的综合应用，考查了考生的逻辑推理的能力．。
2020-2021北京市高一数学上期末一模试卷(含答案)
2020-2021 北京市高一数学上期末一模试卷(含答案)一、选择题1． 已知会合 A ｛2， 1, 0，1, 2｝， B x | ( x 1)(x2) 0 ,则 AI B（ ）A ．1,0B ． 0,1C ．1,0,1D ． 0,1,2． 已知奇函数 y f (x) 的图像对于点 ( ,0) 对称，当x [0, ) 时， f ( x)1 cos x，222则当 x5,3 ] 时， f (x) 的分析式为（）(2A ． f ( x) 1 sin xB ． f (x)1 sin xC ． f (x) 1 cosxD ． f ( x)1 cos x3． 设会合 A x |2x 1 1 ， By | ylog 3 x, x A ，则 e B A（） A ． 0,1B ． 0,1C ．0,1D ．0,14． 已知 alog 1 15b11， ， c 6 3 ，则（）3 44A ． a b cB ． a c bC ． c a bD ． b c a5． 已知函数f ( x ) ln x ，若 af (2) ， bf (3) ， cf (5) ，则 a ， b ， c 的大小关x系是（ ）A ． b c aB ． b a cC ． a c bD ． c a b6． 函数fxlog 1 x 2 2x 的单一递加区间为（）2． ,1． 2,． ,0．1,ABCD7． 已知函数 fxlog 2 x 1 xff x 3 的零点个数为（ ）x 4x ，则 yAB C D ． 3． 4． 5 ． 68． 已知函数 f(x)＝log 1 x, x 1,则 f ( f (1)) ) 等于 (2)2 4 x , x 1,2A ． 4B ．－ 2C ． 2D ． 19． 已知 a log 3 2 ， b 20.1 ， c sin 789o ，则 a ， b ， c 的大小关系是A ． a b cB ． a c bC ． c a bD ． b c axxa=m ，若函数 f 10． 已知函数 f （ x ）=x （ e +ae ﹣）（ x ∈ R ），若函数 f （ x ）是偶函数，记 （x ）为奇函数，记 a=n ，则 m+2n 的值为（ ） A ．0B ． 1C ． 2D ．﹣ 1x1, x1,011．若函数f x{4，则 f(log 43) ＝()4x , x0,11B．1C． 3D．4A．4312．函数 f（ x）是定义在 R 上的偶函数，在 ( －∞， 0] 上是减函数且f（ 2） =0 ，则使 f（ x）<0 的 x 的取值范围（）A．（－∞， 2）B．（ 2， +∞）∞ - 2 2 +∞D．（－22C．（－，）∪（，），）二、填空题213．已知函数f x x 2 , x0，则对于 x 的方程f2x af x0 a0,3x 3 , x 0的全部实数根的和为_______.14．己知函数f x x22ax1 a 在区间 01，上的最大值是2, 则实数a______. 15．若函数 f(x)是定义在 R 上的偶函数，在 (－∞， 0]上是减函数，且f(2)＝ 0，则使得 f(x)<0的 x 的取值范围是 ________．16．已知 f (x) ? g( x)分别是定义在R 上的偶函数和奇函数，且 f ( x)g( x)2x x ，则f (1)g(1)__________ .17．a 1.10.1， b log 12， c ln 2 ，则a，b，c从小到大的关系是________.2218．已知y f ( x)x2是奇函数，且 f （1） 1，若 g( x) f ( x) 2，则 g( 1)___．19．某食品的保鲜时间y（单位：小时）与储藏温度x（单位：）知足函数关系（为自然对数的底数，k、 b 为常数）．若该食品在0的保鲜时间设计 192 小时，在 22的保鲜时间是48 小时，则该食品在33的保鲜时间是小时 .20．已知函数f ( x)2x ,0x1,则对于 x 的方程4x f ( x)k 0 的全部根的和1f ( x1),1x 3,2的最大值是 _______.三、解答题21．定义在,00,上的函数 y f x知足 f xy f x f 1，且函数yf x在,0 上是减函数.（1）求f 1 ，并证明函数y f x是偶函数；（2）若f 2 1 ，解不等式 f 24f1 1 .x x22． 已知函数 f ( x) ln( x 2 ax 3) .(1) 若 f (x) 在 (,1] 上单一递减，务实数a 的取值范围；(2) 当 a 3 时，解不等式f (e x ) x .23． 已知函数 f ( x)ax 2 (b 8) xa ab 的零点是 -3 和 2(1) 求函数 f ( x) 的分析式 .(2) 当函数 f ( x) 的定义域是[0,1] 时求函数 f ( x) 的值域 .24． 已知函数 f ( x)2 x , x, m, 此中 0 , m 1.lg x1, xm,（Ⅰ）当 m 0 时，求函数 yf ( x) 2 的零点个数；（Ⅱ）当函数 y f 2( x)3 f ( x) 的零点恰有 3 个时，务实数 m 的取值范围 .25． 已知函数 f ( x)2 x k 2 x ， g ( x) log a f (x)2x （ a 0 且 a 1 ），且f (0) 4 .（1）求 k 的值；（2）求对于 x 的不等式 g ( x) 0 的解集；（3）若 f ( x)t 8 对 x R 恒建立，求 t 的取值范围 .2x26． 设函数 f ( x)3x ，且 f (a 2)18 ，函数 g( x)3ax4x ( x R) ．（1）求 g( x) 的分析式；（2）若方程 g( x) － b=0 在 [－ 2，2] 上有两个不一样的解，务实数b 的取值范围．【参照答案】 *** 试卷办理标志，请不要删除一、选择题1．A 分析： A【分析】【剖析】【详解】由已知得 Bx | 2 x 1 ，因为 A ｛2， 1, 0，1, 2｝，所以 AB 1,0 ，应选 A ．2．C分析： C【分析】【剖析】当 x5,3时， 3x0,2, 联合奇偶性与对称性即可获得结果.2【详解】因为奇函数 y f x 的图像对于点,0对称，所以f x f x0 ，2且 f x f x，所以 f x f x，故 f x 是以为周期的函数 .当 x 5,3时， 3x0,，故 f3x 1 cos 3x1cosx 22因为 f x是周期为的奇函数，所以f3x f x f x故 f x1cosx ，即 f x1cosx ，x5,32应选 C【点睛】此题考察求函数的表达式，考察函数的图象与性质，波及对称性与周期性，属于中档题. 3．B分析： B【分析】【剖析】先化简会合A,B, 再求e B A得解 .【详解】由题得 A x |2x 1 20{ x | x 1} ，B y | y 0 .所以 e B A { x | 0 x1} .应选 B【点睛】此题主要考察会合的化简和补集运算，考察指数函数的单一性和对数函数的值域的求法，意在考察学生对这些知识的理解掌握水平.4．C分析： C【分析】【剖析】第一将 b 表示为对数的形式，判断出b 0，而后利用中间值以及对数、指数函数的单一性比较3与 a, c 的大小，即可获得a, b, c的大小关系.2【详解】因为 5b1 ，所以 b log 5 1 log 5 1 0 ，4 4又因为 alog 1 1 log 3 3,log 3 3 3 ，所以 a 1,3log 3 4 ，3 423113 313,2 ，又因为 c63,83 ，所以 c22所以 ca b .应选： C. 【点睛】此题考察利用指、对数函数的单一性比较大小，难度一般.利用指、对数函数的单一性比较大小时，注意数值的正负，对于同为正或许负的状况可利用中间值进行比较.5．D分析： D【分析】【剖析】能够得出 a1 ln 32, c 1 ln 25 ，从而得出 ＜ ，相同的方法得出 ＜ ，从而得出 ，10 10c a a b ab ，c 的大小关系． 【详解】af 2ln 2ln 32 , c f 51ln 5 ln 25,依据对数函数的单一性获得a>c,2 105 10bf 3ln 3 ,又因为 a f 2ln 2 ln8， bln 3ln 932 6 f 3，再由对数函数36的单一性获得 a<b,∴ c ＜a ，且 a ＜ b ；∴ c ＜ a ＜ b ．应选 D ． 【点睛】考察对数的运算性质，对数函数的单一性．比较两数的大小常有方法有：做差和 0 比较，做商和 1 比较，或许结构函数利用函数的单一性获得结果.6．C分析： C 【分析】【剖析】求出函数fxlog 1 x 2 2x 的定义域，而后利用复合函数法可求出函数y f x 的2单一递加区间 . 【详解】解不等式 x 2 2x0 ，解得 x 0 或 x 2 ，函数 y f x 的定义域为 ,0 U 2,.内层函数 u x 2 2x 在区间 ,0 上为减函数，在区间2,上为增函数，外层函数ylog 1u在 0,上为减函数，2由复合函数同增异减法可知，函数f x log 1 x 22x 的单一递加区间为 ,0 .2应选： C.【点睛】此题考察对数型复合函数单一区间的求解，解题时应先求出函数的定义域，考察计算能力，属于中等题 .7．C分析： C【分析】【剖析】由题意，函数y f f x3 的零点个数，即方程 f f x 3 的实数根个数，设t f x ，则 f t 3 ，作出 f x 的图象，联合图象可知，方程f t 3 有三个实根，从而可得答案 .【详解】由题意，函数 y f f x 3 的零点个数，即方程 f f x3 的实数根个数，设 tf x ，则 ft3 ，作出 f x 的图象，f t3 有三个实根 t 11 ， t 21 4 ，以下图，联合图象可知，方程， t 34则 fx1 有一个解， f x1 有一个解， f x4 有三个解，4故方程 f fx 3 有 5个解.【点睛】此题主要考察了函数与方程的综合应用，此中解答中合理利用换元法，联合图象，求得方程 ft 3 的根，从而求得方程的零点个数是解答的重点，侧重考察了剖析问题和解答问题的能力，以及数形联合思想的应用.8．B分析： B【分析】1112 4 22 2 4，则 f f4log 1 4 2 ，应选B.f f2229．B分析： B【分析】【剖析】【详解】33 3 ，由对数函数的性质可知a log 3 2log 33442由指数函数的性质b20.11，由三角函数的性质c sin 7890sin(23600690 )sin 690sin 600，所以c (3,1)，2所以 a c b ，应选 B.10．B分析： B【分析】试题剖析：利用函数f（ x） =x（ e x+ae﹣x）是偶函数，获得g（x） =e x+ae﹣x为奇函数，而后利x x x x﹣﹣为偶函用 g（0） =0，能够解得 m．函数 f（ x） =x（ e +ae ）是奇函数，所以g（ x） =e +ae数，可得 n，即可得出结论．x x x x x x解：设 g（ x） =e﹣﹣g（ x） =e﹣为奇函+ae，因为函数f（ x） =x（ e +ae ）是偶函数，所以+ae数．又因为函数 f （ x）的定义域为R，所以 g（ 0） =0，即 g（0） =1+a=0，解得 a=﹣ 1，所以 m=﹣ 1．因为函数x x xxf（ x） =x（ e+ae﹣）是奇函数，所以g（ x） =e +ae﹣为偶函数所以（ e﹣x+ae x） =e x+ae﹣x即（ 1﹣ a）（ e﹣x﹣e x）=0 对随意的x 都建立所以 a=1，所以 n=1，所以 m+2n=1应选 B．考点：函数奇偶性的性质．11．C分析： C【分析】【剖析】依据自变量范围代入对应分析式，化简得结果.【详解】f(log43) ＝4log43 =3,选 C.【点睛】此题考察分段函数求值，考察基本求解能力，属基础题.12．D分析： D【分析】【剖析】依据偶函数的性质,求出函数f x 0在 ( －∞， 0] 上的解集 , 再依据对称性即可得出答案 .【详解】由函数 f,2 f 20,∞ 0]是减函数 ,所x 为偶函数所以 f又因为函数 f x 在(－，以函数 f x0 在(－∞，0]上的解集为2,0, 由偶函数的性质图像对于y 轴对称,可得在(0,+∞x0 的解集为(0,2),综上可得 , f x0 的解集为(-2,2). ) 上f应选 :D.【点睛】此题考察了偶函数的性质的应用,借助于偶函数的性质解不等式,属于基础题 .二、填空题13．【分析】【剖析】由可得出和作出函数的图象由图象可得出方程的根将方程的根视为直线与函数图象交点的横坐标利用对称性可得出方程的全部根之和从而可求出原方程全部实根之和【详解】或方程的根可视为直线与函数图象分析： 3【分析】【剖析】由2f x af x可得出f x 0和 f x a a0,3，作出函数y f x的图0象，由图象可得出方程 f x0 的根，将方程 f x a a0,3 的根视为直线y a 与函数 y f x 图象交点的横坐标，利用对称性可得出方程根之和，从而可求出原方程全部实根之和.f x a a0,3的全部【详解】Q f 2 x af x 0 0 a 3 ， f x 0 或 f x a 0 a 3 .方程 f x a 0 a 3 的根可视为直线y a 与函数 y f x 图象交点的横坐标，作出函数 y f x 和直线 y a 的图象以下列图：由图象可知，对于x 的方程 f x0 的实数根为2、3.因为函数 y x22x 2 对称，函数 y x 3 的图象对于直线 x 3的图象对于直线对称，对于 x 的方程f x a 0a 3 存在四个实数根x1、 x2、 x3、 x4以下图，且 x1 x22， x3x4 3 ，x1x2x3 x4462，22所以，所求方程的实数根的和为2 3 2 3 .故答案为： 3 .【点睛】此题考察方程的根之和，实质上就是求函数的零点之和，利用图象的对称性求解是解答的重点，考察数形联合思想的应用，属于中等题.14．或【分析】【剖析】由函数对称轴与区间关系分类议论求出最大值且等于2解对于的方程即可求解【详解】函数对称轴方程为为；当时；立即（舍去）或（舍去）；当时综上或故答案为:或【点睛】此题考察二次函数的图像与分析：1或 2.【分析】【剖析】由函数对称轴与区间关系，分类议论求出最大值且等于2，解对于a的方程，即可求解 .【详解】函数 f x x22ax1 a( x a)2a2a1，对称轴方程为为 x a；当 a0 时，f ( x)max f(0)1a2, a1；当 0a1, f ( x) max f(a)a2a12，即a2a 1 0, a15（舍去），或 a =1-5（舍去）；22当 a 1 时， f (x)max f(1)a 2 ，综上 a 1 或 a2.故答案为 :1或2.【点睛】此题考察二次函数的图像与最值，考察分类议论思想，属于中档题.15．(－ 22)【分析】【详解】∵函数 f(x) 是定义在 R 上的偶函数且在 (－∞ 0)上是增函数又 f(2) ＝0∴f(x) 在(0＋∞)上是增函数且 f( － 2)＝f(2) ＝0∴当－２＜ x ＜2 时f(x) ＜ 0 即 f(x) ＜分析：(－ 2,2)【分析】【详解】∵函数f(x)是定义在R 上的偶函数，且在( －∞， 0) 上是增函数，又f(2)＝0，∴ f(x)在(0 ，＋∞ ) 上是增函数，且f(－2) ＝f(2)＝ 0，∴当－２＜x＜ 2 时， f(x)＜ 0，即f(x)＜ 0的解为 (－ 2,2)，即不等式的解集为(－ 2,2), 故填 (－ 2,2).16．【分析】【剖析】依据函数的奇偶性令即可求解【详解】 ?分别是定义在上的偶函数和奇函数且故答案为：【点睛】此题主要考察了函数的奇偶性属于简单题分析：32【分析】【剖析】依据函数的奇偶性，令x1即可求解.【详解】Q f (x) ?g( x)分别是定义在R 上的偶函数和奇函数, 且f (x) g ( x) 2x xf ( 1) g( 1) f (1)g (1) 2 1 13,2故答案为：32【点睛】此题主要考察了函数的奇偶性，属于简单题.17．【分析】【剖析】依据指数函数和对数函数的图象与性质分别求得实数的取值范围即可求解获得答案【详解】由题意依据指数函数的性质可得由对数函数的运算公式及性质可得且所以 abc 从小到大的关系是故答案为：【点睛分析： b c a【分析】【剖析】依据指数函数和对数函数的图象与性质，分别求得实数a,b, c 的取值范围，即可求解，得到答案 .【详解】由题意，依据指数函数的性质，可得a 1.10.1 1.101，由对数函数的运算公式及性质，可得b log212log21(1)211，2221ln 2ln e 1，c ln 2 ln e，且c2所以 a， b， c 从小到大的关系是b c a .故答案为： b c a .【点睛】此题主要考察了指数函数与对数函数的图象与性质的应用，此中解答中熟记指数函数与对数函数的图象与性质，求得实数a, b, c 的取值范围是解答的重点，侧重考察了推理与运算能力，属于基础题.18．-1【分析】试题分析：因为是奇函数且所以则所以考点：函数的奇偶性分析： -1【分析】试题分析：因为 y f (x) x2是奇函数且 f (1)1，所以，则，所以．考点：函数的奇偶性．19．24【分析】由题意得：所以时考点：函数及其应用分析： 24【分析】由题意得： {e b192e22k48 1 , e11k1，所以 x33 时，e22kb,4819242ye33k b(e11k )3e b119224 .8考点：函数及其应用.20．5【分析】【剖析】将化简为同时设可得的函数分析式可适当k 等于 8 时与的交点的全部根的和的最大可得答案【详解】解：由可得：设由函数的性质与图像可适当 k 等于 8 时与的交点的全部根的和的最大此时根分别为：当时分析： 5【分析】【剖析】2x ,0x 1,2x ,0 x1,12x ,1将 f (x)1 f ( x化简为 f ( x)x2, 同时设1),1 x 3,4212x, 2x3,164x f (x) g( x) ，可得g (x)的函数分析式，可适当k 等于 8 时与g (x)的交点的全部根的和的最大，可得答案 .【详解】2x,0x 1,2x ,0 x1,1 2x,1解：由 f ( x)1f ( x1),1 x可得： f ( x)x 2,3,421 2x ,2 x 3,168x ,0 x 1,设 4x f (x)g (x) ， g( x)18x ,1 x 2,41 8x, 2 x 3,16由 g( x) 函数的性质与图像可得，当 k 等于 8 时与 g( x) 的交点的全部根的和的最大，此时根分别为：当 0 x 1 时， 8x 18 ， x 1 1，当 1 x2时，18x 28 ， x 2 5 ，43 当 2 x3时，18x 38 ， x 37 ，163此时全部根的和的最大值为： x 1 x 2x 3 5 ，故答案为： 5.【点睛】此题主要考察分段函数的图像与性质，注意分段函数需分对分段区间进行议论，属于中档题.三、解答题．（ ）f 1 0，证明看法析；（2） [1,2) (2,3]211【分析】【剖析】（1）依据函数分析式，对自变量进行合理赋值即可求得函数值，同时也能够获得 f x 与fx之间的关系，从而证明；（2）利用函数的奇偶性和单一性，合理转变求解不等式即可【详解】.（1）令 y1 0 ，则 f x1f xf 1 ，xx1x 得 f 1f x f x0 ，再令 x 1， y1 ，可得 f 1 f 1 f1 ，得 2 f 1f 1 0 ，所以 f1 0，令 y1，可得 f xfxf1f x ，又该函数定义域对于原点对称， 所以 fx 是偶函数，即证 .（2）因为f 2 1，又该函数为偶函数，所以f 21.因为函数 f x 在,0 上是减函数，且是偶函数所以函数 fx 在 0,上是增函数 . 又f 24f1 f 2x 4 xf 2x 4 ，xxx所以 f2x 4f 2 ，等价于2x 4 0, 2x 4 0,2x4 或2x42,2,解得 2 x 3 或 1 x 2 .所以不等式f2 4f1 1的解集为 [1,2)(2,3] .xx【点睛】此题考察抽象函数求函数值、证明奇偶性，以及利用函数奇偶性和单一性求解不等式 .22． (1) 2 a 4 ； (2) x x 0 或 x ln3【分析】 【剖析】（1 ）依据复合函数单一性的性质 ,联合二次函数性质即可求得 a 的取值范围 .（2 ）将 a3 代入函数分析式 ,联合不等式可变形为对于e x 的不等式 ,解不等式即可求解 .【详解】（1）Q f ( x) 在 (,1] 上单一递减,依据复合函数单一性的性质可知y x2 ax 3需单一a1递减则21a30解得2a4.（2）将a 3 代入函数分析式可得 f (x) ln( x23x 3)则由f (ex )x,代入可得ln e2 x3e x3x同取对数可得e2x3e x3e x 即 (e x )24e x30 ,所以 (e x1) e x30即 e x1或e x3x0或 x ln 3 ,所以原不等式的解集为x x 0或x ln 3【点睛】此题考察了对数型复合函数单一性与二次函数单一性的综合应用,对数不等式与指数不等式的解法 ,属于中档题 .23．（ 1）f (x)3x23x18 （2）[12,18]【分析】【剖析】【详解】（1）Q 3 2b 8, 3 2 a ab a3, b 5 , f x3x2 3 x 18 a a（ 2）因为 f x3x23x 18 张口向下，对称轴x1, 在0,1 单一递减，2所以当x 0, f max x 18,当x1, f min x12所以函数 f (x) 的值域为[12,18]【点睛】此题将函数的零点、分析式、最大小值等相关知识与性质有机整合在一同，旨在考察函数的表示、零点、最大小值等基础知识及综合运用．求解时先依照函数零点与方程的根之间的关系，求出函数分析式中的参数的值；解答第二问时，借助二次函数的图像和性质，运用数形联合的数学思想求出最大小值从而使得问题获解．24．（Ⅰ）零点3个. （Ⅱ）0,1 100【分析】【剖析】 （I ）当 m0时，由 f (x)2 0 ，联合分段函数分析式，求得函数的零点，由此判断出yf (x) 2的零点的个数 .（II ）令 f 2 ( x) 3 f (x) 0，解得 f (x) 0 （依据分段函数分析式可知 fx 0 ，故舍去.）或 f ( x)3 .联合分段函数分析式，求得f ( x) 3 的根，联合分段函数f x 的分段点，求得 m 的取值范围 .【详解】x,0,（Ⅰ）当 m 0 时， f (x)2 , xlg x 1, x0.令 yf ( x) 20，得 f (x) 2 ，则 | lg x | 1 2 或 2|x|2.解 | lg x | 12 ，得 x 10 或 1，10解 2|x| 2 ，得 x1 或 x 1（舍） .所以当 m0 时，函数 yf (x)2 的零点为 1，1，10，共 3 个.10（Ⅱ）令 f 2 ( x) 3 f (x) 0 ，得 f ( x) 0 或 f ( x) 3 .由题易知 f ( x) 0恒建立 .所以 f (x)3一定有 3 个实根，即 | lg x |13 和 2|x|3共有 3个根.①解 2|x| 3 ，得 xlog 2 3 或 x log 2 3 1（舍），故有 1 个根 .②解 |lg x | 1 3 ，得 x 100 或 x 1 ，100要使得两根都知足题意，则有 m 1.100又 0, m 1 ，所以 0, m 1.100所以实数 m 的取值范围为0,1.100【点睛】本小题主要考察分段函数零点个数的判断，考察依据函数零点个数求参数的取值范围，属于中档题 .25． (1) k3； (2) 当 a 1 时， x ,log 2 3 ；当 0 a 1时， x log 2 3,；(3), 13【分析】【剖析】（1）由函数过点0,4 ，待定系数求参数值；（2）求出g x 的分析式，解对数不等式，对底数进行分类议论即可.（3）换元，将指数型不等式转变为二次不等式，再转变为最值求解即可.【详解】（1）因为f ( x)2x k 2 x且f (0)4，故： 1k 4 ，解得 k 3 .（2）因为g (x)log a f ( x)2x，由（ 1），将f x代入得：g x log a (3n 2 x ?) ，则log a(3n 2x ?) 0 ，等价于：当 a1时，3n 2x 1 ，解得x,log 2 3当 0 a 1时，3 2 x 1 ，解得x log 2 3,.n（3）f ( x)t8在R上恒建立，等价于：2x2x 28n2x t30 恒建立；令 2x m ，则m0,，则上式等价于：m28m t 30 ，在区间0,恒建立 .即：t m28m 3 ，在区间0,恒建立，又m28m3m4213 ，故：( m28m 3) 的最小值为：-13，故：只要 t13即可 .综上所述， t,13.【点睛】此题考察待定系数求参数值、解复杂对数不等式、由恒建立问题求参数范围，属函数综合问题 .26．（ 1）g( x) 2x4x，（2） b 3 , 1164【分析】试题剖析：（ 1）；此题求函数分析式只要利用指数的运算性质求出 a 的值即可，（2）对于同时含有 a x, a2 x的表达式，往常能够令进行换元，但换元的过程中必定要注意新元的取值范围，换元后转变为我们熟习的一元二次的关系，从而解决问题．试题分析：解：（1）∵f ( x)3x，且 f (a 2)18 ∴∵∴（2）法一：方程为令，则1t 4 -4且方程为在有两个不一样的解．设 y t t 2(t 1 )21，y b两函数图象在1, 4 内有两个交点244由图知 b 3 , 1时，方程有两不一样解．164法二：方程为，令，则1t4 4∴方程在1,4上有两个不一样的解．设 f (t )t 2t b,t1, 4 44=1-4b01 b410b 3{ f164f (4)0b12解得 b 3 , 1164考点：求函数的分析式，求参数的取值范围【方法点睛】求函数分析式的主要方法有待定系数法，换元法及赋值消元法等；已知函数的种类（如一次函数，二次函数，指数函数等），便可用待定系数法；已知复合函数的解析式，可用换元法，此时要注意自变量的取值范围；求分段函数的分析式时，必定要明确自变量的所属范围，以便于选择与之对应的对应关系，防止犯错．。
高一上学期期末数学考试卷及答案
2020～2021学年度上学期高一年级期末考试卷数 学 试 卷注意事项：1．本试卷分第Ⅰ卷（阅读题）和第Ⅱ卷（表达题）两部分。
答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．作答时，请认真阅读答题卡上的注意事项，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
一、单选题 本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1、已知全集U＝{－1,0,1,2,3}，集合A＝{0,1,2}，B＝{－1,0,1}, 则(C U A)∩B= ( )A.{－1}B.{0,1}C{－1,2,3} D.{－1,0,1,3}2．“”是“”的（ ）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件3．已知函数，则（ ）A．B．C．6D．74．已知f(x)＝(x－a)(x－b)＋2(a<b)，且α，β(α<β)是方程f(x)＝0的两根，则α，β，a，b的大小关系是（ ）A．a<α<β<b B．a<α<b<βC．α<a<b<βD．α<a<β<b5．是定义在上的偶函数，在上是增函数，且，则使的的范围是（ ）A．B．C． D．6．已知，，且，则（ ）A．B．C．D．7．函数的定义域是（ ）A．B．C．D．8．函数的零点个数有（ ）A．0个B．1个C．2个D．3个二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分. 9．下列命题是“，”的表述方法的是（）A．有一个，使得成立B．对有些，使得成立C．任选一个，都有成立D．至少有一个，使得成立10．下列命题中是真命题的有（ ）A．幂函数的图象都经过点和B．幂函数的图象不可能过第四象限C．当时，幂函数是增函数D．当时，幂函数在第一象限内函数值随值的增大而减小11．如果函数在上是增函数，对于任意的，则下列结论中正确的是（ ）A．B．C．D．12．已知函数有两个零点，，以下结论正确的是（ ）A．B．若，则C．D．函数有四个零点三、填空题 （每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．已知，则的解析式为___________.14．用二分法研究函数f(x)＝x3＋3x－1的零点时，第一次计算得f(0)<0，f(0.5)>0，第二次应计算f(x1)，则x1＝________.15．已知函数，若，则____.16．已知函数 (a>0，且a≠1)，若在区间[1，2]上恒成立，则实数a的取值范围是________．四 解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（10分）（1）；（2）.18．（12分）已知函数，试画出的图象，并根据图象解决下列两个问题．（1）写出函数的单调区间；（2）求函数在区间上的最大值．19．（12分）已知函数f(x)＝，g(x)＝(a>0且a≠1).(1)求函数φ(x)＝f(x)＋g(x)的定义域；(2)试确定不等式f(x)≤g(x)中x的取值范围.20.（12分）已知函数（1）判断函数在上的单调性，并给予证明；（2）求函数在，的最大值和最小值．21．（12分）已知函数（1）若在恒成立，求的取值范围；（2）设函数，解不等式.22．（12分）设函数是定义域为R的奇函数.（1）求的值;（2）若,试判断的单调性（不需证明），并求使不等式恒成立的t的取值范围;（3）,求在上的最小值.数 学 试 卷 参考答案1 A 2．B 3．A 4．A 5．B 6．C 7．A 8．C9．ABD 10．BD 11．AB 12．ABC13． 14．0.25 15．1或-2 16．17．（1）原式；（2）原式.18． 的图象如图所示．(1) 在和上是增函数，在上是减函数，∴单调递增区间为，；单调递减区间为；(2)∵，，∴在区间上的最大值为.19． 解：(1)φ(x)＝f(x)＋g(x)的定义域为：，解得：，所以定义域为.(2) f(x)≤g(x)，即为，定义域为.当时，，解得：，所以x的取值范围为.当时，，解得：，所以x的取值范围为.综上可得：当时，x的取值范围为.当时，x的取值范围为.20（1），函数在上是增函数，证明：任取，，且，则，，，，，即，在上是增函数；（2）在上是增函数，在，上单调递增，它的最大值是，最小值是．21．（1）在恒成立，即在恒成立， 分离参数得：，∵，∴从而有：.（3）令，得，，因为函数的定义域为，所以等价于（1）当，即时，恒成立，原不等式的解集是（2）当，即时，原不等式的解集是（3）当，即时，原不等式的解集是（4）当，即时，原不等式的解集是综上所述：当时，原不等式的解集是当时，原不等式的解集是当时，原不等式的解集是当时，原不等式的解集是22．（1） ∵是定义域为R的奇函数，∴ f（0）＝0，∴ 1－（k－1）＝0，∴ k＝2， （2）单减，单增，故f（x）在R上单减 ，故不等式化为∴，解得令∵在上为递增的 ∴∴设∴.即在上的最小值为.。
北京市东城区2020届高三数学上学期期末考试试题
东城区2021-2021学年度第一学期期末教学统一检测高三数学第一局部〔选择题共40分〕一、选择题共8小题，每题5分，共40分.在每题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1.集合Ax|x1，B{x|(x2)(x1)0}，那么AIB〔A.x|1x2B.x|1x1C.x|1x2D.x|1x1【答案】D【解析】【分析】求得集合B{x|1x2}，结合集合的交集的运算，即可求解.【详解】由题意，集合B{x|(x2)(x1)}{x|1x2}，所以AIBx|1x1.应选：D.【点睛】此题主要考查了集合的交集的运算，其中解答中正确求解集合B，结合集合交集的概念及运算求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于根底题.2.复数zi(i1)在复平面内的对应点位于〔〕A.第一象限 B.第三象限 C.第二象限D.第四象限【答案】B 【解析】【分析】先化简复数，再计算对应点坐标，判断象限.【详解】z1i，对应点为(1,1)，在第三象限.故答案选B【点睛】此题考查了复数的坐标表示，属于简单题.13.以下函数中，是偶函数，且在区间,上单调递增的为〔〕A.1 B.yln|x| C.y2x D.xy 1|x|【答案】B 【解析】【分析】结合函数的单调性与奇偶性的定义与判定方法，以及初等函数的性质，逐项判定，即可求解.【详解】由题意，对于A中，函数f x1x，所以函数为奇函数，不符合题意；fx对于B中，函数fln|x|满足f xln|x|ln|x|fx，所以函数为偶函数，当x 0时，函数y lnx为0,上的单调递增函数，符合题意；对于C中，函数y2x为非奇非偶函数，不符合题意；对于D中，y1|x|为偶函数，当x0时，函数y1x为单调递减函数，不符合题意，应选：B.【点睛】此题主要考查了函数的奇偶性和函数的单调性的判定与应用，其中解答中熟记函数的单调性与奇偶性的判定方法，以及初等函数的性质是解答的关键，着重考查了推理与论证能力，属于根底题.4.设a,b为实数，那么“ab0〞是“ab〞的〔〕A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】根据函数 f x为单调递增函数，结合充分条件和必要条件判定方法，即可求解. x【详解】由题意，函数f x x为单调递增函数，当a b 0时，可得 f af b，即ab成立，2当a b，即fa f b时，可得ab，所以ab0不一定成立，所以“ab0〞是“b〞的充分而不必要条件.应选：A.【点睛】此题主要考查了指数函数的性质，以及充分条件、必要条件的判定，其中解答中熟记指数函数的性质，以及熟练应用充分条件和必要条件的判定方法是解答的关键，着重考查了推理与论证能力，属于中档题.5.设，是两个不同的平面，m,n是两条不同的直线，那么以下结论中正确的选项是〔〕A.假设m，mn，那么n//B.假设，m，n，那么m nC.假设n//，mn，那么mD.假设//，m，n，那么m//n【答案】B【解析】【分析】根据线面位置关系的判定定理和性质定理，逐项判定，即可求解，得到答案.【详解】由题意，对于A中，假设m，mn，那么n//或n，所以不正确；对于C中，假设n//，mn，那么m与可能平行，相交或在平面内，所以不正确；对于D中，假设//，m，n，那么m与n平行、相交或异面，所以不正确；对于B中，假设，m，n，，根据线面垂直的性质，可证得mn成立，应选：B.【点睛】此题主要考查了线面位置关系的判定与证明，其中解答中熟记线面位置关系的判定定理和性质定理，逐项判定是解答的关键，着重考查了推理与论证能力，属于根底题.从数字1，2，3，4，5中，取出3个数字〔允许重复〕，组成三位数，各位数字之和等于6，这样的三位数的个数为〔〕A.7B.9C.10D.13【答案】C3由题意，把问题分为三类：当三个数分别为1,1,4，1,2,3，2,2,2三种情况，结合排列、组合和计数原理，即可求解.【详解】从数字1，2，3，4，5中，取出3个数字〔允许重复〕，组成三位数，各位数字之和等于6，（可分为三类情况：1〕当三个数为1,1,42〕当三个数为1,2,3时，共有C313种排法；时，共有A336种排法；〔3〕当三个数为2,2,2时，只有1中排法，由分类计数原理可得，共有36110种不同排法，即这样的数共有10个.应选：C.【点睛】此题主要考查了计数原理与排列、组合的应用，其中解答中认真审题，合理分类，结合计数原理求解是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于根底题.7.设，是三角形的两个内角，以下结论中正确的选项是〔〕A假设，那么sinsin2B.假设，那么22 coscos2C.假设，那么sinsin1D.假设，那么22 coscos1【答案】A【解析】【分析】结合三角恒等变换的公式，以及合理利用赋值法，逐项判定，即可求解得到答案.【详解】对于A中，因为，那么024,2424又由sinsin2sincos2sincos2cos2，22422所以sinsin2是正确的；4对于B中，例如，此时cos6cos32，666所以coscos不一定成立，所以不正确；对于C中，因为，例如5,时，sin5sin1621，261261224所以sinsin1不正确；对于D中，因为，例如2,时，cos2cos131，2363622所以coscos1不正确，应选：A.【点睛】此题主要考查了三角恒等变换的应用，以及三角函数值的应用，其中解答熟记三角恒等变换的公式，以及合理利用赋值法求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于根底题.8.用平面截圆柱面，当圆柱的轴与所成角为锐角时，圆柱面的截面是一个椭圆，著名数学家Dandelin创立的双球实验证明了上述结论.如下图，将两个大小相同的球嵌入圆柱内，使它们分别位于的上方和下方，并且与圆柱面和均相切.给出以下三个结论：①两个球与的切点是所得椭圆的两个焦点；②假设球心距O1O24，球的半径为3，那么所得椭圆的焦距为2；③当圆柱的轴与所成的角由小变大时，所得椭圆的离心率也由小变大.其中，所有正确结论的序号是〔〕A.①B.②③C.①②D.①②③【答案】C 5【解析】【分析】设圆柱的底面半径为R，根据题意分别求得bR，aR R，OC，结合椭圆sin tan的结合性质，即可求解.【详解】由题意，作出圆柱的轴截面，如下图，设圆柱的底面半径为R，根据题意可得椭圆的短轴长为2b2R，即b R，长轴长为2a2RaR，，即sinsin在直角O1OC中，可得O1C tan，即OCO1C R，OCtantan又由OCb2R2R2112，2tan2tan2sin2b2a2，所以OC22b2，即OC又因为椭圆中c2a22，所以OCc，即切点为椭圆的两个交点，所以①是正确的；由O1O24，可得O1O2，又由球的半径为3，即R3，R222(3)21，在直角O1OC中，OC OO1由①可知，即c1，所以2c2，即椭圆的焦距为2，所以②是正确的；R R c Rsin由①可得a，c，所以椭圆的离心率为etantan a Rcos，sin tansin所以当当圆柱的轴与所成的角由小变大时，所得椭圆的离心率变小，所以③不正确.应选：C【点睛】此题主要考查了椭圆的几何性质及其应用，其中解答中认真审题，合理利用圆柱的结构特征，以及椭圆的几何性质求解是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档6试题.第二局部〔非选择题共110分〕二、填空题共6小题，每题5分，共30分.9.假设双曲线x2y21与x2y21有相同的焦点，那么实数m_________.m32【答案】4【解析】【分析】结合双曲线的几何性质，得到m132，即可求解，得到答案.【详解】由题意，双曲线x2y2x2y2m1与1有相同的焦点，32可得m132，解得m4.故答案为：4.【点睛】此题主要考查了双曲线的标准方程及几何性质的应用，其中解答中熟练应用双曲线的几何性质是解答的关键，着重考查了计算能力，属于根底题.10.a n是各项均为正的等比数列，S n为其前n项和，假设a16，a22a36，那么公比q________，S4_______ __.【答案】145(1).(2).24【解析】【分析】根据等比数列的通项公式，得到2q2q10，求得q1再由等比数列的前n项和公式，2求得S4，得到答案.【详解】由题意，在数列a n是各项均为正的等比数列，因为a6，a2a6，可得a1q2a1q26q12q26，13即2q2q10，解得q1或q1〔舍去〕，274 ]6[1(1) 45又由等比数列的前n 项和公式，可得S421 .412故答案为：1，45.24【点睛】此题主要考查了等比数列的通项公式，以及等比数列前n 项和公式的应用，其中解答中熟练等比数列的通项公式和前n 项和公式，准确运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于根底题.11.能说明“直线xy m 0与圆x 2y24x2y有两个不同的交点 〞是真命题的一个m 的值为______.【答案】0 【解析】 【分析】3 m5，求得m根据直线与圆相交，利用圆心到直线的距离小于圆的半径，得到(1)212的取值范围，即可求解.【详解】由题意，圆x2y 24x2y0的圆心坐标为( 2,1)，半径为r5，假设直线xym 0与圆x 2y24x2y0有两个不同的交点，那么满足圆心到直线的距离小于圆的半径，即3m5，解得12(1)2310m310，所以命题为真命题的m 的值为一个0.故答案为：0.【点睛】此题主要考查了直线与圆的位置关系的应用，其中解答中熟记直线与圆的位置关系，列出不等式求得m的取值范围是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于根底题.uuuruuuruuur uuuruuuruuur2，那么四边形12.在平行四边形ABCD中，ABACAC AD，|AC|4，|BD|ABCD的面积是_______.【答案】4【解析】8【分析】uuuruu uruuuruuur uuuruuurABCD是由ABACAC AD，根据向量的线性运算，得到ACBD，进而得到四边形菱形，即可求得四边形的面积，得到答案.ABCD 中，uuuruuuruuur uuur【详解】由题意，在平行四边形ABAC ACAD，uuuruuur uuuruuuruuuruuuruuuruuur uuur可得ABAC AC(ADAB)ACBD0，所以AC BD所以四边形ABCD是菱形，u uuruuur2，所以面积为S1又由|AC|4，|BD|424.2故答案为：4.【点睛】此题主要考查了向量的线性运算，向量的数量积的应用，以及菱形的面积的计算，其中解答熟练应用向量的减法运算公式，以及向量的数量积的公式，求得四边形为菱形是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于根底题.13.函数f(x)2sin(x)()，曲线y fx与直线y3相交，假设存在相邻两个交点间的距离为，那么的所有可能值为__________．6【答案】2或10【解析】【分析】令2sin(x)，解得x2k,kZ或x2k2,k Z，根据存在相邻两个交点间的距离为，得到x2x1或x2x15，即可求3w63w6解，得到答案.【详解】由题意，函数f(x)2sin(x)(0)，曲线y f x与直线y相交，令2sin(x)，即sin(x)3，2解得x2k,kZ或x2k2,kZ，33由题意存在相邻两个交点间的距离为，结合正弦函数的图象与性质，6可得232k w(x2x1),kZ，令k0，可得x2x13w，解得w2.36 9或722kw(x2x1),k Z，令k0，可得x2x15，解得w10.333w6故答案为：2或10.【点睛】此题主要考查了三角函数的图象与性质的应用，以及三角方程的求解，其中解答中熟练应用三角函数的图象与性质，列出方程求解是解答的关键，着重考查了推理能力与计算鞥能力，属于中档试题.14.将初始温度为0C的物体放在室温恒定为30C的实验室里，现等时间间隔测量物体温度，将第n次测量得到的物体温度记为t n，t10C.物体温度的变化与实验室和物体温度差成正比〔比例系数为k〕.给出以下几个模型，那么能够描述这些测量数据的一个合理模型为__________：〔填写模型对应的序号〕①t n1k；②t n1tn k30t n；③t n1k30t n.tnt n3在上述模型下，设物体温度从5C升到10C所需时间为amin，从10C上升到15C 所需时间为bmin，从15C上升到20C所需时间为Cmin，那么a与b的大小关系是b c________〔用“〞，“〞或“〞号填空〕【答案】(1).②(2).【解析】【分析】由温度的变化与实验室和物体温度差成正比〔比例系数为k〕，即可得到t n1tn k30tn，再根据函数模型，分别求得k的值，结合作差比拟，即可得到答案.【详解】由题意，将第n次测量得到的物体温度记为t n，那么两次的体温变化为t n1t n，又由温度的变化与实验室和物体温度差成正比〔比例系数为k〕，所以t n1tn k30t n，当物体温度从5C升到10C所需时间为amin，可得105k305，可得k5125，5当物体温度从10C上升到15C所需时间为bmin，可得151k311，，可得k4当物体温度从15C上升到20C所需时间为cmin，可得2015k315，可得k 1，310可是a1m,b1m,c1m,m0，543又由ab acbb cb c即a与b的大小关系是c故答案为：②，1m1m(1m)21m21m211534151615160，1m1m1m21431212a b.c【点睛】此题主要考查了函数的模型的选择，以及实际应用问题的求解，其中解答中认真审题，正确理解题意，选择适当的函数模型是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题.三、解答题共6小题，共80分.解容许写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.在ABC中，csinA3acosC.〔1〕求C的大小；〔2〕假设b2，c23，求ABC的面积.【答案】〔1〕C23〔2〕3【解析】【分析】〔1〕由正弦定理可得sinCsinA3cosCsinA0，求得sinC3cosC0，即可求解C的大小；〔2〕由正弦定理，可得1B，进而得到A B C，sinB，得到266结合三角形的面积公式，即可求解.【详解】〔1〕因csinA3acosC0，由正弦定理可得sinCsinA3cosCsinA0，又因为又因为A(0,)，所以sinA0，所以sinC3cosC0，即tanC3，0C，所以C2.311bsinC 231，〔2〕由正弦定理，可得2sinBc32又因为0B，所以B，所以A C.366所以ABC的面积S1bcsinA122313.222【点睛】此题主要考查了正弦定理、余弦定理和三角形的面积公式的应用，其中在解有关三角形的题目时，要抓住题设条件和利用某个定理的信息，合理应用正弦定理和余弦定理求解是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于根底题.年6月，国内的5G运营牌照开始发放.从2G到5G，我们国家的移动通信业务用了不到20年的时间，完成了技术上的飞跃，跻身世界先进水平.为了解高校学生对5G的消费意愿，2021年8月，从某地在校大学生中随机抽取了1000人进行调查，样本中各类用户分布情况如下：用户分类预计升级到5G的时段人数早期体验用户2021年8月至2021年12月270人中期跟随用户2021年1月至202l年12月530人后期用户2022年1月及以后200人我们将大学生升级5G时间的早晚与大学生愿意为5G套餐支付更多的费用作比拟，可得出以下图的关系〔例如早期体验用户中愿意为5G套餐多支付5元的人数占所有早期体验用户的40%〕.12〔1〕从该地高校大学生中随机抽取1人，估计该学生愿意在2021年或2021年之前升级到5G的概率；〔2〕从样本的早期体验用户和中期跟随用户中各随机抽取1人，以X表示这2人中愿意为升级5G多支付10元或10元以上的人数，求X的分布列和数学期望；〔3〕2021年底，从这 1000人的样本中随机抽取3人，这三位学生都已签约5G套餐，能否认为样本中早期体验用户的人数有变化？说明理由.【答案】〔1〕〔2〕详见解析〔3〕事件D虽然发生概率小，但是发生可能性为，所以认为早期体验用户没有发生变化，详见解析【解析】【分析】1〕由从高校大学生中随机抽取1人，该学生在2021年或2021年之前升级到5G，结合古典摡型的概率计算公式，即可求解；2〕由题意X的所有可能值为0,1,2，利用相互独立事件的概率计算公式，分别求得相应的概率，得到随机变量的分布列，利用期望的公式，即可求解.〔3〕设事件D为“从这1000人的样本中随机抽取3人，这三位学生都已签约5G套餐〞，得到七概率为P(D)，即可得到结论.【详解】〔1〕由题意可知，从高校大学生中随机抽取1人，该学生在2021年或2021年之前13升级到5G的概率估计为样本中早期体验用户和中期跟随用户的频率，即270530.1000〔2〕由题意X的所有可能值为0,1,2，记事件A“从早期体验用户中随机抽取1人，该学生愿意为升级5G多支付10元或10元以上〞，事件B为“从中期跟随用户中随机抽取1人，该学生愿意为升级5G多支付10元或10元以上〞，由题意可知，事件A，B相互独立，且P(A)140%，P(B)145%，所以P(X0)P(AB)(10.6)(10.55)，P( X1)P(ABAB)P(AB)P(AB)P(A)(1P(B))(1P(A)P(B) (10.55)(1.6)，P( X2)P(AB)，所以X的分布列为X012 P故X的数学期望E(X)012.〔3〕设事件D为“从这1000人的样本中随机抽取3人，这三位学生都已签约5G套餐〞，那么P(D)C2703.C10003答复一：事件D虽然发生概率小，但是发生可能性为，所以认为早期体验用户没有发生变化.答复二：事件D 发生概率小，所以可以认为早期体验用户人数增加.【点睛】此题主要考查了离散型随机变量的分布列，数学期望的求解及应用，对于求离散型随机变量概率分布列问题首先要清楚离散型随机变量的可能取值，计算得出概率，列出离散型随机变量概率分布列，最后按照数学期望公式计算出数学期望，其中列出离散型随机变量概率分布列及计算数学期望是理科高考数学必考问题.1417.如图，在三棱柱ABC A 1B 1C 1中，BB 1平面ABC ，ABBC ，AA 1AB BC2.〔1〕求证：BC 1平面A1B1C ；〔2〕求异面直线B1C 与A1B 所成角的大小；〔3〕点M 在线段B 1C 上，且B1M((0,1))，点N 在线段A 1B 上，假设MN ∥平面B1CA 1N的代数式表示〕.A 1ACC 1，求的值〔用含 A 1B【答案】〔1〕证明见解析〔 2〕〔3〕13【解析】 【分析】〔1〕根据三棱柱ABCA 1B 1C1的结构特征，利用线面垂直的判定定理，证得A 1B1平面B 1BCC 1，得到A 1B 1 BC 1，再利用线面垂直的判定定理，即可证得BC1平面A1B1C ；uuur uuur〔2〕由〔1〕得到ABBC ，建立空间直角坐标系Bxyz ，求得向量B 1C,A 1B ，利用向量的夹角公式，即可求解.B1M，得M (2A 1N，得N(0,22,22)，求得向〔3〕由,0,22)，设B1CA 1Buuuuruuuurr量MN 的坐标，结合MN//平面A 1ACC 1，利用MNn0，即可求解.【详解】〔1〕在三棱柱A 1B 1C 1中，由BB 1平面ABC ，所以BB 1平面ABC A1B1C1，又因为BB1平面B1BCC1，所以平面B1BCC1平面A1B1C1，交线为B1C1.又因为ABBC，所以A1B1B1C1，所以A1B1平面B1BCC1.15因为BC1平面B1BCC1，所以A1B1BC1又因为BB1BC2，所以B1C BC1，又A1B1IB1C B1，所以BC1平面A1B1C.〔2〕由〔1〕知BB1底面ABC，ABBC，如图建立空间直角坐标系Bxyz，由题意得B,0,0，C2,0,0，A1,2,2，B10,0,2.uu uru uur所以B1C2,0,，A1B,2,. uuuruuuruuuruuur1A1BBC1所以cosA1B,B1Cuuuruuur2 |BA1||B1C|故异面直线B1C与A1B所成角的大小为. 3〔3〕易知平面A1ACC1的一个法向量rn1,1,0，由B1MM(2,0,22).，得B1C设A1N2,22uuuur，得N(0,2)，那么MN(2,22,22)A1B 16uuuur r 因为MN//平面A1ACC1，所以MN n0，即(2,22,22)(1,1,0)0，解得1，所以A1N1.A1B【点睛】此题考查了线面平行的判定与证明，以及空间角的求解问题，意在考查学生的空间想象能力和逻辑推理能力，解答中熟记线面位置关系的判定定理和性质定理，通过严密推理是线面位置关系判定的关键，同时对于立体几何中角的计算问题，往往可以利用空间向量法，通过求解平面的法向量，利用向量的夹角公式求解.18.函数f(x)1x3x23ax(aR).3〔1〕假设fx在x1时，有极值，求a的值；〔2〕在直线x1上是否存在点P，使得过点P至少有两条直线与曲线y f x相切？假设存在，求出P点坐标；假设不存在，说明理由.【答案】〔1〕a1〔2〕不存在，详见解析【解析】【分析】〔1〕求得f(x)x22x3a，根据函数x在x1取得极值，即可求解；〔2〕不妨设点P1,b，设过点P与y相切的直线为l，切点为x0,y0，求得切线方程，根据直线l过P1,b，转化为b1x03023ax0x22x03a1x0，设函2x 33数g(x)2x22x3ab，转化为g x在区间,上单调递增，即可求解.31x3【详解】〔1〕由题意，函数f(x)x23ax，那么f(x)x22x3a，3由fx在x1时，有极值，可得f(1)123a，17解得a1 .经检验，a时，fx有极值.综上可得a.〔2〕不妨设在直线1上存在一点P1,b，设过点P与y f 相切的直线为l，切点为x0,y0，那么切线l方程为y1x03x02x0x022x03ax0，1x03又直线l 过P1,b，有bx23ax0x22x03a1x0，即23 32x03ab0，x2 x0设g(x)x32x22x3ab，那么g(x)2x24x22(x1)20，所以gx在区间,上单调递增，所以g0至多有一个解，过点P与y x 相切的直线至多有一条，故在直线x上不存在点P，使得过P至少有两条直线与曲线y fx相切.【点睛】此题主要考查导数在函数中的综合应用，其中解答中熟记函数的导数与函数间的关系是解答的关键，着重考查了转化与化归思想、分类讨论、及逻辑推理能力与计算能力．19.椭圆C:x 2y22.21(a1)的离心率是a2 1〕求椭圆C的方程；2〕F1，F2分别是椭圆C的左、右焦点，过F2作斜率为k的直线l，交椭圆C于A,B 1轴于不同的两点M,N.如果MF1N为锐角，求k的取值两点，直线F1A，FB分别交范围.【答案】〔1〕x21〔2〕,72,00,27,27447【解析】【分析】〔1〕由题意，列出方程组，求得a22，即可得到椭圆的方程；18〔2〕设直线l的方程为y kx 1，联立方程组，根据根和系数的关系，结合向量的数量【详解】〔1〕由题意，椭圆C:x2y22，21(a1)的离心率是a2 c2a2，所以椭圆C的方程为x2可得b21解得a22y21.a2b2c22〔2〕由直线l的斜率不为，设直线的方程为y1，直线与椭圆C的交点为Ax,y，Bx,y122.k(x1)22y2得2k1x4kx2k20.1由，判别式恒成立，且x+x=4k2，x1x22k22.①22k+12k21直线F1A的方程为1(x1)，令x，那么My1x1,111同理可得N,y2x2 1u uuuruuuur1y1y2k2x11x2所以F1MF1Nx11x21x11x211k2x1x2x1x211k2x1x21k2x1x21k2 x1x2x12x1x2x121将①代入并化简，得u uuuruuuur7k1.F1 MF1N8k2依题意，角MF1Nuuuuruuuur，即uuuuruuuur7k21.为锐角，所以FMFNF1MF1N08k21解得k1或k1 7819综上，直线l的斜率的取值范围是7227 ,4,00,,. 747【点睛】此题主要考查椭圆的标准方程的求解、及直线与圆锥曲线的位置关系的综合应用,解答此类题目，通常联立直线方程与椭圆〔圆锥曲线〕方程，应用一元二次方程根与系数的关系进行求解，此类问题易错点是复杂式子的变形能力缺乏，导致错解，能较好的考查考生的逻辑思维能力、运算求解能力、分析问题解决问题的能力等.20.数列n，记集合TS(i,j)|S(i,j)aiai1Laj,1ij,i,jN*.〔1〕对于数列an:1,2,3,4，写出集合T；〔2〕假设a n2n，是否存在i,j N*，使得Si,j1024？假设存在，求出一组符合条件的i,j；假设不存在，说明理由.〔3〕假设a n2n2，把集合T中的元素从小到大排列，得到的新数列为B:b1,b2,Lb n,L假设b m2021，求m的最大值.【答案】〔1〕T{3,5,6,7,9,10}〔2〕不存在i,jN*，使得Si,j1024成立.(3)详见解析【解析】【分析】〔1〕根据集合的定义TS(i,j)|S(i,j)a iai1La j,1,ij,i,j N*，即可求解；〔2〕假设存在i,jN*，使得Si,j1024，得到1024(j1)(ij)，根据ij与ji奇偶性相同，所以ij与j i1奇偶性不同，进而得到结论.〔3〕假设i,jN*，使得i(i1)Lj(j i1)(ij)t，得到(j i1)(i)2t1不成立，结合数学归纳法，把数列n2n2，转化为数列0,1,2,3,L,n,L，其相应集合T中满足b n1010有多少项，即可得到结论.【详解】〔1〕由题意，集合TS(i,j)|S(i,j)aiai1Laj,1,ij,i,jN*，可得T{3,5,6,7,9,10 }.20〔2〕假设存在i,N*，使得Si,j102 4，那么有1024aiai1Laj2i2(i1)L2j(j1)(i j)，由于ij与j奇偶性相同，所以ij与j1奇偶性不同.又因为i3，ji12，所以1024必有大于等于3的奇数因子，这与1024无1以外的奇数因子矛盾.故不存i,jN*，使得Si,j1024成立.〔3〕首先证明a nn时，对任意的m N*都有b m2t，tN*.假设i,jN*，使得：i(i1)(j1)(ij)t，2由于j i 与j均大于2且奇偶性不同，所有(j i1)(ij)2t1不成立.其次证明除t形式以外的数，都可以写成假设干个连续正整数之和.假设正整数h2t1，其中t N，tN*.当2t12k1时，由等差数列的性质有：h(2k1)(2k1)L(2k1)2t k L2t12t2t1L2t此时结论成立.当2t12k1时，由等差数列的性质有：h(2k1)(2k1)L(2k1)2t1L(k1)k(k1)(k2)Lk2t此时结论成立.对于数列a n2n 2，此问题等价于数列0,1,2,3,L,n,L，其相应集合T中满足：b n1010有多少项.由前面的证明可知正整数2，4，8，16，32，64，128，256，512不是集合T中的项，所以n的最大值为1001.【点睛】此题主要考查了数列的递推公式的应用，以及数列的综合应用，其中解答中认真审题，利用题设条件，结合数列的运算和数学归纳法求解是解答的关键，着重考查了分析问题21和解答问题的能力，试题综合性强，属于难题. 22。
2020-2021学年高一上学期期末考试数学卷及答案
2020-2021学年高一上学期期末考试数学卷及答案1.集合A和B分别表示y=x+1和y=2两个函数的图像上所有的点，求A和B的交集。
答案：A={(-∞,1]}。
B={2}。
A∩B=A={(-∞,1]}2.已知函数y=(1-x)/(2x^2-3x-2)，求函数的定义域。
答案：分母2x^2-3x-2=(2x+1)(x-2)，所以函数的定义域为x∈(-∞,-1/2]∪(2,∞)。
3.如果直线mx+y-1=0与直线x-2y+3=0平行，求m的值。
答案：两条直线平行，说明它们的斜率相等，即m=2.4.如果直线ax+by+c=0经过第一、第二，第四象限，求a、b、c应满足的条件。
答案：第一象限中x>0.y>0，所以ax+by+c>0；第二象限中x0，所以ax+by+c0.y<0，所以ax+by+c<0.综上所述，应满足ab<0.bc<0.5.已知两条不同的直线m和n，两个不同的平面α和β，判断下列命题中正确的是哪个。
答案：选项A是正确的。
因为如果m与α垂直，n与β平行，那么m和n的夹角就是α和β的夹角，所以m和n垂直。
6.已知圆锥的表面积为6π，且它的侧面展开图是一个半圆，求这个圆锥的底面半径。
答案：设底面半径为r，侧面的母线长为l，则圆锥的侧面积为πrl。
根据题意，πrl=6π，所以l=6/r。
而侧面展开图是一个半圆，所以底面周长为2πr，即底面直径为2r，所以侧面母线长l=πr。
将上述两个式子代入公式S=πr^2+πrl中，得到r=2.7.已知两条平行线答案：两条平行线的距离等于它们的任意一点到另一条直线的距离。
我们可以先求出l2上的一点，比如(0,7/8)，然后带入l1的方程，得到距离为3/5.8.已知函数y=ax-1/(3x^2+5)，如果它的图像经过定点P，求点P的坐标。
答案：点P的坐标为(1,2)。
因为当x=1时，y=a-1/8，所以a=17/8.又因为当x=2时，y=1/13，所以17/8×2-1/13=2，解得a=17/8，所以y=17x/8-1/(3x^2+5)，当x=1时，y=2.9.已知a=3/5，b=1/3，c=4/3，求a、b、c的大小关系。
东城区2021 2021第一学期期末数学统练文科答案定稿
东城区2021 2021第一学期期末数学统练文科答案定稿东城区2021-2021第一学期期末数学统练文科答案定稿东城区2022-2022学年第一学期末教学统一检查高三数学参考答案及评分标准（文科）一、多项选择题（共8个子题，每个子题5分，共40分）（1）c（2）d（3）a（4）c（5）a（6）d（7）b（8）a二、填空题（共6小题，每小题5分，共30分）（9）-2i（10）y=?2x（11）-1（12）6，66（13）[?4,??)，(??,?1)或[0,3)（14）(12,72)（点m的坐标只需满足x2?y2?2，x?(?1,0)?(0,1)或y??x，x?(??,?1)?(1,??)）三、解答题（共6小题，共80分）（15）（共13分）解决方案：（I）让算术序列{an}的容差为D，算术序列{BN}的公共比率为Q。
因为A3？a5？2a4？22，那么A4？11? 2.3d。
解得d?3．又因为b2b4?bb15?b6?qb5，所以q?b1?2．那么安恩？3n？10亿？2，n？n、。
第（I）项得6分（II），A？3n？10亿？2n。
因此cn?an?bn?3n?1?2n序列{an（2？3N？1）3n2n}的前n项之和为2？？氮气。
数列{b2(1?2n)n}的前n项和为1.2=2n？1.2.那么，连续剧呢？c3n2？nn？前n项的总和为2?2n?1?2，n?n*．13分1（16）（总共13分）解决方案：（I）什么时候？1点，f(x)?23sinx?cosx?2cos2x?13sin2x？cos2x2sin(2x?).6因为p＃x12p，2所以第7页￡2x+？。
366因此，当2x+when 2x+PPP=，即x=，f（x）获得最大值2626p7pp，即当x=，f（x）获得最小值-16分=662（II），因为f（x）=23sinax？cosax2cos2ax-1（0所以f(x)=3sin2ax+cos2ax=2sin(2ax+)．因为f(x)的图象经过点(,2)，所以2sin(p6?32a??2a)?2，即sin(?)?1．3636所以2a+2k？。
北京市东城区2020届高三第一学期期末数学试题(word版含答案)
北京市东城区2020届第一学期末统一检测 高三数学 2020.1本试卷共4页，共150分。
考试时长120分钟。
考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。
考试结束后，将答题卡一并交回。
第一部分（选择题共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
(1)已知集合{|1}A x x =≤，()(){|210}B x x x =-+<，那么A B =I (A){|12}x x -<< (B){|11}x x -<≤ (C){|12}x x <≤(D){|11}x x -<≤(2)复数z=i(i 1)-在复平面内对应的点位于 (A)第一象限 (B) 第二象限 (C) 第三象限(D)第四象限(3)下列函数中，是偶函数，且在区间(0+)∞，上单调递增的为 (A)1y x=(B)ln y x = (C)2xy -=(D)1y x =-(4)设,a b 为实数，则“0a b >>”是“a b π>π”的 (A) 充分而不必要条件(B) 必要而不充分条件(C) 充分必要条件 (D) 既不充分也不必要条件 (5)设,αβ是两个不同的平面，,m n 是两条不同的直线，则下列结论中正确的是 (A)若m α⊥，m n ⊥，则 n α∥(B) 若αβ⊥，m α⊥，n β⊥，则m n ⊥ (C)若n α∥，m n ⊥，则m α⊥(D)若αβ∥，m ⊂α，n ⊂β，则m n ∥(6)从数字1,2,3,4,5中，取出3个数字(允许重复)，组成三位数，各位数字之和等于6，这样的三位数的个数为 (A)7 (B) 9(C)10(D)13(7)设αβ，是三角形的两个内角，下列结论中正确的是(A)若2αβπ+<，则sin sin αβ+<若2αβπ+<，则cos cos αβ+<(C)若2αβπ+>，则sin sin 1αβ+>(D)若2αβπ+>，则cos cos 1αβ+>(8) 用平面截圆柱面，当圆柱的轴与α所成角为锐角时，圆柱面的截线是一个椭圆．著名数学家Dandelin 创立的双球实验证明了上述结论.如图所示，将两个大小相同的球嵌入圆柱内，使它们分别位于α的上方和下方，并且与圆柱面和α均相切.给出下列三个结论： ①两个球与α的切点是所得椭圆的两个焦点；②若球心距124O O =，球的半径为3，则所得椭圆的焦距为2； ③当圆柱的轴与α所成的角由小变大时，所得椭圆的离心率也由小变大. 其中，所有正确结论的序号是 (A) ① (B)②③ (C) ① ② (D) ① ②③第二部分（非选择题共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。
2020年北京东城区高一数学期末试卷.pdf
高一数学（东城）第 1 页（共 4 页）东城区2019-2020学年度第一学期期末教学统一检测高一数学2020.1本试卷共4页，满分150分。
考试时长120分钟。
考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第一部分（选择题共50分）一、单项选择题：共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
（1）设集合0M ，1,0,1N ，那么下列结论正确的是（A ）M （B ）MN（C ）M N ü（D ）N Mü（2）下列函数为偶函数的是（A ）y x （B ）ln y x （C ）xy e（D ）3y x（3）已知函数sin yx 在区间M 上单调递增，那么区间M 可以是（A ）(0,2)（B ）(0,)（C ）(0,)2（D ）(0,)2（4）命题”,2xA xB ”的否定为（A ）,2x A x B （B ）,2x A x B （C ）,2xA xB（D ）,2xA xB（5）若a b ，则下列不等式一定成立的是（A ）22ab（B ）22ab（C ）1122ab（D ）11ab（6）下列各式正确的是（A ）sinsin55（B ）6cos3cos（C ）tan()tan()55（D ）72cos72sin高一数学（东城）第 2 页（共 4 页）（7）“a ，b 为正实数”是“2a bab ”的（A ）充分而不必要条件（B ）必要而不充分条件（C ）充分必要条件（D ）既不充分也不必要条件（8）大西洋鲑鱼每年都要逆流而上3000英里游回它们出生的地方产卵繁殖.研究鲑鱼的科学家发现鲑鱼的游速v （单位：m /s ）可以表示为31log 2100O v,其中O 表示鲑鱼的耗氧量的单位数.则该鲑鱼游速为2m/s 时的耗氧量与静止时耗氧量的比值为（A ）8100（B ）900（C ）81（D ）9二、多项选择题：本大题共2小题，每小题5分，共10分。
北京市东城区高一(上)期末数学试卷
北京市东城区高一（上）期末数学试卷一、选择题：本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．（3分）已知集合M={x∈R|x2+2x=0}，N={2，0}，则M∩N=（）A．{0}B．{2}C．∅D．{﹣2，0，2}2．（3分）若一个扇形的弧长是3，半径是2，则该扇形的圆心角为（）A．B．C．6 D．73．（3分）设x∈R，向量=（3，x），=（﹣1，1），若⊥，则||=（）A．6 B．4 C．D．34．（3分）二次函数f（x）=ax2+bx+1的最小值为f（1）=0，则a﹣b=（）A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．35．（3分）设点O是平行四边形ABCD两条对角线的交点，给出下列向量组：①与；②与；③与；④与．其中可作为该平面其他向量基底的是（）A．①②B．①③C．①④D．③④6．（3分）已知函数f（x）=|x﹣1|，则与y=f（x）相等的函数是（）A．g（x）=x﹣1 B．C．D．7．（3分）已知，，c=log 35，则（）A．c＞b＞a B．b＞c＞a C．a＞b＞c D．c＞a＞b8．（3分）已知函数，若g（x）=f（x）﹣m为奇函数，则实数m的值为（）A．﹣3 B．﹣2 C．2 D．39．（3分）某商场在2017年元旦开展“购物折上折”活动，商场内所有商品先按标价打八折，折后价格每满500元再减100元，如某商品标价1500元，则购买该商品的实际付款额为1500×0.8﹣200=1000元．设购买某商品的实际折扣率=，某人欲购买标价为2700元的商品，那么他可以享受的实际折扣率约为（）A．55% B．65% C．75% D．80%10．（3分）将函数的图象上所有点向左平行移动个单位长度，得到函数g（x）的图象，则g（x）图象的一条对称轴的方程是（）A．B．C．D．11．（3分）若函数y=f（x）的定义域为{x|﹣2≤x≤3，且x≠2}，值域为{y|﹣1≤y≤2，且y≠0}，则y=f（x）的图象可能是（）A．B．C．D．12．（3分）关于x的方程（a＞0，且a≠1）解的个数是（）A．2 B．1 C．0 D．不确定的二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分．13．（4分）函数的定义域为．14．（4分）已知角α为第四象限角，且，则sinα=；tan（π﹣α）=．15．（4分）已知9a=3，lnx=a，则x=．16．（4分）已知向量||=2，||=3，|+|=，那么|﹣|=．17．（4分）已知，且满足，则sinαcosα=；sinα﹣cosα=．18．（4分）已知函数若存在x1，x2∈R，x1≠x2，使f （x1）=f（x2）成立，则实数a的取值范围是．三、解答题：本大题共4个小题，40分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．19．（10分）已知全集U=R，集合A={x∈R|2x﹣3≥0}，B={x|1＜x＜2}，C={x ∈N|1≤x＜a}．（Ⅰ）求A∪B；（Ⅱ）若C中恰有五个元素，求整数a的值；（Ⅲ）若A∩C=∅，求实数a的取值范围．20．（10分）已知函数与g（x）=cos（2x+φ），它们的图象有一个横坐标为的交点．（Ⅰ）求φ的值；（Ⅱ）将f（x）图象上所有点的横坐标变为原来的倍，得到h（x）的图象，若h（x）的最小正周期为π，求ω的值和h（x）的单调递增区间．21．（10分）已知函数f（x）=kx2+2x为奇函数，函数g（x）=a f（x）﹣1（a＞0，且a≠1）．（Ⅰ）求实数k的值；（Ⅱ）求g（x）在[﹣1，2]上的最小值．22．（10分）已知函数f（x），定义（Ⅰ）写出函数F（2x﹣1）的解析式；（Ⅱ）若F（|x﹣a|）+F（2x﹣1）=0，求实数a的值；（Ⅲ）当时，求h（x）=cosx•F（x+sinx）的零点个数和值域．2016-2017学年北京市东城区高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．（3分）已知集合M={x∈R|x2+2x=0}，N={2，0}，则M∩N=（）A．{0}B．{2}C．∅D．{﹣2，0，2}【解答】解：由题意知，M={x∈R|x2+2x=0}={﹣2，0}，又N={2，0}，则M∩N={0}，故选A．2．（3分）若一个扇形的弧长是3，半径是2，则该扇形的圆心角为（）A．B．C．6 D．7【解答】解：设扇形的弧长为l，圆心角大小为α（rad），半径为r，由已知可得：l=3，r=2，则由l=rα，可得：α==．故选：B．3．（3分）设x∈R，向量=（3，x），=（﹣1，1），若⊥，则||=（）A．6 B．4 C．D．3【解答】解：∵x∈R，向量=（3，x），=（﹣1，1），⊥，∴=﹣3+x=0，解得x=3，∴=（3，3），∴||==3．故选：C．4．（3分）二次函数f（x）=ax2+bx+1的最小值为f（1）=0，则a﹣b=（）A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．3【解答】解：二次函数f（x）=ax2+bx+1的最小值为f（1）=0，∴=1，且a＞0，∴b=﹣2a，∴f（1）=a+b+1=0，解得a=1，b=﹣2，∴a﹣b=3，故选：D5．（3分）设点O是平行四边形ABCD两条对角线的交点，给出下列向量组：①与；②与；③与；④与．其中可作为该平面其他向量基底的是（）A．①②B．①③C．①④D．③④【解答】解：如下图所示：①与不共线，故①可作为这个平行四边形所在平面表示它的所有向量的基底；②与共线，故②不可作为这个平行四边形所在平面表示它的所有向量的基底；③与不共线，故③可作为这个平行四边形所在平面表示它的所有向量的基底；④与共线，故④不可作为这个平行四边形所在平面表示它的所有向量的基底；故选：B．6．（3分）已知函数f（x）=|x﹣1|，则与y=f（x）相等的函数是（）A．g（x）=x﹣1 B．C．D．【解答】解：对于A，函数g（x）=x﹣1（x∈R），与函数f（x）=|x﹣1|（x∈R）的对应关系不同，不是相等函数；对于B，函数h（x）==|x﹣1|（x≠1），与函数f（x）=|x﹣1|（x∈R）的定义域不同，不是相等函数；对于C，函数s（x）==x﹣1（x≥1），与函数f（x）=|x﹣1|（x∈R）的定义域不同，对应关系不同，不是相等函数；对于D，函数t（x）==|x﹣1|（x∈R），与函数f（x）=|x﹣1|（x∈R）的定义域相同，对应关系也相同，是相等函数．故选：D．7．（3分）已知，，c=log 35，则（）A．c＞b＞a B．b＞c＞a C．a＞b＞c D．c＞a＞b【解答】解：=，1＜=log 34＜log35=c，∴c＞b＞a．故选：A．8．（3分）已知函数，若g（x）=f（x）﹣m为奇函数，则实数m的值为（）A．﹣3 B．﹣2 C．2 D．3【解答】解：∵函数，g（x）=f（x）﹣m为奇函数，∴g（﹣x）+g（x）=0，即2+﹣m+2﹣﹣m=0，∴m=2．故选C．9．（3分）某商场在2017年元旦开展“购物折上折”活动，商场内所有商品先按标价打八折，折后价格每满500元再减100元，如某商品标价1500元，则购买该商品的实际付款额为1500×0.8﹣200=1000元．设购买某商品的实际折扣率=，某人欲购买标价为2700元的商品，那么他可以享受的实际折扣率约为（）A．55% B．65% C．75% D．80%【解答】解：当购买标价为2700元的商品时，产品的八折后价格为：2700×0.8=2160，故实际付款：2160﹣400=1760，故购买某商品的实际折扣率为：≈65%，故选：B10．（3分）将函数的图象上所有点向左平行移动个单位长度，得到函数g（x）的图象，则g（x）图象的一条对称轴的方程是（）A．B．C．D．【解答】解：将函数=cosx的图象上所有点向左平行移动个单位长度，得到函数g（x）=cos（x+）的图象，令x+=kπ，求得x=kπ﹣，k∈Z，则g（x）图象的一条对称轴的方程为x=，故选：D．11．（3分）若函数y=f（x）的定义域为{x|﹣2≤x≤3，且x≠2}，值域为{y|﹣1≤y≤2，且y≠0}，则y=f（x）的图象可能是（）A．B．C．D．【解答】解：A．当x=3时，y=0，∴A错误．B．函数的定义域和值域都满足条件，∴B正确．C．由函数的图象可知，在图象中出现了有2个函数值y和x对应的图象，∴C 错误．D．函数值域中有两个值不存在，∴函数的值域不满足条件，∴D错误．故选：B．12．（3分）关于x的方程（a＞0，且a≠1）解的个数是（）A．2 B．1 C．0 D．不确定的【解答】解：由题意a x=﹣x2+2x+a，﹣x2+2x+a＞0．令f（x）=a x，g（x）=﹣x2+2x+a，（1）当a＞1时，f（x）=a x在（﹣∞，+∞）上单调递增，且f（0）=1，f（1）=a，g（x）=﹣x2+2x+a在[0，1]上单调递增，在[1，+∞）上单调递减，且g（0）=a，g（1）=1+a，在[0，1]上，f（x）＜g（x），∵g（x）在x＜0及x＞1时分别有一个零点，而f（x）恒大于零，∴f（x）与g（x）的图象在x＜0及x＞1时分别有一个交点，∴方程有两个解；（2）当a＜1时，f（x）=a x在（﹣∞，+∞）上单调递减，且f（0）=1，f（1）=a，g（x）=﹣x2+2x+a在[0，1]上单调递增，在[1，+∞）上单调递减，且g（0）=a，g（1）=1+a，f（0）＞g（0），f（1）＜g（1），∴在（0，1）上f（x）与g（x）有一个交点，又g（x）在x＞1时有一个零点，而f（x）恒大于零，∴f（x）与g（x）的图象在x＞1时还有一个交点，∴方程有两个解．综上所述，方程有两个解．故选：A．二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分．13．（4分）函数的定义域为（﹣∞，3] ．【解答】解：函数，∴3﹣x≥0，解得x≤3，∴函数y的定义域是（﹣∞，3]．故答案为：（﹣∞，3]14．（4分）已知角α为第四象限角，且，则sinα=﹣；tan（π﹣α）=2．【解答】解：∵角α为第四象限角，且，则sinα=﹣=﹣，tan（π﹣α）=﹣tanα=﹣=2，故答案为：﹣；2．15．（4分）已知9a=3，lnx=a，则x=．。