高考圆锥曲线题型归类总结

圆锥曲线的七种常考题型

题型一：定义的应用 1、圆锥曲线的定义：

（1）椭圆 （2）双曲线 （3）抛物线 2、定义的应用

（1）寻找符合条件的等量关系 （2）等价转换，数形结合 3、定义的适用条件： 典型例题

例1、动圆M 与圆C 1：()2

2

136x y ++=内切,与圆C 2：()2

2

14x y -+=外切,求圆心M 的

轨迹方程。 例2、方程()

()

2

2

22668x y x y -+-

++=表示的曲线是

题型二：圆锥曲线焦点位置的判断（首先化成标准方程，然后再判断）： 1、椭圆：由2

2

x y 、分母的大小决定，焦点在分母大的坐标轴上。 2、双曲线：由2

2

x y 、系数的正负决定，焦点在系数为正的坐标轴上； 3、抛物线：焦点在一次项的坐标轴上，一次项的符号决定开口方向。 典型例题

例1、已知方程1212

2=-+-m

y m x 表示焦点在y 轴上的椭圆，则m 的取值范围是

例2、k 为何值时,方程

1592

2=---k

y k x 表示的曲线： (1)是椭圆；(2)是双曲线.

题型三：圆锥曲线焦点三角形（椭圆或双曲线上的一点与两焦点所构成的三角形）问题 1、常利用定义和正弦、余弦定理求解

2、12PF m PF n ==，，2

2

m n m n mn m n +-+，，，四者的关系在圆锥曲线中的应用 典型例题

例1、椭圆x a y

b

a b 222

210+=>>()上一点P 与两个焦点F F 12，的张角α=∠21PF F ，

求21PF F ∆的面积。

例2、已知双曲线的离心率为2，F 1、F 2是左右焦点，P 为双曲线上一点，且

6021=∠PF F ，

31221=∆PF F S ．求该双曲线的标准方程

题型四：圆锥曲线中离心率，渐近线的求法

1、a,b,c 三者知道任意两个或三个的相等关系式，可求离心率，渐进线的值；

2、a,b,c 三者知道任意两个或三个的不等关系式，可求离心率，渐进线的最值或范围；

3、注重数形结合思想不等式解法 典型例题

例1、已知1F 、2F 是双曲线122

22=-b

y a x （00>>b a ，）的两焦点，以线段21F F 为边作

正三角形21F MF ，若边1MF 的中点在双曲线上，则双曲线的离心率是（ ）

A. 324+

B. 13-

C.

2

1

3+ D. 13+ 例2、双曲线)00(122

22>>=-b a b

y a x ，的两个焦点为F 1、F 2,若P 为其

上一点，且|PF 1|=2|PF 2|,则双曲线离心率的取值范围为 A. (1，3) B.(]13，

C.(3,+∞)

D.[)3,+∞

例3、椭圆G ：22

221(0)x y a b a b

+=>>的两焦点为12(,0),(,0)F c F c -，椭圆上存在

点M 使120FM F M ⋅=. 求椭圆离心率e 的取值范围；

例4、已知双曲线22

221(00)x y a b a b

-=>>，的右焦点为F ，若过点F 且倾斜角为60︒的直线

与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是 （A ）(1,2] （B ）(1,2) （C ）[2,)+∞ （D ）(2,)+∞

题型五：点、直线与圆锥的位置关系判断 1、点与椭圆的位置关系

点在椭圆内⇔122

22<+b y a x

点在椭圆上⇔122

22=+b y a x

点在椭圆外⇔122

22>+b

y a x

2、直线与圆锥曲线有无公共点或有几个公共点的问题：

∆>0⇔相交

∆=0⇔相切 （需要注意二次项系数为0的情况） ∆<0⇔相离

3、弦长公式： =

AB )(11212212x x k x x k -+=-+a

k ∆

+=2

1 =AB )(1111212212y y k y y k -+=-+

a

k ∆+=211

4、圆锥曲线的中点弦问题： 1、韦达定理： 2、点差法：

（1）带点进圆锥曲线方程，做差化简 （2）得到中点坐标比值与直线斜率的等式关系

典型例题

例1、双曲线x 2－4y 2

=4的弦AB －被点M (3,-1)平分,求直线AB 的方程.

例2、已知中心在原点，对称轴在坐标轴上的椭圆与直线l :x+y=1交于A,B 两点，C 是AB 的中点，若|AB|=22，O 为坐标原点，OC 的斜率为2

2

，求椭圆的方程。

题型六：动点轨迹方程：

1、求轨迹方程的步骤：建系、设点、列式、化简、确定点的范围；

2、求轨迹方程的常用方法： （1）直接法：直接利用条件建立

之间的关系

；

例1、如已知动点P 到定点F(1,0)和直线的距离之和等于4，求P 的轨迹方程．

（2）待定系数法：已知所求曲线的类型，求曲线方程――先根据条件设出所求曲线的方程，再由条件确定其待定系数。

例2、如线段AB 过x 轴正半轴上一点M （m ，0）

，端点A 、B 到x 轴距离之积为2m ，

以x 轴为对称轴，过A 、O 、B 三点作抛物线，则此抛物线方程为

(3)定义法：先根据条件得出动点的轨迹是某种已知曲线，再由曲线的定义直接写出动点的轨迹方程； 例3、由动点P 向圆

作两条切线PA 、PB ，切点分别为A 、B ，∠APB=600

，则动点

P 的轨迹方程为

例4、点M与点F(4,0)的距离比它到直线的距离小于1，则点M的轨迹方程是_______

例5、一动圆与两圆⊙M：和⊙N：都外切，则动圆圆心的轨迹为

(4)代入转移法：动点依赖于另一动点的变化而变化，并且又在某已知曲线上，则可先用的代数式表示，再将代入已知曲线得要求的轨迹方程:

例6、如动点P是抛物线上任一点，定点为,点M分所成的比为2，则M的轨迹方程为__________

(5)参数法：当动点坐标之间的关系不易直接找到，也没有相关动点可用时，可考虑将均用一中间变量（参数）表示，得参数方程，再消去参数得普通方程）。

例7、过抛物线的焦点F作直线交抛物线于A、B两点，则弦AB的中点M的轨迹方程是

题型七：（直线与圆锥曲线常规解题方法）

一、设直线与方程；（提醒：①设直线时分斜率存在与不存在；②设为y=kx+b与x=my+n的区别）

二、设交点坐标；（提醒:之所以要设是因为不去求出它,即“设而不求”）

三、联立方程组；

四、消元韦达定理；（提醒：抛物线时经常是把抛物线方程代入直线方程反而简单）

五、根据条件重转化；常有以下类型：

①“以弦AB为直径的圆过点0”（提醒：需讨论K是否存在）

⇔OA OB ⊥ ⇔121K K ∙=- ⇔0OA OB ∙= ⇔ 12120x x y y +=

②“点在圆内、圆上、圆外问题”

⇔“直角、锐角、钝角问题” ⇔“向量的数量积大于、等于、小于0问题” ⇔1212x x y y +>0；

③“等角、角平分、角互补问题” ⇔斜率关系（120K K +=或12K K =）； ④“共线问题”

（如：AQ QB λ= ⇔数的角度：坐标表示法；形的角度：距离转化法）； （如：A 、O 、B 三点共线⇔直线OA 与OB 斜率相等）； ⑤“点、线对称问题” ⇔坐标与斜率关系； ⑥“弦长、面积问题”

⇔转化为坐标与弦长公式问题（提醒：注意两个面积公式的合理选择）； 六、化简与计算； 七、细节问题不忽略；

①判别式是否已经考虑；②抛物线问题中二次项系数是否会出现0. 基本解题思想：

1、“常规求值”问题：需要找等式，“求范围”问题需要找不等式；

2、“是否存在”问题：当作存在去求，若不存在则计算时自然会无解；

3、证明定值问题的方法：⑴常把变动的元素用参数表示出来，然后证明计算结果与参数无关；⑵也可先在特殊条件下求出定值，再给出一般的证明。

4、处理定点问题的方法：⑴常把方程中参数的同次项集在一起，并令各项的系数为零，求出定点；⑵也可先取参数的特殊值探求定点，然后给出证明

5、求最值问题时：将对象表示为变量的函数，几何法、配方法（转化为二次函数的最值）、三角代换法（转化为三角函数的最值）、利用切线的方法、利用均值不等式的方法等再解决；

6、转化思想：有些题思路易成，但难以实施。这就要优化方法，才能使计算具有可行性，关键是积累“转化”的经验；

7、思路问题：大多数问题只要忠实、准确地将题目每个条件和要求表达出来，即可自然而

然产生思路。 典型例题：

例1、已知点()0,1F ，直线l ：1y =-，P 为平面上的动点，过点P 作直线l 的垂线，垂足为Q ，且QP QF FP FQ =．

（1）求动点P 的轨迹C 的方程；

（2）已知圆M 过定点()0,2D ，圆心M 在轨迹C 上运动，且圆M 与x 轴交于A 、B

两点，设1DA l =，2DB l =，求

12

21

l l l l +的最大值．

例2、如图半圆，AB 为半圆直径，O 为半圆圆心，且OD ⊥AB ，Q 为线段OD 的中点，已知|AB |=4，曲线C 过Q 点，动点P 在曲线C 上运动且保持|PA |+|PB |的值不变.

(1)建立适当的平面直角坐标系，求曲线C 的方程；

(2)过D 点的直线l 与曲线C 相交于不同的两点M 、N ，且M 在D 、N 之间，设DN

DM

=λ，求λ的取值范围.

例3、设1F 、2F 分别是椭圆C ：22

221(0)x y a b a b +=>>的左右焦点。

（1）设椭圆C 上点3

(3,)2

到两点1F 、2F 距离和等于4，写出椭圆C

的方程和焦点坐

标；

（2）设K 是（1）中所得椭圆上的动点，求线段1KF 的中点B 的轨迹方程；

（3）设点P 是椭圆C 上的任意一点，过原点的直线L 与椭圆相交于M ，N 两点，当直线

PM ，PN 的斜率都存在，并记为PM k ，PN k ，试探究PM PN k K ⋅的值是否与点P 及直线L 有关，并证明你的结论。

例4、已知椭圆C 的中心在坐标原点，焦点在x 轴上，椭圆C 上的点到焦点距离的最大值为

3，最小值为1．

（Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；

（Ⅱ）若直线:l y kx m =+与椭圆C 相交于A ，B 两点（A B ，不是左右顶点），且以AB 为直径的圆过椭圆C 的右顶点，求证：直线l 过定点，并求出该定点的坐标．

例5、已知椭圆两焦点1F 、2F 在y 轴上，短轴长为22，离心率为

2

2

，P 是椭圆在第一 象限弧上一点，且121PF PF ⋅=，过P 作关于直线F 1P 对称的两条直线PA 、PB 分别交椭圆 于A 、B 两点。

（1）求P 点坐标；

（2）求证直线AB 的斜率为定值；

典型例题：

例1、

由①、②解得，2x a =±． 不妨设()2,0A a -，()2,0B a +， ∴()

2

124l a =

-+，()

2

224l a =

++．

∴22212124211221664

l l l l a l l l l a +++==

+ ()

2

22448162

216464

a a a a +==+++， ③

当0a ≠时，由③得，

1222121616

2121226428l l l l a a

+=++=⨯+≤．

当且仅当22a =±时，等号成立． 当0a =时，由③得，

12

21

2l l l l +=． 故当22a =±时，

12

21

l l l l +的最大值为22． 例2、解：(1)以AB 、OD 所在直线分别为

x 轴、y 轴，O 为原点，建立平面直角坐标系，

∵|PA |+|PB |=|QA |+|QB |=2521222=+＞|AB |=4. ∴曲线C 为以原点为中心，A 、B 为焦点的椭圆.

设其长半轴为a ,短半轴为b ,半焦距为c ,则2a =25,∴a =5,c =2,b =1.

∴曲线C 的方程为5

2x +y 2

=1.

(2)设直线l 的方程为y =kx +2,

代入5

2x +y 2=1,得(1+5k 2)x 2

+20kx +15=0.

Δ=(20k )2－4×15(1+5k 2)＞0,得k 2＞5

3

.由图可知21x x DN DM ==λ 由韦达定理得⎪⎪⎩

⎪⎪⎨⎧

+=

⋅+-=+2212

2151155120k x x k k x x

将x 1=λx 2代入得

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧+=λ+=λ+2222

22222

5115

)51(400)1

(k x k k x

两式相除得)

15(380

)51(15400)1(2

222k k k +=+=λλ+ 316

)51(3804,320515,3510,532222<+<<+<∴<<∴>k k k k 即

33

1

,0,316)1(42<λ<∴>=λ<λλ+<∴解得DN DM

① ,21DN

DM x x ==

λ M 在D 、N 中间，∴λ＜1

②

又∵当k 不存在时，显然λ=3

1

=DN DM (此时直线l 与y 轴重合) 综合得：1/3 ≤λ＜1.

例3、解：（1）由于点3(3,

)2在椭圆上，2

2

22

3(

)(3)

21a

b +=得2a =4, …2分

椭圆C 的方程为 22

143x y +=，焦点坐标分别为(1,0),(1,0)- ……4分

（2）设1KF 的中点为B （x, y ）则点(21,2)K x y + ………………………5分

把K 的坐标代入椭圆22143

x y +=中得

22

(21)(2)143

x y ++=……………7分

线段1KF 的中点B 的轨迹方程为 2

21()132

4

y x ++= ………………………8分

（3）过原点的直线L 与椭圆相交的两点M ，N 关于坐标原点对称

设0000(,)(,),

(,)M x y N x y p x y --,

,,M N P 在椭圆上，应满足椭圆方程，得2222

00222211x y x y a b a b +=+=， ……10分

PM

PN k K ⋅=22

0002

2

000

y y y y y y x x x x x x -+-⋅=-+-=22b a - ……………………………13分 故：PM PN k K ⋅的值与点P 的位置无关，同时与直线L 无关， ………………14分

例4、解：（Ⅰ）椭圆的标准方程为22

143

x y +=． …………（5分） （Ⅱ）设11()A x y ，，22()B x y ，，

联立22 1.43y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得222

(34)84(3)0k x mkx m +++-=，

222222122

2122

6416(34)(3)03408344(3)

.34m k k m k m mk x x k m x x k ⎧

⎪∆=-+->+->⎪

⎪

+=-⎨+⎪

⎪-=⎪+⎩

，即，则， 又222

2

121212122

3(4)

()()()34m k y y kx m kx m k x x mk x x m k

-=++=+++=+， 因为以AB 为直径的圆过椭圆的右焦点(20)D ，， 1AD BD k k ∴=-，即

12

12122

y y x x =---，

1212122()40y y x x x x ∴+-++=，222222

3(4)4(3)1640343434m k m mk

k k k

--∴+++=+++， 2291640m mk k ∴++=．

解得：12m k =-，227

k m =-

，且均满足22

340k m +->， 1、当12m k =-时，l 的方程为(2)y k x =-，直线过定点(20)，

，与已知矛盾； 2、当227k m =-

时，l 的方程为27y k x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，直线过定点207⎛⎫

⎪⎝⎭

，．

所以，直线l 过定点，定点坐标为207⎛⎫

⎪⎝⎭

，． …………（14分）

例5、解（1）22

142y x +=。

12(0,2),(0,2)F F -，设0000(,)(0,0)P x y x y >> 则100200(,2),(,2),PF x y PF x y =--=--- 22

1200(2)1PF

PF x y ∴⋅=--= 点00(,)P x y 在曲线上，则2200 1.24x y += 2

2

0042y x -∴= 从而2

2

004(2)12

y y ---=，得02y =，则点P 的坐标为(1,2)

（2）由（1）知1//PF x 轴，直线PA 、PB 斜率互为相反数，设PB 斜率为(0)k k >，

则PB 的直线方程为：2(1)y k x -=- 由222(1)124y k x x y ⎧-=-⎪

⎨+

=⎪⎩得

222(2)2(2)(2)40k x k k x k ++-+--=

设(,),B B B x y 则2222(2)222

122B k k k k x k k ---=-=++

同理可得222222A k k x k +-=+，则2

422A B k

x x k

-=+ 2

8(1)(1)2A B A B k

y y k x k x k -=----=+ 所以：AB 的斜率2A B

AB A B

y y k x x -=

=-为定值

例6、 解：（1）由3

4sin |

|||cos ,sin 34||||,sin ||||2

132θθθ

θt FP OF FP OF FP OF FP OF =⋅⋅==⋅⋅⋅=由得，

得.34tan t

=θ……………………3分

],0[3

tan 1344πθθ∈<<∴<< t ∴夹角θ的取值范围是（

3,

4π

π） (6)

分

（2）).0,(),,(),,(0000c OF y c x FP y x P =-则设

2

000000(,)(,0)()(31)3143

||||232OFP

OF FP x c y c x c c t c x c

S OF y y c

∆∴⋅=-⋅=-==-∴==⋅=∴=±………8分

22

22004343

||(3)(

)2326OP x y c c c c

∴=+=+≥⋅=………………10分 ∴当且仅当)32,32(,,62||,2,3

43±===

OP OP c c

c 此时取最小值时即 )3,2()1,0()32,32(33

=+=

∴OM 或)1,2()1,0()32,32(3

3-=+-=OM …………12分 椭圆长轴

12,48

)03()22()03()22(222222==∴=-+++-+-=b a a

或2

17

1,217117

1)01()22()01()22(222222+=

+=

∴+=--+++--+-=b a a 故所求椭圆方程为

112162

2=+y x .或12

17

12

17922=+++y x …………14分