01-02有限单元法的发展及应用
有限单元法原理与应用
有限单元法原理与应用有限单元法（Finite Element Method，简称FEM）是一种数值计算方法，广泛应用于工程领域的结构分析、流体力学、热传导等问题的求解。
它将复杂的结构或物理现象分割成有限数量的简单单元，通过对每个单元进行数学建模和分析，最终得出整个系统的行为。
本文将介绍有限单元法的基本原理和其在工程领域中的应用。
有限单元法的基本原理是将连续的物理现象离散化为有限数量的单元，每个单元都可以通过简单的数学方程来描述。
这些单元相互连接，形成一个整体的系统，通过对每个单元的行为进行分析，最终得出整个系统的行为。
有限单元法的核心思想是将复杂的问题简化为简单的数学模型，通过数值计算方法求解这些模型，从而得到系统的行为。
有限单元法在工程领域有着广泛的应用。
在结构分析中，可以用有限单元法来模拟各种复杂的结构，如桥梁、建筑、飞机机翼等，通过对结构的受力、变形等进行分析，来评估结构的安全性和稳定性。
在流体力学中，有限单元法可以用来模拟流体的流动行为，如水流、气流等，通过对流体的速度、压力等进行分析，来优化流体系统的设计。
在热传导问题中，有限单元法可以用来模拟物体的温度分布和传热行为，如热传导、对流、辐射等，通过对热场的分析，来优化热传导系统的设计。
有限单元法的应用还不仅限于工程领域，它也被广泛应用于地质勘探、医学图像处理、材料科学等领域。
在地质勘探中，有限单元法可以用来模拟地下岩层的力学行为，来评估地下资源的分布和开采方案。
在医学图像处理中，有限单元法可以用来模拟人体组织的力学行为，来辅助医学诊断和手术设计。
在材料科学中，有限单元法可以用来模拟材料的力学性能和热物理性能，来指导新材料的设计和制备。
总的来说，有限单元法作为一种数值计算方法，具有广泛的应用前景和重要的理论意义。
通过对有限单元法的深入理解和应用，可以更好地解决工程领域中的复杂问题，推动工程技术的发展和进步。
希望本文对有限单元法的原理和应用有所帮助，也希望读者能够进一步深入研究和应用有限单元法，为工程领域的发展做出更大的贡献。
2.有限单元法简介
1.4 张量分析符号约定
• 1. 爱因斯坦求和约定 •
• 微分约定，即下标中出现逗号”,”表示对坐 标求偏微导
• 矢量和矩阵采用黑斜体来表示，如
2 弹性力学变分原理
• 2.1弹性力学基本方程 • 弹性力学体系建立在以下一些基本假设 基础上： • (1) 假设物体是连续的； • (2) 假设物体是均匀的； • (3) 假设物体是各向同性的； • (4) 假设物体是完全弹性的； • (5) 小变形假设
• 有限单元法建立在虚功原理和最小势能原理基础上 • Argris和Marcal等最早对弹塑性有限元分析做出了贡献 • Hibbit等于1970年提出了以Lagrange描述法为基础的大 变形弹塑性有限元列式 • 1973年，Lee和Kobayashi提出了以Lagrange法引入不可 压缩条件的刚塑性有限元方法 • Zienkiewicz等于1975年提出了采用罚函数法处理不可 压缩条件的刚塑性有限元方法 • 在20世纪90年代前，非线性有限元的解法主要是静态 隐式方法，加州大学Berkeley分校的学者T.J.R. Hughes， R. Taylor，J. Simo J，K.J. Bathe，E. Ramm, C. Felippa， M. Ortiz等人对这种方法的进步做出了杰出的贡献 • John Hallquist于1976年在Lawrence Livermore实验室发 布了DYNA程序
• 虚位移原理可叙述为，对于一个变形体， 如果内力和外力在满足几何协调方程和 位移边界条件的虚位移 上所做功的和为 零，那么，该变形体一定处于平衡状态； 反之，如果变形体处于平衡状态，那么， 变形体的外力和内力所做虚功之和一定 为零，它表述了变形体力系平衡的充要 条件。
2.3.3 最小势能原理
浅析有限元方法的发展与应用
浅析有限元方法的发展摘要：1965年“有限元”这个名词第一次在我国出现,到今天有限元在工程上得到广泛应用,经历了三十多年的发展历史,理论和算法都已经日趋完善。
有限元法(Finite Element Method,简写为FEM)是求解微分方程的一种非常有效的数值计算方法,用这种方法进行波动数值模拟受到越来越多的重视。
关键字：有限元法，发展，应用前言有限元法是50年代首先在连续体力学领域--飞机结构静、动态特性分析中应用的一种有效的数值分析方法，随后很快广泛的应用于求解热传导、电磁场、流体力学等连续性问题。
它是用较简单的问题代替复杂问题后再求解。
它将求解域看成是由许多称为有限元的小的互连子域组成，对每一单元假定一个合适的(较简单的）近似解，然后推导求解这个域总的满足条件(如结构的平衡条件），从而得到问题的解。
这个解不是准确解，而是近似解，因为实际问题被较简单的问题所代替。
由于大多数实际问题难以得到准确解，而有限元不仅计算精度高，而且能适应各种复杂形状，因而成为行之有效的工程分析手段。
有限单元法是随着电子计算机的发展而迅速发展起来的一种现代计算方法。
1．有限元的发展历程有限元法的发展历程可以分为提出(1943)、发展(1944-1960)和后期(1961-二十世纪九十年代)三个阶段。
有限元法是受内外动力的综合作用而产生的。
1943年，柯朗在《美国数学学会公报》(Bulletin of The American Mathematical Society)上发表了《平衡和振动问题的变分解法》 (Variational Methods for The Solution of Problems of Equilibrium And Vibration)一文，这篇文章实际上是他1941年在美国数学学会演讲的书面稿，在其中柯朗提出了有限元法的核心思想。
大约与柯朗同时，工程师阿格瑞斯在另一个领域独立地提出了有限元法。
有限单元法基础
性体在各节点处的位移解。
3、单元分析---三角形单元
y
3.1 单元的结点位移和结点力向量
从离散化的网格中任取一个单元。三个结点 按反时针方向的顺序编号为：i, j, m。
结点坐标: (xi,yi) , (xj,yj) , (xm,ym) 结点位移: (ui,vi) , (uj,yj) , (um,vm) 共有6个自由度
单元位移插值函数： u(x, y) a1 a2 x a3 y
(3.1)
v(x, y) a4 a5x a6 y
插值函数的系数： a1 aiui a ju j amum / 2 A, a4 aivi a jv j amvm / 2 A,
a2 biui bju j bmum / 2 A, a5 bivi bjv j bmvm / 2 A,
um a1 a2 xm a3 ym , vm a4 a5 xm a6 ym ,
求解以上方程组得到以节点位移和节点坐标表示的6个参数：
a1 aiui a ju j amum / 2 A, a4 aivi a jv j amvm / 2 A, a2 biui bju j bmum / 2 A, a5 bivi bjv j bmvm / 2 A, a3 ciui c ju j cmum / 2 A, a6 civi c jv j cmvm / 2 A,
研究方法
从数学上讲它是微分方程边值问题(椭圆型微分方程、抛物型微分方程和双曲型微 分方程)的一种的数值解法，是一种将数学物理问题化为等价的变分问题的解法，并作 为一种通用的数值解法成为应用数学的一个重要分支。从物理上讲是将连续介质物理 场进行离散化，将无限自由度问题化为有限自由度问题的一种解方法。从固体力学上 认识，是瑞利-里兹法的推广。
有限单元法ppt课件
06
有限单元法的发展趋势和展 望
发展趋势
工程应用领域拓展
随着科技的发展，有限单元法在解决 复杂工程问题上的应用越来越广泛， 不仅局限于结构分析，还涉及到流体 动力学、热传导等领域。
与其他方法的结合
有限单元法正与其他数值方法（如有 限差分法、边界元法等）进行交叉融 合，形成更为强大的数值分析工具。
05
有限单元法的优缺点
优点
灵活性
有限单元法允许对复杂的几何形状进 行离散化，适用于解决各种形状和大 小的问题。
高效性
有限单元法能够处理大规模问题，通 过使用计算机技术，可以快速求解。
广泛的应用领域
有限单元法被广泛应用于工程、物理 、生物等领域，是一种通用的数值分 析方法。
易于理解和实现
有限单元法的基本概念直观易懂，且 实现起来相对简单。
01
利用线性代数方法，将 各个单元的数学模型和 节点信息组合成整体方
程组。
03
将节点的未知量返回到 原问题中，得到问题的
解。
05
根据问题的物理性质和 边界条件，建立单元的 数学模型和节点信息。
02
解整体方程组，得到节 点的未知量。
04
有限单元法的特点
适用范围广
可以用于解决各种类型的问题，如弹性力学 、流体力学、传热学等。
高精度与高效率
研究者们致力于开发更高效、精确的 算法，以解决大规模、非线性、动态 等复杂问题。
并行化与云计算应用
随着计算资源的丰富，有限单元法的 计算过程正逐步实现并行化，利用云 计算平台进行大规模计算已成为趋势 。
展望
理论完善与创新
随着工程实践的深入，有限单元法的理论体系将进一步完善，同时会 有更多创新性的算法和模型出现。
有限单元法的基本知识和地震波传播正演模拟的应用
线性代数基础
矩阵求逆：
方阵A可逆的充分必要条件是它的行列式不为零，即 det(A) A 0
如果行列式为零，称A为奇异矩阵。
矩阵求逆： 对一个方阵A，如果存在一个矩阵B，使得
AB BA I
则B是A的一个逆矩阵。 当A可逆时，A的逆矩阵为：
A1 1 A det(A)
其中，A*为A的伴随矩阵，由A的代数余子式组成，
1
Aik ik dx
0
1 1
1 2 1
A
1 2 1
1
1
33
有限单元法基础
一维问题：
边界条件和源项：
原始方程为：
u(x) f (x)
for for
dx ~x 0 0 ~x dx elsewhere
29
有限单元法基础
一维问题：
刚度矩阵(stiffness matrix)：
基函数的梯度为：
1/ dx for dx ~x 0
i (~x ) 1/ dx for 0 ~x dx
0
0
区域的离散化(discretization)：
为了求出近似解，需要对区域进行某种形式的离散化，有限单元 法中，函数值只定义在离散化后的离散点上（这一点和有限差分 法类似）：
19
有限单元法基础
一维问题： 区域的离散化(discretization)：
20
有限单元法基础
一维问题：
有限单元法的中心思想是用选取的基函数的线性组合来近似表示
有限单元方法finiteelementmethodfem是地球物理数值方法中另一种常用到的方在有限元方法中把计算域离散剖分为有限个互不重叠且相互连接的单元在每个单元内选择基函数用单元基函数的线性组合来逼近单元中的真解整个计算域上总体的基函数可以看为由每个单元基函数组成的则整个计算域内的解可以看作是由所有单元上的近似解构成
有限单元法原理及应用
有限单元法原理及应用有限单元法（Finite Element Method, FEM）是一种数值分析方法，广泛应用于工程结构、材料力学、流体力学等领域。
它通过将复杂的结构或系统分割成有限数量的小单元，然后建立数学模型，最终求解得到整体系统的行为。
本文将介绍有限单元法的基本原理和在工程实践中的应用。
首先，有限单元法的基本原理是将一个连续的结构或系统离散化为有限数量的单元，每个单元都可以用简单的数学方程描述。
这些单元之间通过节点连接在一起，形成整体系统。
然后，通过施加外部载荷或边界条件，可以得到每个单元的位移、应力等信息。
最终，将所有单元的信息组合起来，就可以得到整个系统的行为。
在工程实践中，有限单元法被广泛应用于结构分析、热传导、流体力学等领域。
在结构分析中，可以通过有限单元法来模拟各种复杂的结构，如桥梁、建筑、飞机等，从而预测其受力情况和变形情况。
在热传导领域，有限单元法可以用来分析材料的温度分布、热传导性能等。
在流体力学中，有限单元法可以模拟流体的流动情况、压力分布等。
此外，有限单元法还可以与优化算法相结合，用于优化设计。
通过改变单元的尺寸、形状或材料性质，可以得到最优的结构设计。
这在工程实践中具有重要意义，可以降低结构的重量、提高结构的强度和刚度。
总之，有限单元法作为一种数值分析方法，具有广泛的应用前景。
它不仅可以用于工程结构的分析和设计，还可以用于材料力学、流体力学等领域。
随着计算机技术的不断发展，有限单元法将会变得更加高效、精确，为工程实践提供更多的支持和帮助。
以上就是有限单元法的基本原理及在工程实践中的应用，希望对读者有所帮助。
有限单元法作为一种强大的分析工具，将继续在工程领域发挥重要作用。
有限元方法的发展及应用
有限元⽅法的发展及应⽤有限元⽅法的发展及应⽤摘要：有限元法是⼀种⾼效能、常⽤的计算⽅法。
有限元法在早期是以变分原理为基础发展起来的，所以它⼴泛地应⽤于以拉普拉斯⽅程和泊松⽅程所描述的各类物理场中。
⾃从1969年以来，某些学者在流体⼒学中应⽤加权余数法中的迦辽⾦法或最⼩⼆乘法等同样获得了有限元⽅程，因⽽有限元法可应⽤于以任何微分⽅程所描述的各类物理场中，⽽不再要求这类物理场和泛函的极值问题有所联系。
基本思想：由解给定的泊松⽅程化为求解泛函的极值问题。
1有限元法介绍1.1有限元法定义有限元法（FEA，Finite Element Analysis）的基本概念是⽤较简单的问题代替复杂问题后再求解。
它是起源于20世纪50年代末60年代初兴起的应⽤数学、现代⼒学及计算机科学相互渗透、综合利⽤的边缘科学。
有限元法的基本思想是将求解域看成是由许多称为有限元的⼩的互连⼦域组成，对每⼀单元假定⼀个合适的(较简单的）近似解，然后推导求解这个域总的满⾜条件(如结构的平衡条件），从⽽得到问题的解。
这个解不是准确解，⽽是近似解，因为实际问题被较简单的问题所代替。
由于⼤多数实际问题难以得到准确解，⽽有限元不仅计算精度⾼，⽽且能适应各种复杂形状，因⽽成为⾏之有效的⼯程分析⼿段。
有限元法最初应⽤在⼯程科学技术中,⽤于模拟并且解决⼯程⼒学、热学、电磁学等物理问题。
1.2有限元法优缺点有限元⽅法是⽬前解决科学和⼯程问题最有效的数值⽅法，与其它数值⽅法相⽐，它具有适⽤于任意⼏何形状和边界条件、材料和⼏何⾮线性问题、容易编程、成熟的⼤型商⽤软件较多等优点。
（1）概念浅显，容易掌握，可以在不同理论层⾯上建⽴起对有限元法的理解，既可以通过⾮常直观的物理解释来理解，也可以建⽴基于严格的数学理论分析。
（2）有很强的适⽤性，应⽤范围极其⼴泛。
它不仅能成功地处理线性弹性⼒学问题、费均质材料、各向异性材料、⾮线性应⽴-应变关系、⼤变形问题、动⼒学问题已及复杂⾮线性边界条件等问题，⽽且随着其基本理论和⽅法的逐步完善和改进，能成功地⽤来求解如热传导、流体⼒学、电磁场等领域的各类线性、⾮线性问题。
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§1-2 有限单元法的发展及应用
一、发展
运用固体力学理论(包括结构力学、弹性力学、塑性力学等)对结构进行强度和刚度分析，是工程设计的重要内容之一。
随着科学技术的进步和生产的发展，工程结构的几何形状和载荷情况日益复杂，新材料也不断出现，这使得寻找结构分析的解析解十分困难，甚至不可能。
因此，人们转向寻求它的近似解。
（1）1908年里兹(W.Ritz)提出一种近似解法，具有重要意义。
♦里兹法利用带未知量的试探函数将势能泛函近似，对每一个未知量求势能泛函的极小值，得到求解未知量的方程组。
♦里兹法大大促进了弹性力学在工程中的应用。
里兹法的局限是试探函数必须满足边界条件。
对于几何形状比较复杂的结构来说，寻找满足整个边界条件的试
探函数也非易事。
（2）1943年库兰特(R.Courant)对里兹法作了极重要的推广。
♦他在求解不规则断面扭转问题时，将整个截面划分成若干个三角形区域，并假设翘曲函数在各个三角形区域内是会标的线性函数，从而克服了以前里兹法要
求整个近似函数满足全部边界条件的困难。
♦库兰特这样应用里兹法与有限单元法的初期思想是一致的。
但是这种近似解法要进行大量数值计算，在当时还是个难题。
因此，未能得到发展。
（3）在1946年电子计算机诞生以后，首先采用它来进行数值计算的是杆系结构力学。
它的理论依据是由结构力学位移法和力法演变成的矩阵位移法和矩阵力法，
统称结构矩阵法（实际上也有假设）。
♦它采用矩阵代数运算，不仅能使算式书写简明，而且编制计算机程序非常方便。
结构矩阵法的力学概念清楚，全部理论公式按结构力学观点讲都是准确的。
仅
在数值运算过程里，由于计算机实数存贮位数有限，造成舍入误差。
（4）1956年特纳(M.J.Turner)、克劳夫(R.W.Clough)、马丁(H.C.Martin)和托普(L.J.Topp)在纽约举行的航空学会年会上介绍一种新的计算方法，将矩阵位移法推广到求
解平面应力问题。
♦他们把结构划分成一个个三角形和矩形的“单元”，利用单元中近似位移函数，求得单元节点力与节点位移关系的单元刚度矩阵。
（5）同期，阿吉里斯(J.H.Argyris)在航空工程杂志上发表一组能量原理和结构分析论文(1954～1955年)，对连续体有限单元法的形成做了开创性工作。
♦他将弹性结构的基本能量原理做了概括、推广并予以统一，发展了矩阵方法，还导出由平面应力板和四个边缘件组成的矩形板格的单元刚度矩阵。
（6）1960年克劳夫在论文“平面应力分析的有限单元法”中首次提出“有限单元法”
这一术语。
有限单元法开始成为连续体离散化的一种标准研究方法。
以上可以认为是有限单元法的初期发展阶段。
人们是从直观概念出发进行探索，缺乏足够的理论基础，解决实际问题的范围比较窄，而且有时用得并不成功。
（7）大概在1963年前后，经过贝塞林(J.F.Besseling 1963)、梅荣歇(R.J.Melosh 1963)、约内士(R.E.Jones 1964)、格拉菲尔(R.H.Gallagher 1964)卞学鐄(T.H.H.Pian 1964)、
维别克(B.Fraeijs de V eubeke 1964)等许多人的工作，认识到有限单元法就是变分
原理里兹近似法的一种变态（兹近法：试探函数；有限元法：位移模式），发展
了用各种不同变化原理导出的有限单元计算公式。
（8）1965年监凯维奇(O.C.Zienkiewicz)和张佑启(Y.K.Cheung)在求解拉普拉斯和泊松方程时发现只要能写成变分形式的所有场问题，都可以用和固体力学有限单
元法的同样步骤求解。
（9）然而有限单元法的公式不一定要求建立在变分原理的基础上，1969年斯查白
(B.A.Szabo)和李(G.C.Lee)指出可以用加权余量法特别是迦辽金(Galerkin)法，导
出标准的有限元过程来求解非结构问题。
经过20 年的努力终于建立起来了完整的有限单元法理论体系。
由于人们可以自觉地依据各种变分原理建立有限单元法的算式，各种结构分析用的单元模式纷纷出现。
与此同时，有限单元法的数学基础受到很大重视。
（1）求解大型线性方程组的数值方法和特征值问题的解法得到发展；
（2）子结构技术和模态综合技术得到采用；
（3）有限单元法的收敛性和误差分析也开始得到研究。
随着计算机功能日益增强和有限单元法显示出解决工程实际问题的巨大威力，许多高等学校、研究机构和软件公司得到各工业部门(如航空、宇航、建筑、造船、汽车、石油等)的大量资助，陆续研制出各种通用有限元程序，进一步推动有限单元法的理论研究和实际应用。
到二十世纪八十年代初，国际上较大的结构分析通用有限元程序就发展到几百种，其中著名的有：
（1）COSMIC/NASTRAN；
（2）MSC/NASTRAN(大型综合有限元软件)；
（3）SAP-NONSAP(线性与非线性有限元通用软件)；
（4）ADINA(非线性结构分析通用软件)；
（5）ANSYS(有限元分析系统)；
（6）ABAQUS(线性与非线性有限元通用程序)，
（7）ASKA(大型综合通用有限元软件)；
（8）MARC(大型综合非线性有限元软件)；
（9）STRUDL；
（10）GTSTRUDL(大型综合土木建筑结构分析有限元软件)；
（11）MODULEF (综合有限元分析模块库) 等等。
上述有限元通用软件大都采用FORTRAN语言编写，规模从几万条到几十万条语句，由几百到几千个子程序组成，数据文件结构和数据传递方式都较复杂，研制周期达几年，程序功能非常强。
例如，可以对飞机、汽车、船舶整体结构进行静动力分析和稳定性分析，并考虑温度影响。
可以对海洋平台整体进行大变形非线性分析。
这些有限元通用软件大都带有前后处理程序包，能够自动剖分单元网格，显示和绘制网格结构图、变形图和应力图。
这些功能使有限单元计算前的数据准备和查错、计算后的数据处理比较方便。
二、应用：
随着有限单元法理论基础研究的深入，通用程序的研究、开发，有限单元法的使用范围也日益扩大。
（1）由弹性力学平面问题扩展到空间问题和板壳问题。
如对拱坝、涡轮叶片、飞机、船体、冶金机械等复杂结构进行了应力分析；
（2）由平衡问题扩展到稳定问题与动力问题。
如对结构在地震力与波浪力作用下的动力反应进行了分析；
（3）由弹性问题扩展到弹塑性与粘弹性问题，土力学与岩石力学问题、疲劳与脆性断裂问题；
（4）由结构计算问题扩展到结构优化设计问题；
（5）由固体力学扩展到流体力学、渗流与固结理论、热应力等力学的其它领域和交叉学科(例如冰川与地质力学、生物力学等)；
（6）由力学问题发展到热传导、磁场电场问题(例如感应电动机的磁场分析)以及建筑声学与噪音等问题；
（7）由单学科发展到多学科；
（8）由单介质发展到多介质；
（9）由单尺度发展到多尺度。
目前，有限单元法已经成为一门日益成熟的学科。
三、国内情况
（1）从二十世纪五十年代开始，我国力学工作者就对结构分析的近似计算方法很重视，为有限单元法的初期发展做出很多贡献，其中著名的有：
陈伯屏(结构矩阵方法)；
♦钱令希(余能原理)；
♦钱伟长(广义变分原理)；
♦胡海昌(广义变分原理)；
♦冯康(有限单元法理论)等。
（2）七十年代初期各单位根据工作的需要陆续编制过一些中小型有限元程序。
♦1976年以后有限单元法的学习、使用和研究工作得到迅速发展。
不少单位组织力量编制大中型通用有限元程序。
♦著名的大型程序有：JIGFEX(结构分析程序，大连工学院工程力学研究所)和HAJIF-Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ(航空结构静力、动力、非线性分析程序系统，航空工业部
623研究所等)。
（3）1979年后我国也从国外引进各种大中型通用程序
♦如SAP5、SAP6、SAP7、NONSAP、NFAP、ADINA、ASKA、MARC、ANSYS、ABAQUS、FEAP等，经过消化、推广和应用，在国家经济建设中已经发挥很
大作用。
有的经过改进提高后，形成新的功能更强的通用程序，如LISA程序、
GAD程序系统、SAP5和SAP6微机程序、SAP84微机程序等。
（4）现在国内外学术交流频繁，各种先进的电子计算机比较普及，我国的有限单元法理论研究和结构分析程序研制应用正处于蓬勃发展的新时期。
♦作为思想、工具应用各个学科；
♦专题交流主要见于各主流软件的应用上。