空间立体几何体的结构及其三视图和直观图(学生版)
8.1空间几何体的结构、三视图和直观图
§8.1空间几何体的结构、三视图和直观图最新考纲考情考向分析1.认识柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征，并能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构.2.能画出简单空间图形(长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱等的简易组合)的三视图，能识别上述三视图所表示的立体模型，会用斜二测画法画出它们的直观图.3.会用平行投影方法画出简单空间图形的三视图与直观图，了解空间图形的不同表示形式.空间几何体的结构特征、三视图、直观图在高考中几乎年年考查．主要考查根据几何体的三视图求其体积与表面积．对空间几何体的结构特征、三视图、直观图的考查，以选择题和填空题为主.1．多面体的结构特征2．旋转体的形成几何体旋转图形旋转轴圆柱矩形任一边所在的直线圆锥直角三角形任一直角边所在的直线圆台 直角梯形 垂直于底边的腰所在的直线球半圆直径所在的直线3.空间几何体的三视图 (1)三视图的名称几何体的三视图包括：正视图、侧视图、俯视图． (2)三视图的画法①在画三视图时，重叠的线只画一条，挡住的线要画成虚线．②三视图的正视图、侧视图、俯视图分别是从几何体的正前方、正左方、正上方观察到的几何体的正投影图． 4．空间几何体的直观图空间几何体的直观图常用斜二测画法来画，其规则是(1)原图形中x 轴、y 轴、z 轴两两垂直，直观图中，x ′轴，y ′轴的夹角为45°或135°，z ′轴与x ′轴和y ′轴所在平面垂直．(2)原图形中平行于坐标轴的线段，直观图中仍平行于坐标轴；平行于x 轴和z 轴的线段在直观图中保持原长度不变；平行于y 轴的线段在直观图中长度变为原来的一半． 知识拓展1．常见旋转体的三视图(1)球的三视图都是半径相等的圆．(2)水平放置的圆锥的正视图和侧视图均为全等的等腰三角形． (3)水平放置的圆台的正视图和侧视图均为全等的等腰梯形． (4)水平放置的圆柱的正视图和侧视图均为全等的矩形． 2．斜二测画法中的“三变”与“三不变” “三变”⎩⎪⎨⎪⎧坐标轴的夹角改变与y 轴平行的线段的长度变为原来的一半图形改变“三不变”⎩⎪⎨⎪⎧平行性不改变与x ，z 轴平行的线段的长度不改变相对位置不改变题组一 思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体是棱柱．( × )(2)有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体是棱锥．(×)(3)夹在两个平行的平面之间，其余的面都是梯形，这样的几何体一定是棱台．(×)(4)正方体、球、圆锥各自的三视图中，三视图均相同．(×)(5)用两平行平面截圆柱，夹在两平行平面间的部分仍是圆柱．(×)(6)菱形的直观图仍是菱形．(×)题组二教材改编2．[P19T2]下列说法正确的是()A．相等的角在直观图中仍然相等B．相等的线段在直观图中仍然相等C．正方形的直观图是正方形D．若两条线段平行，则在直观图中对应的两条线段仍然平行答案D解析由直观图的画法规则知，角度、长度都有可能改变，而线段的平行性不变．3．[P8T1]在如图所示的几何体中，是棱柱的为________．(填写所有正确的序号)答案③⑤题组三易错自纠4．某空间几何体的正视图是三角形，则该几何体不可能是()A．圆柱B．圆锥C．四面体D．三棱柱答案A解析由三视图知识知，圆锥、四面体、三棱柱(放倒看)都能使其正视图为三角形，而圆柱的正视图不可能为三角形．5．(2018·珠海质检)将正方体(如图1所示)截去两个三棱锥，得到如图2所示的几何体，则该几何体的侧视图为()答案B解析侧视图中能够看到线段AD1，应画为实线，而看不到B1C，应画为虚线．由于AD1与B1C不平行，投影为相交线，故选B.6.正三角形AOB的边长为a，建立如图所示的直角坐标系xOy，则它的直观图的面积是________．答案6 16a2解析画出坐标系x′O′y′，作出△OAB的直观图O′A′B′(如图)，D′为O′A′的中点．易知D′B′＝12DB(D为OA的中点)，∴S△O′A′B′＝12×22S△OAB＝24×34a2＝616a2.题型一空间几何体的结构特征1．给出下列命题：①在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点，则这两点的连线是圆柱的母线；②直角三角形绕其任一边所在直线旋转一周所形成的几何体都是圆锥；③棱台的上、下底面可以不相似，但侧棱长一定相等．其中正确命题的个数是()A．0 B．1 C．2 D．3答案A解析①不一定，只有当这两点的连线平行于轴时才是母线；②不一定，当以斜边所在直线为旋转轴时，其余两边旋转形成的面所围成的几何体不是圆锥，如图所示，它是由两个同底圆锥组成的几何体；③错误，棱台的上、下底面相似且是对应边平行的多边形，各侧棱延长线交于一点，但是侧棱长不一定相等．2．(2018·青岛模拟)以下命题：①以直角梯形的一腰所在直线为轴旋转一周所得的旋转体是圆台；②圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆面；③一个平面截圆锥，得到一个圆锥和一个圆台．其中正确命题的个数为()A．0 B．1 C．2 D．3答案B解析由圆台的定义可知①错误，②正确．对于命题③，只有平行于圆锥底面的平面截圆锥，才能得到一个圆锥和一个圆台，③不正确．思维升华(1)关于空间几何体的结构特征辨析关键是紧扣各种空间几何体的概念，要善于通过举反例对概念进行辨析，即要说明一个命题是错误的，只需举一反例即可．(2)圆柱、圆锥、圆台的有关元素都集中在轴截面上，解题时要注意用好轴截面中各元素的关系．(3)既然棱(圆)台是由棱(圆)锥定义的，所以在解决棱(圆)台问题时，要注意“还台为锥”的解题策略．题型二简单几何体的三视图命题点1已知几何体，识别三视图典例(2017·贵州七校联考)如图所示，四面体ABCD的四个顶点是长方体的四个顶点(长方体是虚拟图形，起辅助作用)，则四面体ABCD的三视图是(用①②③④⑤⑥代表图形)()A．①②⑥B．①②③C．④⑤⑥D．③④⑤答案B解析正视图应该是边长为3和4的矩形，其对角线左下到右上是实线，左上到右下是虚线，因此正视图是①，侧视图应该是边长为5和4的矩形，其对角线左上到右下是实线，左下到右上是虚线，因此侧视图是②；俯视图应该是边长为3和5的矩形，其对角线左上到右下是实线，左下到右上是虚线，因此俯视图是③.命题点2已知三视图，判断几何体的形状典例(2017·全国Ⅰ)某多面体的三视图如图所示，其中正视图和侧视图都由正方形和等腰直角三角形组成，正方形的边长为2，俯视图为等腰直角三角形，该多面体的各个面中有若干个是梯形，这些梯形的面积之和为()A．10 B．12C．14 D．16答案B解析观察三视图可知，该多面体是由直三棱柱和三棱锥组合而成的，且直三棱柱的底面是直角边长为2的等腰直角三角形，侧棱长为2.三棱锥的底面是直角边长为2的等腰直角三角形，高为2，如图所示．因此该多面体各个面中有两个梯形，且这两个梯形全等，梯形的上底长为2，下底长为4，高为2，故这两个梯形的面积之和为2×12×(2＋4)×2＝12.故选B.命题点3已知三视图中的两个视图，判断第三个视图典例(2017·汕头模拟)一个锥体的正视图和侧视图如图所示，下列选项中，不可能是该锥体的俯视图的是()答案C解析A，B，D选项满足三视图作法规则，C不满足三视图作法规则中的宽相等，故C不可能是该锥体的俯视图．思维升华三视图问题的常见类型及解题策略(1)由几何体的直观图求三视图．注意观察方向，注意看到的部分用实线表示，不能看到的部分用虚线表示．(2)由几何体的三视图还原几何体的形状．要熟悉柱、锥、台、球的三视图，明确三视图的形成原理，结合空间想象将三视图还原为实物图．(3)由几何体的部分视图画出剩余的部分视图．先根据已知的一部分三视图，还原、推测直观图的可能形状，然后再找其剩下部分三视图的可能形状．当然作为选择题，也可将选项逐项代入，再看看给出的部分三视图是否符合．跟踪训练(1)(2017·全国Ⅱ)如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，该几何体由一平面将一圆柱截去一部分后所得，则该几何体的体积为()A．90π B．63π C．42π D．36π答案B解析方法一(割补法)由几何体的三视图可知，该几何体是一个圆柱截去上面虚线部分所得，如图所示．将圆柱补全，并将圆柱从点A 处水平分成上下两部分．由图可知，该几何体的体积等于下部分圆柱的体积加上上部分圆柱体积的12，所以该几何体的体积V ＝π×32×4＋π×32×6×12＝63π.故选B.方法二 (估值法)由题意知，12V 圆柱<V 几何体<V 圆柱，又V 圆柱＝π×32×10＝90π，∴45π<V 几何体<90π.观察选项可知只有63π符合．故选B.(2)如图，网格纸的各小格都是正方形，粗实线画出的是一个锥体的侧视图和俯视图，则该锥体的正视图可能是( )答案 A解析 由俯视图和侧视图可知原几何体是四棱锥，底面是长方形，内侧的侧面垂直于底面，所以正视图为A.题型三 空间几何体的直观图典例 (2018·福州调研)已知等腰梯形ABCD ，上底CD ＝1，腰AD ＝CB ＝2，下底AB ＝3，以下底所在直线为x 轴，则由斜二测画法画出的直观图A ′B ′C ′D ′的面积为________． 答案22解析 如图所示，作出等腰梯形ABCD 的直观图．因为OE ＝(2)2－1＝1，所以O ′E ′＝12，E ′F ＝24，则直观图A ′B ′C ′D ′的面积S ′＝1＋32×24＝22.思维升华 用斜二测画法画直观图的技巧在原图形中与x 轴或y 轴平行的线段在直观图中与x ′轴或y ′轴平行，原图中不与坐标轴平行的直线段可以先画出线段的端点再连线，原图中的曲线段可以通过取一些关键点，作出在直观图中的相应点后，用平滑的曲线连接而画出．跟踪训练 (2017·贵阳联考)有一块多边形的菜地，它的水平放置的平面图形的斜二测直观图是直角梯形(如图所示)，∠ABC ＝45°，AB ＝AD ＝1，DC ⊥BC ，则这块菜地的面积为________．答案 2＋22解析 如图1，在直观图中，过点A 作AE ⊥BC ，垂足为E . 在Rt △ABE 中，AB ＝1，∠ABE ＝45°，∴BE ＝22. 又四边形AECD 为矩形，AD ＝EC ＝1， ∴BC ＝BE ＋EC ＝22＋1， 由此还原为原图形如图2所示，是直角梯形A ′B ′C ′D ′. 在梯形A ′B ′C ′D ′中，A ′D ′＝1，B ′C ′＝22＋1，A ′B ′＝2. ∴这块菜地的面积S ＝12(A ′D ′＋B ′C ′)·A ′B ′＝12×⎝⎛⎭⎫1＋1＋22×2＝2＋22.1．一个几何体的三视图形状都相同、大小均相等，那么这个几何体不可以是()A．球B．三棱锥C．正方体D．圆柱答案D解析球、正方体的三视图形状都相同、大小均相等．当三棱锥的三条侧棱相等且两两垂直时，其三视图的形状都相同、大小均相等．不论圆柱如何放置，其三视图的形状都不会完全相同，故选D.2．如图为几何体的三视图，根据三视图可以判断这个几何体为()A．圆锥B．三棱锥C．三棱柱D．三棱台答案C3．“牟合方盖”(如图1)是我国古代数学家刘徽在研究球的体积的过程中构造的一个和谐优美的几何体．它由完全相同的四个曲面构成，相对的两个曲面在同一个圆柱的侧面上，好似两个扣合(牟合)在一起的方形伞(方盖)．其直观图如图2所示，图中四边形是为体现其直观性所作的辅助线，其实际直观图中四边形不存在，当其正视图和侧视图完全相同时，它的正视图和俯视图分别可能是()A．a，b B．a，c C．c，b D．b，d答案A解析当正视图和侧视图完全相同时，“牟合方盖”相对的两个曲面正对前方，正视图为一个圆，俯视图为一个正方形，且两条对角线为实线，故选A.4．(2018·成都质检)如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，点P是棱CD上一点，则三棱锥P －A1B1A的侧视图是()答案D解析在长方体ABCD－A1B1C1D1中，从左侧看三棱锥P－A1B1A，B1，A1，A的射影分别是C1，D1，D；AB1的射影为C1D，且为实线，P A1的射影为PD1，且为虚线．故选D. 5．(2018·武汉调研)一个四面体的顶点在空间直角坐标系Oxyz中的坐标分别是(1,0,1)，(1,1,0)，(0,1,1)，(0,0,0)，画该四面体三视图中的正视图时，以zOx平面为投影面，则得到的正视图可以为()答案A解析设O(0,0,0)，A(1,0,1)，B(1,1,0)，C(0,1,1)，将以O，A，B，C为顶点的四面体补成一正方体后，由于OA⊥BC，所以该几何体以zOx平面为投影面的正视图为A.6．(2017·黄山质检)一个正方体截去两个角后所得几何体的正视图、俯视图如图所示，则其侧视图为()答案C解析根据一个正方体截去两个角后所得几何体的正视图、俯视图可得几何体的直观图如图所示．所以侧视图如图所示.7．(2017·东北师大附中、吉林市一中等五校联考)如图所示，在三棱锥D—ABC中，已知AC ＝BC＝CD＝2，CD⊥平面ABC，∠ACB＝90°.若其正视图、俯视图如图所示，则其侧视图的面积为()A. 6 B．2C. 3D.2答案D解析由几何体的结构特征和正视图、俯视图，得该几何体的侧视图是一个直角三角形，其中一直角边为CD，其长度为2，另一直角边为底面△ABC的边AB上的中线，其长度为2，则其侧视图的面积S＝12×2×2＝ 2.8.如图，在一个正方体内放入两个半径不相等的球O1，O2，这两个球外切，且球O1与正方体共顶点A的三个面相切，球O2与正方体共顶点B1的三个面相切，则两球在正方体的面AA1C1C上的正投影是()答案B解析由题意可以判断出两球在正方体的面上的正投影与正方形相切．由于两球球心连线AB1与面ACC1A1不平行，故两球球心射影所连线段的长度小于两球半径的和，即两个投影圆相交，即为图B.9.(2017·福建龙岩联考)一水平放置的平面四边形OABC，用斜二测画法画出它的直观图O′A′B′C′如图所示，此直观图恰好是一个边长为1的正方形，则原平面四边形OABC 的面积为________．答案22解析因为直观图的面积是原图形面积的24倍，且直观图的面积为1，所以原图形的面积为2 2.10.(2017·南昌一模)如图，在正四棱柱ABCD—A1B1C1D1中，点P是平面A1B1C1D1内一点，则三棱锥P—BCD的正视图与侧视图的面积之比为________．答案1∶1解析根据题意，三棱锥P—BCD的正视图是三角形，且底边为正四棱柱的底面边长、高为正四棱柱的高；侧视图是三角形，且底边为正四棱柱的底面边长、高为正四棱柱的高，故三棱锥P—BCD的正视图与侧视图的面积之比为1∶1.11．如图，点O为正方体ABCD—A′B′C′D′的中心，点E为平面B′BCC′的中心，点F为B′C′的中点，则空间四边形D′OEF在该正方体的各个面上的射影可能是________．(填出所有可能的序号)答案①②③解析空间四边形D′OEF在正方体的平面DCC′D′上的射影是①；在平面BCC′B′上的射影是②；在平面ABCD上的射影是③，而不可能出现的射影为④中的情况．12．(2018·长沙调研)某四面体的三视图如图所示，则该四面体的六条棱的长度中，最大的是________．答案27解析由三视图可知该四面体为三棱锥V—ABC，如图，其中EC＝CB＝2，AE＝23，VC＝2，AE⊥BE，VC⊥平面ABE，所以在六条棱中，最大的棱为VA或者AB.AC2＝AE2＋EC2＝(23)2＋22＝16，所以VA2＝AC2＋VC2＝16＋22＝20，此时VA＝20＝25，AB2＝AE2＋EB2＝(23)2＋42＝28，所以AB＝28＝27>25，所以棱长最大的为27.13．用若干块相同的小正方体搭成一个几何体，该几何体的三视图如图所示，则搭成该几何体需要的小正方体的块数是()A．8 B．7C．6 D．5答案C解析画出直观图，共六块．14．(2017·湖南省东部六校联考)某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的四个面的面积中，最大的面积是()A．4 3 B．83C．47 D．8答案C解析如图，设该三棱锥为P—ABC，其中P A⊥平面ABC，P A＝4，则由三视图可知△ABC是边长为4的等边三角形，故PB＝PC＝42，所以S△ABC＝12×4×23＝43，S△P AB＝S△P AC＝12×4×4＝8，S△PBC＝12×4×(42)2－22＝47，故四个面中面积最大的为S△PBC＝47，故选C.15．(2017·泉州二模)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的侧视图中的虚线部分是()A．圆弧B．抛物线的一部分C．椭圆的一部分D．双曲线的一部分答案D解析根据几何体的三视图，可得侧视图中的虚线部分是由平行于旋转轴的平面截圆锥所得，故侧视图中的虚线部分是双曲线的一部分，故选D.16.(2018·济南模拟)一只蚂蚁从正方体ABCD—A1B1C1D1的顶点A出发，经正方体的表面，按最短路线爬行到顶点C1的位置，则下列图形中可以表示正方体及蚂蚁最短爬行路线的正视图的是()A．①②B．①③C．③④D．②④答案D解析由点A经正方体的表面，按最短路线爬行到达顶点C1的位置，共有6种路线(对应6种不同的展开方式)，若把平面ABB1A1和平面BCC1B1展开到同一个平面内，连接AC1，则AC1是最短路线，且AC1会经过BB1的中点，此时对应的正视图为②；若把平面ABCD和平面CDD1C1展开到同一个平面内，连接AC1，则AC1是最短路线，且AC1会经过CD的中点，此时对应的正视图为④.而其他几种展开方式对应的正视图在题中没有出现．故选D.。
空间几何体结构及其三视图和直观图PPT课件
圆柱体实例分析
总结词：直上直下
详细描述：圆柱体的底面和顶面都是圆，侧面是曲面。在三视图和直观图中，圆柱体的上下底面是圆形，侧面则呈现为矩形 或椭圆，体现了其直上直下的特性。
圆锥体实例分析
总结词：尖顶曲底
详细描述：圆锥体的底面是圆，侧面是曲面。在三视图和直观图中，圆锥体的底面是圆形，侧面则呈 现为三角形或曲线，体现了其尖顶曲底的特性。
左视图
左视图是空间几何体在左侧投影 下得到的视图，通常表示物体的
宽度和高度。
左视图的方向应与投影方向一致， 且应将物体的主要轮廓和特征反
映出来。
在左视图中，垂直于投影面的线 段长度和倾斜线段的高度应保持
不变。
俯视图
俯视图是空间几何体在顶部投 影下得到的视图，通常表示物 体的长度和宽度。
俯视图的方向应与投影方向一 致，且应将物体的主要轮廓和 特征反映出来。
常见空间几何体
01
02
03
多面体
由多个平面围成的几何体， 如正方体、长方体、三棱 锥等。
旋转体
由一个平面图形围绕其一 边或一点旋转而成，如圆 柱、圆锥、球等。
复杂几何体
由多个多面体和旋转体组 合而成，如组合体、镶嵌 体等。
空间几何体的性质
空间性
空间几何体存在于三维空 间中，具有大小和方向。
封闭性
04
空间几何体与三视图的 应用
三视图在工程设计中的应用
工业设计
三视图是工业设计中重要的表达 工具，用于展示产品的外观、结
构和功能。
建筑设计
在建筑设计中，三视图用于呈现建 筑物的外观、内部布局和结构设计， 以便更好地进行施工和规划。
机械设计
在机械设计中，三视图用于描述机 器的零件、装配关系和运动原理， 以确保机器的正常运行。
第八篇 第1讲 空间几何体的结构、三视图和直观图(共25张PPT)
抓住3个考点
突破3个考向
揭秘3年高考
【训练2】 以下几何体各自的三视图中，有且仅有两个视图相同的是 ( )．
A．①②
B．①③
C．①④
D．②④
解析 正方体的三视图都是正方形，不合题意；圆锥的正视
图和侧视图都是等腰三角形，俯视图是圆，符合题意；三棱
台的正视图和侧视图、俯视图各不相同，不合题意；正四棱
锥的正视图和侧视图都是三角形，而俯视图是正方形，符合
突破3个考向
揭秘3年高考
(2)旋转体 ①圆锥可以由直角三角形绕其____任__一__直___角旋边转得到．
②圆台可以由直角梯形绕直角腰或等腰梯形绕上下底中点连线旋转 得到，也可由平行于圆锥底面的平面截圆锥得到．
③球可以由半圆或圆绕直径旋转得到．
抓住3个考点
突破3个考向
揭秘3年高考
2．三视图
(1)三视图的名称 几何体的三视图包括___正__视__图、___侧__视__图、____俯__视_．图 (2)三视图的画法 ①画三视图时，重叠的线只画一条，挡住的线要画成虚线． ②三视图的正视图、侧视图、俯视图分别是从几何体的____正_前 方、__正__左_方、___正__上方观察几何体得到的正投影图． ③观察简单组合体是由哪几个简单几何体组成的，并注意它们 的组成方式，特别是它们的交线位置．
抓住3个考点
突破3个考向
揭秘3年高考
【训练1】 给出以下四个命题： ①有两个侧面是矩形的棱柱是直棱柱； ②侧面都是等腰三角形的棱锥是正棱锥； ③侧面都是矩形的直四棱柱是长方体； ④假设有两个侧面垂直于底面，那么该四棱柱为直四棱柱． 其中不正确的命题的个数是________个． 解析 认识棱柱一般要从侧棱与底面的垂直与否和底面多边形 的形状两方面去分析，故①③都不准确，②中对等腰三角形的 腰是否为侧棱未作说明，故也不正确，④平行六面体的两个相 对侧面也可能与底面垂直且互相平行，故④也不正确．
空间几何体的结构特征及三视图和直观图 (共50张PPT)
【规律方法】 (1)画几何体三视图的要求是：正视图与俯视 图长对正；正视图与侧视图高平齐；侧视图与俯视图宽相等．一 般正视图与侧视图分别在左右两边，俯视图画在正视图的下方．
(2)由三视图还原几何体时，要遵循以下三步：①看视图，明 关系；②分部分，想整体；③综合起来，定整体．
变式思考 2 某几何体的正视图和侧视图均如右图所示，则 该几何体的俯视图不可能是( )
备考这样做
1.重点掌握以三视图为命题背景，研究空间几何体的结构特征 的题型．
2.熟悉一些典型的几何体模型，如三棱柱、长(正)方体、三棱 锥等几何体的三视图.
D 读教材·抓根底
回扣教材 扫除盲点
课本导读 1．多面体的结构特征
2.旋转体的形成
3.空间几何体的直观图
空间几何体的直观图常用__斜__二__测____画法来画，其规则：
疑点清源 1．对三视图的认识及三视图画法 (1)空间几何体的三视图是该几何体在三个两两垂直的平面上 的正投影，并不是从三个方向看到的该几何体的侧面表示的图形． (2)在画三视图时，重叠的线只画一条，能看见的轮廓线和棱 用实线表示，挡住的线要画成虚线． (3)三视图的正视图、侧视图、俯视图分别是从几何体的正前 方、正左方、正上方观察几何体用平行投影画出的轮廓线．
解析 选项 A 中只要是两个圆柱放在一起即可；一个圆柱和 一个正四棱柱的组合体也可，选项 B 也有可能；选项 C 中是一个 底面为等腰直角三角形的三棱柱和一个正四棱柱的组合体，其符 合要求；选项 D 中的如果可能的话，则这个空间几何体是一个正 三棱柱和一个正四棱柱的组合体，三种视图方向，其正视图中上 面矩形的底边是三棱柱的底面边长，但侧视图中矩形的底面边长 是三棱柱底面三角形的高，故只有选项 D 中的不可能，故选 D.
空间几何体的结构三视图和直观图课件-讲义
解析 命题①错，因为这条边若是直角三角形的斜边，则得不 到圆锥． 命题②错，因这腰必须是垂直于两底的腰．命题③对．
命题④错，必须用平行于圆锥底面的平面截圆锥才行．
基础知识
题型分类
思想方法
练出高分
题型分类·深度剖析
题型二
几何体的三视图
(3)圆台可以由直角梯形绕直角腰所在直线 或等腰梯形绕上下底中点的连线旋转得到,
也可由 平行于圆锥底面的平面截圆锥得到． (4)球可以由半圆或圆绕其 直径 旋转得到．
2.正棱锥：底面是正多 边形，顶点在底面的 射影是底面正多边形 的中心的棱锥叫作正 棱锥．特别地，各棱 均相等的正三棱锥叫 正四面体．反过来， 正棱锥的底面是正多 边形，且顶点在底面 的射影是底面正多边 形的中心．
基础知识
题型分类
思想方法
练出高分
题型分类·深度剖析
变式训练 1 以下命题：①以直角三角形的一边为轴旋转一周所
得的旋转体是圆锥；②以直角梯形的一腰为轴旋转一周所得的
旋转体是圆台；③圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆；④一个平
面截圆锥，得到一个圆锥和一个圆台．
其中正确命题的个数为
A．0
B．1
C．2
D．3
(B)
思维启迪 解析 答案 探究提高
利用有关几何体的概念判断所给 命题的真假．
基础知识
题型分类
思想方法
练出高分
题型分类·深度剖析
题型一
空间几何体的结构特征
【例 1】设有以下四个命题： ①底面是平行四边形的四棱柱 是平行六面体； ②底面是矩形的平行六面体是 长方体； ③直四棱柱是直平行六面体； ④棱台的相对侧棱延长后必交 于一点． 其中真命题的序号是_______．
空间几何体的三视图和直观图共94张
B N C
B NC
3 连接AB,CD,EF,FA,并擦去辅助线x轴和y轴,
便获得正六边形ABCDEF水平放置的直观图ABCDEF
y
F ME
A
O Dx
B NC
y
F M E
A
O
D x
B N C
y
F ME
A
O Dx
B NC
F
E
A
D
B
C
3.画水平放置的圆的直观图.
y
CEG
A
O
Bx
D FH
y′
C' E'
正 视 图
侧视图
俯视图
3、三视图的特点
长对正 高平齐
宽相等
4、三视图表达的意义 从前向后正对着物体观察，画出正视图，正
视图反映了物体的长和高及前后两个面的实形．
从上向下正对着物体观察，画出俯视图，俯 视图反映了物体的长和宽及上下两个面的实形．
从左向右正对着物体观察，画出侧视图，左 视图反映了物体的宽和高及左右两个面的实形.
（4）与投射面平行的平面图形， 它的投影与这个图形全等.
（5）平行于投射面的线段， 它的平行投影与这条线段平行 且等长.
F F’
练习：下列说法是否正确？
（1）正方形的平行投影可能是梯形.
（×）
（2） 两条相交直线的平行投影可能平行（. ×）
（3）互相垂直的两条直线的平行投影仍然互相垂
直.
（×）
（4）等腰三角形的平行投影仍是等腰三角形.
O` B` x`
OB,O`C` 1 / 2OC.
C`
第三步 连结A`C`, B`C`, 所得的 三 角
A`
数学课件第一节 空间几何体的结构及其三视图和直观图
2019/8/15
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(2)(2015·陕西卷)一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的 表面积为( )
A．3π B．4π C．2π ＋4 D．3π ＋4
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解析：(1)将三视图还原成几何体，如图所示，几何体为三棱柱．
(2)由几何体的三视图可知，该几何体为半圆柱，直观图如图所 示．
面之间的位置关系及相关数据． 提醒：对于简单组合体的三视图，首先要确定正视、侧视、俯视
的方向，其次要注意组合体由哪些几何体组成，弄清它们的组成方式，
特别应注意它们的交线的位置，区分好实线和虚线的不同．
2019/8/15
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(1)(2014·课标全国Ⅰ卷)如图所示，网格纸的各小格都是正方形， 粗实线画出的是一个几何体的三视图，则这个几何体是( )
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1．关于空间几何体的结构特征辨析关键是紧扣各种空间几何体 的概念，要善于通过举反例对概念进行辨析，即要说明一个命题是错 误的，只需举一个反例即可．
2．圆柱、圆锥、圆台的有关元素都集中在轴截面上，解题时要 注意用好轴截面中各元素的关系．
3．既然棱(圆)台是由棱(圆)锥定义的，所以在解决棱(圆)台问题 时，要注意“还台为锥”的解题策略．
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A．①和② B．③和① C．④和③ D．④和②
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(2)(2015·北京卷)某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥最长棱 的棱长为( )
A．1 B. 2 C. 3 D．2
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解析：(1)由三视图可知，该几何体的正视图是一个直角三角形(三 个顶点的坐标分别是(0，0，2)，(0，2，0)，(0，2，2)且内有一虚线(一 顶点与另一直角边中点的连线)，故正视图是④；俯视图即在底面的 射影是一个斜三角形，三个顶点的坐标分别是(0，0，0)，(2，2，0)， (1，2，0)，故俯视图是②.
空间几何体的三视图和直观图课件ppt
D
A D
A
C B C B
例3．已知几何体的三视图，用斜二测画法画出它的直观图
·Z
y
O y x
Ox
·
O
·
O
正视图
·
俯视图
·O
·
O
侧视图
三视图从细节上刻画了空间几何体的 结构,根据三视图，我们可以得到一个精 确的空间几何体,正是因为这个特点，使 它在生产活动中得到广泛应用(比如零件 图纸、建筑图纸等).直观图是对空间几何 体的整体刻画，我们可以根据直观图的 结构想象实物的形象．
长对正 长度
宽相等
宽度
俯视图
如何作出空间几何体的三视图？
(1)分析从几何体的正前方、正左方、正上方 所看到的正投影图;
(2)按照“长对正、高平齐、宽相等”作出对 应的三视图;
(正视图和俯视图一样长,正视图和侧视图一样 高,俯视图和侧视图一样宽)
(3)作图时能看见的轮廓线和棱用实线表示，
不能看见的用虚线表示.
投影
中心投影 投影线交于一点 直观强、接近实物
平行投影 投影线平行
斜投影 不改变原 正投影 物形状
正视图
侧视图
三视图
俯视图
长对正、高平齐、宽相等
根据三视图，我们可以得 到一个精确的空间几何体
视图
直观图 斜二测画法
可以根 据直观 图的结 构想象 实物的 形象
联想水平放置的平 面图形的画法，并注意 到高的处理
1画轴.画x轴,y轴,z轴,三轴交于点O,使xOy=45 ,xOz 90 .
(2)画底面.以O为中心,在x轴上取线段MN,使MN= 4 cm;在 轴上取线段PQ,使PQ= 1.5cm;分别过点M 和N 作y轴的平行 线,过点P和Q作x轴的平行线,设它们的交点分别为A,B, C,D,四边形ABCD就是长方形的底面ABCD
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4
一、选择题(本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分)
1．一个几何体的三视图形状都相同，大小均相等，那么这个几何体不可以是( )
A．球
B．三棱锥
C．正方体
D．圆柱
2．有一个几何体的三视图如图所示，这个几何体应是一个( )
[典例]将正方体(如图 1 所示)截去两个三棱锥，得到如图 2 所示的几何体，则该几何体的侧视图为( )
5．一个几何体的三视图如图所示，其正视图的面积等于 8，俯视图是一个面积为 4 3的正三角形，则其侧
视图的面积为( )
A．4 3
B．8 3
C．8 2
D．4
6．将长方体截去一个四棱锥，得到的几何体如图所示，则该几何体的侧视图为( )
7．如图，在四棱锥 P－ABCD 中，底面 ABCD 为正方形，PC 与底面垂直．若该四棱锥的正视图和侧视图都 是腰长为 1 的等腰直角三角形，则该四棱锥中最长的棱的长度为( )
1
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[自测·牛刀小试] 1．用任意一个平面截一个几何体，各个截面都是圆面，则这个几何体一定是( ) A．圆柱 B．圆锥 C．球体 D．圆柱，圆锥，球体的组合体 2．(教材习题改编)如图所示的几何体是棱柱的有( )
[例 2] (1)某几何体的正视图和侧视图均如图所示，则该几何体的俯视图不可能是( )
1．空间几何体的结构特征 ①棱柱的侧棱都互相平行，上下底面是互相平行且全等的多边形
多面体 ②棱锥的底面是任意多边形，侧面是有一个公共顶点的三角形 ③棱台可由平行于棱锥底面的平面截棱锥得到，其上下底面是相互平行且相似的多边形 ①圆柱可以由矩形绕其任一边旋转得到 ②圆锥可以由直角三角形绕其一条直角边所在直线旋转得到
A．1
B. 2
C. 3
D．2
8．某四面体的三视图如图所示，该四面体四个面的面积中最大的是( )
(1)在正视图下面，按照画三视图的要求画出该多面体的俯视图； (2)按照给出的数据，求该多面体的体积．
A．8 C．10
B．6 2 D．8 2
二、填空题(本大题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分) 9．以下四个命题：①正棱锥的所有侧棱相等；②直棱柱的侧面都是全等的矩形；③圆柱的母线垂直于底面； ④用经过旋转轴的平面截圆锥，所得的截面一定是全等的等腰三角形．其中，真命题的序号为________． 10．一个几何体是由若干个相同的小正方体组成的，其正视图和侧视图如图所示，则这个几何体最多可由 ________个这样的小正方体组成．
11．正四棱锥的底面边长为 2，侧棱长均为 3，其正视图和侧视图是全等的等腰三角形，则正视图的周长为 ________．
三、解答题(本大题共 3 小题，每小题 12 分，共 36 分) 12．如图所示的三幅图中，图(1)所示的是一个长方体截去一个角所得多面体的直观图，它的正视图和侧视图 如图(2)(3)所示(单位：cm)．
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空间几何体的结构特征及其三视图
学习立体几何口诀：
学好立几并不难，空间想象是关键。点线面体是一家，共筑立几百花园。 点在线面用属于，线在面内用包含。四个公理是基础，推证演算巧周旋。 空间之中两条线，平行相交和异面。线线平行同方向，等角定理进空间。 判定线和面平行，面中找条平行线。已知线与面平行，过线作面找交线。 要证面和面平行，面中找出两交线，线面平行若成立，面面平行不用看。 已知面与面平行，线面平行是必然；若与三面都相交，则得两条平行线。 判定线和面垂直，线垂面中两交线。两线垂直同一面，相互平行共伸展。 两面垂直同一线，一面平行另一面。要让面与面垂直，面过另面一垂线。 面面垂直成直角，线面垂直记心间。 一面四线定射影，找出斜射一垂线，线线垂直得巧证，三垂定理风采显。 空间距离和夹角，平行转化在平面，一找二证三构造，三角形中求答案。 引进向量新工具，计算证明开新篇。空间建系求坐标，向量运算更简便。 知识创新无止境，学问思辨勇攀登。 多面体和旋转体，上述内容的延续。扮演载体新角色，位置关系全在里。 算面积来求体积，基本公式是依据。规则形体用公式，非规形体靠化归。 展开分割好办法，化难为易新天地。
体前的编号)． ①三棱锥 ②四棱锥 ③三棱柱 ④四棱柱 ⑤圆锥 ⑥圆柱
A．三棱锥 C．四棱台
B．四棱锥 D．三棱台
—————
—————————————— 由三视图还原实物图应明确的两个方面
(1)首先要熟悉柱、锥、台、球的三视图，较复杂的几何体也是由这些简单几何体
组合而成的．
(2)要明确三视图的形成原理，并能结合空间想象将三视图还原为实物图．
(2)某几何体的三视图如图所示，则该几何体是( )
A．②③⑤
B．③④⑤
C．③⑤ D．①③
3．(教材习题改编)已知一个几何体的三视图如图所示，分析此几何体的组
成为( ) A．上面为棱台，下面为棱柱 B．上面为圆台，下面为棱柱 C．上面为圆台，下面为圆柱 D．上面为棱台，下面为圆柱 4．关于斜二测画法所得直观图的说法正确的是( ) A．直角三角形的直观图仍是直角三角形 B．梯形的直观图是平行四边形 C．正方形的直观图是菱形 D．平行四边形的直观图仍是平行四边形 5．一个几何体的正视图为一个三角形，则这个几何体可能是下列几何体中的________(填入所有可能的几何
A．棱台
B．棱锥
C．棱柱
D．都不对
3．一个长方体去掉一个小长方体，所得几何体的正视图与侧视图分别如图所示，则该几何体的俯视图为( )
[变式训练] 若某几何体的三视图如图所示，则这个几何体的直观图可以是( )
4．一个锥体的正视图和侧视图如图所示，下面选项中，不可能是该锥体的俯视图的是( )
3
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
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1 个疑难点——三视图的还原问题 由三视图还原几何体是解答三视图问题的重要手段和方法，在明确三视图画法规则的基础上，按以下步骤可 轻松解决：
2
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3 个注意事项——画三视图应注意的三个问题 (1)若相邻两物体的表面相交，表面的交线是它们的分界线，在三视图中，要注意实、虚线的画法． (2)确定正视、侧视、俯视的方向，观察同一物体方向不同，所画的三视图也不同． (3)观察简单组合体是由哪几个简单几何体组成的，并注意它们的组成方式，特别是它们的交线位置．
1．已知某组合体的正视图与侧视图相同(其中 AB＝AC，四边形 BCDE 为矩形)，则该组合体的俯视图可以是 ________(把你认为正确的图的序号都填上)．
求解空间几何体概念辨析题的常用方法 (1)定义法，即严格按照空间几何体的有关定义判断． (2)反例法，即通过举反例来说明一个命题是错误的．
1 种数学思想——转化与化归思想 利用转化与化归思想解决棱台、圆台的有关问题 由棱台和圆台的定义可知棱台和圆台是分别用平行于棱锥和圆锥的底面的平面截棱锥和圆锥后得到的，所以 在解决棱台和圆台的相关问题时，常“还台为锥”，体现了转化的数学思想．
旋转体 ③圆台可以由直角梯形绕直角腰或等腰梯形绕上下底中点连线旋转得到，也可由平行于圆 锥底面的平面截圆锥得到 ④球可以由半圆或圆绕直径所在直线旋转得到
[探究] 1.有两个面互相平行，其余各面都是平行四边形的几何体是棱柱吗？
提示：不一定．如图所示，尽管几何体满足了两个平面平行且其余各面都是平行四
边形，但不能保证每相邻两个侧面的公共边互相平行．
①画几何体的底面
直观图
在已知图形中取互相垂直的 x 轴、y 轴，两轴相交于点 O，画直观图时，把它们 画成对应的 x′轴、y′轴，两轴相交于点 O′，且使∠x′O′y′＝45°(或 135°)， 已知图形中平行 x 轴、y 轴的线段在直观图中分别画成平行于 x′轴、y′轴的线 段．已知图形中平行于 x 轴的线段，在直观图中长度不变，平行于 y 轴的线段， 长度变为原来的一半． ②画几何体的高 在已知图形中过 O 点作 z 轴垂直于 xOy 平面，在直观图中对应的 z′轴，也垂 直于 x′O′y′平面，已知图形中平行于 z 轴的线段，在直观图中仍平行于 z′ 轴且长度不变
2．中心投影与平行投影
平行投影的投影线是平行的，而中心投影的投影线相交于一点．在平行投影中投影线垂直于投影面的投影称
为正投影．
3．三视图与直观图
三视图
空间几何体的三视图是用平行投影得到的，它包括正视图、侧视图、俯视图， 其画法规则是：长对正，高平齐，宽相等
空间几何体的直观图常用斜二测画法规则来画，基本步骤是：