四川省高二上学期开学数学试卷
四川省绵阳市高二上学期开学数学试卷(理科)
四川省绵阳市高二上学期开学数学试卷（理科）姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题： (共12题；共24分)1. （2分） (2020高二下·应城期中) 已知集合，，则（）．A .B .C .D . 或2. （2分）在直线y=x到A（1，﹣1）距离最短的点是（）A . （0，0）B . （1，1）C . （﹣1，﹣1）D . （）3. （2分） (2016高一下·宜春期中) 函数f（x）=7sin（ x+ ）是（）A . 周期为3π的偶函数B . 周期为2π的奇函数C . 周期为3π的奇函数D . 周期为的偶函数4. （2分）(2019·永州模拟) 将函数图像上各点的横坐标伸长为原来的倍，再向左平移个单位，所得函数的一个对称中心可以是（）A .B .C .D .5. （2分）若函数，则属于（）．A .B .C .D .6. （2分） (2017高一上·滑县期末) 设函数f（x）= ，则f（f（﹣2））等于（）A . 1B . 2C . -D .7. （2分） (2018高一上·新宁月考) 对于函数（x）= cos(2x- ），给出下列四个结论：①函数）的最小正周期为2π；②函数f(x)在[ , ]上的值域是[ , ]：③函数f(x)在[ ]是减函数；④函数f(x)的图象关于点（- ,0）对称．其中正确结论的个数是（）A . 1B . 2C . 3D . 48. （2分）下列关于程序框图的描述①对于一个算法来说程序框图是唯一的；②任何一个框图都必须有起止框；③程序框图只有一个入口，也只有一个出口；④输出框一定要在终止框前．其中正确的有（）A . 1个B . 2个C . 3个D . 4个9. （2分） (2016高一上·青海期中) 已知函数f（x）= 是R上的减函数则a的取值范围是（）A . （0，3）B . （0，3]C . （0，2）D . （0，2]10. （2分）如图，一个简单组合体的正视图和侧视图都是由一个正方形与一个正三角形构成的相同的图形，俯视图是一个半径为的圆（包括圆心）．则该组合体的表面积（各个面的面积的和）等于（）A . 15πB . 18πC . 21πD . 24π11. （2分） (2015高一上·福建期末) 已知BC是圆x2+y2=25的动弦，且|BC|=6，则BC的中点的轨迹方程是（）A . x2+y2=1B . x2+y2=9C . x2+y2=16D . x2+y2=412. （2分） (2016高一上·密云期中) 设定义域为R的函数f（x）= ，则关于x的函数y=f （x）﹣1的零点的个数为（）A . 1B . 2C . 3D . 4二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分） (2020高一下·黄浦期末) 若函数（且）的反函数的图像都过点P，则点P的坐标是________.14. （1分） (2019高三上·广东月考) 若x，y满足约束条件，则的最大值为________.15. （1分）(2017·山东模拟) 已知a，b为正实数，直线y=x﹣a与曲线y=ln（x+b）相切，则 + 的最小值为________．16. （1分） (2016高三上·北区期中) 在Rt△ABC中，∠C=90°，则的取值范围是________三、解答题 (共6题；共55分)17. （10分）计算下面各题（1）已知 =2 ﹣3 ， =2 + ，| |=| |=1，与的夹角为60°，求与的夹角．（2）已知 =（3，4），与平行，且| |=10，点A的坐标为（﹣1，3），求点B的坐标．18. （10分）(2012·浙江理) 在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知cosA= ，sinB=C．（1）求tanC的值；（2）若a= ，求△ABC的面积．19. （10分） (2016高二下·长安期中) 如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠BAC=90°，AB=AC=AA1 ．（1）求证：AB1⊥平面A1BC1；（2）若D为B1C1的中点，求AD与平面A1BC1所成的角．20. （10分） (2020高一下·南京期中) 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且.（1）求的值；（2）若，△ABC的面积为，求边长b的值.21. （10分） (2018高二上·杭州期中) 已知圆 ,直线（1）求证:不论取何实数,直线与圆总有两个不同的交点；（2）设直线与圆交于点，当时，求直线的方程.22. （5分）函数f（x）=2sin（ωx+）（ω＞0）在一个周期内的图象如图所示，A为图象的最高点，B，C为图象与x轴的交点，且△ABC为正三角形．（Ⅰ）指出函数f（x）的值域；（Ⅱ）求函数f（x）的解析式；（Ⅲ）若f（x0）=，且x0∈（﹣，），求f（x0+6）的值．参考答案一、选择题： (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共6题；共55分) 17-1、17-2、18-1、18-2、19-1、19-2、20-1、20-2、21-1、21-2、22-1、。
四川省南充市西充中学2024-2025学年高二上学期开学考试数学试题
四川省南充市西充中学2024-2025学年高二上学期开学考试数学试题一、单选题1．4πtan 3等于（ ）A ．1B ．1- CD ．2．若复数z 满足(1i)2i z ⋅+=-，其中i 为虚数单位，则z z +等于（ ）A ．iB ．i -C ．1D ．1-3．在正方体1111ABCD A B C D -中，则异面直线AC 与1BC 的所成角为（ ） A ．6π B ．4π C ．3π D ．2π 4．已知等腰ABC V 中，2π3A =，则BC u u u r 在BA u u u r 上的投影向量为（ ） A ．32BA u u u r B ．32BA -u u u r C ．3BA u u u r D ．3BA -u u u r 5．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若a ＝3，b ＝5，c ＝2a cos A ，则cos A ＝（ ）A ．13BCD 6．已知向量,a b r r 满足2=r a ，且3a b ⋅=-r r ，则()2a b a +⋅r r r 的值为（ ） A ．1 B ．3 C ．5 D ．77．已知梯形ABCO 按斜二测画法得到的直观图为如图所示的梯形A B C O ''''，且1A B ''=，2O A ''=，4O C ''=，现将梯形ABCO 绕OA 㯀转一周得到一个几何体，则该几何体的侧面积为（ ）A ．15πB ．18πC ．25πD ．28π8．在直角梯形ABCD 中，AD BC ∥，90ABC ∠=︒，222AD AB BC ===，点P 为梯形ABCD四条边上的一个动点，则PA PB ⋅u u u r u u u r 的取值范围是（ ）A ．1,42⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B ．1,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C ．[]1,4-D ．1,44⎡⎤-⎢⎥⎣⎦二、多选题9．对于两个平面α，β和两条直线m ，n ，下列命题中假命题是（ ）A ．若m α⊥，m n ⊥，则//n αB ．若//m α，αβ⊥，则//m βC ．若//m α，//n β，αβ⊥，则m n ⊥D ．若m α⊥，n β⊥，αβ⊥，则m n ⊥10．已知曲线1:2sin C y x =，2:2sin 36x C y π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则下列结论正确的是 A ．把1C 上所有的点向右平移6π个单位长度，再把所有图象上各点的横坐标缩短到原来的13倍（纵坐标不变），得到曲线2C B ．把1C 上所有点向左平移6π个单位长度，再把所得图象上各点的横坐标伸长到原来的3倍（纵坐标不变），得到曲线2CC ．把1C 上各点的横坐标缩短到原来的13倍（纵坐标不变），再把所得图象上所有的点向左平移6π个单位长度，得到曲线2C D ．把1C 上各点的横坐标伸长到原来的3倍（纵坐标不变），再把所得图象上所有的点向左平移2π个单位长度，得到曲线2C 11．“奔驰定理”因其几何表示酷似奔驰的标志得来，是平面向量中一个非常优美的结论．奔驰定理与三角形四心（重心、内心、外心、垂心）有着神秘的关联．它的具体内容是：已知M 是ABC V 内一点，BMC △，AMC V ，AMB V 的面积分别为A S ，B S ，C S ，且0A B C S MA S MB S MC ⋅+⋅+⋅=u u u r u u u r u u u u r r ．以下命题正确的有（ ）A ．若::1:1:1ABC S S S =，则M 为AMC V 的重心B ．若M 为ABC V 的内心，则0BC MA AC MB AB MC ⋅+⋅+⋅=u u u r u u u r u u u u r rC ．若45BAC ∠=︒，60ABC ∠=︒，M 为ABC V 的外心，则::2:1A B C S S S =D ．若M 为ABC V 的垂心，3450MA MB MC ++=u u u r u u u r u u u u r r ，则cos AMB ∠=三、填空题12．某高中为了了解学生参加数学建模社团的情况，采用了分层随机抽样的方法从三个年级中抽取了300人进行问卷调查，其中高一、高二年级各抽取了90人．已知该校高三年级共有720名学生，则该校共有学生人．13．已知向量()()1,,3,2a m b =-=r r ，若a b ⊥r r ，则m =．14．ABC V 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若a =3c =，π3A =，则b =.四、解答题15．已知向量(1,3),(1,2)a b =-=r r ．(1)求a b ⋅r r ；(2)求2a b -r r ．16．在如图所示的四棱锥P ABCD -中，已知PA ⊥平面ABCD ，AD BC ∥，90BAD ∠=︒，1PA AB BC ===，2AD =，E 为PD 的中点.(1)求证：CE ∥平面PAB(2)求证：平面PAC ⊥平面PDC17．已知函数()()()sin 2cos 2f x x x =-+-，R x ∈.(1)求函数()f x 的最小正周期和单调递减区间；(2)求函数()f x 在π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最小值及相应自变量的值. 18．某中学为了解学生每天进行户外锻炼的时长，体育教研组在高一年级随机调查了500位学生，得到如下的样本数据的频率分布直方图.(1)求m 的值，并估计抽查的学生中每天户外锻炼时长在30min 60min ~的人数；(2)用样本估计总体，估计高一年级学生每天进行户外锻炼的平均时长（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）；(3)求高一年级学生每天进行户外锻炼的时长的上四分位数.19．在ABC V 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，请从下列条件中选择一个条件作答：（注：如果选择多个条件分别作答，则按第一个解答计分） ①cos sin2A a B b c +=②2cos ABC b ab C +V ③()()2sin 2sin 2sin a A b c B c b C =-+-(1)求A 的大小；(2)若ABC V 为锐角三角形，求2c b b+的取值范围.。
四川省内江市高二上学期数学开学考试试卷
四川省内江市高二上学期数学开学考试试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题（每题5分，共60分） (共12题；共24分)1. （2分） (2019高二上·双流期中) 已知椭圆的两个焦点是，点在椭圆上，若，则的面积是（）A .B .C .D .2. （2分）已知平面内有一条线段AB，其长度为4，动点P满足， O为AB的中点，则的最小值为（）A .B . 1C . 2D . 33. （2分） (2020高三上·潮州期末) “数列既是等差数列又是等比数列”是“数列是常数列”的（）．A . 充分不必要条件B . 必要不充分条件C . 充要条件D . 既不充分也不必要条件4. （2分） (2018高三上·河北月考) 已知椭圆，点M,N为长轴的两个端点，若在椭圆上存在点H，使,则离心率e的取值范围为（）A .B .C .D .5. （2分）(2017·四川模拟) 设双曲线（a＞0，b＞0）的虚轴长为2，焦距为，则双曲线的渐近线方程为（）A .B . y=±2xC .D .6. （2分）已知P是椭圆上的一点，F1,F2是该椭圆的两个焦点，若的内切圆半径为，则的值为（）A .B .C .D . 07. （2分） (2017高一下·河北期末) 已知椭圆 +x2=1，过点P（，）的直线与椭圆交于A、B两点，且弦AB被点P平分，则直线AB的方程为（）A . 9x+y﹣5=0B . 9x﹣y﹣4=0C . 2x+y﹣2=0D . x+y﹣5=08. （2分）若和都是定义在上的函数，则“与同是奇函数或偶函数”是“是偶函数”的（）A . 充分非必要条件.B . 必要非充分条件.C . 充要条件.D . 既非充分又非必要条件9. （2分）关于直线a,b,c以及平面M，N，给出下面命题：①若a//M，b//M, 则a//b ②若a//M, b⊥M，则b⊥a③若a M，b M,且c⊥a，c⊥b,则c⊥M④若a⊥M, a//N，则M⊥N其中正确的命题是（）A . ①②B . ②③C . ②④D . ①④10. （2分）已知椭圆和双曲线,有相同的焦点,则椭圆与双曲线的离心率的平方和为（）A .B .C . 2D . 311. （2分）已知△ABC的周长为20，且顶点B （0，﹣4），C （0，4），则顶点A的轨迹方程是（）A . （x≠0）B . （x≠0）C . （x≠0）D . （x≠0）12. （2分）过原点的直线与双曲线有两个交点，则直线的斜率的取值范围为（）A .B .C .D .二、填空题 (共4题；共5分)13. （1分）若对任意的正数x使2x（x﹣a）≥1成立，则a的取值范围是________14. （2分） (2017高三下·平谷模拟) 在平面直角坐标系中，若方程表示双曲线，则实数的范围________；若此双曲线的离心率为，则双曲线的渐近线方程为________．15. （1分）(2020·沈阳模拟) 已知椭圆方程为，则其焦距为________.16. （1分）(2017·泉州模拟) 已知F1 ， F2为椭圆C的两个焦点，P为C上一点，若△PF1F2的三边|PF1|，|F1F2|，|PF2|成等差数列，则C的离心率为________．三、解答题 (共6题；共55分)17. （10分） (2018高一上·营口期中) 已知全集U＝R，非空集合（1）当a＝时，求（2）命题p：，命题q：，若q是p的必要不充分条件，求实数a的取值范围。
四川省南充2024-2025学年高二上学期入学考试数学试题含解析
南充高中高2023级高二上学期入学考试数学试题（答案在最后）（考试时间：120分钟，满分：150分）考试范围：必修第一册、必修第二册一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.复数2的实部是（）A.2 B.C.2D.0【答案】A 【解析】【分析】根据复数的定义，可得答案.【详解】由题意，可得复数2的实部是2，故选：A.2.已知{}2,4,5,{|3}A B x x ==≥，则A B = （）A.{5} B.{4,5}C.{3,4,5}D.{2,3,4,5}【答案】B 【解析】【分析】根据交集的定义，求出集合,A B 的交集即可.【详解】∵{}2,4,5,{|3}A B x x ==≥，∴A B = {4,5}.故选：B.3.已知x y z >>，0x y z ++=，则下列不等式一定成立的是（）A.xy yz> B.xy xz > C.xz yz> D.||||x y y z>【答案】B 【解析】【分析】由0x y z ++=，且x y z >>，可得0,0x z ><，y 正负不确定.取特值可得AD 错误；根据不等式的基本性质可判定BC 项.【详解】因为x y z >>，0x y z ++=，则303x x y z z >++=>，所以0x >，0z <.AD 选项，令2,0,2x y z ===-，满足条件x y z >>，0x y z ++=，但0xy yz ==，则0x y z y ==，故AD 错误；B 选项，由,0y z x >>，则xy xz >，故B 正确；C 选项，由,0x y z ><，则xz yz <，故C 错误.故选：B.4.已知函数()()2log 2,02,0xx x f x k x ⎧-<=⎨-≥⎩，若()()23ff -=，则k =（）A.1-B.0C.1D.2【答案】C 【解析】【分析】根据()22f -=，利用()()()223ff f -==可构造方程求得结果.【详解】()22log 42f -== ，()()()222243f f f k k ∴-==-=-=，解得：1k =.故选：C.5.定义在(0,)+∞上的函数()f x 满足1x ∀，2(0,)x ∈+∞且12x x ≠，有()()()12120f x f x x x -->⎡⎤⎣⎦，且()()()f xy f x f y =+，2(4)3f =，则不等式(2)(3)1f x f x -->的解集为（）.A.(0,4) B.(0,)+∞ C.(3,4)D.(2,3)【答案】C 【解析】【分析】先根据()()()f xy f x f y =+以及2(4)3f =求出()81f =，再根据函数的单调性以及定义域即可求解.【详解】解：()()()f xy f x f y =+ ()()()2(4)22223f f f f ∴=⨯=+=，即()123f =，()()()()()18424232313f f f f f =⨯=+==⨯= ，(2)(3)1f x f x ∴-->，可转化为：()(2)(3)8f x f x f -->，即()(2)8(3)f x f f x >+-，即()()(2)83824f x f x f x >⨯-=-⎡⎤⎣⎦，()f x 满足1x ∀，2(0,)x ∈+∞且12x x ≠，有()()()12120f x f x x x -->⎡⎤⎣⎦，()f x \在()0,∞+上单调递增，即20302824x x x x >⎧⎪->⎨⎪>-⎩，解得：34x <<，即不等式(2)(3)1f x f x -->的解集为：()34，.故选：C .6.已知不等式()19a x y x y ⎛⎫++ ⎪⎝⎭≥对任意正实数x ，y 恒成立，则正实数a 的最小值为（）A.2B.4C.6D.8【答案】B 【解析】【分析】由()11a xa y x y a x y y x ⎛⎫++=+++ ⎪⎝⎭，然后利用基本不等式求最小值，利用最小值大于等于9，建立不等式，解之即可.【详解】由已知可得若题中不等式恒成立，则只要()1a x y x y ⎛⎫++⎪⎝⎭的最小值大于等于9即可，000x y a >>> ，，，()111a xa yx y a a x y y x ⎛⎫∴++=+++≥++ ⎪⎝⎭，当且仅当xa yy x =即=y时等号成立，19a ∴+≥，2≥或4(≤-舍去)，即4a ≥所以正实数a 的最小值为4.故选：B .【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方，这时改用勾型函数的单调性求最值.7.函数()sin()f x A x ωϕ=+（0A >，0ω>，||2ϕπ<）的部分图象如图所示，则π2f ⎛⎫⎪⎝⎭的值为（）.A.2-B.2-C.2-D.1-【答案】A 【解析】【分析】根据图像，先求出A ，再求出ω，然后得到7π7π())1212f ϕ=⨯+=进而求出π3ϕ=，最后，直接求函数值即可.【详解】由图得，A =，7πππ41234T =-=，2ππT ω∴==，得2ω=，所以，())f x x ϕ=+，则7π7π()1212f ϕ=⨯+=，得7ππ2π,Z 62k k ϕ+=-+∈，由||2ϕπ<得，π3ϕ=，则π())3f x x =+，所以，πππ6)2332f ⎛⎫=+==- ⎪⎝⎭.故选：A.8.已知4AB =，π4ABC ∠=，点C 为动点，点P 为线段BC 上的点且满足2BP PC = ，当AP BP ⋅ 取最小值时，ABC V 的外接圆的面积为（）.A.πB.3πC.4πD.5π【答案】D 【解析】【分析】以B 为坐标原点，BA 所在的直线为x 轴，过点B 垂直于BA 的直线为y 轴，建立平面直角坐标系，设(),P x x ，则()4,AP x x =- ，(),BP x x =，由数量积计算分析即可得点P 坐标，从而得到点C 的坐标，然后求出AC ，利用正弦定理求解外接圆半径求解面积即可.【详解】以B 为坐标原点，BA 所在的直线为x 轴，过点B 垂直于BA 的直线为y 轴，建立平面直角坐标系，则()4,0A ，∵π4ABC ∠=，∴BC 所在的直线为y x =，设(),P x x ，则()4,AP x x =- ，(),BP x x = ，所以()()224212AP BP x x x x ⋅=-+=-- ，当1x =时，AP BP ⋅最小，此时点()1,1P ，又∵2BP PC =，所以3BC BP = ，∴点C 的坐标为()3,3，∴AC ==，设ABC V外接圆的半径为R，由正弦定理得2πsin 4R ==所以R =，所以2π5πS R ==，故选：D二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.如图，在三棱锥P EDF -的平面展开图中，E ，F 分别是AB ，BC 的中点，正方形ABCD 的边长为2，则在三棱锥P EDF -中（）A.PEF !的面积为12B.PD EF⊥C.平面PEF ⊥平面DEF D.三棱锥P EDF -的体积为13【答案】ABD 【解析】【分析】直接求BEF △的面积可判定A ，连接BD 交EF 于G ，根据条件证⊥EF 平面GPD 即可判定B ，判定PG DG 、的夹角是否为直角可判定C ，利用棱锥的体积公式可判定D.【详解】对于A ，易知1122BEF PEF S S BE BF ==⨯⨯= ，故A 正确；对于B ，连接BD 交EF 于G ，根据正方形的性质易知EF BD ⊥，所以有,EF GD EF GP ⊥⊥，又,PG GD ⊂平面PGD ，所以⊥EF 平面GPD ，PD ⊂平面GPD ，所以EF PD ⊥，故B 正确；对于C ，由上可知PGD ∠为平面PEF 与平面DEF 的夹角，易知232,222PG DG PD ===≠，则,PG DG 不垂直，故C 错误；对于D ，由题意可知,,PD PE PF 两两垂直，则111323P EDF V PD PE PF -=⨯⨯⨯⨯=，故D 正确.故选：ABD10.在ABC V 中，下列结论正确的是（）A.若sin 2sin 2A B =，则ABC V 为等腰三角形B.若sin cos B A =，则ABC V 是直角三角形C.若222sin sin sin A B C +<，则ABC V 是钝角三角形D.若coscoscos222ab c A B C ==，则ABC V 是等边三角形【答案】CD 【解析】【分析】由三角函数的性质结合诱导公式判断选项AB ；正弦定理角化边余弦定理得角的范围判断选项C ；正弦定理结合倍角公式化简判断选项D.【详解】对于A ，ABC V 中，若sin 2sin 2A B =，则有22A B =或2π2A B =-，当22A B =时，A B =，ABC V 为等腰三角形；当2π2A B =-时，π2A B =-，ABC V 为直角三角形，故A 选项不正确，对于B ，ABC V 中，若πsin cos sin 2B A A ⎛⎫==- ⎪⎝⎭，则π2B A =-或ππ2B A ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，即π2A B +=或π2B A =+，因此ABC V 不一定是直角三角形，故B 选项不正确；对于C ，ABC V 中，若222sin sin sin A B C +<，则根据正弦定理得222a b c +<，余弦定理得222cos 02a b c C ab+-=<，则C 为钝角，ABC V 是钝角三角形，故C 选项正确；对于D ，ABC V 中，若coscoscos 222ab cAB C ==，则sin sin sin cos cos cos 222A B CA B C ==，即sin sin sin 222A B C ==，由,,(0,π)A B C ∈，得π,,0,2222A B C ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以222A B C==，A B C ==，ABC V 是等边三角形，故D 选项正确．故选：CD ．11.沙漏是古代的一种计时装置，它由两个形状完全相同的容器和一个狭窄的连接管道组成，开始时细沙全部在上部容器中，细沙通过连接管道全部流到下部容器所需要的时间称为该沙漏的一个沙时.如图，某沙漏由上、下两个圆锥组成，圆锥的底面直径和高均为8cm ，当细沙全部在上部时，其高度为圆锥高度的23（细管长度忽略不计）.假设该沙漏每秒钟漏下30.02cm 的沙，且细沙全部漏入下部后，恰好堆成一个盖住沙漏底部的圆锥形沙堆.下列说法正确的是（）A.沙漏中的细沙体积为31024πcm 81B.沙漏的体积是3128πcm C.细沙全部漏入下部后，此锥形沙堆的高度约为2.37cm D.该沙漏的一个沙时大约是1985秒（π 3.14≈）【答案】ACD 【解析】【分析】A ．根据圆锥的体积公式直接计算出细沙的体积；B ．根据圆锥的体积公式直接计算出沙漏的体积；C ．根据等体积法计算出沙堆的高度；D ．根据细沙体积以及沙时定义计算出沙时.【详解】对于A ，根据圆锥的截面图可知：细沙在上部时，细沙的底面半径与圆锥的底面半径之比等于细沙的高与圆锥的高之比，所以细沙的底面半径284cm 33r =⨯=，体积2312164ππcm 33398231h V r =⋅=⋅⋅=，A 选项正确；对于B ，沙漏的体积222112562π2π48πcm 3233h V h ⎛⎫=⨯⨯⨯⨯=⨯⨯⨯⨯= ⎪⎝⎭，B 选项错误；对于C ，设细沙流入下部后的高度为1h ，根据细沙体积不变可知：211024π1π8132h h ⎛⎫⎛⎫=⨯⨯ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以11024π16π813h =，所以1 2.37cm h ≈，C 选项正确；对于D ，因为细沙的体积为31024πcm 81，沙漏每秒钟漏下30.02cm 的沙，所以一个沙时为：1024π1024 3.14815019850.0281⨯≈⨯≈秒，D 选项正确.故选：ACD.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知向量(3,2),(1,)m m =-= a b ，若a b ⊥ ，则m =______.【答案】3-【解析】【分析】由平面向量垂直的坐标表示代入即可得出答案.【详解】解析：本题考查平面向量垂直以及数量积，考查数学运算的核心素养.因为a b ⊥ ，所以320m m -+=，则3m =-.故答案为：3-.13.某校按分层随机抽样的方法从高中三个年级抽取部分学生进行调查，从三个年级中抽取的人数比为如图所示的扇形面积比，已知高二年级共有学生1200人，并从中抽取了40人，则从高一年级中抽取____________人．【答案】50【解析】【分析】设总人数为n ，得到1201200360n=，求得3600n =，再结合分层抽样的计算方法，即可求解.【详解】由题图中数据可知高二年级所占的角度为120 ，设总人数为n ，则1201200360n=，可知3600n =，故该校的总人数为3600，由高一、高二、高三年级人数的比为150:120:905:4:3=，可知高一年级人数为536001500543⨯=++，则抽样时应从高一年级抽401500501200⨯=(人).故答案为：50.14.已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，当0x ≤时，()f x 单调递减，则不等式()()133log 25log 8f x f ⎛⎫-> ⎪⎝⎭的解集为______.【答案】541216x x ⎧<<⎨⎩或132x ⎫>⎬⎭.【解析】【分析】由已知可得()f x 在(0,)+∞上递增，再由偶函数的性质将不等式转化为()()133log 25log 8f x f ⎛⎫-> ⎪ ⎪⎝⎭，则可得()33log 25log 8x ->，再对数的性质要求得结果【详解】因为函数()f x 是定义在R 上的偶函数，当0x ≤时，()f x 单调递减，所以()f x 在(0,)+∞上递增，因为()f x 是定义在R 上的偶函数，所以由()()133log 25log 8f x f ⎛⎫-> ⎪⎝⎭，得()()133log 25log 8f x f ⎛⎫-> ⎪ ⎪⎝⎭，所以()33log 25log 8x ->，所以()33log 25log 8x -<-或()33log 25log 8x ->，所以10258x <-<或258x ->，解得541216x <<或132x >，所以不等式的解集为541216xx ⎧<<⎨⎩或132x ⎫>⎬⎭.故答案为：541216xx ⎧<<⎨⎩或132x ⎫>⎬⎭.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.在边长为1的等边三角形ABC 中，D 为线段BC 上的动点，DE AB ⊥且交AB 于点E .DF AB 且交AC 于点F ，（1）求|2|BE DF +的值（2）求()DE DF DA +⋅的最小值.【答案】（1）1（2）1120【解析】【分析】（1）设BE x =，根据题意找到其他边长，对所求进行平方结合向量的数量积运算即可求出；（2）将()DE DF DA +⋅化为关于x 的关系式即可求出最值.【小问1详解】设BE x =，10,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，ABC 为边长为1的等边三角形，DE AB ⊥，30,2,,12BDE BD x DE DC x ∠∴====- ， //DF AB ，DFC ∴ 为边长为12x -的等边三角形，22222(2)4444(12)cos 0(12)1BE DF BE BE DF DF x x x x ∴+=+⋅+=+-⨯+-=，|2|1BE DF +∴=.【小问2详解】//DF AB ，DE DF ∴⊥，2()()()DE DF DA DE DF DE EA DE DF EA+⋅=+⋅+=+⋅ 222311)(12)(1)53151020x x x x x ⎛⎫=+-⨯-=-+=-+ ⎪⎝⎭，所以当310x =时，()DE DF DA +⋅ 的最小值为1120.16.某校高一年级有男生200人，女生100人.为了解该校全体高一学生的身高信息，按性别比例进行分层随机抽样，抽取总样本为30的样本，并观测样本的指标价（单位：cm ），计算得男生样本的身高平均数为169，方差为39.下表是抽取的女生样本的数据；抽取次序12345678910身高155158156157160161159162169163记抽取的第i 个女生的身高为i x （1i =，2，3，…，10），样本平均数160x =，方差215=s .3.9≈，215925281=，216928561=.（1）若用女生样本的身高频率分布情况代替该校高一女生总体的身高频率分布情况，试估计该校高一女生身高在[]160,165范围内的人数；（2）用总样本的平均数和标准差分别估计该校高一学生总体身高的平均数μ和标准差σ，求μ，σ的值；（3）如果女生样本数据在()2,2x s x s -+之外的数据称为离群值，试剔除离群值后，计算剩余女生样本身高的平均数与方差.【答案】（1）40；（2）166,7μσ≈≈；（3）平均数为159，方差为203.【解析】【分析】（1）根据样本数据在[]160,165范围内的占比易求得女生总体在此范围内的人数；（2）先利用加权平均数公式求出总样本的平均数X ，再利用混合样本的方差公式计算2S ,最后对μ，σ进行估计即可；（3）先判断169为离群值，再由平均数公式计算剩余9人的身高平均数，利用方差公式求出1021256150ii x==∑，再由公式1022211(1699)9i i s x x ==-''-∑计算出方差.【小问1详解】因女生样本中，身高在[]160,165范围内的占比为42105=，故该校高一女生身高在[]160,165范围内的人数估计为2100405⨯=；【小问2详解】记总样本的平均数为X ，标准差为S ，由题意，设男生样本（20人）的身高平均数为169y =，方差为239y s =，女生样本（10人）的身高平均数为160x =，方差215x s =，则201691016016630X ⨯+⨯==，2222121[39(169166)](160166)]4851493333S =+-++-=⨯+⨯=，故166,7μσ≈≈=；【小问3详解】因160x =，s =，则()2,2x s x s -+，即(160-+，约为()152.2,167.8，由样本数据知，169(160∉-+，为离群值，剔除169后，女生样本（9人）的身高平均数为：1(16010169)1599x '=⨯-=；由10102222111110256000151010xi i i i s x x x ==⎛⎫⎛⎫=-=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∑∑可得，1021256150i i x ==∑，则剔除169后，女生样本（9人）的身高的方差为：10222211120(1699)(25615028561925281)993i i s x x ='=--=--⨯='∑.17.如图，在梯形ABCD 中，//AB CD ，60D ∠=︒．（1）若3AC =，求ACD 周长的最大值；（2）若2CD AB =，75BCD ∠=︒，求tan DAC ∠的值．【答案】（1）9（2）3+【解析】【分析】（1）由余弦定理结合基本不等式求出最值；（2）设DAC α∠=，在ACD 和ACB △中使用正弦定理，联立得到()2sin 45sin105sin sin 60αα-︒=︒︒，由正弦和角公式得到sin1054+︒=，从而得到αα-=，求出tan DAC ∠的值.【小问1详解】在ACD 中，222222cos AC AD DC AD DC D AD DC AD DC=+-⋅=+-⋅2222()()3()324AD DC AD CD AD DC AD DC AD DC ++⎛⎫=+-⋅≥+-=⎪⎝⎭，即2()94AD CD +≥，解得：6AD DC +≤，当且仅当3AD DC ==时取等号．故ACD 周长的最大值是9．【小问2详解】设DAC α∠=，则120DCA α∠=︒-，45BCA α∠=-︒．在ACD 中，sin sin 60CD ACα=︒，在ACB △中，()sin 45sin105AB AC α=︒-︒，两式相除得，()2sin 45sin105sin sin 60αα-︒=︒︒，因为()62sin105sin 4560sin 45cos60cos45sin604+︒=︒+︒=︒︒+︒︒=，∴αα=，故tan tan 3DAC α∠===+18.已知定义在[]4,4-上的奇函数()f x ，当[]4,0x ∈-时，()143xx a f x =+．（1）求函数()f x 的解析式；（2）若[]2,1x ∃∈--，使得不等式()1123x x m f x -≤-成立，求实数m 的取值范围．【答案】（1）()[](]11,4,04334,0,4x x x x x f x x ⎧-∈-⎪=⎨⎪-∈⎩（2）[)5,+∞【解析】【分析】（1）由奇函数的性质()00f =，()()f x f x =--，即可求出函数()f x 的解析式；（2）分离参数，构造函数，求出函数的最值即可得到实数m 的取值范围.【小问1详解】∵()f x 是定义在[]4,4-上的奇函数，且[]4,0x ∈-时，()143xx af x =+，∴()0010043=+=af ，解得1a =-，∴[]4,0x ∈-时，()1143=-x xf x ，当[]0,4x ∈时，[]4,0-∈-x ，则()()113443x x x x f x f x --⎛⎫=--=--=- ⎪⎝⎭，即()f x 在[]0,4上的解析式为()34xxf x =-．∴函数()f x 的解析式为()[](]11,4,04334,0,4x x x x x f x x ⎧-∈-⎪=⎨⎪-∈⎩【小问2详解】∵[]2,1x ∈--时，()1143=-xx f x ，∴11114323x x x x m --≤-在[]2,1--有解，整理得1121222323xxx x x m +⎛⎫⎛⎫≥+=+⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，令()12223xxg x ⎛⎫⎛⎫=+⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，显然12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭与23xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭在[]2,1--上单调递减，∴()g x 在[]2,1--上单调递减，则()()11min1212523g x g --⎛⎫⎛⎫=-=+⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，∴5m ≥∴实数m 的取值范围是[)5,+∞．19.如图，在四棱锥P ABCD -中，平面PAD ⊥平面ABCD ，PA PD ⊥，AB AD ⊥，PA PD =，1AB =，2AD =，AC CD ==（1）求证：PD ⊥平面PAB .（2）求直线PB 与平面PCD 所成角的正弦值.（3）在棱PA 上是否存在点M ，使得//BM 平面PCD ?若存在，求出AMAP的值；若不存在，请说明理由.【答案】（1）证明见解析（2）3（3）存在；14【解析】【分析】（1）根据面面垂直的性质可得AB ⊥平面PAD ，进而得AB PD ⊥，再结合线面垂直的判定定理进行证明即可；（2）建立空间直角坐标系，求出平面PCD 的一个法向量，再利用空间向量夹角公式、线面角的定义进行求解即可；（3）要使//BM 平面PCD ，则0BM n ⋅=，由此列式求解λ可得.【小问1详解】∵平面PAD ⊥平面ABCD ，且平面PAD ⋂平面ABCD AD =，且AB AD ⊥，AB ⊂平面ABCD ，∴AB ⊥平面PAD ，∵PD ⊂平面PAD ，∴AB PD ⊥，又PD PA ⊥，且PA AB A = ，,PA AB ⊂平面PAB ，∴PD ⊥平面PAB ；【小问2详解】取AD 中点为O ，连接,CO PO ，又∵PA PD =，∴PO AD ⊥．则1AO PO ==，∵CD AC ==CO AD ⊥，则2CO ===，以O 为坐标原点，分别以,,OC OA OP所在直线为,,x y z 轴建立如图所示的空间直角坐标系O xyz -，则(0,0,1)P ，(1,1,0)B ，(0,1,0)D -，(2,0,0)C ，则(1,1,1)PB =-，(0,1,1)PD =-- ，(2,0,1)PC =- ，(2,1,0)CD =-- ，设(),,n x y z = 为平面PCD 的一个法向量，则由00n PD n PC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，得020y z x z --=⎧⎨-=⎩，令1z =，则1,1,12n ⎛⎫=- ⎪⎝⎭ ．设PB 与平面PCD 的夹角为θ，则3sin cos ,3n PB n PB n PBθ⋅===‖；【小问3详解】假设在棱PA 上存在点M 点，使得//BM 平面PCD .设AM AP λ=，[]0,1λ∈，由（2）知，(0,1,0)A ，(1,1,0)B ，(0,0,1)P ，则(0,1,1)AP =- ，(1,0,0)BA =-uu r，()(1,0,0)(0,,)1,,BM BA AM BA AP λλλλλ=+=+=-+-=--，由（2）知平面PCD 的一个法向量1,1,12n ⎛⎫=-⎪⎝⎭．若//BM 平面PCD ，则112022BM n λλλ⋅=-++=-= ，解得14λ=，又BM ⊄平面PCD ，故在棱PA 上存在点M 点，使得//BM 平面PCD ，此时14AM AP =.。
2022-2023学年四川省成都市锦江区嘉祥外国语高级中学高二上学期入学考试数学试题(解析版)
2022-2023学年四川省成都市锦江区嘉祥外国语高级中学高二上学期入学考试数学试题一、单选题1．在平面直角坐标系中，角α的始边与x 轴的非负半轴重合，终边经过点()P ，则cos2=α（ ）A ．12-B ．12C ．D 【答案】B【分析】由三角函数的定义求出cos a ，再由二倍角公式求出cos2a ．【详解】cos α==21cos 22cos 12αα=-=. 故选：B.2．已知函数()f x 在定义域上是单调函数，且[()2020]2021x f f x -=，当()sin g x x x kx =-在[,]22ππ-上与()f x 在R 上的单调性相同时，实数k 的取值范围是（ ）A ．(,1]-∞-B ．(,-∞C ．[-D ．)+∞【答案】B【解析】依题意可得，()2020x f x -为定值，设()2020x f x t -=，则()2020x f x t =+，不难得到()f x 在R 上为增函数，再对()g x 求导，利用三角恒等变换将()g x '化简为()2sin 6g x x k π⎛⎫'=+- ⎪⎝⎭，又()g x 在,22ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上与()f x 在R 上单调性相同，所以,22x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，()0g x '≥恒成立，即2sin 06x k π⎛⎫+-≥ ⎪⎝⎭恒成立，最后根据三角函数的性质求出参数k 的取值范围；【详解】解：因为函数()f x 在定义域上是单调函数，则()y f x '=没有零点，所以()0y f x '=>或()0y f x '=<恒成立，又x R ∀∈，[()2020]2021x f f x -=，所以()2020x f x -为定值，设()2020x f x t -=，则()2020x f x t =+，不难得到()f x 在R 上为增函数，因为()sin g x x x kx =-，所以()cos 2sin 6g x x x k x k π⎛⎫'=-=+- ⎪⎝⎭，又()g x 在,22ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上与()f x 在R 上单调性相同，所以,22x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，()0g x '≥恒成立，即2sin 06x k π⎛⎫+-≥ ⎪⎝⎭恒成立，因为2,633x πππ⎡⎤+∈-⎢⎥⎣⎦则3sin ,162x π⎡⎤⎛⎫+∈-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦，2sin 3,26x π⎛⎫⎡⎤+∈- ⎪⎣⎦⎝⎭ 所以3k ≤- 故选：B【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性，三角函数的性质的应用，属于中档题. 3．如图，在△ABC 中，D 是AB 的中点，O 是CD 上一点，且2CO OD =，则下列说法中正确的个数是（ ）①0OA OB OC ++=；②过点O 作一条直线与边,AC BC 分别相交于点,E F ，若34CE CA =，CF CB μ=(01)μ≤≤，则34μ=； ③若△ABC 是边长为1的正三角形，M 是边AC 上的动点，则BM MD ⋅的取值范围是323,464⎡⎤--⎢⎥⎣⎦A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个【答案】C【分析】由1122CD CA CB =+，2,3OC CD OA OD DA =-=+，OB OD DA =-，结合向量的运算判断①；由,,E O F 三点共线结合向量的数乘运算判断②；建立坐标系，利用坐标运算结合二次函数的性质判断③.【详解】对于①：1122CD CA CB =+，2,3OC CD OA OD DA =-=+，OB OD DB =+OD DA=-，故22220333OA OB OC CD OD CD CD ++=-+=-+=，故①正确；对于②：1351()34123OE OC CE CA CB CA CA CB =+=-++=-，111()333OF OC CF CA CB CB CA CB μμ⎛⎫=+=-++=-+- ⎪⎝⎭，因为,,E O F 三点共线，所以OF OE λ=，即511231133λμλ⎧=-⎪⎪⎨⎪-=-⎪⎩，解得4,355λμ=-=，故②错误；对于③：以点D 作为坐标原点，建立如下图所示的直角坐标系，113,0,,0,0,,(0,0)222A B C D ⎛⎫⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，13,,(1,0)22AC AB ⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭，设,[0,1]AM t AC t =∈，因为1313,(1,0)1,2222BM AM AB t t t t ⎛⎫⎛⎫=-=-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，113113,0,,222222MD AD AM t t t t ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=-=-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以221113311222442BM MD t t t t t ⎛⎫⎛⎫⋅=---=-+- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，当1t =时，43BM MD ⋅=-，当38t =时，2364BM MD ⋅=-，即BM MD ⋅的取值范围是323,464⎡⎤--⎢⎥⎣⎦，故③正确；故选：C4．已知三角形的三边长，其面积是固定的，而已知平面凸四边形的四边长，其面积是不确定的．现有一平面凸四边形ABCD ，3AB =，4BC =，5CD =，6DA =，则其面积最大值为（ ） A ．106B ．610C ．21D ．19【答案】B【分析】设,ABC ADC αβ∠=∠=，利用两次余弦定理求得cos ,cos αβ的关系，再根据三角形面积公式以及余弦的差角公式，即可求得结果. 【详解】设,ABC ADC αβ∠=∠=，连接AC ，作图如下：在△ABC 中，由余弦定理可得：2222cos 2524cos AC AB BC AB BC αα=+-⨯⨯=-， 在△ADC 中，由余弦定理可得：2222cos 6160cos AC AD DC AD DC ββ=+-⨯⨯=-， 故可得2524cos 6160cos αβ-=-，即5cos 2cos 3βα-=，又四边形ABCD 的面积()11sin sin 35sin 2sin 22S AB BC AD CD αββα=⨯⨯+⨯⨯=+，令5sin 2sin m βα+=，则22225sin 4sin 20sin sin m βααβ++=， 由5cos 2cos 3βα-=，则2225cos 4cos 20cos cos 9βααβ+-=，上述两式相加可得：()22920cos 9a m β-+=+，即()22020cos m αβ=-+，当且仅当αβπ+=时，2m 取得最大值40，此时m 的最大值为210 由()35sin 2sin 3S m βα=+=，其最大值为610故选：B .【点睛】本题考察三角函数和解三角形的综合，其中余弦定理的应用，和同角三角函数关系的处理，是解决问题的关键，属综合困难题.5．已知四面体ABCD 的三组对棱的长分别相等，依次为3，4，x ，则x 的取值范围是( )A ．5,7B ．)7,5C ．)5,3D ．()4,7【答案】B【分析】作出图形，设3AB =，4AC =，四面体A ABC '-可以由ABC ∆和在同一平面的△A BC '沿着BC 为轴旋转构成，利用数形结合能求出x 的取值范围． 【详解】解：如图所示，第一排 三个图讨论最短；第二排 三个图讨论最长，设3AB =，4AC =，四面体A ABC '-可以由ABC ∆和在同一平面的△A BC '沿着BC 为轴旋转构成，第一排，三个图讨论最短：当90ABC ∠<︒向90︒趋近时，BC 逐渐减少，AA BC '<，可以构成x AA BC '==的四面体； 当90ABC ∠︒时构成的四面体AA BC '>，不满足题意； 所以满足题意的四面体第三对棱长大于22437-=， 第二排，三个图讨论最长：当90BAC ∠<︒向90︒趋近时，BC 逐渐增大，AA BC '>，可以构成x AA BC '==的四面体； 当90ABC ∠︒时构成的四面体AA BC '<，不满足题意； 所以满足题意的四面体第三对棱长小于22435；综上，(7x ∈，5)． 故选B ．【点睛】本题考查了四面体中边长的取值范围问题，也考查了推理论证能力，属于难题． 6．如图，等边ABC ∆的中线AF 与中位线DE 相交于G ，已知A ED '∆是AED ∆绕DE 旋转过程中的一个图形，下列命题中，错误的是A ．动点A '在平面ABC 上的射影在线段AF 上B ．恒有平面A GF '⊥平面BCEDC ．三棱锥A EFD '-的体积有最大值D ．异面直线AE '与BD 不可能垂直 【答案】D【详解】由题意知，DE ⊥平面A GF '，固选项A 、B 正确，对于三棱锥A EFD '-体积，其底面EFD ∆在旋转过程中面积不变，则当A G '⊥底面EFD 时，三棱锥A EFD '-体积最大，固选项C 正确， 故选D.7．在直角坐标系xOy 中，已知直线:cos sin 1l x y θθ⋅+⋅=，当θ变化时，动直线始终没有经过点P ．定点Q 的坐标()2,0-，则PQ 的取值范围为（ ）． A ．[]0,2 B ．()0,2 C ．[]1,3 D ．()1,3【答案】D【分析】根据原点到直线l 的距离为1，结合题意可得点P 在单位圆内，即可求解. 【详解】因为原点到直线l1=，所以动直线l 所围成的图形为单位圆，又动直线始终没有经过点P ，所以点P 在该单位圆内，2OQ =，11OQ PQ OQ ∴-<<+，即PQ 的取值范围为()1,3. 故选：D ．8．已知二次函数()()2210f x ax bx a =++>，若方程()f x x =的根1x 与2x 满足11x <，122x x -=，则实数b 的取值范围是（ ）A ．14b <-或76b >B ．16b <-或1112b >C ．112b <或1112b > D ．16b <-或76b >【答案】D【分析】构造函数()()g x f x x =-，根据函数与方程的关系和根与系数的关系，讨论101x <<和110x -<<，得出对应2x 的取值范围，根据函数零点的定义列出不等式组，从而求出b 的取值范围． 【详解】解：令()()g x f x x =-， 则2()(21)10g x ax b x =+-+=，知1212bx x a -+=，1210x x a=>，1x ∴与2x 同号；122x x ∴-==，化简得22(21)44b a a -=+；由求根公式求出方程()0g x =的两个实数根为1x ，21212bx a-=±； ①11212b x a -=-，则由11x <得12022ba-<<， 又22(21)44b a a -=+，即1213b a ⎧<⎪⎪⎨⎪>⎪⎩；2216(21)449b a a ∴-=+>，解得16b <-； ②若11212b x a -=+，则由11x <得12202ba--<<， 又22(21)44b a a -=+，即1213b a ⎧>⎪⎪⎨⎪>⎪⎩；2216(21)449b a a ∴-=+>，解得76b >；综上知，b 的取值范围是16b <-或76b >．故选：D ．【点睛】本题考查了函数与方程的应用问题，也考查了根与系数的应用问题，是综合题．二、多选题9．在平面四边形ABCD 中，1AB =，3BC =，2CD DA ==，则（ ） A ．当π3C =时，A ，B ，C ，D 四点共圆 B ．当A ，B ，C ，D四点共圆时，AC C ．当2π3B D +=时，四边形ABCD 的面积为3 D ．四边形ABCD面积的最大值为【答案】ACD【分析】对AB ，由余弦定理可得222222cos 2cos BD BC CD BC CD C AB AD AB AD A =+-⋅=+-⋅，222222cos 2cos AC AB BC AB BC B AD CD AD CD D =+-⋅=+-⋅，结合四点共圆⇔四边形对角互补，代入数据求解方程组，即可判断； 对CD ，由11sin sin 22S AB BC B AD CD DS =⋅+⋅①，以及22222cos 2cos AB BC AB BC B AD CD AD CD D +-⋅=+-⋅②，①②两式代入数据，两边同时平方，再左右对应相减，即可整理得到S 与()cos B D +的关系式，进一步讨论即可判断【详解】对A ，由余弦定理得，222222cos 2cos BD BC CD BC CD C AB AD AB AD A =+-⋅=+-⋅，代入数据可得21312cos 54cos BD C A =-=-，又π3C =，综上可解得27BD =，1cos cos 2A C =-=-，故πA C +=，故平面四边形ABCD 对角互补，A ，B ，C ，D 四点共圆，故A 对； 对B ，由余弦定理得，222222cos 2cos AC AB BC AB BC B AD CD AD CD D =+-⋅=+-⋅，代入数据可得2106cos 88cos AC B D =-=-， 又A ，B ，C ，D 四点共圆，故平面四边形ABCD 对角互补，cos cos B D =-，综上可解得264,7AC AC =∴=B 错； 对C 、D ，四边形ABCD 的面积11sin sin 22S AB BC B AD CD D =⋅+⋅，代入数据可得()()222213sin 4sin ,43sin 4sin 9sin 24sin sin 16sin 2S B D S B D B B D D =+∴=+=++ ①，106cos 88cos ,3cos 4cos 1B D B D -=-∴-=，()2223cos 4cos 9cos 24cos cos 16cos 1B D B B D D ∴-=-+= ②， ①②两式左右相减，整理可得()()()()222229sin cos 24cos cos sin sin 16sin cos 2524cos 14B B B D B D D D B D S +--++=-+=+()266cos 12S B D ∴=-+≤，()0,2πB D +∈，当2π3B D +=时，3S =，又当πB D +=时，四边形ABCD 面积取得最大值，为，故C 、D 对； 故选：ACD10．已知数列{an }满足11a =，21n n n a a a +=+，则（ ）A ．{an }是递增数列B ．n a n ≥C ．202120222a ≤D ．121111111n a a a ++⋅⋅⋅+<+++ 【答案】ABD【分析】由递推公式和20n a >可判断A ，由数列递增和11a =可判断B ，由递推公式知21n n a a +>可判断C ，对递推公式取倒裂项，然后累加、放缩可判断D.【详解】因为a 1=1，21n n n a a a +=+，所以1n n a a +>，故A 正确；易知，所以n a 为正整数，又{an }是递增数列，所以n a n ≥，故B 正确；由递推公式得：232,64a a ==>，又221n n n n a a a a +=+>，所以244a >，22225(4)4a >=，()23222644a >=，易知201922021202242a >>，故C 不正确；取倒得1111(1)11n n n n n a a a a a +=-++=，则由累加法得2341123123111111111111()1111n n n a a a a a a a a a a a a ++++⋅⋅⋅+=+++⋅⋅⋅+-+++⋅⋅⋅+++++整理得123111111111111111n n n a a a a a a a +++++⋅⋅⋅+=-=-++++， 又110n a +>所以121111111n a a a ++⋅⋅⋅+<+++ 故选：ABD11．如图，平面四边形ABCD 中，BCD △是等边三角形，AB BD ⊥且2,AB BD M ==是AD 的中点．沿BD 将BCD △翻折，折成三棱锥C ABD -，翻折过程中下列结论正确的是（ ）A ．存在某个位置，使得CM 与BD 所成角为锐角B ．棱CD 上总恰有一点N ，使得MN //平面ABC C ．当三棱锥C ABD -的体积最大时，AB BC ⊥D ．当二面角A BD C --为直角时，三棱锥C ABD -的外接球的表面积是28π3【答案】BCD【分析】证明CM BD ⊥判断A ；取CD 的中点N ，由//MN AC 推理判断B ；三棱锥C ABD -的体积最大时确定点C 位置判断C ；求出三棱锥C ABD -的外接球半径计算判断D 作答.【详解】取BD 中点E ，连接CE ，ME ，如图，因BCD △是正三角形，有CE BD ⊥，而M 是AD 的中点，有//ME AB ，而AB BD ⊥，则ME BD ⊥，CE ME E ⋂=，,CE ME ⊂平面CME ， 于是得BD ⊥平面CME ，CM ⊂平面CME ，所以CM BD ⊥，A 不正确；取CD 的中点N ，连MN ，因M 是AD 的中点，则//MN AC ，AC ⊂平面ABC ，MN ⊄平面ABC ，所以MN //平面ABC ，B 正确； 因122ABDSAB DB =⋅=，要三棱锥C ABD -的体积最大，当且仅当点C 到平面ABD 距离最大，由选项A 知，点C 到直线BD 的距离3CE CEM ∠是二面角A BD C --的平面角，当90CEM ∠=时，CE ⊥平面ABD ，即当C 到平面ABD 距离最大为3CE 三棱锥C ABD -的体积最大，此时CE ME ⊥，有CE AB ⊥， 而AB BD ⊥，CEBD E =，,CE BD ⊂平面BCD ，则有AB ⊥平面BCD ，BC ⊂平面BCD ，所以AB BC ⊥，C 正确；三棱锥C ABD -的外接球被平面BCD 所截小圆圆心1O 是正BCD △的中心，13=O E 被平面ABD 所截小圆圆心为点M ，设球心为O ，连1,OO OM ，则1OO ⊥平面BCD ，OM ⊥平面ABD ，当二面角A BD C --为直角时，由选项C 知，CE ⊥平面ABD ，ME ⊥平面BCD ，有11//,//OM O E OO ME ，四边形1OO EM 为矩形，13OM O E ==AO ，在Rt AOM △中，222237(2)()33AO AM OM =+=+=所以三棱锥C ABD -的外接球的表面积228π4π3S AO =⋅=，D 正确. 故选：BCD【点睛】关键点睛：几何体的外接球的表面积、体积计算问题，借助球的截面小圆性质确定出球心位置是解题的关键.12．已知O 是ABC 内一点，且0OA OB OC ++=，点M 在OBC 内（不含边界），若AM AB AC λμ=+，则2λμ+的值可能为（ ）A ．97B ．117C ．137D ．157【答案】ABC【分析】根据0OA OB OC ++=可知O 为ABC 的重心；根据点M 在OBC 内，判断出当M 与O 重合时，2λμ+最小；当M 与C 重合时，2λμ+的值最大，因不含边界，所以取开区间即可．【详解】因为O 是ABC 内一点，且0OA OB OC ++= 所以O 为ABC 的重心M 在OBC 内（不含边界），且当M 与O 重合时，2λμ+最小，此时 ()21113233AM AB AC AB AC AB AC λμ⎡⎤=+=⨯+=+⎢⎥⎣⎦所以11,33λμ==，即21λμ+=当M 与C 重合时，2λμ+最大，此时AM AC =所以0,1λμ==，即22λμ+= 因为M 在OBC 内且不含边界 所以取开区间，即()21,2λμ+∈， 结合选项可知ABC 符合，D 不符合 故选：ABC三、填空题13．设锐角ABC 的外心为O ，且，1cos cos 04cos sin sin B COA AB AC A C B++=，则tan cot A A +=__________．【答案】8【分析】设外接圆的半径为R ；平面向量数量积的运算律及三角形外心的性质得到12sin cos 4A A =，再根据同角三角函数的基本关系将弦化切，从而得解； 【详解】解：因为点O 为ABC 外接圆的圆心，设外接圆的半径为R ； 所以1cos cos 04cos sin sin B COA AB AC A C B⋅+⋅+⋅=，整理得1cos cos ()()04cos sin sin B COA OB OA OC OA A C B⋅+⋅-+⋅-=， 所以2221cos cos ()()04cos sin sin B COA OB OA OA OC OA OA A C B⋅+⋅⋅-+⋅⋅-=， 故2221cos cos (cos21)(cos21)04cos sin sin B C R R C R B A C B ⋅+⋅⋅-+⋅⋅-=， 则1cos cos (cos21)(cos21)04cos sin sin B CC B A C B +⋅-+⋅-=， 所以12sin cos 2sin cos 2sin()2sin 4cos C B B C B C A A=+=+=， 所以12sin cos 4A A =，即222sin cos 1sin cos 4A A A A =+ 所以22tan 11tan 4A A =+，所以2114tan tan A A =+，则1tan 8tan A A +=，即tan cot 8A A +=． 故答案为：814．已知()22cos sin cos sin 6f x x x x x x π⎛⎫=⋅+⋅- ⎪⎝⎭，则函数()y f x =的单调递增区间______．【答案】()πππ,πZ 36k k k ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦【分析】利用三角恒等变换整理可得()π2sin 26f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，再结合正弦函数求解单调区间.【详解】()22cos sin cos sin 6f x x x x x x π⎛⎫=⋅+⋅- ⎪⎝⎭212cos cos cos sin 2x x x x x x ⎫=+⋅-⎪⎪⎝⎭22cos cos sin 2cos 2=+-=+x x x x x xπ2sin 26x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭πππ2π22π,Z 262k x k k -≤+≤+∈，则ππππ,Z 36k x k k -≤≤+∈函数()y f x =的单调递增区间为()πππ,πZ 36k k k ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦故答案为：()πππ,πZ 36k k k ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦.15．已知四面体ABCD 的四个顶点A ，B ，C ，D的球面上，且4AC BD m ==，AD BC ==()0m >，AB CD =，则四面体ABCD 的体积是______．（用含m 的代数式表示）【答案】3【分析】将四面体补全为长方体，设长方体的长宽高分别为,,a b c ，AB CD x ==，则外接球的直径即为该长方体的体对角线，从而可求得AB ，再利用勾股定理可求得长宽高，再根据锥体与柱体的体积公式即可得解.【详解】解：由题意，将四面体补全为长方体，如图所示， 设长方体的长宽高分别为,,a b c ，AB CD x ==， 则()222222520a b c m m ++==，2222222221116a b x a c m b c m ⎧+=⎪+=⎨⎪+=⎩， 故()22222221116240x m m a b c m ++=++=，解得13x m =，则222222222131116a b m a c m b c m ⎧+=⎪+=⎨⎪+=⎩，解得237a m b m c m⎧=⎪=⎨⎪=⎩， 所以四面体ABCD 的体积为3111427323abc abc abc m -⨯⨯==.故答案为：327m .16．几位大学生响应国家的创业号召，开发了一款应用软件．为激发大家学习数学的兴趣，他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动．这款软件的激活码为下面数学问题的答案：已知数列1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，…，其中第一项是02，接下来的两项是02，12，再接下来的三项是02，12，22，依此类推．求满足如下条件的最小整数N ：100N >且该数列的前N 项和为2的整数幂．那么该款软件的激活码是______． 【答案】440【分析】由题意求得数列的每一项，及前n 项和122n n S n +=--，及项数，由题意可知：12n +为2的整数幂．只需将2n --消去即可，分别分别即可求得N 的值. 【详解】解：由题意可知：第一项02，第二项012,2，第三项0122,2,2，，第n 项0112,2,,2n -，根据等比数列前n 项和公式，求得每项和分别为：121-，221-，321-，⋯，21n -， 每项含有的项数为：1，2，3，⋯，n ， 总共的项数为(1)1232n n N n +=+++⋯+=， 所有项数的和为()()1231231221:2121212122222221n nnn N S n n n+--+-+-+⋯+-=+++⋯+-=-=---，由题意可知：12n +为2的整数幂，只需将2n --消去即可， 则①12(2)0n ++--=，解得：1n =，总共有(11)1232+⨯+=，不满足100N >， ②124(2)0n +++--=，解得：5n =，总共有(15)53182+⨯+=，不满足100N >， ③1248(2)0n ++++--=，解得：13n =，总共有(113)134952+⨯+=，不满足100N >， ④124816(2)0n +++++--=，解得：29n =，总共有(129)2954402+⨯+=，满足100N >，∴该款软件的激活码440．故答案为：440.【点睛】本题考查数列的应用，等差数列与等比数列的前n 项和，考查计算能力及数据分析能力，属于难题.四、解答题17．已知ABC 的内角A 、B 、C 所对的边分别为a ，b 、c ，ABC 的面积为S ，若224a AB AC S +⋅=. (1)求证：2A π=；(2)若1b =，P 为ABC 内一点，且34APB π∠=，求22PB PC +的取值范围.【答案】(1)证明见解析．(2)[42)-【分析】（1）由数量积的定义，面积公式，余弦定理得222sin b c bc A +=，利用基本不等式和正弦函数性质得出2A π=；（2）由（1）得出1c b ==，由平面几何知识得P 在圆上，以,AB AC 为,x y 轴建立平面直角坐标系，设(,)P x y ，求出圆的方程后，再求出22PB PC +，然后利用此表达式的几何意义求出其范围．【详解】(1)因为224a AB AC S +⋅=，所以22cos 2sin a bc A bc A +=， 所以222sin b c bc A +=，又222b c bc +≥，2sin 2bc A bc ≤， 所以b c =且sin 1A =，即2A π=；(2)由（1）知1c b ==，以,AB AC 为,x y 轴建立平面直角坐标系，如图，则(1,0)B ，(0,0)A ，(0,1)C ，设(,)P x y ，34APB π∠=，由平面几何知识得P 点在圆上，设该圆半径为R，则23sin 4ABR π=R ，设其圆心为D ， 由于1AB =，则222DA DB AB +=，所以90ADB ∠=︒，D 在x 轴下方， 所以11(,)22D -，圆方程为22111()()222x y -++=，P 点轨迹方程是22111()()222x y -++=（0y >）， 22222222(1)(1)22222PB PC x y x y x y x y +=-+++-=+--+ 22112()()122x y ⎡⎤=-+-+⎢⎥⎣⎦，2211()()22x y -+-表示(,)P x y 到点11(,)22E 的距离的平方，1DE =，所以2211()()22x y -+-的最小值是23(12=又EA EB ==，又P 在ABC 内部，所以2211()()22x y -+-<212=，所以221142()()1222x y ⎡⎤--+-+<⎢⎥⎣⎦，综上，22PB PC +的取值范围是[42)-，18．已知四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为矩形，且2AD =，1AB =，若PA ⊥平面ABCD ，E ，F 分别是线段AB ，BC 的中点.（1）证明：PF DF ⊥；（2）在线段PA 上是否存在点G ，使得EG ∥平面PFD ？若存在，确定点G 的位置：若不存在，说明理由；（3）若PB 与平面ABCD 所成的角为45°，求二面角A PD F --的余弦值．【答案】（1）证明见解析；（2）存在，G 为PA 的一个四等分点（靠近点A ）时，EG ∥平面PFD ；（36【分析】（1）连接AF ，利用勾股定理，证得DF AF ⊥，利用线面垂直的判定定理证得DF ⊥平面PAF ，即可证得DF PF ⊥；（2）过点E 作//EH FD 交AD 于点H ，利用面面平行的判定定理，证得平面//EHG 平面PFD ，得到//EG 平面PFD ，即可得到结论；（3）取AD 的中点M ，连接FM ，过点M 作MN PD ⊥于点N ，连接FN ，得到则PD ⊥平面FMN ，得出MNF ∠为二面角A PD F --的平面角，直角FMN ∆中，即可求解. 【详解】（1）连接AF ，则2AF 2DF =，又2AD =， 由222DF AF AD +=，所以DF AF ⊥， 又由PA ⊥平面ABCD ，则DF PA ⊥， 又由PA AF A = ，所以DF ⊥平面PAF ， 又因为PF ⊂平面PAF ，所以DF PF ⊥．（2）过点E 作//EH FD 交AD 于点H ，则//EH 平面PFD ，且有14AH AD =，再过点H 作//HG DP 交PA 于点G ，连接EG ，则//HG 平面PFD 且14AG AP =， 所以平面//EHG 平面PFD ，又由EG ⊂平面PFD ，所以//EG 平面PFD ， 所以当G 为PA 的一个四等分点（靠近点A ）时，使得EG ∥平面PFD ． （3）因为PA ⊥平面ABCD ，所以PBA ∠是PB 与平面ABCD 所成的角，且45PBA ∠=︒，所以1==PA AB ， 取AD 的中点M ，连接FM ，则FM AD ⊥，FM ⊥平面PAD ，所以FM PD ⊥， 在平面PAD 中，过点M 作MN PD ⊥于点N ，连接FN ，则PD ⊥平面FMN ， 则MNF ∠为二面角A PD F --的平面角， 因为Rt MND Rt PAD △△∽，所以MN MDPA PD=， 因为1PA =，1MD =，5PD =，且90FMN ∠=︒， 所以55MN =，305FN =， 在直角FMN ∆中，6cos 6MN MNF FN ∠==， 故二面角A PD F --的余弦值为66.【点睛】本题考查了线面平行、线面垂直的判定与证明，以及空间角的求解问题，意在考查学生的空间想象能力和逻辑推理能力，解答中熟记线面位置关系的判定定理和性质定理，通过严密推理是线面位置关系判定的关键，同时熟记二面角的平面角的定义，得出二面角的平面角是解答的本题的一个难点.19．记△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知cos 3sin 0a C a C b c --=，3b =(1)若21a c ；(2)点A ，B ，C 分别在等边△DEF 的边DE ，EF ，FD 上（不含端点）.若△DEF 面积的最大值为3c . 【答案】(1)33c =(2)23c =【分析】（1）利用正弦定理将已知等式统一成角的形式，然后利用三角函数恒等变换公式化简可求出角A ，再利用余弦定理可求出c ，（2）由三角形面积的最大值求出DE 的最大值，设ACD BAE α∠=∠=，则120ABE α∠=︒-，然后分别在ACD △和ABE △中利用余弦定理表示出,AD AE ，从而可表示DE ，化简后利用三角函数的性质可求出其最大值，从而列方程可求出c【详解】(1)因为cos sin 0a C C b c --=，所以由正弦定理得sin cos sin sin sin 0A C A C B C --=， 因为()B A C π=-+，所以sin cos sin sin()sin 0A C A C A C C -+-=,sin cos sin sin cos cos sin sin 0A C A C A C A C C ---=，sin cos sin sin 0A C A C C --=，因为sin 0C ≠，cos 1A A -=，11cos 22A A -=， 1sin 62A π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，因为5,666A πππ⎛⎫⎛⎫-∈- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 所以66A ππ-=，3A π=，因为a =b =所以由余弦定理得2222cos a b c bc A =+-，212132c =+-⋅，23180c c --=，(3)(6)0c c +-=，得c =-，或c =(2)由（1）可知3A π=，b =由于△DEF 面积的最大值为2=DE =所以DE 的最大值为因为60CAB ∠=︒，所以120DAC BAE ∠+∠=︒， 因为120DAC ACD ∠+∠=︒，所以ACD BAE ∠=∠，设ACD BAE α∠=∠=，则120ABE α∠=︒-， 在ACD △中，由正弦定理得sin sin AC ADD ACD=∠ 所以3sin 60sin AD α=︒，得3sin sin 60AD α=⋅︒，在ABE △中，由正弦定理得sin sin AB AEE ABE=∠， 所以sin 60sin(120)c AE α=︒︒-，得sin(120)sin 60cAE α=⋅︒-︒， 所以3sin sin(120)sin 60sin 60cDE AD AE αα=+=+︒-︒︒1[3sin sin(120)]sin 60c αα=+︒-︒1(3sin sin120cos cos120sin )sin 60c c ααα=+︒-︒︒113[(3)sin cos ]sin 6022c c αα=++︒ 221133sin()sin 6022c c αθ⎛⎫⎛⎫=⋅+++ ⎪ ⎪ ⎪︒⎝⎭⎝⎭，其中32tan 132c c θ=+， 所以当sin()1αθ+=时，DE 取得最大值，所以22113327sin 6022c c ⎛⎫⎛⎫⋅++= ⎪ ⎪ ⎪︒⎝⎭⎝⎭， 所以23321c c ++=，所以23321c c ++=，即23180c c +-=， 所以(23)(33)0c c -+=， 解得23c =或33c =-（舍去），【点睛】关键点点睛：此题考查正弦定理和余弦定理的应用，考查三角函数恒等变换公式的应用，第（2）问解题的关键是分别在ACD △和ABE △中利用余弦定理表示出,AD AE ，从而可得sin(120)sin 60c DE AD AE αα=+=+︒-︒，化简后利用三角函数的性质可求得其最大值，考查计算能力，属于较难题20．已知向量(cos5,sin 5),(2cos(),2sin()),33a x xb x x ππ==--令()u x a b =⋅.(1)求函数()u x 的对称轴方程；(2)设()4cos(2)6v x x π=+，当,612x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，求函数()4()2()65(R)f x u x v x λλλ=-++∈的最小值()g λ；(3)在（2）的条件下，若对任意的实数,a b 且0a b >>，不等式21111()(2)()22()t a b g t a a b ab a a b λ-++≤≤+++-对任意的[]0,5λ∈恒成立，求实数t 的取值范围. 【答案】(1),Z 412k x k ππ=-∈； (2)221,2()63,24213,4g λλλλλλλλ+<⎧⎪=-+-≤≤⎨⎪-+>⎩；(3)15t ≤≤.【分析】（1）根据平面向量的数量积公式及两角和的余弦公式可得()2cos 43u x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，再由43x k ππ+= 可得结果；（2）令cos 26x t π⎛⎫+= ⎪⎝⎭，因为,612x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，所以1,12t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦ 则()()216863f x h t t t λλ==-+-，根据二次函数的性质讨论三种情况，即可得结果；（3）当[]0,5λ∈时，()()max min6,1g g λλ==由()()2112121126t a b a b t a ab a a b ⎧⎛⎫-++≤ ⎪⎪⎝⎭⎪⎨⎪+++≥⎪-⎩，结合基本不等式即可得结果.【详解】(1)因为向量(cos5,sin 5),(2cos(),2sin()),33a x x b x x ππ==--所以()2cos5cos 2sin 5sin 2cos 4333u x a b x x x x x πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⋅=-+-=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，由4,Z 3x k k ππ+=∈，得,Z 412k x k ππ=-∈， 所以函数()u x 对称轴方程为,Z 412k x k ππ=-∈(2)由（1）得()22cos 42cos 224cos 22366u x x x x πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=+=+- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 因为()4cos(2)6v x x π=+ 所以()4()2()65(R)f x u x v x λλλ=-++∈ 2=16cos 288cos 26566x x ππλλ⎛⎫⎛⎫+--+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 2=16cos 28cos 26366x x ππλλ⎛⎫⎛⎫+-++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 令cos 26x t π⎛⎫+= ⎪⎝⎭，因为,612x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，2,663x πππ⎡⎤+∈-⎢⎥⎣⎦ 所以1,12t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦， 则()()216863f x h t t t λλ==-+-， 对称轴为14t λ=， 当1142λ<，即2λ<，可得()h t 在1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增， 所以min 111()1686321242h t h λλλ⎛⎫==⨯-⨯+-=+ ⎪⎝⎭， 当11124λ≤≤，即24λ≤≤时，22min ()16863634164h t h λλλλλλλ⎛⎫==⨯-⨯+-=-+- ⎪⎝⎭， 当114λ>，即4λ>时，()h t 在1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减， 所以()min ()116863213h t h λλλ==-+-=-+所以221,2()63,24213,4g λλλλλλλλ+<⎧⎪=-+-≤≤⎨⎪-+>⎩(3)当[]0,5λ∈时，由（2）可得()()max min 6,1g g λλ== 所以()()2112121126t a b a b t a ab a a b ⎧⎛⎫-++≤ ⎪⎪⎝⎭⎪⎨⎪+++≥⎪-⎩而()11222422b a a b a b a b ⎛⎫++=++≥ ⎪⎝⎭，当且仅当2a b =时取等号， ()()()()22111111224a a ab ab a a b ab ab a a b ab a a b a a b ab++=-+++=-+++≥+=---，当且仅当a b == 所以41246t t -≤⎧⎨+≥⎩所以15t ≤≤ ，即实数t 的取值范围为[1,5]【点睛】关键点点睛：此题考查三角函数的图象与性质，考查向量的数量积运算，考查二次函数的最值的求法，考查基本不等式的应用，解题的关键是利用三角函数公式将函数进行化简，再换元转化为二次函数求解，考查数学转化思想和分类思想，属于难题. 21．如图，四边形ABCD 中，1cos 3BAD ∠=，3AC AB AD ==．(1)求sin ABD ∠； (2)若90BCD ∠=︒，求tan CBD ∠．【答案】(1)132【分析】（1）根据余弦定理求出BD ，由勾股定理判断出ABD △为直角三角形，求解即可；（2）根据余弦定理求出cos BCA ∠，cos ACD ∠，结合勾股定理求出参数，计算即可．【详解】(1)ABD △中，设()330AC AB AD t t ===>，则()()22231cos 323t t BD BAD t t +-∠==⨯⨯，解得22BD t =222BD AD AB +=，1sin 3AD ABD AB ∴∠==； (2)设()330AC AB AD t t ===>，则22BD t =设BC xt =，CD yt =()0,0x y >>，ABC 中，()()()()()22233cos 236t xt t x BCA t xt +-∠==⨯⨯ ADC 中，()()()()2222318cos 3236t yt t y DCA t yt y+-+∠===⨯⨯π2BCA DCA BCD ∠+∠=∠=，cos sin DCA BCA ∴∠=∠，可得286y y +，化简得2228166y x y ⎛⎫+⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即22426420x y y y ++= 又222BC CD BD +=，222228x t y t t ∴+=，即228x y ∴+=()224286420y y y y ∴-++=，解得222168,833y x y ==-=tan CD yt CBD BC xt∠====22．数列{}n a 对任意*n ∈N 且2n ≥，均存在正整数[]1,1i n ∈-，满足12n n i a a a +=-，11a =，23a =． (1)求4a 可能值；(2)若23m m a =，()*m ∈N 成立，求数列{}n a 的通项公式．【答案】(1)47a =或9 (2)3*2*21,153,21,N 3,2,Nn n nn a n k k n k k -=⎧⎪⎪=⨯=+∈⎨⎪⎪=∈⎩【分析】（1）利用递推关系式可得35a =，然后计算4a 的值即可；（2）由题意可得22212(2)m m i a a a i m ++=-≤，2122(21)m n j a a a j m +=-≤-，然后利用数学归纳法证明数列单调递增，最后分类讨论即可确定数列的通项公式．【详解】(1)解：由12n n i a a a +=-，可得32125a a a =-=，所以43227a a a =-=或43129a a a =-=；(2)因为23m m a =，∴()12222213,22m m m m i a a a a i m ++++==-≤，2122(21)m m j a a a j m +=-≤-，22242m m j i a a a a +∴=--，∴12222244333m m m j i m m m a a a a a +++=-=⨯-==，以下用数学归纳法证明数列单调递增，即证明1n n a a +>恒成立：当1n =，21a a >明显成立，假设n k =时命题成立，即11210k k k a a a a a -->>>>>>，则120k k k i k k i a a a a a a a +-=--=->，则1k k a a +>，命题得证．回到原题，分类讨论求解数列的通项公式：①若2j =1m -，则2212122m j i m i m i a a a a a a a --=+=+>+矛盾，②若2j =2m -，则13m j a -=，∴1323m m i j a a -=-=，22i m ∴=-，此时11212223353m m m m m j a a a --+=-=⨯-=⨯， ∴3*2*21,153,21,N 3,2,Nn n nn a n k k n k k -=⎧⎪⎪=⨯=+∈⎨⎪⎪=∈⎩，③若22j m <-，则1223m j a -<⨯，∴122323m m i j m a a a --=->=，21i m ∴=-，2221212m m m a a a ++-∴=-，6532a a a =-，事实上：5426522152a a a a a a =-==-，矛盾． 综上可得3*2*21,153,21,N 3,2,Nn n nn a n k k n k k -=⎧⎪⎪=⨯=+∈⎨⎪⎪=∈⎩．【点睛】本题主要考查数列中的递推关系式，数列中的推理问题，数列通项公式的求解等知识，属于难题．。
四川省高二上学期数学开学考试试卷
四川省高二上学期数学开学考试试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共12题；共24分)1. （2分）某篮球队甲、乙两名运动员练习罚球，每人练习10轮每轮罚球30个．命中个数的茎叶图如下．若10轮中甲、乙的平均水平相同，则乙的茎叶图中x的值是（）A . 3B . 2C . 1D . 42. （2分）(2018·鞍山模拟) 已知等比数列满足，则的值为（）A . 2B . 4C .D . 63. （2分） (2017高二下·河北开学考) 为了规定学校办学，省电教育厅督察组对某所高中进行了抽样调查，抽查到班级一共有52名学生，现将该班学生随机编号，用系统抽样的方法抽取一个容量为4的样本，已知7号，33号，46号同学在样本中，那么样本中还有一位同学的编号应是（）A . 13B . 19C . 20D . 524. （2分）下列是流程图中的一部分，表示恰当的是（）A .B .C .D .5. （2分） (2020高一下·宿迁期末) 某老师从星期一到星期五收到的信件数分别为10，6，8， 5， 6，则该组数据的方差的值为（）A .B .C .D . 166. （2分） (2018高一下·长春期末) 在中,内角所对的边分别为 ,且 ,若为锐角,则的最大值为（）A .B .C .D .7. （2分）在等比数列中，若，，则的值为（）A .B . 64C .D . 488. （2分） (2018高一上·大连期中) 有下列四个命题：①已知-1＜a＜b＜0，则0.3a＞a2＞ab；②若正实数a、b满足a+b=1，则ab有最大值；③若正实数a、b 满足a+b=1，则有最大值；④∀x，y∈（0，+∞），x3+y3＞x2y+xy2 ．其中真命题的个数是（）A . 1B . 2C . 3D . 49. （2分）对同一目标独立地进行四次射击，至少命中一次的概率为，则此射手的命中率为（）A .B .C .D .10. （2分）在⊿ABC中,三边所对的角分别为A,B,C,若,则角C为（）A . 30°B . 45°C . 150°D . 135°11. （2分） (2019高二上·寿光月考) 已知，，若非p是非q的必要不充分条件，则a的范围是（）A .B .C .D .12. （2分） (2018高二上·黑龙江月考) 甲在微信群中发布6元“拼手气”红包一个，被乙、丙、丁三人抢完，若三人均领到整数元，且每人至少领到1元，则乙获得“最佳手气” 即乙领到的钱数不少于其他任何人的概率是A .B .C .D .二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分） (2020高一下·泸县月考) 设函数f（x）=-x+2，则满足f（x-1）+f（2x）＞0的x的取值范围是________．14. （1分） (2019高二上·开福月考) 已知中，，，为内一点，且满足，则 ________．15. （1分） (2015高二上·海林期末) 一位同学家里订了一份报纸，送报人每天都在在早上5：20～6：40之间将报纸送到达，该同学的爸爸需要早上6：00～7：00之间出发去上班，则这位同学的爸爸在离开家前能拿到报纸的概率是________．16. （1分）已知数列{an}满足a1=2，a2=5，a3=23，且an+1=αan+β，则α、β的值分别为________、________．三、解答题 (共6题；共47分)17. （10分）在锐角△ABC中，内角A，B，C所对的边分别a，b，c．已知a≠b，c= ，B=sinAcosA﹣sinBcosB．（Ⅰ）求角C的大小；（Ⅱ）若sinA= ，求△ABC的面积．18. （2分） (2020高二上·沧县月考) 为了解某学校高二学生数学学科的学习效果，现从高二学生某次考试的成绩中随机抽50名学生的数学成绩（单位：分），按分成6组，制成如图所示的频率分布直方图.（1）求m的值并估计这所学校本次考试学生数学成绩的平均数；（2）为调查某项指标，现利用分层抽样从成绩在两个分数段的学生中抽取5人，再从这5人中随机选2人进行对比，求选出的这2名学生来自同一分数段的概率.19. （5分）某电视台在一次对收看文艺节目和新闻节目观众的抽样调查中，随机抽取了100名电视观众，相关的数据如表所示：（Ⅰ）用分层抽样方法在收看新闻节目的观众中随机抽取5名，大于40岁的观众应该抽取几名？（Ⅱ）在上述抽取的5名观众中任取2名，求恰有1名观众的年龄为20至40岁的概率．20. （10分） (2016高一下·吉林期中) 某成衣批发店为了对一款成衣进行合理定价，将该款成衣按事先拟定的价格进行试销，得到了如下数据：批发单价x（元）808284868890销售量y（件）908483807568（1）求回归直线方程，其中（2）预测批发单价定为85元时，销售量大概是多少件？（3）假设在今后的销售中，销售量与批发单价仍然服从（1）中的关系，且该款成衣的成本价为40元/件，为使该成衣批发店在该款成衣上获得更大利润，该款成衣单价大约定为多少元？21. （10分） (2020高一下·徐汇期末) 对于数列，设数列的前n项和为，若存在正整数k，使得恰好为数列的一项，则称数列为“ 数列”.（1）已知数列为“ 数到”，求实数x的值；（2）已知数列的通项公式为，试问数列是否是“ 数列”？若是，求出所有满足条件的正整数k；若不是，请说明理由.22. （10分） (2019高二上·苏州期中) 如图，一幅壁画的最高点处离地面4米，最低点处离地面2米.正对壁画的是一条坡度为1:2的甬道（坡度指斜坡与水平面所成角的正切值），若从离斜坡地面1.5米的处观赏它.（1）若对墙的投影（即过作的垂线垂足为投影）恰在线段（包括端点）上，求点离墙的水平距离的范围；（2）在（1）的条件下，当点离墙的水平距离为多少时，视角（）最大？参考答案一、单选题 (共12题；共24分)答案：1-1、考点：解析：答案：2-1、考点：解析：答案：3-1、考点：解析：答案：4-1、考点：解析：答案：5-1、考点：解析：答案：6-1、考点：解析：答案：7-1、考点：解析：答案：8-1、考点：解析：答案：9-1、考点：解析：答案：10-1、考点：解析：答案：11-1、考点：解析：答案：12-1、考点：解析：二、填空题 (共4题；共4分)答案：13-1、考点：解析：答案：14-1、考点：解析：答案：15-1、考点：解析：答案：16-1、考点：解析：三、解答题 (共6题；共47分)答案：17-1、考点：解析：答案：18-1、答案：18-2、考点：解析：答案：19-1、考点：解析：答案：20-1、答案：20-2、答案：20-3、考点：解析：答案：21-1、答案：21-2、考点：解析：答案：22-1、答案：22-2、考点：解析：。
四川省高二上学期入学考试数学试题(解析版)
一、单选题1．已知集合，，则（ ） [)2,4A =[]3,5B =()R A B = ðA ． B ． C ． D ．(]4,5[]4,5()[),23,-∞⋃+∞(][),23,-∞⋃+∞【答案】B【分析】先求出集合的补集，再由交集运算可得答案. A 【详解】集合，，则 [)2,4A =[]3,5B =()()[),24,R A =-∞⋃+∞ð所以， ()[]4,5R A B ⋂=ð故选：B.2．已知集合，则集合（ ） |sin ||cos ||tan |sin cos tan x x x A yy x x x ⎧⎫==++⎨⎬⎩⎭∣A =A ． B ． C ． D ．{1,1}-{1,3}-{}113-,,{1,3,3}-【答案】B【分析】由题知，x 终边不会落在坐标轴上，由此分类讨论即可求解. 【详解】依题意，根据函数的解析式可得，x 终边不会落在坐标轴上， 当x 在第一象限时，可得， 3y =落在第二、三、四象限时，， 1y =-可得． {}1,3A =-故选：B.3．已知正项等比数列中，公比，前项和为，若，，则{}n a 1q >n n S 2664a a ⋅=3520a a +=8S =（ ） A ．127 B ．128 C ．255 D ．256【答案】C【分析】由已知和等比数列的性质建立方程可求得，再由数列的通项公式求得数列35416a a ==，的首项和公式，由等比数列的求和可求得答案.【详解】解：∵，，且，所以， 263564a a a a ⋅=⋅=3520a a +=1q >35416a a ==，∴，，， 11a =2q =881225512S -==-故选：C.4．设，则（ ）2364log 3log 6log log 16m =m =A ．2B ．4C ．8D ．-2或4【答案】B【分析】根据换底公式及对数运算性质可得结果. 【详解】由， 2364log 3log 6log log 16m =可得， ln 3ln 6ln 2ln 2ln 3ln 6m⋅⋅=即， ln 2ln 2m =∴， 4m =故选：B5．若函数在上的最大值与最小值的差为2，则实数的值为( ). 1y ax =+[1,2]a A ．2 B ．－2 C ．2或－2 D ．0【答案】C【详解】解：①当a=0时，y=ax+1=1，不符合题意；②当a ＞0时，y=ax+1在[1，2]上递增，则（2a+1）﹣（a+1）=2，解得a=2； ③当a ＜0时，y=ax+1在[1，2]上递减，则（a+1）﹣（2a+1）=2，解得a=﹣2． 综上，得a=±2， 故选C ．6．函数的零点所在的区间为（ ）()2xf x x =+A ． B ． C ． D ．()2,1--()1,0-()0,1()1,2【答案】B【分析】根据的单调性，结合零点存在性定理即可判断零点所在的区间，即可得正确选项.()f x 【详解】因为为单调递增函数，()2xf x x =+当时，， 2x =-()2722204f --=-=-<当时，， =1x -()1112102f --=-=-<当时，，0x =()002010f =+=>由于，且的图象在上连续， ()()010f f ⋅-<()f x ()1,0-根据零点存在性定理，在上必有零点， ()f x ()1,0-故选：B.7．定义运算，若，则等于 a b ad bc c d =-sin sin 1cos ,cos cos 72αβπαβααβ==<<<βA ．B ．C ．D ．12π6π4π3π【答案】D【详解】试题分析：由定义运算知，即，又02πβα<<<，又，，1cos ,072παα=<<．【解析】同角三角函数基本关系式及两角差正弦公式的正用与逆用8．已知，则的最小值为（ ） 0,0,21x y x y >>+=21y x y+A ．6 B ．5C ．D ．3+2+【答案】D【分析】将所求代数式化简为，再利用基本不等式()21111111121y x x y x y x y x y x y ⎛⎫-+=+=+-=++- ⎪⎝⎭即可求解.【详解】因为，所以， 21x y +=21y x =-所以()21111111121y x x y x y x y x y x y ⎛⎫-+=+=+-=++- ⎪⎝⎭， 2222y x x y =++≥+=+当且仅当即221y xx y x y ⎧=⎪⎨⎪+=⎩11x y ⎧=-⎪⎨=⎪⎩所以的最小值为， 21y x y+2+故选：D.9．对于实数a ，b ，c 下列说法中错误的是（ ）A ．若，则B ．若，则 0a b c a b c >>++=，ab ac >1a >11-<-aC ．若，则D ．若，，则 0a b <<11a b>a b >11a b>0ab <【答案】B【分析】由不等式的性质，逐个分析选项的结论.【详解】当时，有，由得，A 选项说法正确； 0a b c a b c >>++=，0a >b c >ab ac >当时，，则有，故B 选项说法错误；1a >101a<<11a ->-当，有，则，即，C 选项说法正确；0a b <<0ab >a b ab ab<11b a <当，时，有，由则，D 选项说法正确； a b >11a b >110b a a b ab--=>0b a -<0ab <故选：B.10．已知，，则（ ）1sin 3θ=-3ππ,2θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭sin 2θ=A ．B C D ． 79【答案】B【分析】根据三角函数的基本关系式求得. cos θ=【详解】由，且，可得1sin 3θ=-3ππ,2θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭cos θ==所以 1sin 22sin cos 23θθθ⎛⎛⎫==⨯-⨯= ⎪⎝⎭⎝故选：B.11．设向量，，则下列结论中正确的是（ ） ()1,0a =11,22⎛⎫= ⎪⎝⎭r bA ．B ．C ．与垂直D ．a b = a b ⋅= a b - b//a b 【答案】C【分析】根据向量坐标，求两个向量的模可判断A ；求出数量积即可判断B ；判断是否等()b a b -⋅ 于0可判断C ；根据向量共线的坐标表示可判断D.【详解】因为，，，故A 错误；()1,0a = 11,22⎛⎫= ⎪⎝⎭r b =a b ≠ ，故B 错误；11110222a b ⋅=⨯+⨯=，则，所以与垂直，故C 正确；11,22a b ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭()111102222b b a ⎛⎫=⨯+-⨯= ⎪⎭⋅⎝- a b - b因为，所以不共线，故D 错误.1110022⨯-⨯≠,a b故选：C.12．若平面向量与的夹角为60°，，，则等于（ ）．a b()2,0a = 1b = 2a b +A B ．C ．4D ．12【答案】B【分析】利用转化即可22a a = 【详解】解析：因为，所以，又因为向量与的夹角为60°，，()2,0a = ||2a = a b||1=b所以，所以1cos 602112a b a b ⋅=︒=⨯⨯= 2a b +=== 故选：B二、填空题13．已知，，则________．1cos()2αβ+=-1cos()3αβ-=2cos cos 3sin sin αβαβ+=【答案】1312【分析】直接利用两角和与差的余弦公式展开即可求解. 【详解】依题意，因为，，1cos()2αβ+=-1cos()3αβ-=所以，， 1cos cos sin sin 2αβαβ-=-1cos cos sin sin 3αβαβ+=两式相加减可得，，1cos cos 12αβ=-5sin sin 12αβ=所以． 15132cos cos 3sin sin 23121212αβαβ⎛⎫+=⨯-+⨯= ⎪⎝⎭故答案为：. 131214．已知扇形的圆心角为120°cm ，则此扇形的面积为________ cm 2.【答案】π【分析】由扇形的面积公式求解即可 【详解】设扇形的弧长为l ， 因为120°＝120×rad ＝(rad)， 180π23π所以． 23l R πα==所以S ＝lR ＝(cm 2)． 1212π故答案为：.π15．已知向量a =（2,6）,b =,若a ∥b ,则 ____________. (1,)λ-λ=【答案】-3【详解】由可得a b ∥162 3.λλ-⨯=⇒=-【名师点睛】平面向量共线的坐标表示问题的常见类型及解题策略：(1)利用两向量共线求参数．如果已知两向量共线,求某些参数的取值时,利用“若a ＝(x 1,y 1),b ＝(x 2,y 2),则的充要条件是x 1y 2＝x 2y 1”解题比较方便．a b ∥(2)利用两向量共线的条件求向量坐标．一般地,在求与一个已知向量a 共线的向量时,可设所求向量为λa (λ∈R ),然后结合其他条件列出关于λ的方程,求出λ的值后代入λa 即可得到所求的向量． (3)三点共线问题．A ,B ,C 三点共线等价于与共线.16．下面有四个结论:①若数列的前项和为 (为常数),则为等差数列;{}n a n 2n S an bn c =++,,a b c {}n a ②若数列是常数列,数列是等比数列,则数列是等比数列; {}n a {}n b {}n n a b ⋅③在等差数列中,若公差,则此数列是递减数列; {}n a 0d <④在等比数列中,各项与公比都不能为. 0其中正确的结论为__________(只填序号即可). 【答案】③④【分析】根据等差数列通项公式得数列单调性确定于公差正负，根据等差数列和项特点确定①真假，根据等比数列各项不为零的要求可判断②④真假.【详解】因为公差不为零的等差数列单调性类似于直线，所以公差,则此数列是递减数列; ③0d <正确；因为等差数列和项中常数项为零，即中所以①不对，因为等比数列各2n S an bn c =++0c =，项不为零，所以②中若数列是为零的常数列,则不是等比数列; ②不对，④正确，即正{}n a {}n n a b ⋅确的结论为③④.【点睛】等差数列特征：为的一次函数；；等比数列特征：各项以及公比都不为n a n 2n S An Bn =+零，为的类指数函数，.n a n (1)nn S A Aq q =-≠三、解答题17．已知，求的值．3tan 4α=π2sin(π)sin 2πcos()4cos 2αααα⎛⎫-+- ⎪⎝⎭⎛⎫-++ ⎪⎝⎭【答案】54-【分析】根据三角函数的基本关系式和诱导公式，化简得到原式，代入即可求解.2tan 114tan αα+=-【详解】由三角函数的基本关系式和诱导公式，可得π2sin(π)sin 2sin cos 2πcos 4sin cos()4cos 2αααααααα⎛⎫-+- ⎪+⎝⎭=-⎛⎫-++ ⎪⎝⎭． 3212tan 154314tan 4144αα⨯++===---⨯18．的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知. ABC A cos cos 2cos a C c A b B +=（1）求B ；（2）若的面积为的周长. b =ABC AABC A 【答案】（1）；（2）3B π=6+【解析】（1）根据正弦定理以及两角和的正弦公式即可求出，进而求出； 1cos 2B =B （2）根据余弦定理可得到，再根据三角形面积公式得到 ，即可求出()2312a b ab +-=8ab =，进而求出的周长.6a b +=ABC A 【详解】解：（1）， cos cos 2cos a C c A b B += 由正弦定理得：， sin cos sin cos 2sin cos A C C A B B +=整理得：， ()sin 2sin cos sin A C B B B +==∵在中，， ABC A 0B π<<∴， sin 0B ≠即， 2cos 1B =∴， 1cos 2B =即；3B π=（2）由余弦定理得：，(222122a c ac =+-⋅∴， ()2312a c ac +-=∵，1sin 2S ac B ===∴，8ac =∴， ()22412a c +-=∴，6a c +=∴的周长为.ABC A 6+19．记Sn 为等差数列的前n 项和，已知a 9=－4，a 10+a 12=0. {}n a （1）求的通项公式； {}n a （2）求Sn ，并求Sn 的最小值.【答案】（1）；（2），最小值为． 222n a n =-221441(24n S n =--110-【分析】（1）由等差数列通项公式列出方程组，求出，．由此能求出的通项公120a =-2d ={}n a 式．（2）由，．求出．从而当或时，的最小值为120a =-2d =221441(24n S n =--10n =11n =n S 110-．【详解】（1）∵为等差数列的前n 项和，，．n S {}n a 94a =-10120a a +=∴， 111849110a d a d a d +=-⎧⎨+++=⎩解得，．120a =-2d =∴的通项公式为． {}n a ()2012222n a n n =-+-⨯=-（2）∵，．120a =-2d =∴． ()2212144120221(224n n n S n n n n -=-+⨯=-=--为开口向上的二次函数，对称轴为，又212n =*n ∈N ∴当或时，的最小值为．10n =11n =n S 110-20．已知二次函数的图象开口向上，且在区间上的最小值为0和最大值2()2g x ax ax b =++[2,2]-为9.（1）求的值；,a b （2）若，且，函数在上有最大值9，求k 的值. 0k >1k ≠()x g k [1,1]-【答案】（1）；（2）或. 1a b ==2k =12k =【分析】（1）根据二次函数解析式确定其对称轴，再由其开口方向，得到其在给定区间的单调性，推出，，列出方程求解，即可得出的值；min ()g x b a =-max ()8g x b a =+,a b （2）根据（1）得到函数解析式，令，分别讨论和两种情况，根据二次函数与x t k =1k >01k <<指数函数单调性，结合函数最值列出方程求解，即可得出结果.【详解】（1）因为二次函数的对称轴为；且其图象开口向上，则； 2()2g x ax ax b =++=1x -0a >所以在上单调递减，在上单调递增，2()2g x ax ax b =++[2,1]--(]1,2-则，又，，所以， min ()(1)g x g b a =-=-(2)g b -=(2)8g b a b =+>max ()(2)8g x g b a ==+因为在区间上的最小值为0和最大值为9，2()2g x ax ax b =++[2,2]-所以，解得；089b a b a -=⎧⎨+=⎩1a b ==（2）由（1）知，是开口向上，且对称轴为的二次函数； 2()21g x x x =++=1x -令，x t k =当时，单调递增，由可得，则在上单调递增，1k >x t k =[]1,1x ∈-1,xt k k k ⎡⎤=∈⎢⎥⎣⎦()g t 1,t k k ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦所以，解得或（舍），则；2max ()()(1)9g t g k k ==+=2k =4k =-2k =当时，单调递减，由可得，则在上单调递增，01k <<x t k =[]1,1x ∈-1,xt k k k ⎡⎤=∈⎢⎥⎣⎦()g t 1,t k k ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦所以，解得或（舍），则； 2max11()19g t g k k ⎛⎫⎛⎫==+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭12k =14k =-12k =综上，或. 2k =12k =【点睛】思路点睛：求解含指数的二次函数的最值问题时，一般需要利用二次函数与指数函数的单调性，判定所给函数在给定区间的单调性，由函数单调性即可求出最值. 21．已知数列是公差为2的等差数列，数列是公比为2的等比数列．{}2nn a -{}21nan -+(1)求数列的通项公式； {}n a (2)记，且为数列的前n 项和，求证：． ()()111232n n n b n a ++=+-n T {}n b 16n T <【答案】(1)221nn a n =+-(2)证明见解析【分析】（1）首先由等差数列与等比数列的通项公式建立方程组，求出，从而可求得； 1a n a （2）首先由（1）求出，然后利用裂项相消法证明即可．n b 【详解】（1）由题意知，即 ()()()11122212112n n n na a n a n a -⎧-=-+-⎪⎨-+=-⋅⎪⎩()11112224,,1221n n n n a n a a a n --⎧=⋅++-⎪⎨=-⋅+-⎪⎩比较系数得所以，1121,41,a a =-⎧⎨-=-⎩13a =所以．221nn a n =+-（2）由（1）得，()()1111232122123n b n n n n ⎛⎫==- ⎪++++⎝⎭所以 1111111111112355721232323646n T n n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+⋅⋅⋅+-=-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥++++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，1046n >+16n T ∴<22．已知函数．()21cos cos 22cos 2f x x x x x =+-(1)求函数的最小正周期；()f x (2)当时，求函数的值域．ππ,612x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦()f x 【答案】(1)π2(2) []2,1-【分析】（1）根据二倍角正弦公式，余弦公式，辅助角公式，化简整理，可得解析式，根据最()f x 小值正周期公式，即可得答案. （2）根据x 的范围，可得的范围，根据正弦型函数的性质，即可得答案. π46x -【详解】（1）解：()21cos cos 22cos 2f x x x x x =+-， 2π12cos 22cos 24cos 42sin 46x x x x x x ⎛⎫=+-=-=- ⎪⎝⎭所以函数的最小正周期为． ()f x 2ππ42T ==（2）由，知， ππ,612x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦π5ππ4,666x ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦当时，的最小值为-1， π462x π-=-πsin 46x ⎛⎫- ⎪⎝⎭当时，的最大值为， π466x π-=πsin 46x ⎛⎫- ⎪⎝⎭12所以，则， π1sin 41,62x ⎛⎫⎡⎤-∈- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦[]π2sin 42,16x ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭故函数的值域是． ()f x []2,1-。
四川省绵阳市 高二(上)入学数学试卷
四川省绵阳市高二（上）入学数学试卷一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.sin15°的值为（）A. B. C. D.2.设x、y∈R+，且x≠y，a=，b=，c=，则a，b，c的大小关系为（）A. B. C. D.3.如图为某四面体的三视图（都是直角三角形），则此四面体的表面三角形为直角三角形的个数为（）A. 1B. 2C. 3D. 44.空间三条不同直线l，m，n和三个不同平面α，β，γ，给出下列命题：①若m⊥l且n⊥l，则m∥n；②若m∥l且n∥l，则m∥n；③若m∥α且n∥α，则m∥n；④若m⊥α，n⊥α，则m∥n；⑤若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β；⑥若α∥γ，β∥γ，则α∥β；⑦若α⊥l，β⊥l，则α∥β．其中正确的个数为（）A. 6B. 5C. 4D. 35.在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，下列关系式正确的是（）A. B.C. D.6.函数f（x）=a sin x+cos x关于直线x=对称，则a的取值集合为（）A. B. C. D.7.等差数列{a n}和等比数列{b n}中，给出下列各式：①a7=a3+a4；②a2+a6+a9=a3+a4+a10；③b7b9=b3b5b8；④b62=b2b9b13．其中一定正确的个数为（）A. 1B. 2C. 3D. 48.数列{a n}的前n项和S n满足S n=n2a n且a1=2，则（）A. B. C. D.9.给出下列命题：①若a2＞b2，则|a|＞b；②若|a|＞b，则a2＞b2；③若a＞|b|，则a2＞b2；④若a2＞b2，则a＞|b|．其中一定正确的命题为（）A. ②④B. ①③C. ①②D. ③④10.对于非零向量，，，则（）A. B. 若，则C. D. 若，则11.若sinα，sin2α，sin4α成等比数列，则cosα的值为（）A. 1B. 0C.D. 或112.点O、I、H、G分别为△ABC（非直角三角形）的外心、内心、垂心和重心，给出下列关系式①=；②sin2A•+sin2B•+sin2C•=；③a+b+c=；④tan A•+tan B•+tan C•=．其中一定正确的个数是（）A. 1B. 2C. 3D. 4二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.等差数列{a n}的前n项和为S n，若S9=81，a k-4=191，S k=10000，则k的值为______ ．14.三棱锥P-ABC中，∠APB=∠APC=∠CPB=40°，PA=5，PB=6，PC=7，点D、E分别在棱PB、PC上运动，则△ADE周长的最小值为______ ．15.若平面向量，满足|2|≤3，则的最小值是______ ．16.已知函数f（x）=sin6x+cos6x，给出下列4个结论：①f（x）的值域为[0，2]；②f（x）的最小正周期为；③f（x）的图象对称轴方程为x=（k∈Z）；④f（x）的图象对称中心为（，）（k∈Z）其中正确结论的序号是______ （写出全部正确结论的序号）三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.若对任意实数x，不等式x2-mx+（m-1）≥0恒成立（1）求实数m的取值集合；（2）设a，b是正实数，且n=（a+）（mb+），求n的最小值．18.如图，四边形ABCD中，若∠DAB=60°，∠ABC=30°，∠BCD=120°，AD=2，AB=5．（1）求BD的长；（2）求△ABD的外接圆半径R；（3）求AC的长．19.△ABC中，a=4，b=5，C=，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，点D在边AB上，且=．（1）用和表示；（2）求|CD|．20.四面体ABCD中，已知AB⊥面BCD，且∠BCD=，AB=3，BC=4，CD=5．（1）求证：平面ABC⊥平面ACD；（2）求此四面体ABCD的体积和表面积；（3）求此四面体ABCD的外接球半径和内切球半径．21.△ABC中（非直角三角形），角A、B、C所对的边分别为a，b，c．（1）求证：tan A+tan B+tan C=tan A tan B tan C；（2）若tan A：tan B：tan C=6：（-2）：（-3），求a：b：c．22.在等比数列{a n}的前n项和为S n，S n=2n+r（r为常数），记b n=1+log2a n．（1）求r的值；（2）求数列{a n b n}的前n项和T n；（3）记数列{}的前n项和为P n，若对任意正整数n，都有P2n+1+≤k+P n，求实数k的最小值．答案和解析1.【答案】C【解析】解：sin15°=sin（45°-30°）=sin45°cos30°-cos45°sin30°=-=，故选：C．利用两角差的正弦公式，求得要求式子的值．本题主要考查两角差的正弦公式的应用，属于基础题．2.【答案】B【解析】解：x、y∈R+，且x≠y，∴＞，＜=，∴a＞b＞c，故选：B．直接根据基本不等式即可判断．本题主要考查了基本不等式的应用，属于基础题．3.【答案】D【解析】解：根据三视图得出几何体为三棱锥，AB⊥面BCD，BC⊥CD，∴AB⊥BC，AB⊥AD．CD⊥面ABC，CD⊥AC，RT△ABC，RT△ABD，RT△DBC，RT△ADC，共有4个，故选：D根据三视图的几何体的结构特征，利用直线平面的垂直判断即可．本题考查了学生的空间思维能力，直线平面的垂直问题，属于容易题，确定几何体的结构特征是解题的关键．4.【答案】C【解析】解：①若m⊥l且n⊥l，则m与n可能平行、相交或者异面；故①错误；②若m∥l且n∥l，根据平行公理得到m∥n；②正确；③若m∥α且n∥α，则m∥n或者相交或者异面；故③错误；④若m⊥α，n⊥α，根据线面垂直的性质定理得到m∥n；故④正确；⑤若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β或者相交；故⑤错误；⑥若α∥γ，β∥γ，则α∥β；正确⑦若α⊥l，β⊥l，根据线面垂直的性质定理和面面平行的判定定理得到α∥β．故⑦正确；所以正确的有四个；故选C．利用空间直线与直线，线面平行和面面平行的判定定理和性质定理分别分析解答．本题考查了空间直线与直线，线面关系和面面关系的判定；熟练掌握相关的定理是关键．5.【答案】B【解析】解：∵A+B+C=π，∴sinA=sin（B+C）=sinBcosC+cosBsinC，∴由正弦定理可得：a=bcosC+ccosB，故选：B．利用三角形内角和定理，两角和的正弦函数公式可得sinA=sinBcosC+cosBsinC，利用正弦定理即可得解B正确．本题主要考查了三角形内角和定理，两角和的正弦函数公式，正弦定理在解三角形中的应用，属于基础题．6.【答案】A【解析】解：由题意，f（x）=asinx+cosx=sin（x+θ），其中tanθ=，∵其图象关于直线x=对称，∴θ+=kπ+，k∈z，∴θ=kπ+，k∈z，∴tanθ==1，∴a=1，故选：A．由题意f（x）=sin（x+θ），其中tanθ=，再根据f（x）的图象关于直线x=对称，求得a的值．本题考查正弦函数的对称性，解题的关键是将解析式化简然后根据其图象关于直线x=对称，求出参数a的值．7.【答案】A【解析】解：设等差数列{a n}的公差是d，等比数列{b n}的公比是q，①、因为a7=a1+6d，a3+44=2a1+5d，所以只有当a1=d时a3+a4成立，①不正确；②、因为a2+a6+a9=3a1+14d，a3+a4+a10=3a1+14d，所以a2+a6+a9=a3+a4+a10，②正确；③、因为b7b9=（b1q6）（b1q8）=，b3b5b8=，所以当b1=q时b7b9=b3b5b8成立，③不正确；④、因为b62=，b2b9b13=，所以当=1时b62=b2b9b13，④不正确，所以一定正确的个数是1，故选A．设等差数列{a n}的公差是d，等比数列{b n}的公比是q，根据等差数列的通项公式判断①②，根据等比数列的通项公式判断③④．本题考查等差、等比数列的通项公式的应用，考查化简、变形能力．8.【答案】A【解析】解：由题意得，S n=n2a n，当n≥2时，a n=S n-S n-1=n2a n-[（n-1）2a n-1]，化简得，，则，，，…，以上n-1个式子相乘得，=，又a1=2，则a n=，故选：A．由题意和当n≥2时a n=S n-S n-1化简已知的等式，得到数列的递推公式，利用累积法求出a n．本题考查了数列递推公式的化简，当n≥2时a n=S n-S n-1，以及累积法求出数列的通项公式，属于中档题．9.【答案】B【解析】解：对于①a2＞b2⇔|a|2＞|b|2⇔|a|＞|b|，故正确，对于②若a=1，b=-2，虽然满足若|a|＞b，但a2＞b2不成立，故不正确，对于③a＞|b|⇌a2＞|b|2，则a2＞b2，故正确，对于④，若a=-2，b=1，虽然满足a2＞b2，但是a＞|b|不成立，故不正确，故其中一定正确的命题为①③，故选：B利用不等式的性质可得①③正确，举反例可以判断②④错误．本题考查了不等式的性质和命题的真假判定，属于基础题．10.【答案】D【解析】解∵•是一个实数，故（•）•是与共线的向量，同理，•（•）是与共线的向量，∴它们不一定相等，故A错误；由•=•，可得||||cos＜•＞=||||cos＜•＞即||cos＜•＞=||cos＜•＞，故不能得到=，故B错误；|•|=||•||cos＜•＞|≤||||，故C错误；根据向量加减法的几何意义，可知若+|和|-|分别是以和为邻边的平行四边形的两条对角线长度，它们相等，意味着四边形为矩形，故⊥，于是•=0，故D正确，故答案选：D．由向量的乘法及向量数量积的运算，即可求得答案．本题考查向量的数量积的定义，数量积公式的应用，考查分析问题及解决问题的能力，属于中档题．11.【答案】C【解析】解：∵sinα，sin2α，sin4α成等比数列，∴（sin2α）2=sinα•sin4α，则（sin2α）2=sinα•2sin2αcos2α，又sin2α≠0，∴sin2α=sinα•2cos2α，2sinαcosα=sinα•2cos2α，又sinα≠0，cosα=cos2α，即2cos2α-cosα-1=0，解得cosα=或1，当cosα=1时，sinα=0，舍去，∴cosα的值是，故选C．由等比中项的性质列出方程，由二倍角的正弦公式、sin2α≠0、sinα≠0化简，由二倍角的余弦公式变形列出方程求解，结合条件求出cosα的值．本题考查了二倍角的正弦公式，二倍角的余弦公式变形，以及等比中项的性质，注意等比数列的项不能为零，属于中档题．12.【答案】D【解析】解：对于①，点G是△ABC的重心，如图①所示，所以==×（+）=（+），同理=（+），=（+），∴++=（+++++）=，所以=，命题正确；对于②，点O是△ABC的外心，如图②所示，OA=OB=OC，所以S△BOC：S△AOC：S△AOB═sin∠BOC：sin∠AOC：sin∠AOB=sin2A：sin2B：sin2C，所以sin2A•+sin2B•+sin2C•=，命题正确；对于③，点I是△ABC的内心，如图所示，所以S△BIC：S△AIC：S△AIB=a：b：c，所以a+b+c=，命题正确；对于④，点H是△ABC（非直角三角形）的垂心，如图所示，所以S△BHC：S△AHC：S△ANB=tanA：tanB：tanC，所以tanA•+tanB•+tanC•=，命题正确．综上，以上正确的命题有4个．故选：D．根据三角形（非直角三角形）的外心、内心、垂心和重心的向量表示与运算性质，对选项中的命题逐一进行分析、判断正误即可．本题考查了非直角三角形的外心、内心、垂心和重心的向量表示与性质的应用问题，是综合性题目．13.【答案】100【解析】解：∵等差数列{a n}的前n项和为S n，S9=81，a k-4=191，S k=10000，∴S9==81，解得a5=9，∴a1+a k=a5+a k-4=9+191=200，S k==100k=10000，解得k=100．故答案为：100．由S9==81，求出a5=9，再求出a1+a k=a5+a k-4=9+191=200，由此利用S k=10000，能求出k．本题考查等差数列的项数的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意等差数列的性质的合理运用．14.【答案】5【解析】解：如图，沿棱PA将三棱锥侧面剪开并展开，可得展开图如图，此时|PA|=|PA′|=5，且角APA′=120°，∴△ADE周长的最小值为|AA′|=．故答案为：．把已知三棱锥沿棱PA将三棱锥侧面剪开并展开，可得展开图如图，再由余弦定理求得答案．本题考查棱锥的结构特征，考查与多面体有关的最值问题，体现了数学转化思想方法，是中档题．15.【答案】-【解析】解：∵平面向量满足|2|≤3，∴，∴≥=4||||≥-4，∴，∴，故的最小值是-．故答案为：-．由平面向量满足|2|≤3，知，故≥=4||||≥-4，由此能求出的最小值．本题考查平面向量数量积的求法，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答．16.【答案】②③④【解析】解：y=sin6x+cos6x=（sin2x+cos2x）（sin4x-sin2xcos2x+cos4x）=1•（sin2x+cos2x）2-3sin2xcos2x=1-sin22x=+cos4x，①、因为-1≤cos4x≤1，所以f（x）的值域为[，1]，①不正确；②、由T==得，f（x）的最小正周期为，②正确；③、由4x=kπ（k∈Z）得，f（x）图象的对称轴方程是，③正确；④、由得，，则f（x）的图象对称中心为（，）（k∈Z），④正确，综上可得，正确的命题是②③④，故答案为：②③④．利用公式a3+b3=（a+b）（a2-ab+b2）化简y=sin6x+cos6x，再由二倍角公式化简解析式，根据余弦函数的值域判断①；由三角函数的周期公式判断②；由余弦函数的对称轴方程和整体思想，求出f（x）的对称轴判断③；由余弦函数的对称中心和整体思想，求出f（x）的对称对称中心判断④．本题考查余弦函数的图象与性质，二倍角的余弦公式，以及立方和公式的应用，考查整体思想，化简、变形能力17.【答案】解：（1）∵x2-mx+（m-1）≥0在R恒成立，∴△=m2-4（m-1）≤0，解得：m=2，故m∈{2}；（2）∵m=2，a，b是正实数，∴n=（a+）（mb+）=（a+）（2b+）=2ab++≥2+=，故n的最小值是．【解析】（1）根据二次函数的性质求出m的值即可；（2）根据基本不等式的性质求出n的最小值即可．本题考查了二次函数的性质，考查基本不等式的性质，是一道中档题．18.【答案】解：如图，由∠DAB=60°，∠BCD=120°，可知四边形ABCD为圆内接四边形，（1）在△ABD中，由∠DAB=60°，AD=2，AB=5，利用余弦定理得：BD2=AB2+AD2-2AB•AD•cos∠DAB=．∴；（2）由正弦定理得：，则△ABD的外接圆半径R=；（3）在△ABC中，由正弦定理得：，∴AC=．【解析】由题意可得，四边形ABCD为圆内接四边形．（1）直接运用余弦定理求得BD的长；（2）由正弦定理求得△ABD的外接圆半径R；（3）在△ABC中，由正弦定理得AC的长．本题考查三角形的解法，考查了正弦定理和余弦定理的应用，关键是四点共圆的判断，是中档题．19.【答案】解：（1）∵=，∴=，即=，则=+=+=+（-）=+．（2）∵a=4，b=5，C=，∴•=||||cos120°=4×=-10．∵=+．∴2=（+）2=2+2×ו+2=×25+2×ו（-10）+×16=，则|CD|==．【解析】（1）根据向量基本定理即可用和表示；（2）根据向量数量积与向量长度之间的关系转化为向量数量积进行计算即可求|CD|．本题主要考查向量数量积的应用，根据向量基本定理用和表示是解决本题的关键．20.【答案】（1）证明：∵AB⊥面BCD，CD⊂面BCD，∴AB⊥CD，∵∠BCD=，∴CD⊥BC，∵AB∩BC=B，∴CD⊥平面ABC，∵CD⊂平面ACD，∴平面ABC⊥平面ACD；（2）解：此四面体ABCD的体积V==10表面积S==；（3）解：此四面体ABCD的外接球的球心是AD的中点，半径为=设内切球半径为r，则（）r=10，∴r=．【解析】（1）证明CD⊥平面ABC，即可证明：平面ABC⊥平面ACD；（2）利用体积、面积公式求出此四面体ABCD的体积和表面积；（3）此四面体ABCD的外接球的球心是AD的中点，即可求此四面体ABCD 的外接球半径．利用等体积求出内切球半径．本题考查平面与平面垂直的判定，考查几何体的体积、表面积的计算，考查四面体ABCD的外接球半径和内切球半径．属于中档题．21.【答案】（1）证明：∵△ABC不是直角三角形，∴A、B、C均不为直角，且A+B+C=π，任意两角和不为，由两角和的正切公式可得tan（A+B）=，∴tan A+tan B=tan（A+B）（1-tan A tan B）=tan（π-C）（1-tan A tan B）=-tan C（1-tan A tan B）∴tan A+tan B+tan C=-tan C（1-tan A tan B）+tan C=tan A tan B tan C；（2）由tan A：tan B：tan C=6：（-2）：（-3），设tan A=6k，tan B=-2k，tan C=-3k，代入（1）得到k=36k3，因为△ABC非直角三角形，并且最多一个钝角，所以k=-，即tan A=-1，tan B=，tan C=，所以A=135°，sin B=，sin C=，所以a：b：c=sin A：sin B：sin C=：：=5：：2．【解析】（1）利用三角形的内角和定理以及由题意可得各个正切有意义，由两角和的正切公式变形可得tanA+tanB=tan（A+B）（1-tanAtanB），整体代入式子坐标由诱导公式化简可得；（2）结合（1）的结论设比例系数为k，求出k，得到tanA、tanB、tanC，利用三角函数的基本公式求出sinA，sinB，sinC，结合正弦定理求a：b：c．本题考查了三角函数的两角和公式以及正弦定理的运用；属于中档题．22.【答案】解：（1）等比数列{a n}的前n项和为S n，S n=2n+r，可得a1=S1=2+r；a n=S n-S n-1=2n+r-（2n-1+r）=2n-1，上式对n=1也成立，即有2+r=1，解得r=-1．（2）b n=1+log2a n=1+log22n-1=1+n-1=n，数列{a n b n}的前n项和T n=1•20+2•2+3•22+…+n•2n-1，2T n=1•2+2•22+3•23+…+n•2n，两式相减可得，-T n=1+2+22+…+2n-1-n•2n=-n•2n，化简可得，T n=（n-1）•2n+1；（3）数列{}的前n项和为P n=1+++…+，P2n+1+≤k+P n，即为1+++…++…++≤k+1+++…+，化为k≥++…+，可设f（n）=++…+，f（n+1）-f（n）=+…+++-（++…+）=+-=-＜0，即有f（n）在自然数集上递减，可得f（1）取得最大值，且为1++=．则k≥．即实数k的最小值为．【解析】（1）由a1=S1，a n=S n-S n-1，可得数列{a n}的通项，即可得到r=-1；（2）b n=n，a n b n=n•2n-1，运用数列的求和方法：错位相减法，化简整理，结合等比数列的求和公式，即可得到所求和；（3）化简P2n+1+≤k+P n，即为1+++…++…++≤k+1+++…+，化为k≥++…+，可设f（n）=++…+，作差f（n+1）-f（n），判断单调性，可得最大值为f（1），即可得到k的最小值．本题考查等比数列的通项公式的求法，注意运用数列的通项与求和的关系，考查数列的求和方法：错位相减法，同时考查数列不等式的恒成立问题，注意运用分离参数和数列的单调性，考查化简整理的运算能力，属于中档题．。
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四川省高二上学期开学数学试卷
姓名:________ 班级:________ 成绩:________
一、选择题： (共12题；共24分)
1. （2分）设集合；；则为（）
A .
B .
C .
D .
2. （2分） (2019高三上·石城月考) 已知角的顶点为坐标原点，始边为轴正半轴，终边过点，则的值为（）
A .
B .
C .
D .
3. （2分） (2020高一下·番禺期中) 已知某地区中小学生人数和近视情况分别如图1和图2所示．为了解该地区中小学生的近视形成原因，用分层抽样的方法抽取4%的学生进行调查，则样本容量和抽取的高中生近视人数分别为（）
A . 400，40
B . 200，10
C . 400，80
D . 200，20
4. （2分） (2019高一上·杭州期中) 下列函数中，既是偶函数又在上单调递增的是（）
A .
B .
C .
D .
5. （2分） (2017高二下·杭州期末) 下列函数是奇函数的是（）
A . f（x）=x2+2|x|
B . f（x）=x•sinx
C . f（x）=2x+2﹣x
D .
6. （2分）(2019·揭阳模拟) 已知函数，其中是自然对数的底，若
，则实数的取值范围是（）
A .
B .
C .
D .
7. （2分）要得到函数的图像，只需要将函数的图像（）
A . 向右平移个单位
B . 向右平移个单位
C . 向左平移个单位
D . 向左平移个单位
8. （2分）如图，某几何体的正视图(主视图)是平行四边形，侧视图(左视图)和俯视图都是矩形，则该几何体的体积为（）
A .
B .
C .
D .
9. （2分）(2019·河北模拟) 如图所示的图形是弧三角形，又叫莱洛三角形，它是分别以等边三角形
的三个顶点为圆心，以边长为半径画弧得到的封闭图形.在此图形内随机取一点，则此点取自等边三角形内的概率是（）
A .
B .
C .
D .
10. （2分）(2019·宣城模拟) 在直角三角形中，，，，在
斜边的中线上，则的最大值为（）
A .
B .
C .
D .
11. （2分） (2017高二下·石家庄期末) 一个盒子里有7只好晶体管，3只坏晶体管，从盒子里先取一个晶体管，然后不放回的再从盒子里取出一个晶体管，若已知第1只是好的，则第2只是坏的概率为（）
A .
B .
C .
D .
12. （2分）是定义在R上的奇函数且单调递减，若，则a的取值范围是（）
A . a<1
B . a<3
C . a>1
D . a>3
二、填空题： (共4题；共4分)
13. （1分）设函数f（x）是定义在R上的周期为2的偶函数，当x∈[0，1]时，f（x）=x+1，则=________
14. （1分）如图的作用是交换两个变量的值并输出，则①处应为________
15. （1分） (2020高二下·上海期末) 太阳光线照于地面，与地面成角 .调整木棍角度可改变其在水平地面的影子长度.则长度为d的木棍在水平地面的影子最长为________.
16. （1分）已知，是空间两个向量，若| |=2，| |=2，| ﹣ |= ，则cos＜，
＞=________．
三、解答题： (共6题；共50分)
17. （5分） (2016高一上·金台期中) 设集合A={x|x2+4x=0}，B={x|x2+2（a+1）x+a2=1}，且B⊆A，求a 的值．
18. （5分）对一批电子元件进行寿命追踪调查，从这批产品中抽取N个产品（其中N≥200），得到频率分布直方图如表：
（Ⅰ）求m的值；
（Ⅱ）从频率分布直方图估算这批电子元件寿命的平均数、中位数的估计分别是多少？
（Ⅲ）现要从300～400及400～500这两组中按照分层抽样的方法抽取一个样本容量为36的样本，则在300～400及400～500这两组分别抽多少件产品．
19. （10分） (2016高一下·邯郸期中) 已知以点A（﹣1，2）为圆心的圆与直线m：x+2y+7=0相切，过点B （﹣2，0）的动直线l与圆A相交于M、N两点
（1）求圆A的方程．
（2）当|MN|=2 时，求直线l方程．
20. （10分） (2016高一下·淄川期中) 如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧面ABB1A1 ， ACC1A1均为正方形，AB=AC=1，∠BAC=90，点D是棱B1C1的中点．
（1）求证：AB1∥平面A1DC；
（2）求证：A1D⊥平面BB1C1C．
21. （10分） (2017高二下·双流期中) 已知函数．
（1）求函数y=f（x）的最小正周期；
（2）已知△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且a，b，c成等比数列，求f（B）的范围．
22. （10分） (2016高一下·三原期中) f（x）=2cos2x﹣2acosx﹣1﹣2a的最小值为g（a），a∈R
（1）求g（a）；
（2）若g（a）= ，求a及此时f（x）的最大值．
参考答案一、选择题： (共12题；共24分)
答案：1-1、
考点：
解析：
答案：2-1、
考点：
解析：
答案：3-1、
考点：
解析：
答案：4-1、
考点：
解析：
答案：5-1、考点：
解析：
答案：6-1、考点：
解析：
答案：7-1、考点：
解析：
答案：8-1、考点：
解析：
答案：9-1、考点：
解析：
答案：10-1、考点：
解析：
答案：11-1、考点：
解析：
答案：12-1、
考点：
解析：
二、填空题： (共4题；共4分)答案：13-1、
考点：
解析：
答案：14-1、考点：
解析：
答案：15-1、考点：
解析：
答案：16-1、
考点：
解析：
三、解答题： (共6题；共50分)
答案：17-1、考点：
解析：
答案：18-1、考点：
解析：
答案：19-1、
答案：19-2、考点：
解析：
答案：20-1、
答案：20-2、考点：
解析：
答案：21-1、
答案：21-2、考点：
解析：
答案：22-1、
答案：22-2、考点：
解析：。