第三章 控制系统的能控性和能观测性

（9）
如果系统能控，必能够从（9）式中解得 样就要求
0 ，1 ， … ， n1 。这
rankQC rank[B AB A2 B An1 B] n
（本判据本身很简单，因此是最为常用的方法。）
定理3-3 （PBH判别法） （2）式的线性定常系统为状态能 控的充分必要条件是，对A 的所有特征值 λi，都有
例3-2 电路如下图所示，如果选择电容C1、 C2两端的电压为状态 x 变量，即： 1 uC1 ， x2 uC 2 ，电路的输出 y 为C2上的电压， 即 y x2 ，则电路的系统方程为
2 1 1 Ax bu x x u 1 2 1
解
根据定理3-5， 系统（1）能控 ； 系统（2）不能控
（定理（3-4）、定理（3-5）不仅可以判断系统能控性，而且对 于不能控的系统，可以知道哪个状态分量不能控。） 说明：1.上面通过几个定理给出判断系统能控性的判据。虽然它们 的表达形式、方法不同，但是，在判断线性定常系统能控性时是等 价的。
2.在线性连续定常系统中，由于能达性和能控性是等价的，因此， 能控性判据同样可以判断能达性。
-2 1 1 Ax Bu x x 0u 1 -2
y Cx 1 1x
系统状态转移矩阵为
1 e t e 3t e At t 3t 2 e e
At t
e t e 3t e t e 3t
0 4 1 0 （1） x 0 4 0 x 4u 0 3 0 2 0 4 1 4 2 （2） x 0 4 0 x 0 0u 0 3 0 0 2
系统状态方程的解为
x(t ) e x(0) e A(t τ ) bu(t τ ) d τ
0
为了简便起见，令 u(t ) 0
则
x(t ) e At x(0)
y(t ) C e At x(0) [ x1 (0) x2 (0)]e3t
从上式可知，不论初始状态取什么数值，由于输出阵决定了输出差 值 [ x1 (0) x2 (0)] 。当 x1 (0) x2 (0) ，则输出恒等于零。显然，无法通过对 输出的观测去确定初始状态，称这样的系统是不能观测的。 一般情况下，系统方程如式（1）所示，状态能观测与否，不仅取 决于C 阵（直接关系），还取决于A阵（间接关系）。
3）只有整个状态空间中所有的有限点都是能控的，系统才是能 控的。 4）满足（3）式的初始状态，必是能控状态。
x(0) e Aτ Bu(τ ) d τ
0
t1
（3）
5）当系统中存在不依赖于 u(t ) 的确定性干扰 f (t ) 时，f (t ) 不会改 变系统的能控性。 x Ax Bu f (t ) （4）
解 根据定理3-4， 系统（1） 不能控 ； 系统（2）能控。
定理3-5（2）式的线性定常系统的矩阵 A 具有重特征值，λ1、λ2 、
l λ3 、…、 λk 分别为 l1 重、 2 重、 3 重、…、l k 重。 l
且Leabharlann li 1k
i
n ， i λ j ，(i j ) 经过非奇异线性变换，得到约当阵 λ
2）如果在有限时间区间[t0 , t1 ] 内，存在容许控制 u(t ) ，使系统 x 从状态空间坐标原点推向预先指定的状态 (t1 ) ，则称系统是状态 能达的；由于连续系统的状态转移矩阵是非奇异的，因此系统的能 控性和能达性是等价的容许控制
(对于一个实际的控制问题，输入控制的u（t）的取值必定要受一定条件的约束。 满足约束条件的控制作用u（t）的一个取值对应于r维空间的一个点，所有满足条件的控 制作用u（t）的取值构成r维空间的一个集合，记为Ω，称之为容许控制集。凡是属于容 许控制集Ω的控制，都是容许控制。)。
（2）
给定系统一个初始状态 x (t0 ) ，如果在 t1 t0 的有限时间区间[t0 , t1 ] 内，存在容许控制 u(t ) ，使 x (t1 ) 0 ，则称系统状态在 t 0 时刻是 能控的；如果系统对任意一个初始状态都能控，则称系统是状态完 全能控的。 说明： 1） 初始状态 是状态空间中的任意非零有限点，控制的目标是 状态空间的坐标原点。（如果控制目标不是坐标原点，可以通过坐 标平移，使其在新的坐标系下是坐标原点。）
J1 x 0
J2
0 x Bu Jk
λi Ji 0
1 λi
0 1 λi
（12）
则系统能控的充分必要条件是矩阵 B 中与每一个约当子块最下面 一行对应行的元素不全为零。
例3-7 有如下两个线性定常系统，判断其能控性。
rank[ λi I A B] n (i 1,2,, n) （证明略）
定理3-4 （2）式的线性定常系统的矩阵 A 的特征值
（10）
(i 1,2,, n) 将系统经过非奇异线性变换变换成对角阵
λi 互异，
0 λ1 λ2 x Bu （11） x 0 λn 则系统能控的充分必要条件是矩阵 B 中不包含元素全为零的行。
3.2.2 线性时变系统的能控性判据 线性时变系统的状态方程为 x A(t ) x B(t )u X(t0 )
（13）
定理3-6 状态在时刻 t 0 能控的充分必要条件是存在一个有限时 间 t1 t0 ，使得函数矩阵 (t0 , t1 ) B(t ) 的n个行在 [t1 , t0 ] 上线性无关。 （证明略）
y Cx 0 1x
系统状态转移矩阵为
0 x (0) 如果初始状态为 0
1 e t e 3t e At t 3t 2 e e
e t e 3t t 3t e e
系统状态方程的解为 1 t (t τ ) x(t ) e u(τ ) d τ 0 1 可见，不论加入什么样的 输入信号，总是有 x1 x2 （由于控制矩阵决定状态 无规律）。
一般情况下，系统方程可以表示为
x Ax Bu y Cx
（1）
状态能控与否，不仅取决于B 阵（直接关系），还取决于A 阵（间 接关系）。 系统能观测问题是研究测量输出变量 y 去确定状态变量的问题。
y 例3-3 电路如下图所示。选取 u(t )为输入量， (t )为输出量，两个电 感上的电流分别作为状态变量，则系统方程为
2. 能控性判据
定理3-1 （2）式的线性定常系统为状态能控的充分必要条件是 下面的n×n维格拉姆矩阵满秩
WC (0, t1 )
t1
0
e
Aτ
BB e
T
AT τ
dτ
（5）
（这个定理为能控性的一般判据，所谓满秩就是每个状态能控。由 于要计算状态转移矩阵，比较繁琐。一般不用该判据。）
定理3-2 （2）式的线性定常系统为状态能控的充分必要条件是下 面的n×r 维能控性矩阵满秩。
例3-6 有如下两个线性定常系统，判断其能控性。
0 7 2 x 0 u （1） x 5 0 9 1 0 7 0 1 （2） x 4 0u x 5 0 7 5 1
(t0 , t1 ) I A( 0 )d 0 A( 0 ) A(1 )d1d 0 A( 0 ) A(1 ) A( 2 )d 2d1d 0 ....
t0
t1
定理3-7 状态在时刻 t 0 能控的充分必要条件是存在一个有限时 间 t1 t0 ，使得以下格拉姆矩阵非奇异。
WC [t0 , t1 ] (t0 , t ) B(t ) BT (t ) T (t0 , t ) d t
t0
t1
（14）
定义：M k 1 (t ) A(t ) M k (t ) d M k (t )
dt M0 (t ) B(t )
k 0,1,, n 1 （15）
第3章 控制系统的能控性和能观测性
在多变量控制系统中，能控性和能观测性是两个反映控制系统 构造的基本特性，是现代控制理论中最重要的基本概念。 本章的内容为： 1. 2. 3. 4. 引言——能控性、能观测性的基本概念 能控性及其判据 能观测性及其判据 离散系统的能控性和能观测性
5.
对偶原理
问题的提出



这是由于在经典控制理论中，只限于讨论控制作用（输入）对输出的 控制。输入与输出这两个量的关系，唯一地由系统的传递函数所确定， 只要系统是稳定的，系统就是能控的。另一方面，系统的输出量本身 就是被控量，对于一个实际的物理系统来说，它当然是可以观测到的， 所以在经典控制理论中没有必要涉及能控性和能观性。 然而在现代控制理论中，是把反映系统内部运动状态的状态向量作为 被控量，而且它们不一定是实际上可观测到的物理量，至于输出量则 是状态向量的线性组合，这就产生了从输入量 到状态量 的能控性问 题和从输出量 到状态量 的能观测性问题。 最优控制（optimal control）在满足一定约束条件下，寻求最优控制 策略，使得性能指标取极大值或极小值。 最优估计（optimum estimate ）即滤波（是将信号中特定波段频率 滤除的操作，是抑制和防止干扰的一项重要措施。）方法的优化。
QC [ B AB
A2 B An1 B]
（6）
（7）
rankQC n
证明
应用凯-哈定理，有
e Aτ a0 ( τ ) I a1 ( τ ) A an1 ( τ ) An-1 ai ( τ ) Ai
上式代入（3）式
n 1 i 0
x(0) A B ai ( τ )u( τ ) d τ
（16）