高中数学竞赛常用知识汇集
数学竞赛知识点总结高中
数学竞赛知识点总结高中一、函数的基本概念1.1 函数的定义函数是一种对应关系，将定义域中的元素映射到值域中的元素，通常用f(x)表示函数。
1.2 常见函数常见函数包括线性函数、二次函数、指数函数、对数函数、三角函数等。
1.3 函数的性质函数的奇偶性、周期性等性质对于解题非常重要。
1.4 函数的图像函数的图像对于理解函数的性质和解题都具有重要意义。
二、不等式2.1 不等式的表示不等式通常表示为a>b、a≥b、a<b、a≤b等形式。
2.2 不等式的解法解不等式通常通过分析不等式的性质、代数方法和图像法进行。
2.3 不等式的应用不等式在优化问题、绝对值不等式、三角不等式等问题中常常出现。
三、集合与映射3.1 集合的基本概念集合是由各种对象的总体，通常用大写字母表示集合。
3.2 集合的运算包括交集、并集、差集等。
3.3 映射的概念映射是一种元素之间的对应关系，通常用f:A→B表示从集合A到集合B的映射。
三、多项式和方程4.1 多项式的定义多项式是由多个项的代数式，通常表示为P(x)。
4.2 多项式的运算多项式包括加减乘除等基本运算。
4.3 多项式的因式分解因式分解是将多项式表示为若干个不可约的因式乘积。
4.4 方程与不等式方程和不等式是基于多项式的等式与不等式。
四、数列与数学归纳法5.1 等差数列与等比数列等差数列的通项公式为an=a1+(n-1)d，等比数列的通项公式为an=a1*q^(n-1)。
5.2 数学归纳法的基本思想数学归纳法用于证明递推关系的性质。
五、排列与组合6.1 排列的基本概念排列是从n个元素中取出m个元素进行排列的方式。
6.2 组合的基本概念组合是从n个元素中取出m个元素进行组合的方式。
6.3 排列组合的性质排列组合问题通常包括排列数、组合数、二项式定理等内容。
六、数论7.1 整数的性质奇数、偶数、素数、合数等是数论中的基本概念。
7.2 最大公约数与最小公倍数最大公约数和最小公倍数是数论中的重要概念。
高中数学竞赛知识点整理
高中数学竞赛知识点整理
一、代数知识
1.一元二次方程：
（1）一元二次方程的解法：
a、利用求根公式：解一元二次方程的根：
若ax2 + bx + c = 0，则x1 = (-b + √(b2 - 4ac))/2a，x2 = (-b -
√(b2 - 4ac))/2a
b、利用因式分解法：
将一元二次方程化为两个一元一次方程，求解。
2.一元一次方程：
（1）一元一次方程的解法：
a、利用移项法：把一元一次方程化为一元一次不等式，求解。
b、利用乘除法：将一元一次方程的系数化简，求解。
3.二元一次方程组：
（1）二元一次方程组的解法：
a、利用消元法：把二元一次方程组化为一元一次方程组，求解。
b、利用代入法：将一个方程的解代入另一个方程，求解。
4.不等式：
（1）一元一次不等式的解法：
a、利用移项法：将一元一次不等式化为一元一次方程，求解。
b、利用乘除法：将一元一次不等式的系数化简，求解。
二、几何知识
1.直线与圆：
（1）直线与圆的位置关系：
a、直线与圆有共点：直线与圆相切；
b、直线与圆无共点：直线与圆相交；
c、直线与圆有共线：直线与圆相离；
2.三角形：
（1）三角形的性质：
a、直角三角形：有两条直角边；
b、等腰三角形：有两条等长边；
c、等边三角形：三条边。
高二数学竞赛题知识点
高二数学竞赛题知识点在高二数学竞赛中，学生们通常会遇到各种各样的数学问题和题目。
为了取得好成绩，竞赛选手需要了解并掌握一些重要的数学知识点。
本文将介绍一些高二数学竞赛中常见的知识点和相应的解题技巧。
一、函数与方程1. 一元二次方程一元二次方程是高中数学中的重要内容。
解一元二次方程可以使用求根公式和配方法。
在竞赛中，对于一元二次方程的解法要熟练掌握，并注意考虑方程是否有唯一解或无解的情况。
2. 指数与对数函数指数与对数函数是高中数学中的另一重要内容。
学生们需要了解指数与对数的基本性质，掌握指数与对数函数的图像和性质，以及指数方程与对数方程的解法。
二、平面几何1. 相似三角形相似三角形是平面几何中的重要概念。
学生们需要知道相似三角形的基本定义和性质，能够判断两个三角形是否相似，并应用相似三角形的性质解决相关问题。
2. 圆的性质圆是平面几何中的基本图形，学生们需要了解圆的圆心、半径、直径等基本概念，以及圆的切线、弦、弧、扇形等性质。
在竞赛中，对于圆的性质的掌握十分重要。
三、立体几何1. 空间几何体的体积、表面积与相关性质学生们需要掌握立方体、长方体、圆柱体、圆锥体、球体等常见几何体的体积和表面积的计算方法，了解它们的相关性质，并能够应用这些知识解题。
2. 空间向量空间向量是高中数学中的重要概念，学生们需要掌握向量的加法、减法和数量积的计算方法，了解向量的共线与垂直关系等基本性质。
在竞赛中，向量的应用常常涉及平面向量和空间向量的结合。
四、概率与统计1. 排列与组合排列与组合是概率与统计中的基本内容，学生们需要熟练掌握排列与组合的计算方法，并能够应用它们解决相关问题。
2. 概率的计算概率是概率与统计的核心内容，学生们需要掌握概率的基本定义、性质和计算方法，能够利用概率解决实际问题，例如计算事件的概率、条件概率和独立事件等。
总结：高二数学竞赛题目涉及的知识点广泛且深入，要取得好成绩，学生们需要充分准备。
本文介绍了一些高二数学竞赛题常见的知识点和解题技巧，包括函数与方程、平面几何、立体几何以及概率与统计。
高一数学竞赛知识点
高一数学竞赛知识点在高中阶段，数学竞赛成为了学生们展示才华和水平的重要途径之一。
参加数学竞赛不仅可以考验学生的数学能力，还可以培养他们的思维逻辑和问题解决能力。
然而，能够在数学竞赛中脱颖而出并不容易，需要学生们掌握一些重要的数学知识点。
本文将介绍高一数学竞赛的一些重要知识点，帮助学生们在竞赛中取得优异的成绩。
一、函数与方程在数学竞赛中，函数与方程是最基本也是最重要的知识点之一。
学生们应该熟悉各种类型的函数，如线性函数、二次函数、指数函数、对数函数等，以及它们的性质与图像。
此外，掌握方程的解法也非常重要。
学生们需要理解方程的基本概念和性质，能够灵活地应用不同的解法求解各种类型的方程。
二、排列与组合排列与组合是高一数学竞赛中常见的题型。
学生们需要了解排列与组合的基本定义和计算公式，并能够熟练地应用到各种实际问题中。
在解答排列与组合问题时，学生们应该注意题目中的条件限制，灵活运用计数原理和容斥原理等方法，确保得出正确的结果。
三、数列与数列极限数列与数列极限也是高一数学竞赛中常见的考点。
学生们需要对数列的概念和性质有清晰的认识，能够计算数列的通项公式和前n项和。
此外，理解数列极限的概念和性质也非常重要。
学生们需要学会判断数列的收敛性，并能够计算收敛数列的极限值。
四、不等式不等式在高一数学竞赛中也扮演着重要的角色。
学生们需要熟悉不等式的基本性质和解法，并能够应用到各种实际问题中。
掌握不等式的加减乘除运算规则、平方与开方不等式、绝对值不等式等是解决不等式问题的关键。
五、平面几何平面几何是数学竞赛中常见的另一大考点。
学生们需要掌握平面几何中的基本定义和性质，能够灵活运用各种几何定理和公式解决各种几何问题。
熟练掌握平面几何的计算方法以及对称性质和相似性质等是高中数学竞赛中得分的关键。
六、立体几何除了平面几何，立体几何也是高一数学竞赛中重要的考点之一。
学生们需要了解立体几何中的基本概念和性质，能够运用立体几何的公式和计算方法解决各种立体几何问题。
高中数学联赛的常考的知识点
高中数学联赛的常考的知识点导语：高中数学联赛是高中阶段最大型的一个数学比赛，这项大赛会选拔出优秀的科学人才。
欢迎阅读，仅供参考，更多相关的知识，请关注CNFLA学习网的!高中数学联赛的知识点：常用定理 1、费马点 (I)基本概念定义：在一个三角形中，到3个顶点距离之和最小的点叫做这个三角形的费马点。
(1)若三角形ABC的3个内角均小于120°，那么3条距离连线正好平分费马点所在的周角。
所以三角形的费马点也称为三角形的等角中心。
(2)若三角形有一内角不小于120度，则此钝角的顶点就是距离和最小的点。
(II)证明我们要如何证明费马点呢：费马点证明图形(1)费马点对边的张角为120度。
△CC1B和△AA1B中,BC=BA1,BA=BC1,∠CBC1=∠B+60度=∠ABA1, △CC1B和△AA1B是全等三角形,得到∠PCB=∠PA1B 同理可得∠CBP=∠CA1P由∠PA1B+∠CA1P=60度，得∠PCB+∠CBP=60度,所以∠CPB=120度同理,∠APB=120度，∠APC=120度 (2)PA+PB+PC=AA1将△BPC以点B为旋转中心旋转60度与△BDA1重合，连结PD，则△PDB为等边三角形，所以∠BPD=60度又∠BPA=120度，因此A、P、D三点在同一直线上，又∠CPB=∠A1DB=120度，∠PDB=60度，∠PDA1=180度，所以A、P、D、A1四点在同一直线上，故PA+PB+PC=AA1。
(3)PA+PB+PC最短在△ABC内任意取一点M(不与点P重合)，连结AM、BM、CM，将△BMC以点B为旋转中心旋转60度与△BGA1重合，连结AM、GM、A1G(同上)，则AA1平面四边形中费马点证明相对于三角型中较为简易，也较容易研究。
(1)在凸四边形ABCD中，费马点为两对角线AC、BD交点P。
费马点(2)在凹四边形ABCD中，费马点为凹顶点D(P)。
经过上述的推导，我们即得出了三角形中费马点的找法：当三角形有一个内角大于或等于一百二十度的时候，费马点就是这个内角的顶点;如果三个内角都在120度以内，那么，费马点就是使得费马点与三角形三顶点的连线两两夹角为120度的点。
高一数学竞赛知识点
高一数学竞赛知识点一、集合与函数1. 集合的概念：集合是由一些确定的、互不相同的对象组成的整体。
2. 集合的表示方法：列举法、描述法、区间表示法等。
3. 集合的运算：并集、交集、差集、补集等。
4. 函数的概念：函数是一种特殊的关系，将一个集合的每个元素映射到另一个集合的元素上。
5. 函数的性质：单射、满射、一一对应、复合函数等。
二、数列与数列极限1. 数列的概念：数列是按照一定规律排列的一系列数。
2. 等差数列：数列中的任意两项之差都相等。
3. 等比数列：数列中的任意两项之比都相等。
4. 通项公式：数列中的第n项与n的关系式。
5. 数列极限：数列随着项数无限增加，趋向于一个确定的值。
6. 数列极限的性质：唯一性、保序性、四则运算性质等。
三、函数的性质与图像1. 函数的奇偶性：奇函数和偶函数的定义与性质。
2. 函数的周期性：周期函数的定义与性质。
3. 函数的单调性：增函数和减函数的定义与判定方法。
4. 函数的极值：局部极大值和局部极小值的概念与求解方法。
5. 函数的图像：函数的图像与坐标轴的交点、拐点、对称轴等。
四、数学归纳法1. 数学归纳法的原理：从已知条件推导出未知结论的一种方法。
2. 数学归纳法的基本步骤：证明基本情况、假设成立、推导出下一步结论。
3. 数学归纳法的应用：证明数列、不等式、恒等式等的成立性。
五、平面几何1. 平面几何的基本概念：点、线、面、角等的定义与性质。
2. 直线和平面的关系：相交、平行、垂直等的判定方法。
3. 三角形的性质：内角和、外角和、中位线、高线等的性质。
4. 相似三角形：相似三角形的判定条件、比例关系及其应用。
5. 圆的性质：圆心角、弧长、弦长、切线等的性质。
6. 圆锥曲线：椭圆、双曲线、抛物线的定义与性质。
六、概率与统计1. 随机事件：随机事件的概念、必然事件、不可能事件及其运算。
2. 概率的计算：频率概率、几何概率、古典概型等的计算方法。
3. 条件概率：事件A在事件B发生的条件下发生的概率。
高一数学竞赛知识点总结归纳
高一数学竞赛知识点总结归纳概述：高一数学竞赛是对学生数学能力的全面检测和提升，具有一定的难度和深度。
在竞赛备考过程中，需要对各个知识点进行有效的总结和归纳，以便更好地复习和应对考试。
本文将对高一数学竞赛的知识点进行分类总结和归纳，帮助同学们更好地掌握和理解这些知识点。
一、函数与方程1. 函数的定义和性质- 定义函数的概念和符号表示- 求解函数的定义域和值域- 判断函数的奇偶性和周期性2. 一次函数与二次函数- 求解一次函数和二次函数的零点和解析式- 理解一次函数和二次函数的图象与性质- 应用一次函数和二次函数解决实际问题3. 不等式与方程- 解一元一次不等式和方程- 解一元二次不等式和方程- 组合不等式和方程的解集二、数与集合1. 复数与向量- 复数的定义和运算法则- 解复数方程和不等式- 向量的定义和运算法则- 应用向量解决几何问题2. 集合与运算- 集合的基本概念和表示方法- 集合的运算及其性质- 应用集合解决实际问题三、数列与数列极限1. 等差数列与等比数列- 定义等差数列和等比数列- 求解等差数列和等比数列的通项公式 - 求解数列的和与项数2. 数列的极限- 了解数列极限的概念和性质 - 求解常见数列的极限值- 应用数列极限解决实际问题四、概率与统计1. 概率基础知识- 概率的定义和性质- 概率的计算和应用2. 统计基础知识- 数据的收集和整理- 数据的分析和表示- 统计推断和误差分析五、几何与三角学1. 平面几何- 直线与角的性质- 三角形的定义和性质- 四边形和多边形的性质- 圆的定义和性质2. 空间几何- 空间几何中的直线和平面- 空间几何中的几何体3. 三角函数- 三角函数的基本概念和性质 - 三角函数的图像与变换- 三角函数的应用六、解析几何1. 坐标与向量- 二维坐标系和向量的概念- 坐标和向量的运算- 向量的共线和垂直性- 向量的线性运算2. 直线与曲线- 直线的方程与性质- 圆的方程与性质- 抛物线和双曲线的方程与性质七、数理逻辑与证明1. 命题与命题连接词- 命题的概念和符号表示- 命题连接词的真值表和性质- 命题的等价、否定和充分必要条件2. 数学归纳法与证明方法- 数学归纳法的基本思想和步骤- 证明方法的基本规则和技巧- 应用证明解决实际问题总结：通过对高一数学竞赛知识点的总结和归纳，同学们可以更清晰地了解各个知识点的要点和考点，进一步提升数学竞赛的应试能力。
高中数学竞赛知识点总结
高中数学竞赛知识点总结
高中数学竞赛涉及的知识点非常广泛，以下是一份简要的知识点总结：
1. 数论基础：包括整除、余数、最大公约数、最小公倍数等。
2. 代数：包括方程组、不等式、函数、数列等。
3. 平面几何：包括三角形、四边形、圆、相似形、解析几何等。
4. 立体几何：包括球、长方体、四面体等。
5. 平面解析几何：包括直线、二次曲线、极坐标等。
6. 组合数学：包括排列、组合、二项式定理、组合恒等式等。
7. 图论：包括图的性质、欧拉路径、哈密顿路径等。
8. 概率与统计：包括概率、期望、方差等。
9. 初等数论：包括同余、费马小定理、中国剩余定理等。
10. 数学逻辑与问题解决：包括逻辑推理、集合论、问题解决策略等。
以上仅为基础知识点，竞赛中还可能涉及更深层次的知识和技巧。
如果想要深入学习，建议查阅数学竞赛的相关教材或咨询专业教师。
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m i=1
i pα i , 则
m
σ (n) =
5. 在n!的标准分解式中, 质因数p的方幂为 5
∞
r =1
n . 其中记号[x]表示不超过x的最大整数. pr
公约数和公倍数
1. 公约数和最大公约数 (1)若c|a1 , c|a2 , · · · , c|an , 则c称为a1 , a2 , · · · , an 的公约数. a1 , a2 , · · · , an 的所有公约数中最大的一个称为a1 , a2 , · · · , an 的最大公约数. 记作(a1 , a2 , · · · , an ). (2)若a1 , a2 , · · · , an 的标准分解式为a1 =
(2)若a1 , a2 , · · · , an 的标准分解式为a1 =
m i=1
i pα i , a2 =
m i=1 m i=1
i pβ i , · · · , an =
m i=1
i pδ i , 其中pi 为质数, αi , βi ,
· · · , δi 为非负整数, i = 1, 2, · · · , m, 则[a1 , a2 , · · · , an ] =
4. 完全剩余系
m−1 i=0
Ai = Z,
m−1 i=0
Ai = ∅.Biblioteka 从横m的m个同余类A0 , A1 , · · · , Am−1 中, 每一类Ai 取一数ai , 则a0 , a1 , · · · , am−1 叫做模m的一个完 全剩余系(简称模m的完系). 最简单的模m的完全剩余系是0, 1, · · · , m − 1, 也叫做模m的最小非负完系. 显然m个相继整数构成模m的一个完系.
(1)ϕ(m)是积性函数, 即(a, b) = 1, 则ϕ(a)ϕ(b) = ϕ(ab). (2)若p是质数, 则ϕ(p) = p − 1, ϕ(pk ) = pk − pk−1 .
αk 1 α2 (3)设m = pα 1 p2 · · · pk , 则ϕ(m) = m 1 −
1 p1
i=1
1−
T (m)
r3 < r 2 . r2 < r 1 .
如此继续下去, 由于b > r1 > r2 > r3 > · · · 以及ri (i = 1, 2, · · · )是非负整数, 则一定在进行到某一次 时, 例如第n + 1次得到rn+1 = 0. 但由于rn = 0, 则有(a, b) = (b, r1 ) = (r1 , r2 ) = · · · = (rn−1 , rn ) = rn . 用此法还可以求(5)中形如ax + by 的最小正整数d = ax0 + by0 .
(9)设正整数a和b(a > b)满足等式a = bq + r, 0
4
由此可得到求a、 b最大公约数的辗转相除法. 设a = bq1 + r1 , 0
r1 < b .
若r1 = 0, 则(a, b) = b. 若r1 = 0, 则又可用r1 去除b得b = r1 q2 + r2 , 0 若r2 = 0, 则(a, b) = (b, r1 ) = r1 . 若r2 = 0, 再用r2 去除r1 得r1 = r2 q3 + r3 , 0
1
竞赛常用知识手册
《中等数学》 资料室 鹏博奥数网（）提供下载
数论部分
1
整除
1. 定义
对于整数a、b(b = 0), 存在整数q , 满足a = bq 就叫做a能被b整除, 记作b|a. 其中a叫做b的倍数, b叫 做a的约数(因数). 若b = ±1, 则b叫做a的真约数. 若a不能被b整除, 则记作b a. 如果at |b, at+1 b, t ∈ N, 记作at b.
i pr i , 其中ri = max{αi , βi , · · · , δi }.
(3)a1 , a2 , · · · , an 的最小公倍数是它们的任一公倍数的约数. (4)[a, b] = 6 ab . (a, b)
互质数、 费马小定理和孙子定理
1. 互质数 (1)若(a1 , a2 , · · · , an ) = 1, 就叫做a1 , a2 , · · · , an 互质(也叫做互素). 这n个数叫互质数(互素数).
|b|
|a|.
ai = 0, b能整除a1 , a2 , · · · , ak 中的k − 1个, 则b能整除另一个.
同余
1. 定义
设m为正整数, 若整数a和b被m除的余数相同, 则称a和b对模m同余, 记作a ≡ b(mod m).
2. 基本性质 (1)a ≡ b(mod m) ⇔ m|(b − a). (2)a ≡ b(mod m) ⇔ b = km + a(k ∈ Z). (3)a ≡ a(mod m). (4)若a ≡ b(mod m), 则b ≡ a(mod m).
7
奇数和偶数
1. 若一个整数能被2整除, 则这个整数叫偶数; 若一个整数被2除余1, 则这个整数叫奇数.
6
奇数集合和偶数集合都是以2为模的同余类.
2. 奇数个奇数的和(或差)是奇数, 偶数个奇数的和(或差)是偶数.
1 p2
··· 1 −
1 . pk
(4)设d1 , d2 , · · · , dT (m) 是m的所有正约数, 则 3. 欧拉定理和费马小定理 (1)欧拉定理
ϕ(di ) = m.
设m
2, 且(a, m) = 1, ϕ(m)为欧拉函数, 则aϕ(m) ≡ 1(mod m).
(2)费马(Fermat)小定理
2. 关于整除的一些简单性质 (1)b|0, ±1|a, a|a(a = 0). (2)若b|a, a = 0, 则1 (3)若c|b, b|a, 则c|a. (4)若b|a, c = 0, 则bc|ac. (5)若c|a, c|b, 则c|(ma + nb)(m、 n ∈ Z). (6)若 2
k i=1
m i=0
ai ni , 使得对任意的自然数n, f (n)都是质数.
质因数分解
1. 质因数分解定理(整数的唯一分解定理)
3
每一个大于1的整数都能分解成质因数连乘积的形式, 且如果把这些质因数按照由小到大的顺序排 列(相同因数的乘积写成幂的形式), 这种分解方法是唯一的.
2. 整数n(n > 1)的标准分解式为n = 3. 约数个数定理
有唯一解x ≡ M1 M1 b1 + M2 M2 b2 + · · · + Mk Mk bk (mod M ). M 其中M = m1 m2 · · · mk , Mi = , i = 1, 2, · · · , k , Mi Mi ≡ 1(mod mi ), i = 1, 2, · · · , k . mi 注: 孙子定理又叫中国剩余定理.
(3)如果a是b的倍数, 那么a和b的公约数的集合与b的约数集合相等. (4)如果a是b的倍数, 则(a, b) = b. (5)设a和b是不同时等于1的正整数, 且d = ax0 + by0 是形如ax + by (x、 y 是整数)的整数中的最小正整
数, 则d = (a, b).
(6)正整数a和b的公约数集合与它们的最大公约数的约数集合相等. (7)设m是任意正整数, 则(am, bm) = (a, b)m. (8)设n是a和b的一个公约数, 则 a b , n n = (a, b) . n r < b, q 、 r ∈ Z. 则(a, b) = (b, r).
m i=1
i pα i , a2 =
m i=1 m
i pβ i , · · · , an =
m i=1
i pδ i , 其中pi 为质数, αi , βi ,
· · · , δi 为非负整数, i = 1, 2, · · · , m, 则(a1 , a2 , · · · , an ) =
i=1
i pt i , 其中ti = min{αi , βi , · · · , δi }.
2 (5)若a ≡ b(mod m), b ≡ c(mod m), 则a ≡ c(mod m). (6)若a ≡ b(mod m), c ≡ d(mod m), 则a ± c ≡ b ± d(mod m), ac ≡ bd(mod m), an ≡ bn (mod m). (7)若ac ≡ bc(mod m), (c, m) = d, 则a ≡ b(mod m ). 其中符号(c, m)表示c与m的最大公约数. d
2. 公倍数和最小公倍数 (1)若a1 |b, a2 |b, · · · , an |b, 则b称为a1 , a2 , · · · , an 的公倍数. a1 , a2 , · · · , an 的所有公倍数中最小的一个
称为a1 , a2 , · · · , an 的最小公倍数. 记作[a1 , a2 , · · · , an ].
3
质数与合数
1. 一个大于1的整数, 如果只有1和它本身作为它的约数, 这样的正整数叫做质数(也叫素数); 如果除
了1和它本身之外还有其他的正约数, 这样的正整数叫做合数.
1既不是质数也不是合数. 因此, 正整数集Z+ = {1} {质数} {合数}. 2. 大于1的整数的所有真约数中, 最小的正约数一定是质数. √ 3. 合数a的最小质约数不大于 a. 4. 质数有无穷多个. 5. 不存在这样的整系数多项式f (n) = 6. 威尔逊(Wilson)定理 p为质数的充分必要条件是(p − 1)! ≡ −1(mod p). 4
特别地, 当(c, m) = 1时, 若ac ≡ bc(mod m), 则a ≡ b(mod m).