时间测量中随机误差的分布规律
不确定度与数据处理
待测物理量(平均值或真值）处在
置信区间的置信概率为68.3%
置信区间的置信概率为99.7%
置信区间的置信概率为95.4%
一 、直接测量量的不确定度
2、直接测量量B类 标准不确定度：
二 、间接测量量的不确定度
——间接测量量的不确定度传递与合成
直接、
有效数字的处理原则
（1）直接测量量：测量结果的有效数字与测量仪器的最小分度值密切相关，读数规则： 1)对于能连续读数仪器，必须估读到最小分度值的下一位：例如，用米尺测长度：130.5mm，130.0mm 长度为130mm 与130.0mm代表不同的测量精度。 2)对于不能连续读数的仪器，读到仪器最小分度值。如，游标类仪器，数字式仪表等。
作图法:用坐标纸或计算机
1)坐标的选择：最常用的是直角坐标，对数坐标、半对数坐标 2)确定坐标轴和标注坐标分度： 选取坐标轴并标出各坐标轴所代表的物理量，即坐标轴名称及物理量的单位。 一般自变量作为横轴， 坐标分度：原则上数据中的可靠数字在图中也应可靠，可疑位在图中应是估计。 3)适当选取x轴和y轴的比例和坐标的起点，使图线比较对称的充满整个图纸 4)标明实验点：根据所测得的数据，选用符号标明实验点。 5)连接实验图线：根据不同函数关系的实验数据点的分布，将点连成直线和光滑的曲线，数据点均匀地分布在图线两侧。作为校准曲线，将各校准点连成折线。 6)标明图名称
2.00
3.00
4.00
5.00
6பைடு நூலகம்00
7.00
8.00
9.00
10.00
l(mm)
47.0
56.9
66.8
76.4
86.4
96.0
实验名称：时间测量中随机误差的分布规律
实验名称：时间测量中随机误差的分布规律实验目的：用常规仪器（如电子秒表，频率计等）测量时间间隔，通过对时间和频率测量的随机误差分布，学习用统计方法研究物理现象的过程和研究随机误差的分布规律。
实验器材及规格：秒表0.01s实验原理：1常用时间测量仪器的简要原理：机械节拍器：由齿轮带动摆做周期性运动，摆动周期可以通过改变摆锤的位置来连续调节。
电子节拍器：由石英晶体震荡器，计数器，译码器，电源，分档控制及显示部分组成。
按一定频率发出有规律的声音和闪光。
电子秒表：机心由CMOS集成电路组成，石英晶体震荡器做时标，一般用6位液晶数字显示。
连续累积时间59min,59.99s,分辨频率为0.01s。
V AFN多用数字测试仪：由PMOS集成元件和100kHs石英晶体震荡器构成。
可测量记数，震动，累计，速度，加速度，碰撞，频率，转速，角速，脉宽等。
时标由DC10集成电路和100kHs石英晶体震荡器构成。
2在不考虑系统误差的前提下，用时间测量仪器，测量同一时间N次，统计时间分布规律，并且分析误差。
当N趋于无穷时，各测量值出现的概率密度可用正态分布的概率密度函数表示：221()/21()niiX Xf x eσ=⎡⎤--⎢⎥⎢⎥⎣⎦∑=平均值计算公式：1/niiX X n==∑标准差计算公式：Xσ=（1）统计直方图方法在一组等精度测量的N个结果中，找出最大最小值，再有此得到极差max minR X X=-。
将极差分为K 个部分。
每个区间长度x ∆MAX MINX X R x K K-∆== 将落在每个区间的次数称为频数，i n N 称为频率。
最后以X 为横轴i nN为纵轴做图。
（2）密度分布曲线利用直方图中得到的概率密度值，以概率密度值为纵坐标，x 为横坐标可的密度分布曲线，数据处理:最小值min 1.76X s=最大值m a x 2.15X s=平均值 1.96X s =标准差0.072sσ=0.0051s Ua σ==因为人反应时间约为0.2s,秒表仪器误差约为0.01s,所以取 B 类不确定度B ∆0.95t =1.96 , 0.95k =1.96.误差合成：0.13s U ==P ≥0.95测量结果 ()1.960.13T s =± P ≥0.95图表统计如下:取区间数K=15，区间长0.028s 。
时间测量中随机误差的分布规律~
时间测量中随即误差的分布规律
生命科学院 PB05207009 王一莘
实验内容：
1． 时间间隔测量：用电子秒表测量机械节拍器的摆动周期
2． 统计规律的研究
实验步骤：
将电子节拍器的声节拍频率设定为3个周期，旋紧发条。
实验组两位成员：一为手持秒表，从上一周期结束开始计时直至节拍器鸣响结束计时，将实验数据报告另一成员，由另一成员记录数据。
重复上述实验步骤200次。
数据处理：
做统计直方图，并对此图做高斯拟合。
5
注：区间长度经计算应取0.023s ，此直方图取0.025s
=)(σP 0.677
=)2(σP 0.940
=)3(σP 0.989
实验结论： 统计直方图与概率密度分布曲线拟合较好，测量值基本符合正态分布。
误差分析及思考题：
实验中，秒表：s p 2.0=∆ s T 01.0=∆，以及人为听觉敏锐度的差异都将引入误差特别是人为误差因人而已。
1． 答：主要误差为秒表：s p 2.0=∆ s T 01.0=∆，以及人为听觉敏锐度的差异
2． 答：基本符合正态分布规律。
01时间测量中随机误差的分布规律
实验报告：时间测量中随机误差的分布规律张贺PB07210001一、实验题目：时间测量中随机误差的分布规律二、实验目的：用常规仪器（如电子秒表、频率计等）测量时间间隔，通过对时间和频率测量的随机误差分布，学习用统计方法研究物理现象的过程和研究随机误差分布的规律。
三、实验仪器:电子秒表、机械节拍器四、实验原理：1.常用时间测量仪表的简要原理：（1）机械节拍器：由齿轮带动摆做周期性运动，摆动周期可以通过改变摆锤的位置连续调节。
（2）电子节拍器：由石英晶体振荡器、计数器、译码器、电源和分档控制及显示部分组成。
电子节拍器按一定的频率发出有规律的声响和闪光，声、光节拍范围为 1.5～0.28846s，分为39挡，各挡发生和闪光的持续时间约为0.18s。
（3）电子秒表：兼有数种测时功能（秒、分、时、日、月和星期），便于携带和测量的常用电子计时器。
电子秒表机芯由CMOS 集成电路组成，用石英晶体振荡器作时标，一般用六位液晶数字显示，其连续积累时间数为59min59.99s 。
分辨率为0.01s ，平均日差0.5s 。
（4） V AFN 多用数字测试仪：由PMOS 集成元件和100kHz 石英晶体振荡器构成。
可测量计数、振动、累计、速度、加速度、碰撞、频率、转速、角速、脉宽。
时标：由DC10集成电路和100kHz 石英晶体振荡器组成。
电路可直接输出0.01ms ，0.1ms ，1ms ，10ms ，0.1s ，1s 六挡方波脉冲作为时标信号和闸门时间。
石英晶体振荡器的稳定度为1.2×105-s/d ；频率测量范围1Hz~100kHz ；电信号输入幅度为300mV 。
2. 统计分布规律的研究：假设在近似消除了系统误差（或系统误差很小，可忽略不计，或系统误差为一恒定值）的条件下，对某物理量x 进行N 次等精度测量，当测量次数N 趋向无穷大时，各测量值出现的概率密度分布可用正态分布（又称高斯分布）的概率密度函数表示，]2)(exp[21)(22--=σπσx x x f （1）式中x 为测量的算术平均值，σ为测量列的标准差，nxx ni i∑==1（2）1)(12--=∑=n x x ni i σ （3）⎰-=aadx x f a P )()( （4）式中a=σ,2σ,3σ. （1） 统计直方图方法统计直方图是用实验研究某一物理现象统计分布规律的一种直观的方法。
《互换性与测量技术》(习题答案)
第1章绪论一、填空题1．几何参数互换性功能互换性2．完全互换不完全互换不完全互换3．误差检测4．基础标准产品标准方法标准安全和环境保护标准5．R5 R10 R20 R40 先疏后密R80 参数分级很细或基本系列中的优先数不能适应实际情况二、选择题1．ABCD 2．A B 3．B三、判断题1．×2．×3．√4．√四、问答题1．什么是互换性？互换性在机械设计与制造中的意义如何？答：互换性是指在同一规格的一批零件或部件中，任取其一，不需任何挑选、调整或修配（如钳工修理）就能装在机器上，达到规定的性能要求。
互换性给产品的设计、制造、使用和维修都带来了很大的方便。
（1）设计方面从设计方面看，由于采用按互换性原则设计和生产的标准零件和部件，可以简少绘图、计算等设计工作量，缩短设计周期，提高设计的可靠性，有利于产品的多样化和计算机辅助设计。
（2）制造方面从制造方面看，互换性有利于组织大规模专业化生产，有利于采用先进的工艺和高效的专用设备，有利于实现加工和装配过程的机械化、自动化。
互换性与测量技术（3）使用和维修方面从使用和维修方面看，具有互换性的零部件在磨损或损坏后可以及时更换，因而减少了机器的维修时间和费用，可保证机器工作的连续性和持久性，提高了机器的使用价值。
因此，互换性对保证产品质量、提高生产率、降低产品成本、降低劳动强度等方面均具有重要意义，它已成为现代机械制造业中一个普遍遵循的原则。
2．完全互换和不完全互换有何区别？答：完全互换是指在零部件装配或更换时，不需要选择、调整或修配，就可以达到预定的装配精度要求。
例如，常见的螺栓、螺母等标准件的互换性就属于完全互换。
不完全互换是指在装配前需要将零部件预先分组或在装配时需要进行少量修配调整才能达到装配精度的要求。
例如，拖拉机、汽车的活塞销和活塞销孔装配时的分组法装配、减速机轴承盖装配时的垫片厚度调整法装配等都属于不完全互换。
3．按级别分，标准可分为哪几类？答：按级别分，我国的标准可分为国家标准、行业标准、地方标准和企业标准四级。
单摆和时间测量
实验报告05级 少年班 陈晨 Pb05000827实验题目:单摆的设计和研究实验目的：利用经典的单摆公式，给出的器材和对重力加速度g 的测量精度的要求,进行简单的设计性实验基本方法的训练学会应用误差均分原则选用适当的仪器和测量方法，学习积累放大法的原理及应用。
实验仪器：实验室提供以下器材（及参数）：游标卡尺、米尺、千分尺、电子秒表、支架、细线（尼龙线）、钢球、摆幅测量标尺（提供硬白纸板自制）、天平（公用）。
假设摆长l ≈70.00cm ；摆球直径D ≈2.00cm ；摆动周期T ≈1.700s ；米尺精度Δ米≈0.05cm ；卡尺精度Δ卡≈0.002cm ；千分尺精度Δ千≈0.001cm ；秒表精度Δ秒≈0.01s ；根据统计分析，实验人员开、停秒表总的反映时间近似为Δ人≈0.2s 。
实验原理：单摆结构如图，当摆角充分小（一般θ<5○）摆球直径充分短（相对于摆线）时，单摆的一级近似周期公式为 glT π2= 因此通过测量摆动周期T ，摆长L 可得224T Lg π=实验内容：1、 用误差均分原理设计一单摆装置，测量重力加速度g ，设计要求：（1） 根据误差均分原理，自行设计实验方案，合理选择测量仪器和方法。
（2） 写出详细的推导过程，实验步骤。
（3） 用自制的单摆装置测量重力加速度g ，测量精度要求%1<∆gg。
2、对重力加速度g 的测量结果进行误差分析和数据处理，检验实验结果是否达到设计要求。
实验设计：以下利用误差均分原理设计一套单摆装置，测量重力加速度g ，测量精度要求%1<∆gg。
由于glT π2=，所以224T L g π=取对数 T L g ln 2ln 4ln ln 2-+=π 求微分TdTL dL g dg 2-= 按最大不确定度公式估算，有TTL L g g ∆+∆=∆2 应用均分原理%5.0≤∆L L ，%5.02≤∆TT将摆长L 和摆球直径D 的粗测值cm l 00.70≈，cm D 00.2≈代入，有 cm l 35.0≤∆和cm D 01.0≤∆结合器材精度参数考虑，选用精度足够的米尺测摆线长，游标卡尺测小球直径。
时间测量中随机误差的分布规律
实验报告实验名称 时间测量中随机误差的分布规律实验目的 用常规仪器（如电子秒表、频率计等）测量时间间隔，通过对时间和频率测量的随机误差分布，学习用统计方法研究物理现象的过程和研究随机误差分布的规律。
实验仪器 机械节拍器，电子秒表。
实验原理 1.常用时间测量仪表的简要原理（1）机械节拍器（2）电子节拍器 （3）电子秒表（4）VAFN 多用数字测试仪用电子秒表测量机械节拍器发声的时间间隔,机械节拍器按一定的频率发出有规律的声响，电子秒表用石英晶体振荡器作时标,一般用六位液晶数字显示,其连续积累时间为59min59.99s,分辨率为0.01s,平均日差0.5s 。
2.统计分布规律的研究假设在近似消除了系统误差（或系统误差很小，可忽略不计，或系统误差为一恒定值）的条件下，对某物理量x 进行N 次等精度测量，当测量次数N 趋向无穷时，各测量值出现的概率密度分布可用正态分布（有成高斯分布）的概率密度函数表示，]2)x -(x ex p[-21)(22σπσ=x f （1） 其中 nxx n1i i∑==（2）1-n )x -(xn1i 2i∑==σ （3）⎰=aa-f(x)dx P(a) （4）式中a=σ，2σ，3σ分别对应不同的置信概率。
（1）统计直方图方法用统计直方图表示被研究对象的规律简便易行，直观清晰。
在一组等精度测量所得的N 个结果x 1，x 2，…，x N 中，找出它的最大值x max 与最小值x min ，并求出级差R=x max - x min ，由级差分为K 个小区间，每个小区域的间隔（△x ）的大小就等于Kx -x K R minmax =。
统计测量结果出现在某个小区域内的次数n i 称为频数，Nni 为频率，Nni∑为累计频率，称为频率密度。
以测量值x 值为横坐标，以xN n i∆⋅为纵坐标，便可得到统计直方图。
（2）概率密度分布曲线利用式（1）求出各小区域中点的正态分布的概率密度值f （x ），以f （x ）为纵坐标，x 为横坐标，可得概率密度分布曲线。
实验报告—时间测量中随机误差的分布规律
时间测量中随机误差的分布规律PB06210273 张成实验名称：时间测量中随机误差的分布规律实验目的：用常规仪器（如电子秒表、频率计等）测量时间间隔，通过对时间和频率的测量的随机误差分布，学习用统计法研究物理现象的过程和研究随机误差的分布规律。
实验原理：1、 常用时间测量仪器的简要原理：① 机械节拍器由齿轮带动摆动作周期性运动。
② 电子节拍器按一定的频率发出有规律的声响和闪光。
③ 电子秒表机芯有CMOS 集成电路组成，用石英晶体振荡器作时标。
④ VAFN 多用数字测试仪由PMOS 集成元件和100KHz 石英晶体振荡器构成，可测量计数、振动、累计、速度、加速度、碰撞、频率、转速、角速脉宽等物理量。
2、 统计分布规律的研究正态分布概率密度函数：()]2exp[21)(22σπσxx x f --=nxx ni i∑==1，()112--=∑=n x x ni iσ ， ⎰-=aadx x f a P )()(① 统计直方图法：计算试验数据的极差min max x x R -=，每小区域的间隔：Kx x K R x minmax -==∆ 频数i n ，相对频数%/)/(N n i ，累计频数%/)/(∑N n i ，频率密度xN n i∆⋅ ② 概率密度分布曲线：以)(x f 为纵坐标，x 为横坐标，可得概率密度分布曲线。
实验内容：用电子秒表测量电子节拍器的周期，共测量150次，每次测量3个周期的时长。
数据处理：s nxx ni i213.415091.6311===∑= s n x xni i0.0981)(12=--=∑=σ 测量结果的不确定度：A 类不确定度（95.0=p ）s nu a 008.0==σ95.0=p ，96.1=t ，s u t a p 016.0008.096.1=⨯=B 类不确定度：s s s B 2.001.02.0＝，，＝，＝估仪估仪估∆=∆∴∆>>∆∆∆12.03=∆=BB u 测量值的合成标准不确定度：s u u U B A 12.022=+=数据中93.3min =x ，44.4max =x ，所以级差51.0min max =-=x x R 。
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.实验报告实验名称时间测量中随机误差的分布规律实验目的用常规仪器（如电子秒表、频率计等）测量时间间隔，通过对时间和频率测量的随机误差分布，学习用统计方法研究物理现象的过程和研究随机误差分布的规律。
实验仪器机械节拍器，电子秒表。
实验原理 1.常用时间测量仪表的简要原理（1）机械节拍器（2）电子节拍器（3）电子秒表（4）VAFN 多用数字测试仪用电子秒表测量机械节拍器发声的时间间隔,机械节拍器按一定的频率发出有规律的声响，电子秒表用石英晶体振荡器作时标,一般用六位液晶数字显示,其连续积累时间为59min59.99s,分辨率为0.01s,平均日差0.5s。
2.统计分布规律的研究假设在近似消除了系统误差（或系统误差很小，可忽略不计，或系统误差为一恒定值）的条件下，对某物理量x 进行 N 次等精度测量，当测量次数N 趋向无穷时，各测量值出现的概率密度分布可用正态分布（有成高斯分布）的概率密度函数表示，f ( x)1exp[- (x - x) 2]（ 1）222nx i其中x i 1（2）nn(x i - x) 2i1（ 3）n - 1aP(a)f(x)dx（ 4）-a式中 a= σ，2σ，3σ分别对应不同的置信概率。
（ 1）统计直方图方法用统计直方图表示被研究对象的规律简便易行，直观清晰。
在一组等精度测量所得的 N 个结果 x1，x2，⋯， x N中，找出它的最大值x max与最小值 x min，并求出级差 R=x max - x min，由级差分为 K 个小区间，每个..R xmax- xmin。
统计测量结果出现小区域的间隔（△ x）的大小就等于KK在某个小区域内的次数n i为频率，n in i称为频数，为累计频率，称N N为频率密度。
以测量值x 值为横坐标，以n i为纵坐标，便可得到统计N x直方图。
（ 2）概率密度分布曲线利用式（ 1）求出各小区域中点的正态分布的概率密度值f（ x），以 f（ x）为纵坐标， x 为横坐标，可得概率密度分布曲线。
若概率密度分布曲线与统计直方图上端相吻合，则可以认为测量值是基本符合正态分布的。
实际测量中，受测试者的心理因素，外界环境，仪器系统误差，测量次数不可能无穷多等影响，二者不完全重合是很常见的，因此测量值仅是基本符合正态分布。
实验内容 1.时间间隔测量用电子秒表测量机械节拍器的摆动周期，测量次数要在200 次以上。
2.统计规律研究(时间测量要求在相同的条件下，重复测量200 次以上 )。
（1）利用式（ 2）和式（ 3）计算x和σ。
（2）利用式（ 1）计算各区中点的 f（ x）值。
（ 3）根据测量结果的离散程度，极限差R 的大小，合理划分小区间数K，确定其间隔，计算各区间的频率、相对频率、相对频率密度和累计频率，以频率密度为纵坐标，测量值x 为横坐标，作统计直方图，并将 f （ x）— x 中曲线绘在统计直方图中，检验测量值分布是否符合正态分布。
（4）利用式（ 4）计算测量列误差出现在±σ，± 2σ，±3σ范围内的概率。
（5）计算测量平均值的标准差，并正确写出测量结果完整的表达式。
测量记录原始数据记录如下表：单位 :秒（ s）4.00 3.97 4.06 4.00 4.02 4.04 4.00 3.99 4.01 3.993.974.01 4.04 3.99 3.97 3.97 4.04 3.95 4.02 4.023.91 3.954.03 4.09 3.99 4.05 3.97 3.96 3.97 4.003.95 3.994.08 3.99 3.95 3.98 4.02 4.04 4.04 3.963.964.01 4.00 4.03 3.97 3.92 3.98 4.05 4.05 4.003.94 3.90 3.99 3.994.02 3.94 4.01 3.95 4.02 3.944.06 4.07 3.94 3.95 3.98 3.93 3.94 3.99 3.95 4.023.91 3.98 3.974.01 4.02 4.01 3.97 3.99 3.97 4.013.92 3.994.01 4.01 3.96 4.04 4.01 3.98 4.06 4.013.98 3.924.01 4.04 4.02 3.99 4.04 4.03 3.98 4.064.00 4.01 4.04 3.97 3.99 3.94 3.96 4.02 3.99 4.024.02 4.00 3.97 4.06 4.04 4.02 3.96 3.98 4.02 4.02.3.99 3.894.06 3.98 4.06 4.02 3.95 4.00 4.04 3.994.01 4.10 3.98 4.03 3.92 4.00 3.96 4.01 4.02 3.983.96 3.954.03 4.03 3.98 4.03 4.05 3.98 4.00 3.984.00 4.08 4.03 3.99 4.00 4.02 4.00 3.95 3.97 3.964.00 4.03 3.99 3.94 3.95 4.02 4.04 3.99 3.99 3.994.04 3.96 3.98 4.02 4.03 3.97 3.95 3.98 4.08 4.023.994.08 4.00 3.99 4.00 4.03 4.08 4.01 4.06 4.064.01 3.98 4.02 4.03 3.98 3.94 3.96 3.98 4.01 4.00数据处理对原始数据进行处理，最大值 x max=4.10s，最小值 x min =3.89s，平均值x =3.997s，标准差σ=0.041， R=0.21，取 K=10 ，则△ x=0.021，得下表：小区域 /s小区域中频率累计频率正态分布频率密度点值 /s频数(∑函数值 f(x i)n i(n i/N)%n i n i/N)%N x3.886~3.907 3.8962 1.0 1.00.4680.53.907~3.928 3.9187 3.54.5 1.520 1.753.928~3.949 3.93884.08.5 3.455 2.003.949~3.970 3.9602311.520.0 6.476 5.753.970~3.991 3.9803115.535.58.9297.753.991~4.012 4.0024321.557.09.65810.754.012~4.033 4.0224020.077.08.08010.004.033~4.054 4.0442512.589.55.0446.254.054~4.075 4.06413 6.596.0 2.560 3.254.075~4.096 4.0866 3.099.00.922 1.504.096~4.117 4.1062 1.0100.00.2840.50利用 origin7.5 作图如下：n iAGauss fit of Count2_A 10N x8642Data: Count2_AModel: GaussEquation: y=y0 + (A/(w*sqrt(PI/2)))*exp(-2*((x-xc)/w)^2) Weighting:y No weightingChi^2/DoF= 0.27425R^2= 0.98637y00.55512±0.37161xc 4.00413±0.00145w0.06941±0.00454A0.87912± 0.074893.90 3.954.00 4.05 4.10time x/s.P(σ)=0.690， P(2σ)=0.948， P(3σ)=0.990（理论值P(σ)=0.683 ，P(2σ)=0.954， P(3σ)=0.997）由上述计算和图表，在一定误差范围内，该测量列基本符合正态分布。
算术平均值的标准差u A==0.0029，即为 A 类不确定度。
n考虑置信概率P=0.95 的情况 , 电子秒表误差分布为正态分布，可取t0.95 =1仪=0.01s c=3B 类不确定度在 0.95 的置信概率下置信因子为k=1.96由不确定度合成公式得U 0.95（t 0。
95u At )2( k仪2P=0.95） =0.02c误差分析 1.测量次数为有限次，不可能为无穷大，结果会偏离正态分布。
2.测量仪器本身存在系统误差，结果不能十分精确。
3.受外部因素的干扰较多，很多人围在一起测量，会彼此受到影响。
4.测量 200 多次，一个人要按400 多次秒表，手指会产生疲倦感，按钮超前或延后，导致测量结果偏离。
思考题 1.测量次数为有限次，不可能为无穷大，测量仪器本身存在系统误差，测量200多次，一个人要按 400 多次秒表，手指会产生疲倦感，受外部因素的干扰较多，很多人围在一起测量，会彼此受到影响等很多因素，都会产生偏离。
2.若不考虑系统误差的条件下，对某一物理量进行多次等精度测量时随机误差的分布规律理论上呈正态分布，得到一条连续光滑的曲线，并且 P(σ)=0.683，P(2σ)=0.954 ，P(3σ)=0.997。
具有对称性，单峰性，有界性和抵偿性（即误差的算术平均值随着n 趋向无穷而趋于零）。
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