4.5 标准正交基与正交矩阵
判断正交矩阵的方法
判断正交矩阵的方法
正交矩阵是一个方阵，其列向量是一个标准正交基，即互相垂直且长度为1。
判断一个矩阵是否为正交矩阵的方法如下：
1. 求矩阵的逆矩阵，如果它的转置矩阵和逆矩阵相等，则该矩阵为正交矩阵。
2. 求矩阵的列向量的内积，如果每个向量的内积都等于0，且每个向量的长度等于1，则该矩阵为正交矩阵。
3. 判断矩阵的行向量是否满足互相垂直且长度为1的条件，如果满足则该矩阵为正交矩阵。
4. 对于实对称矩阵而言，如果其特征值都为实数且正交，则该矩阵为正交矩阵。
需要注意的是，正交矩阵的行列式值为1或-1，其特征值的模长均为1。
在实际应用中，正交矩阵被广泛用于线性代数、数值计算和图像处理等领域，具有重要的理论和实际意义。
标准正交基
A1
,
A2
,
An
, An En
（8）
练习：
1.设1 (0,1,1,0,0),2 (1,1,0,1,0),3 (4,5,0,0,1). 求L(1, 2 ,3 )的一个标准正交基.
答案：
标准正交基为：
1
1 2
(0,1,1,0,0), 2
1 10
因为 m n,
所以必有向量 不能被 1,2, ,m 线性表出，
作向量 m1 k11 k22 kmm ( 0)
ki R 待定．
证明续： 从正交向量组的性质知
(i ,m1 ) ( ,i ) ki (i ,i ), i 1, 2, , m.
证明 设有一组数 k1, k2 , , kr使得
k11 k22 krr 0 等号两边的向量分别和1作内积
k11 k22 krr , 1 0, 1 展开得 k1 1,1 k2 2,1 kr r ,1 0
L(1, 2 , , i ) L(1,2, ,i ), i 1, 2, , n
证： 基本方法─逐个构成出满足要求的 1,2 ,
首先，可取
1
1
| 1
|1
.
,n .
证明续：
一般地，假定已求出 1,2 , ,m 是单位正交的 ，且
L(1, 2 , , i ) L(1,2 , ,i ), i 1, 2, , m (4) 当 m n 时，因为有 m1 L(1, 2 , , m ), 由(4)知 m1不能被 1,2 , ,m线性表出．
于是取
ki
( ,i ) , (i ,i )
4.5 标准正交基与正交矩阵
试用施密特正交化过程把这组向量规范正交化.
解 取 b1 = a1 ;
1 1 1 4 5 [a2 ,b1 ] b2 a2 b1 3 2 1 ; 2 b1 1 6 1 3 1
是一个单位向量，称这
x x
一运算为将向量x标准化或单位化。 例如：单位化x
x (1,1,1)T ,
黄凤英 4.5 标准正交基与正交矩阵
3. 向量的夹角
向量的内积满足施瓦茨不等式
[ x, y ]2 ≤ [ x, x ][ y, y ] ,
由此可得
[ x,y] 1 x y
(当 || x || || y || 0 时),
黄凤英 4.5 标准正交基与正交矩阵
例 5 已知R3中两个向量
a1 (1,1,1) , a2 (1, 2,1) ,
T T
求a3，使得a1 , a2 , a3为R3的一组正交基，并求 T a ( 1 , 1 , 1 ) , 求一组非零向量 例 5 已知 1 与之等价的标准正交基。 a2 , a3 使 a1 , a2 , a3 两两正交.
y
y T y x T P T Px x T x x .
|| y || = || x || 说明经正交变换线段长度保持不变，
黄凤英 4.5 标准正交基与正交矩阵
步骤 1 : 求 V 的任意一个基 a1 , · · · , a r; 步骤 2 : 用施密特正交化过程把 a1 , · · · , ar
正交化, 得正交基 b1 , · · · , br ;
步骤 3 : 把 正交基 b1 , · · · , br 单位化即得 V
线性代数第四章第二节 Rn中向量的内积标准正交基和正交矩阵(2014版)
(1 , 3
2, 3
2 )T 3
(
2,1, 33
2 )T 3
(
2, 3
2 , 1)T . 33
解：设所求坐标为 (x1, x2, x3)T , 因为 B { }是 R3 的一个标准正交基, 所以
x1 ( )
1
1 3
2
2 3
3
2 3
3
x2
( )
1
2 3
2
1 3
3
2 3
x ·y = x1 y1 + x2 y2 + x3 y3 .
由此引出了向量的长度(即模)和两向量夹角的概念: | x | x12 x22 x32 ,
arccos x y .
| x|| y|
我们把两向量的数量积的概念向 n 维向量推广:
定义1:
设有n维向量
x
x1 x2 xn
,
由（2）式两边对 1 作内积有：
(3, 1)
k2(2, 1)
k1(1, 1)
0
k1
(3, 1) (1, 1 )
由（2）式两边对 2 作内积有：
(3, 2 )
k2(2, 2)
k1(1, 2 )
0
k2
(3, 2 ) ( 2 , 2 )
将 k, k1, k2 分别代入（1）、（2）式得：
1 1
2
2
§4.2 Rn中向量的内积 标准正交基和正交矩阵
一、向量内积的定义及性质
在解析几何中有两向量的数量积的概念, 即设x, y 为两向量, 则它们的数量积为:
x ·y = | x || y | cos .
设向量x, y 的坐标表示式为 x = (x1, x2, x3), y = (y1, y2, y3), 则
标准正交基
ki R 待定．
§2 标准正交基
从正交向量组的性质知
( i , m1 ) ( , i ) ki ( i , i ),
于是取
( , i ) ki , ( i , i )
i 1,2, , m .
i 1,2, , m ,
可得 ( i , m 1 ) 0 ,
( i , j ) 1 i j， 0 i j
i , j 1,2,, n
(1)
③ n 维欧氏空间V中的一组基 1 , , n 为标准正交基 当且仅当其度量矩阵 A ( i , j ) En . ④ n 维欧氏空间V中标准正交基的作用: 设 1 , , n为V的一组标准正交基，则
§2 标准正交基
例2. 在 R[ x ]4 中定义内积为
( f , g ) f ( x ) g( x )dx
1 1
求 R[ x ]4 的一组标准正交基． (由基 1, x , x 2 , x 3 出发作正交化)
2 3 1, x , x , x 解: 取 1 2 3 4
§2 标准正交基
3
3 x i y j z k , x i y j z k R 设 1 1 1 2 2 2 ① 从 ( , i ) x1 , ( , j ) y1 , ( , k ) z1 得 ( , i ) i ( , j ) j ( , k ) k
2 再单位化得标准正交向量组 1 ,2 ,,m .
i
1 | i |
i , i 1,2,, m
§2 标准正交基
例1. 把 1 (1,1,0,0), 2 (1,0,1,0),
线性代数(第二版)第六节Rn 的标准正交基
T(a1,a2, ,an)b bn 2a1b1a2b2anbni n1aibi
称为向量 与 的内积. 显然， T R .
例如，设 = (1, 1, 1, 1)T , = (1, -2, 0, -1)T , = (3, 0, -1, -2)T , 则
如果一个正交向量组中的每一个向量都是单位
向量，则称该向量组为正交单位向量组.
由正交的定义可知，Rn 中的零向量与任意向量
都正交； 又由内积的性质
内积的性质
(1) T = T ; (2) (k )T = kT ; (3) ( + )T = T + T ; (4) T 0 , 且 T = 0 = 0 .
即 在 标 准 基 下 的 坐 标 为 (d1 , d2 , … , dn) ， 恰 为 的各个分量.
设 在基 1 , 2 , … , n 下 的坐标 为 (x1 , x2 , … , xn)
则有 x11 + x22 + … + xnn =
二、向量的内积
1. 内积的定义 定义 2.18 设 = (a1 , a2 , … , an)T , = (b1 , b2
则对于任意 Rn， 可以表为 1 , 2 , … , n 的线
性组合，且表示法唯一， 即存在 a1 , a2 , … , an R , 使
= a11 + a22 + … + ann
则称组合系数 a1 , a2 , … , an 为 在基1 , 2 , … , n
下的坐标，记作 ( a1 , a2 , … , an ) .
第六节 Rn 的标准正交基
向量空间的基 向量的内积 向量的长度 标准正交基 正交矩阵
正交矩阵公式
正交矩阵公式正交矩阵是线性代数中的一个重要概念，它在许多领域中都有广泛的应用。
正交矩阵具有许多有趣的性质和特点，本文将介绍正交矩阵的定义、性质以及相关应用。
一、正交矩阵的定义正交矩阵是指矩阵的转置与逆矩阵相等的方阵。
具体而言，对于一个n阶矩阵A，如果有A^T*A=I，其中I为单位矩阵，则称A为正交矩阵。
二、正交矩阵的性质1. 正交矩阵的行（列）向量是单位向量，并且两两正交。
2. 正交矩阵的行（列）向量构成一组标准正交基。
3. 正交矩阵的逆矩阵也是正交矩阵。
4. 两个正交矩阵的乘积仍然是正交矩阵。
5. 正交矩阵的行列式的值只能为1或-1。
三、正交矩阵的应用1. 旋转变换正交矩阵可以表示空间中的旋转变换。
例如，对于二维平面上的一个向量进行逆时针旋转θ度，可以通过乘以一个二阶正交矩阵来实现。
同样地，对于三维空间中的向量进行旋转变换也可以利用正交矩阵来表示。
2. 坐标系变换正交矩阵还可以用于不同坐标系之间的变换。
例如，对于二维平面上的一个向量，可以通过乘以一个二阶正交矩阵来实现从笛卡尔坐标系到极坐标系的转换。
3. 图像处理在图像处理中，正交矩阵常用于图像的压缩和变换。
例如，离散余弦变换（DCT）是一种常用的图像压缩方法，其中正交矩阵被用来将图像从空域转换到频域，实现对图像数据的压缩和编码。
4. 物理学中的对称性正交矩阵在物理学中的对称性研究中有重要的应用。
例如，对称矩阵的特征向量是正交的，可以通过正交矩阵的对角化来研究对称矩阵的性质和特征。
5. 数值计算正交矩阵在数值计算中也有广泛的应用。
例如，正交矩阵可以用于求解线性方程组、矩阵的特征值和特征向量等问题，通过正交矩阵的特殊性质可以提高计算的效率和稳定性。
四、总结正交矩阵是一类特殊的方阵，具有许多有趣的性质和应用。
它在几何、物理学和计算机科学等领域中都有广泛的应用。
通过研究正交矩阵的定义、性质和应用，我们可以更好地理解线性代数的概念和方法，并将其应用于实际问题的求解中。
线性代数中的正交矩阵性质与使用注意事项
线性代数中的正交矩阵性质与使用注意事项线性代数是数学的一个重要分支，研究向量空间和线性映射的性质与结构。
在线性代数中，正交矩阵是一个非常重要的概念，它具有许多独特的性质和应用。
本文将探讨正交矩阵的性质以及在实际应用中的注意事项。
首先，正交矩阵是指一个方阵，其列向量两两正交且长度为1。
这意味着正交矩阵的转置等于其逆，即Q^T = Q^(-1)。
这个性质非常重要，因为它保证了正交矩阵的行列式值为1或-1。
这一性质在许多应用中起到了关键作用，例如在旋转变换中，正交矩阵可以用来保持向量的长度和夹角不变。
其次，正交矩阵的行向量和列向量都构成一个标准正交基。
标准正交基是指向量之间两两正交且长度为1的向量组。
正交矩阵的行向量和列向量都满足这一条件，因此它们可以作为一个标准正交基来表示向量空间中的向量。
这个性质在计算机图形学和信号处理等领域中得到了广泛应用，例如在三维空间中，可以使用正交矩阵来表示旋转和变换操作。
此外，正交矩阵具有保持向量长度和夹角不变的性质。
当一个向量与一个正交矩阵相乘时，其长度和夹角都不会发生改变。
这一性质在许多实际问题中非常有用，例如在图像处理中，可以使用正交矩阵来进行图像的旋转和缩放操作，而不会改变图像中物体的形状和大小。
然而，在使用正交矩阵时，也需要注意一些问题。
首先，正交矩阵的计算可能会涉及到复杂的数学运算，特别是在高维空间中。
因此，在实际应用中，需要使用适当的数值方法来计算正交矩阵，以避免计算误差和数值不稳定性。
其次，正交矩阵的乘法不满足交换律，即AB不一定等于BA。
这一性质需要在使用正交矩阵时予以注意，特别是在矩阵相乘的顺序对结果产生影响的情况下。
例如，在图像处理中，如果先进行旋转再进行缩放，与先进行缩放再进行旋转得到的结果可能会不同。
最后，正交矩阵的逆等于其转置，因此正交矩阵是可逆的。
这一性质在求解线性方程组和计算矩阵的特征值和特征向量时非常有用。
然而，需要注意的是，正交矩阵的逆可能会导致数值不稳定性，特别是在接近奇异矩阵的情况下。
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· · · , ar 这个基标准正交化.
我们可以用以下方法把 a1 , a2 , · · · , ar 规范
正交化:
黄凤英 4.5 标准正交基与正交矩阵
取 b1 = a1 ;
[b1,a2 ] b2 a2 b1 ; [b1,b1 ]
2. 长度的性质
向量的长度具有下列性质: (1) 非负性 当 x 0 时, || x || > 0;
当 x = 0 时, || x || = 0.
(2) 齐次性 || x || = || || x || ;
(3) 三角不等式
当 x 0 时，
|| x + y || ≤ || x || + || y ||.
黄凤英 4.5 标准正交基与正交矩阵
1 1 1 1 b1 , 2 b2 , , r br , b1 b2 br
就得 V 的一个标准正交基. 上述从线性无关向量组 a1 , · · · , ar 导出正交
向量组 b1 , · · · , br 的过程称为施密特(Schimidt)
x (1,1,1)T ,
y (1, 2, 4)T ,
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二、内积的性质
设 x, y, z 为 n 维向量， 为实数，则内积有
下列性质：
（1） [x, y] = [y, x]; （2） [x, y] = [x, y];
（3） [x + y, z] = [x, z] + [y, z];
y
y T y x T P T Px x T x x .
|| y || = || x || 说明经正交变换线段长度保持不变，
黄凤英 4.5 标准正交基与正交矩阵
解 a2 , a3 应满足方程 a1Tx = 0, 即
x1 x2 x3 0 .
它的基础解系为
1 0 x1 0 , x 2 1 . 1 1
黄凤英 4.5 标准正交基与正交矩阵
六、正交矩阵
定义 4 设 A 为 n 阶实矩阵, 且 ATA = E ,
|A| = ;
(2) 实矩阵 A 为正交矩阵的充要条件是 AT 是 A 的
行(列)向量组是两两正交的单位向量组.
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七、正交变换
定义 5 若 P 为正交矩阵，则线性变换
y = Px 称为正交变换.
设 y = Px 为正交变换，则有
4.5 标准正交基与正交矩阵
黄凤英 信息科学与计算学院
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主要内容
内积的定义
内积的性质
向量的长度和夹角 正交向量组的性质
正交基与规范正交基
正交矩阵 正交变换
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一、内积的定义
定义1 设有 n 维向量
x1 y1 x2 y2 x ,y , x y n n
（4） [x, x] ≥ 0, 且当 x 0 时有 [x, x] > 0.
黄凤英 4.5 标准正交基与正交矩阵
在解析几何中，我们曾引进向量的数量积 x· y = |x| |y| cos ,
且在直角坐标系中，有
( x1, x2, x3 ) · (y1, y2 , y3 ) = x1y1 + x2y2 + x3y3 . 所以 n 维向量的内积是数量积的一种推广. 但 n 维向量没有 3 维向量那样直观的长度和夹角的概 念，因此只能按数量积的直角坐标计算公式来推 广. 并且反过来，利用内积来定义 n 维向量的长 度和夹角.
令 [x, y] = x1y1 + x2y2 + · · · + xnyn , [x, y] 称为向 量 x 与 y 的内积.
黄凤英 4.5 标准正交基与正交矩阵
内积是向量的一种运算，运算结果是一个实数
这种运算也可用矩 阵记号表示.
x 与 y 都是列向量，有
[x, y] = xTy = yTx . 例如：
[ x,y] 令 cos x y
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于是有下面的定义:
定义 当 || x || 0, || y || 0 时,
[ x,y] arccos x y
称为 n 维向量 x 与 y 的夹角. 当 [ x, y ] = 0 时, 称向量 x 与 y 正交. 显然,若
则称 A 为正交矩阵.
例如
cosθ sin θ
都是正交矩阵.
1 sin θ ,0 cosθ 0
0 1 2 1 2
0 1 2 1 2
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2. 正交矩阵的性质
(1) 若矩阵 A 为正交矩阵, 则
步骤 1 : 求 V 的任意一个基 a1 , · · · , a r; 步骤 2 : 用施密特正交化过程把 a1 , · · · , ar
正交化, 得正交基 b1 , · · · , br ;
步骤 3 : 把 正交基 b1 , · · · , br 单位化即得 V
的 一个标准正交基.
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x = 0, 则 x 与任何向量都正交, 即零向量与任何向
量正交. 讲解书例1
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四、正交向量组的性质
1. 正交向量组的定义 定义 若非零向量组a1 , a2 , · · · , am两两正交,即
[ai , aj]=aiTaj=0 (iǂj; i,j=1,2,….m) 则向量组称为正交向量组.若每个向量为单位向量， 称此正交向量组为单位正交向量组。
解 a2 , a3 应满足方程 a1Tx = 0, 即
x1 x2 x3 0 .
它的基础解系为
1 黄凤英
4.5 标准正交基与正交矩阵
0
求一组非零向量 1 ) a ( ( 1,,1 1,,1 1 ) ,, 求一组非零向量 例6 5 已知 a 1 1
T T
a 2 , a3 使 a1 a ,1 a2 ,2 a3 两两正交 . . ，使 ,a ,a 3 两两正交
定理 1 若 n 维向量 a1 , a2 , · · · , am是一组
两两正交的非零向量, 则 a1 , a2 , · · · , am线性无关.
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五、正交基与标准正交基
1. 定义
设 a1 , a2 , · · · , an 是 Rn 的一个基
如果 a1 , a2 , · · · , an 为单位正交向量组，则称 a1,
黄凤英 4.5 标准正交基与正交矩阵
例 5 已知R3中两个向量
a1 (1,1,1) , a2 (1, 2,1) ,
T T
求a3，使得a1 , a2 , a3为R3的一组正交基，并求 T a ( 1 , 1 , 1 ) , 求一组非零向量 例 5 已知 1 与之等价的标准正交基。 a2 , a3 使 a1 , a2 , a3 两两正交.
[b1,ar ] [b2 ,ar ] [br1,ar ] br ar b1 b2 br 1 . [b1,b1 ] [b2 ,b2 ] [br1,br 1 ]
容易验证 b1 , · · · , br 两两正交, 且 b1 , · · · , br 与 a1 , · · · , ar 等价. 然后只要把它们单位化, 即取
例4 设
1 1 4 a1 2 , a 2 3 , a 3 1 , 1 1 0
试用施密特正交化过程把这组向量规范正交化.
解 取 b1 = a1 ;
1 1 1 4 5 [a2 ,b1 ] b2 a2 b1 3 2 1 ; 2 b1 1 6 1 3 1
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三、向量的长度和夹角
1. 长度的定义 定义2
令
2 1 2 2 2 n
x [ x, x ] x x x ,
|| x || 称为 n 维向量 x 的长度 ( 或模 ).
当 || x || = 1 时, 称 x 为单位向量.
黄凤英 4.5 标准正交基与正交矩阵
是一个单位向量，称这
x x
一运算为将向量x标准化或单位化。 例如：单位化x
x (1,1,1)T ,
黄凤英 4.5 标准正交基与正交矩阵
3. 向量的夹角
向量的内积满足施瓦茨不等式
[ x, y ]2 ≤ [ x, x ][ y, y ] ,
由此可得
[ x,y] 1 x y
(当 || x || || y || 0 时),
· · , br 与 a1, · · · , ar 正交化过程. 它不仅满足 b1 , ·
等价, 还满足对任何 k (1 ≤ k ≤ r), 向量组 b1 , · · · ,
bk 与 a1 , · · · , ak 等价.
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综上所述, 求向量空间 V 的一个标准正交基 可归为以下三步:
a2 , · · · , an 是 Rn 的一个标准正交基.
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2. 标准正交基的求法
设 a1 , a2 , · · · , ar 是向量空间 V 的一个基, 要
求 V 的一个标准正交基. 也就是要找一组两两
x x · x与 正交的单位向量x1 , x2 , · · · ,x · , r r,使 1, 2,·