最新浙教版八年级上册+特殊三角形综合复习
初二几何第2单元疑难问题集锦一．选择题（共10小题）1．如图：在△ABC中，CE平分∠ACB，CF平分∠ACD，且EF∥BC交AC于M，若CM=5，则CE2+CF2等于（）A．75 B．100 C．120 D．1252．等腰Rt△ABC中，∠BAC=90°，D是AC的中点，EC⊥BD于E，交BA的延长线于F，若BF=12，则△FBC的面积为（）A．40 B．46 C．48 D．503．如图，将两个大小、形状完全相同的△ABC和△A′B′C′拼在一起，其中点A′与点A重合，点C′落在边AB上，连接B′C．若∠ACB=∠AC′B′=90°，AC=BC=3，则B′C的长为（）A．3 B．6 C．3 D．4．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足为D，AF平分∠CAB，交CD于点E，交CB于点F．若AC=3，AB=5，则CE的长为（）A．B．C．D．5．如图，是由四个全等的直角三角形和中间的小正方形拼成的一个大正方形，如果大正方形的面积是13，小正方形的面积是2，直角三角形较长的直角边为m，较短的直角边为n，那么（m+n）2的值为（）A．23 B．24 C．25 D．无答案6．要判定两个直角三角形全等，下列说法正确的有（）①有两条直角边对应相等；②有两个锐角对应相等；③有斜边和一条直角边对应相等；④有一条直角边和一个锐角相等；⑤有斜边和一个锐角对应相等；⑥有两条边相等．A．6个 B．5个 C．4个 D．3个7．如图是用4个全等的直角三角形与1个小正方形镶嵌而成的正方形图案，已知大正方形面积为49，小正方形面积为4，若用x、y表示直角三角形的两直角边（x＞y），下列四个说法：①x2+y2=49，②x﹣y=2，③2xy+4=49，④x+y=9．其中说法正确的是（）A．①②B．①②③C．①②④D．①②③④8．如图，锐角△ABC中，D、E分别是AB、AC边上的点，△ADC≌△ADC′，△AEB≌△AEB′，且C′D∥EB′∥BC，BE、CD交于点F．若∠BAC=35°，则∠BFC的大小是（）A．105°B．110°C．100° D．120°9．如图甲是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的，若AC=6，BC=5，将四个直角三角形中边长为6的直角边分别向外延长一倍，得到图乙所示的“数学风车”，则这个风车的外围周长是（）A．52 B．42 C．76 D．7210．如图，△ABC面积为1，第一次操作：分别延长AB，BC，CA至点A1，B1，C1，使A1B=AB，C1B=CB，C1A=CA，顺次连接A1，B1，C1，得到△A1B1C1．第二次操作：分别延长A1B1，B1C1，C1A1至点A2，B2，C2，使A2B1=A1B1，B2C1=B1C1，C2A1=C1A1，顺次连接A2，B2，C2，得到△A2B2C2，…按此规律，要使得到的三角形的面积超过2014，最少经过（）次操作．A．7 B．6 C．5 D．4二．填空题（共9小题）11．在正三角形△ABC所在平面内有一点P，使得△PAB，△PBC，△PAC都是等腰三角形，则这样的P点有个．12．如图，在锐角△ABC中，∠BAC=45°，AB=2，∠BAC的平分线交BC于点D，M、N分别是AD和AB上的动点，则BM+MN的最小值是．13．在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=8cm，AC=4cm，在射线BC上一动点D，从点B出发，以厘米每秒的速度匀速运动，若点D运动t秒时，以A、D、B为顶点的三角形恰为等腰三角形，则所用时间t为秒．（结果可含根号）．14．如图，已知∠AON=40°，OA=6，点P是射线ON上一动点，当△AOP为直角三角形时，∠A=°．15．如图，已知点P是射线ON上一动点（即P可在射线ON上运动），∠AON=30°，当∠A=时，△AOP为直角三角形．16．如图，在△ABC中，AB=BC=8，AO=BO，点M是射线CO上的一个动点，∠AOC=60°，则当△ABM为直角三角形时，AM的长为．17．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=10，BC=5，线段PQ=AB，P，Q两点分别在AC和过点A且垂直于AC的射线AO上运动，当AP=时，△ABC和△PQA全等．18．如图1，这个图案是我国汉代的赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”．此图案的示意图如图2，其中四边形ABCD和四边形EFGH都是正方形，△ABF、△BCG、△CDH、△DAE是四个全等的直角三角形．若EF=2，DE=8，则AB的长为．19．如图：在△ABC中，AB=AC，BC=BD，AD=DE=EB，则∠A=．三．解答题（共11小题）20．如图，在△ABC中，M为BC的中点，DM⊥BC，DM与∠BAC的角平分线交于点D，DE⊥AB，DF⊥AC，E、F为垂足，求证：BE=CF．21．已知：如图，△ABC中，∠ABC=45°，CD⊥AB于D，BE平分∠ABC，且BE ⊥AC于E，与CD相交于点F，H是BC边的中点，连结DH与BE相交于点G．（1）求证：BF=AC；（2）求证：CE=BF．22．如图，D为AB上一点，△ACE≌△BCD，AD2+DB2=DE2，试判断△ABC的形状，并说明理由．23．把两个含有45°角的大小不同的直角三角板如图放置，点D在BC上，连接BE，AD，AD的延长线交BE于点F．说明：AF⊥BE．24．图1、图2是两张形状大小完全相同的方格纸，方格纸中的每个小正方形的边长均为1，线段AB、EF的端点均在小正方形的顶点上．（1）如图1，作出以AB为对角线的正方形并直接写出正方形的周长；（2）如图2，以线段EF为一边作出等腰△EFG（点G在小正方形顶点处）且顶角为钝角，并使其面积等于4．25．如图，正方形网格中的每个小正方形边长都是1，每个小格的顶点叫做格点，以格点为顶点分别按下列要求画三角形．（1）在图1中，画一个三角形，使它的三边长都是有理数；（2）在图2中，画一个直角三角形，使它们的三边长都是无理数；（3）在图3中，画一个正方形，使它的面积是10．26．如图，△ABC中，∠B=90°，AB=3，BC=4，若CD=12，AD=13．求阴影部分的面积．27．如图，在△ACB中，∠ACB=90゜，CD⊥AB于D．（1）求证：∠ACD=∠B；（2）若AF平分∠CAB分别交CD、BC于E、F，求证：∠CEF=∠CFE．28．如图所示，在△ACB中，∠ACB=90°，∠1=∠B．（1）求证：CD⊥AB；（2）如果AC=8，BC=6，AB=10，求CD的长．29．如图，在△ABC中，∠B=90°，M是AC上任意一点（M与A不重合）MD⊥BC，且交∠BAC的平分线于点D，求证：MD=MA．30．已知，在△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，点D是AB的中点，点E是AB边上一点．（1）直线BF⊥CE于点F，交CD于点G（如图①），求证：AE=CG；（2）直线AH⊥CE于点H，交CD的延长线于点M（如图②），找出图中与BE相等的线段，并证明．初二几何第2单元疑难问题集锦参考答案与试题解析一．选择题（共10小题）1．如图：在△ABC中，CE平分∠ACB，CF平分∠ACD，且EF∥BC交AC于M，若CM=5，则CE2+CF2等于（）A．75 B．100 C．120 D．125【解答】解：∵CE平分∠ACB，CF平分∠ACD，∴∠ACE=∠ACB，∠ACF=∠ACD，即∠ECF=（∠ACB+∠ACD）=90°，∴△EFC为直角三角形，又∵EF∥BC，CE平分∠ACB，CF平分∠ACD，∴∠ECB=∠MEC=∠ECM，∠DCF=∠CFM=∠MCF，∴CM=EM=MF=5，EF=10，由勾股定理可知CE2+CF2=EF2=100．故选B．2．等腰Rt△ABC中，∠BAC=90°，D是AC的中点，EC⊥BD于E，交BA的延长线于F，若BF=12，则△FBC的面积为（）A．40 B．46 C．48 D．50【解答】解：∵CE⊥BD，∴∠BEF=90°，∵∠BAC=90°，∴∠CAF=90°，∴∠FAC=∠BAD=90°，∠ABD+∠F=90°，∠ACF+∠F=90°，∴∠ABD=∠ACF，∵在△ABD和△ACF中，∴△ABD≌△ACF，∴AD=AF，∵AB=AC，D为AC中点，∴AB=AC=2AD=2AF，∵BF=AB+AF=12，∴3AF=12，∴AF=4，∴AB=AC=2AF=8，∴△FBC的面积是×BF×AC=×12×8=48，故选C．3．如图，将两个大小、形状完全相同的△ABC和△A′B′C′拼在一起，其中点A′与点A重合，点C′落在边AB上，连接B′C．若∠ACB=∠AC′B′=90°，AC=BC=3，则B′C的长为（）A．3 B．6 C．3 D．【解答】解：∵∠ACB=∠AC′B′=90°，AC=BC=3，∴AB==3，∠CAB=45°，∵△ABC和△A′B′C′大小、形状完全相同，∴∠C′AB′=∠CAB=45°，AB′=AB=3，∴∠CAB′=90°，∴B′C==3，故选：A．4．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足为D，AF平分∠CAB，交CD于点E，交CB于点F．若AC=3，AB=5，则CE的长为（）A．B．C．D．【解答】解：过点F作FG⊥AB于点G，∵∠ACB=90°，CD⊥AB，∴∠CDA=90°，∴∠CAF+∠CFA=90°，∠FAD+∠AED=90°，∵AF平分∠CAB，∴∠CAF=∠FAD，∴∠CFA=∠AED=∠CEF，∴CE=CF，∵AF平分∠CAB，∠ACF=∠AGF=90°，∴FC=FG，∵∠B=∠B，∠FGB=∠ACB=90°，∴△BFG∽△BAC，∴=，∵AC=3，AB=5，∠ACB=90°，∴BC=4，∴=，∵FC=FG，∴=，解得：FC=，即CE的长为．故选：A．5．如图，是由四个全等的直角三角形和中间的小正方形拼成的一个大正方形，如果大正方形的面积是13，小正方形的面积是2，直角三角形较长的直角边为m，较短的直角边为n，那么（m+n）2的值为（）A．23 B．24 C．25 D．无答案【解答】解：（m+n）2=m2+n2+2mn=大正方形的面积+四个直角三角形的面积和=13+（13﹣1）=25．故选C．6．要判定两个直角三角形全等，下列说法正确的有（）①有两条直角边对应相等；②有两个锐角对应相等；③有斜边和一条直角边对应相等；④有一条直角边和一个锐角相等；⑤有斜边和一个锐角对应相等；⑥有两条边相等．A．6个 B．5个 C．4个 D．3个【解答】解：①有两条直角边对应相等，可以利用SAS证明全等，正确；②有两个锐角对应相等，不能利用AAA证明全等，错误；③有斜边和一条直角边对应相等，可以利用HL证明全等，正确；④有一条直角边和一个锐角相等，不一定可以利用AAS证明全等，错误；⑤有斜边和一个锐角对应相等，可以利用AAS证明全等，正确；⑥有两条边相等，不一定可以利用HL或SAS证明全等，错误；故选D．7．如图是用4个全等的直角三角形与1个小正方形镶嵌而成的正方形图案，已知大正方形面积为49，小正方形面积为4，若用x、y表示直角三角形的两直角边（x＞y），下列四个说法：①x2+y2=49，②x﹣y=2，③2xy+4=49，④x+y=9．其中说法正确的是（）A．①②B．①②③C．①②④D．①②③④【解答】解：由题意，①﹣②得2xy=45 ③，∴2xy+4=49，①+③得x2+2xy+y2=94，∴（x+y）2=94，∴①②③正确，④错误．故选B8．如图，锐角△ABC中，D、E分别是AB、AC边上的点，△ADC≌△ADC′，△AEB≌△AEB′，且C′D∥EB′∥BC，BE、CD交于点F．若∠BAC=35°，则∠BFC的大小是（）A．105°B．110°C．100° D．120°【解答】解：设∠C′=α，∠B′=β，∵△ADC≌△ADC′，△AEB≌△AEB′，∴∠ACD=∠C′=α，∠ABE=∠B′=β，∠BAE=∠B′AE=35°，∴∠C′DB=∠BAC+ACD=35°+α，∠CEB′=35°+β．∵C′D∥EB′∥BC，∴∠ABC=∠C′DB=∠BAC+ACD=35°+α，∠ACB=∠CEB′=35°+β，∴∠BAC+∠ABC+∠ACB=180°，即105°+α+β=180°．则α+β=75°．∵∠BFC=∠BDC+∠DBE，∴∠BFC=35°+α+β=35°+75°=110°．故选：B．9．如图甲是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的，若AC=6，BC=5，将四个直角三角形中边长为6的直角边分别向外延长一倍，得到图乙所示的“数学风车”，则这个风车的外围周长是（）A．52 B．42 C．76 D．72【解答】解：依题意得，设“数学风车”中的四个直角三角形的斜边长为x，则x2=122+52=169，解得x=13．故“数学风车”的周长是：（13+6）×4=76．故选：C．10．如图，△ABC面积为1，第一次操作：分别延长AB，BC，CA至点A1，B1，C1，使A1B=AB，C1B=CB，C1A=CA，顺次连接A1，B1，C1，得到△A1B1C1．第二次操作：分别延长A1B1，B1C1，C1A1至点A2，B2，C2，使A2B1=A1B1，B2C1=B1C1，C2A1=C1A1，顺次连接A2，B2，C2，得到△A2B2C2，…按此规律，要使得到的三角形的面积超过2014，最少经过（）次操作．A．7 B．6 C．5 D．4【解答】解：△ABC与△A1BB1底相等（AB=A1B），高为1：2（BB1=2BC），故面积比为1：2，∵△ABC面积为1，=2．∴S△A1B1B同理可得，S△C1B1C =2，S△AA1C=2，∴S△A1B1C1=S△C1B1C+S△AA1C+S△A1B1B+S△ABC=2+2+2+1=7；同理可证△A2B2C2的面积=7×△A1B1C1的面积=49，第三次操作后的面积为7×49=343，第四次操作后的面积为7×343=2401．故按此规律，要使得到的三角形的面积超过2014，最少经过4次操作．故选D．二．填空题（共9小题）11．在正三角形△ABC所在平面内有一点P，使得△PAB，△PBC，△PAC都是等腰三角形，则这样的P点有10个．【解答】解：（1）点P在三角形内部时，点P是边AB、BC、CA的垂直平分线的交点，是三角形的外心；（2）分别以三角形各顶点为圆心，边长为半径，交垂直平分线的交点就是满足要求的．每条垂直平分线上得3个交点，再加三角形的垂心，一共10个，故答案为：10．12．如图，在锐角△ABC中，∠BAC=45°，AB=2，∠BAC的平分线交BC于点D，M、N分别是AD和AB上的动点，则BM+MN的最小值是．【解答】解：如图，作BH⊥AC，垂足为H，交AD于M′点，过M′点作M′N′⊥AB，垂足为N′，则BM′+M′N′为所求的最小值．∵AD是∠BAC的平分线，∴M′H=M′N′，∴BH是点B到直线AC的最短距离（垂线段最短），∵AB=2，∠BAC=45°，∴BH=AB•sin45°=2×=，∵BM+MN的最小值是BM′+M′N′=BM′+M′H=BH=．故答案为：．13．在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=8cm，AC=4cm，在射线BC上一动点D，从点B出发，以厘米每秒的速度匀速运动，若点D运动t秒时，以A、D、B为顶点的三角形恰为等腰三角形，则所用时间t为秒．（结果可含根号）．【解答】解：①如图1，当AD=BD时，在Rt△ACD中，根据勾股定理得到：AD2=AC2+CD2，即BD2=（8﹣BD）2+42，解得，BD=5（cm），则t==（秒）；②如图2，当AB=BD时．在Rt△ABC中，根据勾股定理得到：AB===4，则t==4（秒）；③如图3，当AD=AB时，BD=2BC=16，则t==（秒）；综上所述，t的值可以是：；故答案是：14．如图，已知∠AON=40°，OA=6，点P是射线ON上一动点，当△AOP为直角三角形时，∠A=50或90°．【解答】解：当AP⊥ON时，∠APO=90°，则∠A=50°，当PA⊥OA时，∠A=90°，即当△AOP为直角三角形时，∠A=50或90°．故答案为：50或90．15．如图，已知点P是射线ON上一动点（即P可在射线ON上运动），∠AON=30°，当∠A=60°或90°时，△AOP为直角三角形．【解答】解：若∠APO是直角，则∠A=90°﹣∠AON=90°﹣30°=60°，若∠APO是锐角，∵∠AON=30°是锐角，∴∠A=90°，综上所述，∠A=60°或90°．故答案为：60°或90°．16．如图，在△ABC中，AB=BC=8，AO=BO，点M是射线CO上的一个动点，∠AOC=60°，则当△ABM为直角三角形时，AM的长为4或4或4．【解答】解：如图1，当∠AMB=90°时，∵O是AB的中点，AB=8，∴OM=OB=4，又∵∠AOC=∠BOM=60°，∴△BOM是等边三角形，∴BM=BO=4，∴Rt△ABM中，AM==4；如图2，当∠AMB=90°时，∵O是AB的中点，AB=8，∴OM=OA=4，又∵∠AOC=60°，∴△AOM是等边三角形，∴AM=AO=4；如图3，当∠ABM=90°时，∵∠BOM=∠AOC=60°，∴∠BMO=30°，∴MO=2BO=2×4=8，∴Rt△BOM中，BM==4，∴Rt△ABM中，AM==4，综上所述，当△ABM为直角三角形时，AM的长为4或4或4．故答案为：4或4或4．17．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=10，BC=5，线段PQ=AB，P，Q两点分别在AC和过点A且垂直于AC的射线AO上运动，当AP=5或10时，△ABC 和△PQA全等．【解答】解：当AP=5或10时，△ABC和△PQA全等，理由是：∵∠C=90°，AO⊥AC，∴∠C=∠QAP=90°，①当AP=5=BC时，在Rt△ACB和Rt△QAP中∴Rt△ACB≌Rt△QAP（HL），②当AP=10=AC时，在Rt△ACB和Rt△PAQ中∴Rt△ACB≌Rt△PAQ（HL），故答案为：5或10．18．如图1，这个图案是我国汉代的赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”．此图案的示意图如图2，其中四边形ABCD和四边形EFGH都是正方形，△ABF、△BCG、△CDH、△DAE是四个全等的直角三角形．若EF=2，DE=8，则AB的长为10．【解答】解：依题意知，BG=AF=DE=8，EF=FG=2∴BF=BG﹣BF=6，∴直角△ABF中，利用勾股定理得：AB===10．故答案是：10．19．如图：在△ABC中，AB=AC，BC=BD，AD=DE=EB，则∠A=45°．【解答】解：∵DE=EB∴设∠BDE=∠ABD=x，∴∠AED=∠A=2x，∴∠BDC=∠C=∠ABC=3x，在△ABC中，3x+3x+2x=180°，解得x=22.5°．∴∠A=2x=22.5°×2=45°．故答案为：45°．三．解答题（共11小题）20．如图，在△ABC中，M为BC的中点，DM⊥BC，DM与∠BAC的角平分线交于点D，DE⊥AB，DF⊥AC，E、F为垂足，求证：BE=CF．【解答】解：连接DB．∵点D在BC的垂直平分线上，∴DB=DC；∵D在∠BAC的平分线上，DE⊥AB，DF⊥AC，∴DE=DF；∵∠DFC=∠DEB=90°，在Rt△DCF和Rt△DBE中，，∴Rt△DCF≌Rt△DBE（HL），∴CF=BE（全等三角形的对应边相等）．21．已知：如图，△ABC中，∠ABC=45°，CD⊥AB于D，BE平分∠ABC，且BE ⊥AC于E，与CD相交于点F，H是BC边的中点，连结DH与BE相交于点G．（1）求证：BF=AC；（2）求证：CE=BF．【解答】（1）证明：∵CD⊥AB，∠ABC=45°，∴△BCD是等腰直角三角形．∴BD=CD．∵∠DBF=90°﹣∠BFD，∠DCA=90°﹣∠EFC，且∠BFD=∠EFC，∴∠DBF=∠DCA．在Rt△DFB和Rt△DAC中，，∴Rt△DFB≌Rt△DAC（AAS），∴BF=AC．（2）证明：∵BE平分∠ABC，∴∠ABE=∠CBE．在Rt△BEA和Rt△BEC中，，∴Rt△BEA≌Rt△BEC（ASA）．∴CE=AE=AC，又∵BF=AC，∴CE=BF．22．如图，D为AB上一点，△ACE≌△BCD，AD2+DB2=DE2，试判断△ABC的形状，并说明理由．【解答】解：△ABC是等腰直角三角形，理由是：∵△ACE≌△BCD，∴AC=BC，∠EAC=∠B，AE=BD，∵AD2+DB2=DE2，∴AD2+AE2=DE2，∴∠EAD=90°，∴∠EAC+∠DAC=90°，∴∠DAC+∠B=90°，∴∠ACB=180°﹣90°=90°，∵AC=BC，∴△ABC是等腰直角三角形．23．把两个含有45°角的大小不同的直角三角板如图放置，点D在BC上，连接BE，AD，AD的延长线交BE于点F．说明：AF⊥BE．【解答】证明：AF⊥BE，理由如下：由题意可知∠DEC=∠EDC=45°，∠CBA=∠CAB=45°，∴EC=DC，BC=AC，又∠DCE=∠DCA=90°，∴△ECD和△BCA都是等腰直角三角形，∴EC=DC，BC=AC，∠ECD=∠ACB=90°．在△BEC和△ADC中EC=DC，∠ECB=∠DCA，BC=AC，∴△BEC≌△ADC（SAS）．∴∠EBC=∠DAC．∵∠DAC+∠CDA=90°，∠FDB=∠CDA，∴∠EBC+∠FDB=90°．∴∠BFD=90°，即AF⊥BE．24．图1、图2是两张形状大小完全相同的方格纸，方格纸中的每个小正方形的边长均为1，线段AB、EF的端点均在小正方形的顶点上．（1）如图1，作出以AB为对角线的正方形并直接写出正方形的周长；（2）如图2，以线段EF为一边作出等腰△EFG（点G在小正方形顶点处）且顶角为钝角，并使其面积等于4．【解答】解：（1）以AB为对角线的正方形AEBF如图所示，正方形的周长为4．=××=4．（2）等腰△EFG如图所示，S△EFG25．如图，正方形网格中的每个小正方形边长都是1，每个小格的顶点叫做格点，以格点为顶点分别按下列要求画三角形．（1）在图1中，画一个三角形，使它的三边长都是有理数；（2）在图2中，画一个直角三角形，使它们的三边长都是无理数；（3）在图3中，画一个正方形，使它的面积是10．【解答】解：（1）三边分别为：3、4、5 （如图1）；（2）三边分别为：、2、（如图2）；（3）画一个边长为的正方形（如图3）．26．如图，△ABC中，∠B=90°，AB=3，BC=4，若CD=12，AD=13．求阴影部分的面积．【解答】解：∵△ABC中，∠B=90°，AB=3，∴AC===5．∵CD=12，AD=13．AC=5，∴AC2+CD2=AD2，∴△ACD是直角三角形，∴S阴影=S△ACD﹣S△ABC=×5×12﹣×3×4=30﹣6=24．27．如图，在△ACB中，∠ACB=90゜，CD⊥AB于D．（1）求证：∠ACD=∠B；（2）若AF平分∠CAB分别交CD、BC于E、F，求证：∠CEF=∠CFE．【解答】证明：（1）∵∠ACB=90゜，CD⊥AB于D，∴∠ACD+∠BCD=90°，∠B+∠BCD=90°，∴∠ACD=∠B；（2）在Rt△AFC中，∠CFA=90°﹣∠CAF，同理在Rt△AED中，∠AED=90°﹣∠DAE．又∵AF平分∠CAB，∴∠CAF=∠DAE，∴∠AED=∠CFE，又∵∠CEF=∠AED，∴∠CEF=∠CFE．28．如图所示，在△ACB中，∠ACB=90°，∠1=∠B．（1）求证：CD⊥AB；（2）如果AC=8，BC=6，AB=10，求CD的长．【解答】（1）证明：∵∠ACB=90°，∴∠1+∠BCD=90°，∵∠1=∠B，∴∠B+∠BCD=90°，∴∠BDC=90°，∴CD⊥AB；=AB•CD=AC•BC，（2）解：∵S△ABC∴CD===4.8．29．如图，在△ABC中，∠B=90°，M是AC上任意一点（M与A不重合）MD⊥BC，且交∠BAC的平分线于点D，求证：MD=MA．【解答】证明：∵MD⊥BC，且∠B=90°，∴AB∥MD，∴∠BAD=∠D又∵AD为∠BAC的平分线∴∠BAD=∠MAD，∴∠D=∠MAD，∴MA=MD30．已知，在△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，点D是AB的中点，点E是AB边上一点．（1）直线BF⊥CE于点F，交CD于点G（如图①），求证：AE=CG；（2）直线AH⊥CE于点H，交CD的延长线于点M（如图②），找出图中与BE相等的线段，并证明．【解答】（1）证明：∵AC=BC，∠ACD=∠BCD=45°，∴∠ACB=90°，∴∠A=∠ABC=45°，∠ACE=90°﹣∠BCF，∵BF⊥CE，∴∠CFB=90°，∴∠CBG=90°﹣∠BCF，∴∠ACE=∠CBG，在△ACE和△CBG中，，∴△ACE≌△CBG（ASA），∴AE=CG；（2）解：CM=BE；理由：∵CD⊥AB，AH⊥CE，∴∠CDE=∠CHM=90°，∴∠DCE+∠CEB=90°，∠DCE+∠CMA=90°，∴∠CEB=∠CMA，在△BCE和△ACM中，，∴△BCE≌△ACM（AAS），∴CM=BE．。
浙教版八年级上册+特殊三角形综合复习
初二几何第2单元疑难问题集锦一•选择题（共10小题）1. 如图：在△ ABC中，CE平分/ ACB CF平分/ ACD,且EF// BC交AC于M ,若CM=5,贝U CE+CF2等于（）A. 75B. 100C. 120D. 1252. 等腰Rt A ABC中，/ BAC=90, D是AC的中点，ECL BD于E,交BA的延长线于F,若BF=12则厶FBC的面积为（）A. 40B. 46C. 48D. 503. 如图，将两个大小、形状完全相同的△ ABC和厶A B拼在一起，其中点A 与点A重合，点C落在边AB上，连接B'.若/ ACB=/ AC B' =90AC=BC=3则B'的长为（）4. 如图，在Rt A ABC 中，/ ACB=90, CD L AB,垂足为D, AF 平分/ CAB 交CD于点E,交CB于点F.若AC=3, AB=5,贝U CE的长为（5•如图，是由四个全等的直角三角形和中间的小正方形拼成的一个大正方形,如果大正方形的面积是13,小正方形的面积是2,直角三角形较长的直角边为 m ，6.要判定两个直角三角形全等，下列说法正确的有（） ① 有两条直角边对应相等；② 有两个锐角对应相等；③ 有斜边和一条直角边对应相等；④ 有一条直角边和一个锐角相等；⑤ 有斜边和一个锐角对应相等；⑥ 有两条边相等.A . 6个B. 5个C. 4个D. 3个7. 如图是用4个全等的直角三角形与1个小正方形镶嵌而成的正方形图案，已 知大正方形面积为49，小正方形面积为4，若用x 、y 表示直角三角形的两直角 边（x >y ），下列四个说法：① x 2+y 2=49，②x -y=2，③ 2xy+4=49，④x+y=9.其 中说法正确的是（ ）A .①②B .①②③ C.①②④ D .①②③④D. 那么（m+n ）2的值为（25 D .无答案8. 如图，锐角△ ABC中，D、E分别是AB AC边上的点，△ ADG^A ADC, △AEB^A AEB,且G D/ EB7/ BC, BE、CD交于点F.若/ BAC=35,则/ BFC的大小是（）A. 105°B. 110°C. 100°D. 120°9. 如图甲是我国古代著名的赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的，若AC=6 BC=5将四个直角三角形中边长为6的直角边分别向外延长一倍，得到图乙所示的数学风车”则这个风车的外围周长是（）A. 52B. 42C. 76D. 7210. 如图，△ ABC面积为1,第一次操作：分别延长AB，BC, CA至点A i，B i, C i,使A1B=AB C1B=CB C1A=CA 顺次连接A1，B1，C，得到△A1B1C1 .第二次操作：分别延长A1B1,B1C1,C1A1 至点A Z,B2,C2,使A2B1=A1B1,B2C1=B I C1,QA1=C1A1,顺次连接A2, B2, C2,得到△ A2B2C2, ••按此规律，要使得到的三角形的面积超过2014,最少经过（）次操作.AA. 7B. 6C. 5D. 4二•填空题（共9小题）11. 在正三角形△ ABC所在平面内有一点P,使得△ PAB △ PBC △ PAC都是等腰三角形，则这样的P点有________ 个.12. 如图，在锐角厶ABC中，/ BAC=45, AB=2,Z BAC的平分线交BC于点D, M、N分别是AD和AB上的动点，贝U BM+MN的最小值是_______ .13. 在Rt A ABC中，/ C=90°, BC=8cm AC=4cm 在射线BC上一动点D,从点B出发，以一•厘米每秒的速度匀速运动，若点D运动t秒时，以A、D、B为顶点的三角形恰为等腰三角形，则所用时间t为_________ 秒.（结果可含根号）. 14. 如图，已知/ AON=40，0A=6,点P是射线ON上一动点，当△ AOP为直角三角形时，/ A= ______ ,Q P N15. _________ 如图，已知点P是射线ON上一动点（即P可在射线ON上运动），/ AON=30，当/ A= 时，△ AOP为直角三角形.16. 如图，在△ ABC中，AB=BC=8 AO=BQ点M是射线CO上的一个动点，/ AOC=60,则当△ ABM为直角三角形时，AM的长为________ .17. 如图，在 Rt A ABC 中，/ C=90°, AC=10, BC=5 线段 PQ=AB P, Q 两点分别在AC 和过点A 且垂直于AC 的射线AO 上运动，当AP= ________ 时，△ ABC 和 △ PQA 全等.18. 如图1,这个图案是我国汉代的赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称 它为赵爽弦图”此图案的示意图如图2,其中四边形ABCD 和四边形EFGH 都是 正方形，△ ABF △ BCG △ CDH △ DAE 是四个全等的直角三角形.若 EF=2CB三•解答题（共11小题）20.如图，在△ ABC中，M为BC的中点，DM丄BC, DM与/BAC的角平分线交于点D，DE丄AB, DF丄AC, E、F为垂足，求证：BE=CF21.已知：如图，△ ABC中，/ ABC=45, CD丄AB 于D，BE平分/ ABC，且BE 丄AC于E,与CD相交于点F，H是BC边的中点，连结DH与BE相交于点G. （1）求证：BF=AC22 .如图，D为AB上一点，△ ACE^A BCD, AD2+DB2=D^，试判断厶ABC的形23. 把两个含有45°角的大小不同的直角三角板如图放置，点D在BC上，连接BE, AD, AD的延长线交BE于点F.说明：AF丄BE324. 图1、图2是两张形状大小完全相同的方格纸，方格纸中的每个小正方形的边长均为1,线段AB EF的端点均在小正方形的顶点上.(1)如图1,作出以AB为对角线的正方形并直接写出正方形的周长；(2)如图2,以线段EF为一边作出等腰厶EFG(点G在小正方形顶点处)且顶角为钝角，并使其面积等于4.團1 圏225. 如图，正方形网格中的每个小正方形边长都是1 ,每个小格的顶点叫做格点, 以格点为顶点分别按下列要求画三角形.(1)在图1中，画一个三角形，使它的三边长都是有理数；(2)在图2中，画一个直角三角形，使它们的三边长都是无理数；(3)在图3中，画一个正方形，使它的面积是10.26. 如图，△ ABC 中，/ B=90°, AB=3, BC=4 若CD=12, AD=13.求阴影部分的面积.27. 如图，在△ ACB 中，/ ACB=90 , CD 丄AB 于 D .(1) 求证：/ ACD=Z B ;(2) 若AF 平分/ CAB 分别交CD BC 于E 、F ,求证：/ CEF 2 CFE28. 如图所示，在△ ACB 中，/ ACB=90, /仁/ B .(1) 求证：CD 丄AB ;(2) 如果 AC=8 BC=6 AB=10,求 CD 的长.29. 如图，在厶ABC 中，/ B=90°, M 是AC 上任意一点（M 与A 不重合）MD 丄 BC,且交/ BAC 的平分线于点 D ,求证：MD=MA . A n5\ C4 9 30. 已知，在△ ABC 中，AC=BC / ACB=90，点D 是AB 的中点，点E 是AB 边 上一点. （1） 直线BF 丄CE 于点F ,交CD 于点G （如图①），求证：AE=CG（2） 直线AH 丄CE 于点H ,交CD 的延长线于点M （如图②），找出图中与BEz?相等的线段，并证明.第11页（共32初二几何第2单元疑难问题集锦参考答案与试题解析一•选择题（共10小题）1.如图：在△ ABC中，CE平分/ ACB CF平分/ ACD,且EF// BC交AC于M ,若CM=5,贝U CE+CF2等于（）A. 75B. 100C. 120D. 125【解答】解：：CE平分/ ACB, CF平分/ ACD,•••/ ACE寺/ ACB / ACF寺/ ACD,即/ ECF= (/ ACB^Z ACD) =90°,•••△ EFC为直角三角形，又T EF// BC, CE平分/ ACB CF平分/ ACD,•••/ ECB2 MEC=Z ECM , / DCF=/ CFM=Z MCF,••• CM=EM=MF=5 EF=10由勾股定理可知CE+CF^EFMOO.故选B.2.等腰Rt A ABC中，/ BAC=90 , D是AC的中点，ECL BD于E,交BA的延长线于F ,若BF=12则厶FBC的面积为（）A. 40B. 46C. 48D. 50【解答】解：：CEL BD ,第13页（共32:丄 BEF=90,vZ BAC=90,:丄 CAF=90,•••Z FAC Z BAD=90 , Z ABD+Z F=90°, Z ACF+Z F=90°,•••Z ABD=Z ACF ,•••在厶ABD 和A ACF 中ZBAD=ZCAFAB=AC, ZABD=ZACF• △ ABD ^A ACF ,• AD=AFv AB=AC D 为 AC 中点,• AB=AC=2AD=2AFv BF=ABAF=12• 3AF=12• AF=4• AB=AC=2AF=8• △ FBC 的面积是丄 X BF X AC 二 X 12X 8=48 , 2 2故选C .3•如图,将两个大小、形状完全相同的△ ABC 和厶A B 拼在一起,其中点 A与点A 重合，点C'落在边AB 上,连接B C 若Z ACB=/ AC B' =90AC=BC=3则B'的长为（ ）A . 3 - B. 6 C. 3 * D. 1汀[【解答】解：I/ ACBKAC B' =90AC=BC=3•i AB= ［「j | =3 '_,/ CAB=45,•••△ ABC 和△ A B'大I 、、形状完全相同，•••/ C' AB /=AB=45, AB =AB=3,•••/ CAB =9Q°:B C =：J-甘 J =3 ：:，故选：A .4.如图，在 Rt A ABC 中，/ ACB=90，CD 丄AB,垂足为 D , AF 平分/CAB 交v/ ACB=90，CD 丄 AB,•••/ CDA=90,•••/ CAF+/ CFA=90, / FA&/ AED=90 ,v AF 平分/ CAB•••/ CAF=/ FAD,•••/ CFA=/ AED=/ CEF ••• CE=CFv AF 平分/ CAB / ACF=/ AGF=90 ,••• FC=FGv/ B=/ B , / FGB=/ ACB=90 ,•••△ BF3A BAC, :-FGAB = AC '【解答】解：过点F 作FG 丄AB 于点G ， 则CE 的长为（第15页（共32••• AC=3 AB=5, / ACB=90,••• BC=45•如图，是由四个全等的直角三角形和中间的小正方形拼成的一个大正方形，如果大正方形的面积是13,小正方形的面积是2,直角三角形较长的直角边为较短的直角边为n ，那么（m+n ）2的值为（ ）A . 23 B. 24 C. 25 D .无答案【解答】解：（m+n ）2=m 2+n 2+2m 门=大正方形的面积+四个直角三角形的面积和(13- 1) =25.故选C .6.要判定两个直角三角形全等，下列说法正确的有（）① 有两条直角边对应相等；② 有两个锐角对应相等；=13+即CE 的长为32③有斜边和一条直角边对应相等；第17页（共32④ 有一条直角边和一个锐角相等；⑤ 有斜边和一个锐角对应相等；⑥ 有两条边相等.A . 6个B. 5个C. 4个D. 3个【解答】解：①有两条直角边对应相等，可以利用 SAS 证明全等，正确;② 有两个锐角对应相等，不能利用 AAA 证明全等，错误；③ 有斜边和一条直角边对应相等，可以利用 HL 证明全等，正确；④ 有一条直角边和一个锐角相等，不一定可以利用 AAS 证明全等，错误;⑤ 有斜边和一个锐角对应相等，可以利用 AAS 证明全等，正确；⑥ 有两条边相等，不一定可以利用 HL 或SAS 证明全等，错误；故选D .7. 如图是用4个全等的直角三角形与1个小正方形镶嵌而成的正方形图案，已 知大正方形面积为49，小正方形面积为4，若用x 、y 表示直角三角形的两直角 边（x >y ），下列四个说法：① x 2+y 2=49，②x -y=2，③ 2xy+4=49，④x+y=9.其 中说法正确的是（ ）A .①②B .①②③ C.①②④ D .①②③④①-②得2xy=45 ③,2xy+4=49,① + ③得 x 2+2xy+y 2=94， .•.（ x+y ） 2=94，.①②③正确，④错误.故选B8. 如图，锐角△ ABC 中，D 、E 分别是 AB AC 边上的点，△ ADG^A ADC , △【解答】 解: 由题意AEB^A AEB,且G D/ EB7/ BC, BE、CD交于点F.若/ BAC=35,则/ BFC的大小是（）A. 105°B. 110°C. 100°D. 120°【解答】解：设/ C =,Z B'=,•••△ADC^A ADC, △AEB^A AEB,•••/ ACD=/ C' =, Z ABE=Z B' =，/ BAE=Z B' AE=35•••/ C' DB Z BACACD=35+a, Z CEB =35°.•••C' / EB'// BC,•••Z ABC=/ C DB Z BACACD=35+a, Z ACB=/ CEB =3倂B,•••Z BAG Z ABO Z ACB=180, 即卩105° + a+B =180：则a+B =75：•Z BFC Z BDG Z DBE,•Z BFC=35+a+B =35+75°=110°.9. 如图甲是我国古代著名的赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的，若AC=6 BC=5,将四个直角三角形中边长为6的直角边分别向外延长一倍，得到图乙所示的数学风车”则这个风车的外围周长是（）第19页（共32【解答】解：依题意得，设 数学风车”中的四个直角三角形的斜边长为X ,则貳=122+52=169,解得x=13.故数学风车”的周长是：（13+6）X 4=76.故选：C.10. 如图，△ ABC 面积为1,第一次操作：分别延长 AB , BC, CA 至点A i , B i , C 1 ,使 A 1B=AB GB=CB GA=CA 顺次连接 A , B 1 , C ，得到△ A 1B 1C 1 .第二次 操作：分别延长 A 1B 1 , B 1C 1 , C 1A 1 至点 A 2 , B 2 , C 2 ,使 A 2B 1=AB 1, B 2C 1=B I C 1 , C 2A 1=C 1A 1 , 顺次连接A 2 , B 2 , C 2 ,积比为1： 2,得到△ A 2B2C 2, ••按此规律，要使得到的三角形的面积超 过2014,最少经过（ ）次操作.C. 5 D . 4【解答】解: △ ABC 与厶A i BBi 底相等 (AB=AB ),高为 1： 2 (BB i =2BC ),故面 A . 7 B. 6 4S A1B1B F2.同理可得，S\CIBI（=2,S\AAIC=2,S\ A1B1C=S\ C1B1（+S\ AA1C+S^ A1B1B+S\ ABC=2+2+2+1=7；同理可证厶A2B2C2的面积=7XA A1B1C1的面积=49,第三次操作后的面积为7X 49=343,第四次操作后的面积为7X 343=2401.故按此规律，要使得到的三角形的面积超过2014,最少经过4次操作.故选D.二•填空题（共9小题）11 •在正三角形△ ABC所在平面内有一点P,使得△ PAB △ PBC △ PAC都是等腰三角形，则这样的P点有10 个.【解答】解：（1）点P在三角形内部时，点P是边AB、BC CA的垂直平分线的交点，是三角形的外心；（2）分别以三角形各顶点为圆心，边长为半径，交垂直平分线的交点就是满足要求的.每条垂直平分线上得3个交点，再加三角形的垂心，一共10个，故答案为：10.12.如图，在锐角厶ABC中，/ BAC=45, AB=2,Z BAC的平分线交BC于点D，M、N分别是AD和AB上的动点，贝U BM+MN的最小值是—丄_ .【解答】解：如图，作BH 丄AC,垂足为H ,交AD 于M 点，过M 点作M N1AB, 垂足为N',则BM+M N 为所求的最小值.••• AD 是/ BAC 的平分线，••• M H=M N••• BH 是点B 到直线AC 的最短距离（垂线段最短）,••• AB=2 / BAC=45,••• BH=AB?si n45 =乂返，！,2••• BM+MN 的最小值是 BM +M N =B+M H=BH=[.故答案为：一二13.在 Rt A ABC 中，/ C=90°, BC=8cm AC=4cm 在射线 BC 上一动点 D ,从点 B 出发，以.匚厘米每秒的速度匀速运动，若点 D 运动t 秒时，以A 、D 、B 为顶 点的三角形恰为等腰三角形，则所用时间t 为_「.!.一：,—秒.（结果可含 根号）.【解答】解：①如图1，当AD=BD 时，在Rt A ACD 中，根据勾股定理得到: AD 2=AC ?+CD 2, 即卩 BD ^= （8 - BD ） 2+42，解得，BD=5 （cm ）,则t=〒=.，（秒）;② 如图2,当AB=BD 时.在Rt A ABC 中，根据勾股定理得到:AB=J ; ；'=4「！•，则 A N V B（秒）；③如图3,当AD=AB时，BD=2BC=16则t于■弋蜃（秒）；综上所述，t的值可以是：！ . —- \ ;14•如图，已知/ AON=40, 0A=6,点P是射线ON上一动点，当△ AOP为直角三角形时，/ A= 50 或90【解答】解：当AP I ON时，/ APO=90,则/ A=50°,当PAIOA时，/ A=90°,即当△ AOP为直角三角形时，/ A=50或90°故答案为：50或90.15. 如图，已知点P是射线ON上一动点（即P可在射线ON上运动），/ AON=30 , 第19页（共32页）当/ A 60或90°时，△ AOP为直角三角形.【解答】解：若/ APO是直角，则/ A=90°-Z AON=90 - 30°60°,若/ APO是锐角，•••/ AON=30是锐角，•••Z A=90°，综上所述，Z A=60°或90°故答案为：60°或90°16. 如图，在△ ABC中，AB=BC=8 AO=BQ点M是射线CO上的一个动点，Z AOC=60,则当△ ABM为直角三角形时，AM的长为 J或4—或4 .【解答】解：如图1,当Z AMB=90时,•OM=OB=4,又TZ AOC=/ BOM=6°，•△ BOM是等边三角形，••• BM=B0=4,••• Rt A ABM 中，AM= j — =4 . 如图2,当/ AMB=90时，v O是AB的中点，AB=8, ••• OM=OA=4,又v/ AOC=60,•△ AOM是等边三角形，•AM=AO=4;如图3,当/ ABM=90时,v/ BOM=/ AOC=60,•/ BMO=3° ,•MO=2BO=2X 4=8,--Rt A BOM 中，BM二q j. =4 :;,Rt A ABM 中，AM= , . 'ir =4 7,综上所述，当△ ABM为直角三角形时，AM的长为4 -；或4 -或4.故答案为：4■或4■或4.17. 如图，在Rt A ABC中，/ C=90°, AC=10, BC=5 线段PQ=AB P, Q 两点分别在AC和过点A且垂直于AC的射线AO上运动，当AP= 5 或10 时，△ ABC 和厶PQA全等.【解答】解：当AP=5或10时，△ ABC和厶PQA全等,理由是：I / C=90, AO丄AC,•/ C=/ QAP=90，①当AP=5=BC时，在Rt A ACB和Rt A QAP 中fAB=PQ|BC=AP•Rt A ACB^ Rt A QAP ( HL)，②当AP=10=AC时，在Rt A ACB和Rt A PAQ中fAB=PQ 仏二AP•Rt A ACB^ Rt A PAQ( HL)，故答案为：5或10.18. 如图1,这个图案是我国汉代的赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为赵爽弦图”此图案的示意图如图2,其中四边形ABCD和四边形EFGH都是第22页（共32页）正方形，△ ABF △ BCG △ CDH △ DAE是四个全等的直角三角形.若EF=2••• BF=BG- BF=6,•••直角△ ABF中，禾I」用勾股定理得：AB=十，厂=10・故答案是：10.19. 如图：在△ ABC中，AB=AC BC=BD AD=DE=EB 贝U/ A= 45【解答】解：：DE=EB•••设/ BDE=/ ABD=x•••/ AED=/ A=2x,•••/ BDC=/ C=/ ABC=3x 在厶ABC中，3x+3x+2x=180°, 解得x=22.5 °•••/ A=2x=22.5°X 2=45°.故答案为：45°.三.解答题（共11小题）20. 如图，在△ ABC中，M为BC的中点，DM丄BC, DM与/BAC的角平分线交于点D , DE 丄AB , DF 丄AC, E 、F 为垂足，求证：BE=CF•••点D 在BC 的垂直平分线上,••• DB=DCv D 在/BAC 的平分线上，DE± AB, DF 丄AC, ••• DE=DFvZ DFC=z DEB=90,在 Rt A DCF 和 Rt A DBE 中，卩出DCI DMF ,••• Rt A DCF ^Rt A DBE (HL ),21. 已知：如图，△ ABC 中，Z ABC=45, CD 丄AB 于 D , BE 平分Z ABC ,且 BE丄AC 于E ,与CD 相交于点F , H 是BC 边的中点，连结DH 与BE 相交于点G .（1）求证：BF=AC【解答】解：连接DB.••• CF=BE （全等三角形的对应边相等）【解答】(1)证明：T CD 丄AB ,/ ABC=45,•••△ BCD 是等腰直角三角形.••• BD=CDv/ DBF=90-/ BFD, / DCA=90 -/ EFC 且/ BFD=Z EFC•••/ DBF=/ DCA在 Rt A DFB 和 Rt A DAC 中，ZBDF=ZCDA■-■ I -,BD=DC••• Rt A DFB ^ Rt ^ DAC (AAS ,••• BF=AC(2) 证明：v BE 平分/ ABC,•••/ ABE=/ CBE在 Rt A BEA 和 Rt A BEC 中,ZAEB=ZCEBr …, ZABE=ZCBE••• Rt A BEA^ Rt A BEC(ASA ).••• CE=AE 二AC,2 ，又 v BF=AC••• CE 丄 BF. 222 .如图，D 为AB 上一点，△ ACE^A BCD AD 2+DB 2=D^，试判断厶ABC 的形[ [状，并说明理由.【解答】解：△ ABC是等腰直角三角形,理由是::△ ACE^A BCD,••• AC=BC / EAC2 B, AE=BD••• A D2+DB2=DE：,••• AD2+AE2=DE?,•••/ EAD=90 ,•••/ EAOZ DAC=90 ,•••/ DAG/ B=90° °•••/ ACB=180 - 90°=90°°••• AC=BC•••△ ABC是等腰直角三角形.23•把两个含有45°角的大小不同的直角三角板如图放置，点D在BC上,连接BE, AD , AD的延长线交BE于点F.说明：AF丄BE【解答】证明：AF丄BE,理由如下：由题意可知/ DEC/ EDC=4O5 , / CBA=/ CAB=45 ,••• EC=DC BC=AC 又/ DCE/ DCA=90 ,•••△ ECD^PA BCA都是等腰直角三角形,••• EC=DC BC=AC / ECD/ ACB=90.在厶BEC^n^ ADC中EC=DC / ECB W DCA, BC=AC•••△ BEC^A ADC (SAS.•••/ EBC=z DACvZ DAC+Z CDA=90，/ FDB=Z CDA•••/ EBG Z FDB=90.•••Z BFD=90,即AF丄BE.24. 图1、图2是两张形状大小完全相同的方格纸，方格纸中的每个小正方形的边长均为1,线段AB EF的端点均在小正方形的顶点上.（1）如图1,作出以AB为对角线的正方形并直接写出正方形的周长；（2）如图2,以线段EF为一边作出等腰厶EFG（点G在小正方形顶点处）且顶角为钝角，并使其面积等于4.【解答】解：（1）以AB为对角线的正方形AEBF如图所示，正方形的周长为4.丨| .囹1(2)等腰△ EFG如图所示，&EFG^ X ■ tx「=4.11严■ ■ * ■ u r!，•■ - —|1■ . -4L_. JF■…/iN；；111_ 125. 如图，正方形网格中的每个小正方形边长都是1 ,每个小格的顶点叫做格点, 以格点为顶点分别按下列要求画三角形.（1）在图1中，画一个三角形，使它的三边长都是有理数；（2）在图2中，画一个直角三角形，使它们的三边长都是无理数；（3）在图3中，画一个正方形，使它的面积是10.【解答】解：（1）三边分别为：3、4、5 （如图1）;（2）三边分别为：.】、2二、.II （如图2）;26. 如图，△ ABC 中，/ B=90°, AB=3, BC=4 若CD=12, AD=13.求阴影部分的面积.【解答】解::△ ABC中，/ B=90 ° AB=3,••• AC=一= ：L '=5-v CD=12 AD=13. AC=5,••• AC2+CD2=AD2,•••△ ACD是直角三角形,S阴影=S\ACD—S A ABC^X 5X 12 - —X 3X 4=30- 6=24. :- :-27. 如图，在△ ACB中，/ ACB=90 , CD丄AB于D.(1)求证：/ ACD=Z B;(2)若AF平分/ CAB分别交CD BC于E、F,求证：/ CEF2 CFE【解答】证明：(1)vZ ACB=90 , CD丄AB于D,•••/ ACD F Z BCD=90，/ B+Z BCD=90,•••/ ACD=/ B;(2)在Rt A AFC中，Z CFA=90—Z CAF, 同理在Rt A AED中，Z AED=90-Z DAE 又v AF平分Z CAB•••Z CAF=/ DAE,•••Z AED=/ CFE又vZ CEF Z AED,• Z CEF Z CFE28. 如图所示，在△ ACB 中，/ ACB=90, /仁/ B . (1) 求证：CD 丄AB ;(2) 如果 AC=8 BC=6 AB=10,求 CD 的长.【解答】(1)证明：I / ACB=90, •••/ 1+/ BCD=90,v/ 仁/ B,•••/ B+/ BCD=90, •••/ BDC=90, ••• CD 丄 AB ;29. 如图，在△ ABC 中，/ B=90°, M 是AC 上任意一点（M 与A 不重合）MD 丄 BC,且交/ BAC 的平分线于点 D ,求证：MD=MA .【解答】 证明：v MD 丄BC,且/ B=90°,.AB// MD , ./ BAD=/ D又v AD 为/ BAC 的平分线 ./ BAD=/ MAD , •••/ D=Z MAD, ••• MA=MD...CD —I IAB10=4.8.(2)解：v S\AB ?CD 丄 AC ?BC30.已知，在△ ABC 中，AC=BC / ACB=90,点D 是AB 的中点，点E 是AB 边 上一点.（1） 直线BF 丄CE 于点F ,交CD 于点G （如图①），求证：AE=CG（2） 直线AH 丄CE 于点H ，交CD 的延长线于点M （如图②），找出图中与BE 相 等的线段，并证明.•••/ ACB=90，•••/ A=Z ABC=45，Z ACE=90-Z BCF••• BF 丄 CE, •••/ CFB=90,•••/ CBG=90-Z BCF•••/ ACE W CBQ 在厶ACE ft^ CBG 中，ZA=ZBCG=45&AC=BC, ZACE=ZE0G•••△ ACE^A CBG( ASA )， ••• AE=CG(2)解：CM=BE 理由： •••CD 丄AB ，AH 丄CE •••/ CDE W CHM=9,，•••/ DCE ■/CEB=90，Z DCE^Z CMA=90， •••/ CEB W CMA , 在厶 BCE^n ^ ACM 中，[r ZB=ZACI!-45frZCEB=ZCMA ,t AC=BC•••△ BCE^A ACM (AAS),••• CM=BE。
浙教八上数学期末复习二 特殊三角形
期末复习二特殊三角形一、必备知识1．等腰三角形性质：①边：两腰相等；②角：；③特殊线段：三线合一，即等腰三角形顶角平分线与底边上的、底边上的中线互相重合．等边三角形性质：①边：每条边都；②角：每个角都是.直角三角形性质：①边：勾股定理；②角：两锐角；③特殊线段：直角三角形斜边上的中线等于斜边的．2．等腰三角形的判定：在同一个三角形中，对等边．等边三角形的判定：①三条边都相等；②有两个角是；③一个角为60°的三角形．直角三角形的判定：①有两个角；②勾股定理的逆定理．3．角的内部，到角两边距离相等的点，在这个角的．4．两个直角三角形可用证明全等；在直角三角形中，30°所对的直角边是斜边的．二、防范点1．求等腰三角形角度，边长的问题注意分类讨论，考虑多种情况．2．逆命题中注意术语的回避，如“等腰三角形两腰相等”的逆命题为．例题精析知识点一轴对称图形例1 （1）下列图形中不是轴对称图形的是（）（2）如图，D是AB边上的中点，将△ABC沿过D的直线折叠，使点A落在BC上F处，若∠B=50°，则ADE= 度（3）如图所示，为了确保城市运动会的安全工作，某交警执勤小队从A出发，先到公路l1上设卡检查，再到公路l2上设卡检查，然后再到B处执行任务，他们应该如何走才能使总路程最短？【反思】利用轴对称性可以解决一些线段和最短的问题．知识点二等腰、等边三角形性质及判定例2 （1）等腰三角形有两边长分别为3和6，则等腰三角形的周长为．（2）等腰三角形的一个角为30°，则它的另外两内角分别为．（3）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAD＝20°，AD＝AE，则∠EDC度数=.（4）如图，已知P，Q是△ABC边BC上的两点，且BP＝PQ＝QC＝AP＝AQ，则∠BAC 的度数= .（5）如图，∠ABC，∠ACB的平分线相交于点F，过点F作DE∥BC，交AB于D，交AC 于E，那么下列结论：①△BDF，△CEF都是等腰三角形；②DE=BD+CE；③△ADE的周长为AB+AC；④BD=CE．其中正确的是．（6）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=6cm，BC=8cm，动点P从点C出发，按C→B→A的路径，以2cm每秒的速度运动，设运动时间为t秒，当t为时，△ACP是等腰三角形．【反思】运用等腰、等边三角形性质解决问题时往往要结合三角形内角和为180°和三角形外角性质，解题过程中还要注意分类讨论考虑多种情况，防止出现漏解．例3 如图所示，△ABC是等边三角形，D是BC延长线上一点，CE平分∠ACD，且CE＝BD.试说明△DAE是等边三角形．【反思】要说明一个三角形是等边三角形，当已知这个三角形是等腰三角形时，也可设法说明底边和腰相等或说明一个角为60°.知识点三逆命题和逆定理例4 写出下列命题的逆命题，并判断逆命题的真假．（1）如果a，b都是无理数，那么ab也是无理数；（2）如果a＝b，那么a2＝b2；（3）等腰三角形两腰上的高相等．【反思】把原命题的条件和结论互换可得到其逆命题，若逆命题是假命题，则利用举反例就可以进行说明；若逆命题是真命题，则要进行推理论证才能说明．知识点四直角三角形性质、判定及HL全等证明例5 （1）在下列条件中：①∠A+∠B=∠C，②∠A∶∠B∶∠C=1∶2∶3，③∠A=90°-∠B，④∠A=∠B=∠C中，能确定△ABC是直角三角形的条件有.（填序号）（2）一个直角三角形的两边长分别为3，4，则第三边长是.（3）如图，矩形ABCD中，AB=8，BC=4，将矩形沿AC折叠，点D落在点D′处，则重叠部分△AFC的面积为．（4）如图，小正方形边长为1，连结小正方形的三个顶点，可得△ABC，则AC边上的高长度为．（5）如图，AB=12，CA⊥AB于A，DB⊥AB于B，且AC=4m，P点从B向A运动，每分钟走1m，Q点从B向D运动，每分钟走2m，P、Q两点同时出发，运动分钟后△CAP与△PQB全等．【反思】对于（3），设D′F=x，根据直角三角形AFD′中运用勾股定理求x是解题的关键；对于（4），求△ABC的面积要用正方形的面积减去三个直角三角形的面积是解决本题的关键；对于（5），对应关系不明确注意分类讨论．知识点五特殊三角形的综合运用例６（1）如图1，点P是等腰三角形ABC的底边BC上的一个动点，过点P作BC的垂线，交直线AB于点Q，交CA的延长线于点R，请观察AR与AQ，它们有何数量关系？并证明你的猜想；（2）如果点P沿着底边BC所在的直线，按由C向B的方向运动到CB的延长线上时，（1）中所得的结论还成立吗？请你在图2中完成图形，并直接写出结论．【反思】解题的关键是利用AB=AC，∠B=∠C以及同角的余角相等求证∠AQR=∠R，从而可知AR=AQ；用类似方法分析、证明（2）．例７在△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，D、E分别是斜边AB和直角边CB上的点，把△ABC沿着直线DE折叠，顶点B的对应点是B′．（1）如图1，如果点B′和顶点A重合，求CE的长；（2）如图2，如果点B′和落在AC的中点上，求CE的长．【反思】解题的关键是灵活运用翻折变换的性质，找出图形中隐含的等量关系；借助勾股定理等几何知识点来分析、判断、推理或解答．例8 如图，Rt△ABC的直角边AC在x轴上，顶点A、B的坐标分别为A（10，0），B （6，8），直线y＝kx分别交BC、AB于点M、N.（1）求直线AB的函数解析式；（2）若直线y＝kx交线段AB于点N，当AN＝25时，请说明直线y＝kx垂直线段AB.【反思】第（2）小题也可先求点N的坐标，利用勾股定理逆定理证垂直．校内练习１. 如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，若∠C=70°，则∠CAD的度数是.２．如图，在△ABC中，AB=AC=5，BC=6，D是BC的中点，则AD的长是. 3．由于木质的衣架没有柔性，在挂置衣服的时候不太方便操作，小敏设计了一种柔性衣架，在使用时能轻易收拢，然后套进衣服后松开即可. 如图1，衣架杆OA=OB=18cm，若衣架收拢时，如图2，∠AOB=60°，则此时AB= cm.4．等腰三角形的周长为14，其一边长为4，那么它的底边长为.5．如图，在△ABC中，AB=AC=13，BC=10，点D为BC的中点，DE⊥AB，垂足为E，则DE= .６．如图，Rt△ABC中，AB=9，BC=6，∠B=90°，将△ABC折叠，使A点与BC的中点D重合，折痕为MN，则线段BN的长为.７．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=60°，BD平分∠ABC，P点是BD的中点. 若AC=15，则CP的长为.8．如图，Rt△ABC中，AC＝BC＝4，点D、E分别是AB、AC的中点，在CD上找一点P，使PA＋PE最小，则这个最小值是 .9．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝8，BC＝6，点D为AC边上的动点，点D 从点C出发，沿边CA往A运动，当运动到点A时停止，若设点D运动的时间为t秒，点D运动的速度为每秒1个单位长度．（1）当t＝2时，CD＝，AD＝；（请直接写出答案）（2）当△CBD是直角三角形时，t＝；（请直接写出答案）（3）求当t为何值时，△CBD是等腰三角形？并说明理由．10．如图，在△ABC中，BE⊥AC，CD⊥AB，M为BC中点．（1）求证：DM＝EM；（2）若∠A＝45°，求∠DME的度数；（3）若∠A∶∠DME＝5∶2，BC＝4，求S△DME.答案期末复习二 特殊三角形【必备知识与防范点】一、1. 两底角相等 高线 相等 60° 互余 一半2. 等角 60° 等腰 互余3. 平分线上 HL 一半二、2. 两边相等的三角形为等腰三角形【例题精析】例1 （1）A （2）50 （3）如图所示，交警执勤小队沿A →C →D →B 的路线走即可使总路程最短．例2 （1）15 （2）75°、75°或30°、120° （3）10° （4）120°（5）①②③（6）3或6或6.5或5.4例3 ∵△ABC 是等边三角形，∴AB ＝AC ，∠B ＝∠ACB ＝∠BAC ＝60°.∴∠ACD ＝120°.∵CE 平分∠ACD ，∴∠ACE ＝21∠ACD ＝60°. ∴∠B ＝∠ACE.在△ABD 和△ACE 中，∵AB ＝AC ，∠B ＝∠ACE ，BD ＝CE ，∴△ABD ≌△ACE.∴AD ＝AE ，∠BAD ＝∠CAE. ∴∠DAE ＝∠BAC ＝60°.∴△DAE 为等边三角形．例4 （1）逆命题为：如果ab 为无理数，那么a 、b 都是无理数． 假命题（2）逆命题为：如果a 2＝b 2，那么a ＝b. 假命题（3）逆命题为：如果一个三角形两边上的高相等，那么这个三角形是等腰三角形． 真命题 例5 （1）①②③ （2）5或7 （3）10 （4）535 （5）4例6 （1）AR=AQ ，证明如下：∵△ABC 是等腰三角形，∴AB=AC ，∠B=∠C. 又∵PR ⊥BC ，∴∠RPC=90°，∴∠C+∠R=90°，∠B+∠BQP=90°，∵∠BQP=∠AQR ，∴∠AQR=∠R ，∴AR=AQ. （2）AR=AQ 仍然成立：∵△ABC 是等腰三角形，∴AB=AC ，∠ABC=∠C. 又∵PR ⊥BC ，∴∠RPC=90°，∴∠C+∠R=90°，∠PBQ+∠BQP=90°，∵∠ABC=∠PBQ ，∴∠AQR=∠R ，∴AR=AQ ．例7 （1）如图1，设CE=x ，则BE=8-x ；由题意得：AE=BE=8-x ，由勾股定理得：x 2+62=（8-x ）2，解得：x=47，即CE 的长为：47． （2）如图2，∵点B ′落在AC 的中点，∴CB ′=21AC=3；设CE=x ，类比（1）中的解法，可列出方程：x 2+32=（8-x ）2，解得：x=1655． 即CE 的长为：1655． 例8 （1）AB ：y ＝－2x ＋20； （2）连结OB ，得OB ＝10＝OA ，又AN ＝25＝0.5AB ，∴直线y ＝kx 垂直线段AB （等腰三角形三线合一）．【校内练习】1. 20°2. 43. １８4. 4或65. 13606. 47. 5 8. 259. （1）2 8 （2）3.6或10秒（3）①CD ＝BD 时，如图1，过点D 作DE ⊥BC 于E ，则CE ＝BE ，∴CD ＝AD ＝21AC ＝21×10＝5，t ＝5÷1＝5；②CD ＝BC 时，CD ＝6，t ＝6÷1＝6；③BD ＝BC 时，如图2，过点B 作BF ⊥AC 于F ，则CF ＝3.6，CD ＝2CF ＝3.6×2＝7.2，∴t ＝7.2÷1＝7.2，综上所述，t ＝5秒或6秒或7.2秒时，△CBD 是等腰三角形．10. （1）DM ＝EM ＝0.5BC （直角三角形斜边上的中线等于斜边一半）；（2）∠DME ＝∠DMC －∠EMC ＝2∠DBC －2∠EBC ＝2∠ABE ＝2×45°＝90°；（3）设∠A ＝x °，则∠DME ＝2（90－x ）°，由∠A ∶∠DME ＝5∶2得x ＝75，∴∠DME ＝30°，∴S △DME ＝21×2×1＝1.。
浙教版八上数学期末复习-第二章 特殊三角形
课题：第二章特殊三角形一、等腰三角形分类讨论1.1等腰三角形一腰的垂直平分线与另一腰所在直线的夹角为50°，则这个等腰三角形顶角的度数为：1.2等腰三角形底边长为5cm，一腰上的中线把其周长分为两部分的差为3cm．等腰三角形的腰长为：1.3.等腰三角形一腰上的高等于该三角形另一边长的一半．则其顶角等于：钢架问题2.1.如图1，已知∠AOB＝10°，且OC＝CD＝DE＝EF＝FG＝GH，则∠BGH＝图1 图2 图3 图4 图52.2如图2钢架中，焊上等长的钢条P1P2，P2P3，P3P4，P4P5…恰能加8根钢架，且P1A=P1P2，求∠A范围．2.3如图3，已知∠MON＝30°，点A1，A2，A3，…在射线ON上，点B1，B2，B3，…在射线OM上，△A1B1B2，△A2B2B3，△A3B3B4，…均为等边三角形．若OB1＝1，则△A8B8B9的边长为：性质应用3.1如图4，D为△ABC内一点，CD平分∠ACB，BD⊥CD，∠A＝∠ABD，若BD＝1，BC＝3，求AC的长3.2如图5，等边△ABC中，D是AC的中点，E是BC延长线上的一点，且CE＝CD，DM⊥BC，垂足为M．（1）求∠E的度数．（2）求证：M是BE的中点．3.3如图6，等腰△ABC中，AB=AC，D在AB上，E在AC的延长线上，DE交BC于F，且DF=EF，求证：BD=CE作图：4直线L上有一点O，点A为直线外一点，连接OA，在直线L上找一点B，使得△AOB是等腰三角形，这样的点B最多有个二、等边三角形性质应用1.1如图7，等边三角形ABC，BC＝2，D是AB的中点，作DF⊥AC于点F，作EF⊥BC于点E，BE的长为：图6 图7 图8 图9 图10 图111.2.如图8，等边△ABC中，BD=CE，连接AD、BE交于点F。
∠AFE=______面积法：2.1如图9，在等腰△ABC中，AB=AC=5，BC=6，P为底边BC上任一点，PE⊥AB，PF⊥AC，求PE+PF的值。
最新(浙教版)八年级数学上册：单元复习(二) 特殊三角形 (共16张PPT)
36 000 m ＝36 km/h＝ ＝10 m/s，∴学校受影响的时间为 120÷10 3 600 s ＝12(s)．
题组五：角平分线与全等三角形的综合应用
8．如图，P是∠BAC内的一点，PE⊥AB，PF⊥AC，垂足分别为点E，F，
AE＝AF.求证： (1)PE＝PF；
(2)点P在∠BAC的平分线上．
③逆命题：面积相等的两个三角形全等．④逆命题：如果一个三角形
中有两个角相等，那么这个三角形是等腰三角形．(2)③的逆命题是 假命题，故③中的两个命题不是互逆定理；④中的原命题和逆命题都
是真命题，故④中的两个命题是互逆定理．
题组二：等腰三角形的性质
2．如图，在等腰三角形ABC中，AB＝AC，AD是BC边上的中线，∠ABC 的平分线BG分别交AD，AC于点E，G，EF⊥AB，垂足为点F. 求证：EF＝ED.
7．(江山市期中)如图，公路AB和公路CD交于点P，且∠APC＝30°，点Q
处有一所小学，PQ＝160 m，假设拖拉机行驶时，周围100 m以内会受到
噪声的影响，那么拖拉机在公路AB上沿PA方向行驶时，学校是否会受到 噪声影响？请说明理由；若受影响，已知拖拉机的速度为36 km/h，那
么学校受影响的时间为多少秒？
与点C的距离相等，过点D作DE⊥BC于点E.
2 2 2
3 为 s 时，线段 AP 是∠CAB 的平分线． 2 (2)因为△ACP 是以 AC 为腰的等腰三角形，当 AC＝CP＝6 时(点 P 在 BC 边上)，t1＝6÷2＝3(s)；当 AC＝CP＝6 时(点 P 在 AB 边上)，作 CD⊥AB 于点 D，图略．利用面积可求 CD＝4.8，在 Rt△PCD 中，PD＝3.6，∴ AP＝2PD＝7.2，∴t2＝(18－7.2)÷2＝5.4(s)；当 AC＝AP＝6 时，t3 ＝(18－6)÷2＝6 (s)．综上所述，当 t＝3 或 5.4 或 6 时，△ACP 是以 AC 为腰的等腰三角形．
浙教版八年级上第二章特殊三角形复习课件
浙教版八年级上第二章特殊三角形复习课件一、教学内容二、教学目标1. 熟练掌握等腰三角形、等边三角形和直角三角形的性质与判定方法；2. 理解三角形内角和定理及推论的应用，并能运用其解决实际问题；3. 培养学生的逻辑思维能力和空间想象能力。
三、教学难点与重点教学难点：等腰三角形和等边三角形性质的应用；直角三角形的判定方法；三角形内角和定理及推论的应用。
教学重点：等腰三角形、等边三角形和直角三角形的性质与判定；三角形内角和定理及推论。
四、教具与学具准备1. 教具：三角板、圆规、直尺、多媒体课件；2. 学具：三角板、圆规、直尺、练习本。
五、教学过程1. 导入新课：通过展示特殊三角形在实际生活中的应用，激发学生学习兴趣，引导学生复习特殊三角形的相关知识。
2. 复习等腰三角形：（1）回顾等腰三角形的性质：两边相等，两角相等；（2）讲解等腰三角形的判定方法：两边相等或两角相等；（3）例题讲解：证明一个三角形是等腰三角形；（4）随堂练习：判断一组数据是否能构成等腰三角形。
3. 复习等边三角形：（1）回顾等边三角形的性质：三边相等，三角相等；（2）讲解等边三角形的判定方法：三边相等或三角相等；（3）例题讲解：证明一个三角形是等边三角形；（4）随堂练习：判断一组数据是否能构成等边三角形。
4. 复习直角三角形：（1）回顾直角三角形的性质：一个角为直角，其他两角互余；（2）讲解直角三角形的判定方法：有一个角为直角或勾股定理；（3）例题讲解：证明一个三角形是直角三角形；（4）随堂练习：判断一组数据是否能构成直角三角形。
5. 复习三角形内角和定理及推论：（1）回顾三角形内角和定理：三角形的内角和等于180°；（2）讲解三角形内角和推论：三角形的外角等于不相邻的两个内角之和；（3）例题讲解：求三角形的内角或外角；（4）随堂练习：计算三角形的内角和或外角。
六、板书设计1. 特殊三角形的性质与判定；2. 三角形内角和定理及推论；3. 例题及解答；4. 随堂练习。
浙教版八上第二章：特殊三角形知识点复习
类型之一轴对称及轴对称图形1．下列图形中，是轴对称图形的为()A B C D2．如图2－1，将△ABC沿直线DE折叠，使点C与点A重合，已知AB＝7，BC＝6，则△BCD 的周长为____．（第2题图）（第8题图）（第9题图）类型之二等腰三角形的性质与判定3. 等腰三角形的一个角是80°，则它的顶角度数是．4．已知实数x，y满足|x－4|＋y－8＝0，则以x，y的值为两边长的等腰三角形的周长_____ 5．等腰三角形的周长为40，其中一边长为15，那么它的底边长为．6．等腰三角形一腰上的高线与另一腰的夹角为30°，则顶角的度数为_______．7．已知等腰三角形一腰上的中线将它的周长分为9和12两部分，则腰长为，底边长为．8．如图2－3，在△ABC中，△ABC＝63°，点D，E分别是△ABC的边BC，AC上的点，且AB＝AD＝DE＝EC，则△C的度数是()A．21°B．19°C．18°D．17°9．已知等边三角形ABC的边长为12，D是AB上的动点，过D作DE△AC于点E，过E作EF△BC于点F，过F作FG△AB于点G.当G与D重合时，AD的长是()A．3 B．4 C．8 D．910．如图，点C ，E 和点B ，D ，F 分别在△GAH 的两边上，且AB ＝BC ＝CD ＝DE ＝EF.若△A ＝18°，则△GEF 的度数是 ．11．如图，在等腰△ABC 中，△ABC ＝90°，D 为AC 边上的中点，过点D 作DE △DF ，交AB 于点E ，交BC 于点F .若AE ＝4，FC ＝3，则EF 的长为 ．12．如图，在等边三角形ABC 中，D ，E 分别为AB ，BC 边上的两动点，且总使AD ＝BE ，AE 与CD 交于点F ，AG△CD 于点G ，则△FAG ＝ ．13．△ABC ，△CDE 均为等边三角形，BD ，AE 交于点O ，BC 与AE 交于点P .求证：△AOB ＝60°.14．已知：在△ABC 中，AD △BC ，垂足为D ，BE △AC ，垂足为E ，M 为AB 边的中点，连结ME ，MD ，ED .求证： (1)△MED 为等腰三角形； (2)△EMD ＝2△DAC .（第13题图）（第14题图）（第11题图）（第10题图）（第12题图）类型之三 勾股定理的应用1．将下列各组数据中的三个数作为三角形的边长，其中能构成直角三角形的是( ) A.3，4， 5 B ．1，2，3 C ．6，7，8 D ．2，3，4 2．若一个三角形的三边长a ，b ，c 满足(a ＋c )(a －c )＝b 2，则该三角形是( )A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．都有可能3．如图，以三角形的三边长为直径向外作三个半圆，若较小的两个半圆的面积之和等于较大的半圆的面积，则这个三角形是( )A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．锐角三角形或钝角三角形 4．如图，在5×5的正方形网格中，以AB 为边画直角△ABC ，使点C 在格点上，满足这样条件的点C 的个数是( )A. 6B. 7C. 8D. 95．四个全等的直角三角形按图2－7的方式围成正方形ABCD ，过各较长直角边的中点作垂线，围成面积为S 的小正方形EFGH .己知AM 为Rt△ABM 较长直角边，AM ＝22EF ，则正方形ABCD 的面积为( ) A ．12S B ．10S C ．9S D ．8S6．在△ABC 中，BC ＝42，AB ＝9，AC ＝7，则△C ＝_____．7. 某个直角三角形斜边上的中线是5 cm ，其周长为24 cm ，则此三角形的面积是____cm 2. 8．若三角形的三边长分别为n ＋1，n ＋2，n ＋3，当n ＝____时，这个三角形是直角三角形． 9．在△ABC 中，AB ＝AC ＝12，BC ＝12，则BC 边上的中线AD ＝_____．10．△ACB ＝90°，AB ＝5，AC ＝3，CD 是AB 边上的高线，则CD ＝_____．11．一张三角形纸片ABC ，△C ＝90°，AC ＝8 cm ，BC ＝6 cm ，现将纸片折叠：使点A 与点B 重合，那么折痕长等于____cm.（第11题图）（第9题图）（第10题图）（第5题图）（第3题图）（第4题图）12．如图是一块地的平面示意图，已知AD ＝4 m ，CD ＝3 m ，AB ＝13 m ，BC ＝12 m ，△ADC ＝90°，则这块地的面积为__ _m 2.13．如图，长方体的底面边长分别为 2 cm 和 4 cm ，高为5 cm.若一只蚂蚁从点P 开始经过4个侧面爬行一圈到达点Q ，则蚂蚁爬行的最短路径长为____cm.14．如图，在△ABC 中，CD 是边AB 上的高线，BC ＝2，CD ＝3，AC ＝2 3.求证：△ABC 是直角三角形．15．如图，已知AC △BC ，垂足为C ，AC ＝4，BC ＝33，将线段AC 绕点A 按逆时针方向旋转60°，得到线段AD ，连结DC ，DB . (1)线段DC ＝____； (2)求线段DB 的长度．16．如图△，一架梯子AB 长2.5 m ，顶端A 靠在墙AC 上，这时梯子下端B 与墙角C 距离为1.5 m ，梯子滑动后停在DE 的位置上，如图△所示，测得BD ＝0.5 m ，求梯子顶端A 下滑的距离．类型之四 直角三角形（第13题图）（第12题图）1．在全等三角形的判定方法中，一般三角形不具有，而直角三角形具有的判定方法是( ) A ．SSS B ．SAS C ．ASA D ．HL 2．如图，用“HL ”判定Rt △ABC 和Rt △DEF 全等的条件可以是（ ） A ．AC ＝DF ，BC ＝EF B ．△A ＝△D ，AB ＝DE C ．AC ＝DF ，AB ＝DE D ．△B ＝△E ，BC ＝EF3．如图，已知AD 是△ABC 的BC 边上的高，下列能使△ABD△△ACD 的条件是（ ） A ．AB ＝AC B ．△BAC ＝90° C ．BD ＝AC D ．△B ＝45°4．如图，P 是AD 上一点，PE △AC 于点E ，PF △AB 于点F .若PE ＝PF ，△CAD ＝20°，则△BAD 为( ) A. 10° B. 20° C. 30° D. 40°5．已知点P 在△BAC 的角平分线OD 上,且PE △AB 于点E,PF △AC 于点F .若PE =3cm,则PF = cm. 6．如果Rt△ABC △Rt△DEF ,AC =DF =4,AB =7, △C =△F =90°，则DE = ,EF = ．7．如图，AB ＝AC ，CD △AB 于点D ，BE △AC 于点E ，BE 与CD 相交于点O ，图中有 对全等的直角三角形．8．如图，CA △AB ，垂足为点A ，AB ＝8 cm ，AC ＝4 cm ，射线BM △AB ，垂足为点B ，一动点E 从A 点出发以2 cm /s 的速度沿射线AN 运动，点D 为射线BM 上一动点，随着E 点运动而运动，且始终保持ED ＝CB ，当点E 运动 秒时，△DEB 与△BCA 全等．9．如图，Rt △ABC 中，△ACB 是直角，D 是AB 上一点，BD ＝BC ，过D 作AB 的垂线交AC 于点E ，求证：CD △BE ．10．在Rt△ABC 中，△A ＝90°，D 为斜边BC 上一点，且BD ＝BA ，过点D 作BC 的垂线交AC 于点E .求（第2题图）（第4题图）（第3题图）（第8题图）（第7题图）（第9题图）证：点E在△ABC的平分线上．11．如图，在△ABC中，AB＝CB，△ABC＝90°，F为AB延长线上一点，点E在BC上，且AE＝CF.（1）求证：Rt△ABE△Rt△CBF；（2）若△CAE＝30°，求△ACF的度数．（第11题图）12．(1)如图△，在正方形ABCD中，△AEF的顶点E，F分别在BC，CD边上，高线AG与正方形的边长相等，求△EAF的度数；(2)如图△，在Rt△BAD中，△BAD＝90°，AB＝AD，点M，N是BD边上的任意两点，且△MAN＝45°.将△ABM 绕点A逆时针旋转90°至△ADH位置，连结NH，试判断MN，ND，DH之间的数量关系，并说明理由；专项训练：思想方法荟萃名师点金：本章涉及的数学思想方法有：(1)分类讨论思想：在等腰三角形中，当角没确定是底角还是顶角时，当边没确定是底边还是腰时常用分类讨论思想；(2)方程思想：在解决有关等腰三角形边角问题时常通过设适当的边或角为未知数，列方程求解；(3)数形结合思想：在解决有关实际问题时，常从实际问题中抽象出几何图形，借助几何图形来解决；(4)转化思想：证线段的和，差关系时，通常将分散的线段转化到同一条线段上，使复杂的问题简单化．分类讨论思想1．等腰三角形的一个外角等于110°，则这个三角形的顶角应该为____________．2．已知等腰三角形的两边长分别为a，b，且a，b满足2a－3b＋5＋(2a＋3b－13)2＝0，则此等腰三角形的周长为()A．7或8 B．6或10 C．6或7 D．7或10方程思想3．如图，在△ABC中，AB＝AC，BC＝BD，AD＝DE＝EB，求∠A的度数．4．如图，P是等边三角形ABC边AB上任一点，AB＝2，PE⊥BC于E，EF⊥AC于F，FQ⊥AB 于Q，设BP＝x.(1)用含有x的式子表示AQ；(2)当x等于多少时，点P和点Q重合？数形结合思想5．上午8时，一条渔船从海岛A出发，以15海里/时的速度匀速向正北航行，10时到达海岛B处．已知在海岛A测得灯塔C在北偏西42°方向上，在海岛B测得灯塔C在北偏西84°方向上．求海岛B到灯塔C的距离．转化思想6．如图，已知在△ABC中，∠ABC＝3∠C，AD是∠BAC的平分线，BE⊥AD于E，求证：BE＝12(AC－AB)．。
浙教版八年级上册第2章特殊三角形全章复习课件
等腰三角形
等腰三角形的性质: 轴对称性
在同一个三角形中, 等边对等角
底边上的高、中线、 顶角平分线三线合一
特
殊
三 角
等边三角形
形
直角三角形
等腰直角三角形
等腰三角形的判定方法: 在同一个三角形中,等角对等边
等边三角形的性 质和判定 直角三角形的性质
直角三角形的判定
两个锐角互余
直角三角形斜边上的中线 等于斜边的一半
又会有几个等腰三角形？
A
BE＋CF=EF仍然成立吗？
E
OF
B
C
例2、如图，AB=AD，BC=CD，AC，BD 相交于E点，由这些条件你能推导出哪些结 论呢？ 请说明理由。
D
A
E
C
B
在网格中已有两个点A、B，现要在格点上寻 找一个点C，使△ABC为等腰三角形。
① 已知BC=7cm，
D是AB的中点，CD
AD平分∠CAB，BC=10，
BD=7，求点D到
E
AB的距离为﹍3﹍﹍。
解: 过D作DE⊥AB于点E C
D
B
∵∠C= 90°， DE⊥AB ,AD平分∠CAB，
∴CD=D(E角平分线上的点到角两边的距离相等)
∵ BC=10，BD=7
∴DE=CD=BC-BD=10-7=3
2 .如图，D为等腰三角形ABC底边BC
有两个角互余的三角 如果三角形中两边的平方和等于第三边的平
形是直角三角形
方，那么这个三角形是直角三角形
形
直角三角形
等腰直角三角形
等腰三角形的判定方法: 在同一个三角形中,等角对等边
等边三角形的性 质和判定 直角三角形的性质
2024年浙教版八年级上第二章特殊三角形复习精彩课件
2024年浙教版八年级上第二章特殊三角形复习精彩课件一、教学内容1. 等腰三角形的性质与判定2. 等边三角形的性质与判定3. 直角三角形的性质与判定4. 特殊三角形在实际问题中的应用二、教学目标1. 理解并掌握等腰三角形、等边三角形及直角三角形的性质与判定方法。
2. 能够运用特殊三角形的性质解决实际问题，提高解决问题的能力。
3. 培养学生的空间想象能力和逻辑思维能力。
三、教学难点与重点重点：等腰三角形、等边三角形及直角三角形的性质与判定。
难点：特殊三角形在实际问题中的应用。
四、教具与学具准备1. 教具：三角板、直尺、圆规、多媒体课件。
2. 学具：三角板、直尺、圆规、练习本。
五、教学过程1. 导入：通过多媒体课件展示特殊三角形在实际生活中的应用，引导学生思考特殊三角形的重要性。
2. 复习等腰三角形（1）教师引导学生回顾等腰三角形的性质与判定方法。
（2）例题讲解：证明一个三角形是等腰三角形。
3. 复习等边三角形（1）教师引导学生回顾等边三角形的性质与判定方法。
（2）例题讲解：证明一个三角形是等边三角形。
4. 复习直角三角形（1）教师引导学生回顾直角三角形的性质与判定方法。
（2）例题讲解：证明一个三角形是直角三角形。
5. 特殊三角形在实际问题中的应用（1）教师讲解特殊三角形在实际问题中的应用方法。
（2）例题讲解：求解一个实际问题，涉及特殊三角形。
（3）随堂练习：解决一个实际问题，涉及特殊三角形。
六、板书设计1. 等腰三角形的性质与判定2. 等边三角形的性质与判定3. 直角三角形的性质与判定4. 特殊三角形在实际问题中的应用七、作业设计1. 作业题目：（4）解决一个实际问题，涉及特殊三角形。
2. 答案：八、课后反思及拓展延伸1. 反思：本节课学生对特殊三角形的性质与判定掌握情况，以及在实际问题中的应用能力。
2. 拓展延伸：（1）引导学生思考：特殊三角形还有哪些性质和应用？（2）推荐阅读：关于特殊三角形的研究性文章，提高学生的兴趣和拓展知识面。
浙教版数学八上课件复习第二章特殊三角形(1)
浙教版数学八上课件复习第二章特殊三角形一、教学内容本节课我们将复习浙教版数学八上教材中第二章“特殊三角形”的内容。
具体包括：等腰三角形的性质与判定（2.1节），等边三角形的性质与判定（2.2节），以及勾股定理及其逆定理（2.3节）。
二、教学目标1. 理解并掌握等腰三角形和等边三角形的性质，能够熟练运用这些性质解决相关问题。
2. 理解并掌握勾股定理及其逆定理，能够运用其解决实际问题。
3. 培养学生的逻辑思维能力和空间想象能力，提高解决问题的策略和方法。
三、教学难点与重点教学难点：等腰三角形和等边三角形性质的应用，勾股定理逆定理的证明与运用。
教学重点：等腰三角形、等边三角形的性质，勾股定理及其逆定理。
四、教具与学具准备1. 教具：三角板、直尺、圆规、多媒体课件。
2. 学具：三角板、直尺、圆规、练习本。
五、教学过程1. 实践情景引入：展示等腰三角形和等边三角形在实际生活中的应用，如建筑、艺术等，引发学生思考。
通过展示等腰三角形和等边三角形在建筑中的应用，引导学生发现这两种三角形的美观与实用价值。
2. 例题讲解讲解等腰三角形和等边三角形的性质，以及勾股定理的应用。
3. 随堂练习学生独立完成练习题，巩固所学知识。
通过拓展延伸，介绍勾股定理在古代建筑中的应用。
六、板书设计1. 等腰三角形的性质与判定2. 等边三角形的性质与判定3. 勾股定理及其逆定理七、作业设计1. 作业题目：已知等腰三角形的底边长为10cm，腰长为13cm，求该三角形的面积。
已知直角三角形的两条直角边分别为3cm和4cm，求该三角形的斜边长。
2. 答案：面积：(1013)/2 = 65cm²斜边长：√(3²+4²) = 5cm八、课后反思及拓展延伸1. 反思：本节课学生对等腰三角形、等边三角形的性质掌握情况较好，但在勾股定理逆定理的运用上还存在一定问题，需要在今后的教学中加强练习。
2. 拓展延伸：引导学生了解勾股定理在其他领域的应用，如物理学、天文学等，激发学生的学习兴趣。
特殊三角形复习浙教版课件
特殊三角形复习浙教版课件一、教学内容本节课为复习课，主要复习浙教版八年级上册数学第五章《特殊三角形》的内容。
包括等边三角形、等腰三角形、直角三角形的性质和判定。
二、教学目标1. 掌握等边三角形、等腰三角形、直角三角形的性质和判定方法。
2. 学会运用特殊三角形的性质解决实际问题。
3. 培养学生的逻辑思维能力和团队合作能力。
三、教学难点与重点1. 教学难点：等边三角形、等腰三角形、直角三角形的性质和判定方法的灵活运用。
2. 教学重点：特殊三角形的性质和判定方法。
四、教具与学具准备1. 教具：黑板、粉笔、多媒体课件。
2. 学具：笔记本、笔、练习本。
五、教学过程1. 情景引入：以实际生活中的问题为背景，引发学生对特殊三角形的兴趣。
2. 知识回顾：引导学生复习等边三角形、等腰三角形、直角三角形的性质和判定。
3. 课堂讲解：通过多媒体课件，详细讲解等边三角形、等腰三角形、直角三角形的性质和判定方法。
4. 例题讲解：选取具有代表性的例题，讲解解题思路和技巧。
5. 随堂练习：学生在课堂上完成练习题，巩固所学知识。
6. 小组讨论：学生分组讨论，共同解决讨论题。
8. 作业布置：布置课后作业，巩固所学知识。
六、板书设计板书设计如下：等边三角形：性质：三边相等，三个角相等。
判定：三边相等的三角形为等边三角形。
等腰三角形：性质：两边相等，两个角相等。
判定：两边相等的三角形为等腰三角形。
直角三角形：性质：有一个角为直角。
判定：有一个角为直角的三角形为直角三角形。
七、作业设计1. 作业题目：（1）判断题：① 等边三角形的三个角都相等。
（）② 等腰三角形的两边相等。
（）③ 直角三角形有一个角为直角。
（）（2）填空题：① 一个等边三角形的边长为a，那么它的____________为a。
（答案：高）② 一个等腰三角形的底边长为a，腰长为b，那么它的____________为b。
（答案：高）③ 一个直角三角形的两个直角边长分别为a和b，那么它的____________为a。