高考圆锥曲线题型归类总结
圆锥曲线的七种常考题型
题型一：定义的应用 1、圆锥曲线的定义：
（1）椭圆 （2）双曲线 （3）抛物线 2、定义的应用
（1）寻找符合条件的等量关系 （2）等价转换，数形结合 3、定义的适用条件： 典型例题
例1、动圆M 与圆C 1：()2
2
136x y ++=内切,与圆C 2：()2
2
14x y -+=外切,求圆心M 的
轨迹方程。 例2、方程()
()
2
2
22668x y x y -+-
++=表示的曲线是
题型二：圆锥曲线焦点位置的判断（首先化成标准方程，然后再判断）： 1、椭圆：由2
2
x y 、分母的大小决定，焦点在分母大的坐标轴上。 2、双曲线：由2
2
x y 、系数的正负决定，焦点在系数为正的坐标轴上； 3、抛物线：焦点在一次项的坐标轴上，一次项的符号决定开口方向。 典型例题
例1、已知方程1212
2=-+-m
y m x 表示焦点在y 轴上的椭圆，则m 的取值范围是
例2、k 为何值时,方程
1592
2=---k
y k x 表示的曲线： (1)是椭圆；(2)是双曲线.
题型三：圆锥曲线焦点三角形（椭圆或双曲线上的一点与两焦点所构成的三角形）问题 1、常利用定义和正弦、余弦定理求解
2、12PF m PF n ==，，2
2
m n m n mn m n +-+，，，四者的关系在圆锥曲线中的应用 典型例题
例1、椭圆x a y
b
a b 222
210+=>>()上一点P 与两个焦点F F 12，的张角α=∠21PF F ，
求21PF F ∆的面积。
例2、已知双曲线的离心率为2，F 1、F 2是左右焦点，P 为双曲线上一点，且
6021=∠PF F ，
31221=∆PF F S ．求该双曲线的标准方程
题型四：圆锥曲线中离心率，渐近线的求法
1、a,b,c 三者知道任意两个或三个的相等关系式，可求离心率，渐进线的值；
2、a,b,c 三者知道任意两个或三个的不等关系式，可求离心率，渐进线的最值或范围；
3、注重数形结合思想不等式解法 典型例题
例1、已知1F 、2F 是双曲线122
22=-b
y a x （00>>b a ，）的两焦点，以线段21F F 为边作
正三角形21F MF ，若边1MF 的中点在双曲线上，则双曲线的离心率是（ ）
A. 324+
B. 13-
C.
2
1
3+ D. 13+ 例2、双曲线)00(122
22>>=-b a b
y a x ，的两个焦点为F 1、F 2,若P 为其
上一点，且|PF 1|=2|PF 2|,则双曲线离心率的取值范围为 A. (1，3) B.(]13，
C.(3,+∞)
D.[)3,+∞
例3、椭圆G ：22
221(0)x y a b a b
+=>>的两焦点为12(,0),(,0)F c F c -，椭圆上存在
点M 使120FM F M ⋅=. 求椭圆离心率e 的取值范围；
例4、已知双曲线22
221(00)x y a b a b
-=>>，的右焦点为F ，若过点F 且倾斜角为60︒的直线
与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是 （A ）(1,2] （B ）(1,2) （C ）[2,)+∞ （D ）(2,)+∞
题型五：点、直线与圆锥的位置关系判断 1、点与椭圆的位置关系
点在椭圆内⇔122
22<+b y a x
点在椭圆上⇔122
22=+b y a x
点在椭圆外⇔122
22>+b
y a x
2、直线与圆锥曲线有无公共点或有几个公共点的问题：
∆>0⇔相交
∆=0⇔相切 （需要注意二次项系数为0的情况） ∆<0⇔相离
3、弦长公式： =
AB )(11212212x x k x x k -+=-+a
k ∆
+=2
1 =AB )(1111212212y y k y y k -+=-+
a
k ∆+=211
4、圆锥曲线的中点弦问题： 1、韦达定理： 2、点差法：
（1）带点进圆锥曲线方程，做差化简 （2）得到中点坐标比值与直线斜率的等式关系
典型例题
例1、双曲线x 2－4y 2
=4的弦AB －被点M (3,-1)平分,求直线AB 的方程.
例2、已知中心在原点，对称轴在坐标轴上的椭圆与直线l :x+y=1交于A,B 两点，C 是AB 的中点，若|AB|=22，O 为坐标原点，OC 的斜率为2
2
，求椭圆的方程。
题型六：动点轨迹方程：
1、求轨迹方程的步骤：建系、设点、列式、化简、确定点的范围；
2、求轨迹方程的常用方法： （1）直接法：直接利用条件建立
之间的关系
；
例1、如已知动点P 到定点F(1,0)和直线的距离之和等于4，求P 的轨迹方程．
（2）待定系数法：已知所求曲线的类型，求曲线方程――先根据条件设出所求曲线的方程，再由条件确定其待定系数。
例2、如线段AB 过x 轴正半轴上一点M （m ，0）
，端点A 、B 到x 轴距离之积为2m ，
以x 轴为对称轴，过A 、O 、B 三点作抛物线，则此抛物线方程为
(3)定义法：先根据条件得出动点的轨迹是某种已知曲线，再由曲线的定义直接写出动点的轨迹方程； 例3、由动点P 向圆
作两条切线PA 、PB ，切点分别为A 、B ，∠APB=600
，则动点
P 的轨迹方程为
例4、点M与点F(4,0)的距离比它到直线的距离小于1，则点M的轨迹方程是_______
例5、一动圆与两圆⊙M：和⊙N：都外切，则动圆圆心的轨迹为
(4)代入转移法：动点依赖于另一动点的变化而变化，并且又在某已知曲线上，则可先用的代数式表示，再将代入已知曲线得要求的轨迹方程:
例6、如动点P是抛物线上任一点，定点为,点M分所成的比为2，则M的轨迹方程为__________
(5)参数法：当动点坐标之间的关系不易直接找到，也没有相关动点可用时，可考虑将均用一中间变量（参数）表示，得参数方程，再消去参数得普通方程）。
例7、过抛物线的焦点F作直线交抛物线于A、B两点，则弦AB的中点M的轨迹方程是
题型七：（直线与圆锥曲线常规解题方法）
一、设直线与方程；（提醒：①设直线时分斜率存在与不存在；②设为y=kx+b与x=my+n的区别）
二、设交点坐标；（提醒:之所以要设是因为不去求出它,即“设而不求”）
三、联立方程组；
四、消元韦达定理；（提醒：抛物线时经常是把抛物线方程代入直线方程反而简单）
五、根据条件重转化；常有以下类型：
①“以弦AB为直径的圆过点0”（提醒：需讨论K是否存在）
⇔OA OB ⊥ ⇔121K K ∙=- ⇔0OA OB ∙= ⇔ 12120x x y y +=
②“点在圆内、圆上、圆外问题”
⇔“直角、锐角、钝角问题” ⇔“向量的数量积大于、等于、小于0问题” ⇔1212x x y y +>0；
③“等角、角平分、角互补问题” ⇔斜率关系（120K K +=或12K K =）； ④“共线问题”
（如：AQ QB λ= ⇔数的角度：坐标表示法；形的角度：距离转化法）； （如：A 、O 、B 三点共线⇔直线OA 与OB 斜率相等）； ⑤“点、线对称问题” ⇔坐标与斜率关系； ⑥“弦长、面积问题”
⇔转化为坐标与弦长公式问题（提醒：注意两个面积公式的合理选择）； 六、化简与计算； 七、细节问题不忽略；
①判别式是否已经考虑；②抛物线问题中二次项系数是否会出现0. 基本解题思想：
1、“常规求值”问题：需要找等式，“求范围”问题需要找不等式；
2、“是否存在”问题：当作存在去求，若不存在则计算时自然会无解；
3、证明定值问题的方法：⑴常把变动的元素用参数表示出来，然后证明计算结果与参数无关；⑵也可先在特殊条件下求出定值，再给出一般的证明。
4、处理定点问题的方法：⑴常把方程中参数的同次项集在一起，并令各项的系数为零，求出定点；⑵也可先取参数的特殊值探求定点，然后给出证明
5、求最值问题时：将对象表示为变量的函数，几何法、配方法（转化为二次函数的最值）、三角代换法（转化为三角函数的最值）、利用切线的方法、利用均值不等式的方法等再解决；
6、转化思想：有些题思路易成，但难以实施。这就要优化方法，才能使计算具有可行性，关键是积累“转化”的经验；
7、思路问题：大多数问题只要忠实、准确地将题目每个条件和要求表达出来，即可自然而
然产生思路。 典型例题：
例1、已知点()0,1F ，直线l ：1y =-，P 为平面上的动点，过点P 作直线l 的垂线，垂足为Q ，且QP QF FP FQ =．
（1）求动点P 的轨迹C 的方程；
（2）已知圆M 过定点()0,2D ，圆心M 在轨迹C 上运动，且圆M 与x 轴交于A 、B
两点，设1DA l =，2DB l =，求
12
21
l l l l +的最大值．
例2、如图半圆，AB 为半圆直径，O 为半圆圆心，且OD ⊥AB ，Q 为线段OD 的中点，已知|AB |=4，曲线C 过Q 点，动点P 在曲线C 上运动且保持|PA |+|PB |的值不变.
(1)建立适当的平面直角坐标系，求曲线C 的方程；
(2)过D 点的直线l 与曲线C 相交于不同的两点M 、N ，且M 在D 、N 之间，设DN
DM
=λ，求λ的取值范围.
例3、设1F 、2F 分别是椭圆C ：22
221(0)x y a b a b +=>>的左右焦点。
（1）设椭圆C 上点3
(3,)2
到两点1F 、2F 距离和等于4，写出椭圆C
的方程和焦点坐
标；
（2）设K 是（1）中所得椭圆上的动点，求线段1KF 的中点B 的轨迹方程；
（3）设点P 是椭圆C 上的任意一点，过原点的直线L 与椭圆相交于M ，N 两点，当直线
PM ，PN 的斜率都存在，并记为PM k ，PN k ，试探究PM PN k K ⋅的值是否与点P 及直线L 有关，并证明你的结论。
例4、已知椭圆C 的中心在坐标原点，焦点在x 轴上，椭圆C 上的点到焦点距离的最大值为
3，最小值为1．
（Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；
（Ⅱ）若直线:l y kx m =+与椭圆C 相交于A ，B 两点（A B ，不是左右顶点），且以AB 为直径的圆过椭圆C 的右顶点，求证：直线l 过定点，并求出该定点的坐标．
例5、已知椭圆两焦点1F 、2F 在y 轴上，短轴长为22，离心率为
2
2
，P 是椭圆在第一 象限弧上一点，且121PF PF ⋅=，过P 作关于直线F 1P 对称的两条直线PA 、PB 分别交椭圆 于A 、B 两点。
（1）求P 点坐标；
（2）求证直线AB 的斜率为定值；
典型例题：
例1、
由①、②解得，2x a =±． 不妨设()2,0A a -，()2,0B a +， ∴()
2
124l a =
-+，()
2
224l a =
++．
∴22212124211221664
l l l l a l l l l a +++==
+ ()
2
22448162
216464
a a a a +==+++， ③
当0a ≠时，由③得，
1222121616
2121226428l l l l a a
+=++=⨯+≤．
当且仅当22a =±时，等号成立． 当0a =时，由③得，
12
21
2l l l l +=． 故当22a =±时，
12
21
l l l l +的最大值为22． 例2、解：(1)以AB 、OD 所在直线分别为
x 轴、y 轴，O 为原点，建立平面直角坐标系，
∵|PA |+|PB |=|QA |+|QB |=2521222=+＞|AB |=4. ∴曲线C 为以原点为中心，A 、B 为焦点的椭圆.
设其长半轴为a ,短半轴为b ,半焦距为c ,则2a =25,∴a =5,c =2,b =1.
∴曲线C 的方程为5
2x +y 2
=1.
(2)设直线l 的方程为y =kx +2,
代入5
2x +y 2=1,得(1+5k 2)x 2
+20kx +15=0.
Δ=(20k )2－4×15(1+5k 2)＞0,得k 2＞5
3
.由图可知21x x DN DM ==λ 由韦达定理得⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧
+=
⋅+-=+2212
2151155120k x x k k x x
将x 1=λx 2代入得
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧+=λ+=λ+2222
22222
5115
)51(400)1
(k x k k x
两式相除得)
15(380
)51(15400)1(2
222k k k +=+=λλ+ 316
)51(3804,320515,3510,532222<+<<+<∴<<∴>k k k k 即
33
1
,0,316)1(42<λ<∴>=λ<λλ+<∴解得DN DM
① ,21DN
DM x x ==
λ M 在D 、N 中间，∴λ＜1
②
又∵当k 不存在时，显然λ=3
1
=DN DM (此时直线l 与y 轴重合) 综合得：1/3 ≤λ＜1.
例3、解：（1）由于点3(3,
)2在椭圆上，2
2
22
3(
)(3)
21a
b +=得2a =4, …2分
椭圆C 的方程为 22
143x y +=，焦点坐标分别为(1,0),(1,0)- ……4分
（2）设1KF 的中点为B （x, y ）则点(21,2)K x y + ………………………5分
把K 的坐标代入椭圆22143
x y +=中得
22
(21)(2)143
x y ++=……………7分
线段1KF 的中点B 的轨迹方程为 2
21()132
4
y x ++= ………………………8分
（3）过原点的直线L 与椭圆相交的两点M ，N 关于坐标原点对称
设0000(,)(,),
(,)M x y N x y p x y --,
,,M N P 在椭圆上，应满足椭圆方程，得2222
00222211x y x y a b a b +=+=， ……10分
PM
PN k K ⋅=22
0002
2
000
y y y y y y x x x x x x -+-⋅=-+-=22b a - ……………………………13分 故：PM PN k K ⋅的值与点P 的位置无关，同时与直线L 无关， ………………14分
例4、解：（Ⅰ）椭圆的标准方程为22
143
x y +=． …………（5分） （Ⅱ）设11()A x y ，，22()B x y ，，
联立22 1.43y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得222
(34)84(3)0k x mkx m +++-=，
222222122
2122
6416(34)(3)03408344(3)
.34m k k m k m mk x x k m x x k ⎧
⎪∆=-+->+->⎪
⎪
+=-⎨+⎪
⎪-=⎪+⎩
，即，则， 又222
2
121212122
3(4)
()()()34m k y y kx m kx m k x x mk x x m k
-=++=+++=+， 因为以AB 为直径的圆过椭圆的右焦点(20)D ，， 1AD BD k k ∴=-，即
12
12122
y y x x =---，
1212122()40y y x x x x ∴+-++=，222222
3(4)4(3)1640343434m k m mk
k k k
--∴+++=+++， 2291640m mk k ∴++=．
解得：12m k =-，227
k m =-
，且均满足22
340k m +->， 1、当12m k =-时，l 的方程为(2)y k x =-，直线过定点(20)，
，与已知矛盾； 2、当227k m =-
时，l 的方程为27y k x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，直线过定点207⎛⎫
⎪⎝⎭
，．
所以，直线l 过定点，定点坐标为207⎛⎫
⎪⎝⎭
，． …………（14分）
例5、解（1）22
142y x +=。
12(0,2),(0,2)F F -，设0000(,)(0,0)P x y x y >> 则100200(,2),(,2),PF x y PF x y =--=--- 22
1200(2)1PF
PF x y ∴⋅=--= 点00(,)P x y 在曲线上，则2200 1.24x y += 2
2
0042y x -∴= 从而2
2
004(2)12
y y ---=，得02y =，则点P 的坐标为(1,2)
（2）由（1）知1//PF x 轴，直线PA 、PB 斜率互为相反数，设PB 斜率为(0)k k >，
则PB 的直线方程为：2(1)y k x -=- 由222(1)124y k x x y ⎧-=-⎪
⎨+
=⎪⎩得
222(2)2(2)(2)40k x k k x k ++-+--=
设(,),B B B x y 则2222(2)222
122B k k k k x k k ---=-=++
同理可得222222A k k x k +-=+，则2
422A B k
x x k
-=+ 2
8(1)(1)2A B A B k
y y k x k x k -=----=+ 所以：AB 的斜率2A B
AB A B
y y k x x -=
=-为定值
例6、 解：（1）由3
4sin |
|||cos ,sin 34||||,sin ||||2
132θθθ
θt FP OF FP OF FP OF FP OF =⋅⋅==⋅⋅⋅=由得，
得.34tan t
=θ……………………3分
],0[3
tan 1344πθθ∈<<∴<< t ∴夹角θ的取值范围是（
3,
4π
π） (6)
分
（2）).0,(),,(),,(0000c OF y c x FP y x P =-则设
2
000000(,)(,0)()(31)3143
||||232OFP
OF FP x c y c x c c t c x c
S OF y y c
∆∴⋅=-⋅=-==-∴==⋅=∴=±………8分
22
22004343
||(3)(
)2326OP x y c c c c
∴=+=+≥⋅=………………10分 ∴当且仅当)32,32(,,62||,2,3
43±===
OP OP c c
c 此时取最小值时即 )3,2()1,0()32,32(33
=+=
∴OM 或)1,2()1,0()32,32(3
3-=+-=OM …………12分 椭圆长轴
12,48
)03()22()03()22(222222==∴=-+++-+-=b a a
或2
17
1,217117
1)01()22()01()22(222222+=
+=
∴+=--+++--+-=b a a 故所求椭圆方程为
112162
2=+y x .或12
17
12
17922=+++y x …………14分
圆锥曲线高考题总结
圆锥曲线高考题总结 圆锥曲线是高考数学中非常重要的一个部分，以下是近年来高考中圆锥曲线题的总结： 直线与圆锥曲线的位置关系： 这是圆锥曲线部分最重要的考点之一，也是高考数学中的重点和难点。在考试中，通常会以小题和解答题的形式出现，而且常常伴随着字母的出现，难度相对较大。 圆锥曲线的参数方程： 参数方程是高中数学中的一个重要知识点，同时也是解决一些实际问题的工具。在高考中，通常会以选择题或填空题的形式出现，难度中等。 圆锥曲线的最值问题： 圆锥曲线的最值问题是高中数学中的一个难点，同时也是高考数学中的重点。在考试中，通常会以解答题的形式出现，而且常常伴随着字母的出现，难度较大。 圆锥曲线的轨迹方程： 轨迹方程是高中数学中的一个重要知识点，同时也是解决一些实际问题的工具。在高考中，通常会以选择题或填空题的形式出现，难度中等。 圆锥曲线的对称问题： 对称问题是高中数学中的一个难点，同时也是高考数学中的重点。在考试中，通常会以解答题的形式出现，难度较大。
以上是高考中圆锥曲线题的主要考点和题型，希望对你有所帮助。在复习时，一定要注重基础知识的掌握和解题方法的训练，同时也要注重思维的拓展和能力的培养。 圆锥曲线是高中数学中的一个重要部分，包括椭圆、双曲线和抛物线等。以下是圆锥曲线高考题的详细总结： 直线与圆锥曲线的位置关系： 这个考点是圆锥曲线部分的核心之一，主要考查直线与圆锥曲线的关系、交点、判别式等。在考试中，通常会以小题和解答题的形式出现，难度较大。解题时需要注意以下几点： （1）正确理解直线与圆锥曲线的位置关系，掌握判别式的使用方法； （2）能够根据题意设出直线方程，并联立方程组解出交点； （3）注意数形结合思想的应用，能够画出图形辅助解题。 圆锥曲线的参数方程： 参数方程是高中数学中的一个重要知识点，主要考查参数方程与普通方程的转化、参数的几何意义等。在考试中，通常会以选择题或填空题的形式出现，难度中等。解题时需要注意以下几点：（1）正确理解参数方程的意义和几何意义； （2）掌握参数方程与普通方程的转化方法； （3）注意数形结合思想的应用，能够画出图形辅助解题。 圆锥曲线的最值问题： 最值问题是高中数学中的一个难点，也是高考数学中的重点。主
高考圆锥曲线知识点、题型全总结
圆锥曲线全总结及全题型解析 1.圆锥曲线的两定义： 第一定义中要重视“括号”内的限制条件：椭圆中，与两个定点F ，F 的距离的和等于常，且此常数一定要大于，当常数等时，轨迹是线段 F F ，当常数小时，无 轨迹；双曲线中，与两定点F ，F 的距离的差的绝对值等于常数，且此常数一定要小于F |，定义中的“绝对值”与＜|F F|不可忽视。若＝|F F|，则轨迹是以F，F为端点的两条射线，若﹥|F F |，则轨迹不存在。若去掉定义中的绝对值则轨迹仅表示双曲线的一支。 2.圆锥曲线的标准方程（标准方程是指中心（顶点）在原点，坐标轴为对称轴时的标准位置的方程）： （1）椭圆：焦点在轴上时（），焦点在轴上时＝1（）。方程表示椭圆的充要条件是什么？（A B C≠0，且A，B，C同号，A≠B）。 （2）双曲线：焦点在轴上=1，焦点在轴上＝1（）。方表示双曲线的充要条件是什么？（ABC≠0，且A，B 异号）。 （3）抛物线：开口向右时，开口向左，开口向上时，开口向下时。 3.圆锥曲线焦点位置的判断（首先化成标准方程，然后再判断）： （1）椭圆：由, 分母的大小决定，焦点在分母大的坐标轴上。 （2）双曲线：由, 项系数的正负决定，焦点在系数为正的坐标轴上； （3）抛物线：焦点在一次项的坐标轴上，一次项的符号决定开口方向。 提醒：在椭圆中，最大，在双曲线中，最大。 4.圆锥曲线的几何性质： （1）椭圆（以（）为例）：①范围：；②焦点：两个焦点；③对称性：两条对称轴，一个对称中心（0,0），四个顶点，其中长轴长为，短轴长为；④准线：两条准线；⑤离心率：，椭圆，越小，椭圆越圆；越大，椭圆越扁。 （2）双曲线（以（）为例）：①范围：或；②焦点： 两个焦点；③对称性：两条对称轴，一个对称中心（0,0），两个顶点，其中实轴长为2 ，虚轴长为，特别地，当实轴和虚轴的长相等时，称为等轴双曲线，其方程可设为 ；④准线：两条准线；⑤离心率：，双曲线，等轴双曲线
高中数学圆锥曲线选择填空小题题型总结含答案
圆锥曲线 一、椭圆 1、椭圆的定义的应用：椭圆方程的第一定义：动点到两个定点的距离之和大于两个定点之间的距 离。 12122PF PF a F F +=>方程为椭圆，注意：在判断时千万别漏了 12F F >，否则扣分。 1．（椭圆定义的识别）F 1、F 2是定点，|F 1F 2|=6，动点M 满足|MF 1|+|MF 2|=6， 则点M 的轨迹是（ C ） A ．椭圆 B ．直线 C ．线段 D ．圆 2.（椭圆定义的应用）【辽宁省沈阳市东北育才学校2015高三上学期第一次阶段考试】平面内有一长度为4的线段AB ,动点P 满足6||||=+PB PA ,则||PA 的取值范围是（ A ） A ．]5,1[ B. ]6,1[ C. ]5,2[ D. ]6,2[ 3.（椭圆定义的识别）【黑龙江省牡丹江一中2015高三上学期期中】平面上动点A(x,y)满足 13 5 =+ y x ,B(-4,0),C(4,0),则一定有（ B ） A ．10<+AC A B B ．10≤+A C AB C.10>+AC AB D ．10≥+AC AB 4（中位线+椭圆定义）已知椭圆 19 252 2=+y x 上的一点M 到焦点1F 的距离为2,N 是1MF 的中点,O 为原点,则|O N |等于（ B ） （A ）2 （B ） 4 （C ） 8 （D ） 2 3 5.（椭圆第二定义）【2012全国1，文5】椭圆的中心在原点，焦距为4，一条准线为x ＝－4，则该椭圆的方程为( C ) A ． B ． C ． D ． 6、（中位线与椭圆的定义）已知椭圆C ：22 143 x y +=，点M 与C 的焦点不重合．若M 关于C 的焦点的对称点分别为A ，B ，线段MN 的中点在C 上，则||||AN BN += 8 ．（利用中位线+定义） 2211612x y +=221128x y +=22184x y +=22 1124 x y +=
圆锥曲线的七种常考题型详解【高考必备】
圆锥曲线的七种常考题型详解【高考必备】 圆锥曲线的七种常见题型 题型一：定义的应用 圆锥曲线的定义包括椭圆、双曲线和抛物线。在定义的应 用中，可以寻找符合条件的等量关系，进行等价转换和数形结合。适用条件需要注意。 例1：动圆M与圆C1：(x+1)+y=36内切，与圆C2：(x- 1)+y=4外切，求圆心M的轨迹方程。 例2：方程表示的曲线是什么？ 题型二：圆锥曲线焦点位置的判断 在判断圆锥曲线焦点位置时，需要将方程化成标准方程， 然后判断。对于椭圆，焦点在分母大的坐标轴上；对于双曲线，焦点在系数为正的坐标轴上；对于抛物线，焦点在一次项的坐 标轴上，一次项的符号决定开口方向。
例1：已知方程表示焦点在y轴上的椭圆，则m的取值范围是什么？ 例2：当k为何值时，方程是椭圆或双曲线？ 题型三：圆锥曲线焦点三角形问题 在圆锥曲线中，可以利用定义和正弦、余弦定理求解焦点三角形问题。PF，PF2=n，m+n，m-n，mn，m+n四者的关系在圆锥曲线中有应用。 例1：椭圆上一点P与两个焦点F1，F2的张角为α，求△F1PF2的面积。 例2：已知双曲线的离心率为2，F1、F2是左右焦点，P 为双曲线上一点，且∠F1PF2=60，求该双曲线的标准方程。 题型四：圆锥曲线中离心率、渐近线的求法
在圆锥曲线中，可以利用a、b、c三者的相等或不等关系式，求解离心率和渐近线的值、最值或范围。在解题时需要注重数形结合思想和不等式解法。 例1：已知F1、F2是双曲线的两焦点，以线段F1F2为边 作正三角形MF1F2，若边MF1的中点在双曲线上，则双曲线 的离心率是多少？ 例2：双曲线的两个焦点为F1、F2，渐近线的斜率为±1/2，求双曲线的标准方程。 题型五：圆锥曲线的参数方程 在圆锥曲线的参数方程中，需要注意参数的取值范围，可以通过消元或代数运算求解。 例1：求椭圆x^2/4+y^2/9=1的参数方程。 例2：求双曲线x^2/9-y^2/4=1的参数方程。 题型六：圆锥曲线的对称性
高考数学必考直线和圆锥曲线经典题型_含详解
1、中点坐标公式：1212,y 22 x x y y x ++= =，其中,x y 是点1122(,)(,)A x y B x y ，的中点坐标。 2、弦长公式：若点1122(,)(,)A x y B x y ，在直线(0)y kx b k =+≠上， 则1122y kx b y kx b =+=+，，这是同点纵横坐标变换，是两大坐标变换技巧之一， AB === = 或者AB = == = 3、两条直线111222:,:l y k x b l y k x b =+=+垂直：则121k k =- 两条直线垂直，则直线所在的向量120v v = 4、韦达定理：若一元二次方程2 0(0)ax bx c a ++=≠有两个不同的根12,x x ，则1212,b c x x x x a a +=- =。 ） 常见的一些题型： 题型一：数形结合确定直线和圆锥曲线的位置关系 例题1、已知直线:1l y kx =+与椭圆22 : 14x y C m +=始终有交点，求m 的取值范围 思路点拨：直线方程的特点是过定点（0，1），椭圆的特点是过定点（-2，0）和（2，0），和动点 04m ±≠（，且。 解：根据直线:1l y kx =+的方程可知，直线恒过定点（0，1），椭圆22 : 14x y C m +=过动点04m ±≠（，且，如果直线 :1l y kx =+和椭圆22 :14x y C m + =14m ≥≠，且，即14m m ≤≠且。 规律提示：通过直线的代数形式，可以看出直线的特点： :101l y kx =+?过定点（，） :(1)1l y k x =+?-过定点（，0） :2(1)1l y k x -=+?-过定点（，2） 证明直线过定点，也是将满足条件的直线整理成以上三种形式之一，再得出结论。 、 一、过一定点P 和抛物线只有一个公共点的直线的条数情况： （1）若定点P 在抛物线外，则过点P 和抛物线只有一个公共点的直线有3条：两条切线，一条和对称轴平行或重合的直线； （2）若定点P 在抛物线上，则过点P 和抛物线只有一个公共点的直线有2条：一条切线，一条和对称轴平行或重合的直线； （3）若定点P 在抛物线内，则过点P 和抛物线只有一个公共点的直线有1条：和抛物线的对称轴平行或重合的直线和抛物线只有一个交点。
圆锥曲线大题题型归纳
圆锥曲线大题题型归纳 基本方法： 1． 待定系数法：求所设直线方程中的系数，求标准方程中的待定系数a 、b 、c 、e 、p 等等； 2． 齐次方程法：解决求离心率、渐近线、夹角等与比值有关的问题； 3． 韦达定理法：直线与曲线方程联立，交点坐标设而不求，用韦达定理写出转化完成。要注意：如果方程的 根很容易求出，就不必用韦达定理，而直接计算出两个根； 4． 点差法：弦中点问题，端点坐标设而不求。也叫五条等式法：点满足方程两个、中点坐标公式两个、斜率 公式一个共五个等式； 5． 距离转化法：将斜线上的长度问题、比例问题、向量问题转化水平或竖直方向上的距离问题、比例问题、 坐标问题； 基本思想： 1．“常规求值”问题需要找等式，“求范围”问题需要找不等式； 2．“是否存在”问题当作存在去求，若不存在则计算时自然会无解； 3．证明“过定点”或“定值”，总要设一个或几个参变量，将对象表示出来，再说明与此变量无关； 4．证明不等式，或者求最值时，若不能用几何观察法，则必须用函数思想将对象表示为变量的函数，再解决； 5．有些题思路易成，但难以实施。这就要优化方法，才能使计算具有可行性，关键是积累“转化”的经验； 6．大多数问题只要真实、准确地将题目每个条件和要求表达出来，即可自然而然产生思路。 题型一：求直线、圆锥曲线方程、离心率、弦长、渐近线等常规问题 例1、 已知F 1，F 2为椭圆2100x +2 64 y =1的两个焦点，P 在椭圆上，且∠F 1 PF 2=60°，则△F 1 PF 2的面积为多少？ 点评：常规求值问题的方法：待定系数法，先设后求，关键在于找等式。 变式1、 已知12,F F 分别是双曲线223575x y -=的左右焦点，P 是双曲线右支上的一点，且 12F PF ∠=120?，求12F PF ?的面积。 例2．（淄博市2017届高三3月模拟考试）已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>经过点(1,2，离心率为2，
高考圆锥曲线题型归类总结
高考圆锥曲线的七种题型 题型一：定义的应用 1、圆锥曲线的定义： （1）椭圆 （2）椭圆 （3）椭圆 2、定义的应用 （1）寻找符合条件的等量关系 （2）等价转换，数形结合 3、定义的适用条件： 典型例题 例1、动圆M 与圆C 1:(x+1)2+y 2=36内切,与圆C 2:(x-1)2+y 2=4外切,求圆心M 的轨迹方程。 例2、方程表示的曲线是 题型二：圆锥曲线焦点位置的判断（首先化成标准方程，然后再判断）： 1、椭圆：由,分母的大小决定，焦点在分母大的坐标轴上。 2、双曲线：由 , 项系数的正负决定，焦点在系数为正的坐标轴上； 3、抛物线：焦点在一次项的坐标轴上，一次项的符号决定开口方向。 典型例题 例1、已知方程1212 2=-+-m y m x 表示焦点在y 轴上的椭圆，则m 的取值范围是
例2、k 为何值时,方程 1592 2=---k y k x 的曲线： (1)是椭圆; (2)是双曲线. 题型三：圆锥曲线焦点三角形（椭圆或双曲线上的一点与两焦点所构成的三角形）问题 1、椭圆焦点三角形面积2 tan 2 α b S = ；双曲线焦点三角形面积2 cot 2 α b S = 2、常利用第一定义和正弦、余弦定理求解 3、2 2 ,,,n m mn n m n m +-+四者的关系在圆锥曲线中的应用； 典型例题 例1、椭圆x a y b a b 222210+=>>()上一点P 与两个焦点F F 12，的张角∠F P F 12= α，求证：△F 1PF 2的面积为b 2 2 tan α。 例2、已知双曲线的离心率为2，F 1、F 2是左右焦点，P 为双曲线上一点，且 ， ．求该双曲线的标准方程 题型四：圆锥曲线中离心率，渐近线的求法
专题12 圆锥曲线压轴小题常见题型全归纳(精讲精练)(原卷版)
专题12 圆锥曲线压轴小题常见题型全归纳 【命题规律】 1、圆锥曲线的定义、方程与几何性质是每年高考必考的内容．一是求圆锥曲线的标准方程；二是求椭圆或双曲线的离心率、与双曲线的渐近线有关的问题；三是抛物线的性质及应用问题．多以选择、填空题的形式考查，难度中等． 2、通过对椭圆、双曲线、抛物线的定义、方程及几何性质的考查，着重考查了数学抽象、数学建模、逻辑推理与数学运算四大核心素养． 【核心考点目录】 核心考点一：阿波罗尼斯圆与圆锥曲线 核心考点二：蒙日圆 核心考点三：阿基米德三角形 核心考点四：仿射变换问题 核心考点五：圆锥曲线第二定义 核心考点六：焦半径问题 核心考点七：圆锥曲线第三定义 核心考点八：定比点差法与点差法 核心考点九：切线问题 核心考点十：焦点三角形问题 核心考点十一：焦点弦问题 核心考点十二：圆锥曲线与张角问题 核心考点十三：圆锥曲线与角平分线问题 核心考点十四：圆锥曲线与通径问题 核心考点十五：圆锥曲线的光学性质问题 核心考点十六：圆锥曲线与四心问题 【真题回归】 1．（2022·天津·统考高考真题）已知抛物线2 12,,y F F =分别是双曲线22 221(0,0)x y a b a b -=>>的左、右焦 点，抛物线的准线过双曲线的左焦点1F ，与双曲线的渐近线交于点A ，若124 F F A π∠=，则双曲线的标准方 程为（ ） A ．2 2110 x y -= B ．2 2 116 y x -=
C ．2 214 y x -= D ．2 214 x y -= 2．（2022·全国·统考高考真题）设F 为抛物线2:4C y x =的焦点，点A 在C 上，点(3,0)B ，若 AF BF =，则AB =（ ） A ．2 B ． C ．3 D ．3．（2022·全国·统考高考真题）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率为13，12,A A 分别为C 的左、右 顶点，B 为C 的上顶点．若121BA BA ⋅=-，则C 的方程为（ ） A ．22 11816 x y += B ． 2 219 8 x y C ．22 132x y += D ．2 212 x y += 4．（多选题）（2022·全国·统考高考真题）已知O 为坐标原点，点(1,1)A 在抛物线2:2(0)C x py p =>上，过点(0,1)B -的直线交C 于P ，Q 两点，则（ ） A ．C 的准线为1y =- B ．直线AB 与C 相切 C ．2 |OP OQ OA ⋅> D ．2||||||BP BQ BA ⋅> 5．（多选题）（2022·全国·统考高考真题）已知O 为坐标原点，过抛物线2:2(0)C y px p =>焦点F 的直线与C 交于A ，B 两点，其中A 在第一象限，点(,0)M p ，若||||AF AM =，则（ ） A ．直线A B 的斜率为B ．||||OB OF = C ．||4||AB OF > D ．180OAM OBM ∠+∠<︒ 6．（2022·全国·统考高考真题）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>，C 的上顶点为A ，两个焦点为1F ，2F ， 离心率为1 2．过1F 且垂直于2AF 的直线与C 交于D ，E 两点，||6DE =，则ADE 的周长是________________． 7．（2022·全国·统考高考真题）设点(2,3),(0,)A B a -，若直线AB 关于y a =对称的直线与圆22(3)(2)1x y +++=有公共点，则a 的取值范围是________． 8．（2022·全国·统考高考真题）已知直线l 与椭圆22 163 x y +=在第一象限交于A ，B 两点，l 与x 轴，y 轴分 别交于M ，N 两点，且||||,||MA NB MN ==l 的方程为___________． 【方法技巧与总结】 1、在利用圆锥曲线的定义求轨迹方程时，若所求的轨迹符合某种圆锥曲线的定义，则根据定义判定轨迹曲线并写出方程．有时还要注意轨迹是不是完整的曲线，如果不是完整的曲线，则应对其中的变量x 或y 进行限制． 2、应用圆锥曲线的定义时，要注意定义中的限制条件．在椭圆的定义中，要求122a F F >；在双曲线的定义
高三数学高考复习：圆锥曲线高考常见题型与分析
圆锥曲线高考常见题型与分析 有关圆锥曲线的高考命题一般紧扣课本，突出重点，全面考查．既有对基础知识的考查，又有与其他知识的综合考查，通过知识的重组与链接，使知识形成网络，下面例谈圆锥曲线高考题常见类型． 一、轨迹问题 例1 椭圆方程为2 2 14y x +=，过点(01)M ，的直线l 交椭圆于点A B O ，，是坐标原点，点P 满足1()2OP OA OB =+，当l 绕点M 旋转时，求动点P 的轨迹方程． 解：设()P x y ，，11()A x y ，，22()B x y ，， 由题意，得122x x x +=，122y y y +=，2121 1y y y x x x --=-． 又∵A B ，在椭圆上，代入椭圆方程并相减，得121212121()()()()04x x x x y y y y -++ -+=． 当12x x ≠时，有12121212 1()04y y x x y y x x -+++=-． 即112204y x y x -+=， 整理，得2240x y y +-=；① 当12x x =时，点A B ，的坐标分别为(02)， ，(02)-，，这时点P 的坐标为(00)，，也满足①． 故点P 的轨迹方程为：2 212111 1616 y x ??- ???+=． 评析：本题主要考查椭圆的方程和性质等基础知识及轨迹的求法与应用和综合解题能力．利用点差法是求解的关键． 二、对称问题 例2 已知椭圆C 的方程22 143 x y +=，试确定m 的取值范围，使得C 上有不同的两点关于直线4y x m =+对称． 解：设椭圆上两点为11()A x y ，，22()B x y ，， 代入椭圆方程并相减，得121212123()()4()()0x x x x y y y y +-++-=．① 又设AB 中点为()D x y ，，斜率为k ， 由题意得122x x x +=，122y y y +=，121214 y y k x x -==--， 代入①，得3y x =． 又由34y x y x m =??=+? ，，，解得D 点(3)m m --，． 要使D 点在椭圆内，则有22()(3)143m m --+<．解得2132131313 m -<<． 评析：在曲线上两点关于某直线对称问题，分三步：求两点所在的直线；求这两直线的交点；使交点在圆锥曲线内． 三、参数范围问题 例3 设双曲线2 22:1(0)x C y a a -=>与直线:1l x y +=相交于不同的点A B ，．试求C 的离心率e 的取值范围．
圆锥曲线题型归纳及解题技巧
圆锥曲线题型归纳及解题技巧 学好圆锥曲线的几个关键点 1、牢记核心知识点 核心的知识点是基础，好多同学在做圆锥曲线题时，特别是小题，比如椭圆，双曲线离心率公式和范围记不清，焦点分别在x轴，y轴上的双曲线的渐近线方程也傻傻分不清，在做题时自然做不对。 2、计算能力与速度 计算能力强的同学学圆锥曲线相对轻松一些，计算能力是可以通过多做题来提升的。后期可以尝试训练自己口算得到联立后的二次方程，然后得到判别式，两根之和，两根之积的整式。 当然也要掌握一些解题的小技巧，加快运算速度。 3、思维套路 拿到圆锥曲线的题，很多同学说无从下手，从表面感觉很难。老师建议：山重水复疑无路，没事你就算两步。大部分的圆锥曲线大题，都有共同的三部曲：
一设二联立三韦达定理。 一设：设直线与圆锥曲线的两个交点，坐标分别为（x1，y1），（x2，y2），直线方程为y=kx+b。 二联立：通过快速计算或者口算得到联立的二次方程。 三韦达定理：得到二次方程后立马得出判别式，两根之和，两根之积。 走完三部曲之后，在看题目给出了什么条件，要求什么。例如涉及弦长问题，常用“根与系数的关系”设而不求计算弦长(即应用弦长公式)；涉及弦的中点问题，常用“点差法”设而不求，将弦所在直线的斜率、弦的中点坐标联系起来，相互转化．总结起来：找值列等量关系，找范围列不等关系，通常结合判别式，基本不等式求解。 4、题型总结 圆锥曲线中常见题型总结 1、直线与圆锥曲线位置关系
这类问题主要采用分析判别式，有 △＞0，直线与圆锥曲线相交； △=0，直线与圆锥曲线相切； △＜0，直线与圆锥曲线相离． 若且a=0，b≠0，则直线与圆锥曲线相交，且有一个交点． 注意：设直线方程时一定要考虑斜率不存在的情况，可单独提前讨论。 2、圆锥曲线与向量结合问题 这类问题主要利用向量的相等，平行，垂直去寻找坐标间的数量关系，往往要和根与系数的关系结合应用，体现数形结合的思想，达到简化计算的目的。 3、圆锥曲线弦长问题 弦长问题主要记住弦长公式：设直线l与圆锥曲线C相交于A（x1，y1），B （x2，y2）两点，则：
圆锥曲线离心率题型归纳及解题技巧
圆锥曲线离心率题型归纳及解题技巧 圆锥曲线是一类常见的数学曲线形状，它的离心率是重要的曲线特征之一。离心率的概念和求解方法由此可知，有关离心率的题目也就成为高考中的重要题目之一了。本文将针对离心率圆锥曲线题型，从概念讲解其特点和求解方法，总结出常见的解题技巧，帮助学生们以更加有效的方式解答高考中的有关题目。 一、圆锥曲线离心率概念介绍 圆锥曲线（又称双曲线）是由两个圆组成的曲线形状，它的离心率是重要的曲线特征之一。离心率e的含义是：沿着椭圆的曲线，两个焦点到远点的距离与远点到椭圆长轴之间的比值。它的取值范围在0到1之间，且不会等于1。 e=|FO|/2a 其中FO是椭圆的焦距，2a为椭圆的长轴长度。显然，离心率越大，椭圆所在的曲线就越“扁”，当离心率等于1时，椭圆就变成了一条直线。 二、离心率椭圆曲线的求解 1.解题时首先要判断该圆锥曲线是否为椭圆曲线，及其离心率； 2.如果是椭圆曲线，那么根据上述定义，可以计算离心率e，即：e=|FO|/2a； 3.若有给定椭圆轴长2a和焦距|FO|，则可直接求出离心率e，即：e=|FO|/2a； 4.若有给定椭圆轴长2a和离心率e，则可求出焦距|FO|，即：
|FO|=2ae。 三、离心率椭圆曲线常用解题技巧 1.学生们在解离心率椭圆曲线的题目时，可以先把题目的数据推导出离心率的大小，这会使问题更加容易解答； 2.若问题涉及曲线上某点的坐标，可以根据离心率的大小，判断出曲线的形状，从而更方便的求解曲线上某点的坐标； 3.若问题中出现“最大长短轴之比”，可以考虑根据离心率求出曲线的长短轴，然后求出最大长短轴之比； 4.若问题中出现“最近点到焦点的距离”，可以考虑从曲线的射影中求解，也可以根据离心率的大小，判断出最近点到焦点的距离； 5.还可以根据椭圆的倾斜角，求出椭圆的方程，以及椭圆上某点的关系，从而解答相关题目。 四、结语 圆锥曲线离心率是数学曲线形状的重要特征，对于圆锥曲线题来说，学生们应该根据离心率概念及求解方法，掌握一些常用的解题技巧，以达到以更有效的方式解答高考中的有关题目。
圆锥曲线问题在高考的常见题型及解题技巧
圆锥曲线问题在高考的常见题型及解题技巧 圆锥曲线是解析几何中的一个重要分支，涉及广泛且难度较大。在高考中，经常出现 各种关于圆锥曲线的问题，如求解方程、定位点、证明定理、计算面积等等。本文将介绍 圆锥曲线问题在高考中的常见题型及解题技巧，以供大家参考。 常见题型 1. 判定方程类型 判定方程 $Ax^2+Bxy+Cy^2+Dx+Ey+F=0$ 的类型。同学们需要掌握二次型的知识，使 用行列式和 $\Delta$ 判别法即可。其中，行列式 $AC-B^2$ 确定了方程的类型： $AC-B^2>0$ 时，方程为椭圆方程； 2. 求曲线方程 通常给出几何条件，让同学们求出曲线方程。此类问题需要根据情况选择不同的方法，在此介绍两种主要的解法： （1）通过几何条件确定曲线类型，再代入方程求解。 例如，已知一个抛物线上的顶点坐标和另外一点的坐标，可以用顶点公式和对称性解 出对称轴和开口方向，进而确定方程。 （2）确定曲线焦点和准线，利用焦准式求解方程。 例如，已知一个双曲线的焦距和离心率，可以通过求出曲线的焦点和准线，利用焦准 式求解方程。 3. 定位点 通常给出一个几何条件，要求定位某个点的坐标。此类问题有多种方法，例如利用坐 标系的对称性、平移、伸缩等变化来确定点的位置，或者利用直线方程、曲线方程的关系 求解点的坐标等。 4. 证明定理 此类问题一般是让同学们证明某个定理或者结论。需要掌握各种定理的证明方法，例 如对偶证明、取对数证明、辅助线证明、画图论证等。 5. 计算面积 此类问题一般要求同学们计算某个图形或者曲面的面积。需要灵活运用面积公式、积 分等方法，注意确定积分区间以及被积函数的形式。
高考数学解析几何题型归纳
高考数学解析几何题型归纳 圆锥曲线的问题神奇的存在着，既需要学生的耐心也需要学生的细心，综合考察学生的数学计算能力，数学思考能力，综合分析解决问题能力，数形结合能力。还真的是一个比较难的问题，而圆锥曲线的计算量，经常让学生们闻风丧胆，而且经常会出现计算半天，一个符号错误满盘皆输。 所以今天咱们梳理下圆锥曲线的问题。问题归类后可以根据常用的方法来进行计算总结。 一、直线与圆锥曲线位置关系 代数法求解 几何法求解 在同一直角坐标系中画出圆锥曲线和直线，利用图象和性质可判断直线与圆锥曲线的位置关系。 二、中点弦问题可以用点差法 中点弦问题求解思路： （1）设点：设出弦的两端点坐标； （2）代入：代入圆锥曲线方程；
（3）作差：两式相减，再用平方差公式展开； （4）整理：转化为斜率与中点坐标的关系式，然后求解。 三、向量问题 一般方法总结 (1)焦点弦(过圆锥曲线焦点的弦)的长的有关问题，注意应用圆锥曲线的定义和焦半径公式。 (2)已知直线与圆锥曲线的某些关系求圆锥曲线的方程时，通常利用待定系数法。 (3)圆锥曲线上的点关于某一直线的对称问题，解此类题的方法是利用圆锥曲线上的两点所在的直线与对称直线垂直，则圆锥曲线上两点的中点一定在对称直线上，再利用根的判别式或中点与曲线的位置关系求解。 四、弦长问题： 五、面积问题 三角形面积 平行四边形面积： 六、对称与中垂线问题
七、定点定值问题 定点问题 (1)从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关。 (2)直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值。 定值问题 (1)可以从一般的情形进行论证，即用类似方程ax＋b＝0恒有解的思路来解决问题； (2)也可以运用从特殊到一般的思想来解决问题，即先求出特殊情形下的值，如直线的斜率不存在的情况，再论证该特殊值对一般情形也成立。 九、存在性问题： (1)存在性问题通常采用“肯定顺推法”，将不确定性问题确定化。 其步骤为假设满足条件的元素(点、直线、曲线或参数)存在，用待定系数法设出，列出关于待定系数的方程组，若方程组有实数解，则元素(点、直线、曲线或参数)存在；否则，元素(点、直线、曲线或参数)不存在。
2022届数学圆锥曲线题型归纳讲义 (3)
高考中的圆锥曲线问题题型一范围问题 例1 已知椭圆C：x 2 a2+y2 b2 =1（a＞b＞0）的离心率e=√3 2 ，直线x+√3y-1=0被 以椭圆C的短轴为直径的圆截得的弦长为√3. （1）求椭圆C的标准方程； （2）过点M（4，0）的直线l交椭圆于A，B两个不同的点，且λ=|MA|∙|MB|，求λ的取值范围 思维总结：解决圆锥曲线中的取值范围问题需要从以下几个方面考虑： （1）利用圆锥曲线的几何关系或判别式构造不等关系，确定参数的取值范围（2）利用已知的范围求新参数范围时，着重去寻找并建立两个参数之间的等量关系式 （3）利用题目中隐含的不等关系构造不等式，确定参数的取值范围 （4）利用题目中已知的不等关系构造不等式，确定参数的取值范围 （5）利用函数中求值域的方法，把需要求的量表示为其他相关变量的函数，求函数的值域，确定出参数的取值范围。 变式1 已知F1，F2是椭圆C：x 2 a2+y2 b2 =1（a＞b＞0）的两个焦点，P为C上的 点，O为坐标原点. （1）若△PO F2为等边三角形，求C的离心率 （2）如果存在点P，是的P F1⊥P F2，且△F1P F2的面积等于16，求b的值和a 的取值范围.
题型二最值问题 例2（几何法求最值）已知抛物线C1：y²=4x和C2：x²=2py（p＞0）的焦点分别为F1，F2，点P（-1，-1）且F1F2⊥OP（O为坐标原点）. （1）求抛物线C2的方程； （2）过点O的直线交C1的下半部分于点M，交C2的左半部分于点N，求△PMN 面积的最小值. 例3（代数法求最值）在平面直角坐标系中，O为坐标原点，圆O交x轴于点F1，F2，交y轴于点B1，B2，以B1，B2为顶点，F1，F2分别为左右焦点的椭圆E恰好）. 经过点（1，√2 2 （1）求椭圆E的标准方程； （2）设经过点（-2，0）的直线l与椭圆E交于M、N两点，，求△F2MN面积的最大值. 思维总结：圆锥曲线最值问题的两种求解方法 1.利用几何法，利用圆锥曲线的定义、几何性质以及平面几何中的定理、性质 等进行求解； 2.利用代数法，把要求最值的几何量或代数表达式表示为某个（某些）参数的 函数（或解析式），利用函数方法或不等式等方法进行求解. 变式2 已知直线l1：4x-3y+6=0和直线l2：x=-1，抛物线y²=4x上一动点P到直线l1和直线l2的距离之和的最小值是 .
高考数学 圆锥曲线的概念,解题方法、题型、易误点总结 试题
卜人入州八九几市潮王学校数学概念、方法、题型、易误点技巧总结——圆锥曲线 1.圆锥曲线的两个定义： 〔1〕第一定义中要重视“括号〞内的限制条件：椭圆中，与两个定点F，F的间隔的和等于常数，且此常数一定要大于，当常数等于时，轨迹是线段F F，当常数小于时，无轨迹；双曲线中，与两定点F，F的间隔的差的绝对值等于常数，且此常数一定要小于|F F|，定义中的“绝对值〞与＜|F F|不可无视。假设＝|F F|，那么轨迹是以F，F为端点的两条射线，假设﹥|F F|，那么轨迹不存在。假设去掉定义中的绝对值那么轨迹仅表示双曲线的一支。比方： ①定点，在满足以下条件的平面上动点P的轨迹中是椭圆的是 A．B． C．D．〔答：C〕； ②方程表示的曲线是_____〔答：双曲线的左支〕 〔2〕第二定义中要注意定点和定直线是相应的焦点和准线，且“点点距为分子、点线距为分母〞，其商即是离心率。圆锥曲线的第二定义，给出了圆锥曲线上的点到焦点间隔与此点到相应准线间隔间的关系，要擅长运用第二定义对它们进展互相转化。 如点及抛物线上一动点P〔x,y〕,那么y+|PQ|的最小值是_____〔答：2〕 2.圆锥曲线的HY方程〔HY方程是指中心〔顶点〕在原点，坐标轴为对称轴时的HY位置的方程〕： 〔1〕椭圆：焦点在轴上时〔〕〔参数方程，其中为参数〕，焦点在轴上时 ＝1〔〕。方程表示椭圆的充要条件是什么？〔ABC≠0，且A，B，C同号，A≠B〕。比方： ①方程表示椭圆，那么的取值范围为____〔答：〕； ②假设，且，那么的最大值是____，的最小值是___〔答：〕 〔2〕双曲线：焦点在轴上：=1，焦点在轴上：＝1〔〕。方程表示双曲线的充要条件是什么？〔ABC≠0，且A，B异号〕。比方： ①双曲线的离心率等于，且与椭圆有公一共焦点，那么该双曲线的方程_______〔答：〕；
圆锥曲线题型归纳(经典附含答案解析)
椭圆题型总结 一、 椭圆的定义和方程问题 (一) 定义: 1. 命题甲:动点P 到两点B A ,的距离之和);,0(2常数>=+a a PB PA 命题乙:P 的轨迹是以A 、B 为焦 点的椭圆,则命题甲是命题乙的 < B > A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分又不必要条件 2. 已知1F 、2F 是两个定点,且421=F F ,若动点P 满足421=+PF PF 则动点P 的轨迹是〔 D A.椭圆 B.圆 C.直线 D.线段 3. 已知1F 、2F 是椭圆的两个焦点,P 是椭圆上的一个动点,如果延长P F 1到Q ,使得2PF PQ =,那么动 点Q 的轨迹是< B > A.椭圆 B.圆 C.直线 D.点 4. 椭圆 19 252 2=+y x 上一点M 到焦点1F 的距离为2,N 为1MF 的中点,O 是椭圆的中心,则ON 的值是 4 。 5. 选做：F 1是椭圆15 92 2=+y x 的左焦点,P 在椭圆上运动,定点A 〔1,1,求||||1PF PA +的最小值。 解：26||2||2||||||221-=-≥-+=+AF a PF a PA PF PA (二) 标准方程求参数范围 1. 试讨论k 的取值范围,使方程1352 2=-+-k y k x 表示圆,椭圆,双曲线。 〔略 2. 轴上的椭圆”的表示焦点在”是“方程“y ny mx n m 102 2=+>>< C > A.充分而不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分又不必要条件 3. 若方程1cos sin 2 2 =+ααy x 表示焦点在y 轴上的椭圆,α所在的象限是〔 A A.第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 4. 方程2 31y x -=所表示的曲线是 椭圆的右半部分 . 5. 已知方程22 2 =+ky x 表示焦点在X 轴上的椭圆,则实数k 的范围是 k>1 (三) 待定系数法求椭圆的标准方程 1. 根据下列条件求椭圆的标准方程： 〔1两个焦点的坐标分别为〔0,5和〔0,－5,椭圆上一点P 到两焦点的距离之和为26； 〔2长轴是短轴的2倍,且过点〔2,－6； 〔3已知椭圆的中心在原点,以坐标轴为对称轴,且经过两点)2,3(),1,6(21--P P ,求椭圆方程. 2. 简单几何性质 1． 求下列椭圆的标准方程〔1 32,8= =e c ； 〔2过〔3,0点,离心率为 36 = e 。 〔3椭圆的对称轴为坐标轴上,短轴的一个端点与两个焦点组成一个正三角形,焦点到椭圆的最近距离是3。 〔4椭圆短轴的一个端点到一个焦点的距离为5,焦点到椭圆中心的距离为3,则椭圆的标准方程为 〔5已知P 点在以坐标轴为对称轴的椭圆上,点P 到两焦点的距离分别为354和3 52,过P 作长轴的垂线恰好过椭圆的一个焦点。
圆锥曲线的离心率14种题型归纳与专项练习
圆锥曲线的离心率14种题型归纳与专项练习 【题型一】 判断横放竖放求参 【典例分析】 已知实数1,,9m 成等比数列，则圆锥曲线2 21x y m +=的离心率为（ ） A B ．2 C 2 D 【答案】C 【分析】根据1,,9m 成等比数列求得 m ，再根据离心率计算公式即可求得结果. 【解析】因为实数1,,9m 成等比数列，故可得29m =，解得3m =或3m =-； 当3m =时，2 21x y m +=表示焦点在x 轴上的椭圆，此时e =； 当3m =-时，2 21x y m +=表示焦点在y 轴上的双曲线，此时2e ==. 故选：C. 【经验总结】 依据椭圆和双曲线定义好几何性质，对方程中含参判断，要从以下几方面： 1、通过讨论，确定焦点在x 轴还是在y 轴上判断（即俗称的横放还是竖放）。 2、“椭圆”要注意避开俩分母相等这个计算坑 【变式演练】 1.已知双曲线22 :1(0)8 x y M a a a - =>+的离心率为2，则双曲线M 的渐近线方程是（ ） A ．y = B ．y x = C ．3y x =± D ．y = 【答案】A 【分析】 先由离心率的值求出a 的值，则可得双曲线方程，从而可求出其渐近线方程 【解析】因为双曲线的离心率为2， 所以 84a a a ++=，解得4a =，所以双曲线方程为22 1412 x y -=，
由22 0412 x y - = ，得y = ，所以双曲线的渐近线方程为y =，故选：A 2.已知曲线C ：2231mx y += 的离心率e m 值为（ ） A ．6 B ．-6 C ．32 D ．32 - 【答案】D 【分析】 由曲线C ：2231mx y += 的离心率1e =>，得出是双曲线，进而得出213a =，2 1b m =-， 由离心率c e a === 【解析】因为曲线C ：2231mx y += 的离心率1e =>， 所以曲线C ：2231mx y +=为双曲线，即0m <，所以213a =，2 1b m =-， 所以离心率c e a ===32m =-， 故选：D ． 3.设e 是椭圆221(0)x my m +=>的离心率，且10,2e ⎛⎫ ∈ ⎪⎝ ⎭ ，则实数m 的取值范围是（ ） A ．10,4⎛⎫ ⎪⎝⎭ B ．34,11,43⎛⎫⎛⎫⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ C ．(0,1)(1,2) D ．4,23⎛⎫ ⎪⎝⎭ 【答案】B 【分析】根据椭圆焦点位置分情况讨论. 【解析】当椭圆焦点在x 轴上时，椭圆方程为221 1 1x y m += ，即1 11 2m ⎧<⎪，解得413m <<， 当椭圆焦点在y 轴上时，椭圆方程为22 111y x m += 即1112 m ⎧>⎪⎪，解得314m <<， 综上：34,11,43 m ⎛⎫⎛⎫ ∈ ⎪ ⎪⎝ ⎭⎝ ⎭ ，故选：B. 【题型二】 直接法 【典例分析】 椭圆上的点到椭圆的焦点的距离的最大值与椭圆的短轴长相等，则椭圆的离心率为（ ）
圆锥曲线大题题型分类归纳大全
圆锥曲线大题题型归纳梳理 圆锥曲线中的求轨迹方程问题 解题技巧 求动点的轨迹方程这类问题可难可易是高考中的高频题型，求轨迹方程的主要方法有直译法、相关点法、定义法、参数法等。 【例1.】已知平面上两定点),,(),,(2020N M -点P 满足MN MP =•求点P 的轨迹方程。 【例2.】已知点P 在椭圆14 22 =+y x 上运动，过P 作y 轴的垂线，垂足为Q ，点M 满足,PQ PM 3 1 =求动点M 的轨迹方程。 【例3.】已知圆),,(,)(:023622 2 B y x A =++点P 是圆A 上的动点，线段PB 的中垂线交 PA 于点Q ，求动点Q 的轨迹方程。 【例4.】过点),(10的直线l 与椭圆14 2 2 =+y x 相交于B A ,两点，求AB 中点M 的轨迹方程。 巩固提升 1. 在平面直角坐标系xOy 中，点()(),,,,4010B A 若直线02++-m y x 上存在点P ,使得 ,PB PA 2 1 = 则实数m 的取值范围为_________________.
2. 已知()Q P ,,24-为圆42 2 =+y x O :上任意一点，线段PQ 的中点为,M 则OM 的取值 范围为________________. 3. 抛物线x y C 42 :的焦点为,F 点A 在抛物线上运动，点P 满足,FA AP 2-=则动点P 的轨迹方程为_____________________. 4. 已知定圆,)(:10042 2 =++y x M 定点),,(40F 动圆P 过定点F 且与定圆M 内切，则动圆圆心P 的轨迹方程为____________________. 5. 已知定直线,:2-=x l 定圆,)(:442 2 =+-y x A 动圆H 与直线l 相切，与定圆A 外切，则动圆圆心H 的轨迹方程为____________________ 6. 直线033=+-+t y tx l :与抛物线x y 42=的斜率为1的平行弦的中点轨迹有公共点，则实数t 的取值范围为_________________. 7. 抛物线y x 42 =的焦点为,F 过点),(10-M 作直线l 交抛物线于B A ,两点，以BF AF ,为邻边作平行四边形,FARB 求顶点R 的轨迹方程。 8. 在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l 与椭圆112 242 2=+y x C : 相交于B A ,两点，O 为坐标原点。 （1）若直线l 的方程为,062=-+y x 求OB OA •的值； （2）若,12-=•OB OA 求线段AB 的中点M 的轨迹方程。
高考数学 圆锥曲线-双曲线题型总结
二、双曲线 1、（21）（本小题满分14分）08某某 已知中心在原点的双曲线C 的一个焦点是()0,31-F ，一条渐近线的方程是025=-y x . （Ⅰ）求双曲线C 的方程； （Ⅱ）若以()0≠k k 为斜率的直线l 与双曲线C 相交于两个不同的点M ，N ，线段MN 的垂直平分线与两坐标轴围成的三角形的面积为 2 81 ，求k 的取值X 围. （21）本小题主要考查双曲线的标准方程和几何性质、直线方程、两条直线垂直、线段的定比分点等基础知识，考查曲线和方程的关系等解析几何的基本思想方法，考查推理运算能力．满分14分． （Ⅰ）解：设双曲线C 的方程为22 221x y a b -=（0,0a b >>）．由题设得 229 5a b b a ⎧+=⎪⎨=⎪⎩，解得22 45 a b ⎧=⎪ ⎨=⎪⎩，所以双曲线方程为22145x y -=． 的方程为y kx m =+（0k ≠）．点11(,)M x y ，22(,)N x y 的坐标满足方程组 （Ⅱ）解：设直线l 2 2 145 y kx m x y =+⎧⎪⎨- =⎪⎩ 将①式代入②式，得22 ()145 x kx m +-=，整理得222(54)84200k x kmx m ----=． 此方程有两个一等实根，于是2 504k -≠，且2 2 2 (8)4(54)(420)0km k m ∆=-+-+>．整理得 22540m k +->． ③ 由根与系数的关系可知线段MN 的中点坐标00(,)x y 满足 12024254x x km x k += =-，00 2 554m y kx m k =+=-． 从而线段MN 的垂直平分线方程为22 514()5454m km y x k k k -=----． 此直线与x 轴，y 轴的交点坐标分别为29(,0)54km k -， 29(0,)54m k -．由题设可得22 19981||||254542 km m k k ⋅=--．整理得222 (54)||k m k -=，0k ≠． 将上式代入③式得 22 2(54)540|| k k k -+->，整理得22(45)(4||5)0k k k --->，0k ≠．