新编高等数学第二章

2.1.2 收敛数列的性质
定理2.1 （极限的唯一性）收敛数列{an}的极限是唯一的. 定理2.2 （收敛数列的有界性）如果数列{xn}收敛，那么数列{xn}一定有界.
推论2.1 有界数列未必收敛，无界数列必定发散. 例如，数列(－1)n是有界数列，但它是发散的；数列2n 是无 界数列，且它是发散的.
即 由函数f(x)在x=1处极限存在的充要条件可知，
例
【例2-4】设函数 证明
，证明：当x→0时，f(x)的极限不存在. 因为 ，所以 不存在.
2.2 函数的极限
2.2.2极限的四则运算法则 定理2.3（极限四则运算法则）设在自变量x的同一变 化过程中,极限limf（x）及limg（x）都存在,则有
第 二 章
极限与连续
2.1 数列的极限
目录
2.2 函数的极限
2.3 两个重要极限 2.4 函数的连续性 2.5 应用示例 2.6 数学实验二
2.1 数列的极限
2.1.1数列极限的定义
在中学，我们已经学过数列的概念.按一定顺序排列的 无穷多个数x1，x2，…xn，…
极限的概念是由求实际问题的精
确解答而产生的.我国古代数学 家刘徽于公元263年创立了“割
例
解 做出函数y=2x的图像（见图2-6），可以看出 故limx→∞2x不存在.
2.2 函数的极限
2.当x→x0时，函数f(x)的极限
先从图像上考察两个函数f(x)=x+2与f(x)=（x2－4）/（x－2），如图2-7所示.
微课:当x→x0时， 函数f(x)的极限
图 2-7
从图2-7中不难看出，当x无限接近于2时，f(x)=x+2无限趋近于4，f(x)=x2－4x－2也无限趋近
【法则（1）和法则（2）均可推广到有限个函数的情形，并 有如下推论. 推论2.2 推论2.3 lim［Cf（x）］=Climf（x）（C为常数）. lim［f（x）］n=［limf（x）］n（n为正整数）.
微课:利用极限的四 则运算简单的极限
注意“lim”是自变量变化过程中的简记形式，它可以是数列{xn}中的n→∞，也可 以是函数f(x)中的x→x0（包括x→x+0或x→x－0），x→∞（包括x→+∞或x→－∞） 等.
例
解 当x→0时，sinx~x，所以
注意：在求极限的过程中，一个无穷小量可以用与其等价的无 穷小量代替，但只能代替乘积中的项，不能代替和差中的项.
2.2 函数的极限
2.无穷大
1）无穷大的定义 定义2.6在x的某一变化 例如,当x→1时,1/（x-1）的绝对值无限增大,故1/ （x-1）是当x→1时的无穷大,即 x→0+时的负无穷大,即 . ;当
为便于观察，我们在平面直角坐标系中做出以上4个数列的图形，分别如图2-1~图2-4
所示（为了便于展示效果，图形中横纵坐标轴取值比例特意采取不同标准）.
图 2-1
图 2-2
2.1 数列的极限
图 2-3
图 2-4
从图2-1中可以看出，当n无限增大时，数列通项xn=1/2n的值无限趋于0. 从图2-2中可以看出，当n无限增大时，数列通项xn=n+(－1)n/n的值无限趋于1.
2.2 函数的极限
例
【例2-7】求下列函数的极限
解 （1）当x→∞时,分子分母的极限均不存在,为无穷大,不能直接应用运算法则.将分 子分母同除以x的最高次幂x5,得 （2）分子分母同除以x的最高次幂x3,得
2.2 函数的极限
（3）分子分母同除以x的最高次幂x4,得
由于分子极限为1,分母极限为0,所以 一般地,当a0≠0,b0≠0,m,n为非负整数时,有
2.2 函数的极限
【例2-5】求极限 解
一般地,若f（x）为多项式函数,则对任 意x0∈（－∞,+∞）,都有
例
2.2 函数的极限
【例2-6】求下列极限
例
解 （1）因为 因子x－3≠0,即
,所以
（2）当x→3时分子和分母的极限均为零,但可约去公
一般地,设P（x）,Q（x）都是多项式函数,则称P（x）/Q（x）为有理分式函数.有如下结论：
于4.但函数f(x)=x+2和f(x)=（x2－4）/（x－2）是两个不同的函数，f(x)=x+2在x=2处有定义，而
f(x)= （x2－4）/（x－2）在x=2处无定义.这就是说，极限是否存在与其在x=2处是否有定义无关.
2.2 函数的极限
一般地，我们有以下定义： 定义2.4 设函数f(x)在点x0的附近有定义，如果当x→x0时，函数f(x)无限趋近于一个确定的 常数A，那么A就叫作函数f(x)当x→x0时的极限，记作
在上述x→x0时函数f(x)的极限中，x既是从x0的左侧趋于x0的，又是从x0的右 侧趋于x0的.但有时只需考虑x仅从x0的左侧趋于x0（记作x→x－0）的情形，或 x仅从x0的右侧趋于x0（记作x→x+0）的情形.于是，就引进了左右极限的概念.
2.2 函数的极限
（1） 当自变量x小于x0而无限趋近于x0时，如果函数f(x)的对 应值无限趋近于一个确定的数A，那么A就叫作函数f(x)当
例
【例2-10】 当x→0时，对无穷小x2与x进行比较. 解 因为 ，所以当x→0时，x2是比x高阶的无穷小，即x2=o(x)（x→0）.2. Nhomakorabea 函数的极限
定理2.5 设α ~α ′，β~β′，且limβ′/α ′存在，则limβ/α =limβ′/α ′ 定理2.5表明，求两个无穷小之比的极限时，分子及分母都可用等价无穷小 来代替.因此，如果用来代替的无穷小选取适当，则可使计算简化. 【例2-11】 求
为数列{xn}的极限，或称数列{xn}收敛于A，记为 有极限，则称该数列发散. 若数列{xn}没
由上面的定义可知，数列{1/2n}的极限为0，即
1，即
；数列{n+(－1)n/n } 的极限为
.
； 数列{(－1)n+1}与{2n}的极限都不是趋于某个确定的常数，故都是发散
的，且数列{(－1)n+1}的极限无法用极限形式给出，数列{2n}的极限可表示为
2.2 函数的极限
定义2.3 类似地，如果当x→+∞（或x→-∞）时，函数f(x)无限趋近 于一个确定的常数A，那么A就叫作函数f(x)当x→+∞（或x→-∞）时 的极限，记作
同理观察图2-5，可以看出 不难证明， 存在的充分必要条件是
存在且相等，即
图 2-6
【例2-2】讨论当x→∞时，函数y=2x的极限.
注意：（1）运用极限法则时,必须注意只有各项极限都存在（对商,还要求分母的极限不为零） 才能使用极限的四则运算法则. （2）若所求极限呈现“0/0”“∞/∞”“∞－∞”等形式不能直接应用极限法则,必须先对 原式进行恒等变形（约分、通分、有理化、变量代换、分子与分母同除以分子与分母的最高 次幂）,然后再利用极限法则求极限.
从图2-3中可以看出，当n无限增大时，数列通项xn=(－1)n+1的值在1与-1之间振荡.
从图2-4中可以看出，当n无限增大时，数列通项xn=2n的值趋于+∞. 将数列的上述变化趋势用数学语言表示，就得到了数列极限的定义.
2.1 数列的极限
定义2.1 对于数列{xn}，如果当n无限增大时，通项xn无限接近于某个确定的常数A，则称A
函数fx=1x-1当x→∞时，f(x)趋近于零.
,x→+∞）下仍然成立.
2.2 函数的极限
例
【例2-8】 求 解
【例2-9】 计算 解 此例说明无穷多个无穷小之和不一定是无穷小.
2.2 函数的极限
3）无穷小量阶的比较 无穷小量虽然都是趋近于零的变量，但不同的无穷小趋近于零的速度却不一定相同，
有时可能相差很大.观察两个无穷小比值的极限： 在x→0的过程中，x2→0比x→0“快些”，而sinx→0与x→0“快慢相仿”.
数列是定义在正整数集上的函数，数列极限研究的是当自变量n→∞时，
一般项xn=f(n)的极限值. 而对于定义在区间上函数f(x)的极限，我们主 要研究当自变量x→∞和x→x0两种变化趋势下，函数f(x)的极限.
2.2 函数的极限
1. 当x→∞时，函数f(x)的极限
考察函数f(x)=1x当x→∞时的变化趋势.由图2-5可以看出，当x的绝对
由此，我们定义如下： 此例说明无穷多个无穷小之和不一定是无穷小. 设α 、β是同一变化过程中的无穷小量，则： 如果limβ/α =0，就说β是比α 高阶的无穷小，记作β=o(α )； 如果limβ/α =c≠0，就说β是和α 同阶的无穷小； 如果limβ/α =1，就说β与α 是等价无穷小，记作α ~β.
2.1 数列的极限
例
【例2-1】 观察下列数列当n→∞时的极限. （1）xn=n/n+1; （2）xn=1/2n; （3）xn=2n+1;（4）xn=（-1）n.
应当注意，在一个变量前加上记号
“lim”，表示对这个变量进行取极限
运算，若变量的极限存在，则其所反映 的就不再是这个变量本身而是它的极限，
微课：无穷小 与无穷大
2.2 函数的极限
定理2.4 的充分 必要条件是
2）无穷小的性质
性质2.1 有限个无穷小的代数和仍为无穷小. 性质2.2 有界函数与无穷小的乘积是无穷小
推论2.4 常数与无穷小的乘积也是无穷小. 定理2.4中的自变量x的变化
过程在其他任何一种情形 （x→x-0,x→x+0,x→∞,x→-∞ 推论2.5 有限个无穷小的乘积仍是无穷小.考 察函数fx=2x-4当x→2时，f(x)趋近于零，
2.2 函数的极限
2.2.3无穷小量与无穷大量 1.无穷小
1）无穷小的定义
考察函数fx=2x-4当x→2时，f(x)趋近于零，函数fx=1x-1当x→∞时，f(x)趋近于零. 定义2.5 若在x的某一变化趋势下,函数fx的极限为零,则 称函数fx为x的这种变化趋势下的无穷小,简称无穷小.