圆锥曲线的七种常考题型详解【高考必备】

圆锥曲线的七种常考题型详解【高考必备】

圆锥曲线的七种常见题型

题型一：定义的应用

圆锥曲线的定义包括椭圆、双曲线和抛物线。在定义的应

用中，可以寻找符合条件的等量关系，进行等价转换和数形结合。适用条件需要注意。

例1：动圆M与圆C1：(x+1)+y=36内切，与圆C2：(x-

1)+y=4外切，求圆心M的轨迹方程。

例2：方程表示的曲线是什么？

题型二：圆锥曲线焦点位置的判断

在判断圆锥曲线焦点位置时，需要将方程化成标准方程，

然后判断。对于椭圆，焦点在分母大的坐标轴上；对于双曲线，焦点在系数为正的坐标轴上；对于抛物线，焦点在一次项的坐

标轴上，一次项的符号决定开口方向。

例1：已知方程表示焦点在y轴上的椭圆，则m的取值范围是什么？

例2：当k为何值时，方程是椭圆或双曲线？

题型三：圆锥曲线焦点三角形问题

在圆锥曲线中，可以利用定义和正弦、余弦定理求解焦点三角形问题。PF，PF2=n，m+n，m-n，mn，m+n四者的关系在圆锥曲线中有应用。

例1：椭圆上一点P与两个焦点F1，F2的张角为α，求△F1PF2的面积。

例2：已知双曲线的离心率为2，F1、F2是左右焦点，P 为双曲线上一点，且∠F1PF2=60，求该双曲线的标准方程。

题型四：圆锥曲线中离心率、渐近线的求法

在圆锥曲线中，可以利用a、b、c三者的相等或不等关系式，求解离心率和渐近线的值、最值或范围。在解题时需要注重数形结合思想和不等式解法。

例1：已知F1、F2是双曲线的两焦点，以线段F1F2为边

作正三角形MF1F2，若边MF1的中点在双曲线上，则双曲线

的离心率是多少？

例2：双曲线的两个焦点为F1、F2，渐近线的斜率为±1/2，求双曲线的标准方程。

题型五：圆锥曲线的参数方程

在圆锥曲线的参数方程中，需要注意参数的取值范围，可以通过消元或代数运算求解。

例1：求椭圆x^2/4+y^2/9=1的参数方程。

例2：求双曲线x^2/9-y^2/4=1的参数方程。

题型六：圆锥曲线的对称性

圆锥曲线具有对称性，可以通过对称性求解问题。在解题时需要注意对称轴和对称中心的位置。

例1：求解椭圆x^2/16+y^2/9=1的对称轴和对称中心。

例2：求解双曲线x^2/9-y^2/4=1的对称轴和对称中心。

题型七：圆锥曲线的切线和法线

在圆锥曲线的切线和法线中，需要注意切点和法线的方向。可以通过求导或几何方法求解。

例1：求解椭圆x^2/16+y^2/9=1在点(4,3√2)处的切线和法

线方程。

例2：求解双曲线x^2/9-y^2/4=1在点(3,2)处的切线和法

线方程。

2、对于“是否存在”的问题，可以先假设存在，然后计算，若无解则自然得出不存在的结论；

3、证明定值问题的方法有两种：一种是将变动的元素用

参数表示，证明计算结果与参数无关；另一种是在特殊条件下求出定值，然后给出一般的证明；

4、处理定点问题的方法也有两种：一种是将方程中参数的同次项集合并，令各项系数为零，求出定点；另一种是先取参数的特殊值，探求定点，然后给出证明；

5、在求最值问题时，可以将对象表示为变量的函数，然后采用几何法、配方法、三角代换法、利用切线的方法、利用均值不等式的方法等来解决；

6、有些问题的思路很容易想到，但实际操作起来却很困难，这时需要优化方法，积累“转化”的经验；

7、大多数问题只要忠实、准确地将题目每个条件和要求表达出来，就能自然而然地得出思路。

典型例题：

例1、已知点F(0,1)，直线l:y=-1，P为平面上的动点，过点P作直线l的垂线，垂足为Q，且QPQF=FPFQ。求动点P 的轨迹C的方程，以及圆M过定点D(0,2)，圆心M在轨迹C 上运动，且圆M与x轴交于A、B两点，设DA=l1，DB=l2，求l2/l1的最大值。

例2、如图半圆，AB为半圆直径，O为半圆圆心，且

OD⊥AB，Q为线段OD的中点，已知|AB|=4，曲线C过Q点，动点P在曲线C上运动且保持|PA|+|PB|的值不变。建立适当的平面直角坐标系，求曲线C的方程，以及过D点的直线l与

曲线C相交于不同的两点M、N，且M在D、N之间，设求λ的取值范围。

例3、设F1、F2分别是椭圆C: (x^2/a^2) + (y^2/b^2) = 1 (a>b>0)的左右焦点。已知点P到两点F1、F2距离和等于4，

写出椭圆C的方程和焦点坐标，以及求出线段KF1的中点B

的轨迹方程，以及试探究kPM·kPN的值是否与点P及直线L

有关，并证明结论。

例4、已知椭圆C的中心在坐标原点，焦点在x轴上，椭

圆C上的点到焦点距离的最大值为3，最小值为1.求椭圆C的标准方程。

题目：若直线 $l:y=kx+m$ 与椭圆 $C$ 相交于 $A,B$ 两点（$A,B$ 不是左右顶点），且以 $AB$ 为直径的圆过椭圆

$C$ 的右顶点，求证：直线 $l$ 过定点，并求出该定点的坐标。例题：已知椭圆两焦点 $F_1,F_2$ 在 $y$ 轴上，短轴长为

$22$，离心率为 $\frac{2}{\sqrt{5}}$，$P$ 是椭圆在第一象限

弧上一点，且 $PF_1\cdot PF_2=1$，过 $P$ 作关于直线

$F_1P$ 对称的两条直线 $PA,PB$ 分别交椭圆于 $A,B$ 两点。求：（1）$P$ 点坐标；（2）证明直线 $AB$ 的斜率为定值。

解法：首先解决例题中的问题。

1）由于 $PF_1\cdot PF_2=1$，因此 $P$ 点在椭圆的长轴上，且 $PF_1,PF_2$ 分别为长轴两端点。设椭圆长轴长为

$2a$，则 $PF_1+PF_2=2a$。又因为 $F_1,F_2$ 在 $y$ 轴上，

因此 $P$ 点的坐标为 $(x,y)$，其中 $x,y>0$。根据椭圆的性质，$PF_1+PF_2=2a=\frac{2a}{\sqrt{1-

\frac{4}{5}}}=\frac{5a}{\sqrt{5}}$，代入$PF_1\cdot PF_2=1$，得到 $PF_1=\frac{\sqrt{5}}{2a},PF_2=\frac{\sqrt{5}}{2a}$。又

因为 $P$ 点在长轴上，因此 $y=\sqrt{a^2-x^2}$。根据关于

$F_1P$ 对称可知 $PA$ 的斜率为 $-\frac{1}{k}$，其中 $k$ 是$F_1P$ 的斜率。由于 $PA$ 与椭圆相交于 $A$ 点，因此

$A$ 点满足 $y=kx+m$ 和 $x^2+5y^2=5a^2$，联立解得 $A$ 点

坐标。同理可得 $B$ 点坐标，从而求得直线 $AB$ 的斜率。

2）根据题意，设直线 $l$ 的斜率为 $k$，过 $A,B$ 点的直线分别为 $y=k_1x+m_1,y=k_2x+m_2$。由于 $AB$ 是椭圆$C$ 的直径，因此 $AB$ 垂直于 $F_1F_2$，即 $k_1k_2=-1$。又因为 $AB$ 过椭圆 $C$ 的右顶点，因此 $A,B$ 点在 $y$ 轴的坐标相等，即 $k_1=k_2$。解得 $k=-\frac{4}{\sqrt{5}}$，因此直线 $l$ 过定点 $(\frac{2}{\sqrt{5}},-\frac{8}{\sqrt{5}})$。

文章中存在大量的格式错误，需要进行修正。同时，有一些段落明显存在问题，需要删除。修正后的文章如下：

解析椭圆C：设椭圆C的标准方程为

$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$，则有点

$(3,3\sqrt{2})$在椭圆上，代入可得$2a=4$，因此椭圆C的方程为$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{8}=1$。该椭圆的焦点坐标分别为$(-1,0)$和$(1,0)$。

设点K的坐标为$(2x+1,2y)$，则线段KF1的中点B的坐标为$(x,y)$。代入椭圆方程可得$(2x+1)^2+8y^2=32$。

过原点的直线L与椭圆C相交的两点M，N关于坐标原点对称。设点P的坐标为$(x,y)$，则有$PM\cdot

PN=\frac{b^2x^2}{a^2}+\frac{a^2y^2}{b^2}=4$。因此，$PM\cdot PN$的值与点P的位置无关，同时与直线L无关，故可得$PM\cdot PN$为定值，即$4b^2-a^2$。

解析椭圆C：（Ⅰ）椭圆的标准方程为

$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$；（Ⅱ）设点A的坐标为$(x_1,y_1)$，点B的坐标为$(x_2,y_2)$，则有$x_1+x_2=-

\frac{2}{3}$和$\frac{x_1^2}{4}+\frac{y_1^2}{3}=1$，

$\frac{x_2^2}{4}+\frac{y_2^2}{3}=1$。由于以AB为直径的圆过椭圆的右焦点D$(2,0)$，因此有$\frac{(x_1-

2)^2}{4}+\frac{y_1^2}{3}=\frac{(x_2-

2)^2}{4}+\frac{y_2^2}{3}$。联立以上方程，可解得点A和点B的坐标。

综上所述，题目中给出的解法存在一些明显的问题，需要进行修正。同时，需要注意文章的格式错误，保证文章的整洁和易读。

根据题意，我们需要计算一些几何量并得出椭圆方程。

首先，根据勾股定理，可以求出直线OP的长度为

|OP|=√(x^2+y^2)，其中x=3c，y=4c-2.代入公式得到

|OP|=√(9c^2+(4c-2)^2)。

为了使|OP|最小，需要对其求导并令导数为0.经过计算，得到c=2时|OP|取最小值26.此时，点P的坐标为(23,±23)。

接下来，我们需要求出点M的坐标。根据题意，点M在直线OP上，且

接着，我们可以求出椭圆的长轴和短轴。根据题意，椭圆上有两个点A(2,-2)和B(2,8)。因此，可以计算出长轴的长度为2a=AB=10，进而求出短轴的长度为b=√(a^2-c^2)=√(12)。

最后，我们需要得出椭圆的方程。根据椭圆的定义，可得到方程为(x^2/16)+(y^2/12)=1.